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(共20張PPT)
6.3 向心加速度
1．理解向心加速度的概念。
2．知道向心加速度和線速度、角速度的關系式，能推導向心加速度的公式。
3．能夠運用向心加速度公式求解有關問題。
勻速圓周運動的實質是變速運動，說明運動的加速度一定不為 0。那么，該如何確定它在軌飛行時加速度的方向和大小呢？
1.向心加速度：做勻速圓周運動的物體加速度總指向圓心，與速度方向始終垂直，因 此也稱為向心加速度。
3.作用：只改變速度的方向，不改變速度的大小。
一、勻速圓周運動的加速度方向
4.性質：勻速圓周運動是加速度方向時刻變化的變加速曲線運動。
2.方向：指向圓心，與速度方向始終垂直。
v
a
做變速圓周運動的物體，加速度并不指向圓心，該加速度有兩個分量：
一是向心加速度；二是切向加速度，切向加速度改變速度的大小。
因此一般情況下，物體做圓周運動的加速度方向不一定指向圓心。
思考討論1：變速圓周運動的加速度和向心加速度有什么關系？
a
v
at
an
思考討論2：勻速圓周運動的加速度和向心加速度有什么關系？勻速圓周運動是否為勻變速運動？
勻速圓周運動的加速度和向心加速度含義相同．由于勻速圓周運動的加速度始終指向圓心，其大小不變，但方向時刻在改變，所以勻速圓周運動不是勻變速運動。
二、勻速圓周運動的加速度大小
1、從牛頓第二定律角度思考：
你還記得向心力的計算公式嗎？
3.說明：勻速圓周運動的向心加速度大小不變。
根據牛頓第二定律：
2.向心力的大小：
4.從幾何角度推導向心加速度的大小：
如圖甲所示，一物體沿著圓周運動，在 A、B 兩點的速度分別為 vA、vB，可以分四步確定物體運動的加速度方向。
第一步，根據曲線運動的速度方向沿著切線方向，畫出物體經過 A、B 兩點時的速度方向，分別用 vA、vB 表示，如圖甲所示。
第二步，平移 vA 至 B 點，如圖乙所示。
第三步，根據矢量運算法則，做出物體由 A 點到 B 點的速度變化量 Δv，其方向由 vA 的箭頭位置指向 vB 的箭頭位置，如圖丙所示。由于物體做勻速圓周運動，vA、vB 的大小相等，所以，Δv與 vA、vB 構成等腰三角形。
第四步，假設由 A 點到 B 點的時間極短，在勻速圓周運動的速度大小一定的情況下，A 點到 B 點的距離將非常小，作出此時的 Δv，如圖丁所示。
仔細觀察圖丁，可以發現，此時，Δv與vA、vB都幾乎垂直，因此Δv的方向幾乎沿著圓周的半徑，指向圓心。由于加速度a與Δv的方向是一致的，所以從運動學角度分析也可以發現：物體做勻速圓周運動時的加速度指向圓心。
所以
當△t很小很小時，
所以
思考與討論：對于向心加速度的公式，同學們有各自的看法。從看，向心加速度與半徑成反比；從a=ω2r看，向心加速度與半徑成正比。這兩個結論是否矛盾？談談你的看法。
當ω一定時，a與r成正比
當v一定時，a與r成反比
【例題】如圖所示，在長為 l 的細繩下端拴一個質量為 m 的小球，捏住繩子的上端，使小球在水平面內做圓周運動，細繩就沿圓錐面旋轉，這樣就成了一個圓錐擺。當繩子跟豎直方向的夾角為 θ 時，小球運動的向心加速度 an 的大小為多少？通過計算說明 ：要增大夾角 θ，應該增大小球運動的角速度 ω。
分析 由于小球在水平面內做圓周運動，向心加速度的方向始終指向圓心。可以根據受力分析，求出向心力的大小，進而求出向心加速度的大小。根據向心加速度公式，分析小球做圓周運動的角速度 ω 與夾角 θ 之間的關系。
解: 根據對小球的受力分析，可得小球的向心力Fn ＝ mgtanθ
根據牛頓第二定律可得小球運動的向心加速度 an ＝ Fn/m ＝ gtan θ (1)
根據幾何關系可知小球做圓周運動的半徑 r＝lsin θ (2)
把向心加速度公式 an＝ω2r 和(2)式代入(1)式，可得 cosθ =
從此式可以看出，當小球運動的角速度增大時，夾角也隨之增大。因此，要增大夾角θ，應該增大小球運動的角速度ω。
C
1.關于向心加速度,以下說法錯誤的是(　　)
A.向心加速度的方向始終與線速度方向垂直
B.向心加速度只改變線速度的方向,不改變線速度的大小
C.物體做圓周運動時的加速度方向始終指向圓心
D.物體做勻速圓周運動時的加速度方向始終指向圓心
2.(多選)甲、乙兩物體都在做勻速圓周運動,下列情況下,關于向心加速度的說法正確的是(　　)
A.當它們的角速度相等時,乙的線速度小,則乙的向心加速度小
B.當它們的周期相等時,甲的半徑大,則甲的向心加速度大
C.當它們的線速度相等時,乙的半徑小,則乙的向心加速度小
D.當它們的線速度相等時,在相同的時間內甲與圓心的連線轉過的角度比乙的大,則甲的向心加速度比乙的小
AB
3.A，B兩艘快艇在湖面上做勻速圓周運動（如圖），在相同的時間內，它們通過的路程之比是4：3，運動方向改變的角度之比是3：2，則它們（　　）
A．線速度大小之比為3：4
B．角速度大小之比為3：4
C．圓周運動的半徑之比為8：9
D．向心加速度大小之比為1：2
C
4. 如圖所示,在男女雙人花樣滑冰運動中,男運動員以自身為轉動軸拉著女運動員做勻速圓周運動。若運動員的轉速為30 r/min,女運動員觸地冰鞋的線速度大小為4.8 m/s,求女運動員做圓周運動的角速度、觸地冰鞋做圓周運動的半徑及向心加速度的大小。
答案:3.14 rad/s　1.53 m　15.1 m/s2
1.定義：勻速圓周運動的加速度
2.意義：描述速度方向變化的快慢
3.大小：
4.方向：始終指向圓心(時刻改變)
勻速圓周運動是變加速曲線運動
向心加速度

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