資源簡介

函數(shù)的單調(diào)性
【考綱解讀】
1、 理解增函數(shù)，減函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)單調(diào)區(qū)間的定義，掌握判斷（或證明）函數(shù)單
調(diào)性的基本方法；
2、 能夠運用函數(shù)的單調(diào)性，解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。
【知識精講】
一、函數(shù)單調(diào)性的概念：
【問題】認(rèn)真觀察，分析下列圖形，再回答后面的思考問題：
Y y y
100 6 6
50 4 5
-6 -4 -2 0 2 4 6 x 2 4
-50 -2 -1 0 1 2 x 3
-100 -2 2
(1) -4 (2) -5 -4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 x
y y (3)
3 3
2 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 (4) -2 (5)
『思考問題』
(1) 【問題】（1）中的圖像，（2）中在（-∞，-1），（0，1）上圖像，（3）中在（--2，0），（2，+∞）上圖像，（5）中在（0，+∞）上圖像共同特點是自變量增大，函數(shù)值也增大；
(2）【問題】（2）中在（-1，0），（1，+∞）上圖像，（3）中在（-∞，-2），（0，2）上圖像，（4）中圖像，（5）中在（-∞，0）上圖像共同特點是自變量增大，函數(shù)值反而減小。
1、增函數(shù)的定義： y y
設(shè)D是函數(shù)f(x)定義域的子集，任取，∈D， f() f()
且＜，如果f()＞f()都成立，則稱函 f() f()
數(shù)f(x)是區(qū)間D上的增函數(shù)； o x o x
2、減函數(shù)的定義： y f() y f()
設(shè)D是函數(shù)f(x)定義域的子集，任取， f() f()
∈D，且＜，如果f()＜f()都成立， 0 x 0 x
則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的減函數(shù)；
3、函數(shù)的單調(diào)性的定義：
函數(shù)具有增函數(shù)（或減函數(shù)）的性質(zhì)，叫做函數(shù)的單調(diào)性；
4、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的定義：
函數(shù)的增函數(shù)（或減函數(shù)）區(qū)間，叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
5、理解函數(shù)單調(diào)性應(yīng)該注意的問題：
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行，原因是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集；
（2）函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間概念，即使函數(shù)在定義域內(nèi)的各個區(qū)間都是增（或減）函數(shù)，也不能說函數(shù)在定義域內(nèi)是增（或減）函數(shù)；
（3）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是開區(qū)間，也可以是閉（或半開半閉）區(qū)間；對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也單調(diào)；
（4）函數(shù)單調(diào)性的變化是求函數(shù)值域和最值的主要依據(jù)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出后，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)值域和最值的前提，同時函數(shù)圖像是函數(shù)單調(diào)性的最直觀體現(xiàn)。
二、判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法：
1、判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法有：①定義法；②圖像法；
（1）運用圖像法判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域并作出函數(shù)的圖像；②確定判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間；③在函數(shù)的圖像上找到相應(yīng)的區(qū)間；④根據(jù)函數(shù)圖像得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）運用定義法判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域；②確定判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間；③在相應(yīng)的區(qū)間上任取，，且＜； ④比較函數(shù)值f()，f()的大小；⑤根據(jù)函數(shù)值f()，f()的大小關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性。
2、比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：
（1）比較函數(shù)值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（2）運用求差法比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：①求出函數(shù)值f()-f()的差；②把①中的差與數(shù)0作比較；③若f()-f()的差大于0，則f()＞f()；若f()-f()的差小于0，則f()＜f()；
（3）運用求商法比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：①求出函數(shù)值的商；②把①中的商與數(shù)1作比較；③若的商大于1，則f()＞f()；若的商小于1，則f()＜f()。
3、判斷（或證明）含有參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的基本方法：
對含有參數(shù)的函數(shù)在判斷（或證明）它的單調(diào)性時，應(yīng)注意對參數(shù)按照參數(shù)分類原則和基本方法進(jìn)行分類討論。
三、函數(shù)單調(diào)性的運用：
1、函數(shù)單調(diào)性運用問題的主要類型：
函數(shù)單調(diào)性的運用問題主要包括：①已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值（或取值 范圍）；②運用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域（或最值）；③已知函數(shù)的單調(diào)性，求給定不等式的解集。
2、解答函數(shù)單調(diào)性運用問題的基本方法：
（1）求解已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值（或取值范圍）的基本方法是：①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合問題條件得到關(guān)于參數(shù)的方程（或不等式或不等式組組）；②求解方程（或不等式或不等式組）；③得出參數(shù)的值（或取值范圍）；
（2）求解運用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域（或最值）的基本方法是：①判定函數(shù)的單調(diào)性；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值（或最大值）；③得出函數(shù)的值域（或最值）；
（3）求解已知函數(shù)的單調(diào)性，求不等式的解集的基本方法是：①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量x的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出原不等式的解集。
【探導(dǎo)考點】
考點1判斷（或證明）函數(shù)的單調(diào)性：熱點①已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；熱點②根據(jù)函數(shù)圖像，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；熱點③判斷（或證明）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；
考點2函數(shù)的單調(diào)性的運用：熱點①已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值（或取值范圍）；熱點②已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)在給定區(qū)間值域（或最值）；熱點③已知函數(shù)的單調(diào)性，求解給定的不等式。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的遞增區(qū)間依次是（ ）
A （-∞，0〕，（-∞，1〕 B （-∞，0〕，〔1，+∞）
C 〔0，+∞），（-∞，1〕 D 〔0，+∞），〔1，+∞）
2、如圖是函數(shù)f(x)（x∈R）的圖像，則（ ） y
A 函數(shù)f(x)先增后減 B函數(shù)f(x)先減后增
C函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù) D 函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù) 0 x
3、下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是（ ）
A y=3-x B y=+1 C y=- D y=-2x+3
4、已知函數(shù)f(x)= 。
（1）求出函數(shù)的定義域和值域；
（2）畫出函數(shù)的圖像；
（3）判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性。
f(x)在區(qū)間（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減。
5、如圖是定義在〔-5,5〕上函數(shù)y=f(x)的 y
圖像，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的 3
單調(diào)區(qū)間； 2
1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
-1
6、證明函數(shù)f(x)= +2在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
7、判斷函數(shù)f(x)= 在定義域上的單調(diào)性；
8、求函數(shù)f(x)=x+ 的單調(diào)區(qū)間；
9、討論函數(shù)f(x)=x+ (a＞0)的單調(diào)性；
10、討論函數(shù)f(x)= （a＞0)在（-1,1）上的單調(diào)性。
『思考問題1』
（1）判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法有：①定義法；②圖像法；
（2）運用圖像法判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域并作出函數(shù)的圖像；②確定判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間；③在函數(shù)的圖像上找到相應(yīng)的區(qū)間；④根據(jù)函數(shù)圖像得出函數(shù)的單調(diào)性；
（3） 運用定義法判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域；②確
定判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間；③在相應(yīng)的區(qū)間上任取，，且＜； ④比較函數(shù)值f()，f()的大小；⑤根據(jù)函數(shù)值f()，f()的大小關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性
（4）比較函數(shù)值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（5）運用求差法比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：①求出函數(shù)值f()-f()的差；②把①中的差與數(shù)0作比較；③若f()-f()的差大于0，則f()＞f()；若f()-f()的差小于0，則f()＜f()；
（6）運用求商法比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：①求出函數(shù)值的商；②把①中的商與數(shù)1作比較；③若的商大于1，則f()＞f()；若的商小于1，則f()＜f()。
（7）對含參數(shù)的函數(shù)在判斷（或證明）它的單調(diào)性時，應(yīng)注意對參數(shù)按照分類討論的原則和基本方法，對參數(shù)的可能情況分別求解，之后綜合得出結(jié)論。
〔練習(xí)1〕解答下列問題：
1、下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,2）上為增函數(shù)的是（ ）
A y=-x+1 B y= C y=-4x+5 D y=
2、函數(shù)y= 的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）
A ［0，+∞） B （-∞，0〕 C （-∞，0），（0，+∞） D （-∞，0）（0，+∞）
3、若函數(shù)f(x)在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，則（ ）
A f(a)＞f(2a) B f(a) ＜f(2a) y
C f(-1) ＜f(a) D f(+1) ＜f(a) 4
4、如圖是函數(shù)y=f(x)的圖像，根據(jù)圖像判斷 3
函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 2
5、證明函數(shù)f(x)=-2x+1在R上是減函數(shù)； 1
6、證明：①函數(shù)f(x)= +1在（-∞，0）上 -1 0 1 2 3 4 5 x
是減函數(shù)；②函數(shù)f(x)= 1- 在（-∞，0）上是增函數(shù)；
7、如果二次函數(shù)f(x)= -(a-1)x+5在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，求f(2)的取值范圍；
8、討論函數(shù)f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的單調(diào)性；
9、已知函數(shù)f(x)= 4-kx-8在〔5，20〕上具有單調(diào)性，求實數(shù)k的取值范圍。
【典例2】解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)=|x|(1-x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是（ ）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
2、函數(shù)f(x)=- +2|x|+3的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；
3、求函數(shù)f(x)=|x-1|-|2-3x|的單調(diào)區(qū)間并判斷函數(shù)的單調(diào)性；
4、判斷函數(shù)f(x)= +的單調(diào)性；
2-1 (x≥0)
5、判斷函數(shù)f(x)= -3x (x＜0)的單調(diào)性。
『思考問題2』 a，a≥0，
（1）=|a|= -a，a＜0；
（2）判斷（或證明）分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①判斷（或證明）函數(shù)在各段上的單調(diào)性；②綜合得出分段函數(shù)的單調(diào)性。
〔練習(xí)2〕解答下列問題： ， x≥0，
1、判斷分段函數(shù) f(x)= -x+1 ， x＜0，的單調(diào)性；（
2、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性。
【典例3】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)=，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A （-∞，1］ B ［3，+∞） C （-∞，-1］ D ［1，+∞）
2、函數(shù)f(x)= （-4）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A （0，+∞） B （-∞，0） C （2，+∞） D （-∞，-2）
3、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；
4、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；
5、求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間。
6、判斷函數(shù)f(x)= (2-3x)的單調(diào)性；
7、判斷函數(shù)f(x)= |-x-12|的單調(diào)性；
8、求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間；
9、是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)= （a-x）在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)？如果存在說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由。
『思考問題3』
（1）【典例3】中的函數(shù)的共同特點是：①將函數(shù)解析式中的某個式子視為一個整體未知數(shù)可以得到一個簡單的函數(shù)；②簡單函數(shù)的自變量又是一個函數(shù)；具有這種特點的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)；
（2）判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的的法則是同增異減；
（3）判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則中的“同”是指內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的單調(diào)性相同；“異”是指內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的單調(diào)性相異。
〔練習(xí)3〕解答下列問題：
1、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；
2、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；
3、求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間。
4、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；
5、判斷函數(shù)f(x)= (3-2x)的單調(diào)性；
6、判斷函數(shù)f(x)= |+2x-15|的單調(diào)性；
【典例4】解答下列問題：
1、已知函數(shù)y=f(x)對任意的x，y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，
f(1)=- 。
（1）判斷并證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；
（2）求f(x)在區(qū)間〔-3,3〕上的最大值和最小值。
2、定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0,當(dāng)x＞0時，f(x)＞1，且對任意的a，b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）證明：f(0)=1；
（2）證明：對任意的x∈R，恒有f(x)＞0；
（3）證明：函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范圍。
『思考問題4』
（1）【典例4】中的函數(shù)的共同特點是：①函數(shù)沒有確定的解析式；②已知函數(shù)在R上滿足的一個恒等式等式；具有這種特點的函數(shù)稱為抽象函數(shù)；
（2）判斷（或證明）抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①在R上任取，，且＜；②通過賦值法比較函數(shù)值f()，f()的大小；③ 得出抽象函數(shù)的單調(diào)性；
（3）在抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）中，比較函數(shù)值f()，f()的大小是采用賦值法，具體賦什么值應(yīng)該從問題的已知條件入手。
〔練習(xí)4〕解答下列問題：
1、已知f(x)在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，且滿足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)≤2；
2、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對任意的實數(shù)m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，當(dāng)x＜0時，f(x)＞1.
①證明：f(0)=1；
②證明：當(dāng)x＞0時，0＜f(x)＜1；
③f(x)是R上的減函數(shù)。
3、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意的實數(shù)x、y都滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x＞0時，f(x)＞0.
證明：函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)。
【典例5】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)的圖像向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)＞＞1時，［f()-f()］.（-）＜0，恒成立，設(shè)a=f(-)，b=f(2)，c=f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A c＞a＞b B c＞b＞a C a＞c＞b D b＞a＞c
2、已知函數(shù)f(x)= (2-ax)在（0,1）上是x的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
3、設(shè)函數(shù)f(x)=lg，若當(dāng)x∈(-∞,1〕時，f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
4、求函數(shù)f(x)=2x-1- 的最大值；
5、已知函數(shù)f(x)=（a-3）x+4a（x≥0）滿足對任意的，都有＜0成立，（x＜0）則實數(shù)a的取值范圍是 。
7、已知函數(shù)f(x)是定義在［-1,1］上的增函數(shù)，且f(x-1)＜f(1-3x)，求x的取值范圍。
『思考問題5』
（1）【典例5】中1是運用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小問題，解答這類問題的基本方法是：①確定自變量的大小，②運用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小；
（2）【典例5】中2，5是已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍的問題，解答這類問題基本方法是：①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出參數(shù)的取值范圍；
（3）【典例5】中4是運用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域或最值的問題，解答這類問題的基本方法是：①運用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；②得出函數(shù)的值域（或最值）；
（4）【典例5】中6，7是已知函數(shù)的單調(diào)性，求不等式的解集的問題，解答這類問題的基本方法是：①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于自變量的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出不等式的解集。
〔練習(xí)5〕解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)（x∈R）的圖像如圖所示，則 y |
函數(shù)g(x)=f(x) (0＜a＜1)的單調(diào)減區(qū)間 |
是（ ） 0 x
A （0，〕 B〔，1〕 C （-∞，0）∪〔，+∞） D 〔，〕
2、如果函數(shù)f(x)=a+2x-3在區(qū)間（-∞，4）上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0
3、已知函數(shù)f(x)= （2-a）x+1，x＜1，滿足對任意，都有＞0成立， ，x1，那么實數(shù)a的取值范圍是 ；
4、定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f()=0，則滿足f(x)的x的集合為 ；
5、求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間；
6、求函數(shù)f(x)=x+2+的最值；
7、函數(shù)f(x)對任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.
（1）求證：f(x)在R上是增函數(shù)；（提示：用定義法證明）
（2）若f(3)=4，解不等式f(+a-5)＜2。（答案：不等式f(+a-5)＜2的解集為（-3，2）。）
【雷區(qū)警示】
【典例6】解答下列問題：
1、求函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間。
2、已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在（0，+）上是減函數(shù)，判斷函數(shù)f(x)在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。
3、定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，則（ ）
A f(-25)『思考問題6』
（1）【典例6】是解答函數(shù)單調(diào)性問題時，容易觸碰的雷區(qū)，該類問題常見的雷區(qū)主要是忽視函數(shù)的定義域，尤其是對函數(shù)解析式變形時，忽視函數(shù)解析式變形對函數(shù)定義域的影響，導(dǎo)致解答出現(xiàn)錯誤；
（2）解答函數(shù)單調(diào)性問題時，為避免忽視函數(shù)的定義域的雷區(qū)，一定注意問題涉及函數(shù)的
定義域，尤其是判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題時，需要正確確定函數(shù)的定義域。
〔練習(xí)6〕解答下列問題：
1、 函數(shù)f(x)=|x|(1-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A （-，0） B [0，] C [0，+] D （，+）
2、已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在（0，+）上是增函數(shù)，判斷函數(shù)f(x)在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。
【考題演練】
【典例7】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)=+1，x≥1，在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
(2-a)x+2，x<1，（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯(lián)盟考試）
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
2、 已知函數(shù)f(x)=（m+4x+3），mR，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，+）上單調(diào)遞
增，則m的取值范圍為（ ）（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯(lián)盟考試）
A （-，2] B [2，+） C （，2] D （0，2]
3、下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（ ） （成都市高2023級2023-2024上期末名校聯(lián)盟考試）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
4、已知函數(shù)f(x)為定義在R的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，+）上單調(diào)遞減，且滿足f(3)=0，則不等式<0的解集為 。（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯(lián)盟考試）
5、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=f(1+x)，且在[1，+）上單調(diào)遞增，若a=f(),
b=f(2),c=f(),則a，b，c的大小關(guān)系為（）（成都市高2023級2023-2024上期末調(diào)研考試）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D b>a>c
6、已知函數(shù)f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（）（2023全國高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
7、 設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）（2023全國高
考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
8、若函數(shù)f(x)=kx-2lnx，在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）（成都市2020級高三零診）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
-1，09、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列結(jié)論：
①函數(shù)f(x)在（-6，-5）上單調(diào)遞增；②函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有且僅有2個不同的交點；③若關(guān)于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4個不相等的實數(shù)根，則這4個根之和為8；④記函數(shù)f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值為，則數(shù)列{}的前7項和為。其中所有正確結(jié)論的編號是 （成都市2019級高三零診）
10、下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）（2021全國高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
11、下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增的是（ ）
A y= B y= C y= x D y=
12、已知函數(shù)f(x)=-ax在（-1,1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A (1，+ ∞) B ［2，+∞） C (-∞，1］ D （-∞，2〕
『思考問題7』
（1）【典例7】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一期末調(diào)研考試）試卷中關(guān)于函數(shù)單調(diào)性級運用的問題，歸結(jié)起來主要包括：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②判斷（或證明）函數(shù)的單調(diào)性；③函數(shù)單調(diào)性的運用等幾種類型；
（2）解答函數(shù)單調(diào)性級運用問題的基本方法是：①歸結(jié)問題結(jié)構(gòu)特征，判斷問題所屬類型；
②運用解答該類問題的解題思路和基本方法，對問題實施解答；③得出解答問題的結(jié)果。
〔練習(xí)7〕解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)=ln(-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A (- ∞，-2) B (-∞,-1） C (1，+∞) D 〔4，+∞）
2、給定函數(shù)（1）y=，(2)y=(x+1)，(3)y=|x-1|，（4）y=其中在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是（ ）
A (1)(2) B (2)(3) C (3)(4) D (1)(4)
3、函數(shù)y=(2-3x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）
A (1，+ ∞) B (-∞, 〕 C (，+∞) D 〔，∞〕
4、下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（0，1］上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ）
A y=-+2x B y=x+ C y=- D y=1-
5、若函數(shù)f(x)= +ax+在（，+∞）是增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）
A 〔-1，0〕 B 〔-1，+∞） C 〔0，3〕 D 〔3，+∞)
6、能說明“若f(x)＞f(0)對任意的x∈(0，2］都成立，則f(x)在（0，2］上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是 ；
7、已知函數(shù)f(x)= 2ax-1(x＞0)(a是常數(shù)且a＞0),對于下列命題：（1）函數(shù)f(x)在R上是 -2（x≤0），單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)f(x)的最小值是-1；（3）若在〔,+
∞) 上f(x) ＞0恒成立，則a的取值范圍是a＞1；（4）對任意＜0，＜0，且，
恒有＜其中正確命題的序號是 ；
8、已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)=1-，a∈R。
（1）求a的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)。
函數(shù)的單調(diào)性
【考綱解讀】
3、 理解增函數(shù)，減函數(shù)，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)單調(diào)區(qū)間的定義，掌握判斷（或證明）函數(shù)單
調(diào)性的基本方法；
4、 能夠運用函數(shù)的單調(diào)性，解決相關(guān)的數(shù)學(xué)問題。
【知識精講】
一、函數(shù)單調(diào)性的概念：
【問題】認(rèn)真觀察，分析下列圖形，再回答后面的思考問題：
Y y y
100 6 6
50 4 5
-6 -4 -2 0 2 4 6 x 2 4
-50 -2 -1 0 1 2 x 3
-100 -2 2
(1) -4 (2) -5 -4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 x
y y (3)
3 3
2 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 (4) -2 (5)
『思考問題』
(1) 【問題】（1）中的圖像，（2）中在（-∞，-1），（0，1）上圖像，（3）中在（--2，0），（2，+∞）上圖像，（5）中在（0，+∞）上圖像共同特點是自變量增大，函數(shù)值也增大；
(2）【問題】（2）中在（-1，0），（1，+∞）上圖像，（3）中在（-∞，-2），（0，2）上圖像，（4）中圖像，（5）中在（-∞，0）上圖像共同特點是自變量增大，函數(shù)值反而減小。
1、增函數(shù)的定義： y y
設(shè)D是函數(shù)f(x)定義域的子集，任取，∈D， f() f()
且＜，如果f()＞f()都成立，則稱函 f() f()
數(shù)f(x)是區(qū)間D上的增函數(shù)； o x o x
2、減函數(shù)的定義： y f() y f()
設(shè)D是函數(shù)f(x)定義域的子集，任取， f() f()
∈D，且＜，如果f()＜f()都成立， 0 x 0 x
則稱函數(shù)f(x)是區(qū)間D上的減函數(shù)；
3、函數(shù)的單調(diào)性的定義：
函數(shù)具有增函數(shù)（或減函數(shù)）的性質(zhì)，叫做函數(shù)的單調(diào)性；
4、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的定義：
函數(shù)的增函數(shù)（或減函數(shù)）區(qū)間，叫做函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
5、理解函數(shù)單調(diào)性應(yīng)該注意的問題：
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性必須在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行，原因是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集；
（2）函數(shù)的單調(diào)性是一個區(qū)間概念，即使函數(shù)在定義域內(nèi)的各個區(qū)間都是增（或減）函數(shù)，也不能說函數(shù)在定義域內(nèi)是增（或減）函數(shù)；
（3）函數(shù)的單調(diào)區(qū)間可以是開區(qū)間，也可以是閉（或半開半閉）區(qū)間；對于閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)只要在開區(qū)間上單調(diào)，它在閉區(qū)間上也單調(diào)；
（4）函數(shù)單調(diào)性的變化是求函數(shù)值域和最值的主要依據(jù)，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出后，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，是求函數(shù)值域和最值的前提，同時函數(shù)圖像是函數(shù)單調(diào)性的最直觀體現(xiàn)。
二、判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法：
1、判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法有：①定義法；②圖像法；
（1）運用圖像法判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域并作出函數(shù)的圖像；②確定判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間；③在函數(shù)的圖像上找到相應(yīng)的區(qū)間；④根據(jù)函數(shù)圖像得出函數(shù)的單調(diào)性；
（2）運用定義法判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域；②確定判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間；③在相應(yīng)的區(qū)間上任取，，且＜； ④比較函數(shù)值f()，f()的大小；⑤根據(jù)函數(shù)值f()，f()的大小關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性。
2、比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：
（1）比較函數(shù)值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（2）運用求差法比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：①求出函數(shù)值f()-f()的差；②把①中的差與數(shù)0作比較；③若f()-f()的差大于0，則f()＞f()；若f()-f()的差小于0，則f()＜f()；
（3）運用求商法比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：①求出函數(shù)值的商；②把①中的商與數(shù)1作比較；③若的商大于1，則f()＞f()；若的商小于1，則f()＜f()。
3、判斷（或證明）含有參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的基本方法：
對含有參數(shù)的函數(shù)在判斷（或證明）它的單調(diào)性時，應(yīng)注意對參數(shù)按照參數(shù)分類原則和基本方法進(jìn)行分類討論。
三、函數(shù)單調(diào)性的運用：
1、函數(shù)單調(diào)性運用問題的主要類型：
函數(shù)單調(diào)性的運用問題主要包括：①已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值（或取值 范圍）；②運用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域（或最值）；③已知函數(shù)的單調(diào)性，求給定不等式的解集。
2、解答函數(shù)單調(diào)性運用問題的基本方法：
（1）求解已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值（或取值范圍）的基本方法是：①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合問題條件得到關(guān)于參數(shù)的方程（或不等式或不等式組組）；②求解方程（或不等式或不等式組）；③得出參數(shù)的值（或取值范圍）；
（2）求解運用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域（或最值）的基本方法是：①判定函數(shù)的單調(diào)性；②根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最小值（或最大值）；③得出函數(shù)的值域（或最值）；
（3）求解已知函數(shù)的單調(diào)性，求不等式的解集的基本方法是：①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性將原不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于自變量x的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出原不等式的解集。
【探導(dǎo)考點】
考點1判斷（或證明）函數(shù)的單調(diào)性：熱點①已知函數(shù)解析式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；熱點②根據(jù)函數(shù)圖像，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；熱點③判斷（或證明）函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；
考點2函數(shù)的單調(diào)性的運用：熱點①已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的值（或取值范圍）；熱點②已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)在給定區(qū)間值域（或最值）；熱點③已知函數(shù)的單調(diào)性，求解給定的不等式。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)=|x|和g(x)=x(2-x)的遞增區(qū)間依次是（ ）
A （-∞，0〕，（-∞，1〕 B （-∞，0〕，〔1，+∞）
C 〔0，+∞），（-∞，1〕 D 〔0，+∞），〔1，+∞）
【解析】
【知識點】①增函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運用增函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件求出函數(shù)f(x)，g(x)的遞增區(qū)間就可得出選項。
【詳細(xì)解答】 f(x)=｜x｜= x，x 0，g(x)=- +2x，函數(shù)f(x)遞增區(qū)間是〔0，+∞），
-x，x＜0，函數(shù)g(x)的遞增區(qū)間是（-∞，1〕，C正確，
選C。
2、如圖是函數(shù)f(x)（x∈R）的圖像，則（ ） y
A 函數(shù)f(x)先增后減 B函數(shù)f(x)先減后增
C函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù) D 函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù) 0 x
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運用函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件判斷出函數(shù)f(x)，的單調(diào)性就可得出選項。
【詳細(xì)解答】由函數(shù)f(x)（x∈R）的圖像可知，函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，C正確，
選C。
3、下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，2）上為增函數(shù)的是（ ）
A y=3-x B y=+1 C y=- D y=-2x+3
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件對各選項的函數(shù)在區(qū)間（0，2）上的單調(diào)性進(jìn)行判斷就可得出選項。
【詳細(xì)解答】對A，函數(shù)y=3-x在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞減，A錯誤；對B函數(shù)y=+1 在區(qū)間（0，2）上單調(diào)遞增，B正確，選B。
4、已知函數(shù)f(x)= 。
（1）求出函數(shù)的定義域和值域；
（2）畫出函數(shù)的圖像；
（3）判斷函數(shù)在定義域上的單調(diào)性。
【解析】
【知識點】①求函數(shù)定義域的基本方法； ②作函數(shù)圖像的基本方法；③函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)求函數(shù)定義域的基本方法，結(jié)合問題條件就可求出函數(shù)函數(shù)f(x)的定義域；（2）根據(jù)作函數(shù)圖像的基本方法，就可作出函數(shù)f(x)的圖像；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，運用函數(shù)圖像就可判斷函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】（1）函數(shù)f(x)有意義，必有x 0，x＜0或x＞0，函數(shù)f(x)的定義域為（-∞，0）（0，+∞）；（2）作出函數(shù)f(x) y
的圖像如圖所示；（3）根據(jù)函數(shù)圖像可知，函數(shù) 0 x
f(x)在區(qū)間（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞減。
5、如圖是定義在〔-5,5〕上函數(shù)y=f(x)的 y
圖像，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的 3
單調(diào)區(qū)間； 2
【解析】 1
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；② -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。 -1
【解題思路】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件，運用函數(shù)圖像就可判斷函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。
【詳細(xì)解答】根據(jù)函數(shù)圖像可知，函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［-5，-2），［1，3）上單調(diào)遞減，在區(qū)間［-2， 1），［3， 5］單調(diào)遞增。
6、證明函數(shù)f(x)= +2在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)；
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運用函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件就可證明函數(shù)f(x) 在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)。
【詳細(xì)解答】證明：任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+2--2
=（+）（-），+＞0，-＜0， f（）-f（）=（+）（-）＜0， f（）＜f（），函數(shù)f(x) 在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)。
7、判斷函數(shù)f(x)= 在定義域上的單調(diào)性；
【解析】
【知識點】①求函數(shù)定義域的基本方法； ②函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；③判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)求函數(shù)定義域的基本方法求出函數(shù)f(x)的定義域，運用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，分別函數(shù)f(x) 在區(qū)間（-∞，-1］,［1，+∞）上的單調(diào)性進(jìn)行判斷就可得出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)的定義域為（-∞，-1］ ［1，+∞），任取，［1，+∞），且<， f（）-f（）=-=
=＜0，函數(shù)f(x)在區(qū)間［1，+∞）上單調(diào)遞增，同理可得函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，-1］上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，-1］上單調(diào)遞減，在區(qū)間［1，+∞）上單調(diào)遞增。
8、求函數(shù)f(x)=x+ 的單調(diào)區(qū)間；
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運用函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件，對參數(shù)a的可能情況分別考慮，就可得出函數(shù)f(x) 的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)的定義域為（-，0）（0，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+--=（-）（1-），①當(dāng)1-＞0，即＞1時，f（）-f（）=（-）（1-）＜0， f（）＜f（），函數(shù)f(x) 在區(qū)間［1，+∞）上是增函數(shù)；②當(dāng)1-＜0，即＜1時，f（）-f（）=（-）（1-）＞0， f（）＞f（），函數(shù)f(x) 在區(qū)間（0，1）上是減函數(shù)；同理可得函數(shù)f(x) 在區(qū)間（-∞，-1］上是增函數(shù)；在區(qū)間（-1，0）上是減函數(shù)；綜上所述，函數(shù)f(x) 在區(qū)間（-∞，-1］，［1，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-1，0），（0，1）上是減函數(shù)。
9、討論函數(shù)f(x)=x+ (a＞0)的單調(diào)性；
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運用函數(shù)的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件，對參數(shù)a的可能情況分別考慮，就可得出函數(shù)f(x) 的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)的定義域為（-，0）（0，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+--=（-）（1-），①當(dāng)1-＞0，即＞時，f（）-f（）=（-）（1-）＜0， f（）＜f（），函數(shù)f(x) 在區(qū)間［，+∞）上是增函數(shù)；②當(dāng)1-＜0，即＜時，f（）-f（）=（-）（1-）＞0， f（）＞f（），函數(shù)f(x) 在區(qū)間（0，）上是減函數(shù)；同理可得函數(shù)f(x) 在區(qū)間（-∞，-］上是增函數(shù)；在區(qū)間（-，0）上是減函數(shù)；綜上所述，當(dāng)a＞0時，函數(shù)f(x) 在區(qū)間（-∞，-］，［，+∞）上是增函數(shù)，在區(qū)間（-，0），（0，）上是減函數(shù)。
10、討論函數(shù)f(x)= （a＞0)在（-1,1）上的單調(diào)性。
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件，就可得出函數(shù)f(x) 在區(qū)間（-1,1）上的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】任取，（-1，1），且<，f（）-f（）= -
= = ＞0，函數(shù)f(x) 在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減。
『思考問題1』
（1）判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法有：①定義法；②圖像法；
（2）運用圖像法判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域并作出函數(shù)的圖像；②確定判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間；③在函數(shù)的圖像上找到相應(yīng)的區(qū)間；④根據(jù)函數(shù)圖像得出函數(shù)的單調(diào)性；
（4） 運用定義法判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①求出函數(shù)的定義域；②確
定判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的區(qū)間；③在相應(yīng)的區(qū)間上任取，，且＜； ④比較函數(shù)值f()，f()的大小；⑤根據(jù)函數(shù)值f()，f()的大小關(guān)系得出函數(shù)的單調(diào)性
（4）比較函數(shù)值f()，f()的大小的基本方法有：①求差法；②求商法；
（5）運用求差法比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：①求出函數(shù)值f()-f()的差；②把①中的差與數(shù)0作比較；③若f()-f()的差大于0，則f()＞f()；若f()-f()的差小于0，則f()＜f()；
（6）運用求商法比較函數(shù)值f()，f()大小的基本方法：①求出函數(shù)值的商；②把①中的商與數(shù)1作比較；③若的商大于1，則f()＞f()；若的商小于1，則f()＜f()。
（7）對含參數(shù)的函數(shù)在判斷（或證明）它的單調(diào)性時，應(yīng)注意對參數(shù)按照分類討論的原則和基本方法，對參數(shù)的可能情況分別求解，之后綜合得出結(jié)論。
〔練習(xí)1〕解答下列問題：
1、下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,2）上為增函數(shù)的是（ ） （答案：B）
A y=-x+1 B y= C y=-4x+5 D y=
2、函數(shù)y= 的單調(diào)遞減區(qū)間是（ ）（答案：C）
A ［0，+∞） B （-∞，0〕 C （-∞，0），（0，+∞） D （-∞，0）（0，+∞）
3、若函數(shù)f(x)在（-∞，+∞）上為減函數(shù)，則（ ）（答案：D）
A f(a)＞f(2a) B f(a) ＜f(2a) y
C f(-1) ＜f(a) D f(+1) ＜f(a) 4
4、如圖是函數(shù)y=f(x)的圖像，根據(jù)圖像判斷 3
函數(shù)的單調(diào)性，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； 2
（答案：函數(shù)f(x) 在（-1，0），（2，4）上 1
單調(diào)遞減；在（0，2），（4，5）上單調(diào)遞增。） -1 0 1 2 3 4 5 x
5、證明函數(shù)f(x)=-2x+1在R上是減函數(shù)；（提示：可用定義法進(jìn)行證明）
6、證明：①函數(shù)f(x)= +1在（-∞，0）上是減函數(shù)；②函數(shù)f(x)= 1- 在（-∞，0）上是增函數(shù)；（提示：可用圖像法進(jìn)行證明）
7、如果二次函數(shù)f(x)= -(a-1)x+5在區(qū)間（，1）上是增函數(shù)，求f(2)的取值范圍；（答案：f(2)的取值范圍是［7，+∞）.）
8、討論函數(shù)f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的單調(diào)性；（答案：函數(shù)f(x)在區(qū)間（-1，1）上單調(diào)遞減。）
9、已知函數(shù)f(x)= 4-kx-8在〔5，20〕上具有單調(diào)性，求實數(shù)k的取值范圍。（答案：實數(shù)k的取值范圍是（-∞，20］［160，+∞）.）
【典例2】解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)=|x|(1-x)在區(qū)間A上是增函數(shù)，那么區(qū)間A是（ ）
A （-∞，0） B ［0，］ C 〔0，+∞） D （，+∞）
【解析】
【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】運用分段函數(shù)的性質(zhì)和判斷分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件求出函數(shù)f(x)遞增區(qū)間就可得出選項。
【詳細(xì)解答】 f(x)=|x|(1-x)= -+x，x 0，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖知函
-x，x＜0，數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是［0，］，B正確，選B。
2、函數(shù)f(x)=- +2|x|+3的單調(diào)遞增區(qū)間為 ；
【解析】
【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)絕對值的定義得到函數(shù)f(x)的分段函數(shù)表示式，運用分段函數(shù)的性質(zhì)和判斷分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法，就可求出函數(shù)f(x)單調(diào)遞增區(qū)間。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)= - +2x+3，x≥0， y
- -2x+3，x＜0，
作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，由圖知，函數(shù) -3 -2 -1 0 1 2 3 x
f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-1）, （0，1）。
3、求函數(shù)f(x)=|x-1|-|2-3x|的單調(diào)區(qū)間并判斷函數(shù)的單調(diào)性；
【解析】
【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)絕對值的定義得到函數(shù)f(x)的分段函數(shù)表示式，運用分段函數(shù)的性質(zhì)和判斷分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法，就可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并求出函數(shù)f(x)單調(diào)區(qū)間。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)= -4x+3，x＜，根據(jù)一元一次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f(x) 在區(qū)間
2x-1，≤x＜1，（-∞，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間［，1）
4x-3，x≥1，上單調(diào)遞增，在區(qū)間［1，+∞）上單調(diào)遞增。
4、判斷函數(shù)f(x)= +的單調(diào)性；
【解析】
【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)絕對值的定義得到函數(shù)f(x)的分段函數(shù)表示式，運用分段函數(shù)的性質(zhì)和判斷分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法，就可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=}x-3|+|x+3|= -2x，x＜-3，根據(jù)一元一次函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f(x)
6，-3≤x＜3，在區(qū)間（-∞，-3）上單調(diào)遞減，在區(qū)
2x，x≥3，間［-3，3）不具有單調(diào)性，在區(qū)間［3，+∞）上單調(diào)遞增。
2-1 (x≥0)
5、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性。
-3x (x＜0)
【解析】
【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②判斷（或證明）分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)根據(jù)一元二次函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)，運用絕分段函數(shù)的性質(zhì)和判斷分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法，就可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】當(dāng)x≥0時，函數(shù)f(x)= 2-1是對稱軸為Y軸的一元二次函數(shù)，當(dāng)x＜0時，
函數(shù)f(x)= -3x是正比例函數(shù)，函數(shù)f(x) 在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞減，在區(qū)間［0，+∞）上單調(diào)遞增。
『思考問題2』 a，a≥0，
（1）=|a|= -a，a＜0；
（2）判斷（或證明）分段函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①判斷（或證明）函數(shù)在各段上的單調(diào)性；②綜合得出分段函數(shù)的單調(diào)性。
〔練習(xí)2〕解答下列問題： ， x≥0，
1、判斷分段函數(shù) f(x)= -x+1 ， x＜0，的單調(diào)性；（答案：函數(shù)f(x)在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在［0，+∞）上單調(diào)遞增）
2、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性。（答案：函數(shù)f(x)在（-∞，-2）上單調(diào)遞減，在［2，+∞）上單調(diào)遞增）
【典例3】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)=，則該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A （-∞，1］ B ［3，+∞） C （-∞，-1］ D ［1，+∞）
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③二次根式的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)= -2x-3，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，利用判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間就可得出選項。 y
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)= -2x-3，作出函數(shù)g(x)的圖
像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定義域為（-∞，-1］
［3，+∞），函數(shù)g(x)在區(qū)間（-∞，-1］上單調(diào)遞減， -1 0 1 2 3 x
在區(qū)間［3，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（g(x)）在區(qū)間（-∞，-1］，［3，+∞）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在區(qū)間［3，+∞）上單調(diào)遞增，B正確，選B。
2、函數(shù)f(x)= （-4）的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A （0，+∞） B （-∞，0） C （2，+∞） D （-∞，-2）
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)= -4，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，利用判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間就可得出選項。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)= -4，作出函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定義域是（-，-2）（2，+），函數(shù)g(x)在（-，-2）上單調(diào)遞減，在（2，+）上單調(diào)遞增，0<<1，函數(shù)f（g(x)）在（-，-2），（2，+）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x) 在（-，-2）上單調(diào)遞增，在（2，+）上單調(diào)遞減，D正確，選D。
3、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③一元一次函數(shù)的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)=2x-3，根據(jù)一元一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)的定義域為R，判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，利用判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法就可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)= 2x-3，函數(shù)f(x)的定義域是R，函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增， 函數(shù)f（g(x)）在區(qū)間（-，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間［，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在區(qū)間在區(qū)間（-，）上單調(diào)遞減，在區(qū)間［，+）上單調(diào)遞增。
4、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元一次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③二次根式的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)=3x-1，根據(jù)一元一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)的定義域為［，+），判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，利用判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法就可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)= 3x-1，函數(shù)f(x)的定義域為［，+），函數(shù)g(x)在區(qū)間［，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（g(x)）在區(qū)間［，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在區(qū)間［，+）上單調(diào)遞增。
5、求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間。
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元一次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③絕對值的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)=}x|-3，根據(jù)絕對值和一元一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)的定義域為R，判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，利用判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法就可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)= |x|-3= x-3，x≥0，函數(shù)f(x)的定義域為R，函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，
-x-3，x＜0，+）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-，0）上單調(diào)遞減，
函數(shù)f（g(x)）在區(qū)間［-3，0），［3，+）上單調(diào)遞增，在區(qū)間（-，-3），（0，3）上單調(diào)遞減， 函數(shù)f（x）在區(qū)間［-3，0），（0，3）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（-，-3），［3，+）上單調(diào)遞增。
6、判斷函數(shù)f(x)= (2-3x)的單調(diào)性；
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元一次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)=2-3x，根據(jù)對數(shù)函數(shù)和一元一次函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)f(x)的定義域為（-，），判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，利用判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法就可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=2-3x，函數(shù)f(x)的定義域為（-，），函數(shù)g(x)在區(qū)間（-，）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（g(x)）在區(qū)間（-，）上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-，）上單調(diào)遞減。
7、判斷函數(shù)f(x)= |-x-12|的單調(diào)性；
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)= |-x-12|，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，運用判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法就可判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)= |-x-12|，作出函數(shù)g(x)的圖像 如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定
義域是（-，-3）（-3，4）（4，+），函數(shù)g(x)在（-，-3），（，4）上單調(diào)遞減，在（-3，），（4，+）上單調(diào)遞增，0<0.5<1，函數(shù)f（g(x)）在（-，-3），（-3，），（，4），（4，+）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x) 在（-，-3），（，4）上單調(diào)遞增，在（-3，），（4，+）上單調(diào)遞減。
8、求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間；
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)= -3x-4，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)= -3x-4，作出函數(shù)g(x)的圖像 y
如圖所示，由圖知函數(shù)f(x)的定義域是R，函數(shù)g(x)
在（-，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，
e>1，函數(shù)f（g(x)）在（-，），（，+）上 -2-1 0 1 2 3 4 x
單調(diào)遞增，函數(shù)f(x) 在（-，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增。
9、是否存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)= （a-x）在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)？如果存在說明a可以取哪些值；如果不存在，請說明理由。
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】設(shè)存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)= （a-x）在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)，g(x)= a-x，根據(jù)二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，確定函數(shù)f(x)的定義域，并判斷函數(shù)g(x)在定義域上的單調(diào)性，把函數(shù)g(x)視為中間變量，判斷f（g(x)）在定義域上的單調(diào)性，運用判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組求出實數(shù)a的取值范圍就可得出結(jié)論。
【詳細(xì)解答】設(shè)存在實數(shù)a，使函數(shù)f(x)= （a-x）在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)，g(x)= a-x，作出函數(shù)g(x)的圖像如圖所示，由圖知 y
函數(shù)f(x)的定義域是（-，0）（，+），函數(shù)g(x)
在（-，0）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，
函數(shù)f(x) 在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)， a>1 ①， -1 0 x
＜2②，聯(lián)立①②解得：a>1， 存在實數(shù)a（1，+），使函數(shù)f(x)= （a-x）在閉區(qū)間［2，4］上是增函數(shù)。
『思考問題3』
（1）【典例3】中的函數(shù)的共同特點是：①將函數(shù)解析式中的某個式子視為一個整體未知數(shù)可以得到一個簡單的函數(shù)；②簡單函數(shù)的自變量又是一個函數(shù)；具有這種特點的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)；
（2）判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的的法則是同增異減；
（3）判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的法則中的“同”是指內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的單調(diào)性相同；“異”是指內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的單調(diào)性相異。
〔練習(xí)3〕解答下列問題：
1、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；（答案：函數(shù)f(x)在（-，）上單調(diào)遞減，在（，+）上單調(diào)遞增，）
2、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；（答案：函數(shù)f(x) （-，2］上單調(diào)遞減.）
3、求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間。（答案：函數(shù)f(x)在（-，0）上單調(diào)遞減，在（0，+）上單調(diào)遞增，）
4、判斷函數(shù)f(x)= 的單調(diào)性；（答案：函數(shù)f(x)在（-，1）上單調(diào)遞減，在（1，+）上單調(diào)遞增，）
5、判斷函數(shù)f(x)= (3-2x)的單調(diào)性；（答案：函數(shù)f(x) （-，）上單調(diào)遞減.）
6、判斷函數(shù)f(x)= |+2x-15|的單調(diào)性；（答案：函數(shù)f(x)在（-，-5）（-1，3）上單調(diào)遞增，在（-5，-1）（3，+）上單調(diào)遞減，）
【典例4】解答下列問題：
1、已知函數(shù)y=f(x)對任意的x，y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）,且當(dāng)x＞0時，f(x)＜0，
f(1)=- 。
（1）判斷并證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性；
（2）求f(x)在區(qū)間〔-3,3〕上的最大值和最小值。
【解析】
【知識點】①抽象函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；③數(shù)學(xué)賦值法及運用；④判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】（1）運根據(jù)定義法判斷（或證明）函數(shù)的單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件，運用賦值法比較f()， f()的大小就可證明函數(shù)f(x)在R上的單調(diào)性，這里怎樣賦值是解答問題的關(guān)鍵，注意問題中當(dāng)x＞0時，f(x)＜0的條件，現(xiàn)在已經(jīng)有->0，這樣就需要在x，y中賦一個-，由恒等式x+y=，從而可知x，y中的另一個只能賦；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可得f(x)在〔-3，3〕上單調(diào)遞減，從而得到= f(-3)，= f(3)，求出f(-3)，f(3)的值就可得出結(jié)果。
【詳細(xì)解答】（1）設(shè)，∈R ，且>，->0，當(dāng)x＞0時，f(x)＜0， f(-)<0，
令x=-，y=，函數(shù)y=f(x)對任意的x、y∈R,均有f(x)+f(y)=f（x+y）, f(-)+
f()=f(-+)=f()， f()-f()=f(-)<0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減；（2）由（1）可知函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)在〔-3，3〕上單調(diào)遞減，
= f(-3)，= f(3)， f(1)=- ， f(2)= f(1+1)= f(1)+ f(1)= - - =- ，f(3)= f(2+1)= f(2)+ f(1)= - - =-2， f(0)= f(0+0)= f(0)+ f(0)，
f(0)=0，f(0)= f(3-3)= f(3)+ f(-3)=0， f(-3)+=-f(3)=-（-2）=2, 當(dāng)x∈〔-3，3〕時，= f(-3)=2，= f(3)=-2。
2、定義在R上的函數(shù)y=f(x)，f(0)≠0,當(dāng)x＞0時，f(x)＞1，且對任意的a，b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)。
（1）證明：f(0)=1；
（2）證明：對任意的x∈R，恒有f(x)＞0；
（3）證明：函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)；
（4）若f(x).f(2x-)＞1,求x的取值范圍。
【解析】
【知識點】①抽象函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；③數(shù)學(xué)賦值法及運用；④判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法；⑤求解不等式的基本方法。
【解題思路】（1）根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)和賦值法的基本方法，結(jié)合問題條件，令a=b=0，得到關(guān)于f(0)的方程，求解方程就可證明f(0)=1；（2）由（1）可得f(0)=1>0，問題條件已知當(dāng)x＞0時，f(x)＞1>0，現(xiàn)在只需證明當(dāng)x<0時，f(x)＞0就可得到結(jié)論，設(shè)x<0，則-x>0，令a=x,b=-x,依據(jù)對任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)得到f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x),可以證明f(x)>0；（3）根據(jù)定義法判斷（或證明）函數(shù)的單調(diào)性的基本方法，這里比較f()， f()的大小可借助于恒等式運用賦值法進(jìn)行，怎樣賦值是解答問題的關(guān)鍵，注意問題中當(dāng)x＞0時，f(x)>1的條件，現(xiàn)在已經(jīng)有->0，這樣需要在x，y中賦一個-，由恒等式x+y=，從而可知x，y中的另一個只能賦，代入恒等式就可以得到結(jié)論；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，可得f(x)在R上單調(diào)遞增，根據(jù)f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0)
.f(3x-)> f(0) 3x->0，解這個不等式即可得到結(jié)果。
【詳細(xì)解答】（1）令a=b=0，對任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)， f(0+0)=f(0).f(0)， f(0)（f(0)-1）=0， f(0)≠0, f(0)-1=0， f(0)=1；（2）設(shè)x<0，則-x>0，令a=x,b=-x, 對任意的a、b∈R，均有f(a+b)=f(a).f(b)，f(0)=f(x-x)=f(x).f(-x), f(x)= >0， f(0)=1>0，當(dāng)x＞0時，f(x)＞1>0，對任意的 x∈R，恒有f(x)＞0；（3）設(shè)，∈R ，且>，->0，當(dāng)x＞0時，f(x)>1， f(-)>1，令a=-，b=，函數(shù)y=f(x)對任意的a、b∈R, 均有f(a+b)=f(a).f(b), f(-+)=f().f(-)， f()=f().f(-)，
= f(-)>1，函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)；（4）根據(jù)（3）的結(jié)論，可得f(x)在R上單調(diào)遞增，f(x).f(2x-)＞1, .f(2x-+x)> f(0).f(3x-)> f(0) 3x->0，0『思考問題4』
（1）【典例4】中的函數(shù)的共同特點是：①函數(shù)沒有確定的解析式；②已知函數(shù)在R上滿足的一個恒等式等式；具有這種特點的函數(shù)稱為抽象函數(shù)；
（2）判斷（或證明）抽象函數(shù)單調(diào)性的基本方法是：①在R上任取，，且＜；②通過賦值法比較函數(shù)值f()，f()的大小；③ 得出抽象函數(shù)的單調(diào)性；
（3）在抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷（或證明）中，比較函數(shù)值f()，f()的大小是采用賦值法，具體賦什么值應(yīng)該從問題的已知條件入手。
〔練習(xí)4〕解答下列問題：
1、已知f(x)在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，且滿足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)≤2；（答案：不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集為（8，9]。）
2、設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且對任意的實數(shù)m、n都有f(m).f(n)=f(m+n)，當(dāng)x＜0時，f(x)＞1.
①證明：f(0)=1；
②證明：當(dāng)x＞0時，0＜f(x)＜1；
③f(x)是R上的減函數(shù)。（答案：①提示：賦值m=n=0就可證明結(jié)論；②提示：m=x＞0，n=-x＜0,結(jié)合問題條件就可證明結(jié)論；③提示：運用定義法進(jìn)行證明）
3、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意的實數(shù)x、y都滿足f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x＞0時，f(x)＞0.
證明：函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)。（提示：運用定義法進(jìn)行證明）
【典例5】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)的圖像向左平移1個單位后關(guān)于y軸對稱，當(dāng)＞＞1時，［f()-f()］.（-）＜0，恒成立，設(shè)a=f(-)，b=f(2)，c=f(3)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）
A c＞a＞b B c＞b＞a C a＞c＞b D b＞a＞c
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②偶函數(shù)的定義與性質(zhì)；③比較實數(shù)大小的基本方法；④求函數(shù)值的基本方法。
【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到f(x+1)= f(-x+1)，從而得到f(-x)= f(x+2)，f(-)=f(-+2)= f()，運用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，得到函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，利用實數(shù)比較大小的基本方法求出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)的圖像向左平移1個單位后關(guān)于Y軸對稱，函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)， f(x+1)= f(-x+1)， f(-x)= f(x+2)， f(-)=f(+2)= f()，當(dāng)＞＞1時，［f()-f()］.（-）＜0，恒成立，函數(shù)f(x)在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，
1＜2＜＜3， b=f(2)＞a=f(-)= f()＞c=f(3)，D正確，選D。
2、已知函數(shù)f(x)= (2-ax)在（0,1）上是x的減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性的定義與判斷方法；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④運用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)解析式中參數(shù)取值范圍的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)=2-ax，根據(jù)對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)得到a>0，且a1，從而可知函數(shù)g(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法則，結(jié)合問題條件得出函數(shù)f(g(x))在（0，1）上單調(diào)遞增，運用對數(shù)的性質(zhì)就可求出參數(shù)a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】 a>0，且a1，函數(shù)g(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數(shù)，函數(shù)f(g(x))在（0，1）上單調(diào)遞增，a>1，若函數(shù)f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（1，+∞）。
3、設(shè)函數(shù)f(x)=lg，若當(dāng)x∈(-∞,1〕時，f(x)有意義，求實數(shù)a的取值范圍；
【解析】
【知識點】①復(fù)合函數(shù)的定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法；⑤運用函數(shù)單調(diào)性求函數(shù)解析式中參數(shù)取值范圍的基本方法。
【解題思路】設(shè)g(x)= ，運用對數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)，結(jié)合問題條件得到>0在(-∞,1〕上恒成立，從而得出>0在(-∞,1〕上恒成立，分離參數(shù)a得到a>--在(-∞,1〕上恒成立，令h(x)= --，判斷函數(shù)h(x) 在(-∞,1〕上的單調(diào)性，求出函數(shù)h(x)在(-∞,1〕上的最大值就可求出參數(shù)a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=lg在(-∞,1〕上有意義，>0在(-∞,1〕上恒成立，>0在(-∞,1〕上恒成立， a>--在(-∞,1〕上恒成立，
設(shè)h(x)= --，函數(shù)h(x) 在(-∞,1〕上的單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(-∞,1〕時，
= h(1)=- - =- ，a>-，當(dāng)函數(shù)f(x)=lg在(-∞,1〕上有意義時，實數(shù)a的取值范圍是（-，+∞）。
4、求函數(shù)f(x)=2x-1- 的最大值；
【解析】
【知識點】①二次根式的定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)換元法及運用；③求一元二次函數(shù)最值的基本方法。
【解題思路】設(shè)t=，t［0，+），得到x=，從而得到 y=2-1-t=-（+2t+1）+6=-+6，運用一元二次函數(shù)求最值的基本方法就可求出函數(shù)y=2x-1- 的最大值。
【詳細(xì)解答】設(shè)t=，t［0，+），x=， y=2-1-t=-（+2t+1）+6=-+6，函數(shù)y在［0，+）上單調(diào)遞減，y=-+6，即函數(shù)y=2x-1- 的最大值為。
5、已知函數(shù)f(x)=（a-3）x+4a（x≥0）滿足對任意的，都有＜0成立，（x＜0）則實數(shù)a的取值范圍是 。
【解析】
【知識點】①分段函數(shù)的定義與性質(zhì)；②一元一次函數(shù)的定義與性質(zhì)；③指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；④判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對任意的，都有＜0成立，得到函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞減，運用指數(shù)函數(shù)和一元一次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組就可求出實數(shù)a的取值范圍。
【詳細(xì)解答】對任意的，都有＜0成立，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)
遞減，a-3＜0①，0＜a＜1②，聯(lián)立①②解得：0＜a＜1，實數(shù)a的取值范圍是（0，1）。
6、已知f(x)在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，且滿足：f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1,試解不等式f(x)+f(x-8)≤2；
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②數(shù)學(xué)賦值法及運用；③求解不等式組的基本方法。
【解題思路】根據(jù)數(shù)學(xué)賦值法和已知恒等式，得到2=1+1= f(3)+ f(3)= f(9)，f(x)+f(x-8)= f（x(x-8)）= f（-8x），運用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)得到關(guān)于x的不等式組，求解不等式組就可求出不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集。
【詳細(xì)解答】 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1, f(x)+f(x-8)= f（x(x-8)）= f（-8x），
2=1+1= f(3)+ f(3)= f(9)，不等式f(x)+f(x-8)≤2，等價于f（-8x）≤f(9)，函數(shù) f(x)在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，-8x≤9①，x-8＞0②，x＞0③，聯(lián)立①②③解得：8＜x≤9，不等式f(x)+f(x-8)≤2的解集為（8,9］。
7、已知函數(shù)f(x)是定義在［-1,1］上的增函數(shù)，且f(x-1)＜f(1-3x)，求x的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②求解不等式組的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)f(x)是定義在［-1,1］上的增函數(shù)，得到關(guān)于x的不等式組，求解不等式組就可求出x的取值范圍。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)是定義在［-1,1］上的增函數(shù)，f(x-1)＜f(1-3x)，x-1＜1-3x①，-1≤x-1≤1②，-1≤1-3x≤1③，聯(lián)立①②③解得：0≤x＜，x的取值范圍是［0，）。
『思考問題5』
（1）【典例5】中1是運用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小問題，解答這類問題的基本方法是：①確定自變量的大小，②運用函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小；
（2）【典例5】中2，5是已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)解析式中參數(shù)的取值范圍的問題，解答這類問題基本方法是：①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于參數(shù)的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出參數(shù)的取值范圍；
（3）【典例5】中4是運用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)值域或最值的問題，解答這類問題的基本方法是：①運用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在給定區(qū)間上的最值；②得出函數(shù)的值域（或最值）；
（4）【典例5】中6，7是已知函數(shù)的單調(diào)性，求不等式的解集的問題，解答這類問題的基本方法是：①根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到關(guān)于自變量的不等式（或不等式組）；②求解不等式（或不等式組）；③得出不等式的解集。
〔練習(xí)5〕解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)（x∈R）的圖像如圖所示，則 y |
函數(shù)g(x)=f(x) (0＜a＜1)的單調(diào)減區(qū)間 |
是（ ）（答案：A） 0 x
A （0，〕 B〔，1〕 C （-∞，0）∪〔，+∞） D 〔，〕
2、如果函數(shù)f(x)=a+2x-3在區(qū)間（-∞，4）上是單調(diào)遞增的，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0 （答案：D）
3、已知函數(shù)f(x)= （2-a）x+1，x＜1，滿足對任意，都有＞0成立， ，x1，那么實數(shù)a的取值范圍是 ；（答案：實數(shù)a的取值
范圍是（1，2））
4、定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)在（0，+∞）上單調(diào)遞增，且f()=0，則滿足f(x)＞0的x的集合為 ；（答案：滿足f(x)的x的集合為（0，）。）
5、求函數(shù)f(x)= 的單調(diào)區(qū)間；（答案：函數(shù)f(x)在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，4）上單調(diào)遞增）
6、求函數(shù)f(x)=x+2+的最值；（答案：函數(shù)f(x)的最大值為2+，無最小值）
7、函數(shù)f(x)對任意的m，n∈R，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且x＞0時，恒有f(x)＞1.
（1）求證：f(x)在R上是增函數(shù)；（提示：用定義法證明）
（2）若f(3)=4，解不等式f(+a-5)＜2。（答案：不等式f(+a-5)＜2的解集為（-3，2）。）
【雷區(qū)警示】
【典例6】解答下列問題：
1、求函數(shù)f(x)=的單調(diào)遞減區(qū)間。
【解析】
【知識點】①二次根式定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)定義與性質(zhì)；③判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基
本方法。
【解題思路】根據(jù)二次根式和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運用判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)
合問題條件，就可求出函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x )=2-3x+1，作出函數(shù)g(x )的圖像如圖所示，函數(shù)f(x)的定義域為
（-，][1，+），由圖知函數(shù)g(x ) y
在（-，]上單調(diào)遞減，在[1，+）上
單調(diào)遞增，函數(shù)f(g(x ))在（-，]，[1， 0 1 x
+）單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是（-，]。
2、已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，且在（0，+）上是減函數(shù)，判斷函數(shù)f(x)在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。
【解析】
【知識點】①減函數(shù)定義與性質(zhì)；②偶函數(shù)定義與性質(zhì)；③判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)減函數(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)，運用判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條
件，就可判斷函數(shù)f(x)在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)在（-，0）上是增函數(shù)，證明：任取， （-，0），且<，則-，- （0，+），且-<-，函數(shù)f(x)在（0，+）上是減函數(shù)，f(-)>f(-)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，f()=f(-)，f()=f(-)，f()>f()，函數(shù)f(x)在（-，0）上是增函數(shù)。
3、定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，則（ ）
A f(-25)【解析】
【知識點】①奇函數(shù)定義與性質(zhì)；②周期函數(shù)定義與性質(zhì)；③判斷函數(shù)周期性的基本方
法。
【解題思路】根據(jù)奇函數(shù)和周期函數(shù)的性質(zhì)，運用判斷函數(shù)周期性的基本方法，結(jié)合問題
條件，得到函數(shù)函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，從而判斷出 f(-25)，f(11),，f(80) 的大
小關(guān)系就可得出選項。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，f(x)=-f(x+4)，f(x+4)=-f(x+8)，f(x)=f(x
+8)，函數(shù)函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù)，函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，
f(0)=0，f(x)=-f(x-4)=f(4-x)，函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于直線x=2對稱，f(-25)=f(-1)，f(11)
=f(3)，f(80) =f(0) ，函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)，f(3)=f(1)>f(0)，f(-1)『思考問題6』
（1）【典例6】是解答函數(shù)單調(diào)性問題時，容易觸碰的雷區(qū)，該類問題常見的雷區(qū)主要是忽視函數(shù)的定義域，尤其是對函數(shù)解析式變形時，忽視函數(shù)解析式變形對函數(shù)定義域的影響，導(dǎo)致解答出現(xiàn)錯誤；
（2）解答函數(shù)單調(diào)性問題時，為避免忽視函數(shù)的定義域的雷區(qū)，一定注意問題涉及函數(shù)的
定義域，尤其是判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性問題時，需要正確確定函數(shù)的定義域。
〔練習(xí)6〕解答下列問題：
3、 函數(shù)f(x)=|x|(1-x)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）（答案：B）
A （-，0） B [0，] C [0，+] D （，+）
2、已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且在（0，+）上是增函數(shù)，判斷函數(shù)f(x)在（-，0）上是增函數(shù)還是減函數(shù)，并加以證明。（答案:函數(shù)f(x)在（-，0）上是增函數(shù)，證明略）
【考題演練】
【典例7】解答下列問題：
1、已知函數(shù)f(x)=+1，x≥1，在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
(2-a)x+2，x<1，（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯(lián)盟考試）
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
【解析】
【考點】①指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性定義與性質(zhì)；③判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法；④求解不等式組的基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，運用判斷（或證明）函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a的不等式組，求解不等式組求出實數(shù)a的取值范圍就可得出選項。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，a>1①，2-a>0②，a+1≥2-a+2③,聯(lián)立①②③
解得：≤a<2，若函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是[，2）,D正確，選D。
4、 已知函數(shù)f(x)=（m+4x+3），mR，若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，+）上單調(diào)遞
增，則m的取值范圍為（ ）（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯(lián)盟考試）
A （-，2] B [2，+） C （，2] D （0，2]
【解析】
【考點】①一元二次函數(shù)定義與性質(zhì)；②復(fù)合函數(shù)定義與性質(zhì)；③對數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；④判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)一元二次函數(shù)，復(fù)合函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，運用判斷（或證明）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件確定出滿足條件得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組求出m的取值范圍就可得出選項。
【詳細(xì)解答】設(shè)函數(shù)g(x)=m+4x+3，2>1，函數(shù)f(g(x))在定義域上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1，+）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x)在區(qū)間[-1，+）上單調(diào)遞增，m>0①，-≤-1②，聯(lián)立①②解得：03、下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在定義域內(nèi)是增函數(shù)的有（ ） （成都市高2023級2023-2024上期末名校聯(lián)盟考試）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
【解析】
【考點】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性定義與性質(zhì)；③判斷函數(shù)奇偶性的基本方法；④判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)，運用判斷函數(shù)奇偶性和函數(shù)單調(diào)性的基本方法，對各選項函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性進(jìn)行判斷就可得出選項。
【詳細(xì)解答】對A，函數(shù) f(x)的定義域是 （-，0）（0，+）關(guān)于原點對稱，f(-x)=-x-
=-（x+） =- f(x)，函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，但在定義域既有單調(diào)遞減區(qū)間，也有單調(diào)遞增區(qū)間，A錯誤；對B，函數(shù) f(x)的定義域是R關(guān)于原點對稱，，f(-x)=+=f(x)，函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，B錯誤；對C，函數(shù) f(x)的定義域是R關(guān)于原點對稱，f(-x)=-
=-（-）=-f(x)，函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，函數(shù) f(x)是R上的增函數(shù)，C正確；對D，函數(shù) f(x)的定義域是R關(guān)于原點對稱，f(-x)=--2 -x=-（2+x ）=-f(x)，函數(shù) f(x)是奇函數(shù)，函數(shù) f(x)是R上的增函數(shù)， D正確， C，D正確，選C，D。
4、已知函數(shù)f(x)為定義在R的偶函數(shù)，在區(qū)間[0，+）上單調(diào)遞減，且滿足f(3)=0，則不等式<0的解集為 。（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯(lián)盟考試）
【解析】
【考點】①偶函數(shù)定義與性質(zhì)；②函數(shù)單調(diào)性定義與性質(zhì)；③求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據(jù)偶函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，運用求解不等式的基本方法，結(jié)合問題條件
就可求出不等式<0的解集。 y
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)為定義在R的偶函數(shù)， f(x)
在區(qū)間[0，+）上單調(diào)遞減，且滿足f(3)=0，
作出函數(shù)f(x)的大致圖像如圖所示，不等 -3 -2 -1 0 1 2 3 x
式<0，<0，自變量
x與函數(shù)f(x)的值異號，由圖知-33，不等式<0的解集為（-3，0）（3，+）。
5、已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=f(1+x)，且在[1，+）上單調(diào)遞增，若a=f(),
b=f(2),c=f(),則a，b，c的大小關(guān)系為（）（成都市高2023級2023-2024上期末調(diào)研考試）
A c>a>b B c>b>a C a>b>c D b>a>c
【解析】
【考點】①對數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)定義與性質(zhì)；③函數(shù)單調(diào)性定義與性質(zhì)；④函數(shù)圖像定義與性質(zhì)；⑤比較實數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)對數(shù)，指數(shù)，函數(shù)單調(diào)性和函數(shù)圖像的性質(zhì)，運用比較實數(shù)大小的基本方法，結(jié)合問題條件得出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項。
【詳細(xì)解答】義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(1-x)=f(1+x)，b=f(2)=f(1-)=f(1
+)=f(),c=f()=f(1-6)=f(1+6)=f(12),1<<<<2<3<12，函數(shù)f(x)在[1，+）上單調(diào)遞增， c>a>b ，A正確，選A。
6、已知函數(shù)f(x)=，記a=f()，b=f()，c=f()，則（）（2023全國高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考點】①復(fù)合函數(shù)定義與性質(zhì)；②判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法；③運用函數(shù)單調(diào)性比較實數(shù)大小的基本方法。
【解題思路】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運用判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件得到函數(shù)f(x)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性比較實數(shù)大小的基本方法，求出a，b，c的大小關(guān)系就可得出選項。 y
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=-，作出函數(shù)g(x)的 0 1 x
圖像如圖所示，由圖知函數(shù)g(x)在（-，1）上
單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，函數(shù)f(g(x))在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（-，1）上單調(diào)遞增，在（1，+）上單調(diào)遞減，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正確，選A。
8、 設(shè)函數(shù)f(x)=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是（ ）（2023全國高
考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
【解析】
【考點】①復(fù)合函數(shù)定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)定義與性質(zhì)；③判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，運用判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的基本方法，結(jié)合問題條件得到關(guān)于a的不等式，區(qū)間不等式求出a的取值范圍就可得出選項。
【詳細(xì)解答】設(shè)g(x)=x（x-a）=-ax，函數(shù)f(g(x))在R上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，函數(shù)g(x)在（0，1）上單調(diào)遞減，x=-=≥1，a≥2，即若函數(shù)f(x)=在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是[2，+），D正確，選D。
8、若函數(shù)f(x)=kx-2lnx，在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）（成都市2020級高三零診）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考點】①函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法；②運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)求導(dǎo)公式，法則和基本方法，結(jié)合問題條件求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù) (x)，運用函數(shù)導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法得到關(guān)于k的不等式，求解不等式求出實數(shù)k的取值范圍就可得出選項。
【詳細(xì)解答】 (x)= k-=，①當(dāng)k0時， (x)<0在（1，+）恒成立，函數(shù)f(x)在（1，+）上單調(diào)遞減，與題意不符；②當(dāng)k>0時，令 (x)=0解得x=，函數(shù)f(x)=kx-2lnx，在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增， 1，k2，綜上所述，若函數(shù)f(x)=kx-2lnx，在區(qū)間（1，+）單調(diào)遞增，則實數(shù)k的取值范圍是[2，+），B正確，選B。
-1，09、已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列結(jié)論：
①函數(shù)f(x)在（-6，-5）上單調(diào)遞增；②函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有且僅有2個不同的交點；③若關(guān)于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4個不相等的實數(shù)根，則這4個根之和為8；④記函數(shù)f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值為，則數(shù)列{}的前7項和為。其中所有正確結(jié)論的編號是 （成都市2019級高三零診）
【解析】
【考點】①函數(shù)奇偶性定義與性質(zhì)；②函數(shù)零點定義與性質(zhì)；③函數(shù)圖像及運用。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，結(jié)合問題條件作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，對①，由函數(shù)圖像得到函數(shù)f(x)在（5，6）上單調(diào)遞增，從而得到函數(shù)f(x)在（-6，-5）上單調(diào)遞增，結(jié)論①正確；對②，當(dāng)x>0時，函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x只有一個交點，由奇函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有且僅有3個交點，從而得到②錯誤；對③，設(shè)f(x)=t，由方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，得到t=0或t=1，當(dāng)t=1時，根據(jù)圖像f(x)=1只有一個根=2，由方程恰有4個不同的根，有兩種可能：（1）t=a=，由f(x)= ，結(jié)合函數(shù)圖像得到+=2，=4，從而得到+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，由f(x)= -，結(jié)合函數(shù)圖像得到+=-2，=-4，從而得到+++=2-2-4=-4，③錯誤；對④，由函數(shù)圖像可知，當(dāng)x[1，2]時，= f(2)=1，得到=1，從而得到數(shù)列{}是以=1為首項，為公比的等比數(shù)列，===，④正確；就可得出其中所有正確結(jié)論的編號。 -1，0【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)= f(x-2)，x>2，作出函數(shù)f(x)的圖像如圖所示，對①，函數(shù)f(x)在 y
（5，6）上單調(diào)遞增，函數(shù)f(x)在（-6，-5） 1
上單調(diào)遞增，結(jié)論①正確；對②，當(dāng)x>0時，
函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x只有一個交點， 0 1 2 3 4 5 6 x
函數(shù)f(x)的圖像與直線y=x有且僅有3個交點，
②錯誤；對③，設(shè)f(x)=t，方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，解得t=0或t=1，當(dāng)t=1時，f(x)=1只有一個根=2，方程恰有4個不同的根，有兩種可能：（1）t=a=，f(x)= 得到+=2，=4，+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，f(x)= -，得到+=-2，=-4， +++=2-2-4=-4，③錯誤；對④，當(dāng)x[1，2]時，= f(2)=1，=1，數(shù)列{}是以=1為首項，為公比的等比數(shù)列，===，④正確；其中所有正確結(jié)論的編號是①④。
10、下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）（2021全國高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
【解析】
【考點】①正比例函數(shù)的定義與性質(zhì)；②指數(shù)函數(shù)的定義與性質(zhì)；③一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)；④冪函數(shù)的定義與性質(zhì)。
【解題思路】根據(jù)正比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，一元二次函數(shù)和冪函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合問題條件分別對各選項的單調(diào)性進(jìn)行判斷就可得出選項。
【詳細(xì)解答】對A，-1<0， f(x)=-x是減函數(shù)，即A錯誤；對B，0< <1， f(x)=
是減函數(shù)，即B錯誤；對C，當(dāng)x （- ，0）時，函數(shù) f(x)= 是減函數(shù)，C錯誤；對D，>0，函數(shù) f(x)= 是R上的增函數(shù)，D正確，選D。
11、下列函數(shù)中，在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增的是（ ）
A y= B y= C y= x D y=
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)和判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，對各選項中的函數(shù)在區(qū)間（0，+）上的單調(diào)性進(jìn)行判斷就可得出選項。
【詳細(xì)解答】對A，函數(shù)y= 在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞增， A正確，選A。
12、已知函數(shù)f(x)=-ax在（-1,1）上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A (1，+ ∞) B ［2，+∞） C (-∞，1］ D （-∞，2〕
【解析】
【知識點】①函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)；②一元二次函數(shù)的定義與性質(zhì)。
【解題思路】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和一元二次函數(shù)的性質(zhì)，得到關(guān)于a的不等式，求解不等式求出實數(shù)a的求值范圍就可得出選項。
【詳細(xì)解答】函數(shù)f(x)=-ax在（-1,1）上單調(diào)遞減，-=1，即a2， B正確，選B。
『思考問題7』
（1）【典例7】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一期末調(diào)研考試）試卷中關(guān)于函數(shù)單調(diào)性級運用的問題，歸結(jié)起來主要包括：①求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；②判斷（或證明）函數(shù)的單調(diào)性；③函數(shù)單調(diào)性的運用等幾種類型；
（2）解答函數(shù)單調(diào)性級運用問題的基本方法是：①歸結(jié)問題結(jié)構(gòu)特征，判斷問題所屬類型；
②運用解答該類問題的解題思路和基本方法，對問題實施解答；③得出解答問題的結(jié)果。
〔練習(xí)7〕解答下列問題：
1、函數(shù)f(x)=ln(-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）（答案：D）
A (- ∞，-2) B (-∞,-1） C (1，+∞) D 〔4，+∞）
2、給定函數(shù)（1）y=，(2)y=(x+1)，(3)y=|x-1|，（4）y=其中在區(qū)間（0,1）上單調(diào)遞減的函數(shù)序號是（ ）（答案：B）
A (1)(2) B (2)(3) C (3)(4) D (1)(4)
3、函數(shù)y=(2-3x+1)的單調(diào)遞減區(qū)間為（ ）（答案：A）
A (1，+ ∞) B (-∞, 〕 C (，+∞) D 〔，∞〕
4、下列函數(shù)中，是奇函數(shù)且在（0，1］上單調(diào)遞減的函數(shù)是（ ）（答案：B）
A y=-+2x B y=x+ C y=- D y=1-
5、若函數(shù)f(x)= +ax+在（，+∞）是增函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）（答案：B）
A 〔-1，0〕 B 〔-1，+∞） C 〔0，3〕 D 〔3，+∞)
6、能說明“若f(x)＞f(0)對任意的x∈(0，2］都成立，則f(x)在（0，2］上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是 ；(答案：函數(shù)f(x)= ，)
7、已知函數(shù)f(x)= 2ax-1(x＞0)(a是常數(shù)且a＞0),對于下列命題：（1）函數(shù)f(x)在R上是 -2（x≤0），單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)f(x)的最小值是-1；（3）若在〔,+
∞) 上f(x) ＞0恒成立，則a的取值范圍是a＞1；（4）對任意＜0，＜0，且，
恒有＜其中正確命題的序號是 ；（答案：正確命題的
序號是（2），（3），（4）。）
8、已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)=1-，a∈R。
（1）求a的值；
（2）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)。
（答案：（1）a=2；（2）提示：任取，∈R ，且>，證明f() -f()＜0）

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