資源簡介

函數的奇偶性與周期性
【考綱解讀】
1、 理解奇函數，偶函數，函數奇偶性，周期函數和函數周期性的定義，掌握判斷（或證明）
函數奇偶性和周期性的基本方法；
2、 能夠運用函數的奇偶性和周期性解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、函數奇偶性的概念：
【問題】認真觀察下列圖像，回答后面的思考問題：
y y f(x)=
3 5
2 f(x)=2-|x| 4
1 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 x 2
-1 1
-2 -3 -2 – 1 0 1 2 3 x
(1) (2)
y y
3 3 f(x)=
2 f(x)=x 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 -2
(3) (4)
『思考問題』
（1）【問題】中（1），（2）兩個函數的共同特點是：①函數圖像關于y軸對稱；②當自變量x互為相反數時，函數值相等；
（2）【問題】中（3），（4）兩個函數的共同特點是：①函數圖像關于原點對稱；②當自變量x互為相反數時，函數值也互為相反數數；
(3) 【問題】中四個函數的定義域的共同特點是關于原點對稱。
1、奇函數的定義：
設函數y=f(x)的定義域為A，如果對任意的xA，都有f(-x)=- f(x)成立，則稱函數y=f(x)為定義域A上的奇函數。
2、偶函數的定義：
設函數y=f(x)的定義域為A，如果對任意的xA，都有f(-x)= f(x)成立，則稱函數y=f(x)為定義域A上的偶函數；
3、函數的奇偶性的定義：
函數y=f(x)具有奇函數（或偶函數）的性質，稱為函數y=f(x)的奇偶性。
4、理解函數奇偶性應注意的問題：
（1）函數f(x)可以是奇函數，也可以是偶函數，也可以既是奇函數又是偶函數，也可以既不是奇函數又不是偶函數；但函數具有奇偶性的必要條件是定義域關于原點對稱；
（2）函數是奇函數的充分必要條件是函數的圖像關于原點成中心對稱圖形；函數是偶函數充分必要條件是函數的圖像關于y軸成軸對稱圖形；在定義域的公共部分內，兩奇函數的積（商）為偶函數，兩偶函數的積（商）為偶函數，一奇一偶函數的積（商）為奇函數（注意：兩函數求商時，分母不能為零）；
（3）奇（偶）函數有關定義的等價形式：f(-x)= f(x) =1（f(x) 0）。
二、判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法：
1、判斷（或證明）函數奇偶性的常用方法：
(1) 判斷（或證明）函數奇偶性的常用的方法有：①定義法；②圖像法；
（2）在具體判斷（或證明）函數的奇偶性時，如果已知函數的解析式，科優先考慮定義法；如果已知函數的圖像（或函數的圖像容易作出），應優先考慮圖像法。
2、用定義法判斷（或證明）函數的奇偶性的基本方法：
（1）運用定義法判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法是：① 求函數的定義域，看是否關于原點對稱；②驗證f(x)與f(-x)之間的關系，③得出函數的奇偶性，若相等，則函數為偶函數；若互為相反數，則函數為奇函數；
（2）如果問題涉及的函數是分段函數時，判斷（或證明）其奇偶性的方法是分段驗證f(x)與f(-x)的關系（這里要注意的問題是驗證f(-x)應該選用那一段的解析式）；
（3）如果問題涉及的函數是抽象函數時，判斷（或證明）其奇偶性的方法是定義法，其中驗證f(-x)與f(x)之間的關系時，采用賦值法，這里賦值的一般規律是注意問題的已知條件。
3、用圖像法判斷（或證明）函數的奇偶性的基本方法：
（1）運用圖像法判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法是：①求函數的定義域，看是否關于原點對稱；②作出函數的圖像；③根據函數圖像判斷（或證明）函數的奇偶性，若函數圖像關于y軸對稱，則函數為偶函數；若函數圖像關于原點對稱，則函數為奇函數；
（2）如果問題涉及的函數是分段函數時，用圖像法判斷（或證明）其奇偶性時，應先根據各段的解析式分別作出各段函數的圖像，再依據圖像的特征判斷（或）證明函數的奇偶性。
三、函數奇偶性的性質：
1、奇函數具有如下性質：
（1）奇函數的定義域關于原點對稱；
（2）如果函數f(x)是奇函數且數0在定義域內，則一定有f(0)=0成立；
（3）如果函數f(x)是奇函數，則有f(-x)=- f(x)恒成立；
（4）奇函數的圖像關于原點對稱；
（5）奇函數在對稱的兩個區間上的單調性相同；
（6）在公共定義域內有：①奇奇=奇；②奇（或）偶=奇。
2、偶函數具有如下性質：
（1）偶函數的定義域關于原點對稱，
（2）如果函數f(x)是偶函數，則有f(-x)= f(x)恒成立；
（3）偶函數的圖像關于y軸對稱；
（4）偶函數在對稱的兩個區間上的單調性相反；
（5）如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)= f(|x|)；
（6）在公共定義域內有：①偶偶=偶；②奇（或）奇=偶；③偶（或）偶=偶。
四、函數的周期性：
1、周期函數的概念：
（1） 周期函數的定義：設函數f(x)的定義域是M，如果存在一個非零常數T，使得對任意的xM，都有f(x+T)= f(x)成立，則稱函數f(x)是以T為周期的周期函數；這個非零常數T稱為周期函數f(x)的一個周期；
（2）最小正周期的定義：在周期函數f(x)的所有周期中，如果存在一個最小的正數，則稱
這個最小的正數是函數f(x)的最小正周期。
2、判斷（或證明）函數周期性的基本方法：
（1）判斷（或證明）函數的周期性的基本方法是定義法；
（2）周期函數的周期有無數個，最小正周期也是周期函數的一個周期。
3、周期函數的性質：
(1)若f(x)是周期函數，則其圖像平移一個周期后， 其圖像與前一個周期的圖像重合；
（2）若函數f(x)的周期為T,則nT（nZ）也是函數f(x)的周期。
（3）對函數f(x)定義域內任一自變量x：①若f(x+a)=-f(x)，則T=2a（a＞0）；②若f(x+a)= ，則T=2a（a＞0）；③若f(x+a)=- ，則T=2a（a＞0）。
【探導考點】
考點1判斷（或證明）函數的奇偶性：熱點①已知函數解析式，判斷（或證明）函數的奇偶性；熱點②根據函數圖像，判斷（或證明）函數的奇偶性；熱點③判斷（或證明）函數的奇偶性；
考點2判斷（或證明）函數的周期性：熱點①已知函數解析式，判斷（或證明）函數的周期性；熱點②已知函數的圖像，判斷（或證明）函數的周期性；熱點③已知函數滿足某些條件，判斷（或證明）函數的周期性；
考點3函數性質的綜合運用：熱點①函數奇偶性于單調性的綜合問題；熱點②函數奇偶性于周期性的綜合問題；熱點③函數奇偶性，單調性和周期性的綜合問題。
【典例解析】
【典例1】:解答下列問題：
1、下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（ ）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
2、設函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是（ ）
A f(x)+|g(x)|是偶函數Bf(x)-|g(x)|是奇函數C|f(x)|+g(x)是偶函數D|f(x)|-g(x)是奇函數
3、函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則（ ）
A f(x)是偶函數 B f(x)是奇函數 C f(x)= f(x+2) D f(x+3)是奇函數
4、已知函數f(x)滿足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)對任意的x，y R都成立，且f(0) ≠0,則函數f(x)是 函數（填“奇”或“偶”）；
5、判斷下列函數的奇偶性：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ； （3）f(x)= +x ；
（4）f(x)= ； （5）f(x)=（x-1）； （6）f(x)= ；
（7） f(x)= ； （8）f(x)= xlg(x+ )； x+2 ，(x＜-1），
（9）f(x)=+x ，(x＜0) ； （10）f(x)= 0 ，(|x|≤1)。
- +x ，（x＞0） -x+2 ，(x＞1)，
6、已知函數f(x)對一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求證：函數f(x)是奇函數；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).
7、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）證明函數f(x)是奇函數；
（3）判斷并證明函數f(x)在定義域上的單調性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范圍。
『思考問題1』
（1）【典例1】是判斷（或證明）函數奇偶性的問題，解答這類問題需要理解奇函數和偶函數的定義，掌握判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法；
(2) 判斷（或證明）函數奇偶性的常用的方法有：①定義法；②圖像法；
（3）在具體判斷（或證明）函數的奇偶性時，如果已知函數的解析式時，應采用 法，
如果已知函數的圖像（或函數的圖像容易作出）時，應采用 法；
（4）分段函數判斷（或證明）奇偶性，在驗證f(-x)與f(x)時，需要分段進行驗證。
〔練習1〕解答下列問題：
1、判斷下列函數的奇偶性： x+1， (x＞0)
（1）y=2-3； （2）y=lg(1+)； （3）y= 1 ， (x=0) ；
（4）f(x)= 2+3 （5）f(x)= -2x -x+1 ，(x＜0
（6）f(x)= （7）f(x)= +1
2、下列函數是偶函數的是（ ）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x∈［0,1］
3、已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，則g(1)等于（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
4、函數f(x)= (xR)與g(x)=lg|x-2|分別為 函數和 函數（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）
5、證明函數f(x)= (a＞1)是奇函數；
6、已知函數f(x)滿足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），且f(0)≠0，試證明函數f(x)是偶函數；
7、已知f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，把下列函數圖像補充完整。
Y y
f(x) g(x)
0 x 0 x
【典例2】解答下列問題：
1、已知偶函數f(x)在區間［0，+∞）上單調遞增，則滿足f(2x-1)＜f()的x的取值范圍是（ ）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
2、若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數，則實數a= ；
3、設函數y=f(x)是奇函數，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，則f(1)+f(2)的值為 ；
4、設函數f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m= ；
5、已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x0時，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 ；
6、已知函數y=f(x)是R上的偶函數，且在（-∞，0）上是減函數，若f(a) f(2)，求實數a的取值范圍；
7、已知函數f(x)是偶函數，而且在（0，+∞）上是減函數，判斷f(x)在（-∞，0）上是增函數還是減函數，并證明你的判斷；
8、已知奇函數f(x)在〔a，b〕上是減函數，判斷它在〔-b，-a〕上是增函數還是減函數？
9、已知偶函數g(x)在〔a，b〕上是增函數，判斷它在〔-b，-a〕上是增函數還是減函數？
10、函數y=f(x)(x≠0)是奇函數，且當x (0,+∞)時是增函數，若f(1)=0,求不等式
f〔x(x-)〕＜0的解集；
11、已知定義在（-∞，+∞）上的函數f(x)的圖像關于原點對稱，且當x＞0時，f(x)=-2x+2，求函數f(x)的解析式；
12、已知函數f(x)= -。
（1）判斷函數f(x)的奇偶性；
（2）函數f(x)的圖像關于 對稱；
（3）證明函數f(x)在（0，+∞）上是增函數；
（4）證明函數f(x)在（-∞，0）上是減函數。
13、已知函數f(x)= +(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，a R)。
（1）若f(x)能表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在區間（-∞，〕上都是減函數，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，比較f(1)和的大小。
『思考問題2』
（1）【典例2】是函數奇偶性的應用問題，解答這類問題需要理解奇函數和偶函數的定義，掌握奇函數和偶函數的性質，注意弄清楚問題與奇函數（或偶函數）的哪一個性質相關；
（2）函數奇偶性的應用問題主要包括：①已知函數的奇偶性，求函數的解析式；②已知含字母系數函數的解析式和奇偶性，求參數的值（或取值范圍）；
（3）解答已知函數的奇偶性，求函數的解析式問題的基本方法是：①運用函數的奇偶性討論函數在各個區間上的解析式；②利用函數奇偶性中f(-x)與f(x)的關系式求出所求函數的解析式；
（4）解答已知含字母系數函數的解析式和奇偶性，求參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是待定系數法，運用f(-x) f(x)=0得到關于參數的恒等式，利用系數的對等性求出參數的值（或取值范圍）；
（5）運用函數奇偶性解答問題必須注意性質的條件與結論，只有性質的條件滿足時，才能得到相應性質的結論。
〔練習2〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)是R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)= +x+1，求函數f(x)的解析式；
2、若函數f(x)= 為奇函數，則a= ；
3、已知函數f(x)=ln(-3x)+1，則f(lg2)+f(lg)=（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
4、設偶函數f(x)的定義域為R，當x ［0，+∞）時，f(x)是增函數，則f(-2),f()，f(-3)的大小關系是（ ）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
5、已知函數f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，則f(-d)= ；
6、設奇函數的定義域為［-6,6］，若當x∈［0,6］時，
f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)＜0 y
的解集是 ； -6 -3 0 3 6 x
7、已知奇函數f(x)在定義域〔-1，1〕上為增函數，則不等式f()+f(x-1)＞0的解集為 ；
8、已知f(x)為R上的偶函數，g(x)為R上的奇函數且過點（-1,3），g(x)=f(x-1)，則f(2012)+g(2013)= 。
9、已知函數f(x)= (a＞1)。
①判斷函數f(x)的奇偶性； ②求f(x)的值域。
【典例3】解答下列問題：
1、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，函數g(x)是定義在R 上的奇函數，且g(x)= f(x-
1)，則f(2017)+f(2019)的值為（ ）
A -1 B 1 C 0 D 無法計算
2、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=- ，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(-105.5)= ；
3、設函數f(x)在R 上滿足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判斷函數f(x)是不是周期數；
4、判斷下列函數是不是周期函數：
（1）f(x)=sinx （2）f(x)=tanx (x≠k+，k∈Z)
『思考問題3』
（1）【典例3】是判斷（或證明）函數周期性的問題，解答這類問題需要理解周期函數的定
義，掌握判斷（或證明）函數周期性的基本方法；
（2）判斷（或證明）函數周期性的基本方法是定義法；
（3）運用定義法判斷（或證明）函數的周期性的基本方法是：①確定一個常數T；②驗證
f(x+T)與f(x)的值是否相等；③得出函數的周期性，若f(x+T)與f(x)的值相等，則函數f(x)
是以T為周期的周期函數；若f(x+T)與f(x)的值不相等，則函數f(x)不是周期函數；
（4）周期函數的周期有無數個，最小正周期也是周期函數的一個周期。
〔練習3〕解答下列問題：
1、判斷下列函數是不是周期函數：
（1）、f(x)=cosx (2)f(x)=cotx (x≠k，k∈Z)
2、定義在R上的函數f(x)滿足f(x+6)=f(x)，當-3 x ＜-1時，f(x)= -，當-1x ＜
3時，f(x)=x，則f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；
3、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=-f(x)，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(105.5)= 。
【典例4】解答下列問題：
1、已知函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(5)= ，則實數a的取值范圍為（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
2、函數f(x)=lg(a+ )為奇函數，則實數a= ；
3、設f(x)是以2為周期的函數，且當x ［1,3）時，f(x)=x-2，則f(-1)= ；
4、設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b∈R，若f()=f()，則a+3b的值為 ； ，0x 1，
5、定義在R上的偶函數f(x)滿足f（x+4）=-f(x)+f(2)，且當x 〔0，2〕時，y=f(x)單調遞減，給出下列四個命題：（1）f(2)=0；（2）x=-4為函數y=f(x)圖像的一條對稱軸；（3）函數y=f(x)在〔8，10〕上單調遞增；（4）若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的兩根為，，則+=-8。其中正確命題的序號為 ；
6、函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，當x∈(0,1〕時，f(x)= (2-x) (a＞0，且a不等于1)。
（1）當x∈〔2k-1,2k+1〕時，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值為，解關于x的不等式f(x)＞。
『思考問題4』
（1）【典例4】是函數單調性，奇偶性與周期性綜合運用的問題，解答這類問題需要理解函數的單調性，奇偶性和周期性，并能靈活運用函數的單調性，奇偶性和周期性；
（2）對于具體問題首先應該弄清楚它與函數單調性，奇偶性和周期性的哪些性質相關，然后結合函數的相應性質進行解答；
（3）解答函數單調性，奇偶性和周期性的綜合問題關鍵是將未知區間上的問題轉化為已知區間上的問題，注意兩個常用結論：①f(x)為偶函數f(x)=f(|x|)；②若奇函數在x=0處有意義，則有f(0)=0.
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)為奇函數，且當x＜0時，f(x)= +3x+2，若當x［1，3］時，n≤f(x)≤m恒成立，則m-n的最小值為 ；
2、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函數，則a= ；
3、奇函數f(x)的定義域為R，若f(x+2)為偶函數，且f(1)=1，則f(8)+f(9)等于（ ）
A -2 B -1 C 0 D 1
4、設f(x)是定義在R上的偶函數，且是以2為周期的周期函數，在區間〔2,3〕上，f(x)=4-2。
（1）求函數f(x)在區間〔1,2〕上的解析式；
（2）若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上，C、D在函數y=f(x)(0≤x≤2)的圖像上，求矩形面積S的最大值。
【雷區警示】
【典例5】解答下列問題：
1、設函數f(x)在（-，+）內有定義，下列函數①y=-|f(x)|；②y=xf()；③y=-f(x)；④y=f(x)-f(-x)中，必為奇函數的有 （要求填寫正確答案的序號）
2、已知函數f(x)是偶函數，且在（0，+）上是減函數，判斷函數f(x)在（-，0）上是增函數還是減函數，并加以證明。
3、定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0，2]上是增函數，則（ ）
A f(-25)『思考問題5』
（1） 【典例5】是解答函數奇偶性問題時，容易觸碰的雷區，該類問題常見的雷區主要
忽視函數奇偶性（或周期性）的正確判斷，導致解答問題出現錯誤；
（2）解答函數奇偶性問題時，為避免忽視函數奇偶性和周期性的正確判斷的雷區，一定注
意正確判斷問題涉及函數的奇偶性（或周期性），尤其是分段函數奇偶性的判斷（或證明）問題需要特別重視-x所屬的區間。
〔練習5〕解答下列問題：
1、定義域為R的四個函數y=，y=，y=+1，y=2sinx中，奇函數的個數是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1 （答案：C）
2、已知函數f(x)是奇函數，且在（0，+）上是增函數，判斷函數f(x)在（-，0）上是增函數還是減函數，并加以證明。（答案:函數f(x)在（-，0）上是增函數，證明略）
3、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=-f(x)，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(-106.5)= 。（答案：f(-106.5)=2.5）
【考題演練】
【典例6】解答下列問題：
1、 著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般
好，隔離分家萬事休”如函數f(x)=的圖像大致是（ ）（成都市高2023級2023
-2024上期末調研考試）
2、函數f(x)=2x|x|-2x+的部分圖像大致為（ ）（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯盟考試）
3、下列函數中，既是奇函數，又在定義域內是增函數的有（ ） （成都市高2023級2023-2024上期末名校聯盟考試）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
4、 已知函數 f(x)的定義域為R，且滿足以下三個條件：①f(-x)+f(x)=0；② f(x)=f(2-x)；
③f(1)=2，則下列說法正確的有（ ）（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯盟考試）
A 函數 f(x)的圖像關于直線x=-1軸對稱 B 函數 f(x)的圖像關于點（2，0）中心對稱 C f(x+4)=f(x) D f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=10
5、若y=+ax+sin(x+)為偶函數，則a= （2023全國高考甲卷）
6、已知函數f(x)= 是偶函數，則a=（ ）（2023全國高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
7、若f(x)=（x+a）ln是偶函數，則a=( )(2023全國高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
8、若奇函數f(x)滿足f(x)=f(2-x)，且當x[0,1]時，f(x)=，則f(23)=（ ）（成都市高2020級高三二診）
A -1 B - C 0 D
9、函數y=（-）cosx在區間[-，]的圖像大致為（ ）（2022全國高考甲卷）
10、如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[-3，3]的大致圖像，則該函數是（ ）（2022全國高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
11、已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，g(2)=4，則=（ ）（2022全國高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
12、若函數f(x)=ln|a+|+b是奇函數，則a= ，b= （2022全國高考乙卷文）
『思考問題6』
（1）【典例6】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一期末調研考試）試卷中關于函數奇偶性及運用的問題，歸結起來主要包括：①判斷（或證明）函數的奇偶性；②判斷（或證明）函數的周期性；③函數性質的綜合運用等幾種類型；
（2）解答函數單調性級運用問題的基本方法是：①歸結問題結構特征，判斷問題所屬類型；
②運用解答該類問題的解題思路和基本方法，對問題實施解答；③得出解答問題的結果。
〔練習6〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)及其到函數（x）的定義域均為R，記g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均為偶函數，則（ ）（2022全國高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
2、若函數f(x)的定義域為R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，則=（ ）（2022全國高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
3、（理）定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當x[0，1]時，f(x)=，則函數g(x)= f(x)- 的所有零點之和為 。
（文）定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當x[0，1]時，f(x)=，則函數g(x)= f(x)- 的所有零點之和為 （成都市2019級高三二診）
4、設函數f(x)= ，則下列函數中為奇函數的是（ ）（2021全國高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
5、已知函數f(x)= （a. - ）是偶函數，則a= （2021全國高考新高考I）
6、寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x) （2021全國高考新高考II）
①f()= f(). f()；②當x,（0，+）時，（x）>0；③（x）是奇函數。
7、函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)=2-17，則f(f())= （2021成都市高三一診）
8、關于函數f(x)=sinx+ 有如下四個命題：①f(x)的圖像關于y軸對稱；②f(x)的圖像
關于原點對稱；③f(x)的圖像關于直線x=對稱；④f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號是 （2020全國高考新課標III）
9、若定義在R上的奇函數f(x)在（-，0）上單調遞減，f(2)=0，則滿足x f(x-1) ≥0的x的取值范圍是（ ）（2020全國高考新高考I）
A [-1,1]∪[3，+∞) B [-3,-1]∪[0,1] C [-1,0]∪[1，+∞) D [-1,0] ∪[1，3]
10、已知函數f(x)= 是奇函數，則實數a的值為 （2019成都市高三一診）
函數的奇偶性與周期性
【考綱解讀】
3、 理解奇函數，偶函數，函數奇偶性，周期函數和函數周期性的定義，掌握判斷（或證明）
函數奇偶性和周期性的基本方法；
4、 能夠運用函數的奇偶性和周期性解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、函數奇偶性的概念：
【問題】認真觀察下列圖像，回答后面的思考問題：
y y f(x)=
3 5
2 f(x)=2-|x| 4
1 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 x 2
-1 1
-2 -3 -2 – 1 0 1 2 3 x
(1) (2)
y y
3 3 f(x)=
2 f(x)=x 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 -2
(3) (4)
『思考問題』
（1）【問題】中（1），（2）兩個函數的共同特點是：①函數圖像關于y軸對稱；②當自變量x互為相反數時，函數值相等；
（2）【問題】中（3），（4）兩個函數的共同特點是：①函數圖像關于原點對稱；②當自變量x互為相反數時，函數值也互為相反數數；
(3) 【問題】中四個函數的定義域的共同特點是關于原點對稱。
1、奇函數的定義：
設函數y=f(x)的定義域為A，如果對任意的xA，都有f(-x)=- f(x)成立，則稱函數y=f(x)為定義域A上的奇函數。
2、偶函數的定義：
設函數y=f(x)的定義域為A，如果對任意的xA，都有f(-x)= f(x)成立，則稱函數y=f(x)為定義域A上的偶函數；
3、函數的奇偶性的定義：
函數y=f(x)具有奇函數（或偶函數）的性質，稱為函數y=f(x)的奇偶性。
4、理解函數奇偶性應注意的問題：
（1）函數f(x)可以是奇函數，也可以是偶函數，也可以既是奇函數又是偶函數，也可以既不是奇函數又不是偶函數；但函數具有奇偶性的必要條件是定義域關于原點對稱；
（2）函數是奇函數的充分必要條件是函數的圖像關于原點成中心對稱圖形；函數是偶函數充分必要條件是函數的圖像關于y軸成軸對稱圖形；在定義域的公共部分內，兩奇函數的積（商）為偶函數，兩偶函數的積（商）為偶函數，一奇一偶函數的積（商）為奇函數（注意：兩函數求商時，分母不能為零）；
（3）奇（偶）函數有關定義的等價形式：f(-x)= f(x) =1（f(x) 0）。
二、判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法：
1、判斷（或證明）函數奇偶性的常用方法：
(1) 判斷（或證明）函數奇偶性的常用的方法有：①定義法；②圖像法；
（2）在具體判斷（或證明）函數的奇偶性時，如果已知函數的解析式，科優先考慮定義法；如果已知函數的圖像（或函數的圖像容易作出），應優先考慮圖像法。
2、用定義法判斷（或證明）函數的奇偶性的基本方法：
（1）運用定義法判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法是：① 求函數的定義域，看是否關于原點對稱；②驗證f(x)與f(-x)之間的關系，③得出函數的奇偶性，若相等，則函數為偶函數；若互為相反數，則函數為奇函數；
（2）如果問題涉及的函數是分段函數時，判斷（或證明）其奇偶性的方法是分段驗證f(x)與f(-x)的關系（這里要注意的問題是驗證f(-x)應該選用那一段的解析式）；
（3）如果問題涉及的函數是抽象函數時，判斷（或證明）其奇偶性的方法是定義法，其中驗證f(-x)與f(x)之間的關系時，采用賦值法，這里賦值的一般規律是注意問題的已知條件。
3、用圖像法判斷（或證明）函數的奇偶性的基本方法：
（1）運用圖像法判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法是：①求函數的定義域，看是否關于原點對稱；②作出函數的圖像；③根據函數圖像判斷（或證明）函數的奇偶性，若函數圖像關于y軸對稱，則函數為偶函數；若函數圖像關于原點對稱，則函數為奇函數；
（2）如果問題涉及的函數是分段函數時，用圖像法判斷（或證明）其奇偶性時，應先根據各段的解析式分別作出各段函數的圖像，再依據圖像的特征判斷（或）證明函數的奇偶性。
三、函數奇偶性的性質：
1、奇函數具有如下性質：
（1）奇函數的定義域關于原點對稱；
（2）如果函數f(x)是奇函數且數0在定義域內，則一定有f(0)=0成立；
（3）如果函數f(x)是奇函數，則有f(-x)=- f(x)恒成立；
（4）奇函數的圖像關于原點對稱；
（5）奇函數在對稱的兩個區間上的單調性相同；
（6）在公共定義域內有：①奇奇=奇；②奇（或）偶=奇。
2、偶函數具有如下性質：
（1）偶函數的定義域關于原點對稱，
（2）如果函數f(x)是偶函數，則有f(-x)= f(x)恒成立；
（3）偶函數的圖像關于y軸對稱；
（4）偶函數在對稱的兩個區間上的單調性相反；
（5）如果函數f(x)是偶函數，那么f(x)= f(|x|)；
（6）在公共定義域內有：①偶偶=偶；②奇（或）奇=偶；③偶（或）偶=偶。
四、函數的周期性：
1、周期函數的概念：
（1） 周期函數的定義：設函數f(x)的定義域是M，如果存在一個非零常數T，使得對任意的xM，都有f(x+T)= f(x)成立，則稱函數f(x)是以T為周期的周期函數；這個非零常數T稱為周期函數f(x)的一個周期；
（2）最小正周期的定義：在周期函數f(x)的所有周期中，如果存在一個最小的正數，則稱
這個最小的正數是函數f(x)的最小正周期。
2、判斷（或證明）函數周期性的基本方法：
（1）判斷（或證明）函數的周期性的基本方法是定義法；
（2）周期函數的周期有無數個，最小正周期也是周期函數的一個周期。
3、周期函數的性質：
(1)若f(x)是周期函數，則其圖像平移一個周期后， 其圖像與前一個周期的圖像重合；
（2）若函數f(x)的周期為T,則nT（nZ）也是函數f(x)的周期。
（3）對函數f(x)定義域內任一自變量x：①若f(x+a)=-f(x)，則T=2a（a＞0）；②若f(x+a)= ，則T=2a（a＞0）；③若f(x+a)=- ，則T=2a（a＞0）。
【探導考點】
考點1判斷（或證明）函數的奇偶性：熱點①已知函數解析式，判斷（或證明）函數的奇偶性；熱點②根據函數圖像，判斷（或證明）函數的奇偶性；熱點③判斷（或證明）函數的奇偶性；
考點2判斷（或證明）函數的周期性：熱點①已知函數解析式，判斷（或證明）函數的周期性；熱點②已知函數的圖像，判斷（或證明）函數的周期性；熱點③已知函數滿足某些條件，判斷（或證明）函數的周期性；
考點3函數性質的綜合運用：熱點①函數奇偶性于單調性的綜合問題；熱點②函數奇偶性于周期性的綜合問題；熱點③函數奇偶性，單調性和周期性的綜合問題。
【典例解析】
【典例1】:解答下列問題：
1、下列函數中，既不是奇函數，也不是偶函數的是（ ）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②奇函數的定義與性質；③判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和奇函數的性質，判斷函數奇偶性的基本方法，對各選項中函數的奇偶性進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，函數y=的定義域為R關于原點對稱，=，函數y=是偶函數，A錯誤；對B，函數y=x+的定義域為（-∞，0）（0，+∞）關于原點對稱，-x-=-（x+），函數y= x+是奇函數，B錯誤；對C，函數y=+ 的定義域為R，關于原點對稱，+=+，函數y=+ 是偶函數，C錯誤；對D，函數y= x+ 的定義域為R關于原點對稱，-x+ =-x+ x+ ，-x+ =-x+ -( x+ )， 函數y= x+ 既不是奇函數，也不是偶函數，D正確， 選D。
2、設函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是（ ）
A f(x)+|g(x)|是偶函數Bf(x)-|g(x)|是奇函數C|f(x)|+g(x)是偶函數D|f(x)|-g(x)是奇函數
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②奇函數的定義與性質；③判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和奇函數的性質，判斷函數奇偶性的基本方法，對各選項的結論進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數， f(-x)= f(x)，g(-x)=- g(x)，對A， f(-x)+|g(-x)|= f(x)+|-g(x)|= f(x)+|g(x)|，f(x)+|g(x)|是偶函數， A正確，選A。
3、函數f(x)的定義域為R，若f(x+1)與f(x-1)都是奇函數，則（ ）
A f(x)是偶函數 B f(x)是奇函數 C f(x)= f(x+2) D f(x+3)是奇函數
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②奇函數的定義與性質；③判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和奇函數的性質，判斷函數奇偶性的基本方法，對各選項中函數的奇偶性進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x+1)與f(x-1)都是奇函數， f(-x+1)=- f(x+1)，f(-x-1)=- f(x-1)，
f(x) =-f(-x+2)， f(x) =-f(-x-2)， f(x+2)= (x-2)， f(x)= f(x+4)， f(x+3)=
f(x-1)=- f(-x+3)，函數f(x+3)是奇函數，D正確， 選D。
4、已知函數f(x)滿足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)對任意的x，y R都成立，且f(0) ≠0,則函數f(x)是 函數（填“奇”或“偶”）；
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②奇函數的定義與性質；③抽象函數的定義與性質；④判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數，奇函數和抽象函數的性質，判斷函數奇偶性的基本方法，就可判斷函數f(x)的奇偶性。
【詳細解答】,令x=y=0， f(0+0)+f(0-0)=2 f(0)=2f(0).f(0)，2f(0)[f(0)-1]=0， f(0) ≠0, f(0)=1，令x=0，y=x，f(0+x)+f(0-x)=2f(x).f(0)， f(x)+f(-x)=2f(x)， f(-x)=f(x)，函數f(x)是偶函數。
5、判斷下列函數的奇偶性：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ； （3）f(x)= +x ；
（4）f(x)= ； （5）f(x)=（x-1）； （6）f(x)= ；
（7） f(x)= ； （8）f(x)= xlg(x+ )；
（9）f(x)=+x ，(x＜0) ； （10）f(x)= x+2 ，(x＜-1），
- +x ，（x＞0） 0 ，(|x|≤1)。
【解析】 -x+2 ，(x＞1)，
【知識點】①偶函數的定義與性質；②奇函數的定義與性質；③判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和奇函數的性質，判斷函數奇偶性的基本方法，對各小題中函數的奇偶性進行判斷就可判斷斷函數f(x)的奇偶性。
【詳細解答】（1）函數 f(x)= 的定義域為R關于原點對稱，f(-x)= = = f(x)，
函數f(x)是偶函數；（2）函數 f(x)= 的定義域為R關于原點對稱，f(-x)= = -= -f(x)，函數f(x)是奇函數；（3）函數 f(x)= +x的定義域為（-∞，0）（0，+∞）關于原點對稱，f(-x)=-x-=-（x+）=-f(x)，函數f(x)= x+是奇函數；（4）函數 f(x)= 的定義域為（-∞，0）（0，+∞）關于原點對稱，f(-x)=== f(x)，函數f(x)= 是偶函數；（5）函數 f(x)= （x-1）的定義域為[-1，1）關于原點不對稱，函數f(x)= （x-1）不具有奇偶性；（6）函數f(x)= 的定義域為（-1，0）（0，1）關于原點對稱，f(-x)= == f(x)，函數f(x)= 是偶函數；（7）函數f(x)= 的定義域為[-2，0）（0，2]關于原點對稱，f(-x)= == f(x)，f(-x)=
=-=- f(x)，函數f(x)= 不具有奇偶性；（8）函數f(x)=
xlg(x+ )的定義域為R關于原點對稱，f(-x)=-x lg(-x+ )=-xlg(-x
+)=-xlg=-xlg= xlg(x+ )= f(x)，
函數f(x)= xlg(x+ )是偶函數；（9）函數f(x) 的定義域為（-∞，0）（0，+∞）關于原點對稱，①當x（-∞，0）時，-x（0，+∞），f(-x)=- -x=--x=-（+x）=- f(x)，②當x（0，+∞）時，-x（-∞，0），f(-x)=-x=-x=-（-+x）=- f(x)，函數f(x)是奇函數；（10）函數f(x) 的定義域為R關于原點對稱，①當x（-∞，0）時，-x（0，+∞），f(-x)=-x+1= f(x)，②當x=0時，-x=0，f(-x)=1= f(x)，③當x（0，+∞）時，-x（-∞，0），f(-x)=-（-x）+1=x+1= f(x)，函數f(x)是偶函數。
6、已知函數f(x)對一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求證：函數f(x)是奇函數；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).
【解析】
【知識點】①抽象函數的定義與性質；②函數奇偶性的定義與性質；③賦值法的基本方法；④函數奇偶性判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】（1）根據問題條件可知，函數的定義域為R關于原點對稱，判斷（或證明）函數的奇偶性，只需驗證f(-x)與 f(x)的關系，這里怎樣賦值是解答問題的關鍵，注意問題的條件函數f(x)對一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，得出f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),從而有f(x)+f(-x)=f(0)=0，于是問題得到解決；（2）由（1）知函數f(x)是奇函數，從而得到f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，得到f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，令x=y=6，得到f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)
=-2a-2a=-4a，
【詳細解答】（1）函數f(x)對一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=f(0)=0，函數f(x)是奇函數；（2）由（1）知函數f(x)是奇函數，f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，f(6)=-2a，令x=y=6， f(6+6)=f(6)+f(6)=-2a-2a=-4a，f(12)=-4a。
7、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）證明函數f(x)是奇函數；
（3）判斷并證明函數f(x)在定義域上的單調性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數定義域的定義與求法；②復合函數的定義與性質；③分式的定義與性質；④對數函數的定義與性質；⑤復合函數奇偶性判斷（或證明）的基本方法。
【解題思路】（1）由函數f(x)有意義的條件得到 >0，解這個不等式就可以得到函數f(x)的定義域；（2）由（1）可知函數f(x)的定義域為（-1，1）關于原點對稱，只需證明f(-x)=-f(x)就可證明結論；（3）設g(x)= ，根據證明復合函數單調性的基本方法，先判斷函數g(x)在（-1，1）上的單調性，運用復合函數單調性的判斷法則得出函數f(x)的單調性（注意底數a的兩種可能情況）；（4）根據底數a的兩種可能情況分別進行解答，就可求出使f(x)＞0成立的x的取值范圍。
【詳細解答】（1）函數f(x)有意義，必有 >0，-1=-=-f(x)，函數f(x)是奇函數；（3）設g(x)= ，任取， （-1，1），且<，g（）-g（）=-=
=<0，g（）1時，函數f（g(x)）在（-1，1）上單調遞增，函數f(x)在（-1，1）上單調遞增；
（4）①當01時， f(x)＞0，>1，01時， f(x)＞0時，x的取值范圍是（0，1）。
『思考問題1』
（1）【典例1】是判斷（或證明）函數奇偶性的問題，解答這類問題需要理解奇函數和偶函數的定義，掌握判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法；
(2) 判斷（或證明）函數奇偶性的常用的方法有：①定義法；②圖像法；
（3）在具體判斷（或證明）函數的奇偶性時，如果已知函數的解析式時，應采用 法，
如果已知函數的圖像（或函數的圖像容易作出）時，應采用 法；
（4）分段函數判斷（或證明）奇偶性，在驗證f(-x)與f(x)時，需要分段進行驗證。
〔練習1〕解答下列問題：
1、判斷下列函數的奇偶性： x+1， (x＞0)
（1）y=2-3； （2）y=lg(1+)； （3）y= 1 ， (x=0) ；
（4）f(x)= 2+3 （5）f(x)= -2x -x+1 ，(x＜0
（6）f(x)= （7）f(x)= +1
（答案：（1）函數f(x)是偶函數；（2）函數f(x)是偶函數；（3）函數f(x)是偶函數；（4）函數f(x)是偶函數；（5）函數f(x)是奇函數；（6）函數f(x)是奇函數；（7）函數f(x)是偶函數.）
2、下列函數是偶函數的是（ ）（答案：B）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x∈［0,1］
3、已知f(x)是奇函數，g(x)是偶函數，且f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，則g(1)等于（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1 （答案：B）
4、函數f(x)= (xR)與g(x)=lg|x-2|分別為 函數和 函數（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）（答案：奇，非奇非偶）
5、證明函數f(x)= (a＞1)是奇函數；（提示：運用定義法進行證明）
6、已知函數f(x)滿足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），且f(0)≠0，試證明函數f(x)是偶函數；（提示：運用定義法和賦值法進行證明）
7、已知f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，把下列函數圖像補充完整。
Y y
f(x) g(x)
0 x 0 x
【典例2】解答下列問題：
1、已知偶函數f(x)在區間［0，+∞）上單調遞增，則滿足f(2x-1)＜f()的x的取值范圍是（ ）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②求解絕對值不等式的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質，結合問題條件得到關于x的絕對值不等式，求解絕對值不等式得出x的取值范圍就可求出選項。
【詳細解答】偶函數f(x)在區間［0，+∞）上單調遞增，且f(2x-1)＜f()，|2x-1|＜，
2、若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數，則實數a= ；
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②求解方程的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質，結合問題條件得到關于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細解答】 f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數， f(-x)=(-x+a)(-x-4)= +（4-a）x-4a= f(x)=(x+a)
(x-4)=+（a-4）x-4a，2（a-4）x=0，a=4。
3、設函數y=f(x)是奇函數，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，則f(1)+f(2)的值為 ；
【解析】
【知識點】①奇函數的定義與性質；②求解方程的基本方法。
【解題思路】根據奇函數的性質，結合問題條件得到關于f(1)+f(2)的方程，求解方程就可求出f(1)+f(2)的值。
【詳細解答】函數y=f(x)是奇函數， f(-2)+f(-1)=- f(2)-f(1)， f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，
-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3，2[f(1)+f(2)]=-6，f(1)+f(2)=-3。
4、設函數f(x)= 的最大值為M，最小值為m，則M+m= ；
【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法；③求函數最值的基本方法。
【解題思路】由f(x)= =1+，設g(x)= ，根據判斷函數奇偶性的基本方法判斷函數g(x)是奇函數，運用奇函數的性質得到函數g(x)的最大值與最小值的和為0，從而求出M+m的值。
【詳細解答】 f(x)= =1+，設g(x)= ，對函數g(x)定義域為R關于原點對稱，g(-x)= = =- g(x)，函數g(x)是奇函數，+=0，M==1+，m==1+，
M+m=1++1+=2++=2。
5、已知f(x)是定義域為R的偶函數，當x0時，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 ；
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②求函數解析式的基本方法；③判斷函數單調性的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質和求函數解析式的基本方法，結合問題條件求出當x<0時，函數f(x)的解析式，運用判斷函數單調性的基本方法判斷函數f(x)的單調性，利用函數單調性得到關于x的不等式，求解不等式就可求出不等式f(x+2) ＜5的解集。
【詳細解答】設x<0，則-x>0，函數f(x)是定義域為R的偶函數，當x0時，f(x)=-4x， f(x)= f(-x)= -4（-x）=+4x， f(x)= -4x，x0，函數f(x)在（-∞，
+4x，x<0，-2），（0，2）上單調遞減，在（-2，0），（2，+∞）上單調遞增， f(-5)= f(5)=25-45=5， f(x+2) ＜5
|x+2|<5，-76、已知函數y=f(x)是R上的偶函數，且在（-∞，0）上是減函數，若f(a) f(2)，求實數a的取值范圍；
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和函數單調性的性質，結合問題條件得到關于a的不等式，運用求解不等式的基本方法求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數f(x)是定義域為R的偶函數，在（-∞，0）上是減函數，f(a) f(2)，
|a|2，a-2或a 2，若f(a) f(2)，則實數a的取值范圍是（-∞，-2][2，+∞）。
7、已知函數f(x)是偶函數，而且在（0，+∞）上是減函數，判斷f(x)在（-∞，0）上是增函數還是減函數，并證明你的判斷；
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③證明函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和函數單調性的性質，結合問題條件得到f() ，f()的大小關系，運用證明函數單調性的基本方法就可證明函數f(x)在（-∞，0）上是增函數。
【詳細解答】證明：任取， (0,+∞)，且＜，函數f(x)在（0，+∞）上是減函數，f()＞f()，-，-（-∞，0），且-＜-，函數f(x)是偶函數， f(-)=f()，f(-)=f()， f(-)＞f(-)，函數f(x)在（-∞，0）上是增函數。
8、已知奇函數f(x)在〔a，b〕上是減函數，判斷它在〔-b，-a〕上是增函數還是減函數？
【解析】
【知識點】①奇函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據奇函數和函數單調性的性質，結合問題條件得到f() ，f()的大小關系，運用判斷函數單調性的基本方法就可得到函數f(x)在（-b，-a）上是減函數。
【詳細解答】任取， (a，b)，且＜，函數f(x)在（a，b）上是減函數，f()＞f()，-，-（-b，-a），且-＜-，函數f(x)是奇函數， f(-)=-f()，f(-)=-f()， f(-)＜f(-)，函數f(x)在（-∞，0）上是減函數。
9、已知偶函數g(x)在〔a，b〕上是增函數，判斷它在〔-b，-a〕上是增函數還是減函數？
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③證明函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數和函數單調性的性質，結合問題條件得到f() ，f()的大小關系，運用證明函數單調性的基本方法就可得到函數f(x)在（-b，-a）上是減函數。
【詳細解答】任取， (a,b)，且＜，函數f(x)在（a，b）上是增函數，f()＜f()，-，-（-b，-a），且-＜-，函數f(x)是偶函數， f(-)=f()，f(-)=f()， f(-)＜f(-)，函數f(x)在（-∞，0）上是減函數。
10、函數y=f(x)(x≠0)是奇函數，且當x (0,+∞)時是增函數，若f(1)=0,求不等式
f〔x(x-)〕＜0的解集；
【解析】
【知識點】①奇函數的定義與性質；②函數單調性的定義與性質；③求解不等式的基本方法。
【解題思路】根據奇函數和函數單調性的性質，結合問題條件得到關于x的不等式，運用求解不等式的基本方法求解不等式就可求出不等式f〔x(x-)〕＜0的解集。
【詳細解答】函數y=f(x)(x≠0)是奇函數，當x (0,+∞)時是增函數，f(1)=0, f〔x(x-)〕＜0，0 ＜x(x-)＜1，或x(x-)＜-1， ＜x＜0，或＜x＜，或，不等式f〔x(x-)〕＜0的解集為（，0）（，）。
11、已知定義在（-∞，+∞）上的函數f(x)的圖像關于原點對稱，且當x＞0時，f(x)=-2x+2，求函數f(x)的解析式；
【解析】
【知識點】①奇函數的定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法；③求函數解析式的基本方法。
【解題思路】根據判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件得到函數f(x)是奇函數，運用奇函數的性質，就可求出函數f(x)的解析式。
【詳細解答】定義在（-∞，+∞）上的函數f(x)的圖像關于原點對稱，函數f(x)是奇函數， f(0)=0，設x<0，則-x>0，當x＞0時，f(x)=-2x+2， f(x)=- f(-x)=-[
-2（-x）+2=+2x+2， f(x)= -2x+2，x＞0，
0， x=0，
+2x+2，x<0。
12、已知函數f(x)= -。
（1）判斷函數f(x)的奇偶性；
（2）函數f(x)的圖像關于 對稱；
（3）證明函數f(x)在（0，+∞）上是增函數；
（4）證明函數f(x)在（-∞，0）上是減函數。
【解析】
【知識點】①函數奇偶性的定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法；③函數單調性的定義與性質；④判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數奇偶性的性質和判斷函數奇偶性的基本方法，就可判斷函數f(x)的奇偶性；（2）根據偶函數的性質就可得到函數f(x)的圖像關于Y軸對稱；（3）根據證明函數單調性的基本方法就可證明函數f(x)在（0，+∞）上是增函數；（4）根據證明函數單調性的基本方法就可證明函數f(x)在（-∞，0）上是減函數。
【詳細解答】（1）函數f(x) = -的定義域為（-∞，0）（0，+∞）關于原點對稱，f(-x) = - = -= f(x)，函數f(x)是偶函數；（2）由（1）知函數f(x)是偶函數，函數f(x)的圖像關于Y軸對稱；（3）證明：任取， (0,+∞)，且＜， f()
-f()=-+==＜0，函數f(x) 在（0，+∞）上是增函數；（4）函數f(x)是偶函數，函數f(x) 在（0，+∞）上是增函數，函數f(x) 在)在（-∞，0）上是減函數。
13、已知函數f(x)= +(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，a R)。
（1）若f(x)能表示成一個奇函數g(x)和一個偶函數h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在區間（-∞，〕上都是減函數，求實數a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，比較f(1)和的大小。
【解析】
【知識點】①奇函數的定義與性質；②偶函數的定義與性質；③減函數的定義與性質；④判斷函數單調性的基本方法；⑤比較實數大小的基本方法。
【解題思路】（1）運用奇函數和偶函數的性質，結合問題條件得到關于函數g(x)，h(x)的方程組，求解方程組就可求出函數g(x)和h(x)的解析式；（2根據減函數的性質，奇函問題條件得到關于a的不等式組，求解不等式組就可求出實數a的取值范圍；（3）求出f(1)，利用判斷函數單調性的基本方法判斷f(1)關于a的函數在區間[-，-1）的單調性，求出f(1) 在區間[-，-1）上的最小值，借助于比較實數大小的基本方法就可得出結果。
【詳細解答】（1） f(x)= g(x)+ h(x)=+(a+1)x+lg|a+2|①，g(x)是奇函數，h(x)是偶函數， f(-x)= g(-x)+ h(-x)=- g(x)+ h(x)=-(a+1)x+lg|a+2|②，聯立①②解得：g(x)= (a+1)x， h(x)
=+ lg|a+2|；（2） f(x)和g(x)在區間（-∞，〕上都是減函數，-
①，a≠-2②，a+1<0③，聯立①②③解得：- a<-1；（3） f(1)=1+a+1+lg|a+2|
=2+a+ lg|a+2|，設M（a）= f(1)= a+2+ lg|a+2|， 函數M（a）= f(1)在區間[-，-1）上單調遞增，== M（-）=-+2+lg|-+2|=+lg=+ lg >+ lg =-=， f(1)> 。
『思考問題2』
（1）【典例2】是函數奇偶性的應用問題，解答這類問題需要理解奇函數和偶函數的定義，掌握奇函數和偶函數的性質，注意弄清楚問題與奇函數（或偶函數）的哪一個性質相關；
（2）函數奇偶性的應用問題主要包括：①已知函數的奇偶性，求函數的解析式；②已知含字母系數函數的解析式和奇偶性，求參數的值（或取值范圍）；
（3）解答已知函數的奇偶性，求函數的解析式問題的基本方法是：①運用函數的奇偶性討論函數在各個區間上的解析式；②利用函數奇偶性中f(-x)與f(x)的關系式求出所求函數的解析式；
（4）解答已知含字母系數函數的解析式和奇偶性，求參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是待定系數法，運用f(-x) f(x)=0得到關于參數的恒等式，利用系數的對等性求出參數的值（或取值范圍）；
（5）運用函數奇偶性解答問題必須注意性質的條件與結論，只有性質的條件滿足時，才能得到相應性質的結論。
〔練習2〕解答下列問題：
1、 已知函數f(x)是R上的奇函數，且當x＞0時，f(x)= +x+1，求函數f(x)的解析式；
（答案： +x+1，x＞0,
f(x)= 0， x=0）
-+x-1，x<0,
2、若函數f(x)= 為奇函數，則a= ；（答案：a=-1。）
3、已知函數f(x)=ln(-3x)+1，則f(lg2)+f(lg)=（ ）（答案：B）
A -1 B 0 C 1 D 2
4、設偶函數f(x)的定義域為R，當x ［0，+∞）時，f(x)是增函數，則f(-2),f()，f(-3)的大小關系是（ ）（答案：A）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
5、已知函數f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，則f(-d)= ；（答案：f(-d)=-26）
6、設奇函數的定義域為［-6,6］，若當x∈［0,6］時，
f(x)的圖像如圖所示，則不等式f(x)＜0 y
的解集是 ； -6 -3 0 3 6 x
（答案：不等式f(x)＜0的解集是（-3，0）（3，6）。）
7、已知奇函數f(x)在定義域〔-1，1〕上為增函數，則不等式f()+f(x-1)＞0的解集為 ；
（答案：不等式f()+f(x-1)＞0的解集為（，1）。）
8、已知f(x)為R上的偶函數，g(x)為R上的奇函數且過點（-1,3），g(x)=f(x-1)，則f(2012)+g(2013)= 。（答案：f(2012)+g(2013)=-6）
9、已知函數f(x)= (a＞1)。
（1）判斷函數f(x)的奇偶性； （2）求f(x)的值域。
（答案：（1）函數f(x)是奇函數；（2）f(x)的值域為（-1，1）。）
【典例3】解答下列問題：
1、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，函數g(x)是定義在R 上的奇函數，且g(x)= f(x-
1)，則f(2017)+f(2019)的值為（ ）
A -1 B 1 C 0 D 無法計算
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②判斷函數是周期函數的基本方法；③奇函數的定義
與性質；④偶函數的定義與性質。
【解題思路】運用奇函數和偶函數的性質，結合問題條件，得到f(x- 1)=- f(x-+1)，根據
判斷函數是周期函數的基本方法得出函數f(x)是以4為周期的周期函數，f(2017)= f(504
4+1)= f(1)，f(2019)= f(5044+3)= f(3)= f(-1)，利用奇函數的性質，結合問題條件
求出f(1)的值就可得出選項。
【詳細解答】 g(x)= f(x-1)， g(-x)= f(-x-1)，函數f(x)是定義在R 上的偶函數，
函數g(x)是定義在R 上的奇函數， g(-x)=- g(x)，f(-x)= f(x)， f(x- 1)=- f(x+1)，
f(x)=-f(x+2)，f(x+2)=- f(x+4)， f(x)=f(x+4)，函數f(x)是以4為周期的周期函
數， f(2017)= f(504 4+1)= f(1)，f(2019)= f(5044+3)= f(3)= f(-1)， g(0)=
f(0-1)= f(-1)= f(1)=0， f(2017)+f(2019)= f(1)+ f(-1)=0+0=0，C正確，選C。
2、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=- ，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(-105.5)= ；
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②判斷函數是周期函數的基本方法；③偶函數的定義
與性質。
【解題思路】運用判斷函數是周期函數的基本方法，結合問題條件，得出函數f(x)是以4
為周期的周期函數，f(-105.5)= f(-426-1.5)= f(-1.5)，利用函數f(x)是定義在R 上的
偶函數，結合問題條件求出f(-1.5)的值就可求出f(-105.5)的值。
【詳細解答】 f(x+2)=- ， f(x)=- ， f(x+2)=- ，
f(x)= f(x+4)，函數f(x)是以4為周期的周期函數， f(-105.5)= f(-426-1.5)= f(-1.5)，
函數f(x)是定義在R 上的偶函數，當2 x 3時，f(x)=x， f(-105.5)= f(-1.5)
= f(1.5)= f(-4+1.5)= f(-2.5)= f(2.5)=2.5。
3、設函數f(x)在R 上滿足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判斷函數f(x)是不是周期數；
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②判斷函數是周期函數的基本方法。
【解題思路】運用問題條件，得出f(x+4)= f(x+14)，從而得到f(x)= f(x+10)，根據判斷
函數是周期函數的基本方法就可得出函數f(x)是以10為周期的周期函數。
【詳細解答】 f(2-x)=f(2+x)， f(x)= f(4-x)， f(7-x)=f(7+x)， f(x)= f(14-x)，
f(4-x)= f(14-x)，f(4+x)= f(14+x)， f(x)= f(x+10)，函數f(x)是以10為周期的周期函數。
4、判斷下列函數是不是周期函數：
（1）f(x)=sinx （2）f(x)=tanx (x≠k+，k∈Z)
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②判斷函數是周期函數的基本方法；③正弦三角函數
的定義與性質；④正切三角函數的定義與性質。
【解題思路】（1）根據正弦三角函數和周期函數的性質，運用判斷函數是否是周期函數的基
本方法就可得出函數f(x)=sinx 是以2為周期的周期函數；（2）根據正切三角函數和周期
函數的性質，運用判斷函數是否是周期函數的基本方法就可得出函數f(x)= tanx (x≠k+
，k∈Z)是以為周期的周期函數。
【詳細解答】（1） f(2+x)=sin（2+x ）= sinx= f(x)，函數f(x)=sinx 是以2
為周期的周期函數；（2） f(+x)=tan（+x ）= tanx= f(x)，函數f(x)=tanx 是
以為周期的周期函。
『思考問題3』
（1）【典例3】是判斷（或證明）函數周期性的問題，解答這類問題需要理解周期函數的定
義，掌握判斷（或證明）函數周期性的基本方法；
（2）判斷（或證明）函數周期性的基本方法是定義法；
（3）運用定義法判斷（或證明）函數的周期性的基本方法是：①確定一個常數T；②驗證
f(x+T)與f(x)的值是否相等；③得出函數的周期性，若f(x+T)與f(x)的值相等，則函數f(x)
是以T為周期的周期函數；若f(x+T)與f(x)的值不相等，則函數f(x)不是周期函數；
（4）周期函數的周期有無數個，最小正周期也是周期函數的一個周期。
〔練習3〕解答下列問題：
1、判斷下列函數是不是周期函數：
（1）、f(x)=cosx (2)f(x)=tanx (x≠k+，k∈Z)
(答案：（1）函數f(x)是以2為周期的周期函數；（2）函數f(x)是以為周期的周期函數)
2、定義在R上的函數f(x)滿足f(x+6)=f(x)，當-3 x ＜-1時，f(x)= -，當-1x ＜
3時，f(x)=x，則f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；
（答案：f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)=336。）
3、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=-f(x)，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(105.5)= 。（答案：f(-106.5)=2.5）
【典例4】解答下列問題：
1、已知函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(5)= ，則實數a的取值范圍為（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②偶函數的定義與性質；③分式不等式的解法。
【解題思路】運用周期函數和偶函數的性質，結合問題條件，得出f(5)= f(-23+5)= f(-1)
= f(1)，從而得到關于a的不等式，求解不等式求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數， f(5)= f(23-1)= f(-1)
= f(1)， f(1)＜1，f(5)= ，＜1，-12、函數f(x)=lg(a+ )為奇函數，則實數a= ；
【解析】
【知識點】①奇函數的定義與性質；②對數函數的定義與性質；③求解方程的基本方法。
【解題思路】運用奇函數和對數函數的性質，結合問題條件，得到關于a的方程，求解方程
就可求出實數a的值。
【詳細解答】函數f(x)=lg(a+ )為奇函數， f(-x)=lg(a+ )=- f(x)=-lg(a+ )
=lg ，=，a=-1。
3、設f(x)是以2為周期的函數，且當x ［1,3）時，f(x)=x-2，則f(-1)= ；
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②求函數解析式的基本方法。
【解題思路】運用周期函數的性質和求函數解析式的基本方法，結合問題條件，求出函數
f(x)在區間［-1,1）的解析式就可求出f(-1)的值。
【詳細解答】設x ［-1,1），則x+2 ［1,3）， f(x)是以2為周期的函數，且當x ［1,3）時，f(x)=x-2， f(x)= f(x+2)=x+2-2=x， x ［-1,1）時，f(x)=x， f(-1)=-1。
4、設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b∈R，若f()=f()，則a+3b的值為 ； ，0x 1，
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②求解方程組的基本方法。
【解題思路】運用周期函數的性質，結合問題條件，得到f()=f()=f(-2+)= f(-)，f(1)
= f(-2+1)= f(-1)，從而得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值，就可求出a+3b
的值。
【詳細解答】 f(x)是定義在R上且周期為2的函數，f()=f()， f(1)= f(-2+1)= f(-1)，
f()=f()=f(-2+)= f(-)，在區間［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b
-a+1=， a=2， ，0x 1，∈R，
=-a+1， b=-4，a+3b=2+3（-4）=-10。
5、定義在R上的偶函數f(x)滿足f（x+4）=-f(x)+f(2)，且當x 〔0，2〕時，y=f(x)單調遞減，給出下列四個命題：（1）f(2)=0；（2）x=-4為函數y=f(x)圖像的一條對稱軸；（3）函數y=f(x)在〔8，10〕上單調遞增；（4）若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的兩根為，，則+=-8。其中正確命題的序號為 ；
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②減函數的定義與性質；③周期函數的定義與性質；④
判斷函數是周期函數的基本方法；⑤判斷命題真假的基本方法。
【解題思路】運用偶函數的性質，結合問題條件求出f(2)的值，得到函數f(x)是以4為周期
的周期函數，利用判斷命題真假的基本方法對各結論的真假進行判斷就可得出結果。
【詳細解答】定義在R上的偶函數f(x)滿足f（x+4）=-f(x)+f(2)，當x=-2時，f（-2+4）
=-f(-2)+f(2)= f(2)， f(2)=0，（1）正確；f (2)=0，f（x+4）=-f(x)+ (2)=0， f(x)=-
f（x+4）， f(-x)=-f（-x+4），函數f(x)是定義在R上的偶函數， f（x+4）= f（-x+4），
x=-4為函數y=f(x)圖像的一條對稱軸， （2）正確；當x 〔0，2〕時，y=f(x)
單調遞減，當x 〔-2，0〕時，y=f(x)單調遞增， f(8)= f(24+0)= f(0)，f(10)= f(24+2)=
f(2)，函數y=f(x)在〔8，10〕上單調遞減，即（3）錯誤； x=-4為函數y=f(x)圖像的一
條對稱軸，若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的兩根為，，則+=-8，（4）正確，
正確命題的序號為：（1），（2），（4）。
6、函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，當x∈(0,1〕時，f(x)= (2-x) (a＞0，且a不等于1)。
（1）當x∈〔2k-1,2k+1〕時，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值為，解關于x的不等式f(x)＞。
【解析】
【知識點】①偶函數的定義與性質；②周期函數的定義與性質；③判斷函數是周期函數的基
本方法；④求函數解析式的基本方法；⑤對數函數的定義與性質；⑥求解不等式的基本方法。
【解題思路】（1）運用判斷周期函數的基本方法，結合問題條件得到函數f(x)是以2為周期
的周期函數，根據偶函數的性質求出函數f(x)在[-1，0）上的解析式，從而求出函數f(x) 當
x∈〔2k-1,2k+1〕時，求f(x)的解析式；（2）運用周期函數的性質，利用函數f(x)在[-1，
1]上圖像求出不等式f(x)＞的解集，從而得出關于x的不等式f(x)＞的解集。
【詳細解答】（1）對任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，函數f(x)是以2為周期
的周期函數，設x∈[-1，0），則-x∈(0,1〕函數f(x)是定義在R上的偶函數，當x∈(0,1〕
時，f(x)= (2-x) ， f(x)= f(-x)= (2+x)，設x∈[2k-1，2k），則x-2k∈[-1，0），
函數f(x)是以2為周期的周期函數， f(x)= f(x-2k)= (2+x-2k) ，設x∈（2k，2k+1]，
則x-2k∈（0，1]，函數f(x)是以2為周期的周期函數， f(x)= f(x-2k)= (2+2k-x) ，
當x∈〔2k-1,2k+1〕時，f(x)= (2+x-2k) ，x∈[2k-1，2k），（2）當x∈[-1，1]時，
(2+x)，x∈[-1，0）， (2+2k-x)，x∈（2k，2k+1]；函數f(x)的解析式為：
f(x)= (2-x) ，x∈(0,1〕①當a>1時，函數f(x)在[-1，0）上單調遞增，在(0,1〕上
單調遞減，= f(0)= (2+0)= 2=，=2，a=4， f(x)＞
（2-x）＞或（2+x）＞2-x<且0x1或-<2+x且-1x0，
-2+2k+2-）（k∈Z）；②當0單調遞增，= f(-1)= f(1) =(2-1)= 1=0 ，綜上所述，若f(x)的最
大值為，關于x的不等式f(x)＞的解集為：（2k-2+，2k+2-）（k∈Z）。
『思考問題4』
（1）【典例4】是函數單調性，奇偶性與周期性綜合運用的問題，解答這類問題需要理解函數的單調性，奇偶性和周期性，并能靈活運用函數的單調性，奇偶性和周期性；
（2）對于具體問題首先應該弄清楚它與函數單調性，奇偶性和周期性的哪些性質相關，然后結合函數的相應性質進行解答；
（3）解答函數單調性，奇偶性和周期性的綜合問題關鍵是將未知區間上的問題轉化為已知區間上的問題，注意兩個常用結論：①f(x)為偶函數f(x)=f(|x|)；②若奇函數在x=0處有意義，則有f(0)=0.
〔練習4〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)為奇函數，且當x＜0時，f(x)= +3x+2，若當x［1，3］時，n≤f(x)≤m恒成立，則m-n的最小值為 ；（答案：m-n的最小值為）
2、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函數，則a= ；（答案：a=-）
3、奇函數f(x)的定義域為R，若f(x+2)為偶函數，且f(1)=1，則f(8)+f(9)等于（ ）
A -2 B -1 C 0 D 1 (答案：D)
4、設f(x)是定義在R上的偶函數，且是以2為周期的周期函數，在區間〔2,3〕上，f(x)=4-2。
（1）求函數f(x)在區間〔1,2〕上的解析式；
（2）若矩形ABCD的兩個頂點A、B在x軸上，C、D在函數y=f(x)(0≤x≤2)的圖像上，求矩形面積S的最大值。
（答案：函數f(x)在區間〔1,2〕上的解析式為f(x)=4-2 ；（2）矩形面積S的最大值為。）
【雷區警示】
【典例5】解答下列問題：
1、設函數f(x)在（-，+）內有定義，下列函數①y=-|f(x)|；②y=xf()；③y=-f(x)；④y=f(x)-f(-x)中，必為奇函數的有 （要求填寫正確答案的序號）
【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據奇函數的性質，運用判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件，對給
定的四個函數的奇偶性進行判斷，就可得出結果。
【詳細解答】對函數y=-|f(x)|，定義域為（-，+）關于原點對稱，-|f(-x)|=-|f(x)|=-|f(x)|，函數y=-|f(x)|是偶函數；對函數y=xf()，定義域為（-，+）關于原點對稱，-xf()|=-xf()，函數y=xf()|是奇函數；對函數y=-f(x)，定義域為（-，+）關于原點對稱，-f((-x))=f(x)，函數y=-f(x)|可能是偶函數，也可能是奇函數；對函數y=f(x)-f(-x)，定義域為（-，+）關于原點對稱，f(-x)-f((x))=-[f(x)-f(-x)]，函數y=f(x)-f(x)|是奇函數，綜上所述，給定的函數中，必為奇函數有②④。
2、已知函數f(x)是偶函數，且在（0，+）上是減函數，判斷函數f(x)在（-，0）上是增函數還是減函數，并加以證明。
【解析】
【知識點】①減函數定義與性質；②偶函數定義與性質；③判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據減函數和偶函數的性質，運用判斷函數單調性的基本方法，結合問題條
件，就可判斷函數f(x)在（-，0）上是增函數還是減函數。
【詳細解答】函數f(x)在（-，0）上是增函數，證明：任取， （-，0），且<，則-，- （0，+），且-<-，函數f(x)在（0，+）上是減函數，f(-)>f(-)，函數f(x)是偶函數，f()=f(-)，f()=f(-)，f()>f()，函數f(x)在（-，0）上是增函數。
3、定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，且在區間[0，2]上是增函數，則（ ）
A f(-25)【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②周期函數定義與性質；③判斷函數周期性的基本方
法。
【解題思路】根據奇函數和周期函數的性質，運用判斷函數周期性的基本方法，結合問題
條件，得到函數函數f(x)是以8為周期的周期函數，從而判斷出 f(-25)，f(11),，f(80) 的大
小關系就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)滿足f(x-4)=-f(x)，f(x)=-f(x+4)，f(x+4)=-f(x+8)，f(x)=f(x
+8)，函數函數f(x)是以8為周期的周期函數，函數f(x)是定義在R上的奇函數，
f(0)=0，f(x)=-f(x-4)=f(4-x)，函數f(x)的圖像關于直線x=2對稱，f(-25)=f(-1)，f(11)
=f(3)，f(80) =f(0) ，函數f(x)在區間[0，2]上是增函數，f(3)=f(1)>f(0)，f(-1)『思考問題5』
（2） 【典例5】是解答函數奇偶性問題時，容易觸碰的雷區，該類問題常見的雷區主要
忽視函數奇偶性（或周期性）的正確判斷，導致解答問題出現錯誤；
（2）解答函數奇偶性問題時，為避免忽視函數奇偶性和周期性的正確判斷的雷區，一定注
意正確判斷問題涉及函數的奇偶性（或周期性），尤其是分段函數奇偶性的判斷（或證明）問題需要特別重視-x所屬的區間。
〔練習5〕解答下列問題：
1、定義域為R的四個函數y=，y=，y=+1，y=2sinx中，奇函數的個數是（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1 （答案：C）
2、已知函數f(x)是奇函數，且在（0，+）上是增函數，判斷函數f(x)在（-，0）上是增函數還是減函數，并加以證明。（答案:函數f(x)在（-，0）上是增函數，證明略）
3、已知函數f(x)是定義在R 上的偶函數，并且f(x+2)=-f(x)，當2 x 3時，f(x)=x，
則f(-106.5)= 。（答案：f(-106.5)=2.5）
【考題演練】
【典例6】解答下列問題：
1、 著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般
好，隔離分家萬事休”如函數f(x)=的圖像大致是（ ）（成都市高2023級2023
-2024上期末調研考試）
【解析】
【考點】①函數定義域定義與性質；②函數奇偶性定義與性質；③判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據函數定義域和奇偶性的性質，運用判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件確定出函數f(x)的大致圖像就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=的定義域為（-，0）（0，+），函數f(x)的定義域（-，0）（0，+）關于原點對稱，f(-x)===f(x)，函數f(x)是偶函數，A，B錯誤；f(1)==0，x（0，1）時，f(x)<0，x（1，+）時，f(x)>0，且隨自變量x的增大，函數f(x)的值無限接近于0，C錯誤，D正確，選D。
2、函數f(x)=2x|x|-2x+的部分圖像大致為（ ）（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯盟考試）
【解析】
【考點】①對數定義與性質；②函數圖像定義與性質；③函數奇偶性定義與性質；④已知函數解析式確定函數圖像的基本方法。
【解題思路】根據對數，函數圖像和函數奇偶性的性質，運用已知函數解析式確定函數圖像的基本方法，結合問題條件確定出函數f(x)=2x|x|-2x+的部分大致圖像就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為 （-，0）（0，+）關于原點對稱，f(-x)=-2x|-x|
+2x-=-2xx|+2x-=-（2x|x|-2x+）=-f(x)，函數f(x)是定義域上的奇函數，C，D錯誤； |f(1)=21-2+1=-2+1=-1<0，A錯誤，B正確，選B。
3、下列函數中，既是奇函數，又在定義域內是增函數的有（ ） （成都市高2023級
2023-2024上期末名校聯盟考試）
A f(x)=x+ B f(x)=+ C f(x)=- D f(x)=2+x
【解析】
【考點】①函數奇偶性定義與性質；②函數單調性定義與性質；③判斷函數奇偶性的基本方法；④判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數奇偶性和單調性的性質，運用判斷函數奇偶性和函數單調性的基本方法，對各選項函數的奇偶性和單調性進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】對A，函數 f(x)的定義域是 （-，0）（0，+）關于原點對稱，f(-x)=-x-
=-（x+） =- f(x)，函數 f(x)是奇函數，但在定義域既有單調遞減區間，也有單調遞增區間，A錯誤；對B，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，，f(-x)=+=f(x)，函數 f(x)是偶函數，B錯誤；對C，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，f(-x)=-
=-（-）=-f(x)，函數 f(x)是奇函數，函數 f(x)是R上的增函數，C正確；
對D，函數 f(x)的定義域是R關于原點對稱，f(-x)=--2 -x=-（2+x ）=-f(x)，函數 f(x)是奇函數，函數 f(x)是R上的增函數， D正確， C，D正確，選C，D。
4、已知函數 f(x)的定義域為R，且滿足以下三個條件：①f(-x)+f(x)=0；② f(x)=f(2-x)；
③f(1)=2，則下列說法正確的有（ ）（成都市高2023級2023-2024上期末名校聯盟考試）
A 函數 f(x)的圖像關于直線x=-1軸對稱 B 函數 f(x)的圖像關于點（2，0）中心對稱 C f(x+4)=f(x) D f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=10
【解析】
【考點】①函數奇偶性定義與性質；②判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法；③軸對稱圖形定義與性質；④中心對稱圖形定義與性質；⑤周期函數定義與性質；⑥判斷（或證明）函數周期性的基本方法。
【解題思路】根據函數奇偶性，周期性，軸對稱圖形和中心對稱圖形的性質，運用判斷（或證明）函數奇偶性和周期性的基本方法，結合問題條件對各選項說法的正確性進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】f(x)=f(2-x)，函數 f(x)的圖像關于直線x=1軸對稱，函數 f(x)的定義域為R關于原點對稱，f(-x)+f(x)=0， 函數 f(x)是奇函數， f(-x)=-f(x)=f(x-2)， f(x)=-f(x-2)， 函數 f(x)的圖像關于直線x=-1軸對稱，A正確；f(x)=-f(x+2)，
f(x)=f(x+4)，函數 f(x)是以4為周期的周期函數，C正確；f(-x)+f(x)=f(-x)+f(x+4)=0，f(-x)=-f(x+4)， 函數 f(x)的圖像關于點（2，0）中心對稱 ，B正確；f(1)=2，f(-1)
=-2，f(2)=f(0)=0，f(3)=f(-1)=-2，f(4)=f(4+0)=f(0)=0，f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0
=0，f(17）=f(44+1）=f(1)=2， f(1）+ f(2）+ f(3）+----+f(17）=40+f(17）
=f(1)=2，D錯誤，綜上所述，A，B，C正確，選A，B，C。
5、若y=+ax+sin(x+)為偶函數，則a= （2023全國高考甲卷）
【解析】
【考點】①偶函數定義與性質；②三角函數誘導公式及運用；③判斷函數奇偶性的基本方法。
【解答思路】根據偶函數的性質，運用三角函數誘導公式和判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件得到關于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細解答】函數y=+ax+sin(x+)=+ax+cosx為偶函數， -ax
+cosx=+ax+cosx,(4-2a)x=0，a=2。
6、已知函數f(x)= 是偶函數，則a=（ ）（2023全國高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
【解析】
【考點】①偶函數定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法。
【解答思路】根據偶函數的性質，運用判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件得到關于a的方程，求解方程就可求出a的值就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)= 是偶函數，f(-x)===f(x)=，
==0，x0，=0，ax=2x，a=2，D正確，
選D。
7、若f(x)=（x+a）ln是偶函數，則a=( )(2023全國高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
【解析】
【考點】①偶函數定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質，運用判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件得到關于a的方程，求解方程求出a的值就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=（x+a）ln是偶函數， f(-x)=（-x+a）ln =-（-x+a）ln ，2a ln =0, a=0， B正確，選B。
8、若奇函數f(x)滿足f(x)=f(2-x)，且當x[0,1]時，f(x)=，則f(23)=（ ）（成都市高2020級高三二診）
A -1 B - C 0 D
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②周期函數定義與性質；③求函數值的基本方法。
【解題思路】根據奇函數和周期函數的性質，結合問題條件得到函數f(x)是以4為周期的周期函數，運用求函數值的基本方法，求出f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，從而求出f(23)的值就可得出選項。
【詳細解答】奇函數f(x)滿足f(x)=f(2-x)， f(x+2)=-f(2-x)，f(x+2)=-f(x+4)，f(x)=-f(x+2)=f(x+4)， 函數f(x)是以4為周期的周期函數，當x[0,1]時，f(x)=， f(0)==0，f(1)==，f(2)=-f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-， f(23)=f(45+3)
=f(3)=-，f(23)=-，B正確，選B。
9、函數y=（-）cosx在區間[-，]的圖像大致為（ ）（2022全國高考甲卷）
【解析】
【考點】①指數函數定義與性質；②余弦三角函數定義與性質；③函數奇偶性定義與性質；④判斷函數奇偶性的基本方法；④函數圖像及運用。
【解題思路】根據指數函數，余弦三角函數和函數奇偶性的性質，運用判斷函數奇偶性的基
本方法，得到函數y=（-）cosx是奇函數，從而排除B，D；當x（0，]時，->0，
cosx>0，從而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出選項。
【詳細解答】設f(x)= （-）cosx，區間[-，]關于原點對稱，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函數f(x)在[-，]上是奇函數，圖像關于原點對稱，B，D錯誤；當x（0，]時，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C錯誤，A正確，選A。
10、如圖是下列四個函數中的某個函數在區間[-3，3]的大致圖像，則該函數是（ ）（2022全國高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考點】①函數奇偶性定義與性質；②余弦三角函數定義與性質；③正弦三角函數定義與性質；④冪函數定義與性質；⑤判斷函數奇偶性的基本方法；⑥函數圖像及運用。
【解題思路】根據函數奇偶性，冪函數，余弦三角函數和正弦三角函數的性質，運用函數圖像和判斷函數奇偶性的基本方法，對各選項的函數進行判斷，就可得出選項。
【詳細解答】對A，設f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函數f(x)奇函數，函數f(x)的圖像關于原點對稱，與已知圖像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，與已知圖像符合，A正確；對B，設g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函數g(x)奇函數，函數g(x)的圖像關于原點對稱，與已知圖像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，與已知圖像不符合，B錯誤；對C，h(x)= ， h(-x)= = =-=- h(x)，函數f(x)奇函數，函數f(x)的圖像關于原點對稱，與已知圖像符合；0< h(1)= =cos1<1，與已知圖像不符合，C錯誤；對D，u(x)= ， u(-x)= = =-=- u(x)，函數f(x)奇函數，函數f(x)的圖像關于原點對稱，與已知圖像符合；0< u(1)= =sin1<1，與已知圖像不符合，D錯誤，綜上所述，A正確，選A。
11、已知函數f(x)，g(x)的定義域均為R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱，g(2)=4，則=（ ）（2022全國高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
【解析】
【考點】①函數奇偶性定義與性質；②函數對稱性定義與性質；③函數周期性定義與性質；④判斷函數奇偶性的基本方法；⑤判斷函數周期性的基本方法。
【解題思路】根據函數奇偶性，對稱性和周期性的性質，運用判斷函數奇偶性和周期性的基本方法，得到函數f(x)是以4為周期的偶函數，結合問題條件求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，從而求出=的值，就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)，g(x)的定義域均為R，y=g(x)的圖像關于直線x=2對稱， g(2-x)= g(2+x)， f(x)+g(2-x)=5，f(-x)+g(2+x)=5， f(x)= f(-x)，函數f(x)是R上的偶函數， g(2)=4，f(x)+g(2-x)=5， f(0)+g(2)= f(0)+4=5， f(0)=1， g(x)- f(x-4)=7，g（2-x)=f(-x
-2)+7，5- f(x)= f(-x-2)+7， f(x)+ f(-x-2)=-2， f(x)+ f(x+2)=-2， f(x+2)+ f(x+4)=-2，
f(x)= f(x+4)，函數f(x)是以4為周期的周期函數， f(0)+ f(2)=-2，f(0)=1， f(2)=-3，
f(3)= f(4-1)= f(-1)= f(1)=-1，f(4)= f(4+0)= f(0)=1， f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=-3-1-1+1=-4，=-45+ f(21)+ f(22)=-20+ f(1)+ f(2)=-20-1-3=-24，=-24，D正確，
選D。
12、若函數f(x)=ln|a+|+b是奇函數，則a= ，b= （2022全國高考乙卷文）
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②判斷函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據奇函數的性質和判斷函數奇偶性的基本方法，結合問題條件得到關于a，b的方程組，求解方程組就可求出a，b的值。
【詳細解答】函數f(x)=ln|a+|+b是奇函數， a+= 0，x=
=-1，a=-，函數f(x)=ln|a+|+b的定義域為（- ，-1）（-1，1）（1，+），
f(0)=ln|-+1|+b=-ln2+b=0，b=ln2，若函數f(x)=ln|a+|+b是奇函數，則a=-，
b=ln2。
『思考問題6』
（1）【典例6】是近幾年高考（或高三診斷考試或高一期末調研考試）試卷中關于函數奇偶性及運用的問題，歸結起來主要包括：①判斷（或證明）函數的奇偶性；②判斷（或證明）函數的周期性；③函數性質的綜合運用等幾種類型；
（2）解答函數單調性級運用問題的基本方法是：①歸結問題結構特征，判斷問題所屬類型；
②運用解答該類問題的解題思路和基本方法，對問題實施解答；③得出解答問題的結果。
〔練習6〕解答下列問題：
1、已知函數f(x)及其到函數（x）的定義域均為R，記g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均為偶函數，則（ ）（2022全國高考新高考I卷）（答案：B，C）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
2、若函數f(x)的定義域為R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，則=（ ）（2022全國高考新高考II卷）（答案：A）
A - 3 B -2 C 0 D 1
3、（理）定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當x[0，1]時，f(x)=，則函數g(x)= f(x)- 的所有零點之和為 。
（文）定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x)= f(2-x)，且當x[0，1]時，f(x)=，則函數g(x)= f(x)- 的所有零點之和為 （成都市2019級高三二診）(答案：（理）函數g(x)= f(x)- 的所有零點之和為18；（文）函數g(x)= f(x)- 的所有零點之和為14.)
4、設函數f(x)= ，則下列函數中為奇函數的是（ ）（2021全國高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1（答案：B）
5、已知函數f(x)= （a. - ）是偶函數，則a= （2021全國高考新高考I）（答
案：a=1。）
6、寫出一個同時具有下列性質①②③的函數f(x) （2021全國高考新高考II）
①f()= f(). f()；②當x,（0，+）時，（x）>0；③（x）是奇函數。（答案：同時具有下列性質①②③的函數f(x)= 。）
7、函數f(x)是定義在R上的奇函數，當x＞0時，f(x)=2-17，則f(f())= （2021成都市高三一診）（答案：f(f())=-1。）
8、關于函數f(x)=sinx+ 有如下四個命題：①f(x)的圖像關于y軸對稱；②f(x)的圖像
關于原點對稱；③f(x)的圖像關于直線x=對稱；④f(x)的最小值為2.其中所有真命題的序號是 （2020全國高考新課標III）（答案：其中所有真命題的序號是②③。）
9、若定義在R上的奇函數f(x)在（-，0）上單調遞減，f(2)=0，則滿足x f(x-1) ≥0的x的取值范圍是（ ）（2020全國高考新高考I）（答案：D）
A [-1,1]∪[3，+∞) B [-3,-1]∪[0,1] C [-1,0]∪[1，+∞) D [-1,0] ∪[1，3]
10、已知函數f(x)= 是奇函數，則實數a的值為 （2019成都市高三一診）
（答案：實數a的值為2.）

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