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2.1認識一元二次方程
如圖，矩形的對角線、交于點，的平分線交于點，連接，若，則的度數是　　
A． B． C． D．
【分析】根據矩形的對角線互相平分且相等可得，然后判斷出是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得，再判斷出是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得，從而得到，然后求出，再根據等腰三角形兩底角相等的性質列式計算即可得解．
【解答】解：矩形中，，
，
是等邊三角形，
，，
是的平分線，
是等腰直角三角形，
，
，
又，
．
故選：．
如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點的坐標為，頂點在軸正半軸上，則另一個頂點的坐標為　　
A． B． C． D．
【分析】連接交于，由菱形的性質得，，再由點的坐標得，，則，即可得出結論．
【解答】解：連接交于，如圖所示：
四邊形是菱形，頂點在軸正半軸上，
，，
點的坐標為，
，，
，
點的坐標為，
故選：．
如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點，于，連接，，則的度數是　　
A． B． C． D．
【分析】由四邊形是菱形，可得，，又由，，可求得的度數，然后由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，證得，繼而求得的度數，然后求得的度數．
【解答】解：四邊形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
故選：．
如圖，在菱形中，對角線，，則的面積為　　
A． B．5 C． D．6
【分析】根據菱形對角線互相垂直且平分求出，的長，然后利用直角三角形面積的求法直接計算即可．
【解答】解：四邊形是菱形．
，，且．
．
在中，
．
故選：．
如圖，在矩形中，，分別是邊，上的點，，連接，，與對角線交于點，且，，，則的長為　　
A． B．8 C． D．6
【分析】連接，根據等腰三角形三線合一的性質可得，再根據矩形的性質可得，根據等邊對等角的性質可得，再根據三角形的內角和定理列式求出，即，根據直角三角形角所對的直角邊等于斜邊的一半求出，再利用勾股定理列式計算即可求出．
【解答】解：如圖，連接，
四邊形是矩形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
是等邊三角形，
，，
，，
是等邊三角形，
，
．
故選：．
6．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查一元二次方程的定義，根據一元二次方程的定義判斷即可．
【詳解】解：A、，當時是一元二次方程，故A不正確；
B、是分式方程，不是一元二次方程，故B不正確；
C、是一元三次方程，故C不正確；
D、是一元二次方程，故D正確；
故選：D．
7．方程的一次項系數和常數項分別是（ ）
A．2，15 B．，15 C．6， D．，
【答案】D
【分析】此題考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．
【詳解】解：方程的一次項系數和常數項分別是，．
故選D．
8.如圖，在中，過點作于點，于點，且．
（1）求證：是菱形；
（2）若，，求的長．
【分析】（1）由“”可證，可得，可得結論；
（2）由全等三角形的性質可得，由勾股定理可求解．
【解答】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
，
，，
，
在和中，
，
．
，
是菱形．
（2），
，
，，
，
，
，
，
．
知識點一．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時滿足三個條件：
①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數是2．
（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．
知識點二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．一次項系數b和常數項c可取任意實數，二次項系數a是不等于0的實數，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式．
知識點三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
1．下列方程中，關于的一元二次方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，理解并掌握一元二次方程的定義是解題關鍵．只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．根據一元二次方程的定義，逐一分析四個選項中的方程，即可得出結論．
【詳解】解：A．，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合題意；
B．，當時不是一元二次方程，不符合題意；
C． ，含有兩個未知數，不是一元二次方程，不符合題意；
D．，整理可得，是一元二次方程，符合題意．
故選：D．
2.下列方程中，一元二次方程共有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x24；④x2﹣3x＝4；⑤x23＝0．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
【分析】一元二次方程必須滿足四個條件：（1）未知數的最高次數是2；（2）二次項系數不為0；（3）是整式方程；（4）含有一個未知數．由這四個條件對四個選項進行驗證．
【解答】解：①3x2+x＝20，④x2﹣3x＝4，⑤x23＝0符合一元二次方程的定義；
②2x2﹣3xy+4＝0中含有兩個未知數，不是一元二次方程；
③x24不是整式方程，不符合一元二次方程的定義，不是一元二次方程；
綜上所述，一元二次方程共有3個．
故選：B．
【總結】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．
3.（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查一元二次方程的識別，只含有一個未知數，且含未知數的項的最高次數為2的整式方程，是一元二次方程，進行判斷即可．
【詳解】解：A、是二元一次方程，不符合題意；
B、當時，不是一元二次方程，不符合題意；
C、是分式方程，不符合題意；
D、是一元二次方程，符合題意；
故選D．
4．若關于的方程是一元二次方程，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程，熟記定義是解題關鍵．
根據一元二次方程的定義（只含有一個未知數，并且未知數的最高次數2的整式方程，叫做一元二次方程）即可得．
【詳解】解：∵關于的方程是一元二次方程，
∴，
解得，
故答案為：．
5．已知關于x的方程為一元二次方程，則m的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的定義．根據一元二次方程的定義，列出關于的一元二次方程和一元一次不等式，解之即可．
【詳解】解：根據題意得：
，
解得：，，
，
解得：，
即，
故答案為：．
6．若關于的一元二次方程有一個根是，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查一元二次方程的解，把代入一元一次方程得，然后解一次方程即可．解題的關鍵是理解和掌握：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．也考查了解一元一次方程．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程有一個根是，
∴，
解得：．
故選：D．
7．根據下列表格的對應值，估計方程的一個解的范圍是（ ）
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程解的范圍，從表格中選擇合適的數據是解題關鍵．應該在與之間，從表中選擇合適的數據即可．
【詳解】解：由表中數據得：
當時，，
當時，，
使方程成立的一個解應該在與之間，
．
故選C
8.（23-24九年級上·福建泉州·期末）關于x的方程是一元二次方程，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．為任意實數
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的定義，熟記一元二次方程的定義是解題的關鍵．只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程，根據一元二次方程的定義得出即可．
【詳解】解：∵方程是關于的一元二次方程，
∴．
故選：B．
9.（23-24·廣西南寧·二模）2024年湯姆斯杯羽毛球賽于4月27日至5月5日在成都舉行，根據賽制規定，所有參賽隊伍先通過抽簽分成若干小組進行小組賽，小組賽階段每隊都要與小組內其他隊進行一場比賽，已知中國隊所在的小組有n支隊伍，共安排了6場小組賽．根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，正確理解題意、找準相等關系是解題的關鍵．每一支隊伍都要和另外的支隊伍進行比賽，于是比賽總場數每支隊的比賽場數參賽隊伍重復的場數，即可解答．
【詳解】解：共有n支隊伍參加比賽，根據題意，
可列方程為；
故選：B．
10.（23-24九年級下·全國·專題練習）一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，且個位數字與十位數字的平方和比這兩位數小4，設個位數字為，則方程為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了數的表示方法，要會利用未知數表示兩位數，然后根據題意列出對應的方程求解．根據個位數與十位數的關系，可知十位數為，那么這兩位數為：，這兩個數的平方和為：，再根據兩數的值相差4即可得出答案．
【詳解】解：依題意得：十位數字為：，這個數為：
這兩個數的平方和為：，
兩數相差4，
．
故選：C．
11.（23-24九年級下·山東淄博·期中）若關于的一元二次方程有一根為2022，則方程必有根為（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
【答案】D
【分析】設，即可改寫為，由題意關于x的一元二次方程有一根為，即有一個根為，所以，x=2021．
【詳解】由得到，
對于一元二次方程，
設，
所以，
而關于x的一元二次方程有一根為，
所以有一個根為，
則，
解得，
所以一元二次方程有一根為．
故選：D．
【總結】本題考查一元二次方程的解．掌握換元法解題是解答本題的關鍵．
已知為方程的根，那么的值為（ ）
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的解的定義；將方程的根代入方程，化簡得，將代數式變形，整體代入求值即可．
【詳解】∵為方程的根，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案為：．
13.（23-24九年級·上?！ぜ倨谧鳂I）已知關于方程的各項系數與常數項之和為2，求的值．
【答案】
【分析】首先把關于方程化為一般形式，根據各項系數與常數項之和等于2，求出m的值即可．
【詳解】解：整理方程得，
化為一般形式即為，
方程的各項分別為，，，其中未知項系數分別為1，，
依題意即有，
解得：．
【總結】此題考查一元二次方程的一般形式是：（a，b，c是常數且）特別要注意的條件．
14（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）關于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均為常數，a≠0），則關于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是
【答案】x1=3，x2=-8
【分析】將方程a（x+m+2）2+b=0變形為a（x+2+m）2+b=0，對照已知方程及其根得出x+2=5或x+2=-6，解之可得答案．
【詳解】解：∵關于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，
∴關于x的方程a（x+m+2）2+b=0，即a[（x+ 2）+ m]2+b=0，
∴a[（x+ 2）+ m]2+b=0滿足x+2=5或x+2=-6，
解得x1=3，x2=-8，
故答案為：x1=3，x2=-8
【總結】此題主要考查了方程解的定義以及直接開方法求解，注意由兩個方程的特點，運用整體思想進行簡便計算．
1．若a，b，c滿足，則關于x的方程的兩個根的平方和是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
【答案】C
【分析】本題考查一元二次方程的根，根據題意，得到方程的兩個根為和，進而求出兩個根的平方和即可．
【詳解】解：∵a，b，c滿足，
∴關于x的方程的兩個根分別為和，
∴；
故選C．
2．若關于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
【答案】B
【分析】本題考查了一元二次方程根的定義，理解一元二次方程根的定義是解題的關鍵．根據一元二次方程根的定義，可得一元二次方程中，滿足該方程，進而即可求解．
【詳解】解：設，則一元二次方程可化為，
，
關于x的一元二次方程有一根為，
一元二次方程有一個根為，
則，即，
一元二次方程必有一根為2025．
故選：B．
3.（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習）若關于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】對于一元二次方程，設得到，利用有一個根為得到，從而可判斷一元二次方程必有一根為．
【詳解】解：∵，
∴，
設，
∴，
而關于的一元二次方程有一根為，
∴有一個根為，
則，
解得，
∴一元二次方程必有一根為．
故選：D．
【總結】本題考查了一元二次方程的解的定義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
4.（23-24九年級下·江蘇揚州·期末）已知關于x的方程是一元二次方程，則k的值應為（ ）
A． B．3 C． D．不能確定
【答案】C
【分析】根據一元二次方程的定義：未知數的最高次數是2；二次項系數不為0；是整式方程；含有一個未知數．
【詳解】解：由關于的方程是一元二次方程，得
且．
解得．
故選：C．
【總結】本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數且未知數的最高次數是2．
5．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如的一元二次方程通過圖解法能得到其中的一個正根：如圖，先畫，使，，，再在斜邊上截取，連接，圖中哪條線段的長是一元二次方程的一個正根（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此題考查了勾股定理、一元二次方程的根等知識，理解題意，正確計算是解題的關鍵．
設，則，在中，由勾股定理得，整理得：，即可得到結論．
【詳解】解：線段的長是一元二次方程的一個正根，理由如下：
設，則，
在中，由勾股定理得：，
整理得：，
線段的長是一元二次方程的一個正根．
故選：A．
6.（23-24九年級上·山西長治·期中）將關于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關于x的一次多項式，也可以將表示為…，從而達到“降次”的目的，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數較高的代數式．若，則的值為（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】B
【分析】此題考查一元二次方程，整體代入法：根據方程變形得到，，仿照已知整體代入化簡即可得到答案，正確理解整體代入法達到降次解方程的目的是解題的關鍵．
【詳解】∵，
∴，，
∴
故選：B．
7.（23-24九年級上·黑龍江大興安嶺地·期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，則式子m3+2m2+2020的值為（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】D
【分析】先利用m是方程x2+x-1=0的根得到m2=-m+1，則可表示出m3=2m-1，然后利用整體代入的方法計算即可．
【詳解】解：∴m是方程x2+x-1=0的根，
∴m2+m-1=0，
∴m2=-m+1，
∴m3=m（-m+1）=-m2+m=m-1+m=2m-1
∴m3+2m2+2020=2m-1+2（-m+1）+2020=2m-1-2m+2+2020=2021．
故選：D．
【總結】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．
8.（23-24·山西晉中·二模）某旅游景點的商場銷售一款山西文創產品，平均每天可售出件，每件獲利元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．調查發現，如果這款文創產品的售價每降低元，那么平均每天可多售出件．商場要想平均每天獲利元，這款文創產品每件應降價多少元？設這款文創產品每件降價元，根據題意可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此題考查了一元二次方程的應用，設這款文創產品每件降價元，根據題意列出方程即可，根據題意列出方程是解題的關鍵．
【詳解】解：設這款文創產品每件降價元，
根據題意可列方程為：，
故選：．
9.（23-24九年級下·重慶·期末）如果關于x的不等式組有且僅有三個整數解，且關于y的方程是一元二次方程，則符合條件的所有整數m之和為 ．
【答案】8
【分析】先表示出不等式組的解集，由不等式組有且僅有三個整數解確定出m的取值，再由關于y的方程是一元二次方程，求出滿足題意整數m的值，進而求出和．
【詳解】，
由①得，
由②得，
∵不等式組有且僅有三個整數解，
∴，
即x可取，
∴，
∴，
∵關于y的方程是一元二次方程，
∴，解得，
∴且，
，
，
故答案為：8．
【總結】本題考查了解一元一次不等式組以及一元二次方程的定義，熟練掌握解一元一次不等式組的方法以及一元二次方程的定義是解題的關鍵．
10．已知m是方程（n為常數）的一個根，代數式的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了代數式求值，根據m是方程（n為常數）的一個根，得，可得，即可得，進行計算即可得，掌握方程的根，能得出是解題的關鍵．
【詳解】解：∵m是方程（n為常數）的一個根，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：．
11．已知實數是關于的一元二次方程的一個解，則的值是 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的解是指能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．先把代入方程得到，變形可得，，然后把它們整體代入中，通分、化簡、約分即可．
【詳解】實數是關于的一元二次方程的一個解，
，
，
，
故答案為：
1.（23-24九年級上·上海長寧·期末）下列關于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關鍵．根據一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A．中含有分式，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
B．，不是整式方程，故本選項不符合題意；
C．當時，不是一元二次方程，故本選項不符合題意；
D．是一元二次方程，故本選項符合題意．
故選：D．
2.（23-24九年級上·四川成都·期末）下列方程中，關于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查的是一元二次方程的定義，熟知只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程是解題的關鍵．
根據一元二次方程的定義對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：A. ，整理可得，是一元二次方程，故此選項符合題意；
B. ，分母中含有未知數，不是整式方程，故此選項不符合題意；
C. ，僅當時，原方程為一元二次方程，故此選項不符合題意；
D. ，最高次項的次數為3，故此選項不符合題意；
故選：A．
3.（23-24九年級上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查的是一元二次方程的定義：只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是的整式方程叫一元二次方程．據此對各選項進行逐一分析即可．
【詳解】解：①是一元二次方程；
②含有兩個未知數，不是一元二次方程；
③不是整式方程，不是一元二次方程；
④是一元二次方程．
故選：D．
4.（23-24九年級上·江蘇徐州·期中）關于x的一元二次方程化為一般形式后不含一次項，則m的值為（　?。?br/>A．0 B．±3 C．3 D．-3
【答案】C
【分析】此題考查了一元二次方程的定義，解題關鍵是理解一元二次方程的一般形式，將一元二次方程化為一般式，根據不含一次項可得一次項系數為0，求解即可．
【詳解】解：方程化為一般形式為：
由題意可得：
解得
故選：C
5．若一元二次方程（為常數），化成一般形式為，則的值分別是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式．要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式，根據完全平方公式、移項法則把原方程化為一般形式，根據題意列出方程，解方程得到答案．
【詳解】解：，
則，
∴，
由題意得：，，
解得：，，
故選：B．
6．若將關于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次項系數為1，常數項為，則該方程中的一次項系數為（ ）
A．5 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一元二次方程的一般式，一元二次方程的一般式為，把原方程先去括號，然后移項，合并同類項，化為一般式，進而求出a的值，即可求出答案．
【詳解】解：，
，
，
將關于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次項系數為1，
，
解得：，
，
則該方程中的一次項系數為5，
故選A．
7．根據下列表格的對應值：判斷方程一個解的取值范圍是（　?。?br/>x
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的解的估算．熟練掌握一元二次方程的解的估算是解題的關鍵．
由圖象可知，，則方程一個解的取值范圍為，然后判斷作答即可．
【詳解】解：∵，
∴方程一個解的取值范圍為，
故選：C．
8.（23-24九年級下·重慶·期中）由著名導演張藝謀執導的電影《第二十條》因深刻體現了普法的根本是人們對公平正義的勇敢追求，創下良好口碑，自上映以來票房連創佳績．據不完全統計，第一周票房約5億元，以后兩周以相同的增長率增長，三周后票房收入累計達約20億元，設增長率為，則方程可以列為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．根據第一天的票房及增長率，即可得出第二天票房約億元、第三天票房約億元，根據三天后票房收入累計達約20億元，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：第一天票房約5億元，增長率為x，
第二天票房約億元，第三天票房約億元．
依題意得：．
故選：D．
9.（23-24九年級上·全國·專題練習）若關于x的一元二次方程的二次項系數是，則a的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查多形式乘以多項式，一元二次方程的一般形式，根據多項式乘以多項式化簡得出一元二次方程為：，得出，求解即可得出答案．
【詳解】解：∵，
∴一元二次方程為：，
根據題意可得：，
解得：，
故答案為：．
10.（23-24九年級下·河北保定·期末）關于x的方程是一元二次方程，則 ．
【答案】
【分析】根據一元二次方程的定義解題即可．
【詳解】解：由題意得，
解得：，
故答案為：．
【總結】本題考查了一元二次方程的概念．只有一個未知數且未知數最高次數為2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特別要注意的條件．這是在做題過程中容易忽視的知識點．
11．若一元二次方程的一個根為，則代數式的值為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程解的定義；根據方程的解代入方程滿足等式關系，再整體代入計算求值即可；
【詳解】解：∵一元二次方程的一個根為，
∴，即
∴
故答案為：．
12.（23-24九年級下·江蘇·專題練習）已知a是方程的一個根，則代數式的值 ．
【答案】3
【分析】本題主要考查了整式的混合運算﹣化簡求值、完全平方公式、一元二次方程的解等知識點，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．
根據一元二次方程的解的意義可得，從而可得，然后再對多項式進行去括號，合并同類項，最后把代入化簡后的式子進行計算即可．
【詳解】解：∵a是方程的一個根，
∴，
∴，
∴，
當時，原式．
故答案為：3．
13.（23-24·重慶·一模）已知m為方程的一個根，則代數式的值為 ．
【答案】9
【分析】本題考查一元二次方程的解及代數式求值，解題關鍵是運用整體代入思想進行解題．先將m代入方程得，再將代入變形后的式子進行化簡求值即可．
【詳解】解：根據題意得：，
．
故答案為：9．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2.1認識一元二次方程
如圖，矩形的對角線、交于點，的平分線交于點，連接，若，則的度數是　　
A． B． C． D．
如圖，在平面直角坐標系中，菱形的頂點的坐標為，頂點在軸正半軸上，則另一個頂點的坐標為　　
A． B． C． D．
如圖，四邊形是菱形，對角線，相交于點，于，連接，，則的度數是　　
A． B． C． D．
如圖，在菱形中，對角線，，則的面積為　　
A． B．5 C． D．6
如圖，在矩形中，，分別是邊，上的點，，連接，，與對角線交于點，且，，，則的長為　　
A． B．8 C． D．6
6．下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）．
A． B． C． D．
7．方程的一次項系數和常數項分別是（ ）
A．2，15 B．，15 C．6， D．，
8.如圖，在中，過點作于點，于點，且．
（1）求證：是菱形；
（2）若，，求的長．
知識點一．一元二次方程的定義
（1）一元二次方程的定義：
只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程．
（2）概念解析：
一元二次方程必須同時滿足三個條件：
①整式方程，即等號兩邊都是整式；方程中如果有分母，那么分母中無未知數；
②只含有一個未知數；
③未知數的最高次數是2．
（3）判斷一個方程是否是一元二次方程應注意抓住5個方面：“化簡后”；“一個未知數”；“未知數的最高次數是2”；“二次項的系數不等于0”；“整式方程”．
知識點二．一元二次方程的一般形式
（1）一般地，任何一個關于x的一元二次方程經過整理，都能化成如下形式ax2+bx+c＝0（a≠0）．這種形式叫一元二次方程的一般形式．
其中ax2叫做二次項，a叫做二次項系數；bx叫做一次項；c叫做常數項．一次項系數b和常數項c可取任意實數，二次項系數a是不等于0的實數，這是因為當a＝0時，方程中就沒有二次項了，所以，此方程就不是一元二次方程了．
（2）要確定二次項系數，一次項系數和常數項，必須先把一元二次方程化成一般形式．
知識點三．一元二次方程的解
（1）一元二次方程的解（根）的意義：
能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解．又因為只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根，所以，一元二次方程的解也稱為一元二次方程的根．
（2）一元二次方程一定有兩個解，但不一定有兩個實數解．這x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩實數根，則下列兩等式成立，并可利用這兩個等式求解未知量．
ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．
1．下列方程中，關于的一元二次方程是（　?。?br/>A． B．
C． D．
2.下列方程中，一元二次方程共有（　　）
①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x24；④x2﹣3x＝4；⑤x23＝0．
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
3.（23-24九年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）下列方程中，屬于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
4．若關于的方程是一元二次方程，則 ．
5．已知關于x的方程為一元二次方程，則m的值是 ．
6．若關于的一元二次方程有一個根是，則的值是（ ）
A． B． C． D．
7．根據下列表格的對應值，估計方程的一個解的范圍是（ ）
x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
A． B． C． D．
8.（23-24九年級上·福建泉州·期末）關于x的方程是一元二次方程，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．為任意實數
9.（23-24·廣西南寧·二模）2024年湯姆斯杯羽毛球賽于4月27日至5月5日在成都舉行，根據賽制規定，所有參賽隊伍先通過抽簽分成若干小組進行小組賽，小組賽階段每隊都要與小組內其他隊進行一場比賽，已知中國隊所在的小組有n支隊伍，共安排了6場小組賽．根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
10.（23-24九年級下·全國·專題練習）一個兩位數，個位上的數字比十位上的數字小4，且個位數字與十位數字的平方和比這兩位數小4，設個位數字為，則方程為（　?。?br/>A． B．
C． D．
11.（23-24九年級下·山東淄博·期中）若關于的一元二次方程有一根為2022，則方程必有根為（ ）
A．2022 B．2020 C．2019 D．2021
已知為方程的根，那么的值為（ ）
13.（23-24九年級·上海·假期作業）已知關于方程的各項系數與常數項之和為2，求的值．
14（23-24九年級上·江蘇連云港·階段練習）關于x的方程a（x+m）2+b=0的根是x1=5，x2=-6，（a，b，m均為常數，a≠0），則關于x的方程a（x+m+2）2+b=0的根是
1．若a，b，c滿足，則關于x的方程的兩個根的平方和是（ ）
A．2 B．3 C．5 D．8
2．若關于x的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A．2024 B．2025 C．2026 D．2027
3.（23-24九年級下·江蘇南通·階段練習）若關于的一元二次方程有一根為，則一元二次方程必有一根為（ ）
A． B． C． D．
4.（23-24九年級下·江蘇揚州·期末）已知關于x的方程是一元二次方程，則k的值應為（ ）
A． B．3 C． D．不能確定
5．在歐幾里得的《幾何原本》中，形如的一元二次方程通過圖解法能得到其中的一個正根：如圖，先畫，使，，，再在斜邊上截取，連接，圖中哪條線段的長是一元二次方程的一個正根（ ）
A． B． C． D．
6.（23-24九年級上·山西長治·期中）將關于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關于x的一次多項式，也可以將表示為…，從而達到“降次”的目的，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡次數較高的代數式．若，則的值為（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
7.（23-24九年級上·黑龍江大興安嶺地·期中）已知m是方程x2+x-1=0的根，則式子m3+2m2+2020的值為（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
8.（23-24·山西晉中·二模）某旅游景點的商場銷售一款山西文創產品，平均每天可售出件，每件獲利元．為了盡快減少庫存，商場決定采取適當的降價措施．調查發現，如果這款文創產品的售價每降低元，那么平均每天可多售出件．商場要想平均每天獲利元，這款文創產品每件應降價多少元？設這款文創產品每件降價元，根據題意可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
9.（23-24九年級下·重慶·期末）如果關于x的不等式組有且僅有三個整數解，且關于y的方程是一元二次方程，則符合條件的所有整數m之和為 ．
10．已知m是方程（n為常數）的一個根，代數式的值是 ．
11．已知實數是關于的一元二次方程的一個解，則的值是 ．
1.（23-24九年級上·上海長寧·期末）下列關于x的方程中，一定是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2.（23-24九年級上·四川成都·期末）下列方程中，關于x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3.（23-24九年級上·新疆伊犁·期末）下列方程，是一元二次方程的是（ ）
①，②，③，④．
A． B． C． D．
4.（23-24九年級上·江蘇徐州·期中）關于x的一元二次方程化為一般形式后不含一次項，則m的值為（　?。?br/>A．0 B．±3 C．3 D．-3
5．若一元二次方程（為常數），化成一般形式為，則的值分別是（　?。?br/>A． B． C． D．
6．若將關于x的一元二次方程化成一般形式后，其二次項系數為1，常數項為，則該方程中的一次項系數為（ ）
A．5 B．3 C． D．
7．根據下列表格的對應值：判斷方程一個解的取值范圍是（　?。?br/>x
A． B． C． D．
8（23-24九年級下·重慶·期中）由著名導演張藝謀執導的電影《第二十條》因深刻體現了普法的根本是人們對公平正義的勇敢追求，創下良好口碑，自上映以來票房連創佳績．據不完全統計，第一周票房約5億元，以后兩周以相同的增長率增長，三周后票房收入累計達約20億元，設增長率為，則方程可以列為（ ）
A． B．
C． D．
9.（23-24九年級上·全國·專題練習）若關于x的一元二次方程的二次項系數是，則a的值為 ．
10.（23-24九年級下·河北保定·期末）關于x的方程是一元二次方程，則 ．
11．若一元二次方程的一個根為，則代數式的值為 ．
12.（23-24九年級下·江蘇·專題練習）已知a是方程的一個根，則代數式的值 ．
13.（23-24·重慶·一模）已知m為方程的一個根，則代數式的值為 ．
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