資源簡(jiǎn)介

1.1探索勾股定理
——八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版（2012）上冊(cè)課前導(dǎo)學(xué)
一、知識(shí)詳解
1.勾股定理
文字語言 符號(hào)語言 圖示 變式 應(yīng)用
如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別為，斜邊長(zhǎng)為，那么_______________.
2.勾股定理的證明
方法 圖形 證明
“趙爽弦圖” 因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以大正方形的面積為.又大正方形的面積________________________， 所以.
劉徽“青朱出入圖” 設(shè)大正方形的面積為，則________.根據(jù)“出入相補(bǔ)，以盈補(bǔ)虛”的原理，得___________，所以
加菲爾德總統(tǒng)拼圖 設(shè)梯形的面積為， 則___________________________________.因?yàn)?____________________________，所以
畢達(dá)哥拉斯拼圖 由圖（1）得大正方形的面積_______________，由圖（2）得大正方形的面積_________________，比較兩式易得
二、題目速練
1.在中，，，的對(duì)邊分別是a，b，c，若，則下列等式中成立的是( )
A. B. C. D.
2.如圖，在中，，分別以AC，BC，AB為邊在三角形外部作正方形.若以AC和BC為邊的正方形面積分別為5和3，則以AB為邊的正方形面積S的值為( )
A.4 B.8 C.16 D.34
3.已知一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和5，則第三條邊長(zhǎng)的平方為( )
A.16 B.4或34 C.16或34 D.4或24
4.如圖所示，的頂點(diǎn)A，B，C在邊長(zhǎng)為1的正方形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，于點(diǎn)D，則BD的長(zhǎng)為__________.
5.“趙爽弦圖”巧妙地利用“出入相補(bǔ)”的方法證明了勾股定理小明受此啟發(fā)，探究后發(fā)現(xiàn)，若將4個(gè)直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c的直角三角形拼成如圖所示的五邊形，用等積法也可以證明勾股定理，則小明用兩種方法表示五邊形的面積分別是(用含有a、b、c的式子表示)______________，______________.
答案及解析
一、知識(shí)詳解
1.直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；；
2.
方法 圖形 證明
“趙爽弦圖” 因?yàn)榇笳叫蔚倪呴L(zhǎng)為，所以大正方形的面積為.又大正方形的面積，所以.
劉徽“青朱出入圖” 設(shè)大正方形的面積為，則.根據(jù)“出入相補(bǔ)，以盈補(bǔ)虛”的原理，得，所以
加菲爾德總統(tǒng)拼圖 設(shè)梯形的面積為，則.因?yàn)椋?br/>畢達(dá)哥拉斯拼圖 由圖（1）得大正方形的面積由圖（2）得大正方形的面積 ，比較兩式易得
二、題目速練
1.答案：B
解析：因?yàn)樵谥校裕允侵苯侨切危琣為斜邊，則，故選B.
2.答案：B
解析：因?yàn)椋裕裕蔬xB.
3.答案：C
解析：因?yàn)橐粋€(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3和5，所以①當(dāng)5是此直角三角形的斜邊長(zhǎng)時(shí)，設(shè)另一條直角邊長(zhǎng)為x，則由勾股定理，得；②當(dāng)5是此直角三角形的直角邊長(zhǎng)時(shí)，設(shè)斜邊長(zhǎng)為y，則由勾股定理，得.故選C.
4.答案：3
解析：由題圖可知，，邊上的高為3，所以的面積為.由勾股定理，得，所以，則，解得，故答案為3.
5.答案：；
解析：如圖所示：
①，
②.
故答案為：；.1.2一定是直角三角形嗎
——八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版（2012）上冊(cè)課前導(dǎo)學(xué)
一、知識(shí)詳解
1.勾股定理的逆定理與勾股定理的聯(lián)系與區(qū)別
勾股定理 勾股定理的逆定理
條件 在中，. 在中，.
結(jié)論 ________________________ _______________
區(qū)別 勾股定理以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到數(shù)量關(guān)系“”，即由“形”到“數(shù)” 勾股定理的逆定理以“一個(gè)三角形的三邊滿足”為條件，進(jìn)而得到“這個(gè)三角形是直角三角形”，即由“數(shù)”到“形”.
聯(lián)系 兩者都與三角形的三邊有關(guān)系
二、題目速練
1.中，，，的對(duì)邊分別記為a，b，c，則無法判斷為直角三角形的是( )
A. B. C. D.
2.下列各組數(shù)：
①12，16，20；
②13，5，12；
③2，2，3；
④7，24，25.
其中勾股數(shù)有( )
A.1組 B.2組 C.3組 D.4組
3.在中，已知，，，則的面積為( )
A.136 B.68 C.120 D.60
4.如圖所示，在的正方形方格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，則是___________三角形.
5.如圖，在中，，，點(diǎn)D是線段AB上一點(diǎn)，連接，，.
(1)試說明：；
(2)求AC的長(zhǎng).
答案及解析
一、知識(shí)詳解
1.勾股定理的逆定理與勾股定理的聯(lián)系與區(qū)別
勾股定理 勾股定理的逆定理
條件 在中，. 在中，.
結(jié)論
區(qū)別 勾股定理以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件，進(jìn)而得到數(shù)量關(guān)系“”，即由“形”到“數(shù)” 勾股定理的逆定理以“一個(gè)三角形的三邊滿足”為條件，進(jìn)而得到“這個(gè)三角形是直角三角形”，即由“數(shù)”到“形”.
聯(lián)系 兩者都與三角形的三邊有關(guān)系
二、題目速練
1.答案：D
解析：A.因?yàn)椋裕詾橹苯侨切危?br/>B.因?yàn)椋裕裕詾橹苯侨切危?br/>C.因?yàn)椋栽O(shè)，則，，所以，所以為直角三角形；
D.因?yàn)椋栽O(shè)，則，，因?yàn)椋圆荒芙M成三角形.
2.答案：C
解析：①，能構(gòu)成直角三角形，是勾股數(shù)；②，能構(gòu)成直角三角形，是勾股數(shù)；③，不能構(gòu)成直角三角形，不是勾股數(shù)；④，能構(gòu)成直角三角形，是勾股數(shù).所以勾股數(shù)有①②④，共3組.故選C.
3.答案：D
解析：因?yàn)椋裕裕裕缘拿娣e為.故選D.
4.答案：直角
解析：因?yàn)椋裕詾橹苯侨切?
5.答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)在中，，，，
因?yàn)椋?br/>所以是直角三角形，且，即.
(2)設(shè)，則.
由(1)可知，所以.
在中，，
所以，所以，所以.1.3勾股定理的應(yīng)用
——八年級(jí)數(shù)學(xué)北師大版（2012）上冊(cè)課前導(dǎo)學(xué)
一、知識(shí)詳解
1.確定圓柱側(cè)面上的最短路線長(zhǎng)
圖示 轉(zhuǎn)化方法 原理 思想方法
①將圓柱的側(cè)面展開為長(zhǎng)方形；②確定相應(yīng)點(diǎn)的位置；③連接，，構(gòu)造，；④利用勾股定理求， 兩點(diǎn)之間，線段最短 轉(zhuǎn)化思想：化曲為直
2.確定長(zhǎng)方體表面上的最短路線長(zhǎng)
求長(zhǎng)方體表面上相對(duì)兩點(diǎn)之間的距離，可將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開，有三種方式.
長(zhǎng)方體
展開方式 右側(cè)面向前展開 上底面向前展開 上底面向左展開
圖示
的求法 ___________________ ____________________ _________________
結(jié)論 比較各展開方式中求得的的值，確定最短路徑
原理 兩點(diǎn)之間線段最短
二、題目速練
1.如圖所示，有一個(gè)圓柱形玻璃容器，高，底面周長(zhǎng)為，在外側(cè)下底面點(diǎn)S處有一只蜘蛛，與蜘蛛相對(duì)的圓柱形容器的上口內(nèi)側(cè)距開口處的點(diǎn)F處有一只蒼蠅，蜘蛛急于捕獲蒼蠅充饑，則蜘蛛所走的最短路程是( )
A. B. C. D.
2.如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為6的正方體木箱，點(diǎn)Q在上底面的棱上，，一只螞蟻從P點(diǎn)出發(fā)沿木箱表面爬行到點(diǎn)Q，則螞蟻爬行的最短路程是___________.
3.如圖，將一根長(zhǎng)為的橡皮筋固定在筆直的木棒上，兩端點(diǎn)分別記為點(diǎn)A、點(diǎn)B，然后將中點(diǎn)C向上拉升至點(diǎn)D，則橡皮筋被拉長(zhǎng)了________.
4.如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為，，，A和B是這個(gè)三級(jí)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路程是多少
答案及解析
一、知識(shí)詳解
2.；；
二、題目速練
1.答案：B
解析：將圓柱形容器的側(cè)面展開，如圖所示，作點(diǎn)F關(guān)于直線AB的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)度即為蜘蛛所走的最短路程.由題可知，所以，即蜘蛛所走的最短路程是，故選B.
2.答案：10
解析：如圖所示，因?yàn)椋裕裕?所以螞蟻爬行的最短路程是10.故答案為10.
3.答案：
解析：由題意知，.在中，根據(jù)勾股定理，得，所以，則.故橡皮筋被拉長(zhǎng)了.故答案為.
4.答案：最短路程是
解析：如圖，三級(jí)臺(tái)階平面展開圖為長(zhǎng)方形，長(zhǎng)為，寬為，
則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路程是此長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).
可設(shè)螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路程為.
由勾股定理得，所以(負(fù)值已舍去).
答：螞蟻沿著臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)的最短路程是.

展開更多......

收起↑