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5.2 課時2小船過河與繩——桿關聯速度問題
1.能理解和分析小船渡河問題。
2.學會解決渡河時間最短問題和渡河位移最小問題。
3. 學會分析常見“關聯”速度問題。
一、最短時間、最短位移渡河問題
船的實際運動 v（相對于河岸的運動）可看成是隨水以速度 v水 漂流的運動和以速度 v船 相對于靜水的劃行運動的合運動。這兩個分運動互不干擾具有等時性。
當v船 垂直于河岸時，渡河時間最短：
v船
v水
tmin=
v船
d
v
θ
tanθ=
v水
v船
v船
v水
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
v船
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
當船與河岸方向有夾角時，垂直于河岸的分速度減小。
1.渡河的最短時間
2.渡河的最短位移
d
當合速度v 方向垂直于河岸時，渡河位移最短，且為河寬d 。
v船
θ
v水
渡河時間：
t = =
v
d
v船 sinθ
d
cosθ=
v船
v水
v
v船>v水
當v船方向與合速度v 方向垂直時，有最短渡河位移lmin 。
v船最短位移：
t =
v
lmin
cosθ=
v水
v船
v水
lmin
lmin=
cosθ
d
B
C
D
E
A
v船
θ
θ
θ
渡河時間：
v
v船
例題：小船要橫渡一條200 m寬的河，水流速度為3 m/s，船在靜水中的航速是5 m/s.
(1)當小船的船頭始終正對對岸行駛時，它將在何時、何處到達對岸？
(2)要使小船到達河的正對岸，應如何行駛？多長時間能到達對岸？
(sin 37°＝0.6)
(3)如果水流速度變為10 m/s，要使小船航程最短，應如何航行？
解：(1)因為小船垂直于河岸的速度即小船在靜水中的行駛速度，且在這一方向上，小船做勻速運動，故渡河時間t＝＝ s＝40 s，小船沿河流方向的位移x＝v水t＝3×40 m＝120 m，即小船經過40 s，在正對岸下游120 m處靠岸．
(2)要使小船到達河的正對岸，則v水、v船的合運動v合應垂直于河岸，如圖甲所示，則v合＝ ＝4 m/s，經歷時間＝ s＝50 s.
又cos θ＝＝＝0.6，即船頭指向與河岸的上游所成角度為53°.
(3)如果水流速度變為10 m/s，如圖乙所示，應使v合的方向垂直于v船，故船頭應偏向上游，與河岸成θ′角，有cos θ′＝＝，解得θ′＝60°，即船頭指向與岸的上游成60°角．
二、關聯速度問題
繩、桿關聯問題是指物拉繩(桿)或繩(桿)拉物問題．高中階段研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可伸長和不可壓縮的，即繩或桿的長度不會改變，所以解題的原則是：把物體的實際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個分量，根據沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．
【對點訓練】 質量為m的物體P置于傾
角為θ1的固定光滑斜面上,輕細繩跨過
理想定滑輪分別連接著P與小車,P與滑輪間的細繩平行于斜面,小車以速率v水平向右做勻速直線運動。如圖,當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時,下列判斷正確的是(　　)
A.P的速率為v B.P的速率為vcos θ2
C.繩的拉力等于mgsin θ1 D.繩的拉力小于mgsin θ1
解析:將小車的速度v進行分解,如圖所示,則有vP=vcos θ2,故A錯誤,B正確。小車向右運動,θ2減小,v不變,則vP逐漸增大,說明物體P沿斜面向上做加速運動,由牛頓第二定律有FT-mgsin θ1=ma,可知繩對P的拉力FT>mgsin θ1,故C、D錯誤。
【對點訓練】圖中套在豎直細桿上的環A由跨過定滑輪的不可伸長的輕繩與重物B相連．由于B的質量較大，故在釋放B后，A將沿桿上升，當A環上升至與定滑輪的連線處于水平位置時，其上升速度v1≠0，若這時B的速度為v2，則 (　　)
A．v2＝v1 B．v2>v1
C．v2≠0 D．v2＝0
解析：環上升過程的速度v1可分解為兩個分速度v∥和v⊥，如圖所示，其中v∥為沿繩方向的速度，其大小等于重物B的速度v2；v⊥為繞定滑輪轉動的速度．關系式為v2＝v1cos θ，θ為v1與v∥間的夾角．當A上升至與定滑輪的連線處于水平位置時，θ＝90°，cos θ＝0，即此時v2＝0，D項正確．
分析“關聯”速度的基本步驟
1.關于輪船渡河，下列說法正確的是(　　)
A．水流的速度越大，渡河的時間越長
B．欲使渡河時間最短，船頭的指向應垂直河岸
C．欲使輪船垂直駛達對岸，則船的速度與水流速度的合速度應垂直河岸
D．輪船相對水的速度越大，渡河的時間一定越短
BC
2.如圖所示,小船過河時,船頭偏向上游,與水流方向成α角,船相對于靜水的速度為v,其航線恰好垂直于河岸。現水流速度稍有減小,為保持航線不變,且準時到達對岸,下列措施中可行的是(　 　)
A.增大α角,增大v
B.減小α角,減小v
C.減小α角,保持v不變
D.增大α角,保持v不變
B
3.如圖所示，AB桿和墻的夾角為θ時，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面的速度大小為v2，則v1、v2的關系是(　　)
A．v1＝v2　　　　　　B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
C
4.如圖所示，汽車通過滑輪拉重物A，汽車沿水平方向向右勻速運動，滑輪與繩的摩擦不計，則物體的運動情況是(　　)
A．勻速上升　　　　 B．加速上升
C．先加速后減速 D．減速上升
B

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