資源簡介

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專題29 平面向量基本定理及坐標表示（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】平面向量基本定理的應用 4
【考點2】平面向量的坐標運算 5
【考點3】平面向量共線的坐標表示 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.理解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
1.平面向量的基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面內不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
二、填空題
6．（2024·上海·高考真題）已知，且，則的值為 ．
7．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點， ，則 ；為線段上的動點，為中點，則的最小值為 ．
8．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
【考點1】平面向量基本定理的應用
一、單選題
1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
2．（2024·河南周口·模擬預測）已知中，，，AD為BC上的高，垂足為，點為AB上一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（22-23高一下·山東·階段練習）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
4．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說法正確的有（ ）
A．一定可以作為一個基底
B．一定有最小值
C．一定存在一個實數使得
D．的夾角的取值范圍是
三、填空題
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在中，，P是線段AD上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是 .
6．（2024·天津·模擬預測）如圖，在中，，，，D是邊上一點，且.若，記，則 ；若點P滿足與共線，，則的值為 .
反思提升：
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
【考點2】平面向量的坐標運算
一、單選題
1．（2024·貴州貴陽·二模）已知向量，若，則實數（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知平面向量，，且，則（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
3．（2020·山東臨沂·二模）設向量，，則（ ）
A． B．
C． D．與的夾角為
4．（2023·湖北·模擬預測）下列關于平面向量的說法中正確的是（ ）
A．已知，點在直線上，且，則的坐標為；
B．若是的外接圓圓心，則
C．若，且，則
D．若點是所在平面內一點，且，則是的垂心.
三、填空題
5．（2024·湖南常德·一模）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得．動點P從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，，則的取值范圍為 ．
6．（21-22高三下·重慶·階段練習）如圖是由兩個有一個公共邊的正六邊形構成的平面圖形，其中正六邊形邊長為1．設，則 ；是平面圖形邊上的動點，則的取值范圍是 ．
反思提升：
平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.
【考點3】平面向量共線的坐標表示
一、單選題
1．（2024·新疆喀什·三模）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知向量，，其中，若，則（ ）
A．40 B．48 C．51 D．62
二、多選題
3．（21-22高一·江蘇·課后作業）（多選題）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若點A，B，C能構成三角形，則實數m可以是（　　）
A．－2 B． C．1 D．－1
4．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知向量 滿足，，， .則下列說法正確的是（ ）
A．若點P在直線AB上運動，當取得最大值時，的值為
B．若點P在直線AB上運動， 在上的投影的數量的取值范圍是
C．若點P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上，取得最大值時，的值為3
D．若點P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上，的范圍是
三、填空題
5．（2024·江西南昌·模擬預測）已知，若，則的取值為 .
6．（2023·江西上饒·一模）已知向量，，若三點共線，則 .
反思提升：
1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·湖南益陽·一模）在平行四邊形中，，，若，則（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系內，已知點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陜西榆林·一模）已知向量，，，若，則（ ）
A． B． C．3 D．1
4．（2024·內蒙古包頭·三模）已知向量，，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多選題
5．（2022·海南·模擬預測）用下列，能表示向量的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、為三個單位向量，且，若（），則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（ ）
A．若，，則
B．已知向量，，則
C．若，則和在上的投影向量相等
D．已知，，，則點A，B，D一定共線
三、填空題
8．（2024·四川·三模）若向量與向量是共線向量，則實數= ．
9．（2024·上海·模擬預測）如圖，矩形中，為中點，與交于點，若將，作為平面向量的一個基，則向量可表示為 （用表示）.

10．（22-23高三上·天津南開·期末）在四邊形ABCD中，，，，，點E在線段CB的延長線上，且，則 .
四、解答題
11．（2020·四川綿陽·模擬預測）已知向量，,.
（1）若，求實數,的值；
（2）若，求實數的值.
12．（21-22高三上·河北邢臺·階段練習）如圖，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·四川·模擬預測）設向量，，若對任意的正數，，向量始終具有固定的方向，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·河南·模擬預測）設向量，，當且僅當，且時，則稱；當且僅當，且時，則稱，則下列結論正確的有（ ）
A．若且，則
B．若，，則
C．若，則對于任意向量，都有
D．若，則對于任意向量，都有
三、填空題
3．（23-24高二上·湖北·階段練習）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點.現將雙曲線：上的每個點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到曲線，則曲線的方程為 ．
四、解答題
4．（2025·浙江·模擬預測）在正四面體ABCD中，P是內部或邊界上一點，滿足，．
(1)證明：當取最小值時，；
(2)設，求的取值范圍．
【培優篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·貴州畢節·階段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左支交于點A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點，且（O為坐標原點）.下列四個結論正確的是（ ）
①；
②若，則雙曲線的離心率；
③；
④.
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、多選題
2．（22-23高一上·遼寧營口·期末）在邊長為4的正方形中，在正方形（含邊）內，滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．若點在上時，則
B．的取值范圍為
C．若點在上時，
D．當在線段上時，的最小值為
三、填空題
3．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如果復數，，，在復平面內對應的點分別為，，，，復數z滿足，且，則的最大值為 .
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專題29 平面向量基本定理及坐標表示（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 8
【考點1】平面向量基本定理的應用 8
【考點2】平面向量的坐標運算 14
【考點3】平面向量共線的坐標表示 19
【分層檢測】 23
【基礎篇】 23
【能力篇】 30
【培優篇】 32
考試要求：
1.理解平面向量基本定理及其意義.
2.掌握平面向量的正交分解及其坐標表示.
3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數乘運算.
4.理解用坐標表示的平面向量共線的條件.
1.平面向量的基本定理
條件 e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量
結論 對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底 若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底
2.平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐標運算
(1)向量加法、減法、數乘運算及向量的模
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐標的求法
①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.
②設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4.平面向量共線的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是x1y2－x2y1＝0.
1.平面內不共線向量都可以作為基底，反之亦然.
2.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.
3.向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系.兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
2．（2024·廣東江蘇·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
3．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B． C．5 D．6
二、填空題
6．（2024·上海·高考真題）已知，且，則的值為 ．
7．（2024·天津·高考真題）在邊長為1的正方形中，點為線段的三等分點， ，則 ；為線段上的動點，為中點，則的最小值為 ．
8．（2023·天津·高考真題）在中，，，記，用表示 ；若，則的最大值為 ．
參考答案：
1．C
【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
2．D
【分析】根據向量垂直的坐標運算可求的值.
【詳解】因為，所以，
所以即，故，
故選：D.
3．B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據數量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
4．D
【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
5．C
【分析】利用向量的運算和向量的夾角的余弦公式的坐標形式化簡即可求得
【詳解】解：,,即,解得,
故選：C
6．15
【分析】根據向量平行的坐標表示得到方程，解出即可.
【詳解】，，解得．
故答案為：15．
7．
【分析】解法一：以為基底向量，根據向量的線性運算求，即可得，設，求，結合數量積的運算律求的最小值；解法二：建系標點，根據向量的坐標運算求，即可得，設，求，結合數量積的坐標運算求的最小值.
【詳解】解法一：因為，即，則，
可得，所以；
由題意可知：，
因為為線段上的動點，設，
則，
又因為為中點，則，
可得
，
又因為，可知：當時，取到最小值；
解法二：以B為坐標原點建立平面直角坐標系，如圖所示，
則，
可得，
因為，則，所以；
因為點在線段上，設，
且為中點，則，
可得，
則，
且，所以當時，取到最小值為；
故答案為：；.
8．
【分析】空1：根據向量的線性運算，結合為的中點進行求解；空2：用表示出，結合上一空答案，于是可由表示，然后根據數量積的運算和基本不等式求解.
【詳解】空1：因為為的中點，則，可得，
兩式相加，可得到，
即，則；
空2：因為，則，可得，
得到，即，即.
于是.記，
則，
在中，根據余弦定理：，
于是，
由和基本不等式，，
故，當且僅當取得等號，
則時，有最大值.
故答案為：；.

【考點1】平面向量基本定理的應用
一、單選題
1．（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是（ ）
A．和 B． 和
C． 和 D． 和
2．（2024·河南周口·模擬預測）已知中，，，AD為BC上的高，垂足為，點為AB上一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（22-23高一下·山東·階段練習）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優美的結論．奔馳定理與三角形四心（重心、內心、外心、垂心）有著神秘的關聯．它的具體內容是：已知M是內一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（ ）

A．若，則M為的重心
B．若M為的內心，則
C．若，，M為的外心，則
D．若M為的垂心，，則
4．（2024·河南·三模）已知平面向量，則下列說法正確的有（ ）
A．一定可以作為一個基底
B．一定有最小值
C．一定存在一個實數使得
D．的夾角的取值范圍是
三、填空題
5．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）在中，，P是線段AD上的動點（與端點不重合），設，則的最小值是 .
6．（2024·天津·模擬預測）如圖，在中，，，，D是邊上一點，且.若，記，則 ；若點P滿足與共線，，則的值為 .
參考答案：
1．C
【分析】根據平面向量共線定理，結合選項，進行逐一分析即可.
【詳解】對A：不存在實數，使得，
故和不共線，可作基底；
對B：不存在實數，使得，
故和不共線，可作基底；
對C：對 和，因為是不共線的兩個非零向量，
且存在實數，使得，
故和共線，不可作基底；
對D：不存在實數，使得，故和不共線，可作基底.
故選：C.
2．A
【分析】利用向量的線性關系及數量積的運算律得可得答案.
【詳解】如圖所示，
由題意可知，，，，故，
因為，
所以，
則
.
故選：A.
3．ABD
【分析】A選項，，作出輔助線，得到，，三點共線，同理可得為的重心；B選項，設內切圓半徑為，將面積公式代入得到；C選項，設外接圓半徑，由三角形面積公式求出三個三角形的面積，得到比值；D選項，得到，作出輔助線，由面積關系得到線段比，設，，，表示出，，，結合三角函數得到，，進而求出余弦值；
【詳解】對A選項，因為，所以，
取的中點，則，所以，
故，，三點共線，且，
同理，取中點，中點，可得，，三點共線，，，三點共線，
所以為的重心，A正確；

對B選項，若為的內心，可設內切圓半徑為，
則，，，
所以，
即，B正確；
對C選項，若，，為的外心，則，
設的外接圓半徑為，故，，
，
故，，，
所以，C錯誤；

對D選項，若為的垂心，，
則，
如圖，，，，相交于點，
又，
，即，
，即，
，即，
設，，，則，，，
因為，，
所以，即，
，則，D正確；
故選：ABD.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量與四心關系應用，關鍵是利用三角形的幾何關系及向量數量積及向量線性表示逐項判斷.
4．BC
【分析】對A：借助基底的定義與向量共線定理計算即可得；對B：借助模長定義計算即可得；對C：借助模長與數量積的關系計算即可得；對D：找出反例即可得.
【詳解】對A：若，即，即，此時不能作基底，故A錯誤；
對B：，
故有最小值，故B正確；
對C：若，則有
即，即，即，
解得，即當時，，故C正確；
對D：由A知，若，則，即只能同向不能反向，
故的夾角不可能為，故D錯誤.
故選：BC.
5．
【分析】由，得到，從而有，再根據三點共線，得到，然后利用基本不等式求解.
【詳解】解：因為在中，，
所以，
又因為，則，
因為三點共線，則，結合題意知，
所以，
，
當且僅當，即時，等號成立，
故答案為：
6． / 或
【分析】把兩邊用表示即可得解；利用共線向量建立，之間的數乘關系，進而結合第一空把用表示，利用垂直向量點積為零可得解．
【詳解】，
∴，
∴，
則
，
又，∴，
所以；
∵與共線，
∴可設，，
∵，
∴，
∴
=，
=，
∴=，①
∵，
∴，，，②
把②代入①并整理得：
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴或，
故的值為或．
故答案為：；或．
反思提升：
(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數乘運算.一般將向量“放入”相關的三角形中，利用三角形法則列出向量間的關系.
(2)用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一個基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.注意同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解都是唯一的.
【考點2】平面向量的坐標運算
一、單選題
1．（2024·貴州貴陽·二模）已知向量，若，則實數（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
2．（2024·安徽蚌埠·模擬預測）已知平面向量，，且，則（ ）
A．2 B． C． D．
二、多選題
3．（2020·山東臨沂·二模）設向量，，則（ ）
A． B．
C． D．與的夾角為
4．（2023·湖北·模擬預測）下列關于平面向量的說法中正確的是（ ）
A．已知，點在直線上，且，則的坐標為；
B．若是的外接圓圓心，則
C．若，且，則
D．若點是所在平面內一點，且，則是的垂心.
三、填空題
5．（2024·湖南常德·一模）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得．動點P從點A出發，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，，則的取值范圍為 ．
6．（21-22高三下·重慶·階段練習）如圖是由兩個有一個公共邊的正六邊形構成的平面圖形，其中正六邊形邊長為1．設，則 ；是平面圖形邊上的動點，則的取值范圍是 ．
參考答案：
1．D
【分析】借助向量坐標運算與向量平行的坐標表示計算即可得.
【詳解】，，
由，則有，
解得.
故選：D.
2．D
【分析】利用平面向量平行的坐標運算公式即可.
【詳解】因為，，且，所以，
解得，所以D正確.
故選：D.
3．CD
【分析】求出可判斷A；求出的坐標，利用向量共線的坐標運算可判斷B；由向量垂直的坐標運算可判斷C；利用向量夾角公式計算可判斷D.
【詳解】對于A，，故A錯誤；
對于B，因為，所以，故B錯誤；
對于C，因為，所以，所以，故C正確；
對于D，，因為，
所以與的夾角為，故D正確.
故選：CD.
4．BD
【分析】對于A，設，由題意可得或，再根據平面向量的坐標表示計算即可；對于B，如圖，設為的中點，根據數量積的定義即可得解；對于C，當時，再根據數量積的運算律即可判斷；根據數量積的運算律即可判斷D.
【詳解】對于A，設，則，
因為點在直線上，且，
所以或，
則或，
所以或，解得或，
所以或，故A錯誤；
對于B，如圖，設為的中點，則，
則，故B正確；
對于C，當時，，
滿足，則與不一定相等，故C錯誤；
對于D，因為，
所以，所以，
同理可得，
所以是的垂心，故D正確.
故選：BD.
5．
【分析】建立適當的平面直角坐標系，討論四種情況，即可求出的取值范圍.
【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系：
則，所以，
當時，有，即，此時的取值范圍為，
當時，有，即，此時的取值范圍為，
當時，有，即，此時的取值范圍為，
當時，有，即，此時的取值范圍為，
綜上所述，的取值范圍為.
故答案為：.
6． 1
【分析】建立平面直角坐標系，利用相等向量的坐標相等，列式求解；設，求出，通過直線平移即可求解的取值范圍.
【詳解】
建立以為原點，如圖所示的平面直角坐標系，連接，
因為六邊形為正六邊形，
所以，，
作于，
所以，，
所以，，，
所以，，
設，，，
所以，
所以
如圖所示，在平面直角坐標系中，其中，
作直線，平移使之經過多邊形內每一個點，當直線經過線段時，取得最大值，當當直線經過線段時，取得最小值.
故答案為：；
反思提升：
平面向量坐標運算的技巧
(1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標.
(2)解題過程中，常利用向量相等其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解.
【考點3】平面向量共線的坐標表示
一、單選題
1．（2024·新疆喀什·三模）已知向量，，則（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25高三上·河南焦作·開學考試）已知向量，，其中，若，則（ ）
A．40 B．48 C．51 D．62
二、多選題
3．（21-22高一·江蘇·課后作業）（多選題）已知向量＝（1，－3），＝（2，－1），＝（m＋1，m－2），若點A，B，C能構成三角形，則實數m可以是（　　）
A．－2 B． C．1 D．－1
4．（2023·遼寧葫蘆島·二模）已知向量 滿足，，， .則下列說法正確的是（ ）
A．若點P在直線AB上運動，當取得最大值時，的值為
B．若點P在直線AB上運動， 在上的投影的數量的取值范圍是
C．若點P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上，取得最大值時，的值為3
D．若點P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上，的范圍是
三、填空題
5．（2024·江西南昌·模擬預測）已知，若，則的取值為 .
6．（2023·江西上饒·一模）已知向量，，若三點共線，則 .
參考答案：
1．D
【分析】首先求出， ，再根據向量共線的坐標表示及數量積的坐標運算判斷即可.
【詳解】因為，，
所以， ，
因為，所以與不共線，故A錯誤；
因為，所以與不共線，故B錯誤；
因為，所以與不垂直，故C錯誤；
因為，所以，故D正確.
故選：D
2．C
【分析】依據題意以及向量平行的坐標表示列式可求出，進而可求出和，再根據坐標表示的向量加法和數量積定義即可求解.
【詳解】因為，，且，
所以，解得或，
又，所以，此時，，
所以，所以.
故選：C.
3．ABD
【分析】先求與，使之共線并求出的值，則A，B，C三點不共線即可構成三角形，因此取共線之外的值即可．
【詳解】因為，
．
假設A，B，C三點共線，則1×（m＋1）－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，則A，B，C三點即可構成三角形.
故選：ABD．
4．BD
【分析】根據給定條件，以點為坐標原點建立平面直角坐標系，求出點的坐標，逐項分析點的軌跡并推理計算、判斷作答.
【詳解】因為，即有，則以點為坐標原點，的方向分別為軸的正方向，建立平面直角坐標系，

則，由，得，
點確定的直線方程為：，即，
當點在直線上時，，即，，
因此當時，取得最大值，此時，，A錯誤；
在上的投影的數量，
當時，，當時，，當且僅當時取等號，即，
當時，，因為恒成立，則，
所以，即在上的投影的數量的取值范圍是，B正確；
當點P在以r = 為半徑且與直線AB相切的圓上時，因為與直線AB相切，
且半徑為的圓的圓心軌跡是與直線平行，到直線距離為的兩條平行直線，
設這兩條與平行的直線方程為，則，解得或，
因此動圓圓心的軌跡為直線或直線，
設圓心為，則點在圓上，其中或，
于是令，
，顯然點是直線或上任意一點，
即，從而無最大值，即無最大值，C錯誤；
，其中銳角滿足，
顯然，當圓心在直線時，，則，
當圓心在直線時，，則，
所以的范圍是，D正確.
故選：BD
【點睛】易錯點睛：求解軌跡方程問題，設出動點坐標，根據條件求列出方程，再化簡整理求解，還應特別注意：補上在軌跡上而坐標不是方程解的點，剔出不在軌跡上而坐標是方程解的點.
5．
【分析】借助向量坐標運算與向量平行的坐標表示計算即可得.
【詳解】因為，所以，，
由，則有，解得.
故答案為：
6．
【分析】由三點共線得向量共線，然后利用向量共線的坐標運算得答案．
【詳解】三點共線，
與共線，
，解得．
故答案為：．
反思提升：
1.兩平面向量共線的充要條件有兩種形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.
2.向量共線的坐標表示既可以判定兩向量平行，也可以由平行求參數.當兩向量的坐標均非零時，也可以利用坐標對應成比例來求解.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·湖南益陽·一模）在平行四邊形中，，，若，則（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·全國·模擬預測）在平面直角坐標系內，已知點，則（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·陜西榆林·一模）已知向量，，，若，則（ ）
A． B． C．3 D．1
4．（2024·內蒙古包頭·三模）已知向量，，若，則（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多選題
5．（2022·海南·模擬預測）用下列，能表示向量的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（21-22高三上·福建福州·期中）已知平面向量、、為三個單位向量，且，若（），則的可能取值為（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知向量，，為非零向量，下列說法正確的有（ ）
A．若，，則
B．已知向量，，則
C．若，則和在上的投影向量相等
D．已知，，，則點A，B，D一定共線
三、填空題
8．（2024·四川·三模）若向量與向量是共線向量，則實數= ．
9．（2024·上海·模擬預測）如圖，矩形中，為中點，與交于點，若將，作為平面向量的一個基，則向量可表示為 （用表示）.

10．（22-23高三上·天津南開·期末）在四邊形ABCD中，，，，，點E在線段CB的延長線上，且，則 .
四、解答題
11．（2020·四川綿陽·模擬預測）已知向量，,.
（1）若，求實數,的值；
（2）若，求實數的值.
12．（21-22高三上·河北邢臺·階段練習）如圖，在梯形中，.
（1）用，表示，，；
（2）若，且，求的大小.
參考答案：
1．B
【分析】利用平面向量的線性運算求出即可求出.
【詳解】由題意如圖所示：
因為
，
所以，
所以，
故選：B.
2．B
【分析】根據題意，結合向量的坐標表示與運算，即可求解.
【詳解】因為點，則，
可得.
故選：B．
3．D
【分析】首先求出的坐標，依題意可得，根據數量積的坐標表示得到方程，解得即可.
【詳解】因為，，，
所以，
因為，所以，解得.
故選：D
4．D
【分析】結合向量的坐標運算與向量平行定義計算即可得.
【詳解】由，，
則，，
由，則有，
即，故.
故選：D.
5．AB
【分析】
根據題意，設，利用向量的坐標運算，得到關于的方程組，結合方程組的解，即可求解.
【詳解】對于A中，設，可得，
則，方程組有無數組解，例如時，，所以A成立；
對于B中，設，可得，
則，解得時，，所以B成立；
對于C中，設，可得，
則，此時方程組無解，所以不能表示，所以C不成立；
對于D中，設，可得，
則，此時方程組無解，所以不能表示，所以D不成立.
故選：AB.
6．ABC
【解析】以向量、方向為x，y軸建立坐標系，則終點在單位圓上的向量，可計算取值范圍，即得結果.
【詳解】依題意，、是一組垂直的單位向量，如圖建立坐標系，向量、作為一組垂直的單位基底可以表示單位圓上任一點C（表示由x軸非負半軸旋轉到OC所形成的角）構成的向量，，
因為，，，，
所以，故，，
故，故可以是選項中的0，1，.
故選：ABC.
7．CD
【分析】根據向量的線性運算、投影向量的意義和向量共線定理即可判斷出正確答案.
【詳解】對于A，若，，則與可能平行，故A錯誤；
對于B，設，則，解得，所以，故B錯誤；
對于C，若，則，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正確；
對于D，因為，，所以,所以點A，B，D一定共線，故D正確.
故選：CD.
8．
【分析】根據向量共線的坐標表示，列式計算，即得答案.
【詳解】因為與共線，所以，解得．
故答案為：
9．
【分析】先利用平行線的性質求出，進而利用向量的線性運算求解即可.
【詳解】由已知，
則，
所以，
所以.
故答案為：.
10．1
【分析】建立坐標系利用向量的坐標運算分別寫出向量而求解．
【詳解】建立如圖所示的直角坐標系，
因為，，，
則，
又則，
因為，所以，
所以直線的斜率為，
其方程為，
直線的斜率為，
其方程為,
由得，，
所以,
由，，
所以，
故答案為：1.
11．（1）；（2）.
【分析】(1)根據向量相等的條件，建立方程組，解之可得答案.
(2)由向量垂直的坐標表示，可求得答案.
【詳解】(1)因為向量，,，又，
所以，即有，
解得.
(2)因為向量，,，所以，又，
所以，即，解得.
【點睛】本題考查向量的線性坐標運算，向量相等，向量垂直的條件，屬于基礎題.
12．（1），，；（2）.
【分析】（1）利用向量的線性運算直接求解即可；
（2）根據，結合向量數量積的定義和運算律可構造方程求得，由此求得.
【詳解】（1），，
；
（2），，.
，且，，解得：，
，.
【能力篇】
一、單選題
1．（2023·四川·模擬預測）設向量，，若對任意的正數，，向量始終具有固定的方向，則（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·河南·模擬預測）設向量，，當且僅當，且時，則稱；當且僅當，且時，則稱，則下列結論正確的有（ ）
A．若且，則
B．若，，則
C．若，則對于任意向量，都有
D．若，則對于任意向量，都有
三、填空題
3．（23-24高二上·湖北·階段練習）已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉角得到向量，叫做把點繞點沿逆時針方向旋轉角得到點.現將雙曲線：上的每個點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到曲線，則曲線的方程為 ．
四、解答題
4．（2025·浙江·模擬預測）在正四面體ABCD中，P是內部或邊界上一點，滿足，．
(1)證明：當取最小值時，；
(2)設，求的取值范圍．
參考答案：
1．A
【分析】向量始終具有固定的方向，則向量與共線，即可求解.
【詳解】僅當與共線時，向量始終具有固定的方向，
結合題設，兩向量必同向共線，則，所以.
故選：.
2．BC
【分析】通過舉反例判斷AD錯誤，利用定義證明判斷出BC正確.
【詳解】對于A，取，，滿足，取，，則，，滿足，但，A錯誤；
對于B，因為，，根據新定義可知，，B正確；
對于C，設向量，，，由，得，且，則，且，所以，C正確；
對于D，根據，取向量，，，則，，，D錯誤.
故選：BC.
3．
【分析】根據定義，在雙曲線上設點,求出旋轉后點的坐標，然后反求出的坐標，再代入雙曲線方程，化簡即得.
【詳解】在雙曲線：上任取一點，將其繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到點
，即，在曲線上設點，
則有反求出，得：
因點在雙曲線：上，故得：
，整理得：，故曲線的方程為
故答案為：
4．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）先根據條件確定點的位置，再證明線線垂直.
（2）先探究與的關系，再利用二次函數的性質求范圍.
【詳解】（1）如圖：取中點，中點，連接，
則，.
因為，，
所以三點共線.
又四面體為正四面體，所以，當為中點時，，此時取得最小值.
又，所以.
（2）易知，
.
所以，，，
故（）.
根據二次函數的性質，當時，有最小值，為；
當或時，有最大值，為.
故的取值范圍為：
【培優篇】
一、單選題
1．（22-23高三上·貴州畢節·階段練習）已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，過點的直線與雙曲線的左支交于點A，與雙曲線的一條漸近線在第一象限交于點，且（O為坐標原點）.下列四個結論正確的是（ ）
①；
②若，則雙曲線的離心率；
③；
④.
A．①② B．①③ C．①②④ D．①③④
二、多選題
2．（22-23高一上·遼寧營口·期末）在邊長為4的正方形中，在正方形（含邊）內，滿足，則下列結論正確的是（ ）
A．若點在上時，則
B．的取值范圍為
C．若點在上時，
D．當在線段上時，的最小值為
三、填空題
3．（2024·貴州貴陽·模擬預測）如果復數，，，在復平面內對應的點分別為，，，，復數z滿足，且，則的最大值為 .
參考答案：
1．C
【分析】對于①：根據可得，根據勾股定理分析判斷；對于②：根據向量共線可得，代入雙曲線方程可得離心率；對于③：根據雙曲線的定義及三角形的三邊關系分析判斷；對于④：根據兩點間距離以及A的橫坐標的范圍分析判斷.
【詳解】對于①：因為，且為的中點，則，
所以，故①正確；
對于②：由題意可知：直線，
設，則，可得，
即，
設，由，可得，
因為，則，解得，
即，由點A在雙曲線上可得，
整理得，解得或（舍去），故②正確；
對于③：設直線與雙曲線的右支交于點，
由雙曲線的定義可得：，
在中可得，即，
所以，
即，故③錯誤；
對于④：設，則，可得，
則，
因為，則，可得，
所以，即，故④正確；
故選：C.
【點睛】方法點睛：1．雙曲線離心率(離心率范圍)的求法
求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關鍵是根據已知條件確定a，b，c的等量關系或不等關系，然后把b用a，c代換，求e的值．
2．焦點三角形的作用
在焦點三角形中，可以將圓錐曲線的定義，三角形中邊角關系，如正余弦定理、勾股定理結合起來．
2．AD
【分析】根據題意建立平面直角坐標系，然后利用向量的線性坐標運算逐個分析判斷即可.
【詳解】如圖建立平面直角坐標系，則，設，
因為，
所以，所以，
對于A，由題意可得線段的方程為，，
因為點在上，所以，
因為，所以，
所以，所以A正確，
對于B，因為，所以，
所以，
因為，所以，
所以，所以B錯誤，
對于C，因為，所以，
因為，，
所以，
若，則，得，
因為，所以不滿足，
所以不成立，所以C錯誤，
對于D，
，當且僅當時取等號，
所以當在線段上時，的最小值為，所以D正確，
故選：AD
3．
【分析】先將復數轉化為平面直角坐標系中的坐標，然后用距離公式對條件進行變形，得到，由此可以證明. 之后再使用向量的坐標運算將表示為關于的表達式，利用即可證明，最后給出一個的例子即可說明的最大值是.
【詳解】由，，，，知，，，，從而，，.
由于，，故條件即為，展開得到，再化簡得，所以，故我們有，從而.
由于，，，，故，從而.
經驗證，當，時，條件滿足. 此時.
所以的最大值是.
故答案為：.
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于將復數坐標化為平面直角坐標系中的坐標，并將復數之差的模長表示為平面直角坐標系中的線段長度. 另外，本題還具有“阿波羅尼斯圓”的背景：平面上到兩個不同定點的距離之比恒為常數的點的軌跡是一個圓，該圓稱為關于的阿波羅尼斯圓. 使用解析幾何方法結合距離公式，很容易證明此結論.
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