資源簡介

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專題30 平面向量的數量積及其應用（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 9
【考點1】數量積的計算 9
【考點2】數量積的應用 13
【考點3】平面向量的綜合應用 16
【分層檢測】 20
【基礎篇】 20
【能力篇】 28
【培優篇】 31
考試要求：
1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義.
2.了解平面向量的數量積與投影向量的長度的關系.
3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.
4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.
6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.
1.平面向量數量積的有關概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
(2)數量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos__θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如圖，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.
設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝|a|cos θ e.
2.平面向量數量積的性質及其坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夾角：cos θ＝＝.
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面幾何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；
(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.
1.兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b<0且a，b不共線.
2.平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.數量積運算律要準確理解、應用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個向量.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
2．（2024·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
8．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B B D A D
1．C
【分析】根據向量垂直和平行的坐標表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】對A，當時，則，
所以，解得或，即必要性不成立，故A錯誤；
對C，當時，，故，
所以，即充分性成立，故C正確；
對B，當時，則，解得，即必要性不成立，故B錯誤；
對D，當時，不滿足，所以不成立，即充分性不立，故D錯誤.
故選：C.
2．B
【分析】由得，結合，得，由此即可得解.
【詳解】因為，所以，即，
又因為，
所以，
從而.
故選：B.
3．B
【分析】方法一：以為基底向量表示，再結合數量積的運算律運算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐標運算求解；方法三：利用余弦定理求，進而根據數量積的定義運算求解.
【詳解】方法一：以為基底向量，可知，
則，
所以；
方法二：如圖，以為坐標原點建立平面直角坐標系，
則，可得，
所以；
方法三：由題意可得：，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故選：B.
4．B
【分析】利用平面向量模與數量積的坐標表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運算公式即可得解.
【詳解】因為，所以，
則，，
所以.
故選：B.
5．D
【分析】作出圖形,根據幾何意義求解.
【詳解】因為,所以,
即,即,所以.
如圖,設,
由題知,是等腰直角三角形,
AB邊上的高,
所以,
,
.
故選:D.
6．A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數量積定義可得，或然后結合三角函數的性質即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當點位于直線異側時或PB為直徑時，設，
則：
，則
當時，有最大值.

當點位于直線同側時，設，
則：
，
，則
當時，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數量積的問題轉化為三角函數求最值的問題，考查了學生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
7．D
【分析】根據向量的坐標運算求出，，再根據向量垂直的坐標表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
8．
【分析】法一：根據題意結合向量數量積的運算律運算求解；法二：換元令，結合數量積的運算律運算求解.
【詳解】法一：因為，即，
則，整理得，
又因為，即，
則，所以.
法二：設，則，
由題意可得：，則，
整理得：，即.
故答案為：.
【考點1】數量積的計算
一、單選題
1．（2025·安徽·一模）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·廣東·一模）已知和的夾角為，且，則（ ）
A． B． C．3 D．9
二、多選題
3．（2024·浙江·模擬預測）已知向量，的夾角為 ，且，，則（ ）
A． B．
C． D．在的方向上的投影向量為
4．（2024·江西鷹潭·三模）已知向量，，，則（ ）
A．若，則
B．在方向上的投影向量為
C．存在，使得在方向上投影向量的模為1
D．的取值范圍為
三、填空題
5．（2024·天津河西·模擬預測）在梯形中，，點滿足，則 ；若與相交于點，為線段延長線上的動點，則的最小值為 ．
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知，是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為 .
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B C AB ACD
1．B
【分析】應用向量的數量積及運算律，結合投影向量公式計算即可得解.
【詳解】因為，與的夾角為，
所以，
則，
所以在上的投影向量為．
故選：B.
2．C
【分析】根據向量數量積運算求得正確答案.
【詳解】
故選：C
3．AB
【分析】根據向量的數量積、向量的模、向量的垂直和投影向量的運算性質，對各個選項逐一判定即可．
【詳解】，，故A正確；
，所以，故B正確；
，所以，
又因為，所以，故C錯誤；
在上的投影向量為，故D錯誤；
故選：AB．
4．ACD
【分析】由垂直向量的數量積表示可判斷A；由投影向量的計算公式可判斷B，C；由向量的模長公式結合三角函數的性質可判斷D.
【詳解】對于A，若，則，
則，即，所以，故 A正確；
對于B，在方向上的投影向量為，故B錯誤；
對于C，在方向上的投影向量的模為，
若，則，
即，其中，，
所以，
所以存在，使得在方向上的投影向量的模為1，故C正確.
對于D，,
因為所以，所以，
所以，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】結合圖形，利用向量的加減運算和數量積的定義化簡計算即可求得；接著根據條件建立平面直角坐標系，設運用向量數量積的坐標運算式,將化成關于的二次函數，利用其圖象特征即得的最小值.
【詳解】
由圖知，,
解得，，因，則；
如圖建立平面直角坐標系，因，易得正.
則,直線的方程為：，
直線的方程為：,兩直線聯立解得，即，
因N為線段AC延長線上的動點，故可設則，
于是，
，
因，故當時，取得最小值，為.
故答案為：；.
6．/
【分析】借助投影向量定義與向量數量積公式計算即可得.
【詳解】由題意可得，即，
即.
故答案為：.
反思提升：
平面向量數量積的兩種運算方法
(1)基底法：當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數量積的有關計算問題；
(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.
【考點2】數量積的應用
一、單選題
1．（2024·四川資陽·二模）已知向量，的夾角為150°，且，，則（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024·廣東·一模）已知向量，，且，則向量與的夾角等于（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·重慶·三模）已知，，是平面上的三個非零向量，那么（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則，在方向上的投影向量相同
4．（2023·山東聊城·三模）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量滿足，則實數的值為 ．
6．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）已知向量滿足，則
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 D D ABD AB
1．D
【分析】借助向量模長與數量積的關系與數量積的計算公式計算即可得.
【詳解】因為，
所以.
故選：D
2．D
【分析】利用向量垂直則數量積為零，可求出t，再由利用向量數量積的坐標運算求向量的夾角即可.
【詳解】由，，得，
由，得，解得，則，
則，，，
因此，而，
所以.
故選：D
3．ABD
【分析】根據平面向量數量積的概念和向量的共線定理即可判斷A；對等式兩邊同時平方可得，即可判斷判斷B；如圖，根據向量的線性運算即可判斷C；根據投影向量的概念即可判斷D.
【詳解】A項，若，則，其中，，
若，則，，故；
若，不同時為零，則，根據向量共線定理得，，故A正確；
B項，若，兩邊平方得，，故B正確；
C項，利用向量線性運算的平行四邊形法則，作平行四邊形，如圖，
，則，
由知平行四邊形為荾形，為等邊三角形，
所以與的夾角為，故C錯誤；
D項，，在方向上的投影向量分別是，
又，，故D正確.
故選：ABD.
4．AB
【分析】根據題意，將式子兩邊同時平方，然后相減即可得到，，然后結合向量夾角公式即可得到，從而得到結果.
【詳解】因為，則，且，則，
所以，即，則，又因為，
即，設與的夾角為，則，即，
且，則，所以，則與的夾角可以為，.
故選：AB
5．1或
【分析】結合平面向量的相關知識，將兩邊平方，計算即可.
【詳解】將兩邊平方，得，
得，即，解得或．
故答案為：或.
6．
【分析】根據模長公式可得，即可由模長求解
【詳解】可得，
故，
故答案為：
反思提升：
(1)根據平面向量數量積的性質：若a，b為非零向量，則cos θ＝(夾角公式)，a⊥b a·b＝0等，可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題.
(2)計算向量的模：①當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉化為數量積運算；③幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【考點3】平面向量的綜合應用
一、單選題
1．（2024·山西太原·一模）在中，，，，設點為的中點，在上，且，則（ ）
A．16 B．12 C．8 D．
2．（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓：，點，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣東江門·三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算，其中表示的夾角，則對于兩個非零平面向量，下列結論一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量為
B．
C．
D．若，則
4．（2024·廣東·模擬預測）已知中，角所對的邊分別為的面積記為，若，則（ ）
A．
B．的外接圓周長為
C．的最大值為
D．若為線段的中點，且，則
三、填空題
5．（2024·湖南邵陽·三模）已知分別為三個內角的對邊，且，則 ；若，，，，則的取值范圍是 ．
6．（2024·天津河西·三模）如圖，動點C在以AB為直徑的半圓O上（異于A，B），，，， ；的最大值為 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 A C BD AC
1．A
【分析】以為原點，建立如圖坐標系，結合向量的坐標運算即可.
【詳解】因為在中，，，，以為原點，建立如圖坐標系，
則，，，，設，則，，
由題意可知.即，即，所以.
所以，.所以.
故選：A.
2．C
【分析】根據給定條件，結合圓的性質及數量積的運算律列式，化簡可得，進而求出離心率.
【詳解】由以為直徑的圓過橢圓的右焦點，得，即，
而，則，又，
由，得，
則，即，因此，
整理得，解得，所以橢圓的離心率為.
故選：C
3．BD
【分析】先對新定義進行理解，再結合平面向量數量積的運算逐一判斷即可得解．
【詳解】對于選項A，在上的投影向量為，故選項A錯誤，
對于選項B，，故選項B正確，
對于選項C，，
顯然時，不成立，故選項C錯誤，
對于選項D，由，所以，則，即，故選項D正確，
故選：BD．
【點睛】思路點睛：對于向量的新定義的運算需正確理解向量的新定義運算，再結合向量的投影、向量的運算和向量的平行等進行推理運算即可.
4．AC
【分析】由三角形面積公式和向量數量積定義可判斷A正確，由正弦定理可得B錯誤；利用基本不等式可求得的最大值為，可得C正確；根據C中的結論可知當時面積，可得D錯誤.
【詳解】依題意，，故A正確；
記外接圓的半徑為，則，則的外接圓周長為，故B錯誤；
由余弦定理，，則，
故，當且僅當時等號成立，故C正確；
由C可知，當時，為等邊三角形，此時，故D錯誤.
故選：AC.
5． //
【分析】第一空是由正弦定理角化邊，再由余弦定理求角即可；第二空是利用先向量的線性運算，再計算數量積，從而求出取值范圍.
【詳解】由及正弦定理，得，由余弦定理可知，
又，．
，，由余弦定理得，，
與的夾角的余弦值為．
又，，
且，
，，
，
故答案為：，
6． 2 2
【分析】根據向量的線性運算結合模長即可求得第一空答案；設，作，交的延長線于E，求出，繼而求出，結合數量積的幾何意義，即可求得答案.
【詳解】由題意可知O為的中點，且，
則；
設，作，交的延長線于E，
在中，
故，則，
，又，故，
則，
故，
當時，取到最大值2，
故答案為：2；2
反思提升：
向量數量積綜合應用的方法和思想
(1)坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.
(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行求解.
(3)利用向量運算進行轉化，化歸為三角函數的問題或三角恒等變換問題是常規的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·福建泉州·模擬預測）在平面直角坐標系中，點P在直線上.若向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·二模）若向量滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2024·四川成都·模擬預測）已知向量，，若，則實數的值為（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2024·江西鷹潭·二模）在中，角所對應的邊為,，，，是外接圓上一點，則的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
二、多選題
5．（2023·浙江·一模）已知直線：與圓：有兩個不同的公共點，，則（ ）
A．直線過定點 B．當時，線段長的最小值為
C．半徑的取值范圍是 D．當時，有最小值為
6．（2024·湖北襄陽·模擬預測）下列說法正確的有（ ）
A．若復數，滿足，則
B．若復數，滿足，則
C．若向量，滿足，則
D．若復數滿足，則
7．（2024·江西宜春·模擬預測）已知向量，，則（ ）
A． B．
C．與的夾角為 D．在上的投影向量為
三、填空題
8．（2023·天津津南·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點，則 ；若為線段（含端點）上的動點，則的最小值為 .

9．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知平面向量，若，則 ．
10．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知，，若，則的值為 .
四、解答題
11．（2024·全國·模擬預測）在中，分別是角所對的邊，為邊上一點．
(1)試利用“”證明：“”；
(2)若，求的面積．
12．（2024·湖北恩施·二模）在中，角所對的邊分別為，設向量，，，.
(1)求函數的最大值；
(2)若，，，求的面積.
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A A A ABD CD ABD
1．A
【分析】現依據條件設定點P的坐標，接著根據投影向量概念公式直接計算即可求解.
【詳解】由題可設，則，
所以，又，
故在上的投影向量為
，
故選：A.
2．A
【分析】由已知結合向量數量積的性質即可求解．
【詳解】因為向量，滿足，，，
所以，即，
所以，則．
故選：A．
3．A
【分析】利用給定條件，利用數量積的運算律求得，再利用數量積的坐標表示計算即得.
【詳解】由，得，則，
因此，所以.
故選：A
4．A
【分析】先判斷外接圓圓心是的中點，將化簡為，再將分解整理得，結合圖形，利用向量數量積的定義式進行分析，即得的最大值.
【詳解】
如圖，設的外心為，則點是的中點，
由，
因，故,而，
故當且僅當與同向時取等號.
故選：A.
5．ABD
【分析】
化簡直線為，進而可判定A正確；利用弦長公式，求得的最小值，可判定B正確；根據直線與圓有總有兩個公共點，可得點在圓內部，可判定C不正確；結合向量的數量積的公式，以及直線與圓的位置關系，可判定D正確.
【詳解】由直線，可化為，
由方程組，解得，即直線過定點，所以A正確；
當時，圓的方程為，可得圓心，
則，可得線段長的最小值為，所以B正確；
因為直線與圓有總有兩個公共點，可得點在圓內部，
所以，解得，所以C不正確；
當時，圓的方程為，
則，
當直線過圓心，此時，可得的最小值，
所以有最小值為，所以D正確.
故選：ABD.
6．CD
【分析】對于AB：舉反例說明即可；對于C：根據模長結合數量積的運算律分析求解；對于D：由整理可得，即可得結果.
【詳解】對于選項AB：例如，，
則，但，不能比較大小，即不成立，故A錯誤；
且，滿足，
但，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，整理得，故C正確；
對于選項D：因為，則，整理得，
依此類推可得，故D正確；
故選：CD.
7．ABD
【分析】A選項，根據得到垂直關系；B選項，求出，根據模長公式求出答案；C選項，根據得到答案；D選項，利用得到D正確.
【詳解】A選項，因為，．
所以．則．所以．故A正確：
B選項，因為．所以．故B正確；
C選項，因為．且．
所以．故C錯誤；
在上的投影向量為．故D正確．
故選：ABD．
8． /5.25
【分析】根據題意，建立平面直角坐標系，求出各點的坐標，結合平面向量的數量積公式和二次函數的性質即可求出.
【詳解】因為，，所以為等邊三角形，
因為，，所以在和中，，，
則，得，，
因為在中，，則，得，又，所以，
以為原點，以 所在的直線為軸，以所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，
，，，，，，
則；
設，，，
則，
因為，所以時，的最小值為.
故答案為：；.

9．
【分析】根據向量坐標運算和向量垂直的坐標表示即可得到方程，解出即可.
【詳解】，因為，所以，
即，解得.
故答案為：.
10．或
【分析】由可得，展開代入數據計算即可.
【詳解】由題意可得，
因為，所以，
所以，
解得或.
故答案為：或
11．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，得到，兩邊同時點乘，化簡得到，進而證得結論；
（2）設，得到且，，結合兩角和的正切公式，列出方程，求得，結合的面積公式，即可求解.
【詳解】（1）在中，由向量的線性運算法則，可得，
兩邊同時點乘，可得，
所以，
兩邊同時約去，可得，即證畢．
（2）如圖所示，設，
因為，所以，又因為，所以，，
所以，
化簡得，解得或（舍去），所以，
所以的面積．

12．(1)
(2)
【分析】（1）由向量數量積的坐標運算得，利用降冪公式和輔助角公式化簡，利用正弦函數的性質求最大值；
（2）解得，由利用正弦定理邊化角得，再結合余弦定理求得，面積公式求的面積．
【詳解】（1）
.
因為，所以，
所以當，即時，有最大值；
（2）因為，所以，所以，
因為，所以，
由正弦定理，所以，，
又因為，所以，得，
由余弦定理有：，即，所以，
所以．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·山東·模擬預測）已知向量，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量為
三、填空題
3．（2024·上海·三模）已知向量，函數，若函數在內有且只有一個零點，則實數的取值范圍為 .
四、解答題
4．（2024·河北張家口·三模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D為邊上一點，且滿足．
(1)證明：；
(2)若為內角A的平分線，且，求．
參考答案：
題號 1 2
答案 A CD
1．A
【分析】
根據三角形外心性質及數量積的幾何意義，可得在方向上的投影向量為，從而求得，再根據余弦定理及基本不等式可求得最值．
【詳解】
由O為△ABC外心，可得在方向上的投影向量為，
則，故，
又，設，
則
，
當且僅當時等號成立，
由可知，，
故的最大值為．
故選：A．
2．CD
【分析】利用向量的坐標運算即可，其中在上的投影向量公式為.
【詳解】對于A，由向量，，則，故A是錯誤的；
對于B，由向量的夾角公式得：，所以與的夾角為，故B是錯誤的；
對于C，由，所以，即，故C是正確的；
對于D，由，則在上的投影向量為：
，故D是正確的；
故選：CD.
3．
【分析】函數在內有且只有一個零點，等價于其對應的方程在給定區間內只有一個根，進而轉化為兩個函數在給定區間內只有一個交點的問題，數形結合，即可求出參數的值.
【詳解】，
因為函數在內有且只有一個零點，
所以在內有且只有一個實根，
得，即，
即函數在上的圖象與直線只有一個交點，
當時，，
畫出在上的圖象如下，
結合函數圖象可知，函數在區間上的圖象與直線只有一個交點時，
所以，即的取值范圍是．
故答案為：
4．(1)證明見詳解；
(2).
【分析】（1）記的中點為，利用向量運算證明即可；
（2）先根據向量關系得，再由角平分線定理可得，分別在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方關系可得.
【詳解】（1）記的中點為，則，
因為，所以，
所以為的垂直平分線，所以.
（2）記，
因為，所以，
所以，，
又為內角A的平分線，所以，，
在中，分別由余弦定理得：
，
聯立可得，
在中，由余弦定理得，
所以.
【培優篇】
一、單選題
1．（23-24高三下·新疆·階段練習）在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
二、多選題
2．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對的邊分別為．若，且邊上的中線長為，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．面積的最大值為 D．周長的最大值為
三、填空題
3．（2024·天津濱海新·三模）在平行四邊形中，，，點在邊上，滿足，則向量在向量上的投影向量為 （請用表示）；若，點，分別為線段，上的動點，滿足，則的最小值為 ．
參考答案：
題號 1 2
答案 B AB
1．B
【分析】根據外心的性質得到，設，根據數量積的運算律得到，再由數量積的定義及幾何意義求出，從而得解.
【詳解】因為是的外心，為的中點，設的中點為，連接，

所以，，設，
則
，
又是的外心，所以
，
所以.
故選：B
【點睛】關鍵點點睛：本題解答的關鍵是根據外接圓的性質將轉化為，再一個就是利用數量積的幾何意義求出.
2．AB
【分析】對A，將條件利用三角恒等變換結合正弦定理化簡求得角；對B，利用向量，運算結合基本不等式求解；對C，由B選項結合三角形面積公式求解；對D，由題可得，令，由，得，解得，所以三角形周長，利用導數求解判斷.
【詳解】對于A，由，所以,
所以，由正弦定理可得
，因為，,
可得，化簡得，又，
.故A正確；
對于B，設，，，根據題意，，，
，化簡得，則，
，當且僅當時等號成立，又，，
，，即，故B正確；
對于C，由B，可得，故C錯誤；
對于D，由前面選項，可得，且，，
，即，令，由，得，解得，
所以三角形周長，
則，令，解得，又，所以在
上單調遞減，所以，故D錯誤.
故選：AB.
3．
【分析】第一空：作EF于F，根據幾何關系求出DF和AD的比例關系即可；第二空：可以A為原點，AB為x軸建立直角坐標系，設，利用函數方法求最值．
【詳解】作EF于F．
∵，且四邊形為平行四邊形，故，
則，
那么，
，∴，
又，故，∴，
故，
∴，即，
則在向量上的投影向量為；
，，
如圖以A為原點建立平面直角坐標系，
作軸于Q，則，則
，則．
設，則，
又，∴，
，，∴．
作軸于P，則，
，
則．
故，
故，
令，
∵在單調遞減，在單調遞增，
故，
即的最小值為．
故答案為：；．
【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵是采用建系法，從而構建出關于的表達式，最后利用二次函數的性質即可求出最值.
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專題30 平面向量的數量積及其應用（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】數量積的計算 4
【考點2】數量積的應用 5
【考點3】平面向量的綜合應用 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 9
【培優篇】 10
考試要求：
1.理解平面向量數量積的含義及其物理意義.
2.了解平面向量的數量積與投影向量的長度的關系.
3.掌握數量積的坐標表達式，會進行平面向量數量積的運算.
4.能運用數量積表示兩個向量的夾角，會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.
5.會用向量的方法解決某些簡單的平面幾何問題.
6.會用向量方法解決簡單的力學問題與其他一些實際問題.
1.平面向量數量積的有關概念
(1)向量的夾角：已知兩個非零向量a和b，O是平面上的任意一點，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a與b的夾角.
(2)數量積的定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量|a||b|cos__θ叫做向量a與b的數量積(或內積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.規定：零向量與任一向量的數量積為0，即0·a＝0.
(3)投影向量
如圖，在平面內任取一點O，作＝a，＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則就是向量a在向量b上的投影向量.
設與b方向相同的單位向量為e，a與b的夾角為θ，則與e，a，θ之間的關系為＝|a|cos θ e.
2.平面向量數量積的性質及其坐標表示
設向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角.
(1)數量積：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夾角：cos θ＝＝.
(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(當且僅當a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量數量積的運算律
(1)a·b＝b·a(交換律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面幾何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示問題中的幾何元素，將幾何問題轉化為向量問題；
(2)通過向量運算，研究幾何元素之間的關系；
(3)把運算結果“翻譯”成幾何關系.
1.兩個向量a，b的夾角為銳角 a·b>0且a，b不共線；兩個向量a，b的夾角為鈍角 a·b<0且a，b不共線.
2.平面向量數量積運算的常用公式
(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；
(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.
3.數量積運算律要準確理解、應用，例如，a·b＝a·c(a≠0)，不能得出b＝c，兩邊不能約去同一個向量.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設向量，則（ ）
A．“”是“”的必要條件 B．“”是“”的必要條件
C．“”是“”的充分條件 D．“”是“”的充分條件
2．（2024·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．1
3．（2023·全國·高考真題）正方形的邊長是2，是的中點，則（ ）
A． B．3 C． D．5
4．（2023·全國·高考真題）已知向量，則（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全國·高考真題）已知向量滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全國·高考真題）已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·全國·高考真題）已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
8．（2023·全國·高考真題）已知向量，滿足，，則 ．
【考點1】數量積的計算
一、單選題
1．（2025·安徽·一模）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·廣東·一模）已知和的夾角為，且，則（ ）
A． B． C．3 D．9
二、多選題
3．（2024·浙江·模擬預測）已知向量，的夾角為 ，且，，則（ ）
A． B．
C． D．在的方向上的投影向量為
4．（2024·江西鷹潭·三模）已知向量，，，則（ ）
A．若，則
B．在方向上的投影向量為
C．存在，使得在方向上投影向量的模為1
D．的取值范圍為
三、填空題
5．（2024·天津河西·模擬預測）在梯形中，，點滿足，則 ；若與相交于點，為線段延長線上的動點，則的最小值為 ．
6．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知，是兩個單位向量，若在上的投影向量為，則與的夾角為 .
反思提升：
平面向量數量積的兩種運算方法
(1)基底法：當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，適用于平面圖形中的向量數量積的有關計算問題；
(2)坐標法：當平面圖形易建系求出各點坐標時，可利用坐標法求解.
【考點2】數量積的應用
一、單選題
1．（2024·四川資陽·二模）已知向量，的夾角為150°，且，，則（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2024·廣東·一模）已知向量，，且，則向量與的夾角等于（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·重慶·三模）已知，，是平面上的三個非零向量，那么（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則與的夾角為
D．若，則，在方向上的投影向量相同
4．（2023·山東聊城·三模）已知向量，滿足，，則與的夾角可以為（ ）
A． B． C． D．
三、填空題
5．（2023·全國·模擬預測）已知平面向量滿足，則實數的值為 ．
6．（2024·海南省直轄縣級單位·一模）已知向量滿足，則
反思提升：
(1)根據平面向量數量積的性質：若a，b為非零向量，則cos θ＝(夾角公式)，a⊥b a·b＝0等，可知平面向量的數量積可以用來解決有關角度、垂直問題.
(2)計算向量的模：①當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；②利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2，把向量的模的運算轉化為數量積運算；③幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解.
【考點3】平面向量的綜合應用
一、單選題
1．（2024·山西太原·一模）在中，，，，設點為的中點，在上，且，則（ ）
A．16 B．12 C．8 D．
2．（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知橢圓：，點，，若以為直徑的圓過橢圓的右焦點，且，則橢圓的離心率為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
3．（2024·廣東江門·三模）定義兩個非零平面向量的一種新運算，其中表示的夾角，則對于兩個非零平面向量，下列結論一定成立的有（ ）
A．在上的投影向量為
B．
C．
D．若，則
4．（2024·廣東·模擬預測）已知中，角所對的邊分別為的面積記為，若，則（ ）
A．
B．的外接圓周長為
C．的最大值為
D．若為線段的中點，且，則
三、填空題
5．（2024·湖南邵陽·三模）已知分別為三個內角的對邊，且，則 ；若，，，，則的取值范圍是 ．
6．（2024·天津河西·三模）如圖，動點C在以AB為直徑的半圓O上（異于A，B），，，， ；的最大值為 ．
反思提升：
向量數量積綜合應用的方法和思想
(1)坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，就賦予了有關點與向量具體的坐標，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決.
(2)基向量法：適當選取一組基底，寫出向量之間的聯系，利用向量共線構造關于設定未知量的方程來進行求解.
(3)利用向量運算進行轉化，化歸為三角函數的問題或三角恒等變換問題是常規的解題思路和方法，以向量為載體考查三角形問題時，要注意正弦定理、余弦定理等知識的應用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2024·福建泉州·模擬預測）在平面直角坐標系中，點P在直線上.若向量，則在上的投影向量為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·河南·二模）若向量滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
3．（2024·四川成都·模擬預測）已知向量，，若，則實數的值為（ ）
A． B．2 C． D．
4．（2024·江西鷹潭·二模）在中，角所對應的邊為,，，，是外接圓上一點，則的最大值是（ ）
A．4 B． C．3 D．
二、多選題
5．（2023·浙江·一模）已知直線：與圓：有兩個不同的公共點，，則（ ）
A．直線過定點 B．當時，線段長的最小值為
C．半徑的取值范圍是 D．當時，有最小值為
6．（2024·湖北襄陽·模擬預測）下列說法正確的有（ ）
A．若復數，滿足，則
B．若復數，滿足，則
C．若向量，滿足，則
D．若復數滿足，則
7．（2024·江西宜春·模擬預測）已知向量，，則（ ）
A． B．
C．與的夾角為 D．在上的投影向量為
三、填空題
8．（2023·天津津南·模擬預測）如圖，在平面四邊形中，，，，.若為線段中點，則 ；若為線段（含端點）上的動點，則的最小值為 .

9．（2024·湖北武漢·模擬預測）已知平面向量，若，則 ．
10．（2024·河南鄭州·模擬預測）已知，，若，則的值為 .
四、解答題
11．（2024·全國·模擬預測）在中，分別是角所對的邊，為邊上一點．
(1)試利用“”證明：“”；
(2)若，求的面積．
12．（2024·湖北恩施·二模）在中，角所對的邊分別為，設向量，，，.
(1)求函數的最大值；
(2)若，，，求的面積.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·天津北辰·三模）在中，，為外心，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·山東·模擬預測）已知向量，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．與的夾角為
C． D．在上的投影向量為
三、填空題
3．（2024·上海·三模）已知向量，函數，若函數在內有且只有一個零點，則實數的取值范圍為 .
四、解答題
4．（2024·河北張家口·三模）在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點D為邊上一點，且滿足．
(1)證明：；
(2)若為內角A的平分線，且，求．
【培優篇】
一、單選題
1．（23-24高三下·新疆·階段練習）在中，，是的外心，為的中點，，是直線上異于、的任意一點，則（ ）
A．3 B．6 C．7 D．9
二、多選題
2．（2024·江蘇宿遷·三模）在中，角所對的邊分別為．若，且邊上的中線長為，則（ ）
A． B．的取值范圍為
C．面積的最大值為 D．周長的最大值為
三、填空題
3．（2024·天津濱海新·三模）在平行四邊形中，，，點在邊上，滿足，則向量在向量上的投影向量為 （請用表示）；若，點，分別為線段，上的動點，滿足，則的最小值為 ．
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