資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
專題31 復數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 4
【考點1】復數的概念 4
【考點2】復數的四則運算 5
【考點3】復數的幾何意義 5
【考點4】復數與方程 6
【分層檢測】 7
【基礎篇】 7
【能力篇】 8
【培優篇】 9
考試要求：
1.理解復數的基本概念.
2.理解復數相等的充要條件.
3.了解復數的代數表示法及其幾何意義.
4.能進行復數代數形式的四則運算.
5.了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.
1.復數的有關概念
(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位).
(2)分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的 分類 a＋bi為實數 b＝0
a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且b≠0
(3)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.復數的幾何意義
復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系.
3.復數的運算
(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.復數的模與共軛復數的關系
z·＝|z|2＝||2.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．10 D．
3．（2024·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．（2023·全國·高考真題）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
5．（2023·全國·高考真題）（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高考真題）在復平面內，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考點1】復數的概念
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A．i B． C． D．
2．（2024·河北衡水·模擬預測）若為純虛數，，則（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多選題
3．（2024·河南駐馬店·二模）已知，則（ ）
A．的虛部為
B．是純虛數
C．在復平面內所對應的點位于第一象限
D．
4．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）已知是虛數單位，復數，，則（ ）
A．任意，均有 B．任意，均有
C．存在，使得 D．存在，使得
三、填空題
5．（2024·天津武清·模擬預測）已知，且，則 ．
6．（2024·上海·高考真題）已知虛數，其實部為1，且，則實數為 ．
反思提升：
1.復數z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數，則虛部b＝0，與實部a無關；若z為虛數，則虛部b≠0，與實部a無關；若z為純虛數，當且僅當a＝0且b≠0.
2.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數為＝a－bi，則z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，則＝z.
【考點2】復數的四則運算
一、單選題
1．（2024·四川·一模）已知為虛數單位，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇連云港·模擬預測）已知是關于x的方程的一個根（其中，），則（ ）
A．38 B．36 C．28 D．14
二、多選題
3．（2025·廣東·一模）設 是非零復數，則下列選項正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則的最小值為3
D．若，則的最小值為.
4．（2024·重慶渝中·模擬預測）已知方程的兩個復數根分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·海南·模擬預測）已知復數滿足，則
6．（2025·廣東深圳·模擬預測）已知i為虛數單位，復數z，滿足，在復平面中的第一象限，且實部為3，則為
反思提升：
(1)復數的乘法類似于多項式的乘法運算；
(2)復數的除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數.
【考點3】復數的幾何意義
一、單選題
1．（2024·四川達州·二模）復數滿足，則在復平面內表示復數的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南海口·二模）在復平面內，對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多選題
3．（2021·全國·模擬預測）已知是復數，且為純虛數，則（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點不在實軸上 D．的最大值為
4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知復數是方程的兩根，則（ ）
A． B．
C． D．在復平面內所對應的點位于第四象限
三、填空題
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復平面內，復數所對應的點的坐標為，則 .
6．（2024·安徽·模擬預測）若復數在復平面內對應的點位于第三象限，則實數的取值范圍是 .
反思提升：
1.復數z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此解題時可運用數形結合的方法，把復數、向量與解析幾何聯系在一起，使問題的解決更加直觀.
【考點4】復數與方程
一、單選題
1．（2021·遼寧沈陽·三模）虛數單位的平方根是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2021·江蘇·一模）已知是關于x的方程的根，則實數（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2021·湖南衡陽·模擬預測）已知復數是關于的方程的一個根，則 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
4．（2023·河南·模擬預測）已知，為實數，（i為虛數單位）是關于的方程的一個根，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、多選題
5．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）已知，，是方程的三個互不相等的復數根，則（ ）
A．可能為純虛數
B．，，的虛部之積為
C．
D．，，的實部之和為2
三、填空題
6．（2021·上海徐匯·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的兩個根為α和β，則|α|+|β|＝ ．
反思提升：
(1)對實系數二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.
(2)對復系數(至少有一個系數為虛數)方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2025·黑龍江大慶·一模）若復數滿足，則在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·云南·模擬預測）在復平面內，對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·安徽·一模）已知復數滿足，則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025·安徽·模擬預測）已知復數z滿足（i為虛數單位），則（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·遼寧錦州·模擬預測）已知復數滿足且，則可能為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·福建泉州·模擬預測）已知復數是方程的兩根，則（ ）
A． B．
C． D．在復平面內所對應的點位于第四象限
7．（2024·河北衡水·三模）復數，其中，設在復平面內的對應點為，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．對任意，點均在第一象限 D．存在，使得點在第二象限
三、填空題
8．（2024·全國·模擬預測）若復數和在復平面中分別對應點Z1，Z2，則這兩點的距離為 ．
9．（2024·天津河西·模擬預測）已知是關于的方程的一個根，則 ．
10．（2024·山東青島·二模）已知復數滿足，則復數 .
四、解答題
11．（22-23高一下·福建三明·階段練習）已知復數.
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全國·對口高考）已知復數（a，），存在實數t，使成立.
(1)求證：為定值；
(2)若，求a的取值范圍．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西榆林·模擬預測）若復數z滿足，則復數z在復平面內對應的點不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多選題
2．（2024·廣西桂林·模擬預測）已知，是純虛數，為的共軛復數，且（i為虛數單位），則（ ）
A． B．
C． D．是方程的一個根
三、填空題
3．（2023·河南安陽·模擬預測）若為虛數單位，則計算 ．
四、解答題
4．（2021·上海浦東新·模擬預測）已知關于得二次方程：.
(1)當方程有實數根時，求點的軌跡方程；
(2)求方程實數根的取值范圍.
【培優篇】
一、單選題
1．（2020·上海閔行·二模）關于x的實系數方程和有四個不同的根，若這四個根在復平面上對應的點共圓，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·湖北襄陽·二模）已知復數滿足，（為虛數單位），是方程在復數范圍內的兩根，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為4
C．當時，則 D．當時，則
三、填空題
3．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知集合（其中 為虛數單位），則滿足條件的集合M的個數為 .
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專題31 復數（新高考專用）
【知識梳理】 2
【真題自測】 3
【考點突破】 5
【考點1】復數的概念 5
【考點2】復數的四則運算 8
【考點3】復數的幾何意義 11
【考點4】復數與方程 14
【分層檢測】 16
【基礎篇】 16
【能力篇】 22
【培優篇】 24
考試要求：
1.理解復數的基本概念.
2.理解復數相等的充要條件.
3.了解復數的代數表示法及其幾何意義.
4.能進行復數代數形式的四則運算.
5.了解復數代數形式的加、減運算的幾何意義.
1.復數的有關概念
(1)定義：我們把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的數，即形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中a叫做復數z的實部，b叫做復數z的虛部(i為虛數單位).
(2)分類：
滿足條件(a，b為實數)
復數的 分類 a＋bi為實數 b＝0
a＋bi為虛數 b≠0
a＋bi為純虛數 a＝0且b≠0
(3)復數相等：a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R).
(4)共軛復數：a＋bi與c＋di共軛 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R).
(5)模：向量的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R).
2.復數的幾何意義
復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系.
3.復數的運算
(1)運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.
(2)幾何意義：
復數加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.
如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數加、減法的幾何意義，即＝＋，＝－.
1.i的乘方具有周期性
i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.
2.(1±i)2＝±2i，＝i；＝－i.
3.復數的模與共軛復數的關系
z·＝|z|2＝||2.
一、單選題
1．（2024·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·全國·高考真題）若，則（ ）
A． B． C．10 D．
3．（2024·全國·高考真題）已知，則（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．（2023·全國·高考真題）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
5．（2023·全國·高考真題）（ ）
A． B．1 C． D．
6．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
7．（2023·全國·高考真題）設，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·全國·高考真題）在復平面內，對應的點位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A C C C C B A
1．D
【分析】先根據共軛復數的定義寫出，然后根據復數的乘法計算.
【詳解】依題意得，，故.
故選：D
2．A
【分析】結合共軛復數與復數的基本運算直接求解.
【詳解】由，則.
故選：A
3．C
【分析】由復數模的計算公式直接計算即可.
【詳解】若，則.
故選：C.
4．C
【分析】由題意首先化簡，然后計算其模即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：C.
5．C
【分析】利用復數的四則運算求解即可.
【詳解】
故選：C.
6．C
【分析】根據復數的代數運算以及復數相等即可解出．
【詳解】因為，
所以，解得：．
故選：C.
7．B
【分析】由題意首先計算復數的值，然后利用共軛復數的定義確定其共軛復數即可.
【詳解】由題意可得，
則.
故選：B.
8．A
【分析】根據復數的乘法結合復數的幾何意義分析判斷.
【詳解】因為，
則所求復數對應的點為，位于第一象限.
故選：A.
【考點1】復數的概念
一、單選題
1．（2024·全國·模擬預測）已知，則（ ）
A．i B． C． D．
2．（2024·河北衡水·模擬預測）若為純虛數，，則（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多選題
3．（2024·河南駐馬店·二模）已知，則（ ）
A．的虛部為
B．是純虛數
C．在復平面內所對應的點位于第一象限
D．
4．（2023·江蘇蘇州·模擬預測）已知是虛數單位，復數，，則（ ）
A．任意，均有 B．任意，均有
C．存在，使得 D．存在，使得
三、填空題
5．（2024·天津武清·模擬預測）已知，且，則 ．
6．（2024·上海·高考真題）已知虛數，其實部為1，且，則實數為 ．
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 A A BC AD
1．A
【分析】運用復數的代數形式的乘除運算法則求得，代入所求式計算即得.
【詳解】因為，
所以．
故選：A．
2．A
【分析】先化簡復數，再根據純虛數的定義列式子求，然后代入求模長即可.
【詳解】，
因為為純虛數，所以，所以，，
所以.
故選：A.
3．BC
【分析】根據復數的加減法運算，結合虛部以及純虛數的定義即可求解AB，根據復數的乘除法運算，結合模長公式以及復數幾何意義，即可求解CD.
【詳解】的虛部為1，故A項錯誤；
為純虛數，故B項正確；
，其在復平面內所對應的點位于第一象限，故C項正確；
，，，故D項錯誤.
故選：BC.
4．AD
【分析】利用復數的概念、相等的條件、模長公式一一判定即可.
【詳解】根據復數的概念可知不能與實數比大小，故B錯誤；
由復數的模長公式可得，
易知，且不能同時取得等號，故，即A正確；
即動點E到動點F的距離，顯然E在拋物線上，F在單位圓上，如圖所示，

當時，，故D正確；
若存在，使得，則，
由上知，即上述方程組無解，故C錯誤；
故選：AD
5．1
【分析】根據題意結合復數的除法運算分析求解.
【詳解】由題意可得：，所以.
故答案為：1.
6．2
【分析】設且，直接根據復數的除法運算，再根據復數分類即可得到答案.
【詳解】設，且.
則，
，，解得，
故答案為：2.
反思提升：
1.復數z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a，b分別是它的實部和虛部.若z為實數，則虛部b＝0，與實部a無關；若z為虛數，則虛部b≠0，與實部a無關；若z為純虛數，當且僅當a＝0且b≠0.
2.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.
3.復數z＝a＋bi(a，b∈R)的共軛復數為＝a－bi，則z·＝|z|2＝||2，即|z|＝||＝，若z∈R，則＝z.
【考點2】復數的四則運算
一、單選題
1．（2024·四川·一模）已知為虛數單位，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江蘇連云港·模擬預測）已知是關于x的方程的一個根（其中，），則（ ）
A．38 B．36 C．28 D．14
二、多選題
3．（2025·廣東·一模）設 是非零復數，則下列選項正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則的最小值為3
D．若，則的最小值為.
4．（2024·重慶渝中·模擬預測）已知方程的兩個復數根分別為，則（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
5．（2024·海南·模擬預測）已知復數滿足，則
6．（2025·廣東深圳·模擬預測）已知i為虛數單位，復數z，滿足，在復平面中的第一象限，且實部為3，則為
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B A CD ACD
1．B
【分析】根據條件，利用復數運算法則及虛數單位的性質，即可求解.
【詳解】因為
故選：B.
2．A
【分析】由題意可得方程的另一個根為，然后利用根與系數的關系可求出的值，從而可求出.
【詳解】因為是關于x的方程的一個根，
所以是方程的另一個根，
所以，解得，所以.
故選：A.
3．CD
【分析】利用共軛復數的概念和加減運算性質判斷A，舉反例判斷B，利用復數模的性質得到軌跡方程，結合圓的性質判斷C，利用復數模的性質得到軌跡方程，結合橢圓的性質判斷D即可.
【詳解】對于A.，設，則，
所以，
，
當有1個為0或全為0時，，
當均不為0時，無法比較大小，故錯誤，
對于B，當，時，，
此時，，
故不成立，故錯誤，
對于C，設，因為，所以，
故有，可得,
所以的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
而，
故表示點到定點的距離，
由圓的性質可知，，故C正確，
對于D，設，所以，
，
而，故，
所以得到點到兩定點，的距離之和為4，
故的軌跡是以，為焦點的橢圓，
故軌跡方程為，而表示到原點的距離，
由橢圓的幾何性質可得當點在橢圓的左右頂點時，
取得最小值，此時，故，則D正確.
故選：.
4．ACD
【分析】解方程求出，再結合共軛復數、模的意義及復數運算逐項判斷即可各個選項.
【詳解】方程可轉化為，解得或，
不妨設，，
對于A，顯然，故A正確；
對于B，，故B 錯誤；
對于C，由，則，故C正確；
對于D，，故D正確.
故選：ACD.
5．
【分析】利用復數的除法求出，再結合共軛復數及復數模的意義求解即得.
【詳解】由，得，，
所以.
故答案為：
6．
【分析】根據復數的幾何意義以及模長公式即可求解.
【詳解】由于復數的實部為3，故設，根據，所以，解得，
所以，故，
故答案為：
反思提升：
(1)復數的乘法類似于多項式的乘法運算；
(2)復數的除法關鍵是分子分母同乘以分母的共軛復數.
【考點3】復數的幾何意義
一、單選題
1．（2024·四川達州·二模）復數滿足，則在復平面內表示復數的點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·海南海口·二模）在復平面內，對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多選題
3．（2021·全國·模擬預測）已知是復數，且為純虛數，則（ ）
A． B．
C．在復平面內對應的點不在實軸上 D．的最大值為
4．（2024·福建泉州·模擬預測）已知復數是方程的兩根，則（ ）
A． B．
C． D．在復平面內所對應的點位于第四象限
三、填空題
5．（21-22高三上·北京西城·期中）在復平面內，復數所對應的點的坐標為，則 .
6．（2024·安徽·模擬預測）若復數在復平面內對應的點位于第三象限，則實數的取值范圍是 .
參考答案：
題號 1 2 3 4
答案 B D ABC AC
1．B
【分析】根據復數的除法運算求得，再結合復數的幾何意義分析求解．
【詳解】由得，，
所以對應點的坐標是，
故選：B．
2．D
【分析】利用復數的模長公式、除法運算法則及幾何意義計算即可.
【詳解】易知，所以，
即對應的點為，位于第四象限.
故選：D
3．ABC
【分析】先設，代入中并化簡，根據為純虛數得到的關系可判斷A，C；計算判斷B；由復數模的幾何意義得到的最大值為判斷D．
【詳解】由題意設，則．因為為純虛數，所以，且，因此，在復平面內對應的點不在實軸上，所以A，C正確；，所以B正確；表示圓上的點到點的距離，且最大距離為，所以D不正確．
故選：ABC．
【點睛】方法點睛：本題考查復數的運算與幾何意義，對于復數的模，共軛復數，復數的分類包括方程的復數解或實數解等問題可以設，代入運算后利用復數相等或復數的定義得出實數的關系，達到求解的目的．
4．AC
【分析】解實系數一元二次方程得，通過計算逐一驗證選項即可.
【詳解】復數是方程的兩根，則有，，
，A選項正確；
，B選項錯誤；
，，C選項正確；
，在復平面內所對應的點位于第一象限，D選項錯誤.
故選：AC.
5．
【分析】由已知求得，進一步得到，再根據復數代數形式的乘法運算法則計算可得．
【詳解】解：由題意，，
，
．
故答案為：2．
6．
【分析】由實部和虛部都小于零解不等式組求出即可.
【詳解】由題意得，，解得，
∴實數的取值范圍是.
故答案為：.
反思提升：
1.復數z＝a＋bi(a，b∈R) Z(a，b) ＝(a，b).
2.由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此解題時可運用數形結合的方法，把復數、向量與解析幾何聯系在一起，使問題的解決更加直觀.
【考點4】復數與方程
一、單選題
1．（2021·遼寧沈陽·三模）虛數單位的平方根是（ ）
A． B． C． D．或
2．（2021·江蘇·一模）已知是關于x的方程的根，則實數（ ）
A． B． C．2 D．4
3．（2021·湖南衡陽·模擬預測）已知復數是關于的方程的一個根，則 （ ）
A．25 B．5 C． D．41
4．（2023·河南·模擬預測）已知，為實數，（i為虛數單位）是關于的方程的一個根，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
二、多選題
5．（23-24高三下·山東濟南·開學考試）已知，，是方程的三個互不相等的復數根，則（ ）
A．可能為純虛數
B．，，的虛部之積為
C．
D．，，的實部之和為2
三、填空題
6．（2021·上海徐匯·二模）若方程x2﹣2x+3＝0的兩個根為α和β，則|α|+|β|＝ ．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5
答案 D B C D ABD
1．D
【分析】設平方根為，然后由平方根定義列式，由復數相等的定義計算．
【詳解】設的平方根為，則，
所以，解得或．
所以的平方根為或．
故選：D．
2．B
【解析】依題意知方程的根互為共軛復數，結合韋達定理可求得結果.
【詳解】因為是關于x的方程的根，則另一根為
由韋達定理得，所以
故選：B
3．C
【分析】將代入原方程，然后根據復數相等求解出的值，則可求.
【詳解】因為復數是關于的方程的一個根，
所以，所以，
所以，所以，
則，
故選：C.
4．D
【分析】由是關于的方程的一個根，則是關于的方程的一個根，結合根與系數的關系求解即可.
【詳解】由是關于的方程的一個根，
則是關于的方程的一個根，
則，，
即，，則，
故選：D.
5．ABD
【分析】根據復數的基本概念，復數的模等知識容易求解.
【詳解】因為，其三個不同的復數根為：，，
當時，此時為純虛數，故A正確；
因為三個根的虛部分別為1，，，三個虛部乘積為，故B正確；
根據模長定義，，故C不正確；
因為三個根的實部分別為0，1，1，三個實部之和為2，故D正確.
故選：ABD.
6．
【分析】因為，設，則，根據根與系數關系及模求解.
【詳解】因為，此時方程兩根為共軛虛根，
設，則，
，
.
故答案為：.
反思提升：
(1)對實系數二次方程來說，求根公式、韋達定理、判別式的功能沒有變化，仍然適用.
(2)對復系數(至少有一個系數為虛數)方程，判別式判斷根的功能失去了，其他仍適用.
【基礎篇】
一、單選題
1．（2025·黑龍江大慶·一模）若復數滿足，則在復平面內所對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·云南·模擬預測）在復平面內，對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·安徽·一模）已知復數滿足，則復數的共軛復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2025·安徽·模擬預測）已知復數z滿足（i為虛數單位），則（ ）．
A． B． C． D．
二、多選題
5．（2024·遼寧錦州·模擬預測）已知復數滿足且，則可能為（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·福建泉州·模擬預測）已知復數是方程的兩根，則（ ）
A． B．
C． D．在復平面內所對應的點位于第四象限
7．（2024·河北衡水·三模）復數，其中，設在復平面內的對應點為，則下列說法正確的是（ ）
A．當時， B．當時，
C．對任意，點均在第一象限 D．存在，使得點在第二象限
三、填空題
8．（2024·全國·模擬預測）若復數和在復平面中分別對應點Z1，Z2，則這兩點的距離為 ．
9．（2024·天津河西·模擬預測）已知是關于的方程的一個根，則 ．
10．（2024·山東青島·二模）已知復數滿足，則復數 .
四、解答題
11．（22-23高一下·福建三明·階段練習）已知復數.
(1)若，求的值；
(2)，，求.
12．（22-23高三·全國·對口高考）已知復數（a，），存在實數t，使成立.
(1)求證：為定值；
(2)若，求a的取值范圍．
參考答案：
題號 1 2 3 4 5 6 7
答案 D D C A AD AC AC
1．D
【分析】設，根據復數代數形式的加減運算化簡，再根據復數相等的充要條件得到方程組，即可求出、，最后根據復數的幾何意義判斷即可.
【詳解】設，則，
所以，又，
所以，解得，
所以，所以復數在復平面內所對應的點為，位于第四象限.
故選：D
2．D
【分析】先化簡復數，再由復數的幾何意義求解即可.
【詳解】，
其對應的點坐標為，位于第四象限，
故選：D．
3．C
【分析】利用復數的四則運算法則可求，進而可得共軛復數在復平面內對應的點所在的象限.
【詳解】由，可得，
所以，所以.
所以復數的共軛復數在復平面內對應的點的坐標為，位于第三象限.
故選：C.
4．A
【分析】根據共軛復數的概念，復數的加減法，復數相等的概念求解即可.
【詳解】設，
因為，
所以，
所以，即.
故選：A
5．AD
【分析】求出、、，逐項判斷可得答案.
【詳解】對于A，若，則，
，
，故A正確；
對于B，若，則，
，故B錯誤；
對于C，若，則，
，故C錯誤；
對于D，，則，
，且，故D正確.
故選：AD.
6．AC
【分析】解實系數一元二次方程得，通過計算逐一驗證選項即可.
【詳解】復數是方程的兩根，則有，，
，A選項正確；
，B選項錯誤；
，，C選項正確；
，在復平面內所對應的點位于第一象限，D選項錯誤.
故選：AC.
7．AC
【分析】當時，代入計算可判斷A、B；由判斷的實部和虛部范圍可判斷C、D.
【詳解】當時，，故，故選項正確；
，B選項錯誤；
當時，，，
故對任意，點均在第一象限，故C選項正確；
不存在，使得點在第二象限，D選項錯誤．
故選：AC．
8．/
【分析】由復數的幾何意義和復數的模長公式即可求解.
【詳解】由題可得Z1，Z2兩點的距離為
.
故答案為：.
9．38
【分析】代入方程結合復數的概念及運算法則待定系數計算即可.
【詳解】將代入方程
得，
所以，所以.
故答案為：38
10．
【分析】利用復數的除法運算求解.
【詳解】易知，所以.
故答案為：.
11．(1)，
(2)
【分析】（1）根據復數相等的概念，即可求得答案；
（2）根據復數的除法運算，可求得答案.
【詳解】（1）由題意復數，
則由可得；
（2）當,時，，
故.
12．(1)證明見解析
(2)
【分析】
（1）對化簡整理可得，結合復數的相等分析運算；（2）根據復數模長的定義和公式，結合運算求解.
【詳解】（1）∵，則，
由復數相等，消去t得，
故為定值.
（2）
∵，且
∴，
又∵，即，則，整理得，
∴原不等式組即為，解得，
故a的取值范圍為.
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西榆林·模擬預測）若復數z滿足，則復數z在復平面內對應的點不可能在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、多選題
2．（2024·廣西桂林·模擬預測）已知，是純虛數，為的共軛復數，且（i為虛數單位），則（ ）
A． B．
C． D．是方程的一個根
三、填空題
3．（2023·河南安陽·模擬預測）若為虛數單位，則計算 ．
四、解答題
4．（2021·上海浦東新·模擬預測）已知關于得二次方程：.
(1)當方程有實數根時，求點的軌跡方程；
(2)求方程實數根的取值范圍.
參考答案：
題號 1 2
答案 B ACD
1．B
【分析】先根據復數的除法和乘法計算化簡，再根據實部和虛部確定復數對應點的象限.
【詳解】，
若，則，∴復數z可能在第一象限；
若，無解，即復數z不可能在第二象限，故應選B；
若，則，∴復數z可能在第三象限；
若，則，∴復數z可能在第四象限．
故選：B.
2．ACD
【分析】先由求出純虛數，然后利用復數的四則運算及模的運算判斷AC，利用共軛的概念判斷B，利用復數相等驗證方程的根判斷D.
【詳解】由題意設，因為，所以，所以，
所以，，故A正確；
對于B，，所以，故B錯誤；
對于C，，，所以，故C正確；
對于D，因為，
所以是方程的一個根，故D正確.
故選：ACD
3．
【分析】設，兩邊乘以相減，結合等比數列的求和公式和復數的乘除運算法則，計算可得所求和．
【詳解】設，
，
上面兩式相減可得，
，
則．
故答案為：．
4．(1)；
(2).
【分析】（1）根據復數相等結合條件可列出關于的方程，整理即可求得點的軌跡方程；
（2）由題可得，然后根據判別式大于等于零即得．
【詳解】（1）設方程的實數根為，則有
，
即，
所以，
兩式消去可得，
整理可得，
即點的軌跡方程是；
（2）由可得，
整理得，
，
，
解得，
方程的實數根的取值范圍是.
【培優篇】
一、單選題
1．（2020·上海閔行·二模）關于x的實系數方程和有四個不同的根，若這四個根在復平面上對應的點共圓，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
2．（2024·湖北襄陽·二模）已知復數滿足，（為虛數單位），是方程在復數范圍內的兩根，則下列結論正確的是（ ）
A．的最小值為 B．的最小值為4
C．當時，則 D．當時，則
三、填空題
3．（22-23高二上·上海嘉定·期中）已知集合（其中 為虛數單位），則滿足條件的集合M的個數為 .
參考答案：
題號 1 2
答案 D AD
1．D
【分析】根據條件分別設四個不同的解所對應的點為ABCD，討論根的判別式，根據圓的對稱性得到相應判斷.
【詳解】解：由已知x2﹣4x+5＝0的解為，設對應的兩點分別為A，B，
得A（2，1），B（2，﹣1），
設x2+2mx+m＝0的解所對應的兩點分別為C，D，記為C（x1，y1），D（x2，y2），
（1）當△＜0，即0＜m＜1時，的根為共軛復數，必有C、D關于x軸對稱，又因為A、B關于x軸對稱，且顯然四點共圓；
（2）當△＞0，即m＞1或m＜0時，此時C（x1，0），D（x2，0），且＝﹣m，
故此圓的圓心為（﹣m，0），
半徑，
又圓心O1到A的距離O1A＝，
解得m＝﹣1，
綜上：m∈（0，1）∪{﹣1}.
故選：D.
【點睛】本題考查方程根的個數與坐標系內點坐標的對應，考查一元二次方程根的判別式，屬于難題.
2．AD
【分析】利用復數的幾何意義，在復平面內畫出點，的軌跡方程，可判斷AB選項；復數范圍解一元二次方程，討論判別式，分別求解，用根與系數的關系化簡求值，在去掉絕對值號時又需進一步對a的取值進行分類討論，進而可判斷CD選項.
【詳解】設在復平面內的對應點分別為，
由得，所以在直線上.
由得，所以在圓上.
如圖所示：
對于A：表示復平面內圓上的點到直線上點的距離，
所以的最小值為，故A正確；
對于B：表示復平面內圓上的點到直線上點的距離，
所以的最小值為，故B錯誤；
對于CD：因為是方程在復數范圍內的兩根，
所以.
若，即或，此時，
由得或，
∴當或時，；
當時，，故C錯誤；
若，即，此時，為一對共軛虛根，
，故D正確.
故選：AD.
【點睛】思路點睛：
（1）在遇到此類問題是利用復數的幾何意義，在復平面內畫出點，的軌跡方程，進而轉化為直線與圓的位置關系，即轉化為圓上的點到定直線（圖形）上的最值問題.
（2）復數范圍解一元二次方程，討論判別式，分別求解，用根與系數的關系化簡求值.
3．8
【分析】
因為具有周期性，分別計算n取1,2,3,4時x的值，根據集合元素的個數，寫出子集個數.
【詳解】周期為4，當時，；當時，；
當時，；當時，，所以集合的子集個數為個.
故答案為：8個.
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