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第01講 導數的概念與運算
【課程標準】
1、理解導數的概念、掌握基本初等函數的導數.
2、通過函數圖像直觀理解導數的幾何意義.
3、能夠用導數公式和導數的運算法則，求簡單函數的導數；能求簡單的復合函數的導數.
【知識梳理】
知識點一：導數的概念和幾何性質
1、概念
函數在處瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或．
知識點詮釋：
①增量可以是正數，也可以是負，但是不可以等于0．的意義：與0之間距離要多近有
多近，即可以小于給定的任意小的正數；
②當時，在變化中都趨于0，但它們的比值卻趨于一個確定的常數，即存在一個常數與
無限接近；
③導數的本質就是函數的平均變化率在某點處的極限，即瞬時變化率．如瞬時速度即是位移在這一時
刻的瞬間變化率，即．
2、幾何意義
函數在處的導數的幾何意義即為函數在點處的切線的斜率．
3、物理意義
函數在點處的導數是物體在時刻的瞬時速度，即；在點的導數是物體在時刻的瞬時加速度，即．
知識點二：導數的運算
1、求導的基本公式
基本初等函數 導函數
（為常數）
2、導數的四則運算法則
（1）函數和差求導法則：；
（2）函數積的求導法則：；
（3）函數商的求導法則：，則．
3、復合函數求導數
復合函數的導數和函數，的導數間關系為：
【解題方法總結】
1、在點的切線方程
切線方程的計算：函數在點處的切線方程為，抓住關鍵．
2、過點的切線方程
設切點為，則斜率，過切點的切線方程為：，
又因為切線方程過點，所以然后解出的值．（有幾個值，就有幾條切線）
注意：在做此類題目時要分清題目提供的點在曲線上還是在曲線外．
題型一：導數的概念
1．下列結論中，正確的有（ ）．
A．是函數在附近的平均變化率
B．函數與在處的切線相同
C．求時，可先求，再求
D．曲線的切線與曲線不一定只有一個公共點
2 一般地，若函數的平均變化率在趨近于0時，有確定的極限值，則稱這個值為該函數在 處的瞬時變化率．
3．如圖，從數學的角度刻畫氣溫“陡升”，用怎樣的數學模型刻畫變量變化的快慢程度？

題型二：導數的運算
1．已知，則 ．
2．函數在求導時可運用對數法：在解析式兩邊同時取對數得到，然后兩邊同時求導得，于是，用此法探求的導數 .
3．已知函數，則
4．已知函數，則 ．
5．已知，則 ．
6．的導函數 ．
7．已知，則 ．
8．已知，
則 ．（用數字作答）
9．已知，，，，，，例如，則，，，．若，則 ．
10．對于且這類函數的求導、可以使用下面的方式進行：
第一步：； 第二步：； 第三步：； 第四步：
根據框內的信息.則函數的導數 .
題型三：導數的幾何意義
角度1 利用導數求直線的傾斜角或傾斜角的范圍
1．函數在點處的切線傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
2．已知點P在曲線上，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
3．函數的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（ ）

A． B．
C． D．
角度2 切線 ~~ “在型” 和“過型”
4．已知函數，則函數在處的切線方程是（ ）
A． B． C． D．
5．曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
6．若過點可以作曲線的兩條切線，則（ ）
A． B．
C． D．
7．設函數，則曲線在點處的切線與兩坐標軸所圍成的三角形的面積為（ ）
A． B． C． D．
8．曲線過坐標原點的兩條切線的方程為 ， ．
角度3 利用導數求參數值
9．已知曲線在點處的切線方程為，則
A． B． C． D．
10．已知，，直線與曲線相切，則的最小值是（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
11．已知分別是曲線和直線上的點，則的最小值為 ．
12．若曲線在處的切線恰好與曲線也相切，則 .
13．設函數，曲線在點處的切線方程為.
(1)求；
(2)證明：.
14．已知函數.
(1)若曲線在點處的切線方程為，求實數和的值；
(2)若函數無零點，求的取值范圍.第01講 導數的概念與運算
參考答案：
題型一
1．BD
【詳解】對于A，表示在處的瞬時變化率，所以A錯誤；
對于B，由，得，則切線的斜率為0，所以在處的切線為，
由，得，則切線的斜率為0，所以在處的切線為，
所以B正確；
對于C，因為是常數，所以再給求導，其值為零，
而先求，再代入求值，其值不一定為零，所以C錯誤；
對于D，如下圖，曲線在點處的切線與曲線有兩個公共點，所以D正確
故選：BD
2．
3．
【詳解】陡峭程度反映了氣溫變化的快與慢；兩點相差31天，氣溫增加了，
則有；而兩點相差2天，氣溫增加了，
則有，我們用此值刻畫了變量變化的快慢程度．
題型二
1．
【詳解】設，，
則.
則.
故答案為：
2．
【詳解】兩邊取對數可得：，
兩邊求導可得：，
所以.
故答案為：.
3．
【詳解】因為，，
所以，由可得，
故答案為: .
4．
【詳解】因為，所以.
故答案為：
5．
【詳解】由，
故答案為：
6．
【詳解】由題意得，
故答案為：
7．
【詳解】解：由題知
故答案為：
8．
【詳解】因為，
兩邊求導可得，
令，得到，即，
故答案為：.
9．0
【詳解】令，則，，
可知，的周期為2，
令，則，
可知，的周期為4，
由題意可得：，
，
，
注意到，
所以.
故答案為：0.
10．
【詳解】因為，故可得，所以，即
，所以.
故答案為：
題型三：導數的幾何意義
1．A
【詳解】，，
設在點處的切線傾斜角為，
則有，由，則.
故答案為：A.
2．A
【詳解】，．
設，則曲線在點P處的切線的斜率為，，
，．
故選：A.
3．B
【詳解】

如圖，設函數的圖象上有兩點，經過點的切線分別為,
則直線的斜率依次為，
由圖知直線的傾斜角滿足，，
因函數在上遞增，故，
即.
故選：B.
4．B
【詳解】，令，可得，
，
所以在處的切線方程為.
故選：B
5．C
【詳解】設曲線在點處的切線方程為，
因為，
所以，
所以
所以
所以曲線在點處的切線方程為.
故選：C
6．D
解法二：畫出曲線的圖象，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.
【詳解】在曲線上任取一點，對函數求導得，
所以，曲線在點處的切線方程為，即，
由題意可知，點在直線上，可得，
令，則.
當時，，此時函數單調遞增，
當時，，此時函數單調遞減，
所以，，
由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，
當時，，當時，，作出函數的圖象如下圖所示：

由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.
故選：D.
解法二：畫出函數曲線的圖象如圖所示，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.

故選：D.
【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數函數的增長特性進行估計，解法二是根據基于對指數函數的圖象的清晰的理解與認識的基礎上，直觀解決問題的有效方法.
7．A
【詳解】，
則，
即該切線方程為，即，
令，則，令，則，
故該切線與兩坐標軸所圍成的三角形面積.
故選：A.
8．
【分析】分和兩種情況，當時設切點為，求出函數的導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；
【詳解】[方法一]：化為分段函數，分段求
分和兩種情況，當時設切點為，求出函數導函數，即可求出切線的斜率，從而表示出切線方程，再根據切線過坐標原點求出，即可求出切線方程，當時同理可得；
解： 因為，
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；故答案為：；
[方法二]：根據函數的對稱性，數形結合
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
因為是偶函數，圖象為：
所以當時的切線，只需找到關于y軸的對稱直線即可.
[方法三]：
因為，
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
當時，設切點為，由，所以，所以切線方程為，
又切線過坐標原點，所以，解得，所以切線方程為，即；
故答案為：；.
9．D
【詳解】詳解：
，
將代入得，故選D．
【點睛】本題關鍵得到含有a，b的等式，利用導數幾何意義和點在曲線上得到方程關系．
10．D
【詳解】對求導得，
由得，則，即，
所以，
當且僅當時取等號．
故選：D．
11．/
【詳解】平移直線與曲線相切，設切點坐標為，
由，求導得，依題意，即，
而，解得，因此切點坐標為，
所以的最小值為.
故答案為：
12．
【詳解】對于：，可得，
當，則，
可知曲線在處的切線是；
對于：，可得，
令得，
由切點在曲線上得.
故答案為：.
13．(1)
(2)證明見解析
【詳解】（1）函數的定義域為.
將代入，解得，即，
由切線方程，則切線斜率.
故，解得.
（2）證明：由（1）知，
從而等價于.
設函數，則.
所以當時，，當時，.
故在上單調遞減，在上單調遞增，
從而在上的最小值為.
設函數，
從而在上的最大值為.
故，即.
14．(1)，
(2)
【詳解】（1）因為，所以，
又，則，
又曲線在點處的切線方程為，
所以，解得.
（2）令，即，
令，則，
所以當時，當時，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
則，且當時，
依題意與無交點，所以，
所以要使函數無零點，則的取值范圍為.

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