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2.3用公式法解一元二次方程
1．下列方程中，屬于一元二次方程是（ ）
A. （為常數(shù)） B.
C. D.
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義進(jìn)行判斷即可.
【詳解】解：A．若a＝0，則該方程不是一元二次方程，A選項(xiàng)錯(cuò)誤，
B．有兩個(gè)未知數(shù)，該方程不是一元二次方程，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，
C．屬于分式方程，不符合一元二次方程的定義，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
D．符合一元二次方程的定義，D選項(xiàng)正確，
故選：D．
2．根據(jù)下列表格對(duì)應(yīng)值：
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
ax2+bx+c ﹣012 ﹣0.03 ﹣0.01 0.06 0.18
判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)解x的范圍是（ ）
A. 2.1＜x＜2.2 B. 2.2＜x＜2.3 C. 2.3＜x＜2.4 D. 2.4＜x＜2.5
【答案】C
【分析】由于x＝2.3時(shí)，ax2+bx+c＝﹣0.01；x＝2.4時(shí)，ax2+bx+c＝0.06，則在2.3和2.4之間有一個(gè)值能使ax2+bx+c的值為0，據(jù)此即可判斷．
【詳解】∵x＝2.3時(shí)，ax2+bx+c＝﹣0.01；x＝2.4時(shí)，ax2+bx+c＝0.06，
∴方程ax2+bx+c＝0的一個(gè)解的范圍為2.3＜x＜2.4．
故選：C．
3．下列命題是真命題的是（ ）
A. 對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 B. 對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
【答案】B
【分析】A、根據(jù)平行四邊形的判定定理作出判斷；B、根據(jù)矩形的判定定理作出判斷；C、根據(jù)菱形的判定定理作出判斷；D、根據(jù)正方形的判定定理作出判斷．
【詳解】解：A、對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
B、對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；故本選項(xiàng)正確，符合題意；
C、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
D、對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；
故選：B．
4．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，已知，則BD等于( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
【答案】A
【分析】
根據(jù)矩形的對(duì)角線相等且相互平分即可解決問(wèn)題．
【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，
∵OA=3，
∴BD=2OA=6，
故選：A．
5．方程x2+2x–2=0配方得到（x+m）2=3，則m=__________．
【答案】1
【分析】移項(xiàng)，配方即可得出的值.
【詳解】
故答案為1.
6．關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是a，則代數(shù)式的值是____．
【答案】
【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義求解即可，一元二次方程的解（根）的意義：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值稱為一元二次方程的解．
【詳解】關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是a，
故答案為：
7．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值是______________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意，AM=EF，利用三個(gè)直角的四邊形是矩形，得到EF=AP，得AM=AP，當(dāng)AP最小時(shí)，AM有最小值，根據(jù)垂線段最短，計(jì)算AP的長(zhǎng)即可．
【詳解】∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴BC==5，
∴BC邊上的高h(yuǎn)=，
∵∠BAC=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四邊形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M為EF的中點(diǎn)，
∴AM=EF，
∴AM=AP，
∴當(dāng)AP最小時(shí)，AM有最小值，
根據(jù)垂線段最短，當(dāng)AP為BC上的高時(shí)即AP=h時(shí)最短，
∴AP的最小值為，
∴AM的最小值為，
故答案為：．
8．如圖，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）求證：四邊形BFDE為矩形．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.
【分析】（1）由DE與AB垂直，BF與CD垂直，得到一對(duì)直角相等，再由ABCD為平行四邊形得到AD=BC，對(duì)角相等，利用AAS即可的值；
（2）由平行四邊形的對(duì)邊平行得到DC與AB平行，得到∠CDE為直角，利用三個(gè)角為直角的四邊形為矩形即可的值．
【詳解】解：（1）∵DE⊥AB，BF⊥CD，
∴∠AED=∠CFB=90°，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS）；
（2）∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴CD∥AB，
∴∠CDE+∠DEB=180°，
∵∠DEB=90°，
∴∠CDE=90°，
∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°，
9．某商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，標(biāo)價(jià)為3000．
（1）若商場(chǎng)連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價(jià)的百分率；
（2）市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)每臺(tái)售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；當(dāng)每臺(tái)售價(jià)每降50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)．若商場(chǎng)要使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，則每臺(tái)冰箱的售價(jià)應(yīng)為多少元？
【答案】（1）10%；（2）每臺(tái)售價(jià)為2750元
【分析】（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)降價(jià)后的價(jià)格=降價(jià)前的價(jià)格（1-降價(jià)的百分率），則第一次降價(jià)后的價(jià)格是3000（1-x）元，第二次后的價(jià)格是3000（1-x）2元，據(jù)此即可列方程求解；
（2）假設(shè)下調(diào)a個(gè)50元，銷售利潤(rùn)=一臺(tái)冰箱的利潤(rùn)×銷售冰箱數(shù)量，一臺(tái)冰箱的利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)，降低售價(jià)的同時(shí)，銷售量就會(huì)提高，“一減一加”，根據(jù)每臺(tái)的盈利×銷售的件數(shù)=5000元，即可列方程求解．
【詳解】解：（1）設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，
由題意可得：，
∴
∴
解得：（舍），
答：每次降價(jià)的百分率是10%；
（2）假設(shè)下調(diào)a個(gè)50元，依題意得：5000=（2900-2500-50a）（8+4a）．
解得a=3．
所以下調(diào)150元，因此定價(jià)為2750元．
一．公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.
2.用公式法解一元二次方程的步驟
用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：
①把一元二次方程化為一般形式；
②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；
③求出的值；
④若，則利用公式求出原方程的解；
若，則原方程無(wú)實(shí)根
二：一元二次方程根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即
（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
要點(diǎn)：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計(jì)算的值；④根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況.
2. 一元二次方程根的判別式的逆用
在方程中，
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0；
（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；
（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根﹤0.
要點(diǎn)：
（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件；
（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則 ≥0.
三：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.
1.（23-24九年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)公式法的公式，可得方程的各項(xiàng)系數(shù)，即可解答．
【詳解】解： ，
，，，
從而得到一元二次方程為，
故答案為：．
【總結(jié)】本題考查了用公式法解一元二次方程，熟記公式是解題的關(guān)鍵．
2.（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用公式法解一元二次方程：．

解：方程化為．
，．
．
方程 實(shí)數(shù)根．
，
即 ，．
【答案】 有兩個(gè)不相等的 2
【分析】根據(jù)公式法解一元二次方程的解法步驟求解即．
【詳解】解：方程化為．
，，．
．
方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
，
即2，．
故答案為：；；有兩個(gè)不相等的；；；2．
【總結(jié)】本題考查公式法解一元二次方程，熟練掌握公式法解一元二次方程的解法步驟是解答的關(guān)鍵．
3．若實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【答案】D
【分析】本題考查了一元二次方程的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸上a的值，來(lái)確定判別式的大；根據(jù)一元二次方程的根的判別式，并且結(jié)合數(shù)軸上a的大小，確定出判別式的大小，即可判斷出方程的根的情況 ．
【詳解】解：∵一元二次方程，
，
由數(shù)軸可得，
，
，
，
方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
故選：．
4.（2021春 臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于x的方程x2x+n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則　 ?。?br/>【分析】先根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根得出△＝0即可得到關(guān)于m、n的方程，進(jìn)而即可求得的值．
【解答】解：∵關(guān)于x的方x2x+n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，
∴△＝（）2﹣4n
∴m＝4n，
∴4．
故答案為：4．
【總結(jié)】本題考查的是根的判別式，根據(jù)題意得出關(guān)于m、n的方程是解答此題的關(guān)鍵．
5.定義新運(yùn)算“a*b”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則方程的根的情況為（　?。?br/>A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【分析】利用新運(yùn)算把方程x*k＝xk（k為實(shí)數(shù)）化為x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，整理得到x2﹣3kx+k2﹣2＝0，再計(jì)算判別式的值得到△＞0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：∵x*k＝x2+k2﹣2xk﹣2，
∴關(guān)于x的方程x*k＝xk（k為實(shí)數(shù)）化為x2+k2﹣2xk﹣2＝xk，
整理為x2﹣3kx+k2﹣2＝0，
∵△＝（﹣3k）2﹣4（k2﹣2）＝k2+8＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【總結(jié)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
6.（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用求根公式法解得某方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)求根公式法求得一元二次方程的兩個(gè)根，由題意得，可求出．
【詳解】方程有兩根，
且．
求根公式得到方程的根為，兩根互為相反數(shù)，
所以，即 ，
解得．
故選：A．
【總結(jié)】本題考查了解一元二次方程－公式法，相反數(shù)的意義，熟練掌握用公式法解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7.．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】D
【分析】本題考查了根的判別式：先計(jì)算判別式的值，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
【詳解】解：∵，
∴，，
故選：D．
用公式法解方程：
x2﹣5x﹣1＝0．
3x2﹣x﹣1＝0
．
【分析】利用公式法求解即可．
【解答】（1）解：∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣1，
∴△＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，
則x，
即x1，x2．
（2）解：由題意可知：a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1，
∴△＝1﹣4×3×（﹣1）＝1+12＝13，
∴x，
∴x1，x2．
（3））解：整理，得：3x2﹣8x﹣2＝0，
∵a＝3，b＝﹣8，c＝﹣2，
∴△＝（﹣8）2﹣4×3×（﹣2）＝88＞0，
則x，即x1，x2．
【總結(jié)】本題主要考查解一元二次方程的能力，熟練掌握解一元二次方程的幾種常用方法：直接開(kāi)平方法、因式分解法、公式法、配方法，結(jié)合方程的特點(diǎn)選擇合適、簡(jiǎn)便的方法是解題的關(guān)鍵．
9.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）若x＝1是這個(gè)方程的一個(gè)根，求k的值和它的另一根；
（2）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．
（3）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．
【分析】（1）把x＝1代入已知方程，列出關(guān)于k的新方程，通過(guò)解新方程來(lái)求k的值；然后根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求方程的另一根；
（2）根據(jù)根的判別式的符號(hào)進(jìn)行論證；
（3）通過(guò)解方程求得該三角形的另兩邊的長(zhǎng)度，然后由三角形的三邊關(guān)系和三角形的周長(zhǎng)公式進(jìn)行解答．
【解答】解：（1）把x＝1代入x2﹣（k+2）x+2k＝0，得
1﹣k﹣2+2k＝0，
解得k＝1．
設(shè)方程的另一根為t，則
t＝2k＝2．
即k的值為1，方程的另一根為2；
（2）∵△＝（k﹣2）2≥0，
∴對(duì)于任意實(shí)數(shù)k，原方程一定有實(shí)數(shù)根；
（3）由x2﹣（k+2）x+2k＝0得：（x﹣2）（x﹣k）＝0
此方程的兩根為x1＝k，x2＝2
若x1≠x2，則x1＝5，此等腰三角形的三邊分別為5，5，2，周長(zhǎng)為12．
若x1＝x2＝2，等腰三角形的三邊分別為2，2，5，不存在此三角形，
所以，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)為12．
【總結(jié)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程總有實(shí)數(shù)根應(yīng)根據(jù)判別式來(lái)做，等腰三角形的周長(zhǎng)應(yīng)注意兩種情況，以及兩種情況的取舍．
1．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此題考查了根的判別式，根據(jù)根的情況確定參數(shù)的取值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式，當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根時(shí)，；當(dāng)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根時(shí)，．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，
故選：．
3．在用求根公式求一元二次方程的根時(shí)，小珺正確地代入了a，b，c得到，則她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是掌握求根公式中字母所表示的意義．根據(jù)求根公式解答．
【詳解】解：由知：，，．
所以該一元二次方程為：．
故選：A．
4.若一元二次方程x2+bx+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的一個(gè)根是m（m≠0），則b（　?。?br/>A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
【分析】根據(jù)公式得出m，求出即可．
【解答】解：∵x2+bx+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的一個(gè)根是m，
∴m，
解得：b2m，
故選：D．
【總結(jié)】本題考查了解一元二次方程，能熟記公式是解此題的關(guān)鍵．
5.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1，x2，下列判斷一定正確的是（　?。?br/>A．a(chǎn)＝﹣1 B．c＝1 C．a(chǎn)c＝﹣1 D．1
【分析】根據(jù)一元二次方程的求根公式與根與系數(shù)的關(guān)系可得答案．
【解答】解：根據(jù)一元二次方程的求根公式可得：x1，x2，
∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1，x2，
∴x1+x2＝﹣b，x1 x21，
∴當(dāng)b≠0時(shí)，a＝1，c＝﹣1，則ac＝﹣1，
故選：D．
6.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“★”：a★b，關(guān)于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍是（　?。?br/>A．t B．t C．t D．t
【分析】分兩種情況：①當(dāng)2x+1≤2x﹣3成立時(shí)；②當(dāng)2x+1＞2x﹣3成立時(shí)；進(jìn)行討論即可求解．
【解答】解：①當(dāng)2x+1≤2x﹣3成立時(shí)，即1≤﹣3，矛盾；所以a≤b時(shí)不成立；
②當(dāng)2x+1＞2x﹣3成立時(shí)，即1＞﹣3，所以a＞b時(shí)成立；
則（2x﹣3）2﹣（2x+1）＝t，
化簡(jiǎn)得：4x2﹣14x+8﹣t＝0，
該一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
△＝142﹣4×4×（8﹣t）＞0；
解得：t．
故選：D．
【總結(jié)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了新定義的運(yùn)算．
7.關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?br/>A．k且k≠1 B．k且k≠1 C．k D．k
【分析】分k﹣1＝0和k﹣1≠0兩種情況，利用根的判別式求解可得．
【解答】解：當(dāng)k﹣1≠0，即k≠1時(shí)，此方程為一元二次方程．
∵關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實(shí)數(shù)根，
∴△＝（2k+1）2﹣4×（k﹣1）2×1＝12k﹣3≥0，
解得k；
當(dāng)k﹣1＝0，即k＝1時(shí)，方程為3x+1＝0，顯然有解；
綜上，k的取值范圍是k，
故選：D．
【總結(jié)】本題主要考查根的判別式和一元二次方程的定義，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
8．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則k的值為 .
【答案】
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與系數(shù)有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
【詳解】解：由題可得：，
∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得，
故答案為：．
9..關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，x取m和m+2時(shí)，代數(shù)式x2+bx+c的值都等于n，則n＝　 ?。?br/>【分析】根據(jù)題意得到△＝b2﹣4c＝0，求得c，把原方程可表示為x2+bx0，根據(jù)x取m和m+2時(shí)，代數(shù)式x2+bx+c的值相等，得到m2+bm（m+2）2+b（m+2），解得b＝﹣2m﹣2，把x＝m代入x2+bx+c＝即可得到結(jié)論．
【解答】解：∵方程x2+bx+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴△＝b2﹣4c＝0，
∴c，
∴原方程可表示為：x2+bx0，
∵x取m和m+2時(shí)，代數(shù)式x2+bx+c的值相等，
∴m2+bm（m+2）2+b（m+2），
∴b＝﹣2m﹣2，
∴x2+bx+c＝x2+（﹣2m﹣2）x，
當(dāng)x＝m時(shí)，x2+bx+c＝m2+（﹣2m﹣2）mm2﹣2m2﹣2m+m2+2m+1＝1，
故答案為：1．
【總結(jié)】本題考查了根的判別式，一元二次方程的解，代數(shù)式的求值，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
10．已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)若，且，，都是整數(shù)，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題主要考查了根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)范圍、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)“，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”，則，得出關(guān)于的不等式求解即可；
（2）根據(jù)，結(jié)合（1）所求的取值范圍，得出整數(shù)的值有，，，分別計(jì)算討論整數(shù)的不同取值時(shí)，方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，是否符合都是整數(shù)，選擇符合情況的整數(shù)的值即可．
【詳解】（1）解：∵，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：∵，由（1）得，
∴，
∴整數(shù)的值有，，，
當(dāng)時(shí)，方程為，
解得：，（都是整數(shù)，此情況符合題意）；
當(dāng)時(shí)，方程為，
解得：（不是整數(shù)，此情況不符合題意）；
當(dāng)時(shí)，方程為，
解得：（不是整數(shù)，此情況不符合題意）；
綜上所述，的值為．
11.已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求證：無(wú)論m取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a＝5，另兩邊b，c的長(zhǎng)度恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．
【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，即可得出：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，由此即可證得結(jié)論；
（2）由等腰三角形的性質(zhì)可知b＝c或b、c中有一個(gè)為5，①當(dāng)b＝c時(shí)，根據(jù)根的判別式△＝0，解之求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系即可得出該種情況不合適；②當(dāng)方程的一根為5時(shí)，將x＝5代入原方程求出m值，將m的值代入原方程中解方程即可得出方程的解，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定△ABC的三條邊，結(jié)合三角形的周長(zhǎng)即可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：△＝（m+3）2﹣4（4m﹣4）＝m2﹣10m+25＝（m﹣5）2≥0，
∴無(wú)論m取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根；
（2）∵△ABC為等腰三角形，
∴b＝c或b、c中有一個(gè)為5．
①當(dāng)b＝c時(shí)，△＝（m﹣5）2＝0，
解得：m＝5，
∴原方程為x2﹣8x+16＝0，
解得：b＝c＝4，
∵b+c＝4+4＝8＞5，
∴4、4、5能構(gòu)成三角形．
該三角形的周長(zhǎng)為4+4+5＝13．
②當(dāng)b或c中的一個(gè)為5時(shí)，將x＝5代入原方程，得：25﹣5m﹣15+4m﹣4＝0，
解得：m＝6，
∴原方程為x2﹣9x+20＝0，
解得：x1＝4，x2＝5．
∵4、5、5能組成三角形，
∴該三角形的周長(zhǎng)為4+5+5＝14．
綜上所述，該三角形的周長(zhǎng)是13或14．
【總結(jié)】本題考查了根的判別式、三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的性質(zhì)以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根”；（2）題需要分類討論，以防漏解．
12.如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的邊長(zhǎng)，易知AEc，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長(zhǎng)是12，求△ABC的面積．
【分析】（1）只要證明△≥0即可解決問(wèn)題．
（2）當(dāng)x＝﹣1時(shí)，有ac+b＝0，即a+bc，由2a+2bc＝12，即2（a+b）c＝12，推出c＝2，推出a2+b2＝c2＝4，a+b＝4，由（a+b）2＝a2+2ab+b2，可得ab＝4，由此即可解決問(wèn)題．
【解答】（1）證明：，
∵a2+b2＝c2，
∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴關(guān)于x的“勾系一元二次方程”必有實(shí)數(shù)根；
（2）解：當(dāng)x＝﹣1時(shí)，有，即，
∵四邊形ACDE的周長(zhǎng)是12，
∴，即，
∴，
∴a2+b2＝c2＝8，
又∵a+b＝4，
∴（a+b）2＝a2+2ab+b2，即16＝8+2ab，
∴ab＝4，
∴．
【總結(jié)】本題考查勾股定理的應(yīng)用、一元二次方程的根的判別式、完全平方公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．
1．用求根公式解一元二次方程時(shí)，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【分析】本題主要考查解一元二次方程的一般形式，認(rèn)知一次項(xiàng)系數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)常數(shù)項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．按照未知數(shù)的降冪排列，據(jù)此可得答案．
【詳解】解：，
，
則，，，
故選：C
2.（23-24九年級(jí)上·河南三門峽·期中）用公式法解方程，下列代入公式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先將方程進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)一元二次方程的求根公式，即可做出判斷．
【詳解】解：方程可化為
由求根公式可得：
故選：B
【總結(jié)】本題主要考查了一元二次方程的求根公式，準(zhǔn)確的識(shí)記求根公式是解答本題的關(guān)鍵．
3．對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若是方程的解，則
B．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根
D．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
【答案】B
【分析】此題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情況與判別式的關(guān)系：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
根據(jù)解一元二次方程的方法，判別式的意義，一元二次方程的解的定義逐項(xiàng)判斷即可．
【詳解】解：、將代入方程可得：，
∴本選項(xiàng)說(shuō)法正確，不符合題意；
、若，則方程為，
∴，
∴程必有兩個(gè)的實(shí)數(shù)根，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；
、∵，
∴，
∴方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，原說(shuō)法正確，不符合題意；
、∵方程中，，
∵，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故原說(shuō)法正確，不符合題意；
故選：．
4．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（　?。?br/>A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
【答案】A
【分析】本題考查一元二次方程根的判別式，解題的關(guān)鍵是記住一元二次方程的根與有如下關(guān)系：①當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；②當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；③當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．根據(jù)此并結(jié)合平方的非負(fù)性判斷即可．
【詳解】解：∵，
∴
，
則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：A．
5.關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)且a≠﹣2 B．a(chǎn) C．a(chǎn)且a≠﹣2 D．a(chǎn)
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a+2≠0且△≥0，然后求出兩不等式的公共部分即可．
【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有實(shí)數(shù)根，
∴△≥0且a+2≠0，
∴（﹣3）2﹣4（a+2）×1≥0且a+2≠0，
解得：a且a≠﹣2，
故選：A．
【總結(jié)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
6．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對(duì)于一元二次方程，若，則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．由關(guān)于的一元二次方程兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，可得且，解此不等式組即可求得答案．
【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范圍是：且．
故選：A．
7.下列關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（　?。?br/>A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
【分析】利用根的判別式△＝b2﹣4ac逐一求出四個(gè)方程的△的值，取其為正值的選項(xiàng)即可得出結(jié)論．
【解答】解：A、∵△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2﹣2x+2＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根；
B、方程變形為x2﹣2x+1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
∴一元二次方程x（x﹣2）＝﹣1有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
C、方程變形為x2﹣2x﹣k2﹣1＝0，
∵△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝8+4k2＞0，
∴一元二次方程（x﹣k）（x+k）＝2x+1有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
D、∵△＝02﹣4×1×1＝﹣4＜0，
∴一元二次方程x2+1＝0沒(méi)有實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【總結(jié)】本題考查了根的判別式，牢記“當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．
8.關(guān)于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情況，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
【分析】根據(jù)根的判別式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可作出判斷．
【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）
＝k2﹣4k+4+16﹣4k
＝k2﹣8k+20
＝k2﹣8k+16+4
＝（k﹣4）2+4＞0，
∴該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選：A．
【總結(jié)】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：
①當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
9.函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（　　）
A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
【分析】先利用一次函數(shù)的性質(zhì)得k＜0，b＜0，再計(jì)算判別式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判斷△＞0，然后根據(jù)判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：根據(jù)圖象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因?yàn)椤鳎絙2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以△＞0，
所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
故選：C．
【總結(jié)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了一次函數(shù)圖象．
10．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若此方程的兩根均為正整數(shù)，則正整數(shù)m的值為 ．
【答案】1
【分析】本題主要考查了根的判別式以及求根公式．
利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到和3， 利用求根公式解方程得到，，然后利用（1）的范圍可確定m的值．
【詳解】解∶由題意得：且，
∴當(dāng)和3時(shí)，原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
∵此方程的兩根均為正整數(shù)，即，
解方程得，．
∴可取的正整數(shù)m的值為1．
故答案為：1．
11．解方程：．
【答案】，
【分析】本題主要考查了解一元二次方程．熟練掌握公式法解一元二次方程，是解題的關(guān)鍵．
原方程化為，得根的判別式，得到，即得，．
【詳解】解：方程化為，
，，．
，
方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，
，
即，．
12.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍．
【分析】（1）計(jì)算判別式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）2，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到△≥0，然后根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論．
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根據(jù)題意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．
【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，
∴△＝b2﹣4ac
＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴此方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，
∴x．
∴x1＝m﹣2，x2＝2．
∵此方程有一個(gè)根小于1．
∴m﹣2＜1．
∴m＜3．
【總結(jié)】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解的定義，在解答（2）時(shí)得到方程的兩個(gè)根是解題的關(guān)鍵．
13.已知：關(guān)于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求證：無(wú)論k取何值，方程都有實(shí)根；
（2）若x＝﹣1是該方程的一個(gè)根，求k的值；
（3）若方程的兩個(gè)實(shí)根均為正整數(shù)，求k的值（k為整數(shù)）．
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義得k≠0，再計(jì)算判別式得到△＝（2k﹣3）2，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即k的取值得到△≥0，則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）把x＝﹣1代入方程求解即可；
（3）求出方程的根，方程的兩個(gè)實(shí)根均為正整數(shù)，求出k的值．
【解答】（1）證明：當(dāng)k≠0時(shí)，
∵方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴△＝（4k﹣3）2﹣4k（3k﹣3）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2，
∴△＝（2k﹣3）2≥0，
當(dāng)k＝0時(shí)，3x﹣3＝0，
解得x＝1．
∴無(wú)論k取何值，方程都有實(shí)根；
（2）把x＝﹣1代入方程得k+4k﹣3+3k﹣3＝0，
解得k．
故k的值；
（3）解：kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0，
∴a＝k，b＝﹣（4k﹣3），c＝3k﹣3，
∵運(yùn)用公式法解方程可知道此方程的根為x，
∴此方程的兩個(gè)根分別為x1＝1，x2＝3，
∵方程的兩個(gè)實(shí)根均為正整數(shù)，
∴k＝﹣3，k＝﹣1，k＝3．
【總結(jié)】本題主要考查了根的判別式的知識(shí)，熟知一元二次方程的根與△的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵，此題難度不大．
14.對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，定義一種運(yùn)算：m△n＝mn+n．
（1）求﹣2△得值；
（2）如果關(guān)于x的方程x△（a△x）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值．
【分析】（1）利用新定義得到﹣2△2，然后進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算；
（2）先利用新定義把方程化為（a+1）x2+（a+1）x0，再根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）0，然后解不等式和方程可得到a的值．
【解答】解：（1）﹣2△22×444；
（2）∵a△x＝ax+x，
∴x△（a△x）＝x（ax+x）+ax+x，
∴關(guān)于x的方程x△（a△x）化為x（ax+x）+ax+x，
整理得（a+1）x2+（a+1）x0，
∵方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴a+1≠0且△＝（a+1）2﹣4（a+1）0，解得a＝0，
即a的值為0．
【總結(jié)】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關(guān)系：當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＝0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．
15.已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的根，
（1）求a2﹣4a+2013的值；
（2）化簡(jiǎn)求值：．
【分析】（1）將a代入方程確定出a2﹣4a的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)a的范圍化簡(jiǎn)原式即可得到結(jié)果．
【解答】解：（1）將x＝a代入方程得：a2﹣4a＝﹣2，
則原式＝﹣2+2013＝2011；
（2）方程解得：a2，
∴a﹣1＜0，
則原式（a﹣1）＝﹣1﹣a+1＝﹣a2．
【總結(jié)】此題考查了解一元二次方程﹣公式法，熟練掌握求根公式是解本題的關(guān)鍵．
16.先閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：
在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各項(xiàng)的系數(shù)之和為零，即a+b+c＝0，則有一根為1，另一根為．
證明：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由a+b+c＝0，
知b＝﹣（a+c），
∵x
∴x1＝1，x2．
（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各項(xiàng)系數(shù)滿足a﹣b+c＝0，則兩根的情況怎樣，試說(shuō)明你的結(jié)論；
（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用上述結(jié)論證明：．
【分析】（1）由a﹣b+c＝0，可得出b＝a+c，結(jié)合給定材料可猜測(cè)方程的兩根中有一根為﹣1，另一根為．利用求根公式結(jié)合給定材料中的證明過(guò)程即可證明猜測(cè)成立；
（2）將方程系數(shù)相加即可得知“ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0”，滿足給定材料的條件，由此得出方程的兩根分別為1和，由題意可知1，整理變形后即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）有一根為﹣1，另一根為．
證明：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由a﹣b+c＝0，
知b＝a+c，
∵x，
∴x1＝﹣1，x2．
（2）證明：∵ac﹣bc+bc﹣ab+ab﹣ac＝0，
∴方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）的兩根分別為1和．
∵方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴1，即ab﹣ac＝ac﹣bc，
∴ab+bc＝2ac．
∵abc≠0，
∴．
【總結(jié)】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及求根公式，解題的關(guān)鍵：（1）利用求根公式表示出x；（2）將方程系數(shù)相加得出方程的兩個(gè)分別為1和．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)求根公式表示出方程的解是關(guān)鍵．
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2.3用公式法解一元二次方程
1．下列方程中，屬于一元二次方程是（ ）
A. （為常數(shù)） B.
C. D.
2．根據(jù)下列表格對(duì)應(yīng)值：
x 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5
ax2+bx+c ﹣012 ﹣0.03 ﹣0.01 0.06 0.18
判斷關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一個(gè)解x的范圍是（ ）
A. 2.1＜x＜2.2 B. 2.2＜x＜2.3 C. 2.3＜x＜2.4 D. 2.4＜x＜2.5
3．下列命題是真命題的是（ ）
A. 對(duì)角線相等的四邊形是平行四邊形 B. 對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形
C. 對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 D. 對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是正方形
4．如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，已知，則BD等于( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5．方程x2+2x–2=0配方得到（x+m）2=3，則m=__________．
6．關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是a，則代數(shù)式的值是____．
7．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點(diǎn)，則AM的最小值是______________．
8．如圖，在 ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，
（1）求證：△ADE≌△CBF；
（2）求證：四邊形BFDE為矩形．
9．某商場(chǎng)銷售某種冰箱，每臺(tái)進(jìn)貨價(jià)為2500元，標(biāo)價(jià)為3000．
（1）若商場(chǎng)連續(xù)兩次降價(jià)，每次降價(jià)的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降價(jià)的百分率；
（2）市場(chǎng)調(diào)研表明：當(dāng)每臺(tái)售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；當(dāng)每臺(tái)售價(jià)每降50元時(shí)，平均每天就能多售出4臺(tái)．若商場(chǎng)要使這種冰箱的銷售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，則每臺(tái)冰箱的售價(jià)應(yīng)為多少元？
一．公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，當(dāng)時(shí)，.
2.用公式法解一元二次方程的步驟
用公式法解關(guān)于x的一元二次方程的步驟：
①把一元二次方程化為一般形式；
②確定a、b、c的值（要注意符號(hào)）；
③求出的值；
④若，則利用公式求出原方程的解；
若，則原方程無(wú)實(shí)根
二：一元二次方程根的判別式
一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來(lái)表示，即
（1）當(dāng)△>0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)△=0時(shí)，一元二次方程有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)△<0時(shí)，一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
要點(diǎn)：利用根的判別式判定一元二次方程根的情況的步驟：①把一元二次方程化為一般形式；②確定的值；③計(jì)算的值；④根據(jù)的符號(hào)判定方程根的情況.
2. 一元二次方程根的判別式的逆用
在方程中，
（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根﹥0；
（2）方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根=0；
（3）方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根﹤0.
要點(diǎn)：
（1）逆用一元二次方程根的判別式求未知數(shù)的值或取值范圍，但不能忽略二次項(xiàng)系數(shù)不為0這一條件；
（2）若一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根則 ≥0.
三：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根是，
那么，.
注意它的使用條件為a≠0， Δ≥0.
也就是說(shuō)，對(duì)于任何一個(gè)有實(shí)數(shù)根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項(xiàng)系數(shù)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商的相反數(shù)；兩根之積等于常數(shù)項(xiàng)除以二次項(xiàng)系數(shù)所得的商.
1.（23-24九年級(jí)上·山西大同·階段練習(xí)）用公式法解關(guān)于x的一元二次方程，得，則該一元二次方程是 ．
2.（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用公式法解一元二次方程：．

解：方程化為．
，．
．
方程 實(shí)數(shù)根．
，
即 ，．
3．若實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程的根的情況，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
4.（2021春 臺(tái)江區(qū)校級(jí)月考）若關(guān)于x的方程x2x+n＝0有兩個(gè)相等的實(shí)根，則　 ?。?br/>5.定義新運(yùn)算“a*b”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有a*b＝a2+b2﹣2ab﹣2，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x*k＝xk（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則方程的根的情況為（　　）
A．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
6.（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）用求根公式法解得某方程的兩個(gè)根互為相反數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
7.．一元二次方程的根的情況是（ ）
A．無(wú)實(shí)數(shù)根 B．有一個(gè)實(shí)根
C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
用公式法解方程：
x2﹣5x﹣1＝0．
3x2﹣x﹣1＝0
．
9.已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．
（1）若x＝1是這個(gè)方程的一個(gè)根，求k的值和它的另一根；
（2）求證：無(wú)論k取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根．
（3）若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為5，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．
1．關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（ ）
A． B． C． D．
3．在用求根公式求一元二次方程的根時(shí)，小珺正確地代入了a，b，c得到，則她求解的一元二次方程是（ ）
A． B．
C． D．
4.若一元二次方程x2+bx+4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的一個(gè)根是m（m≠0），則b（　　）
A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m
5.關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩根分別為x1，x2，下列判斷一定正確的是（　?。?br/>A．a(chǎn)＝﹣1 B．c＝1 C．a(chǎn)c＝﹣1 D．1
6.對(duì)于實(shí)數(shù)a、b，定義運(yùn)算“★”：a★b，關(guān)于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則t的取值范圍是（　?。?br/>A．t B．t C．t D．t
7.關(guān)于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍是（　?。?br/>A．k且k≠1 B．k且k≠1 C．k D．k
8．對(duì)于實(shí)數(shù)a，b定義新運(yùn)算：，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則k的值為 .
9.關(guān)于x的方程x2+bx+c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，x取m和m+2時(shí)，代數(shù)式x2+bx+c的值都等于n，則n＝　 ?。?br/>10．已知，是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
(1)求的取值范圍．
(2)若，且，，都是整數(shù)，求的值．
11.已知關(guān)于x的方程x2﹣（m+3）x+4m﹣4＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．
（1）求證：無(wú)論m取何值，這個(gè)方程總有實(shí)數(shù)根．
（2）若等腰三角形ABC的一邊長(zhǎng)a＝5，另兩邊b，c的長(zhǎng)度恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)．
12.如圖，四邊形ACDE是證明勾股定理時(shí)用到的一個(gè)圖形，a，b，c是全等的Rt△ABC和Rt△BED的邊長(zhǎng)，易知AEc，這時(shí)我們把關(guān)于x的形如ax2cx+b＝0的一元二次方程稱為“勾系一元二次方程”．請(qǐng)解決下列問(wèn)題：
（1）求證：關(guān)于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0必有實(shí)數(shù)根；
（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0的一個(gè)根，且四邊形ACDE的周長(zhǎng)是12，求△ABC的面積．
1．用求根公式解一元二次方程時(shí)，，的值是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2.（23-24九年級(jí)上·河南三門峽·期中）用公式法解方程，下列代入公式正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．對(duì)于一元二次方程，下列說(shuō)法不正確的是（ ）
A．若是方程的解，則
B．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
C．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)根
D．若，則方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
4．關(guān)于x的一元二次方程的根的情況是（　?。?br/>A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根
5.關(guān)于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是（　　）
A．a(chǎn)且a≠﹣2 B．a(chǎn) C．a(chǎn)且a≠﹣2 D．a(chǎn)
6．若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
7.下列關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的是（　?。?br/>A．x2﹣2x+2＝0 B．x（x﹣2）＝﹣1
C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1 D．x2+1＝0
8.關(guān)于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情況，下列說(shuō)法正確的是（　　）
A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
9.函數(shù)y＝kx+b的圖象如圖所示，則關(guān)于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（　?。?br/>A．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定
10．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，若此方程的兩根均為正整數(shù)，則正整數(shù)m的值為 ．
11．解方程：．
12.關(guān)于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；
（2）若方程有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍．
13.已知：關(guān)于x的方程kx2﹣（4k﹣3）x+3k﹣3＝0
（1）求證：無(wú)論k取何值，方程都有實(shí)根；
（2）若x＝﹣1是該方程的一個(gè)根，求k的值；
（3）若方程的兩個(gè)實(shí)根均為正整數(shù)，求k的值（k為整數(shù)）．
14.對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，定義一種運(yùn)算：m△n＝mn+n．
（1）求﹣2△得值；
（2）如果關(guān)于x的方程x△（a△x）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值．
15.已知a是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根中較小的根，
（1）求a2﹣4a+2013的值；
（2）化簡(jiǎn)求值：．
16.先閱讀下列材料，然后回答問(wèn)題：
在一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，若各項(xiàng)的系數(shù)之和為零，即a+b+c＝0，則有一根為1，另一根為．
證明：設(shè)方程的兩根為x1，x2，由a+b+c＝0，
知b＝﹣（a+c），
∵x
∴x1＝1，x2．
（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各項(xiàng)系數(shù)滿足a﹣b+c＝0，則兩根的情況怎樣，試說(shuō)明你的結(jié)論；
（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用上述結(jié)論證明：．
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