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/ 讓教學更有效 精品試卷 | 數學
2.5一元二次方程根與系數的關系
1.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x﹣3y+1 B．3x+y＝z C．x2﹣5x＝1 D．x22＝0
【分析】一元二次方程必須滿足兩個條件：
（1）未知數的最高次數是2；
（2）二次項系數不為0．
【解析】A、它不是方程，故此選項不符合題意；
B、該方程是三元一次方程，故此選項不符合題意；
C、是一元二次方程，故此選項符合題意；
D、該方程不是整式方程，故此選項不符合題意；
故選：C．
2.某種植物主干長出若干數目的支干，每個支干長出相同數目的分支，主干、分支、小分支的總數241，求每個支干長出多少個分支？若設主干有x個分支，依題意列方程正確的是（　　）
A．1+x+x（x+1）＝241 B．1+x+x2＝241
C．1+（x+1）+（x+1）2＝241 D．1+（x+1）+x2＝24
【分析】植物有1個主干，1個主干有x個分支、x個分支有x2個小分支，根據題意列出算式即可．
【解析】設主干有x個分支，則小分支有x2個，依據題意，得
1+x+x2＝241，
故選：B．
3.如圖：長方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合．折痕為EF，則DE長為（　　）
A．4.8 B．5 C．5.8 D．6
【分析】注意發現：在折疊的過程中，BE＝DE，從而設BE即可表示AE，在直角三角形ADE中，根據勾股定理列方程即可求解．
【解析】設DE＝xcm，則BE＝DE＝x，AE＝AB﹣BE＝10﹣x，
在RT△ADE中，DE2＝AE2+AD2，即x2＝（10﹣x）2+16．
解得：x5.8（cm）．
故選：C．
4.如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D為邊AC上一動點，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，則EF的最小值為（　　）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
【分析】根據三個角都是直角的四邊形是矩形，得四邊形EDFB是矩形，根據矩形的對角線相等，得EF＝BD，則EF的最小值即為BD的最小值，根據垂線段最短，知：BD的最小值即等于直角三角形ABC斜邊上的高．
【解析】如圖，連接BD．
∵在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，
∴AB2+BC2＝AC2，即∠ABC＝90°．
又∵DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，
∴四邊形EDFB是矩形，
∴EF＝BD．
∵BD的最小值即為直角三角形ABC斜邊上的高，即4.8，
∴EF的最小值為4.8，
故選：C．
5.若關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是　 　．
【分析】由方程有兩個不相等的實數根可知，b2﹣4ac＞0，代入數據可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結論．
【解析】由已知得：
△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣m）＝16+4m＞0，
解得：m＞﹣4．
故答案為：m＞﹣4．
6.如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于點E，則OE＝　 　．
【分析】由菱形的性質得AD＝AB＝5，AC⊥BD，AOAC＝3，OB＝OD，由勾股定理求OD＝4，則BD＝8，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半求OE的長．
【解析】∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝5，AC⊥BD，AOAC6＝3，OB＝OD，
在Rt△AOD中，由勾股定理得：OD4，
∴BD＝2OD＝8，
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵OD＝OB，
∴OEBD8＝4，
故答案為：4．
7.解下列方程：
（1）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0；
（2）5（x﹣3）2＝x2﹣9；
（3）t2t0；
（4）2x2+7x+3＝0（配方法）．
【分析】（1）利用因式分解法求解可得；
（2）利用因式分解法求解可得；
（3）利用公式法求解可得；
（4）利用配方法求解可得．
【解析】（1）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0
（y+2+3y﹣1）（y+2﹣3y+1）＝0，
（4y+1）（﹣2y+3）＝0．
∴4y+1＝0或﹣2y+3＝0．
∴y1，y2．
（2）5（x﹣3）2＝x2﹣9；
解：5（x﹣3）2＝（x+3）（x﹣3），
移項，得5（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0．
∴（x﹣3）[5（x﹣3）﹣（x+3）]＝0，
即（x﹣3）（4x﹣18）＝0．
∴x﹣3＝0或4x﹣18＝0．
∴x1＝3，x2．
（3）t2t0．
解：方程兩邊都乘8，得8t2﹣4t+1＝0．
∵a＝8，b＝﹣4，c＝1，
∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×8×1＝0．
∴t．
∴t1＝t2．
（4）2x2+7x+3＝0（配方法）
解：移項，得2x2+7x＝﹣3．
方程兩邊同除以2，得x2x．
配方，得x2x+（）2（）2，
即（x）2．
直接開平方，得x±．
∴x1，x2＝﹣3．
8.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面積．
【分析】（1）先證明△AEF≌△DEB（AAS），得AF＝DB，根據一組對邊平行且相等可得四邊形ADCF是平行四邊形，由直角三角形斜邊中線的性質得：AD＝CD，根據菱形的判定即可證明四邊形ADCF是菱形；
（2）先根據菱形和三角形的面積可得：菱形ADCF的面積＝直角三角形ABC的面積，即可解答．
【解答】（1）證明：∵E是AD的中點，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF＝DB，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中點，
∴AD＝CDBC，
∴四邊形ADCF是菱形；
（2）解：設AF到CD的距離為h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD hBC h＝S△ABCAB AC12×16＝96．
9.．（2020春 廬陽區期末）某公司設計了一款工藝品，每件的成本是40元，為了合理定價，投放市場進行試銷：據市場調查，銷售單價是50元時，每天的銷售量是100件，而銷售單價每提高1元，每天就減少售出2件，但要求銷售單價不得超過65元．
（1）若銷售單價為每件60元，求每天的銷售利潤；
（2）要使每天銷售這種工藝品盈利1350元，那么每件工藝品售價應為多少元？
【分析】（1）根據每天的銷售利潤＝每件的利潤×每天的銷售量，即可求出結論；
（2）設每件工藝品售價為x元，則每天的銷售量是[100﹣2（x﹣50）]件，根據每天的銷售利潤＝每件的利潤×每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結論．
【解析】（1）（60﹣40）×[100﹣（60﹣50）×2]＝1600（元）．
答：每天的銷售利潤為1600元．
（2）設每件工藝品售價為x元，則每天的銷售量是[100﹣2（x﹣50）]件，
依題意，得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350，
整理，得：x2﹣140x+4675＝0，
解得：x1＝55，x2＝85（不合題意，舍去）．
答：每件工藝品售價應為55元．
一．根的判別式：利用一元二次方程根的判別式（△=b2-4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．
上面的結論反過來也成立．
二.根與系數的關系
（1）若二次項系數為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=-p，x1x2=q，反過來可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．
（2）若二次項系數不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，，，反過來也成立，即，.
（3）常用根與系數的關系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．
1.（23-24九年級·廣東廣州·期末）方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．只有一個實數根
【答案】C
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式．利用一元二次方程根的判別式，即可求解．
【詳解】解：∵，
∴方程有兩個不相等的實數根，
故選：C
2.關于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情況，下列說法正確的是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
【分析】根據根的判別式△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）＝＝k2﹣8k+20＝（k﹣4）2+4＞0即可作出判斷．
【解答】解：∵△＝（﹣k+2）2﹣4×1×（﹣4+k）
＝k2﹣4k+4+16﹣4k
＝k2﹣8k+20
＝k2﹣8k+16+4
＝（k﹣4）2+4＞0，
∴該方程有兩個不相等的實數根，
故選：A．
【總結】本題主要考查根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△＝0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．
3.函數y＝kx+b的圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（　　）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．無法確定
【分析】先利用一次函數的性質得k＜0，b＜0，再計算判別式的值得到△＝b2﹣4（k﹣1），于是可判斷△＞0，然后根據判別式的意義判斷方程根的情況．
【解答】解：根據圖象可得k＜0，b＜0，
所以b2＞0，﹣4k＞0，
因為△＝b2﹣4（k﹣1）＝b2﹣4k+4＞0，
所以△＞0，
所以方程有兩個不相等的實數根．
故選：C．
【總結】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與△＝b2﹣4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△＝0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根．也考查了一次函數圖象．
4.（23-24九年級·貴州畢節·期末）關于x的方程的根的情況，下列說法正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，配方法．先計算出方程的判別式，根據判別式的符號即可判斷方程根的情況．
【詳解】解：關于x的方程，
∵，，，
∴，
所以關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
故選：A．
5.（23-24·廣東汕頭·三模）一元二次方程有兩個實數根a，b，那么一次函數的圖象一定不經過的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根據根與系數的關系即可求出與的值，然后根據一次函數的圖象與性質即可求出答案．
【詳解】解：由根與系數的關系可知：，，
∴
∴一次函數解析式為：，
故一次函數的圖象一定不經過第四象限．
故選：D．
【總結】本題考查了一元二次方程，解題的關鍵是熟練運用根與系數的關系以及一次函數的圖象與性質．
6.（23-24九年級·安徽·期末）若實數a，b滿足，則a的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由實數a，b滿足得到關于b的一元二次方程，由根的判別式且，得到不等式組，解不等式組即可得到a的取值范圍．
【詳解】解：∵實數a，b滿足，
∴關于b的一元二次方程中，
且，
即且，
∴或，
解得，
即a的取值范圍是．
故答案為：
【總結】此題考查了一元二次方程根的判別式、一元一次不等式組的解法等知識，由根的判別式且得到不等式組是解題的關鍵．
7.設x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的兩個根，則x13+4x22+x1﹣1的值為　 　．
【分析】根據根與系數的關系即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：x1+x2＝4，x1x2＝1，
＝4（）﹣1
＝4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1
＝4×16﹣8﹣1
＝55，
故答案為：55
【總結】本題考查根與系數的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數的關系，本題屬于基礎題型．
8.（23-24九年級·河南駐馬店·期末）已知關于x的方程，．
(1)求證：無論k為任意實數值方程，總有實數根；
(2)若等腰三角形的一邊，另兩邊b、c恰是這個方程的兩個根，求三角形的周長．
【答案】(1)證明見解析
(2)5
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，等腰三角形的定義和構成三角形的條件：
（1）根據一元二次方程根的判別式進行求解即可；
（2）分當等腰三角形的腰長為1時，則是方程的一個根，當底邊長為1時，則原方程有兩個相等的實數根，兩種情況求出k的值進而求出另一個根，再根據構成三角形的條件求解即可．
【詳解】（1）證明：由題意得，
，
∴無論k為任意實數值方程，總有實數根；
（2）解：當等腰三角形的腰長為1時，則是方程的一個根，
∴，
∴，
∴原方程為，
解得或，
∴底邊長為2，
∵，
∴此時不能構成三角形，不符合題意；
當底邊長為1時，則原方程有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
∴原方程為，
解得，
∵，
∴此時能構成三角形，
∴的周長為．
9.（23-24九年級·安徽黃山·期末）已知關于的一元二次方程．
(1)求證：無論取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；
(2)當時，該方程的兩個根分別是菱形的兩條對角線的長，求菱形的面積．
【答案】(1)詳見解析
(2)
【分析】（1）根據根的判別式的范圍即可證明；
（2）求出一元二次方程的兩個根，根據菱形的面積公式進行解答即可；
此題考查菱形的性質、一元二次方程根的判別式和解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式和一元二次方程的解法是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：，
，
無論取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根．
（2）當時，原方程為，
，
，
∴，
∴
1.（23-24九年級·浙江臺州·期末）對于一元二次方程，下列說法不正確的是（ ）
A．若是方程的解，則
B．若，則方程必有兩個不相等的實數根
C．若，則方程必有兩個不相等的實根
D．若，則方程必有兩個不相等的實數根
【答案】B
【分析】此題主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的解，一元二次方程根的情況與判別式的關系：方程有兩個不相等的實數根；方程有兩個相等的實數根，方程沒有實數根．
根據解一元二次方程的方法，判別式的意義，一元二次方程的解的定義逐項判斷即可．
【詳解】解：、將代入方程可得：，
∴本選項說法正確，不符合題意；
、若，則方程為，
∴，
∴程必有兩個的實數根，故原說法錯誤，符合題意；
、∵，
∴，
∴方程必有兩個不相等的實數根，原說法正確，不符合題意；
、∵方程中，，
∵，
∴方程有兩個不相等的實數根，故原說法正確，不符合題意；
故選：．
2.（23-24九年級·重慶萬州·期中）若整數使得關于的一元二次方程有兩個實數根，并且使得關于的分式 方程有整數解，則符合條件的整數的個數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】對于關于x的一元二次方程有兩個實數根，利用判別式的意義得到a-2≠0且2a+3≥0且△=（）2-4（a-2）≥0，解不等式組得到整數a為：-1，0，1，3，4，5；接著解分式方程得到y=，而y≠3，則≠3，解得a≠3，從而得到當a=-1，0，4時，分式方程有整數解，然后求符合條件的所有a的個數．
【詳解】解：∵整數a使得關于x的一元二次方程有兩個實數根，
∴a-2≠0且2a+3≥0且△=（）2-4（a-2）≥0，
∴且a≠2，
∴整數a為：-1，0，1，3，4，5；
去分母得3-ay+3-y=-2y，
解得y=，
而y≠3，則≠3，解得a≠3，
當a=-1，0，4時，分式方程有整數解，
∴符合條件的所有a的個數是3．
故選：B．
【總結】本題考查了根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的實數根；當△=0時，方程有兩個相等的實數根；當△＜0時，方程無實數根
3.（23-24九年級·浙江寧波·期末）已知實數滿足，設，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】由原式得，．將看成關于的一元二次方程，根據方程有實數解，所以，可得，進而得出結論．
【詳解】解：將兩個等式相加得：，則．
要求的最大值，只需求出的最大值．
將看成關于的一元二次方程，整理得：．
根據方程有實數解，所以．
可得，即的最大值為4．
所以當時，的最大值為5．
故選：C
【總結】本題考查等式性質，一元二次方程根的判別式，將含有多個參數的等式理解為含參數的一元二次方程，從而運用方程的知識解決問題是解題的關鍵．
4.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）＝　 　．
【分析】根據根與系數的關系即可求出答案．
【解答】解：由題意可知：x1+x2＝1，x1x2＝﹣2，
∴原式＝1+x1+x2﹣x1x2＝1+1﹣（﹣2）＝4，
故答案為：4
【總結】本題考查根與系數的關系，解題的關鍵是熟練運用根與系數的關系，本題屬于基礎題型．
5.設x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的兩個實數根，則的值為　 　．
【分析】欲求的值，先把此代數式變形為兩根之積或兩根之和的形式，代入數值計算即可．
【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的兩個實數根，
∴x1+x2＝﹣3，x1 x2＝﹣3，
∴5．
故答案為﹣5．
【總結】此題主要考查了根與系數的關系，將根與系數的關系與代數式變形相結合解題是一種經常使用的解題方法．
6.（23-24九年級·江西景德鎮·期末）設實數滿足，則的最大值為 .
【答案】6
【分析】先將已知等式配成一個完全平方的形式，再令，將完全平方式轉化為一個只含a和b的等式，然后將問題轉化為已知一元二次方程的根的情況，求未知參數問題，最后利用根的判別式求解即可.
【詳解】
兩邊同乘以2得：
整理得：
令，則
代入得：
化簡得：
由題意可知，關于a的一元二次方程有實數根
則方程的根的判別式
解得：，即
所以的最大值為6
故答案為：6.
【總結】本題是一道難題，考查了求代數式的極值的知識，在已知條件轉換變形后，將其看成一個一元二次方程的實數根的情況來分析是解題關鍵.
7.（23-24·山東菏澤·模擬預測）已知關于的方程組對每一個實數都有實數解，那么正整數的值為 ．
【答案】1，2
【分析】本題考查了整體思路解一元二次方程組，解題的關鍵是熟練掌握整體思想．先將二元二次方程組整理成一元二次方程，由于方程存在實根得到，，即可解答．
【詳解】解：由題意可知，得，
，
即，
∵對每一個實數n都有實數解，
∴，
解得：，
其中m的正整數解為1，2．
故答案為：1，2．
8.（23-24·廣東惠州·二模）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）記該方程的兩個實數根為x1和x2若以x1，x2，3為三邊長的三角形是直角三角形，求k的值．
【答案】（1）見詳解；（2）k的值為或．
【分析】（1）先把方程變為一元二次方程一般式，然后確定，再計算即可；
（2）將方程因式分解得，得出方程的解，然后分兩種情況2k＜3與2k＞3，分別根據勾股定理建構方程求解即可．
【詳解】解：（1）∵關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
∴，
∴，
∴方程總有兩個實數根；
（2）將方程因式分解得，
解得，
∵以2k，1，3為三邊長的三角形是直角三角形，
∴當2k＜3時，則，解得(舍去)；
當2k＞3時，則，解得(舍去)；
以1，2k，3為三邊長的三角形是直角三角形，k的值為或．
【總結】本題考查一元二次方程根的判別式，因式分解法和直接開平方法解一元二次方程，勾股定理，掌握一元二次方程根的判別式，因式分解法和直接開平方法解一元二次方程，勾股定理是解題關鍵．
9.（23-24九年級·浙江溫州·期末）已知一元二次方程．
(1)當時，若方程的一個根為，求的值以及方程的另一個根；
(2)當時，請判別方程根的情況．
【答案】(1)，方程另外一個根為
(2)原方程有兩個不相等的實數根
【分析】本題主要考查了根的判別式以及解一元二次方程等知識點，
（1）將和方程的一個根為代入方程求出c值，再解方程即可；
（2）根據判斷出的取值范圍，進而進行判斷即可；
熟練掌握根的判別式以及解一元二次方程是解決此題的關鍵．
【詳解】（1）時，若方程的一個根為，
解得：，
得到方程為，解得或，
，方程另外一個根為；
（2），
∴
，
原方程有兩個不相等的實數根．
10.（23-24九年級·湖南·階段練習）已知的兩對角線，的長是關于的方程的兩個實數根．
(1)若的長為1，求的值；
(2)當為何值時，是矩形．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本題考查一元二次方程的解，根的判別式，矩形的判定．
（1）將代入方程，求出的值即可；
（2）根據對角線相等的平行四邊形為矩形，得到方程有兩個相等的實數根，得到，進行求解即可．
【詳解】（1）解：∵的兩對角線，的長是關于的方程的兩個實數根，
∴當的長為1時，，
解得：；
（2）∵的兩對角線，，
∴當時，是矩形，
方程有兩個相等的實數根，
，
解得，即的值為1．
1.已知一元二次方程的兩個實數根為，若，則實數_________．
【答案】
【分析】根據一元二次方程的根與系數的關系，得出，代入已知等式，即可求解．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩個實數根為，
∴
∵，
∴，
解得：，
故答案為：．
【總結】本題考查了一元二次方程的根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．
2.（23-24九年級·安徽亳州·期末）關于的一元二次方程的根的判別式的值為24，則 ．
【答案】
【分析】本題考查一元二次方程根的判別式．掌握一元二次方程的根的判別式為是解題關鍵．根據一元二次方程根的判別式求解即可．
【詳解】解：∵關于的一元二次方程的根的判別式的值為24，
∴，
解得：．
故答案為：．
3.（23-24九年級·浙江金華·期末）對于實數a，b定義新運算：，若關于x的方程有兩個相等實數根，則k的值為 .
【答案】
【分析】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與系數有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．
【詳解】解：由題可得：，
∵方程有兩個相等的實數根，
∴，
解得，
故答案為：．
4.（23-24九年級·湖北武漢·階段練習）關于x的一元二次方程 ，下列說法：
①若，則關于x的方程必有一個根為；
②當 （時，則關于x的方程必有實數根；
③若，則方程一定有兩個不相等的實數根；
④若和有一個相同的根，那么這個根一定是1．其中正確的是 （填序號）
【答案】②③④
【分析】根據時，得到即可判斷①；根據當(時，將 代入得出判別式的符號，即判斷②；根據若，即可得出，即可判斷③；當時，代入方程即可判斷④．
【詳解】①當時，則，關于x的方程必有一個根為；故此選項錯誤；
②，當時，，∴當時，關于x的方程必有實根；故此選項正確；
③當時，， ，，則方程一定有兩個不相等實根，故此選項正確；
④當時，代入得，代入得，和)有一個相同的根，那么這個根一定1．故此選項正確；
綜上分析可得，正確的有：②③④．
故答案為：②③④．
【總結】此題綜合考查了根的判別式與一元二次方程，試題在求解的過程中可以利用方程解的定義以及恒等變形求解．
5.（23-24九年級·浙江溫州·期中）已知關于的一元二次方程有實數根，設此方程的一個實數根為，令，則的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】由一元二次方程根的判別式先求解，根據一元二次方程的解的定義得出代入代數式，進而即可求解．
【詳解】解： 關于x的一元二次方程有實數根，
，
解得：，
設此方程的一個實數根為，
即
故答案為：．
【總結】本題考查的是一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解的定義，不等式的性質，熟練的運用一元二次方程根的判別式與根與系數的關系是解本題的關鍵．
6.（23-24·四川廣安·中考真題）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．由關于的一元二次方程兩個不相等的實數根，可得且，解此不等式組即可求得答案．
【詳解】解：關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得：，
，
，
的取值范圍是：且．
故選：A．
7.（23-24九年級·四川眉山·期末）關于的方程有兩個不相等的實根，則的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的定義，牢記“當時，方程有兩個不相等的實數根”是解題的關鍵．根據二次項系數非零及根的判別式，即可得出關于k的一元一次不等式組，解之即可得出k的取值范圍．
【詳解】解：∵關于x的方程有兩個不相等的實根，
∴ ，
解得：且．
故選：D．
8.（23-24九年級·浙江寧波·期末）新定義：《，，》為一元二次方程(其中為實數)的“共同體數”，如：的“共同體數”為《1，2，》，以下“共同體數”中能讓一元二次方程有兩個不相等的實數根的是( )
A．《3，2，1》 B．《3，4，5》
C．《，，》 D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式的意義，根據一元二次方程根的判別式進行計算，即可求解．
【詳解】解：A.當“共同體數”為《3，2，1》時，一元二次方程為
∵，
∴沒有實數根，故該選項不符合題意；
B.當“共同體數”為《3，4，5》時，一元二次方程為
∵，
∴沒有實數根，故該選項不符合題意；
C.當“共同體數”為《，，》時，一元二次方程為
∵，
∴ 有兩個不相等實數根，故該選項符合題意；
D.當“共同體數”為時，一元二次方程為
∵，
∴沒有實數根，故該選項不符合題意；
故選：C．
9.（23-24九年級·遼寧沈陽·階段練習）定義一種新運算“”，對于任意實數，，，如，若（為實數）是關于的一元二次方程，并且該方程有實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B．且
C． D．且
【答案】D
【分析】利用新定義得到，然后利用且可判斷方程根的情況．
【詳解】解：由新定義得，
該方程是關于的一元二次方程，
，
方程有實數根．
，
解得：，
該方程有實數根時，且
故選：D．
【總結】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．
10.（23-24九年級·浙江紹興·期末）已知是關于x的方程的實數根．下列說法：①此方程有兩個不相等的實數根；②當時，一定有；③b是此方程的根；④此方程有兩個相等的實數根．上述說法中，正確的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】C
【分析】根據一元二次方程根的定義求出，以及根的判別式判斷根的情況，進一步可得結論．
【詳解】解：∵是關于x的方程的實數根，
∴，
整理得，
∵，
∴，
∴，即；
①，
∴此方程有兩個不相等的實數根，故①說法正確；
②∵，
∴當時，一定有，故②說法錯誤；
③∵是關于x的方程的實數根．且，
∴也是關于x的方程的實數根．故③說法正確；
④此方程有兩個不相等的實數根，故④說法錯誤；
所以，正確的結論是①③，
故選：C．
【總結】本題主要考查了一元二次方程的解的意義，一元二次方程根的判別式，熟練掌握運用根的判別式判斷根的情況是解答本題的關鍵．
11.（23-24九年級·河北石家莊·階段練習）已知關于x的一元二次方程，下列說法正確的有（　　）
①若，則方程必有兩個不相等的實根；
②若，則；
③若c是方程的一個根，則一定有成立；
④若是一元二次方程的根，則．
A．1個 B．2 個 C．3個 D．4 個
【答案】B
【分析】根據一元二次方程的解，一元二次方程的根的判別式等式的性質對各項進行判斷即可．
【詳解】解：①時，的值不確定正負，所以無法確定方程根的情況，故①不正確；
②當時，，即方程有兩個相等的實數根或者兩個不相等的實數根，此時，故②正確；
③若c是方程的一個根，則，當時，，當時，不一定等于0，故③不正確；
④由，得，由于是一元二次方程的根，則成立，故④正確，
綜上所述，正確的有②④，共2個，
故選：B．
【總結】本題主要考查的是一元二次方程的綜合運用，熟練掌握根的判別式，等式的性質進行判定是解題的關鍵．
12.（23-24九年級·浙江舟山·期中）對于一元二次方程，有下列說法：
①若方程有兩個不相等的實數根，則方程必有兩個不相等的實數根；
②若方程有兩個實數根，則方程一定有兩個實數根；
③若c是方程的一個根，則一定有成立；
④若是一元二次方程的根，則
其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】①根據根的判別式直接求解即可；
②根據一元二次方程的定義直接判斷即可，需使二次項系數不為零才有兩個實根；
③將根代入方程中，直接解方程即可；
④根據一元二次方程根的定義，將根直接代入方程求解即可．
【詳解】①若方程有兩個不相等的實數根，則，
則方程中，，因此必有兩個不相等的實數根；故正確；
②若方程有兩個實數根，則，
則方程中，若，則不是一元二次方程；故錯誤；
③若c是方程的一個根，則，
，則或；故錯誤；
④若是一元二次方程的根，則，
將化簡為：；故錯誤；
故選：A
【總結】此題考查一元二次方程的根的定義和根的判別式，解題關鍵是出現方程的根時，直接代入方程即可．
13..一元二次方程的兩根為，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】先求得，，再將變形，代入與的值求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程的兩根為，
∴，
∴
．
故選：C．
14.（23-24九年級·安徽亳州·階段練習）已知不等式組有且僅有4個整數解，則關于的方程的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法判斷
【答案】C
【分析】本題考查解含參數的一元一次不等式組、不等式的性質及利用判別式確定一元二次方程根的情況等知識，先解一元一次不等式，再根據方程組解的情況得到，再結合一元二次方程的判別式，由不等式的性質確定即可得到答案，熟練掌握含參數的一元一次不等式組的解法及判別式與一元二次方程根的情況是解決問題的關鍵．
【詳解】解：
由①得；
由②得；
不等式組有且僅有4個整數解，
；
關于的方程中，，
，即，
關于的方程無實數根，
故選：C．
15.（23-24·四川達州·一模）閱讀下列材料：我們發現，關于x的一元二次方程，如果的值是一個完全平方數時，一元二次方程的根不一定都為整數，但是如果一元二次方程的根都為整數，的值一定是一個完全平方數．
定義：兩根都為整數的一元二次方程稱為“全整根方程”，代數式的值為該“全整根方程”的“最值碼”，用表示，即；若另一關于x的一元二次方程也為“全整根方程”，其“最值碼”記為，當滿足時，則稱一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侶方程”．
(1)“全整根方程”的“最值碼”是______；
(2)關于x的一元二次方程（m為整數、且）是“全整根方程”，請求出該方程的“最值碼”；
(3)若關于x的一元二次方程是（m，n均為正整數）的“全整根伴侶方程”，求的值．
【答案】(1)
(2)方程的“最值碼”為；
(3)
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式以及“全整根方程”的定義，理解新定義的含義是解本題的關鍵．
（1）直接利用新定義計算即可；
（）通過的取值范圍確定根的判別式的范圍，繼而根據“整數根”特點確定根的判別式的取值，最后結合為整數確定取值，按照“最值碼”定義求解即可；
（）依次求出方程和的“最值碼”，根據“全整根伴侶方程”的定義列得方程，結合，均為正整數即可求解；讀懂題目中“全整根方程”的“最值碼”及“全整根伴侶方程”的定義是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：“全整根方程”的“最值碼”是
；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵是“全整根方程”，
∴是完全平方數，
即是完全平方數，
∴或或，
解得或或，
∵為整數，
∴，
當時，方程化為
，
∴；
∴方程的“最值碼”為；
（3）解：方程的“最值碼”為
，
方程的“最值碼”為
，
∵是的“全整根伴侶方程”，
∴，
即，
整理得，，
∴，
即，
∵，均為正整數，
∴，
∴，
∴．
【總結】本題主要考查了一元二次方程根與系數的關系，牢記，是解決本題的關鍵
16.關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．
【分析】（1）計算判別式的值，利用配方法得到△＝（m﹣4）2，根據非負數的性質得到△≥0，然后根據判別式的意義得到結論．
（2）利用求根公式得到x1＝m﹣2，x2＝2．根據題意得到m﹣2＜1．即可求得m＜3．
【解答】（1）證明：∵a＝1，b＝﹣m，c＝2m﹣4，
∴△＝b2﹣4ac
＝（﹣m）2﹣4（2m﹣4）
＝m2﹣8m+16
＝（m﹣4）2≥0，
∴此方程總有兩個實數根．
（2）解：∵△＝（m﹣4）2≥0，
∴x．
∴x1＝m﹣2，x2＝2．
∵此方程有一個根小于1．
∴m﹣2＜1．
∴m＜3．
【總結】本題考查的是根的判別式及一元二次方程的解的定義，在解答（2）時得到方程的兩個根是解題的關鍵．
17.已知：關于x的一元二次方程．求證：無論m取何值，該方程總有兩個不相等的實數根．
【答案】見解析
【分析】本題考查了根的判別式，一元二次方程的根與有如下關系：當時，方程有兩個不相等的實數根；當時，方程有兩個相等的實數根；當時，方程無實數根．根據根的判別式得出，然后說明即可．
【詳解】證明：由得，
則，
∵無論m取何值，都有，
∴，即，
∴無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數根．
18.（23-24九年級·北京順義·期末）關于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程的一個根小于，求的取值范圍．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式．熟練掌握一元二次方程根的判別式，因式分解法解一元二次方程，解一元一次不等式是解題的關鍵．
（1）根據，證明即可；
（2）由，可得，解得，或，由方程的一個根小于，可得，計算求解即可．
【詳解】（1）證明：∵，
∴，
∴方程總有兩個實數根；
（2）解：∵，
∴，
解得，或，
∵方程的一個根小于，
∴，
解得，．
19.（23-24九年級·江蘇泰州·期末）已知關于x的一元二次方程．
(1)當時，解這個方程；
(2)試判斷方程根的情況，并說明理由．
【答案】(1)
(2)有兩個實數根，理由見解析
【分析】本題考查解一元二次方程，由一元二次方程的判別式判斷其根的情況．掌握解一元二次方程的方法和一元二次方程的根的判別式為，且當時，該方程有兩個不相等的實數根；當時，該方程有兩個相等的實數根；當時，該方程沒有實數根是解題關鍵．
（1）當時，原方程為，即，再直接解方程即可；
（2）根據方程可求出，即可得出原方程有兩個實數根．
【詳解】（1）解：當時，原方程為，即為，
∴，
∴；
（2）解：由題意可知，，，
∴，
∴原方程有兩個實數根．
20.（23-24九年級·福建泉州·期末）已知關于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實數根；
(2)若，且該方程的兩個實數根的積為12，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】此題考查了一元二次方程根的判別式，解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程根的判別式及一元二次方程的解法是解本題的關鍵．
（1）表示出根的判別式，判斷其值大于等于0即可得證；
（2）利用因式分解法可得，再由“該方程的兩個實數根的積為12”可求得，計算即可求出m的值．
【詳解】（1）證明：，
，
無論取何值時，，即，
原方程總有兩個實數根；
（2）解：，即：，
，
該方程的兩個實數根的積為12
，
，
，
．
21.（23-24九年級·廣西崇左·期末）已知正方形ABCD的對角線AC，BD的長是關于x的方程的兩個實數根．
（1）求m的值；
（2）求正方形的面積．
【答案】（1）2；（2）．
【分析】（1）先根據正方形的性質可得，再利用一元二次方程根的判別式即可得；
（2）先解一元二次方程可得，再利用正方形的面積公式即可得．
【詳解】解：（1）在正方形中，，
由題意得：關于的方程的根的判別式等于0，
即，
解得，
，
舍去，
故的值為2；
（2）由（1）得：方程為，
解得，
，
則正方形的面積為．
【總結】本題考查了一元二次方程的幾何應用、正方形的性質等知識點，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題關鍵．
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2.5一元二次方程根與系數的關系
1.下列方程是一元二次方程的是（　　）
A．2x﹣3y+1 B．3x+y＝z C．x2﹣5x＝1 D．x22＝0
2.某種植物主干長出若干數目的支干，每個支干長出相同數目的分支，主干、分支、小分支的總數241，求每個支干長出多少個分支？若設主干有x個分支，依題意列方程正確的是（　　）
A．1+x+x（x+1）＝241 B．1+x+x2＝241
C．1+（x+1）+（x+1）2＝241 D．1+（x+1）+x2＝24
3.如圖：長方形紙片ABCD中，AD＝4cm，AB＝10cm，按如圖的方式折疊，使點B與點D重合．折痕為EF，則DE長為（　　）
A．4.8 B．5 C．5.8 D．6
4.如圖，在△ABC中，AB＝8，BC＝6，AC＝10，D為邊AC上一動點，DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，則EF的最小值為（　　）
A．2.4 B．3 C．4.8 D．5
5.若關于x的一元二次方程x2﹣4x﹣m＝0有兩個不相等的實數根，則實數m的取值范圍是　 　．
6.如圖，菱形ABCD的對角線交于點O，AB＝5，AC＝6，DE⊥BC于點E，則OE＝　 　．
7.解下列方程：
（1）（y+2）2﹣（3y﹣1）2＝0；
（2）5（x﹣3）2＝x2﹣9；
（3）t2t0；
（4）2x2+7x+3＝0（配方法）．
8.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于點F．
（1）求證：四邊形ADCF是菱形；
（2）若AC＝12，AB＝16，求菱形ADCF的面積．
9.．（2020春 廬陽區期末）某公司設計了一款工藝品，每件的成本是40元，為了合理定價，投放市場進行試銷：據市場調查，銷售單價是50元時，每天的銷售量是100件，而銷售單價每提高1元，每天就減少售出2件，但要求銷售單價不得超過65元．
（1）若銷售單價為每件60元，求每天的銷售利潤；
（2）要使每天銷售這種工藝品盈利1350元，那么每件工藝品售價應為多少元？
一．根的判別式：利用一元二次方程根的判別式（△=b2-4ac）判斷方程的根的情況．
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：
①當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；
②當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；
③當△＜0時，方程無實數根．
上面的結論反過來也成立．
二.根與系數的關系
（1）若二次項系數為1，常用以下關系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時，x1+x2=-p，x1x2=q，反過來可得p=-（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數確定根的相關問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數．
（2）若二次項系數不為1，則常用以下關系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，，，反過來也成立，即，.
（3）常用根與系數的關系解決以下問題：
①不解方程，判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根．②已知方程及方程的一個根，求另一個根及未知數．③不解方程求關于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判斷兩根的符號．⑤求作新方程．⑥由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值．這類問題比較綜合，解題時除了利用根與系數的關系，同時還要考慮a≠0，△≥0這兩個前提條件．
1.（23-24九年級·廣東廣州·期末）方程的根的情況是（ ）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．只有一個實數根
2.關于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情況，下列說法正確的是（　　）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
3.函數y＝kx+b的圖象如圖所示，則關于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情況是（　　）
A．沒有實數根 B．有兩個相等的實數根
C．有兩個不相等的實數根 D．無法確定
4.（23-24九年級·貴州畢節·期末）關于x的方程的根的情況，下列說法正確的是（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法確定
5.（23-24·廣東汕頭·三模）一元二次方程有兩個實數根a，b，那么一次函數的圖象一定不經過的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6.（23-24九年級·安徽·期末）若實數a，b滿足，則a的取值范圍是 ．
7.設x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的兩個根，則x13+4x22+x1﹣1的值為　 　．
8.（23-24九年級·河南駐馬店·期末）已知關于x的方程，．
(1)求證：無論k為任意實數值方程，總有實數根；
(2)若等腰三角形的一邊，另兩邊b、c恰是這個方程的兩個根，求三角形的周長．
9.（23-24九年級·安徽黃山·期末）已知關于的一元二次方程．
(1)求證：無論取什么實數值，該方程總有兩個不相等的實數根；
(2)當時，該方程的兩個根分別是菱形的兩條對角線的長，求菱形的面積．
1.（23-24九年級·浙江臺州·期末）對于一元二次方程，下列說法不正確的是（ ）
A．若是方程的解，則
B．若，則方程必有兩個不相等的實數根
C．若，則方程必有兩個不相等的實根
D．若，則方程必有兩個不相等的實數根
2.（23-24九年級·重慶萬州·期中）若整數使得關于的一元二次方程有兩個實數根，并且使得關于的分式 方程有整數解，則符合條件的整數的個數為（ ）
A． B． C． D．
3.（23-24九年級·浙江寧波·期末）已知實數滿足，設，則的最大值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.若一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的兩根為x1，x2，則（1+x1）+x2（1﹣x1）＝　 　．
5.設x1，x2是方程x2+3x﹣3＝0的兩個實數根，則的值為　 　．
6.（23-24九年級·江西景德鎮·期末）設實數滿足，則的最大值為 .
7.（23-24·山東菏澤·模擬預測）已知關于的方程組對每一個實數都有實數解，那么正整數的值為 ．
8.（23-24·廣東惠州·二模）已知關于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+2k＝0．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）記該方程的兩個實數根為x1和x2若以x1，x2，3為三邊長的三角形是直角三角形，求k的值．
9.（23-24九年級·浙江溫州·期末）已知一元二次方程．
(1)當時，若方程的一個根為，求的值以及方程的另一個根；
(2)當時，請判別方程根的情況．
10.（23-24九年級·湖南·階段練習）已知的兩對角線，的長是關于的方程的兩個實數根．
(1)若的長為1，求的值；
(2)當為何值時，是矩形．
1.已知一元二次方程的兩個實數根為，若，則實數_________．
2.（23-24九年級·安徽亳州·期末）關于的一元二次方程的根的判別式的值為24，則 ．
3.（23-24九年級·浙江金華·期末）對于實數a，b定義新運算：，若關于x的方程有兩個相等實數根，則k的值為 .
4.（23-24九年級·湖北武漢·階段練習）關于x的一元二次方程 ，下列說法：
①若，則關于x的方程必有一個根為；
②當 （時，則關于x的方程必有實數根；
③若，則方程一定有兩個不相等的實數根；
④若和有一個相同的根，那么這個根一定是1．其中正確的是 （填序號）
5.（23-24九年級·浙江溫州·期中）已知關于的一元二次方程有實數根，設此方程的一個實數根為，令，則的取值范圍為 ．
6.（23-24·四川廣安·中考真題）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
7.（23-24九年級·四川眉山·期末）關于的方程有兩個不相等的實根，則的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
8.（23-24九年級·浙江寧波·期末）新定義：《，，》為一元二次方程(其中為實數)的“共同體數”，如：的“共同體數”為《1，2，》，以下“共同體數”中能讓一元二次方程有兩個不相等的實數根的是( )
A．《3，2，1》 B．《3，4，5》
C．《，，》 D．
9.（23-24九年級·遼寧沈陽·階段練習）定義一種新運算“”，對于任意實數，，，如，若（為實數）是關于的一元二次方程，并且該方程有實數根，則的取值范圍是（ ）
A． B．且
C． D．且
10.（23-24九年級·浙江紹興·期末）已知是關于x的方程的實數根．下列說法：①此方程有兩個不相等的實數根；②當時，一定有；③b是此方程的根；④此方程有兩個相等的實數根．上述說法中，正確的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
11.（23-24九年級·河北石家莊·階段練習）已知關于x的一元二次方程，下列說法正確的有（　　）
①若，則方程必有兩個不相等的實根；
②若，則；
③若c是方程的一個根，則一定有成立；
④若是一元二次方程的根，則．
A．1個 B．2 個 C．3個 D．4 個
12.（23-24九年級·浙江舟山·期中）對于一元二次方程，有下列說法：
①若方程有兩個不相等的實數根，則方程必有兩個不相等的實數根；
②若方程有兩個實數根，則方程一定有兩個實數根；
③若c是方程的一個根，則一定有成立；
④若是一元二次方程的根，則
其中正確的有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
13..一元二次方程的兩根為，則的值為（ ）
A． B． C．3 D．
14.（23-24九年級·安徽亳州·階段練習）已知不等式組有且僅有4個整數解，則關于的方程的根的情況為（ ）
A．有兩個不相等的實數根 B．有兩個相等的實數根
C．無實數根 D．無法判斷
15.（23-24·四川達州·一模）閱讀下列材料：我們發現，關于x的一元二次方程，如果的值是一個完全平方數時，一元二次方程的根不一定都為整數，但是如果一元二次方程的根都為整數，的值一定是一個完全平方數．
定義：兩根都為整數的一元二次方程稱為“全整根方程”，代數式的值為該“全整根方程”的“最值碼”，用表示，即；若另一關于x的一元二次方程也為“全整根方程”，其“最值碼”記為，當滿足時，則稱一元二次方程是一元二次方程的“全整根伴侶方程”．
(1)“全整根方程”的“最值碼”是______；
(2)關于x的一元二次方程（m為整數、且）是“全整根方程”，請求出該方程的“最值碼”；
(3)若關于x的一元二次方程是（m，n均為正整數）的“全整根伴侶方程”，求的值．
16.關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣4＝0．
（1）求證：方程總有兩個實數根；
（2）若方程有一個根小于1，求m的取值范圍．
17.已知：關于x的一元二次方程．求證：無論m取何值，該方程總有兩個不相等的實數根．
18.（23-24九年級·北京順義·期末）關于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程的一個根小于，求的取值范圍．
19.（23-24九年級·江蘇泰州·期末）已知關于x的一元二次方程．
(1)當時，解這個方程；
(2)試判斷方程根的情況，并說明理由．
20.（23-24九年級·福建泉州·期末）已知關于的一元二次方程．
(1)求證：該方程總有兩個實數根；
(2)若，且該方程的兩個實數根的積為12，求的值．
21.（23-24九年級·廣西崇左·期末）已知正方形ABCD的對角線AC，BD的長是關于x的方程的兩個實數根．
（1）求m的值；
（2）求正方形的面積．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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