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5.2 課時2 小船過河與繩——桿關聯速度問題
1.能理解和分析小船渡河問題。
2.學會解決渡河時間最短問題和渡河位移最小問題。
3. 學會分析常見“關聯”速度問題。
4.掌握“關聯”速度的解題步驟。
一、小船過河問題
1.模型特點
兩個分運動和合運動都是勻速直線運動，其中一個分運動的速度大小、方向都不變，另一分運動的速度大小不變， 研究其速度方向不同時對合運動的影響，這樣的運動系統可看做小船渡河模型。
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2．模型分析
(1)船的實際運動是水流的運動和船相對靜水的運動的合運動。
(2)三種速度：v1(船在靜水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的實際速度)。
(3)兩個極值
①過河時間最短：v1⊥v2，tmin＝—(d為河寬)．
d
v1
v1
d
v2
②過河位移最小：v⊥v2(前提v1＞v2)，如圖所示，此時xmin＝d，船頭指向上游與河岸夾角為α，cos α＝；
d
α
v2
過河位移最?。簐1⊥v(前提v1＜v2)，如圖所示。過河最小位移為
xmin＝＝d
d
α
【練一練】小船要渡過200 m寬的河，水流速度為2 m/s，船在靜水中的速度為4 m/s，求：
(1)若小船的船頭始終正對對岸，它將在何時、何處到達對岸？
解析：(1)小船渡河過程參與了兩個分運動，即船隨水流的運動和船在靜水中的運動．因為分運動之間具有獨立性和等時性，故小船渡河時間等于它垂直河岸方向上的分運動的時間，即
t⊥＝ ＝ s＝50 s.
小船沿水流方向的位移s水＝v水t⊥＝2×50 m＝100 m
即船將在正對岸下游100 m處靠岸．
【練一練】小船要渡過200 m寬的河，水流速度為2 m/s，船在靜水中的速度為4 m/s，求：
(2)要使小船到達正對岸，應如何航行？歷時多久？
(2)要使小船到達正對岸，即合速度v應垂直于河岸，如圖所示，則cos θ＝ ＝＝，θ＝60°，即船頭與上游河岸的夾角為60°.
渡河時間t′＝＝s＝ s.
【練一練】小船要渡過200 m寬的河，水流速度為2 m/s，船在靜水中的速度為4 m/s，求：
(3)小船渡河的最短時間為多少？
(3)考慮一般情況，設船頭與上游河岸的夾角為α.如圖所示．船的渡河時間取決于船垂直于河岸方向上的分速度v⊥＝v船sin α，故小船渡河時間為t＝，當α＝90°，即船頭與河岸垂直時，渡河時間最短，最短時間為tmin＝50 s.
【練一練】小船要渡過200 m寬的河，水流速度為2 m/s，船在靜水中的速度為4 m/s，求：
(4)若水流速度是5 m/s，船在靜水中的速度是3 m/s，則怎樣渡河才能使船駛向下游的距離最?。孔钚【嚯x是多少？(結果取整數)
(4)因為v′船二、關聯速度問題
一般是指物拉繩(或桿)和繩(或桿)拉物問題、高中階段研究的繩都是不可伸長的,桿都是不可伸長且不可壓縮的,即繩或桿的長度不會改變、繩、桿等連接的兩個物體在運動過程中,其速度通常是不一樣的,但兩個物體沿繩或桿方向的速度大小相等,我們稱之為關聯速度.
解決關聯速度問題的一般步驟：
①先確定合運動,即物體的實際運動.
②確定合運動的兩個實際作用效果,一是沿繩(或桿)方向的平動效果(改變速度的大小);二是沿垂直于繩(或桿)方向的轉動效果(改變速度的方向).即將實際速度分解為垂直于繩(或桿)和平行于繩(或桿)方向的兩個分量.
③按平行四邊形定則進行分解,作出運動矢量圖.
④根據沿繩(或桿)方向的速度相等列方程求解.
【練一練】 質量為m的物體P置于傾
角為θ1的固定光滑斜面上,輕細繩跨過
理想定滑輪分別連接著P與小車,P與滑輪間的細繩平行于斜面,小車以速率v水平向右做勻速直線運動。如圖,當小車與滑輪間的細繩和水平方向成夾角θ2時,下列判斷正確的是(　　)
A.P的速率為v B.P的速率為vcos θ2
C.繩的拉力等于mgsin θ1 D.繩的拉力小于mgsin θ1
解析:將小車的速度v進行分解,如圖所示,則有vP=vcos θ2,故A錯誤,B正確。小車向右運動,θ2減小,v不變,則vP逐漸增大,說明物體P沿斜面向上做加速運動,由牛頓第二定律有FT-mgsin θ1=ma,可知繩對P的拉力FT>mgsin θ1,故C、D錯誤。
【練一練】如圖所示，AB桿和墻的夾角為θ時，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面的速度大小為v2，則v1、v2的關系是(　　)
A．v1＝v2　　　　　　 B．v1＝v2cos θ
C．v1＝v2tan θ D．v1＝v2sin θ
C
1.(小船渡河問題)已知河水的流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，且v2>v1，下面用小箭頭表示小船及船頭的指向，則能正確反映小船在最短時間內渡河、最短位移渡河的情景圖示依次是　(　　)
A．①②　　 B．①⑤ C．④⑤ D．②③
C
2.(小船渡河問題)如圖所示,小船過河時,船頭偏向上游,與水流方向成α角,船相對于靜水的速度為v,其航線恰好垂直于河岸。現水流速度稍有減小,為保持航線不變,且準時到達對岸,下列措施中可行的是(　　)
A.增大α角,增大v
B.減小α角,減小v
C.減小α角,保持v不變
D.增大α角,保持v不變
解析:當水流速度稍有減小時,為保持航線不變,且準時到達對岸,如題圖所示,可知應減小α角,減小v,故B正確,A、C、D錯誤。
3.（關聯速度）圖中套在豎直細桿上的環A由跨過定滑輪的不可伸長的輕繩與重物B相連．由于B的質量較大，故在釋放B后，A將沿桿上升，當A環上升至與定滑輪的連線處于水平位置時，其上升速度v1≠0，若這時B的速度為v2，則 (　　)
A．v2＝v1 B．v2>v1
C．v2≠0 D．v2＝0
解析：環上升過程的速度v1可分解為兩個分速度v∥和v⊥，如圖所示，其中v∥為沿繩方向的速度，其大小等于重物B的速度v2；v⊥為繞定滑輪轉動的速度．關系式為v2＝v1cos θ，θ為v1與v∥間的夾角．當A上升至與定滑輪的連線處于水平位置時，θ＝90°，cos θ＝0，即此時v2＝0，D項正確．
4.（關聯速度）如圖所示，物體A和B的質量均為 m ，且分別用輕繩連接并跨過定滑輪（不計繩子與滑輪、滑輪與軸之間的摩擦）。在用水平變力 F拉物體 B沿水平方向向右做勻速直線運動的過程中（ ）
A.物體 A 也做勻速直線運動
B.繩子的拉力始終大于物體 A 所受的重力
C.物體 A 的速度小于物體 B 的速度
D.地面對物體 B 的支持力逐漸增大
BCD
運動的合成與分解的應用
小船過河
繩——桿關聯速度

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