資源簡介

課件80張PPT。高三數學專題復習
向量及其應用成都航天中學 馬景云目標：1、從宏觀上把握向量的知識體系。2、通過對向量高考題的分析，把握向量在高考中重點考查的題型層次和考查方向，提高復習的效率。3、分析學生在各種題型中的思維障礙和常見錯誤，準確把握學情，提高復習的針對性。 平面向量是高中數學的新增內容，也是新高考的一個亮點。 向量知識、向量觀點在數學、物理等學科的很多分支有著廣泛的應用，它具有代數形式和幾何形式的“雙重身份”，能融數形于一體，能與中學數學教學內容的的許多主干知識綜合，形成知識交匯點。在高中數學體系中，有些問題用常規方法去解決往往運算比較繁雜，不妨運用向量作形與數的轉化，則會大大簡化過程。 考情綜述：考情綜述：高考與向量有關的考題分值統計“教學中應注意溝通各部分內容之間的聯系，…… 教學中注意向量與三角恒等變形、向量與幾何、向量與代數的聯系”
《高中數學課程標準》高考考綱要求1．理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．
2．掌握向量的加法與減法．特別是對幾何意義的理解。
3．掌握實數與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件．
4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標的概念，掌握平面向量的坐標運算．
5．掌握平面向量的數量積及其幾何意義，了解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．6．掌握平面兩點間的距離公式，掌握線段的定比分點和中點公式，并且能熟練運用；掌握平移公式高考考綱要求高考題型層次及應對策略第一層次：以平面向量本身的基礎知識作
為考查對象,考查學生對向量基礎知識的掌
握程度。應對策略：復習好向量本身的內容，包括平面向量的主要概念，主要運算：和、差、數乘、內積的運算法則、幾何意義，向量平行、相等、垂直的充要條件等。加強對主干知識和重要題型的訓練。一、第一層次知識回顧：1.向量的加法運算三角形法則平行四邊形法則“首尾相接首尾連”2.向量的減法運算 設 則 思考：若 非零向量 ，則它們的模相等且方向相同。
同樣 若：“同始點尾尾相接,指向被減向量”一、第一層次知識回顧：3.實數與向量的積定義： < 0時， 與 反向； 其中 >0時， 與 同向；=0時，坐標運算：
設 ，則一、第一層次知識回顧：5、平面向量的基本定理6、兩個非零向量平行（共線）的充要條件這種表示是唯一的，
即若②設 和 是同一平面內的兩個不共線向量，那么對該平
面內的任何一個向量 ， 有且只有一對實數 使一、第一層次知識回顧：7.兩個非零向量互相垂直的充要條件①②8.線段的定比分點公式說明： 運用公式時必須分清起點，分點，終點。>0時，P是內分點。<0時，P是外分點。①②9.平移公式一、第一層次知識回顧：第一層次例題分析類型一：有關向量運算知識的考查第一層次例題分析類型一：有關向量運算知識的考查類型一：有關向量運算知識的考查第一層次例題分析第一層次例題分析類型二：有關模、夾角、數量積的考查第一層次例題分析類型二：有關模、夾角、數量積的考查第一層次例題分析類型二：有關模、夾角、數量積的考查第一層次例題分析類型三：向量平行和垂直條件的考查第一層次例題分析類型三：向量平行和垂直條件的考查第一層次例題分析類型三：向量平行和垂直條件的考查第一層次例題分析類型四：三角形中的向量問題重要結論：ABCO類型四：三角形中的向量問題第一層次例題分析ABC第一層次例題分析類型四：三角形中的向量問題ABCP第一層次例題分析類型四：三角形中的向量問題解析:選CABC友情提示：高考對向量基礎知識的考查多以選擇填空
題的形式出現，且屬于中低檔題，在教學
中，應抓住主干知識，扎實訓練。使學生
在這類問題上盡量不失分。第二層次：以平面向量的語言、符號為載體，與數學其它知識相綜合，考查學生對向量語言的識別理解與等價轉化能力。應對策略：正確識別理解向量語言、符號
所提供的數學信息，準確實現等價轉化。第二層次例題分析類型一 向量與三角函數的綜合 向量與三角函數結合，題目新穎而又精巧，既符合在知識的“交匯處”構題，又加強了對雙基的考查. 第二層次例題分析類型一 向量與三角函數的綜合第二層次例題分析類型一 向量與三角函數的綜合第二層次例題分析類型一 向量與三角函數的綜合第二層次例題分析類型一：向量與三角函數的綜合 當平面向量給出的形式中含有未知數時，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關于該未知數的關系式.在此基礎上，可以設計出有關函數、不等式的綜合問題.此類題的解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數量積的公式和性質. 類型二：向量與函數不等式的綜合第二層次例題分析第二層次例題分析類型二：向量與函數不等式的綜合第二層次例題分析類型二：向量與函數不等式的綜合第二層次例題分析類型二：向量與函數不等式的綜合第二層次例題分析類型二：向量與函數不等式的綜合 由于向量既能體現“形”的直觀位置特征，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合與轉換的橋梁和紐帶，因此在向量與解析幾何交匯處設計試題，已逐漸成為高考命題的一個新的亮點.平面向量與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題. 第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析ABCPQ類型三：向量解析幾何的綜合aaa第二層次例題分析ABCPQxy類型三：向量解析幾何的綜合aaaADMOEC第二層次例題分析B類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析AMOECBD類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析例20、設G、H分別為非等邊三角形ABC的重心與外心，
A(0，2)，B（0，－2）且 (λ∈R).（Ⅰ）求點
C(x，y)的軌跡E的方程；（Ⅱ）過點(2，0)作直線L與曲線E交于點M、N兩點，設 ，是否存在這樣
的直線L，使四邊形OMPN是矩形？若存在，求出直線的方程；若不存在，試說明理由. 類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何函數的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合第二層次例題分析類型三：向量解析幾何的綜合 由于向量具有幾何形式和代數形式的“雙重身份”，使向量與函數、不等式、三角、解析幾何、立體幾何之間有著密切聯系，而新課程高考則突出了對向量與數學其它分支的結合考查，這就要求我們在平時的教學與復習中，應抓住時機，有效地滲透向量有關知識，使學生熟練掌握向量語言與其它數學語言之間的等價轉化，打破學生對向量知識的神秘感，體會向量解題的優越性，樹立應用向量的意識。友情提示:第三層次：以向量為工具，解決立體幾何中平行、垂直關系的證明，空間角和距離的求值、或存在性、探索性問題?？疾閷W生應用向量解決實際問題的綜合能力。。應對策略：熟練掌握用向量證明平行、垂直關系，
用向量求空間中的角和距離的常規方法和步驟，特
別是要加強運算能力的訓練，提高運算的速度和準
確性。第三層次方法回顧（一）空間距離1. 異面直線間距離（ⅰ）坐標法：（ⅱ）傳統方法： 2.點面距：
（?。┳鴺朔ǎ? （ⅱ）傳統方法： 第三層次方法回顧3.平行線面距: 4.平行面面距:
第三層次方法回顧第三層次方法回顧（二）空間角度計算:
1.異面直線所成角
①等角定理：若一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行并且方
向相同，則這兩個角相等。
② 異面直線所成角 （ ）：
（?。┳鴺朔ǎ孩? ;② 的表示：如
則 為---------------------------

（ⅱ）傳統方法：-------------------------- 2.直線與平面所成角 （ ） (1)坐標法: ① ②的表示:如則 = ——————(2)傳統方法: 第三層次方法回顧3.二面角的平面角 （ ） (1)坐標法: ① ②的表示:當 (ⅰ) 若為鈍二面角時,(ⅱ) 若為銳二面角時,=------------=------------(2)傳統方法: -----------------------------------第三層次方法回顧第三層次例題分析類型一：空間角和距離的求值問題第三層次例題分析類型一：空間角和距離的求值問題第三層次例題分析類型一：空間角和距離的求值問題第三層次例題分析類型一：空間角和距離的求值問題第三層次例題分析類型二：探索性問題第三層次例題分析xyo類型二：探索性問題xy第三層次例題分析類型二：探索性問題第三層次例題分析類型二：探索性問題第三層次例題分析XYZ類型二：探索性問題第三層次例題分析XYZ類型二：探索性問題第三層次例題分析類型三：基向量的應用問題第三層次例題分析(2)略類型三：基向量的應用問題第三層次例題分析類型三：基向量的應用問題友情提示：向量在立幾中的應用，突出了向量的工具性，一般用于處理平行、垂直關系，角與距離的求解等方面的問題，其方法相對單一，學生易于掌握，但學生在運算的準確性上容易失分，在復習過程中，除了讓學生熟練掌握解題思路方法外，更應在學生的運算能力的培養方面下功夫。專題小結 1、要充分理解平面向量的相關概念，熟練掌握向量的坐標運算、數量積運算，掌握兩向量共線、垂直的充要條件.
2、向量與函數、不等式的綜合問題，解題思路是轉化為代數運算，其轉化途徑主要有兩種：①利用向量平行或垂直的充要條件，②利用向量數量積的公式和性質.3、平面向量與解析幾何的結合通常涉及到夾角、平行、垂直、共線、軌跡等問題的處理，解決此類問題基本思路是將幾何問題坐標化、符號化、數量化，從而將推理轉化為運算；或者考慮向量運算的幾何意義，利用其幾何意義解決有關問題.4、用向量解決立體幾何中的角與夾角等問題，關鍵是熟練掌握方法步驟，恰當建系，準確運算。謝謝光臨
歡迎指正2007-4函數與導數的復習
考點聚焦
考點1：函數的概念、表示法、定義域、值域、最值；考點2：函數的單調性、奇偶性、周期性；考點3：指數函數和對數函數的定義、性質（尤其是單調性）、圖象和應用；考點4：反函數的定義、求反函數、函數圖象的位置關系；考點5：抽象函數問題的求解；考點6：運用函數的思想、數形結合思想和分類討論思想解決問題；考點7：導數
內容說明
（1）函數是高中數學中十分重要的內容，.函數思想是思考與解決數學問題的重要思想，它融會了待定系數法、配方法、換元法、反證法、構造法等基本數學方法及數形結合、分類與整合、轉化與化歸等重要思想. 在解題中涉及的一些數學邏輯方法有：歸納法、演繹法、反證法、分析法、綜合法、一般問題特殊化、抽象的問題具體化、復雜的問題簡單化等。
函數是高中數學最重要的內容，是初等數學與高等數學的主要銜接部分，同時也是貫穿了整個中學數學的一根主線.具有概念性強，內容豐富，與其他知識（特別是方程、不等式、導數等知識）聯系廣泛等特點，對函數怎么重視都不過分．如函數的性質、函數的圖象和函數的綜合應用每年都炙手可熱，特別是二次函數已經成為高考永恒的主題，涉及的題型有選擇題、填空題和解答題．近年來高考試題對函數的考查更加靈活，函數與不等式、函數與數列、函數與解析幾何、函數與三角，甚至是函數與向量相結合的問題層出不窮，除了傳統考查形式外，花樣還不斷翻新，已經發展到了挖掘函數本質、活用性質、新定義和新情境等高層次水平上． 深度考查了學生的邏輯思維能力和數學思想方法的應用。
（2）導數是高等數學的最為基礎的內容，是中學必選的重要知識之一．由于導數應用的廣泛性，可為解決所學過的函數問題提供更有效的工具或更一般性的方法，導數方法與初等方法相比對技巧性的要求有所降低，因此運用導數方法可以簡捷地解決相關問題．可以說導數的加入使函數這部分內容更加充盈，也顯得更加重要．
解剖高考中重要題型
(一) 函數的解析式問題
求解函數解析式是高考重點考查內容之一，需引起重視 要在深刻理解函數定義的基礎上，掌握求函數解析式的幾種方法，形成能力，并培養學生的創新能力和解決實際問題的能力 求解函數解析式的方法主要有
1 待定系數法，如果已知函數解析式的構造時，用待定系數法；
2 換元法或配湊法，已知復合函數f［g(x)］的表達式可用換元法，當表達式較簡單時也可用配湊法；
如：
求 ：的值域
3 消參法，若已知抽象的函數表達式，則用解方程組消參的方法求解f(x)；另外，在解題過程中經常用到分類討論、等價轉化等數學思想方法
例1.(1)已知函數f(x)滿足f(logax)= (其中a>0，a≠1，x>0)，求f(x)的表達式
(2)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(－1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達式．
（3）( 2006年重慶卷)已知定義域為R的函數f(x)滿足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
（Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a);
（Ⅱ）設有且僅有一個實數x0,使得f(x0)= x0,求函數f(x)的解析表達式.
解 (1)令t=logax(a>1，t>0；0因此f(t)= (at－a－t)，　　∴f(x)= (ax－a－x)(a>1，x>0；0(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c
得并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同時等于1或－1，
所以所求函數為 f(x)=2x2－1 或f(x)=－2x2+1 或f(x)=－x2－x+1
或f(x)=x2－x－1 或f(x)=－x2+x+1 或f(x)=x2+x－1
（3）（Ⅰ）因為對任意x R，有f(f(x)- x2 + x)=f(x)- x2 +x，所以
f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2.
又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.
若f(0)=a，則f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a.
（Ⅱ）因為對任意xR，有f(f(x))- x2 +x)=f(x)- x2 +x.
又因為有且只有一個實數x0,使得f(x0)= x0.
所以對任意xR，有f(x)- x2 +x= x0.
在上式中令x= x0,有f(x0)-x + x0= x0,
又因為f(x0)= x0，所以=0，故x0=0或x0=1.
若x0=0，則f(x)- x2 +x=0，即
f(x)= x2 –x.
但方程x2 –x=x有兩上不同實根，與題設條件矛質，故x2≠0.
若x2=1,則有f(x)- x2 +x=1，即f(x)= x2 –x+1.易驗證該函數滿足題設條件.
綜上，所求函數為
f(x)= x2 –x+1（xR）.
（二）二次函數、一元二次方程、一元二次不等式的相關問題
三個“二次”是中學數學的重要內容，具有豐富的內涵和密切的聯系，同時也是研究包含二次曲線在內的許多內容的工具高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關復習時要理解三者之間的區別及聯系，掌握函數、方程及不等式的思想和方法．
1．二次函數的解析式有四種形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c
（2）頂點式：y=a(x-m)2+n,其中(m,n)是拋物線的頂點。
（3）兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1、x2是方程ax2+bx+c=0的兩根。
(4)三點式：
2．二次函數的應用
給定區間的值域
二次方程根的分布
的應用
與二次函數有關的參數范圍問題
二次函數與不等式的結合
例2.已知二次函數y= ax2+bx+c。
（1）對于x1,x2∈R,且x1< x2，f(x1)f(x2),求證：方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]有兩個不相等的實根，且只有一個根屬于(x1,x2)；
（2）若方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]在(x1,x2)內的根為m，且x1,m-,x2成等差數列，設x=x0是f(x)的對稱軸方程，求證：x0分析：方程f(x)=[f(x1)+f(x2)]顯然是一個二次方程，所以可用判別式證明。
證明： （1）
整理得：2ax2+2bx-a(x12+x22)-b(x1+x2)=0,
=4b2+8a[a(x12+x22)+b(x1+x2)]
=2(2ax1+b)2+2(2ax2+b)2>0(x1x2).
設g(x)= f(x)-[f(x1)+f(x2)],則g(x1)g(x2)= {f(x1)-[f(x1)+f(x2)]}{ f(x2)-[f(x1)+f(x2)]}
=[f(x1)-f(x2)]2<0(f(x1)f(x2)),所以在(x1,x2)上必有一個實根。
（2）因為x1,m-,x2成等差數列，所以x1+x2=2m-1.
由2f(m)= f(x1)+f(x2),得：a(2m2-x12-x22)+b(2m-x1-x2)=0,將上式代入，得：
b=-a(2m2-x12-x22),所以x0=.
例3設二次函數f(x)= ax2+bx+c，方程f(x)-x=0的兩根x1,x2滿足0（1）當x∈(0,x1)時，證明：x（2）設函數f(x)的圖象關于直線x=x0對稱，證明：x0<.
分析：（1）欲證x同除a（x-x1）<0，得：0< x2-x<。
（2）欲證x0<，即證<，而x1,x2是方程ax2+（b-1）x+c=0的兩根，所以x1+x2=，故=
。
例4.已知二次函數f(x)=ax2+bx+c和一次函數g(x)=－bx，其中a、b、c滿足a>b>c,a+b+c=0,(a,b,c∈R)(1)求證兩函數的圖象交于不同的兩點A、B；
(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍．
(1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0
Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2］
∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0∴c2>0,∴Δ>0,即兩函數的圖象交于不同的兩點
(2)解設方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－，x1x2=．
|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
∵a>b>c,a+b+c=0，a>0，c<0，∴a>－a－c>c，解得∈(－2，－)．
∵的對稱軸方程是∈(－2，－)時，為減函數
∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈()．
（三）含參數的指數函數、對數函數與不等式綜合問題
掌握指數函數、對數函數函數的概念、圖象和性質并能靈活應用圖象和性質分析問題、解決問題；特別是底是參數時，一定要區分底是大于1還是小于1，與對數有關的問題還要緊扣對數函數的定義域．
例5.在xOy平面上有一點列P1(a1,b1)，P2(a2,b2)，…,Pn(an,bn)…，對每個自然數n點Pn位于函數y=2000()x(0簡析：本題屬于知識綜合題，關鍵在于讀題過程中對條件的思考與認識，從中找出與n之間的關系式．
解：(1)由題意知 an=n+，∴bn=2000()
(2)∵函數y=2000()x(0bn+1>bn+2
則以bn、bn+1、bn+2為邊長能構成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1>bn，
即()2+()－1>0，解得a<－5(1+)或a>5(－1) ∴5(－1)(3) 5(－1)∴a=7∴bn=2000() 數列{bn}是一個遞減的正數數列，
因此數列{Cn}的最大項的項數n滿足不等式bn≥1且bn+1<1，
由bn=2000()≥1得 n≤20 ∴n=20

（四）對函數性質的考察
研究一個函數，要注意從多個角度全方位地考查其性質，如定義域、值域、單調性、奇偶性、周期性、過定點等，只有對函數性質全面地了解，才能做到有的放矢，克服難關．
考點1 考查函數定義域求法
求函數定義時有以下幾種情況：①分式的分母不為零；②偶次方根的被開方數不小于零；③對數的真數為正且底數為不等于1的正數；④零次冪的底數不為零．
考點2 考查函數值域的求法
(1)函數值域的常用求法 配方法、復合函數法、分離變量法、單調性法、數形結合法、換元法、法、不等式法及導數法等 無論用什么方法求函數的值域，都必須考慮函數的定義域
考點3 考查反函數
求法:
求反函數步驟為：①確定原函數的值域，也就是反函數的定義域；②由；
③將對換，改寫為．
如求的反函數
反函數的性質：
單調性，奇函數，幾何性質
如:
求的對稱中心
考點4 考查函數的奇偶性與單調性：
奇偶性：證明與判斷方法、已知奇偶性求參數、奇偶性的應用，常見奇函數。
單調性：證明與判斷方法、已知單調性求參數、單調性的應用
抽象函數：用好賦值法，注意賦值的科學性、合理性
常見抽象函數如下表所示：
對數函數，形如：
指數函數，形如：
正比例函數，如：
冪函數，形如：等
余弦函數，形如：
考點5 考查函數對稱性、周期性及綜合應用
對稱性：中心對稱，軸對稱
周期性：周期、半周期、四分之一周期
如：，
周期性對稱性的關系：有兩個對稱性的函數一定具有周期性
例6：
若函數是奇函數，則a=
解析：由是奇函數得
得，化簡得：，即，考慮到，故．
例7.已知函數f(x)在(－1，1)上有定義，當且僅當0(1)f(x)為奇函數；(2)f(x)在(－1，1)上單調遞減
解析：對于(1)，獲得f(0)的值進而取x=－y是解題關鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點
證明 (1)由f(x)+f(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,
令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0 ∴f(x)=－f(－x) ∴f(x)為奇函數
(2)先證f(x)在(0，1)上單調遞減
令0∵00,1－x1x2>0，∴>0,
又(x2－x1)－(1－x2x1)=(x2－1)(x1+1)<0，∴x2－x1<1－x2x1,
∴0<<1,由題意知f()<0，?即　f(x2)∴f(x)在(0，1)上為減函數，又f(x)為奇函數且f(0)=0
∴f(x)在(－1，1)上為減函數
例8.定義在R上的函數y=f(x)，f(0)≠0，當x>0時，f(x)>1，且對任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求證：f(0)=1；（2）求證：對任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）求證：y=f(x)在R上單調遞增
例9．是定義在R上的以3為周期的奇函數，且，則方程=0在區間（0，6）內解的個數的最小值是 （ ）
（A）4 （B）5 （C）6 （D）7
解析：由，，所以；又因為是定義在R上的的奇函數，故，
又因為
所以
函數圖象關于對稱，所以，故選D．
例10．設定義域為R的函數，則關于的方程
有7個不同實數解的充要條件是（ ）
（A）且
（B）且
（C）且
（D）且
解析：由圖象知要使方程有7解，應有有3解，有4解．則
，選C．
評注：如果不借助于圖形，試圖通過研究方程式來得出結果是很困難的．當然在利用數形結合思想解題時，作圖一定要規范和準確．
考點6函數圖象
高考對函數圖象的考查主要體現在以下幾個方面：①給出或由條件求出函數的解析式，判斷函數的圖象；②給出函數的圖象求解析式；③給出含有參數的解析式和圖象，求參數的值或范圍；④考查函數圖象的平移、對稱和翻折；⑤和數形結合有關問題等，特別是討論方程的解的個數及解不等式等．同時考查基本數學思想方法的運用及分析問題、解決問題的能力，試題設計新穎，體現了課改的方向.
函數圖象是研究函數性質的直觀工具，研究一個函數圖象可從如下幾個方面來考查：（1）函數圖象的范圍，即定義域和值域；（2）函數圖象的最高點、最低點和極點；（3）函數圖象的變化趨勢，即單調性、對稱性和周期性；（4）函數過定點或漸近線等關鍵特征．
熟練處理函數圖象題的途徑（1）平時要牢記一些基本初等函數如：一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、三角函數、對勾函數、分區間單調函數、三次函數等圖象；（2）對于一些簡單的函數可通過列表、描點作圖；（3）對于一些線性復合函數可利用基本初等函數通過平移、對稱和伸縮三大變換來作出我們所求的函數．
考點7考查函數性質的挖掘與延伸
例11
在這四個函數中，當時，使恒成立的函數的個數是（ ）
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析：滿足性質的是上凸函數．分別作出這四個函數的圖象，在為上凸函數的有，而為上的下凸函數，在為上凸函數，在為下凸函數，故選B
例12對定義域是、的函數、，規定：
函數．
（Ⅰ）若函數，，寫出函數的解析式；（Ⅱ）求問題（1）中函數的值域；（Ⅲ）若，其中是常數，且，請設計一個定義域為R的函數，及一個的值，使得，并予以證明．
解析：(Ⅰ)
(Ⅱ) 當≠1時, =
=—1++2 ．①若>1時, 則≥4，其中等號當時成立；②若<1時， 則≤ 0,其中等號當=0時成立． 所以函數的值域是(—∞，0){1} [4，+∞]．
(Ⅲ)令，，則=
于是

方法技巧提煉
1．討論函數的性質時，必須堅持定義域優先的原則.對于函數實際應用問題，注意挖掘隱含在實際中的條件，避免忽略實際意義對定義域的影響.?
2．運用函數的性質解題時，注意數形結合，揚長避短.?
3．對于含參數的函數，研究其性質時，一般要對參數進行分類討論，全面考慮.
4．解答函數性質有關的綜合問題時，注意等價轉化思想的運用.
考點6 考查函數類型的應用題
例13甲方是一農場，乙方是一工廠． 由于乙方生產須占用甲方的資源，因此甲方有權向乙方索賠以彌補經濟損失并獲得一定凈收入，在乙方不賠付甲方的情況下，乙方的年利潤x（元）與年產量t（噸）滿足函數關系．若乙方每生產一噸產品必須賠付甲方s元（以下稱s為賠付價格），（Ⅰ）將乙方的年利潤（元）表示為年產量（噸）的函數，并求出乙方獲得最大利潤的年產量；（Ⅱ）甲方每年受乙方生產影響的經濟損失金額（元），在乙方按照獲得最大利潤的產量進行生產的前提下，甲方要在索賠中獲得最大凈收入，應向乙方要求的賠付價格s是多少？
解析：（Ⅰ）因為賠付價格為s元/噸，所以乙方的實際年利潤為：因為,所以
當時,取得最大值．所以乙方取得最大年利潤的年產量 (噸)．
（Ⅱ）設甲方凈收入為元，則．將代入上式，得到甲方凈收入與賠付價格之間的函數關系式．又
，令，得．當時，；當時， ，所以時，取得最大值．因此甲方向乙方要求賠付價格（元/噸）時，獲最大凈收入．
(七)導數概念及應用
1．理解導數的概念及幾何意義?
（1）函數y＝f（x）在x＝x0處的導數：?＝＝.?
函數y＝f（x）在（a，b）內的導函數：f ′（x）＝＝.?
函數y＝f（x）在x＝x0處的導數
f ′（x0）＝f ′（x）︱=??
（2）函數f（x）在點x0處有導數，則函數f（x）在該點處必有切線，且導數值等于該切線的斜率，但函數f（x）在點x0處有切線，函數f（x）在該點處不一定可導.?
(3)在理解極值概念時要注意以下幾點：①極值點是區間內部的點，不會是端點；②若f（x）在（a，b）內有極值，那么f（x）在（a，b）絕不是單調函數；③極大值與極小值沒有必然的大小關系；④一般的情況，當函數f（x）在［a，b］上連續且有有限個極值點時，函數f（x）在［a，b］內的極大值點和極小值點是交替出現的；⑤導數為0的點是該點為極值點的必要條件，不是充分條件（對于可導函數而言）.而充分條件是導數值在極值點兩側異號.?
（4）．利用求導方法討論函數的單調性，要注意以下幾方面：①f′（x）＞0是f（x）遞增的充分條件而非必要條件（f′（x）＜0亦是如此）；②求單調區間時，首先要確定定義域；然后再根據f′（x）＞0（或f′（x）＜0）解出在定義域內相應的x的范圍；③在證明不等式時，首先要構造函數和確定定義域，其次運用求導的方法來證明.?
3.求函數的導數有兩種方法：一種方法是用定義求，先求函數的改變量，再求平均變化率，最后取極限，得導數；另一種方法是利用公式與法則求導數．
4．熟記八個求導公式和五條求導法則（加、減、乘、除、復合函數求導（理））.?
5．導數的應用十分廣泛，如求函數的單調區間、極值、最值，求曲線的切線以及解決某些實際問題等.利用導數作工具，考查函數、不等式的綜合應用已成為高考的又一熱點.
導數的實質是函數值相對于自變量的變化率，體現在幾何上就是切線的斜率．高考對導數的考查定位在作為解決初等數學問題的工具這一目標上，主要體現在以下方面：①運用導數有關知識研究函數的單調性和最值問題；②利用導數的幾何意義，研究曲線切線的斜率也是導數的一個重要內容之一；③對一些實際問題建立數學模型后求解．導數類型的問題從題型上來看有幾下特點：①以選擇填空題考查概念、求單調區間和函數的極值、最值；②利用導數求實際問題中的最值為中檔題；③與向量、解幾、數列相聯系的的一些綜合題，著眼于導數的幾何意義和應用為中檔偏難題．
考點1 考查相關概念
例14．下列命題中，正確的是（?。? ①若函數f（x）在點x0處有極限，則函數f（x）在x0處連續；?②若函數f（x）在點x0連續，則函數f（x）在x0處可導；?③若函數f（x）在點x0處取得極值，則f ′（x0）＝0；?④若函數在點x0有f ′（x0）＝0，則x0一定是函數的極值點.?
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個
解析： ①是錯誤的，如f （x）＝ 在點x＝0處不連續；②是錯誤的，如f（x）＝︱x︱在x＝0處連續，但不可導；③是錯誤的，f（x）在點x0不一定可導，反例同②；④是錯誤的，如f（x）＝x3在x＝0的導數為零，但x＝0不是函數的極值點.?答案A
評析：函數f（x）在點x0有極限、連續、可導、有極值，四者之間關系要區分清楚.函數f（x）在x0處連續是f（x）在x0處有極限的充分非必要條件，只有可導函數在x0取得極值，才有f′（x0）＝0，注意其前提條件.
考點2 考查導函數與原函數圖象間關系
例15．已知函數的圖象如右圖所示
(其中是函數的導函數)，下面四個圖象中的圖象大致是( ）


解析：由圖象可知：在上小于等于零，故原函數在上為減函數，故選C．
評注：函數圖象提供了很多信息，但要抓住關鍵特點，如導數為零的點、導數為正值或負值的區間等．
考點3 考查導數的幾何意義
函數y=f (x) 在點x0導數的幾何意義，就是曲線y=f (x) 在點P(x0, f(x0))處的切線的斜率，也就是說，曲線y=f (x) 在P (x0, f (x0))處的切線的斜率是f′(x0)，于是相應的切線方程為y－y0=f′(x0) (x－x0)，巧借導數幾何意義“傳接”的各類綜合題頻頻出現。
例16．設P0 (x0，y0) 為曲線C : y=x3 (x＞0)上任意一點，過P0作曲線C的切線與x軸交于Q1，過Q1作平行于y軸的直線與曲線C交于P1(x1，y1)，然后再過P1作曲線C的切線交x軸于Q2，過Q2作平行于y軸的直線與曲線C交于P2(x2，y2)，依此類推，作出以下各點：P0，Q1，P1，Q2，P2，Q3，…，Pn，Qn＋1，…，已知x0=9，設Pn (xn，yn) (n∈N)。
（1）求出過點P0的切線方程。
（2）設xn=f (n) (n∈N)，求f (n)的表達式；
解析 （1）y′=3x2，∵P0 (9，93)，∴切線P0Q1的斜率，
∴過P0點的切線即直線P0Q1的方程為y－93=243 (x－9)，即243x－y－1458=0.
（2）過Pn (xn，yn)的切線的斜率為kn=3x，切線方程為y－yn=kn(x－xn)，
即y－x=3x (x－xn). 令y=0得
x=xn－=，即Qn＋1的橫坐標為xn，
又∵直線Qn＋1Pn＋1∥y軸，∴P n＋1的橫坐標xn＋1=xn，由于x0=9，∴數列是公比為的等比數列∴xn=x0 · ()n=9×()n，則f (n) = 9×()n，（n∈N）
考點4 考查導數的定義的應用
例17．已知,為正整數，設，證明．
考點5 考查利用導數判斷函數的單調性
例18．已知向量，若函數在區間上是增函數，求t的取值范圍．
考點6 考查導數在函數極點處的性質
利用一階導數求函數的極大值和極小值的方法是導數在研究函數性質方面的繼續深入 是導數應用的關鍵知識點，通過對函數極值的判定，可使學生加深對函數單調性與其導數關系的理解．
例19．已知，討論函數的極值點的個數．
解析：
令=0得．
考點7 考查最值問題
例20．已知a ≥ 0，函數f（x）＝（x2－2ax）ex?當x為何值時，f（x）取得最小值？并證明你的結論；?
考點8 考查導數與其知識交匯問題
利用導數處理不等式
例21．設函數f（x）＝xsinx（x∈R）.?（1）證明f（x+2kπ）－f（x）＝2kπsinx，其中k為整數；（2）設x0為f（x）的一個極值點，證明；?（3）設f（x）在（0，+∞）內的全部極值點按從小到大的順序排列為a1，a2，…，an，…，證明＜an+1－an＜π（n＝1，2，…）.?
解析:（1）利用三角函數的周期性；（2）求導變形；（3）滿足f′（x）＝0的正根x0都為f（x）的極值點，然后再作差an+1－an求范圍.?
證明(1)由函數f（x）的定義，對任意整數k，有f（x+2kπ）－f（x）＝（x+2kπ）sin（x+2kπ）－xsinx＝（x+2kπ）sinx－xsinx＝2kπsinx.?
（2）函數f（x）在定義域R上可導，?f′（x）＝sinx+xcosx，①?
令f′（x）＝0，得sinx+xcosx＝0.?
顯然，對于滿足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化簡為x＝－tanx.如圖所示，
此方程一定有解.f（x）的極值點x0一定滿足tanx0＝－x0.由sin2x＝＝，得sin2x0＝.因此，＝x02sin2x0＝.　　　　　　　
（3）設x0＞0是f′（x）＝0的任意正實根，即x0＝－tanx0，則存在一個非負整數k，使x0∈（+kπ，π+ kπ），即x0在第二或第四象限內.由①式，f′（x）＝cosx·（tanx+x）在第二象限或第四象限中的符號可列表如下：?
x
（+kπ，x0）
x0
（x0，π+kπ）
f ′ （x）的符號
k為奇數
—
0
+
k為偶數
+
0
—
所以滿足f′（x）＝0的正根x0都為f（x）的極值點.?
由題設條件，a1，a2，…，an，…為方程x＝－tanx的全部正實根且滿足a1＜a2＜…＜an＜…，那么對于n＝1，2，…， tan（an+1－an）＝（tanan+1－tanan）/（1+tanan+1·tanan）= -（an+1－an）/（1+tanan+1·tanan）. ②?由于+（n－1）π＜an＜π+（n－1）π，+nπ＜an+1＜π+nπ，則＜an+1－an＜，?由于tanan+1·tanan＞0，由②式知tan（an+1－an）＜0.由此可知an+1－an必在第二象限，即an+1－an＜π.?
綜上，＜an+1－an＜π.?
利用導數研究數列
例22．已知數列{an}各項均為正數，Sn為其前n項和，對于任
意的n∈N*，都有4Sn=(an+1)2
(1)求數列{an}的通項公式；
(2)若2n≥tSn對于任意的n∈N*成立，求實數t的最大值。
分析：利用Sn-Sn-1=an(n≥2)易得an=2n-1，從而Sn=n2則問（2）轉化為t≤恒成立，故只需求出數列的最小項，有以下求法：
法一：研究數列{bn}的單調性。
法二：數列作為一類特殊的函數，欲求的最小項可先研究連續函數的單調性，求導得，
易得為函數的極小值也是最小值點，又，所以而，故
導數與解析幾何相綜合的題目
導數與解析幾何或函數圖象的混合問題，尤其是拋物線與三次函數的切線問題，是高考中考查綜合能力的一個方向，應引起注意。
例23．已知雙曲線與點M（1，1），如圖所示.
（1）求證：過點M可作兩條直線，分別與雙曲線C兩支相切；
（2）設（1）中的兩切點分別為A、B，其△MAB是正三角形，求m的值及切點坐標。
分析：本題考查導數的幾何意義在解析幾何綜合問題中的特殊作用，使代數與幾何實現了和諧的勾通。
（1）證明：設，要證命題成立只需要證明關于t的方程有兩個符號相反的實根。
，且t≠0，t≠1。
設方程的兩根分別為t1與t2，則由t1t2=m<0，知t1，t2是符號相反的實數，且t1，t2均不等于0與1，命題獲證。
（2）設，由（1）知，t1+t2=2m，t1t2=m，從而
，即線段AB的中點在直線上。
又，AB與直線
垂直。
故A與B關于對稱，
設，則
有t2-2mt+m=0 ①
由及夾角公式知
，即 ②
由①得
③
從而
由②知，代入③知
因此，。
考點9 考查導數的實際應用
學習的目的，就是要會實際應用，學生要有運用導數知識解決實際問題的意識，思想方法以及能力。近幾年，高考越來越注重對實際問題的考查，因此要學會應用導數解決有關最優化的問題及即時速度、邊際成本等問題
例24．甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的同側，乙廠位于離河岸40 km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50 km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費用分別為每千米3a元和5a元，問供水站C建在岸邊何處才能使水管費用最省？
點撥：本題難點是如何把實際問題中所涉及的幾個變量轉化成函數關系式. 技巧與方法主要有：根據題設條件作出圖形，分析各已知條件之間的關系，借助圖形的特征，合理選擇這些條件間的聯系方式，適當選定變化，構造相應的函數關系.
解法一：根據題意知，只有點C在線段AD上某一適當位置，才能使總運費最省，設C點距D點x km,則
∵BD=40,AC=50－x,
∴BC=
又設總的水管費用為y元，依題意有：
y=30(5a－x)+5a (0＜x＜50)
y′=－3a+,令y′=0,解得x=30
在(0,50)上，y只有一個極值點，根據實際問題的意義，
函數在x=30(km)處取得最小值，此時AC=50－x=20(km)
∴供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.
解法二：設∠BCD=,則BC=,CD=,
設總的水管費用為f(θ),依題意，有
f(θ)=3a(50－40·cotθ)+5a·
=150a+40a·
f (θ)=40a·
令f′(θ)=0,得cosθ=
根據問題的實際意義，當cosθ=時，函數
取得最小值，此時sinθ=,∴cotθ=,
∴AC=50－40cotθ=20(km),即供水站建在A、D之間距甲廠20 km處，可使水管費用最省.
函數、導數的綜合問題往往以壓軸題的形式出現，解決這類問題要注意：?
(1)綜合運用所學的數學思想方法來分析解決問題；(2)及時地進行思維的轉換，將問題等價轉化；?(3)由函數與導數為載體的不等式證明的方法多，應注意恰當運用。特別要重視比較法、分析法等通法以及放縮法的靈活運用；(4)可利用導數這一工具來解決函數的單調性與最值問題.（5）合理的猜想，廣泛的聯系（6）消除對多字母、多變元的問題恐懼。?


數學思想方法
及解題策略
成都玉林中學
楊 柳 青
數學思想方法是策略性知識
“少考一點算，多考一點想”，實質是加重對“數學思想方法”的考查
高考中常用的數學思想有：函數與方程；數形結合；化歸與轉化；分類討論
一、函數與方程思想
1．函數是中學數學的主線
無處不函數
高考函數比重每年都較大
著名數學家克萊因說過：一般受教育者在數學課上應該學會的重要事情就是用變量和函數來思考
函數思想是一個重要的基本數學思想，其重要性不僅表現為五個基本初等函數的研究占據了高中數學的中心地位，而且還表現為：
①方程或不等式可作為有關函數的零點、單調性、正負區間或極值來處理
②數列作為特殊的函數，一直處于高考的熱點上
③作為函數概念的基礎——集合與映射，已在高考中作為數學基本語言、數學基本工具而大量出現
④其他數學問題，特別是體現參數討論或運動觀點的問題，?？捎煤瘮邓枷雭矸治龌蛴煤瘮捣椒▉斫鉀Q
函數在高考中的重要地位——試題以函數為主線，不僅題量較多，而且高難題常與函數直接聯系
函數思想在解題中的應用，主要表現在兩個方面：
①借助于有關初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題
②在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易、化繁為簡的目的
2．高考中的方程問題包括方程的求解與方程觀的應用
分成逐漸提高的4個層次：
第一層次：解方程
第二層次：帶參變數的方程的討論
第三層次：轉化為方程的討論
第四層次：構造方程求解問題
例1：一等差數列的前10項和為100，前100項的和為10，求該數列前110項的和.（）
分析：本例常規解法有二：
一是依列出關于、的方程組，求出、，再代入公式求．
二是利用，，,……成等差數列，求出新數列的公差，然后求新數列前11項的和．
若注意到等差數列中，可知是的一次函數，于是可用一次函數的圖象——直線求解．
解：由條件=100，=10．
∵仍是等差數列，
∴，,三點共線，于是有，
即，解得．
例2：已知方程:
+總有解，則實數的取值范圍是 ．（，或）
分析：把方程變形為：
，
由知
或．
例3：已知，設，試確定實數的取值范圍，使得對于一切大于1的正整數，不等式－恒成立．
（）
分析：本例無法求和，常規數列方法不起作用，需用非常規手段．注意要使不等式－恒成立，只需不等式：
－恒成立．問題轉化為求．注意，可猜測,怎樣證明這個結論？可聯想用函數單調性證明是增函數，這樣把問題轉化為解不等式，得到．
例4：我國是水資源比較貧乏的國家之一，各地采用價格調控等手段來達到節約用水的目的．某市用水收費的方法是：水費＝基本費＋超額費＋損耗費。若每月用水量不超過最低限量時，只付基本費8元和每戶每月的定額損耗費元；若用水量超過時，除了付同上的基本費和損耗費外，超過部分每立方米付元的超額費．已知每戶每月的定額損耗費不超過5元，該市一家庭今年第一季度的用水量和支付費用如下表所示：
月份
用水量／（）
水費（元）
1
9
9
2
15
19
3
22
33
根據上表中的數據，求．（，，）
分析：設每月用水量為，支付費用為元，則：
由題意知：， ∴．
由表知第2、3月份的費用均大于13元，故用水量、均大于最低限量，將分別代入(2)式得
再分析1月份的用水量是否超過最低限量．
若，將代入(2)式
與(3)矛盾
∴，即1月份的付款方式應選(1)式．
則，∴
故，，
例5：已知，求證：．
分析： ．從方程觀點來看，以、為根的二次方程應有判別式等于零，對照已知條件，恰好是判別式的形式。
證明：已知條件表明，以、為根的二次方程
有判別式等于零，故得兩根相等，從而有．
例6：設且，拋物線被軸截得的弦長為，證明：．
分析：（1）由于弦長是與，，有關的變量，若能建立的表達式，那么結論相當于確定函數的值域。
（2）為確定函數的值域，需完成三件事：①求出變量的解析式；②確定解析式中的自變量及其取值范圍；③由以上兩項推出求證式。
證明：在中，
∵且，
∴．∴.
故方程必有兩個不等實根、，
則
．
顯然是的二次函數，由且可得，再由二次函數的單調性知，當時是單調遞減的。
∴，
即．
但，故．
二、數形結合思想
華羅庚先生指出：數缺形時少直覺，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休
對數學問題的思考應當從數與形的聯系上著眼，即數形結合思想
1、所謂數形結合，就是根據數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數含義，又揭示其幾何意義，使數量關系和空間形式巧妙和諧地結合起來，并充分利用這種結合，尋找解題思路，使問題得到解決
2、包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，而“以形助數”是矛盾的主要方面
3、數形結合的方法有：圖象法、幾何法、坐標法
4、數形結合的主要渠道有：
①絕對值、二次根式所蘊含的距離問題
②解析幾何中定比分點、斜率、曲線與方程、區域與不等式
③函數與其圖象間的幾何變換
④向量的幾何意義
⑤三角函數中單位圓中的三角函數線及正、余弦函數的圖象變換
⑥復數的幾何意義
⑦立體幾何模型
其中以②、③為背景來實現其對應關系的轉化最為普遍，是中學數學數形結合思想方法的最重要的部分
運用“數形結合”思想分析和解決問題時，首先要徹底明白概念和運算的幾何意義及曲線的代數特征
數形結合所涉及的題目主要是參數范圍問題
難點在于學生參與數與形的體驗水平
轉化是目的，作圖是基礎，識圖是關鍵
例7：已知，則的最小值是 ．（）
分析：在約束條件下求最值，消去一個變量，轉化為一元二次函數，運用配方法，這是常規解題思路．
如果將看成是兩點間的距離，那么我們頭腦中立即構造了一個幾何模型：點到直線的距離即為滿足題設條件的最小值．易知．
例8：如果，且，那么必有（ ）（）
　　　
　　　
分析：由得，．
利用函數在是增函數知
．選（）
例9：函數對任意實數有，且圖像過點，則的值為（ ）（）
　 　 　
分析：由條件知是函數的對稱軸，即．
而，
∴只有，且，
∴．
∵圖像過點得，
∴．∴選（）
例10：當曲線與直線有兩個交點時，實數的取值范圍是（ ）（）


分析：作出圖像，由圖像知：，又，∴選（）
例11：已知變量，滿足
，求：
①的最大值；（21）
②的最小值；（）
③的取值范圍．（）
分析：準確理解目標函數的幾何意義，作出滿足條件的區域．本題：
是利用直線在軸上的截距作轉化
是利用兩點間的距離作轉化
③是利用過兩點的直線的斜率作轉化
例12：如果實數、、、滿足：
，求＋的最大值和最小值．
分析：本題若用代數方法求解將十分困難，但若聯系圖形來解則可化難為易．由條件，得，因此，可視為圓上的動點，可視為圓上的動點，而＋是、兩點間距離的平方，于是，過兩圓圓心、作直線分別與兩圓相交，則：
；
.
三、化歸與轉化思想
數學思想中的一條重要原則是不斷地變更問題，使所要解決的問題由難變易或變為已經解決過的問題，或者把某一數學分支中的問題變為另外一個數學分支中的問題，以利于問題的解決。
化歸思想包括了我們所研究過的許多數學思想和方法
化歸與轉化思想的主要解題途徑：
⑴未知問題轉化成已知
⑵函數與方程的轉化
⑶空間與平面的轉化
⑷數與形的相互轉化
⑸一般與特殊的轉化
⑹等與不等的轉化
⑺高次與低次的轉化
⑻整體與局部的相互轉化
其基本原則是：
⑴化難為易；⑵化生為熟；⑶化繁為簡．
常見的轉化方法有：
⑴直接轉化法
⑵換元法
⑶數形結合法
⑷參數法
⑸構造法
⑹坐標法（立體幾何與解析幾何）
⑺類比法
⑻特殊化方法
⑼一般化方法
⑽等價問題法
⑾加強命題法
⑿補集法
以上所列的一些方法是互相交叉的，不能截然分割．
例13：若實數滿足：，則的最大值是（ ?。?br/> 　　 　　 　
分析：二元函數的最值問題一般有兩種思路：
一是把二元函數問題轉化為一元函數問題
二是利用基本不等式或幾何意義求解
法一：設＝，則，代入條件中得．
由方程有解知
．
法二：即
．
令，＝，則
，
．
法三：設＝，即．由圓心到直線的距離等于半徑得或．
∴．
例14： 已知，則（ ）
　
分析：把看作函數取值時的值，注意到在上、均是減函數，從而在上也是減函數，
∵，又，
∴． ∴．
∴．故應選（）
例15：求函數的最大值和最小值．
分析：本例是一個典型的用換元法解的題目，通過換元將三角問題轉化為較熟悉的一元二次函數在閉區間上的最值問題．這里需要特別注意的是：①換元后新變元的允許取值范圍；②正確討論對稱軸與區間的位置關系．
（；）
例16：若、是不同的兩個銳角且滿足（≤＋），試證明：
.
分析：、是方程的兩個解，則.
注意，，考慮到點、既在直線上，又在單位圓上，此問題可化歸為代數問題求解．
由方程組消去（不妨設）得
，
由韋達定理，得，利用三角變換可證．
例17：設，定義，，求證對一切正整數，有．
分析：本例容易想到用數學歸納法證明．顯然，但若僅假設,則很難由遞推公式推出．這是因為這里的出現在分母上，為得到，即得到，即要求,將原命題化歸為更強的命題：
即證明對一切正整數，有．
證明：①當時，由,知,又，
∴,即時命題成立．
②假設時命題成立，即,那么，當時，
,
又．
∴,即當時命題成立．
據①、②可知對一切正整數，原命題成立．
四、分類與討論思想
當一個數學問題比較復雜時，可以將其分割成若干個小問題或分解為一系列的步驟，通過局部的解決來實現整體的完成，這就是分類與討論的基本想法．
分類的好處至少有兩條：
其一：把大問題分為小問題時，常能達到簡單化的目的
其二：分類標準本身等于增加了一個已知條件，實現了有效增設
高考中考生的主要問題：分類不合理或討論不全面而造成大量失分
（一）引進分類討論的因素分析
1．由概念的定義引起的分類討論
有些概念是分類定義的，在解決問題時，必然引起分類討論
有些概念在定義時，明確了范圍，也將引起分類討論
例1８：解不等式．
分析：由對數定義知，不等式等價于，顯然要去絕對值符號，需對分區域進行討論．（這是由絕對值的定義引起的分類討論，討論時需根據絕對值的零點分區域討論的方法進行）
（答案：）
例19：（06年四川高考第12題）從0到9這10個數字中任取3個數字組成沒有重復數字的三位數，這個數不能被3整除的概率為（ ）（）

分析：從0到9這10個數字中任取3個數字組成沒有重復數字的三位數，這個數不能被3整除，可先求出能被3整除的數．所有的三位數有＝648個，將10個數字分成三組，即被3除余1的有，被3除余2的有，被3整除的有．若要求的3位數被3整除，則可以分類討論：
①若三個數字均取自第一組，或均取自第二組，此時共有個；
②若三個數字均取自第三組，則要考慮取出的數字中有無數字0，此時共有個；
③若三組各取一個數字，第三組中不取0，共有個；
④若三組各取一個數字，第三組中取0，共有個．
這樣被3整除的數共有228個，不能被3整除的數有420個，所以概率為．選（）
2．由性質、定理及公式引起的分類討論
某些數學性質、公式或定理在不同的條件下有不同的結論，或者需在一定的限制條件下才成立，在解決這類問題時可能引起分類討論．
例20：（06年四川高考第20題）已知數列，其中，，＝（≥2）．記數列的前項和為，數列的前項和為．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）設，，（其中為的導函數，），計算．
分析：（Ⅰ）由題意易知，是首項為1，公差為2的等差數列，，，．
（Ⅱ），．
下面求，涉及到等比數列的求和公式，必須對公比進行分類討論．
3．由參數的變化引起的分類討論
某些含有參數（常數）的問題，由于參數的取值范圍不同會導致所得結果不同，或者由于對不同的參數值要運用不同的推算方法，這時需要分類討論．
例21：已知函數，其中，為自然對數的底數．
①討論的單調性；
②求函數在區間上的最大值．
分析：本例首先應想到對函數求導，注意的取值對函數的影響。
答案：①時，在為增，在為減；
時，在為增，在、為減。
②．
4．其他
①在變形過程中往往需要一些條件限制，進而引起分類討論
②由幾何圖形的不確定性引起的分類討論
例22：求與橢圓有公共焦點且過點的圓錐曲線的方程．
分析：本題由于圓錐曲線以橢圓的焦點為焦點，它可能是橢圓，也可能是雙曲線，因此需分兩種類型分別求解．利用待定系數法可求得橢圓為，雙曲線為．
（二）怎樣合理分類
分類應遵循下列原則：
若全域為，分類成子集，必須滿足：
①；
②
即：不重不漏
討論題是高考數學常見的題型之一，對問題進行討論的步驟是：
①確定討論的對象
②對所討論的對象進行合理分類（分類應做到不重不漏）
③逐類討論
④歸納總結
需要討論的問題有以下幾種類型：
①題中的變量需要討論
②題中含有參數，需對參數的變化范圍進行討論
③題中的條件是分類給出的
④解題過程不能統一敘述，必須分類分述
⑤有關幾何問題中，幾何元素的形狀、位置變化需要分類討論
例23：設，為使為負值，求的取值范圍．
分析：這是一個多參數的問題，可設法將它們集中在一起，當作一個參數來處理．
要使為負值，只需：
.
∵,
∴,.
下面應對與1的大小進行討論．
當時，；
當時，；
當時，．
例24：已知雙曲線過點，，一個焦點是拋物線的焦點，求它的另一個焦點到軸距離的最大值．
分析：暫時看不出需對誰進行分類討論，不妨先解下去——
由定義．
這樣我們就清楚了，要繼續運算下去，必須對絕對值分類討論．
①，即
，而，故點軌跡為連結、兩點的中垂線；
②，即
,故點軌跡為橢圓，其方程為．
綜上，所求最大值為6．
評注：有些問題，分類討論是在解題過程中產生的，自然流暢．

成都玉林中學
楊 柳 青
①扎實的基礎知識；
②熟練的基本技能；
③在長年累月的刻苦鉆研中培養起來的數學能力；
④臨場的發揮．
一、提前進入“角色”
1．清點用具是否齊全
2．把一些基本數據、常用公式、重要定理“過過電影”
3．最后看一眼難記易忘的結論
4．互問互答一些不太復雜的問題
二、迅速摸清“題情”
從頭到尾、正面反面通覽全卷
1．順利解答一眼看得出結論的簡單選擇題或填空題
2．不能立即作答的題目，一面通覽，一面粗略分為兩類：、
三、五先五后
五先五后是：
1．先易后難
2．先熟后生
3．先高（分）后低（分）
4．先同后異
5．先小后大
防止“高分題久攻不下，低分題無暇顧及”
四、一慢一塊
審題要慢，做題要快
審題要逐字逐句看清楚，力求從語法結構、邏輯關系、數學含義等各方面真正看懂題意，弄清條件是什么？結論是什么？分別與哪些知識聯系？
書寫簡明扼要，快速規范—寫出得分點
高考允許合理省略非關鍵步驟
例：（06年四川卷17題）已知是三內角，向量，，且．
（Ⅰ）求角；
（Ⅱ）若，求．
解：∵，
∴=1, ①
，②
即 ③ 2分
， ④
， ⑤
∴ ⑥ 4分
∵，
∴，⑦ 5分
∴，
∴.?、? 6分
為提高書寫效率，應盡量使用數學語言、集合符號，還應盡量用充分必要條件
五、分段得分
“分段評分”
“踩點給分”—踩上要考查的知識點就給分，踩得多就多給分
“分段得分”是高考“分段評分”的邏輯必然
“分段得分”的基本精神是：
會做的題目力求不失分
部分理解的題目力爭多得分
1．會做的題目，要解決“會而不對，對而不全”
“做不出來的題目得一二分易，做得出來的題目得滿分難”
2．把解題的真實過程原原本本表達出來，是分段得分的全部秘密
五條意見：
①缺步解答
“大題拿小分”
如：直線與圓錐曲線的關系問題中，聯立消元得到關于的一元二次方程后，一定不要急于解答，應該檢查此方程是否正確，準確無誤后再往下走，這樣即使答案不對，還可以得很多分，如果所得二次方程錯誤，即使再往下寫了很多也得不到分.
②跳步解答
“中途點”
“證實某步之后，繼而有……”
“事實上，某步可證明如下”
有時中間的跳躍失分并不多
第一問作“已知”，“先做第二問”
③退步解答
“以退求進”
“難的不會做簡單的”
④倒步解答
“正難則反”
⑤輔助解答
如：準確作圖；
把題目中的條件翻譯成數學表達式；
設應用題的未知數；
設極值題的變量；
設軌跡題的動點坐標；
進行數學歸納法或反證法的第一步等.
“書寫要工整，卷面能得分”
書寫認真—學習認真—成績優良—給分偏高.
“大膽猜測”
六、以快為上
每道選擇題應在一二分種內解決
“潛在丟分”或“隱含失分”.
防止“小題大做”，
客觀性試題與主觀性試題的時間比為4:6.
例：方程的解是 .
七、立足中下題目，力爭高上水平
必須分分必爭
八、立足一次成功，重視復查環節
立足于一次成功，提高成功率，穩扎穩打，字字有據，步步準確.
九、內緊外松
精神高度集中，思維異常積極，叫做內緊；
清醒、沉著、愉快、放得開，叫做外松.
十、幾點注意
1．要告誡學生，填空題得分只有完全對才得分，因此答案必須完整、正確.
2．要讓學生明白高考題若越簡單，評分就越嚴；若越難，評分就越松.

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