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/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第02講 常用邏輯用語
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 函數單調性的判斷和應用 (2) 函數奇偶性及其應用 (3) 函數對稱性和周期性及其應用 2024年I卷，5分 2024年天津卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年I卷，5分 2023年II卷，5分 2023年甲卷，5分 2023年乙卷，5 分 2022年II卷，5 分 2022年乙卷，5分 2021年I卷，5 分 2021年II卷，5 分 2021年甲卷，5分 2021年乙卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大，是新高考必考內容； （2）重點是會判斷函數的單調性，能夠利用函數的單調性求最值，了解奇偶性的概念和意義，會運用函數圖象理解和研究函數的奇偶性，了解周期性的概念和意義.會判斷、應用簡單函數的周期性解決問題，能綜合運用函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性等解決相關問題； （3）注意以抽象函數作為載體，考查函數的單調性、奇偶性、周期性及對稱性，是新高考一輪復習的重點內容.
(
考試要求
小
)
1、借助函數圖像，會用數學符號語言表達函數的單調性、最值，理解實際意義；
2、掌握單調性的簡單應用；
3、了解函數奇偶性的含義，了解函數的周期性及其幾何意義；
4、會根據函數的性質進行簡單的應用；
5、能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論；
6、會利用對稱公式解決問題。
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:函數的單調性與最值
一、函數的單調性
1、單調函數的定義
（1）增函數：設函數的定義域為，區間，若，當時，都有，則稱函數在區間上單調遞增.
（2）增函數：設函數的定義域為，區間，若，當時，都有，則稱函數在區間上單調遞減.
2、單調區間的定義
若函數在區間上單調遞增或單調遞減，則函數在這一區間具有單調性，區間叫做的單調遞增區間或單調遞減區間，統稱為單調區間.
二、函數的最值
最大值：設函數的定義域為，若滿足都有且使得，則為的最大值；
最小值：設函數的定義域為，若滿足都有且使得，則為的最小值；
三、函數單調性的判斷
定義法：且，有或
在區間上單調遞增（減）；即與同號為增，異號為減；
2、函數加法的單調性判斷：在公共定義域內，增函數+增函數=增函數，減函數+減函數=減函數；
3、函數的相反數和倒數的單調性判斷：函數或在公共定義域內與的單調性相反；
4、復合函數的單調性：“同增異減”，
即復合函數，若與的單調性相同，則為增函數；
若復合函數，若與的單調性相反，則為減函數；
知識點2:函數的奇偶性及其應用
一、函數的奇偶性
1、奇函數和偶函數的定義
（1）偶函數：設函數的定義域為，若，都有，即定義域關于原點對稱，且，則稱函數為偶函數；
（2）奇函數：設函數的定義域為，若，都有，即定義域關于原點對稱，且，則稱函數為奇函數.
2、奇函數和偶函數的圖象特點
（1）偶函數：關于軸對稱；
（2）奇函數：關于原點對稱.
3、函數奇偶性運算性質
（1）奇×奇偶 （2）偶×偶偶 （3）奇×偶奇
（4）奇奇奇 （5）偶偶偶 （6）奇偶無法確定
推論：定義，注意（，并且具有奇偶性），若為這個函數中奇函數的個數，則
4、復合函數的奇偶性
若函數，保證定義域關于原點對稱，則：“有偶則偶”.
外層函數 奇函數 奇函數 偶函數 偶函數
內層函數 奇函數 偶函數 奇函數 偶函數
復合函數 奇函數 偶函數 偶函數 偶函數
【注意】“有偶則偶”的適用范圍：
（1）內外層函數同時具有奇偶性；（2）只要內層函數為偶函數則一定為偶函數；
二、奇偶性的重要性質
1、若奇函數的定義域包含原點，則必有；
2、一般情況下，奇函數的反函數仍然是奇函數，偶函數的反函數是非奇非偶；
3、即是奇函數又是偶函數的函數是，這是一類函數；
4、任何一個定義域關于原點對稱的函數都可以寫成一個奇函數與一個偶函數和的形式：
；
5、奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數；
6、是函數為偶函數的充要條件；
7、與奇偶性的關系：
（1）為偶函數
（2）為偶函數
（3）為奇函數
（4）為奇函數
（5）為奇函數
8、定義在上的函數，
（1）若函數為奇函數，則偶次冪函數系數為0；
（2）若函數為偶函數，則奇次冪函數系數為0；
9、奇函數的最大值和最小值之和為0；
三、奇函數偶函數常見模型
1、奇函數模型
函數模型 具體舉例
（1）特殊復合型
（2）分數指數型
（3）對數分數型
（4）對數根式型
（5）雙絕對值型
2、偶函數模型
函數模型 具體舉例
（1）特殊復合型
（2）特殊二次函數型
（3）對數二倍型
（4）雙絕對值型
知識點3:函數的對稱性與周期性及其應用
一、函數的周期性
1、周期函數
設函數的定義域為，若存在一個非零常數，使得，都有，且，則稱函數為周期函數，非零常數叫做這個函數的周期；
核心公式：
2、最小正周期
若周期函數的所有周期中存在一個最小的正數，則這個最小的正數就叫做的最小正周期；
3、周期重要結論
與關系推導出的周期結論：
關系式 周期
二、函數的對稱性
1、奇函數、偶函數的對稱性
（1）奇函數關于對稱，偶函數關于對稱；
（2）若是偶函數，則函數圖象的對稱軸為；
若是奇函數，則函數圖象的對稱中心為；
推廣：
若是偶函數，則函數圖象的對稱軸為；
若是奇函數，則函數圖象的對稱中心為；
2、單個函數對稱性：“同號對稱軸，異號對稱中心”
（1） （2）
3、兩個函數的對稱性：“取相等”
關系式 周期
與
與
與
與
與
與
與
與
三、與對稱性有關的周期結論
1、單個函數的對稱性與周期的關系
定義在上的函數：
滿足條件 結論
（1）有兩個對稱軸 為周期函數，最小正周期為：
（2）有兩個對稱中心 為周期函數，最小正周期為：
（3）一個對稱中心和一個對稱軸 為周期函數，最小正周期為：
2、兩個函數的周期關系
若和分別是周期為的周期函數，則為周期函數；
不是所有函數都有最小正周期，比如常函數；
3、對稱性和周期性的一般關系式總結：
（1）看：同號周期，異號對稱
（2）看：同號對稱軸，異號對稱中心
關系式 結論
對稱軸：
對稱中心：
周期：
(
題型展示
小
)
題型一:函數的單調性與最值
【例1】設函數，則是（ ）
A．奇函數，且在（0,1）上是增函數 B．奇函數，且在（0,1）上是減函數
C．偶函數，且在（0,1）上是增函數 D．偶函數，且在（0,1）上是減函數
【答案】A
【詳解】
先求函數的定義域為，解得，
，函數的奇函數，
由對數性質：，令，
設，，即，
函數為單調遞增函數，在上增函數，答案為A.
【變式1】下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
對A，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，故A錯；
對B， 在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，故B錯；
對C， 在上單調遞減，在上單調遞減， 在上單調遞增，故C正確；
對D，因為，，在上不單調，D錯.答案為C.
【例2】（2023·全國甲卷）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
令，則開口向下，對稱軸為，
，而，
，即
由二次函數性質得，
，而，
即，，綜上可得，，
又為增函數，故，即.答案為A.
【變式2】設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
是R的偶函數，．
，又在(0，+∞)單調遞減，
，，答案為C．
題型二:函數的奇偶性及其應用
【例3】（2024·天津）下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
對A，設，函數定義域為，但，，則，故A錯誤；
對B，設，函數定義域為，，則為偶函數，故B正確；
對C，設，函數定義域為，不關于原點對稱， 則不是偶函數，故C錯誤；
對D，設，函數定義域為，因為，，
則，則不是偶函數，故D錯誤.答案為B.
【變式3】下列函數為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
對A：函數是非奇非偶函數；
對B、C：和是偶函數；
對D：，是奇函數，答案為D．
【例4】設是定義域為R的奇函數，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
，
而，故.答案為C.
【變式4】若定義在的奇函數在單調遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
定義在上的奇函數在上單調遞減，且，
在上也是單調遞減，且，，
當時，，當時，，
由可得：
或或解得或，的取值范圍是，答案為D.
題型三:函數的對稱性與周期性及其應用
【例5】已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【詳解】
方法1 賦值法
，令可得，，
，令可得，，即，
函數為偶函數，令得，，
即有，則 ，，
故，即，的一個周期為．
，，，，，
一個周期內的．由于22除以6余4，
．答案為A．
方法2 構造函數法
（1）根據抽象函數表達式聯想到常見函數的性質，構造出具體的符合條件的函數：
由，
聯想到余弦函數和差化積公式，
可設，由方法1中知，解得，取，，則
，
符合條件，
（2）直接使用具體函數的性質解題：
的周期，，且，，
22除以6余4，
．答案為A．
【變式5】已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
（1）先根據奇函數性質以及對稱性確定函數周期：
是定義域為的奇函數，且，
,
（2）據周期以及對應函數值求結果：
，
，，
，，答案為C.
【例6】已知函數，則（）
A．的最小值為2 B．的圖象關于y軸對稱
C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于直線對稱
【答案】D
【詳解】
可以為負，A錯；
關于原點對稱；
故B錯；
關于直線對稱，故C錯，D對，答案為D.
【變式6】已知函數，則（ ）
A．在單調遞增 B．在單調遞減
C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像關于點對稱
【答案】C
【詳解】
，
的圖象關于直線對稱，故C正確，D錯；
又（）
由復合函數的單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，
A，B錯誤，答案為C．
【例7】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】
方法1：對稱性和周期性的關系
對，為偶函數， 即①，
，關于對稱，則，故C正確；
對，為偶函數，，，關于對稱，由①求導，和，得 ，
，關于對稱，
其定義域為R，，結合關于對稱，周期，
，，故B正確，D錯；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，無法確定的函數值，故A錯.答案為BC.
方法2 特殊值，構造函數法.
由方法1知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.答案為BC.
【變式7】設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
是奇函數，①，
關于點中心對稱；
是偶函數，②，
關于對稱；
根據周期是相鄰的一個對稱中心橫坐標和一條對稱軸之差的絕對值的4倍，
可得：的周期．
令，由①得：，由②得：，
，，
令，由①得：，．
．答案為D．
(
考場演練
)
題型1 函數的單調性與最值
【真題1】（2024·全國Ⅰ）已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
在上單調遞增，且時，單調遞增，
根據二次函數的性質和分界點的大小關系即可得到不等式組，
，解得，即a的范圍是.答案為B.
【真題2】（2023·北京）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
對A，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，故A錯；
對B， 在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞減，故B錯；
對C， 在上單調遞減，在上單調遞減， 在上單調遞增，故C正確；
對D，因為，，在上不單調，D錯.答案為C.
【真題3】（2023·全國甲卷）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
令，則開口向下，對稱軸為，
，而，
，即
由二次函數性質得，
，而，
即，，綜上可得，，
又為增函數，故，即.答案為A.
【真題4】（2023·全國新Ⅰ卷）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
利用指數型復合函數單調性：
函數在R上單調遞增， 在上單調遞減，
在上單調遞減， ，解得，的取值范圍是.答案為D.
【真題5】（2021·全國甲卷）下列函數中是增函數的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
對A，為上的減函數，錯；
對B，為上的減函數，錯；
對C，在為減函數，錯；
對D，為上的增函數，符合題意，答案為D.
題型2 函數的奇偶性
【真題6】（2024·天津）下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
對A，設，函數定義域為，但，，則，故A錯誤；
對B，設，函數定義域為，，則為偶函數，故B正確；
對C，設，函數定義域為，不關于原點對稱， 則不是偶函數，故C錯誤；
對D，設，函數定義域為，因為，，
則，則不是偶函數，故D錯誤.答案為B.
【真題7】（2024·上海）已知，，且是奇函數，則 ．
【答案】
【詳解】
是奇函數，故即，故，答案為.
【真題8】（2023·全國甲卷）若為偶函數，則 ．
【答案】2
【詳解】
為偶函數，定義域為，
，即，
則，故，
此時，
，又定義域為，故為偶函數，
.答案為2.
【真題9】（2023·全國乙卷）已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【詳解】
為偶函數，
，
不恒為0，
，即，則，即，解得.答案為D.
【真題10】（2023·全國新Ⅱ卷）若為偶函數，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
【答案】B
【詳解】
為偶函數，則
，解得，
當時，，，解得或，
則其定義域為或關于原點對稱.
，故此時為偶函數.答案為B.
【真題11】（2022·全國乙卷）若是奇函數，則 ， ．
【答案】；．
【詳解】
方法1 奇函數定義域的對稱性
若，則的定義域為，不關于原點對稱
若奇函數的有意義，則且
且，
函數為奇函數，定義域關于原點對稱，
，解得，
由得，，
，故答案為；．
方法2 函數的奇偶性求參
函數為奇函數
題型3 函數的對稱性與周期性
【真題12】（2022·全國Ⅱ）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【詳解】
方法1 賦值法
，令可得，，
，令可得，，即，
函數為偶函數，令得，，即有，則 ，，
故，即，的一個周期為．
，，，，，
一個周期內的．由于22除以6余4，
．答案為A．
方法2 構造函數法
（1）根據抽象函數表達式聯想到常見函數的性質，構造出具體的符合條件的函數：
由，
聯想到余弦函數和差化積公式，
可設，由方法1中知，解得，取，，則
，
符合條件，
（2）直接使用具體函數的性質解題：
的周期，，且，，
22除以6余4，
．答案為A．
【真題13】（2021·全國新Ⅱ卷）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
為偶函數，，可得，
為奇函數，，（形式的變換）
，即，
是以為周期的周期函數，
為奇函數，則，
，其它三個選項未知.答案為B.
【真題14】（2021·全國甲卷）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
是奇函數，①，
關于點中心對稱；
是偶函數，②，
關于對稱；
根據周期是相鄰的一個對稱中心橫坐標和一條對稱軸之差的絕對值的4倍，
可得：的周期．
令，由①得：，由②得：，
，，
令，由①得：，．
．答案為D．
【真題15】（2024·全國新Ⅱ卷）（多選）設函數，則（ ）
A．當時，有三個零點 B．當時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸 D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
【答案】AD
【詳解】
對A：，，
時，在上單調遞增，
當時，，單調遞減，
在處取到極大值，在處取到極小值，
，，，
根據零點存在定理在上有一個零點，
又，，則，
在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A正確；
對B：，，
，單調遞減，
時，單調遞增，在處取到極小值，B錯；
對C：假設存在這樣的，使得為的對稱軸，
即存在這樣的使得，即，
根據二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，
等式左右兩邊的系數都不相等，原等式不可能恒成立，
故不存在這樣的，使得為的對稱軸，C錯；
對D：方法一：利用對稱中心的表達式化簡
，若存在這樣的，使得為的對稱中心，
則，
，
即，解得，即存在使得是的對稱中心，D正確.
方法二：直接利用拐點結論
任何三次函數都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數的零點，
，，，
由，該三次函數的對稱中心為，
由題意也是對稱中心，故，
即存在使得是的對稱中心，D正確.答案為AD
【真題16】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】
方法1：對稱性和周期性的關系
對，為偶函數， 即①，
，關于對稱，則，故C正確；
對，為偶函數，，，關于對稱，由①求導，和，得 ，
，關于對稱，
其定義域為R，，結合關于對稱，周期，
，，故B正確，D錯；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，無法確定的函數值，故A錯.答案為BC.
方法2 特殊值，構造函數法.
由方法1知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.答案為BC.
【真題17】（2022·全國乙卷）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
的圖像關于直線對稱，
，
，，即，
，，
代入得，即，
，.
，，即，.
，，又，
聯立得，，
的圖像關于點中心對稱，函數的定義域為R，
，.
答案為D.
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第02講 常用邏輯用語
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考綱導向
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考點要求 考題統計 考情分析
(1) 函數單調性的判斷和應用 (2) 函數奇偶性及其應用 (3) 函數對稱性和周期性及其應用 2024年I卷，5分 2024年天津卷，5分 2024年上海卷，5分 2023年I卷，5分 2023年II卷，5分 2023年甲卷，5分 2023年乙卷，5 分 2022年II卷，5 分 2022年乙卷，5分 2021年I卷，5 分 2021年II卷，5 分 2021年甲卷，5分 2021年乙卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題為主，考查內容、頻率、題型、難度均變化不大，是新高考必考內容； （2）重點是會判斷函數的單調性，能夠利用函數的單調性求最值，了解奇偶性的概念和意義，會運用函數圖象理解和研究函數的奇偶性，了解周期性的概念和意義.會判斷、應用簡單函數的周期性解決問題，能綜合運用函數的奇偶性、單調性、周期性、對稱性等解決相關問題； （3）注意以抽象函數作為載體，考查函數的單調性、奇偶性、周期性及對稱性，是新高考一輪復習的重點內容.
(
考試要求
小
)
1、借助函數圖像，會用數學符號語言表達函數的單調性、最值，理解實際意義；
2、掌握單調性的簡單應用；
3、了解函數奇偶性的含義，了解函數的周期性及其幾何意義；
4、會根據函數的性質進行簡單的應用；
5、能通過平移，分析得出一般的軸對稱和中心對稱公式和推論；
6、會利用對稱公式解決問題.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
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知識點1:函數的單調性與最值
一、函數的單調性
1、單調函數的定義
（1）增函數：設函數的定義域為，區間，若，當時，都有 ，則稱函數在區間上 .
（2）增函數：設函數的定義域為，區間，若，當時，都有 ，則稱函數在區間上 .
2、單調區間的定義
若函數在區間上單調遞增或單調遞減，則函數在這一區間具有單調性，區間叫做的 或 ，統稱為單調區間.
二、函數的最值
最大值：設函數的定義域為，若滿足都有且使得，則為的 ；
最小值：設函數的定義域為，若滿足都有且使得，則為的 ；
三、函數單調性的判斷
定義法：且，有或
在區間上單調遞增（減）；即與同號為增，異號為減；
2、函數加法的單調性判斷：
在公共定義域內，增函數+增函數= ，減函數+減函數= ；
3、函數的相反數和倒數的單調性判斷：
函數或在公共定義域內與的單調性 ；
4、復合函數的單調性： ，
即復合函數，若與的單調性相同，則為增函數；
若復合函數，若與的單調性相反，則為減函數；
知識點2:函數的奇偶性及其應用
一、函數的奇偶性
1、奇函數和偶函數的定義
（1）偶函數：設函數的定義域為，若，都有，即定義域關于原點對稱，且，則稱函數為 ；
（2）奇函數：設函數的定義域為，若，都有，即定義域關于原點對稱，且，則稱函數為 .
2、奇函數和偶函數的圖象特點
（1）偶函數：關于 對稱；
（2）奇函數：關于 對稱.
3、函數奇偶性運算性質
（1）奇×奇 , （2）偶×偶 , （3）奇×偶奇
（4）奇奇 , （5）偶偶 , （6）奇偶無法確定
推論：定義，注意（，并且具有奇偶性），若為這個函數中奇函數的個數，則
4、復合函數的奇偶性
若函數，保證定義域關于原點對稱，則：“有偶則偶”.
外層函數 奇函數 奇函數 偶函數 偶函數
內層函數 奇函數 偶函數 奇函數 偶函數
復合函數 奇函數 , 偶函數 ,
【注意】“有偶則偶”的適用范圍：
（1）內外層函數同時具有奇偶性；（2）只要內層函數為偶函數則一定為 ；
二、奇偶性的重要性質
1、若奇函數的定義域包含原點，則必有 ；
2、一般情況下，奇函數的反函數仍然是 ，偶函數的反函數是非奇非偶；
3、即是奇函數又是偶函數的函數是，這是一類函數；
4、任何一個定義域關于原點對稱的函數都可以寫成一個奇函數與一個偶函數和的形式：
；
5、奇函數的導數是 ，偶函數的導數是 ；
6、是函數為偶函數的充要條件；
7、與奇偶性的關系：
（1）為偶函數
（2）為偶函數
（3）為奇函數 ,
（4）為奇函數 ,
（5）為奇函數
8、定義在上的函數，
（1）若函數為奇函數，則偶次冪函數系數為 ；
（2）若函數為偶函數，則 函數系數為0；
9、奇函數的最大值和最小值之和為0；
三、奇函數偶函數常見模型
1、奇函數模型
函數模型 具體舉例
（1）特殊復合型
（2）分數指數型
（3）對數分數型
（4）對數根式型
（5）雙絕對值型
2、偶函數模型
函數模型 具體舉例
（1）特殊復合型
（2）特殊二次函數型
（3）對數二倍型
（4）雙絕對值型
知識點3:函數的對稱性與周期性及其應用
一、函數的周期性
1、周期函數
設函數的定義域為，若存在一個非零常數，使得，都有，且，則稱函數為 ，非零常數叫做這個函數的 ；
核心公式： .
2、最小正周期
若周期函數的所有周期中存在一個 ，則這個最小的正數就叫做的最小正周期；
3、周期重要結論
與關系推導出的周期結論：
關系式 周期
,
二、函數的對稱性
1、奇函數、偶函數的對稱性
（1）奇函數關于對稱，偶函數關于對稱；
（2）若是偶函數，則函數圖象的對稱軸為；
若是奇函數，則函數圖象的對稱中心為；
推廣：
若是偶函數，則函數圖象的對稱軸為 ；
若是奇函數，則函數圖象的對稱中心為 ；
2、單個函數對稱性：“同號對稱軸，異號對稱中心”
（1） （2）
3、兩個函數的對稱性：“取相等”
關系式 周期
與
與
與
與
與 ,
與
與
與
三、與對稱性有關的周期結論
1、單個函數的對稱性與周期的關系
定義在上的函數：
滿足條件 結論
（1）有兩個對稱軸 為周期函數，最小正周期為：
（2）有兩個對稱中心 為周期函數，最小正周期為： ;
（3）一個對稱中心和一個對稱軸 為周期函數，最小正周期為：
2、兩個函數的周期關系
若和分別是周期為的周期函數，則為周期函數；
不是所有函數都有最小正周期，比如 ；
3、對稱性和周期性的一般關系式總結：
（1）看：同號周期，異號對稱
（2）看：同號對稱軸，異號對稱中心
關系式 結論
對稱軸：
對稱中心：
周期：
(
題型展示
小
)
題型一:函數的單調性與最值
【例1】設函數，則是（ ）
A．奇函數，且在（0,1）上是增函數 B．奇函數，且在（0,1）上是減函數
C．偶函數，且在（0,1）上是增函數 D．偶函數，且在（0,1）上是減函數
【變式1】下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2023·全國甲卷）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2】設是定義域為的偶函數，且在單調遞減，則（ ）
A． B．
C． D．
題型二:函數的奇偶性及其應用
【例3】（2024·天津）下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】下列函數為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
【例4】設是定義域為R的奇函數，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4】若定義在的奇函數在單調遞減，且，則滿足的x的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型三:函數的對稱性與周期性及其應用
【例5】已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【變式5】已知是定義域為的奇函數,滿足.若，則（ ）
A． B． C． D．
【例6】已知函數，則（）
A．的最小值為2 B．的圖象關于y軸對稱
C．的圖象關于直線對稱 D．的圖象關于直線對稱
【變式6】已知函數，則（ ）
A．在單調遞增 B．在單調遞減
C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像關于點對稱
【例7】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7】設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
(
考場演練
)
題型1 函數的單調性與最值
【真題1】（2024·全國Ⅰ）已知函數在R上單調遞增，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題2】（2023·北京）下列函數中，在區間上單調遞增的是（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2023·全國甲卷）已知函數．記，則（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2023·全國新Ⅰ卷）設函數在區間上單調遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題5】（2021·全國甲卷）下列函數中是增函數的為（ ）
A． B． C． D．
題型2 函數的奇偶性
【真題6】（2024·天津）下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【真題7】（2024·上海）已知，，且是奇函數，則 ．
【真題8】（2023·全國甲卷）若為偶函數，則 ．
【真題9】（2023·全國乙卷）已知是偶函數，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【真題10】（2023·全國新Ⅱ卷）若為偶函數，則（ ）．
A． B．0 C． D．1
【真題11】（2022·全國乙卷）若是奇函數，則 ， ．
題型3 函數的對稱性與周期性
【真題12】（2022·全國Ⅱ）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【真題13】（2021·全國新Ⅱ卷）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【真題14】（2021·全國甲卷）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【真題15】（2024·全國新Ⅱ卷）（多選）設函數，則（ ）
A．當時，有三個零點 B．當時，是的極大值點
C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸 D．存在a，使得點為曲線的對稱中心
【真題16】（2022·全國新Ⅰ卷）（多選）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【真題17】（2022·全國乙卷）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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