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2.6一元二次方程的運(yùn)用-動(dòng)點(diǎn)問題
動(dòng)點(diǎn)問題經(jīng)常會與三角形及四邊形的面積關(guān)系有關(guān)，主要要熟悉動(dòng)點(diǎn)與各邊的關(guān)系與面積公式。
1．（23-24八年級下·山東泰安·期末）如圖，已知長方形的邊長，，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問：
(1)經(jīng)過多長時(shí)間，的長為？
(2)經(jīng)過多長時(shí)間，的面積等于長方形面積的？
2．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)先到達(dá)端點(diǎn)停止時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為．
(1)當(dāng)　　時(shí)，四邊形為平行四邊形；
(2)當(dāng)時(shí)，求t的值．
3.（23-24九年級上·廣東佛山·期中） 如圖所示，在中，，，，點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)移動(dòng)；點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)移動(dòng)．如果點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，問：
(1)經(jīng)過_____________________秒后，的面積等于？
(2)經(jīng)過幾秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是？
4．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B點(diǎn)為止，點(diǎn)Q以的速度向D點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1) ， ， ， （用含t的代數(shù)式表示）；
(2)t為多少時(shí)，四邊形的面積為；
(3)t為多少時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離為．
1.（23-24九年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以厘米秒的速度向終點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)以厘米秒的速度向移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，問：
(1)當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)距離是？
(2)當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形．
5.（23-24九年級·海南海口·階段練習(xí)）如圖，是邊長為的等邊三角形．動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)的速度為，動(dòng)點(diǎn)的速度為．設(shè)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)當(dāng)為何值時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)第一次相遇；
(2)從出發(fā)到第一次相遇這一過程中，當(dāng)為何值時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形的面積為？
6.．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上．
(1)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為________；
(2)矩形的頂點(diǎn)分別軸，軸上．
①當(dāng)，時(shí)，求矩形的面積；
②若使矩形的面積為4的點(diǎn)恰好有4個(gè)，試求的取值范圍．
7.（23-24九年級·上海·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)從開始沿邊向以每秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從開始沿邊向以每秒的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)求證：當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；
(2)是否可能平分對角線？若能，求出當(dāng)為何值時(shí)平分；若不能，請說明理由；
(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．
8．如圖，在中，，，，點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)以的速度向終點(diǎn)勻速移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)以/的速度向終點(diǎn)勻速移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．
(1)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，的面積為多少？
(2)點(diǎn)移動(dòng)多少秒時(shí)，的面積為？
(3)在點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)過程中，的面積是否會達(dá)到？為什么？
9．如圖，一艘輪船以的速度沿既定航線由南向北航行，途中接到臺風(fēng)警報(bào)，某臺風(fēng)中心正以的速度由東向西移動(dòng)，距臺風(fēng)中心的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風(fēng)影響區(qū)，當(dāng)這艘輪船接到臺風(fēng)警報(bào)時(shí)，它與臺風(fēng)中心的距離，此時(shí)臺風(fēng)中心與輪船既定航線的最近距離．
(1)如果這艘輪船不改變航向，經(jīng)過10小時(shí)，輪船與臺風(fēng)中心相距多遠(yuǎn)？它此時(shí)是否受到臺風(fēng)影響？
(2)如果這艘船不改變航向，那么它會不會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)？請說明理由；
(3)如果你認(rèn)為這艘輪船會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)，那么從接到警報(bào)開始，經(jīng)過多長時(shí)間它就會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)？
(4)假設(shè)輪船航向不變，輪船航行速度不變，求受到臺風(fēng)影響的時(shí)間為多少小時(shí)？
10．已知是等腰直角三角形，．

(1)當(dāng)時(shí)，
①如圖①，將直角的頂點(diǎn)D放至的中點(diǎn)處，與兩條直角邊分別交于點(diǎn)E、F，請說明為等腰直角三角形；
②如圖②，將直角頂點(diǎn)D放至邊的某處，與另兩邊的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，若為等腰直角三角形且面積為4，求的長．
(2)若等腰直角三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰直角的三邊上，等腰直角的直角邊長為1時(shí)，求等腰直角的直角邊長的最大值．
11．如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿著折線先由A向D運(yùn)動(dòng)，再由D向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度由B向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)兩平行線與之間的距離是__________．
(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q與的某兩個(gè)頂點(diǎn)圍成一個(gè)平行四邊形時(shí)，求t的值．
(3)，以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，若的面積為，求t的值．
1.（2023春 鄞州區(qū)期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B移動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿線段BC向點(diǎn)C移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．若使△PBQ的面積為5cm2，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（　　）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
2.（2023春 西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若△PBQ的面積等于4cm2，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（　　）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
3.（2024春 沈陽期中）如圖，AO＝BO＝6厘米，OC是一條射線，OC⊥AB．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A以1厘米/秒的速度向點(diǎn)B爬行，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O以2厘米/秒的速度沿射線OC方向爬行，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，經(jīng)過 　 　秒，△POQ的面積為8平方厘米．
5.（2023秋 仁壽縣期末）如圖，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向終點(diǎn)C以1個(gè)單位長度/s移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向終點(diǎn)A以2個(gè)單位長度/s移動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止，則（　　）秒后，△PCQ的面積等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
6.（2023春 蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2？若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．
7.（2023秋 澄邁縣期末）如圖，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．
（1）經(jīng)過ts后（t＞0），△PBQ的面積等于4cm2，求t的值；
（2）經(jīng)過ts后，（t＞0），PQ的長度為5cm，求t的值；
（3）△PBQ的面積能否等于8cm2？
8.（23-24九年級·湖南永州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)．如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)填空：_____，_____；（用含t的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的長度等于？
(3)是否存在t的值，使得四邊形的面積等于？若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．
9.（2023春 和平區(qū)校級期中）如圖A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B點(diǎn)為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）t為多少時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2；
（3）t為多少時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離為10cm．
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2.6一元二次方程的運(yùn)用-動(dòng)點(diǎn)問題
動(dòng)點(diǎn)問題經(jīng)常會與三角形及四邊形的面積關(guān)系有關(guān)，主要要熟悉動(dòng)點(diǎn)與各邊的關(guān)系與面積公式。
1．（23-24八年級下·山東泰安·期末）如圖，已知長方形的邊長，，某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向以的速度向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，問：
(1)經(jīng)過多長時(shí)間，的長為？
(2)經(jīng)過多長時(shí)間，的面積等于長方形面積的？
【答案】(1)經(jīng)過或之后，的長為cm；
(2)秒或秒．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
（）設(shè)經(jīng)過后，則，，，然后由勾股定理列出方程，然后解方程即可；
（）設(shè)經(jīng)過秒，由題意得，，，由的面積等于長方形面積的，列出方程，然后解方程即可；
【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過后，則，，，的長為cm，
根據(jù)題意，由勾股定理得：，
即，
解得：，，
答：經(jīng)過或之后，的長為cm；
（2）設(shè)經(jīng)過秒，的面積等于矩形面積的，
由題意得，，，
∵矩形中，，，
∴，，
∴矩形的面積為：，
∴的面積，
整理得：，
解得，，
答：經(jīng)過秒或秒，的面積等于長方形面積的．
2．（2024九年級上·全國·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以的速度向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．規(guī)定其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)先到達(dá)端點(diǎn)停止時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為．
(1)當(dāng)　　時(shí)，四邊形為平行四邊形；
(2)當(dāng)時(shí)，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，由四邊形為平行四邊形，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，，由，利用勾股定理，可得出，進(jìn)而可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，
根據(jù)題意得：，
∴，
解得：，
∴當(dāng)時(shí)，四邊形為平行四邊形．
故答案為：；
（2）解：∵，，
∴，
過點(diǎn)作于點(diǎn)，則，如圖所示，
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，
根據(jù)題意得：，
∴，
整理得：，
解得：，，
答：的值為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)與線段數(shù)量關(guān)系，平行四邊形的性質(zhì)，解一元一次方程，一元二次方程，勾股定理的綜合運(yùn)用，掌握以上知識，圖形結(jié)合分析思想是解題的關(guān)鍵．
3.（23-24九年級上·廣東佛山·期中） 如圖所示，在中，，，，點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)移動(dòng)；點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)，沿邊以的速度向點(diǎn)移動(dòng)．如果點(diǎn)，分別從點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，問：
(1)經(jīng)過_____________________秒后，的面積等于？
(2)經(jīng)過幾秒后，P，Q兩點(diǎn)間距離是？
【答案】(1)2或4
(2)秒
【分析】本題是一元二次方程的應(yīng)用題，屬于常考題型，正確理解題意列出方程、熟練掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)秒后，面積為，用含x的代數(shù)式表示出和，然后根據(jù)三角形的面積可得關(guān)于x的方程，解方程即可求出結(jié)果；
（2）設(shè)秒后，，兩點(diǎn)間距離是，根據(jù)勾股定理可得關(guān)于t的方程，解方程即得結(jié)果．
【詳解】（1）解：設(shè)秒后，面積為，則，，
由可得，
解得，；
答：經(jīng)過2秒或4秒后，面積為．
（2）解：設(shè)秒后，，兩點(diǎn)間距離是，
由勾股定理，得，即，
解得：（舍去）；
答：秒后，，兩點(diǎn)間距離是．
4．（2024九年級上·江蘇·專題練習(xí)）如圖A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B點(diǎn)為止，點(diǎn)Q以的速度向D點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．
(1) ， ， ， （用含t的代數(shù)式表示）；
(2)t為多少時(shí)，四邊形的面積為；
(3)t為多少時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離為．
【答案】(1)；；；
(2)當(dāng)t為5時(shí)，四邊形的面積為．
(3)當(dāng)t為或時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離為10cm
【分析】（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t s時(shí)，根據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)方向及運(yùn)動(dòng)速度，即可用含t的代數(shù)式表示出各線段的長度；
（2）利用梯形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，利用勾股定理，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為時(shí)，，，，．
故答案為：；；；．
（2）依題意得：，
整理得：，
解得：．
答：當(dāng)t為5時(shí)，四邊形的面積為．
（3）過點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，如圖所示．
依題意得：，
即，
解得，．
答：當(dāng)t為或時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離為．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各線段之間的關(guān)系，用含t的代數(shù)式表示出各線段的長度；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
1.（23-24九年級·江蘇蘇州·階段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)，分別從點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以厘米秒的速度向終點(diǎn)移動(dòng)，點(diǎn)以厘米秒的速度向移動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，問：
(1)當(dāng)為何值時(shí)，點(diǎn)和點(diǎn)距離是？
(2)當(dāng)為何值時(shí)，以點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形是以為腰的等腰三角形．
【答案】(1)，；
(2)，，．
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，矩形的性質(zhì)；
（1）作于E，則四邊形是矩形，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解；
（2）當(dāng)時(shí)，作于E，在中，由勾股定理，得，解方程，即可求解．當(dāng)時(shí)，作于E，可得，解方程，即可求解．
【詳解】（1）解：如圖1，作于E，
∴，∵
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
當(dāng)時(shí)，圖（1）滿足，
當(dāng)時(shí)，圖（2）滿足，
綜上所述：，；
（2）如圖3，當(dāng)時(shí)，作于E，
∴∵，
∴四邊形是矩形，
∴，，
∵，，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理，得，
解得：，，
如圖4，當(dāng)時(shí)，作于E，
∴，．
∵，
∴四邊形是矩形，
∴
∵，
∴．
∴，解得：；
綜上所述：，，．
5.（23-24九年級·海南海口·階段練習(xí)）如圖，是邊長為的等邊三角形．動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)點(diǎn)分別從點(diǎn)和點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，已知?jiǎng)狱c(diǎn)的速度為，動(dòng)點(diǎn)的速度為．設(shè)動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)當(dāng)為何值時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)第一次相遇；
(2)從出發(fā)到第一次相遇這一過程中，當(dāng)為何值時(shí)，以，，為頂點(diǎn)的三角形的面積為？
【答案】(1)t=20
(2)t為6或2
【分析】本題主要考查了解一元二次方程；等邊三角形的性質(zhì)，三角形的面積，勾股定理，含度角的直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)；
（1）根據(jù)題意得方程即可求出答案；
（2）有3種情況①如圖，過作于，得到，求出的長，根據(jù)三角形的面積公式即可求出的值；②如圖，與①類似即可求出的值；③如圖：，，，得到方程的解不符合在上，綜合上述得到答案．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，
解得：，
答：當(dāng)為時(shí)，兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)第一次相遇．
（2）解：是邊長為的等邊三角形，
，
有種情況：①如圖，過作于，
，，由勾股定理得：
由三角形面積公式得：，
解得：，舍去；
②如圖2，
，，，
由三角形面積公式得：，
解得：或，
當(dāng)時(shí)，在上，舍去，
；
③如圖3：
，，，
，
此方程無解；
的值是，，
答：從出發(fā)到第一次相遇這一過程中，當(dāng)為或時(shí)，點(diǎn)、、為頂點(diǎn)的三角形的面積為．
6.．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在直線上．
(1)直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為________；
(2)矩形的頂點(diǎn)分別軸，軸上．
①當(dāng)，時(shí)，求矩形的面積；
②若使矩形的面積為4的點(diǎn)恰好有4個(gè)，試求的取值范圍．
【答案】(1)
(2)①；②且
【分析】（1）在中，當(dāng)時(shí)，，即可得出答案；
（2）①由題意得，，先求出，結(jié)合矩形的性質(zhì)即可得出答案；②分兩種情況：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，分別計(jì)算即可得出答案．
【詳解】（1）解：在中，當(dāng)時(shí)，，
∴直線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）解：由題意得：，，
將代入得：，
解得：，
∴，
如圖所示：
，
∵四邊形是矩形，
∴，，
∴矩形的面積為；
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)矩形的面積為4的點(diǎn)只有兩個(gè)；
當(dāng)時(shí)，∵點(diǎn)在直線上，
∴，
∴，
∴矩形的面積為，即或，
∵矩形的面積為4的點(diǎn)恰好有4個(gè)，
∴或，
解得：，
綜上所述，若使矩形的面積為4的點(diǎn)恰好有4個(gè)，的取值范圍為且．
【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題、矩形的性質(zhì)、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，采用分類討論的思想是解此題的關(guān)鍵．
7.（23-24九年級·上海·專題練習(xí)）如圖，在四邊形中，，，，，點(diǎn)從開始沿邊向以每秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)從開始沿邊向以每秒的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)停止．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)求證：當(dāng)時(shí)，四邊形是平行四邊形；
(2)是否可能平分對角線？若能，求出當(dāng)為何值時(shí)平分；若不能，請說明理由；
(3)若是以為腰的等腰三角形，求的值．
【答案】(1)見解析
(2)當(dāng)秒時(shí)，平分對角線
(3)若是以為腰的等腰三角形，的值為
【分析】（1）由題意可得當(dāng)秒時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，，即可得，，由，即可求得，又由，即可判定四邊形是平行四邊形；
（2）首先連接交于點(diǎn)，若平分對角線，則，易證得，繼而可得四邊形為平行四邊形，則可得，解此方程即可求得答案．
（3）分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，作于，于，與，如圖所示：則，，，得出，，由得出方程，解方程即可；
②當(dāng)時(shí)，由勾股定理得出方程，方程無解；即可得出答案．
【詳解】（1）證明： ，
當(dāng)秒時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，，
，，
當(dāng)時(shí)，，，
又四邊形為等腰梯形，
，
四邊形為平行四邊形；
（2）解：能平分對角線，當(dāng)秒時(shí)，平分對角線．
理由如下：
連接交于點(diǎn)，如圖1所示：
若平分對角線，則，
，
，，
在和中，
，
，
，
即四邊形為平行四邊形，
，
解得，符合題意，
當(dāng)秒時(shí)，平分對角線．
（3）解：分兩種情況：
①當(dāng)時(shí)，作于，于，與，如圖2所示：
則，，，
，，
，
，
，
解得：；
②當(dāng)時(shí)，由勾股定理得：，
，
整理得：，
解得，方程無解；
綜上所述：若是以為腰的等腰三角形，的值為．
【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題目，考查了等腰梯形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)、解方程．注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
8．如圖，在中，，，，點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)以的速度向終點(diǎn)勻速移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)以/的速度向終點(diǎn)勻速移動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止移動(dòng)．
(1)當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，的面積為多少？
(2)點(diǎn)移動(dòng)多少秒時(shí)，的面積為？
(3)在點(diǎn)、的運(yùn)動(dòng)過程中，的面積是否會達(dá)到？為什么？
【答案】(1)
(2)秒或秒
(3)不會達(dá)到，理由見解析
【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，三角形的面積公式，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．
由三角形的面積公式可求解；
設(shè)點(diǎn)移動(dòng)經(jīng)過秒，的面積為，列出方程可求解；
列出方程，由，可得的面積不會達(dá)到．
【詳解】（1）解：當(dāng)點(diǎn)移動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，，
∴，
∴的面積；
（2）解：設(shè)點(diǎn)移動(dòng)經(jīng)過秒，的面積為，由題意可得∶
，
∴或，
答∶點(diǎn)移動(dòng)經(jīng)過秒或秒，的面積為；
（3）解：的面積不會達(dá)到．理由如下∶
設(shè)點(diǎn)移動(dòng)經(jīng)過秒，的面積為，由題意可得∶
，
，
∴，
∴方程無解，
∴的面積不會達(dá)到．
9．如圖，一艘輪船以的速度沿既定航線由南向北航行，途中接到臺風(fēng)警報(bào)，某臺風(fēng)中心正以的速度由東向西移動(dòng)，距臺風(fēng)中心的圓形區(qū)域（包括邊界）都屬臺風(fēng)影響區(qū)，當(dāng)這艘輪船接到臺風(fēng)警報(bào)時(shí)，它與臺風(fēng)中心的距離，此時(shí)臺風(fēng)中心與輪船既定航線的最近距離．
(1)如果這艘輪船不改變航向，經(jīng)過10小時(shí)，輪船與臺風(fēng)中心相距多遠(yuǎn)？它此時(shí)是否受到臺風(fēng)影響？
(2)如果這艘船不改變航向，那么它會不會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)？請說明理由；
(3)如果你認(rèn)為這艘輪船會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)，那么從接到警報(bào)開始，經(jīng)過多長時(shí)間它就會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)？
(4)假設(shè)輪船航向不變，輪船航行速度不變，求受到臺風(fēng)影響的時(shí)間為多少小時(shí)？
【答案】(1)相距，它此時(shí)不受到臺風(fēng)影響
(2)會，見解析
(3)
(4)
【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用及一元二次方程的應(yīng)用、解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會于轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考常考題型．
（1）直接利用勾股定理得出的長，進(jìn)而利用勾股定理求出10小時(shí)后輪船與臺風(fēng)中心距離，即可得解；
（2）如圖易知，，當(dāng)時(shí)，將受到臺風(fēng)影響，根據(jù)勾股定理可得：，整理得到：，解得，由此可知，如果這艘船不改變航向，那么它會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)；
（3）利用（2）中結(jié)論即可解決問題；
（4）利用（2）中的數(shù)據(jù)即可解決問題．
【詳解】（1），，
，
如圖1，
設(shè)經(jīng)過10小時(shí)，輪船到達(dá)點(diǎn)，且航行了，臺風(fēng)中心到達(dá)，且，
，，
，
，
輪船與臺風(fēng)中心相距，它此時(shí)不受到臺風(fēng)影響；
（2）如果這艘船不改變航向，那么它會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)；理由如下：
如圖2，
設(shè)經(jīng)過小時(shí)進(jìn)行臺風(fēng)區(qū)域，則，，
當(dāng)時(shí)，將受到臺風(fēng)影響，
根據(jù)勾股定理可得：，
整理得到：，
解得，
由此可知，如果這艘船不改變航向，那么它會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)．
（3）由（1）可知經(jīng)過就會進(jìn)入臺風(fēng)影響區(qū)；
（4）由（1）可知受到臺風(fēng)影響的時(shí)間為（小時(shí)）．
10．已知是等腰直角三角形，．

(1)當(dāng)時(shí)，
①如圖①，將直角的頂點(diǎn)D放至的中點(diǎn)處，與兩條直角邊分別交于點(diǎn)E、F，請說明為等腰直角三角形；
②如圖②，將直角頂點(diǎn)D放至邊的某處，與另兩邊的交點(diǎn)分別為點(diǎn)E、F，若為等腰直角三角形且面積為4，求的長．
(2)若等腰直角三個(gè)頂點(diǎn)分別在等腰直角的三邊上，等腰直角的直角邊長為1時(shí)，求等腰直角的直角邊長的最大值．
【答案】(1)①見解析；②2或
(2)
【分析】（1）①過點(diǎn)D作于G，于 H， 連接．是等腰直角三角形，點(diǎn)是的中點(diǎn)，可得， ，，，
由“”可證，可得，即可求解；
②過點(diǎn) F作于 N．由“”可證，可得，設(shè)， 則．根據(jù)勾股定理得再列出方程即可求解；
（2）當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，當(dāng)C、Q、D共線時(shí)， 最長，當(dāng)D在直角邊上，過點(diǎn)E分別作于點(diǎn)E，于H．設(shè)．則 即可求解．
【詳解】（1）① 如圖， 過點(diǎn)D作于G，于 H， 連接．
是等腰直角三角形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
，，，
，，
，
，
，
，
，
又，
，
，
是等腰直角三角形；
② 如圖， 過點(diǎn) F作于 N．

∵，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵
∴，
∴．
設(shè)， 則．
，
，
或
∴或 ，
（2）設(shè)等腰的直角頂點(diǎn)為 D，
若 D 在上， 如圖3．

取的中點(diǎn)Q， 連接， 則
∵是直角邊長為1的等腰直角三角形()．
∴當(dāng)C、Q、D共線時(shí)， 最長， 則
∴在等腰中， 當(dāng)時(shí)，的長最大．
最大為2．
若D在直角邊上， 如圖4， 過點(diǎn)E分別作于點(diǎn)E，于H．

由知
設(shè)．
則
解得
當(dāng)s取最大值時(shí)，
∴的最大值為 ．
綜上，的最大值為 ．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．
11．如圖，在四邊形中，，，，，，動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位的速度沿著折線先由A向D運(yùn)動(dòng)，再由D向C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒1個(gè)單位的速度由B向A運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一動(dòng)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)兩平行線與之間的距離是__________．
(2)當(dāng)點(diǎn)P、Q與的某兩個(gè)頂點(diǎn)圍成一個(gè)平行四邊形時(shí)，求t的值．
(3)，以，為一組鄰邊構(gòu)造平行四邊形，若的面積為，求t的值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】此題主要考查了勾股定理，直角三角形的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，由勾股定理可得出答案；
（2）分兩種情況，由平行四邊形的性質(zhì)可得出答案；
（3）分兩種情況，列出的方程可得出答案．
【詳解】（1）過點(diǎn)作于點(diǎn)，
，，
，
，
，
故答案為：；
（2）在中，
，，
，
，
Ⅰ．當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，，
，
，
Ⅱ．當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)，，
，
，
綜上所述當(dāng)點(diǎn)、與 的某兩個(gè)頂點(diǎn)圍成一個(gè)平行四邊形時(shí)，或；
（3）Ⅰ．當(dāng)在邊上時(shí)，邊上的高是，
，
解得， 舍去），
Ⅱ．當(dāng)在邊上時(shí)，
，
解得．
綜上所述或時(shí)，平行四邊形的面積為．
1.（2023春 鄞州區(qū)期末）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A沿線段AB向點(diǎn)B移動(dòng)，一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿線段BC向點(diǎn)C移動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)開始移動(dòng)，點(diǎn)P的速度為1cm/s，點(diǎn)Q的速度為2cm/s，當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．若使△PBQ的面積為5cm2，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（　　）
A．1s B．4s C．5s或1s D．4s或1s
【分析】設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，則BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，利用三角形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t的值，再結(jié)合當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，即可得出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．
【解答】解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為ts，則BP＝（6﹣t）cm，BQ＝2tcm，
依題意得：（6﹣t）×2t＝5，
整理得：t2﹣6t+5＝0，
解得：t1＝1，t2＝5，
∵當(dāng)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，
∴2t≤8，
∴t≤4，
∴t＝1．
故選：A．
【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
2.（2023春 西湖區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若△PBQ的面積等于4cm2，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（　　）
A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒
【分析】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，根據(jù)△PBQ的面積等于4cm2，可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，PB＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm，
根據(jù)題意得：PB BQ＝4，
即（5﹣t） 2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4，
當(dāng)t＝4時(shí)，2t＝2×4＝8＞7，不符合題意，舍去，
∴t＝1．
∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒．
故選：A．
【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
3.（2024春 沈陽期中）如圖，AO＝BO＝6厘米，OC是一條射線，OC⊥AB．一動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A以1厘米/秒的速度向點(diǎn)B爬行，另一動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O以2厘米/秒的速度沿射線OC方向爬行，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，經(jīng)過 　 　秒，△POQ的面積為8平方厘米．
【分析】分兩種情況，①當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)P在BO上時(shí)，分別根據(jù)△POQ的面積為8平方厘米．列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，
由題意得：（6﹣t） 2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t1＝2，t2＝4；
②當(dāng)點(diǎn)P在BO上時(shí)，
由題意得：（t﹣6） 2t＝8，
整理得：t2﹣6t+8＝0，
解得：t3＝3，t4＝3（不符合題意，舍去）；
綜上所述，經(jīng)過2秒或4秒或3秒，△POQ的面積為8平方厘米．
故答案為：2秒或4秒或3．
【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5.（2023秋 仁壽縣期末）如圖，Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝7，BC＝5，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)向終點(diǎn)C以1個(gè)單位長度/s移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)向終點(diǎn)A以2個(gè)單位長度/s移動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)P、Q兩點(diǎn)同時(shí)停止，則（　　）秒后，△PCQ的面積等于4．
A．1 B．2 C．4 D．1或4
【分析】設(shè)t秒后，△PCQ的面積等于4，根據(jù)三角形面積公式列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：設(shè)t秒后，△PCQ的面積等于4，
由題意得：BP＝t，CQ＝2t，則CP＝5﹣t，
∵S△PCQCQ CP，
∴42t×（5﹣t），
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不合題意，舍去），
即1秒后，△PCQ的面積等于4，
故選：A．
【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
6.（2023春 蚌埠月考）△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝6cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向終點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向終點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)A、B同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
（1）填空：BQ＝　 　，PB＝　 　（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）是否存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2？若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）根據(jù)路程＝速度×?xí)r間就可以表示出BQ，AP．再用AB﹣AP就可以求出PB的長．
（2）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)三角形面積公式建立方程，解方程即可．
【解答】解：（1）由題意，得：BQ＝2t（cm），PB＝（5﹣t）cm．
故答案為：2t cm，（5﹣t）cm．
（2）存在，理由如下：
由題意得：2t×（5﹣t）＝4，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合題意，舍去），
∴存在t的值，使得△PBQ的面積等于4cm2，t＝1．
【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
7.（2023秋 澄邁縣期末）如圖，△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始，沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)．
（1）經(jīng)過ts后（t＞0），△PBQ的面積等于4cm2，求t的值；
（2）經(jīng)過ts后，（t＞0），PQ的長度為5cm，求t的值；
（3）△PBQ的面積能否等于8cm2？
【分析】利用時(shí)間＝路程÷速度，可求出點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B及點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C所需時(shí)間，比較后可得出0＜t，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）根據(jù)△PBQ的面積等于4cm2，可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；
（2）利用勾股定理，可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論；
（3）△PBQ的面積不能等于8cm2，假設(shè)△PBQ的面積能等于8cm2，根據(jù)△PBQ的面積等于8cm2，可得出關(guān)于t的一元二次方程，由根的判別式Δ＝﹣7＜0，可得出該方程沒有實(shí)數(shù)根，假設(shè)不成立，即△PBQ的面積不能等于8cm2．
【解答】解：∵5÷1＝5（s），7÷2（s），5，
∴0＜t．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，BP＝（5﹣t）cm，BQ＝2tcm．
（1）根據(jù)題意得：BP BQ＝4，
即（5﹣t）×2t＝4，
整理得：t2﹣5t+4＝0，
解得：t1＝1，t2＝4（不符合題意，舍去）．
答：t的值為1；
（2）根據(jù)題意得：（5﹣t）2+（2t）2＝52，
整理得：t2﹣2t＝0，
解得：t1＝0（不符合題意，舍去），t2＝2．
答：t的值為2；
（3）△PBQ的面積不能等于8cm2，理由如下：
假設(shè)△PBQ的面積能等于8cm2，根據(jù)題意得：BP BQ＝8，
即（5﹣t）×2t＝8，
整理得：t2﹣5t+8＝0，
∵Δ＝（﹣5）2﹣4×1×8＝﹣7＜0，
∴該方程沒有實(shí)數(shù)根，
∴假設(shè)不成立，即△PBQ的面積不能等于8cm2．
【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、勾股定理以及根的判別式，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
8.（23-24九年級·湖南永州·階段練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)．如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．
(1)填空：_____，_____；（用含t的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的長度等于？
(3)是否存在t的值，使得四邊形的面積等于？若存在，請求出此時(shí)t的值；若不存在，請說明理由．
【答案】(1)，
(2)，；
(3)當(dāng)時(shí)，四邊形的面積等于．
【分析】本題考查了行程問題的運(yùn)用，一元二次方程的解法，勾股定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，再解答時(shí)要注意所求的解使實(shí)際問題有意義．
（1）根據(jù)路程速度時(shí)間就可以表示出，．再用就可以求出的值；
（2）在中由（1）結(jié)論根據(jù)勾股定理就可以求出其值；
（3）利用（1）的結(jié)論，根據(jù)三角形的面積公式建立方程就可以求出的值．
【詳解】（1）解：由題意，得，．
故答案為：，；
（2）解：在中，由勾股定理，得，
解得：，；
（3）解：由題意，得，
解得：，（不符合題意，舍去），
當(dāng)時(shí)，的面積等于．
四邊形的面積．
答：當(dāng)時(shí)，四邊形的面積等于．
9.（2023春 和平區(qū)校級期中）如圖A，B，C，D為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB＝16cm，AD＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到達(dá)B點(diǎn)為止，點(diǎn)Q以2cm/s的速度向D點(diǎn)移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動(dòng)．
（1）AP＝　 　，BP＝　 　，CQ＝　 　，DQ＝　 　（用含t的代數(shù)式表示）；
（2）t為多少時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2；
（3）t為多少時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離為10cm．
【分析】（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，根據(jù)點(diǎn)P，Q的運(yùn)動(dòng)方向及運(yùn)動(dòng)速度，即可用含t的代數(shù)式表示出各線段的長度；
（2）利用梯形的面積計(jì)算公式，即可得出關(guān)于t的一元一次方程，解之即可得出t的值；
（3）過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則PE＝|16﹣5t|，利用勾股定理，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts時(shí)，AP＝3tcm，BP＝（16﹣3t）cm，CQ＝2tcm，DQ＝（16﹣2t）cm．
故答案為：3tcm；（16﹣3t）cm；2tcm；（16﹣2t）cm．
（2）依題意得：[（16﹣3t）+2t]×6＝33，
整理得：16﹣t＝11，
解得：t＝5.
答：當(dāng)t為5時(shí)，四邊形PBCQ的面積為33cm2．
（3）過點(diǎn)Q作QE⊥AB于點(diǎn)E，則PE＝|（16﹣3t）﹣2t|＝|16﹣5t|，如圖所示．
依題意得：|16﹣5t|2+62＝102，
即（16﹣5t）2＝82，
解得：t1，t2．
答：當(dāng)t為或時(shí)，點(diǎn)P和點(diǎn)Q的距離為10cm．
【總結(jié)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用、一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各線段之間的關(guān)系，用含t的代數(shù)式表示出各線段的長度；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（3）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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