資源簡介

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2.63一元二次方程的運用-銷售問題
常用公式：
（1）利潤=售價-成本；
(2)利潤=售價–成本價=標價×折扣–成本價.
(3)利潤率=
(3)銷售額=銷售價×銷售量.
(4)銷售利潤=(銷售價–成本價)×銷售量
（5）總利潤=每件利潤×銷售量；
（6）每每問題中，單價每漲a元，少買y件。若漲價y元，則少買的數量為
1.（2023 興慶區校級一模）端午節又稱端陽節，是中華民族重要的傳統節日，我國各地都有吃粽子的習俗．某超市以10元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋16元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出80袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1440元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為（　　）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
2.（23-24九年級·安徽合肥·期中）某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品．該商品可以自行定價．據市場調查，該商品的售價與銷售量的關系是：若每件售價a元，則可賣出件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的25%，如果商店計劃要獲利400元．則每件商品的售價應定為（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
3．端午節是中國的傳統四大節日之一，在池州有賽龍舟、吃粽子、懸艾葉、吃綠豆糕等習俗．每年端午節前也是購物的高峰期，2024年端午節前期某超市購進A、B兩種端午節禮盒，其中A種禮盒進貨價為28元/盒，B種禮盒進貨價為22元/盒．（注：利潤＝銷售價－進貨價）
(1)該超市第一次用7200元購進A、B兩種禮盒共300盒，求兩種禮盒分別購進的數量；
(2)端午節臨近時，該超市發現B種禮盒還有大量剩余，已知該禮盒售價為34元/盒，如果按照原價銷售，平均每天可售10盒．經調查發現，每降價1元，平均每天可多售5盒，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每盒多少元時，才能使B種禮盒平均每天銷售利潤為240元？
4．某公司研發了一款新型玩具，成本為每個50元，投放市場進行試銷售，其銷售單價不低于成本．按照物價部門規定，銷售利潤率不高于，市場調研發現，在一段時間內，每天銷售數量y（個）與銷售單價x（元）（x為整數）符合一次函數關系，如圖所示．
(1)求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)該公司要想每天獲得3000元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？
5.（23-24九年級·安徽六安·期中）《安徽省電動自行車管理條例》自2023年3月1日起施行．《條例》規定，駕駛人和搭載人應當規范佩戴安全頭盔，同時，針對不規范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標準．某商店以每件元的價格購進一批安全頭盔，經市場調研發現，該頭盔每周銷售量（件）與銷售單價（元/件）滿足一次函數，物價部門規定每件頭盔的利潤不能超過進價的．若商店計劃每周銷售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價應為 元．
1.（23-24九年級·山東菏澤·期中）某旅游景點的門票價格是20元/人，每天接待游客500人，已知該景點每天要支出100元衛生費，每售出一張門票要上繳10元其它費用．
(1)景點每天獲利潤多少元？
(2)進入旅游旺季時，景點想提高門票價格增加盈利．經過市場調查發現，門票價格每提高5元，每天接待游客人數就會減少50人．當門票價格為多少時，可獲利潤8900元？
2.（23-24九年級·浙江溫州·期中）根據以下素材，解決生活問題
【素材背景】某超市購進200箱的A款牛奶，進價為每箱40元．若每箱售價為60元，每天可銷售50箱．超市也可采取降價促銷措施來提高利潤，經過營銷部的市場調研反饋：若A款牛奶單價每降1元，每天可多售出5箱．
【問題解決】
思考1：第一天超市決定按原價每箱60元出售，則第一天售出A款牛奶所獲利潤為______元．
思考2：第二天超市采取降價促銷措施，為了使第二天的利潤比第一天增加，又要讓顧客實現最優惠，問第二天A款牛奶的每箱售價為多少元？
思考3：第三天超市仍采取降價促銷措施，既要銷售完這批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，問銷售完200箱的A款牛奶所獲的總利潤為多少元？
3.社區利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示．已知空地長，寬，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為x米的道路．已知鋪花磚的面積為640．
(1)求道路的寬是多少米？
(2)該停車場共有車位50個，據調查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出；若每個車位的月租金每上漲5元，就會少租出1個車位，當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入為10000元？
4．為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節吃粽子的習俗．某顧客端午節前在超市購買了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽單價是豆沙棕單價的2倍，肉棕比豆沙棕多2個．
(1)求豆沙粽和肉棕的單價．
(2)端午節當天，超市為了促銷推出降價優惠活動，下表列出了芳芳媽媽、媛媛媽媽的購買數量（單位：個）和付款金額（單位：元）：
豆沙粽數量 肉粽數量 付款金額
芳芳媽媽 10 15 135
媛媛媽媽 15 10 115
請根據上表，求豆沙棕和肉粽優惠后的價格．
(3)端午節后，超市為進一步減少庫存，將兩粽子打包成，兩種包裝銷售，每包都是20個（包裝成本忽略不計），每種粽子的銷售價格按（1）中的單價五折出售．包裝中有個豆沙棕，包裝中有個肉棕．活動某天統計發現， 種包裝銷量為包，B種包裝銷量為包，A，B兩種包裝的銷售總額為3880元，試求的值．
5．2024年端午節小長假恰巧遇上高考，元祖食品店特別推出“冰淇淋粽”禮盒和“事事高中”禮盒．甲公司從元祖店購買了這兩種部分禮盒發給員工作為福利，甲公司采購人員發現，購買“事事高中”禮盒的單價是“冰淇淋粽”禮盒單價的1.5倍，且花費6000元購買的“冰淇淋粽”禮盒的數量比花費7200元購買的“事事高中”禮盒的數量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子禮盒的單價分別為多少元；
(2)兩種粽子禮盒在市場上頗受歡迎，元祖食品店決定對這兩種禮盒進行進一步促銷．其中每盒“冰淇淋粽”禮盒降價元，每盒“事事高中”粽子禮盒降價元．乙公司也決定購買以上兩種禮盒發放給員工作為福利，乙公司購買的“冰淇淋粽”禮盒的數量和甲公司購買的“冰淇淋粽”禮盒的數量一樣，乙公司購買“事事高中”禮盒的數量比甲公司購買“事事高中”禮盒的數量多盒，最后乙公司的總花費與甲公司的總花費相同，求m的值．
6．某網店熱銷夏季運動衫，進價每件42元，銷售大數據分析表明：當每件運動衫售價為54元時，平均每月售出800件；若銷售單價每下降1元，其月銷售量就增加100件；設銷售單價下降x元，每天銷售量為y件．
(1)y與x的函數關系式是_______．
(2)該網店決定降價薄利多銷，在庫存充足的情況下；若預計月獲利恰好為9900元，求每件運動衫的售價．
50．某商場出售一種商品，經市場調查發現，日銷售量（件）與每件售價（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：
每件售價/元
日銷售量/件
(1)求與之間的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(2)該商品日銷售額能否達到元？如果能，求出每件售價：如果不能，請說明理由．
7.（23-24八年級下·山東煙臺·期末）“愛在煙臺，難以離開”，醉美所城里在2024年“五一”小長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2026年“五一”小長假期間，接待游客萬人次，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒以往經驗，若每碗賣10元，平均每天將銷售60碗；若價格每提高1元，則平均每天少銷售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；
(2)為了更好地維護煙臺形象，物價局規定每碗售價不得超過15元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天利潤360元？
8．（2024·四川南充·模擬預測）大運會期間，某網店直接從工廠購進A，B兩款紀念幣，進貨價和銷售價如表所示：（注：利潤=銷售價-進貨價）
類別價格 A款紀念幣 B款紀念幣
進貨價（元/枚） 15 20
銷售價（元/枚） 25 32
(1)網店第一次用580元購進A，B兩款紀念幣共32枚，求兩款紀念幣分別購進的枚數；
(2)第一次購進的A，B兩款紀念幣售完后，該網店計劃再次購進這兩款紀念幣共80枚（進貨價和銷售價都不變）；且進貨總價不高于1350元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
(3)大運會臨近結束時，網店打算把A款紀念幣調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售出6枚，經調查發現，每枚A款紀念幣每降價1元，平均每天可多售出2枚，將銷售價定為每枚多少元時，才能使A款紀念幣平均每天銷售利潤為84元？
9．棲霞某旅游景點的超市以每件元的價格購進某款果都吉祥物擺件，以每件元的價格出售．經統計，月份的銷售量為件，月份的銷售量為件．
(1)求該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率；
(2)從月份起，超市決定采用降價促銷的方式回饋游客，經試驗，發現該吉祥物擺件每降價元，月銷售量就會增加件．當該吉祥物擺件售價為多少元時，月銷售利潤達元？
10.（2023春 海曙區期末）第19屆亞運會即將在杭州舉行，某商店購進一批亞運會紀念品進行銷售，已知每件紀念品的成本是30元．如果銷售單價定為每件40元，那么日銷售量將達到100件．據市場調查，銷售單價每提高1元，日銷售量將減少2件．
（1）若銷售單價定為每件45元，求每天的銷售利潤；
（2）要使每天銷售這種紀念品盈利1600元，同時又要讓利給顧客，那么該紀念品的售價單價應定為每件多少元？
1.（2023春 花山區校級期中）某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品．該商品可以自行定價．據市場調查，該商品的售價與銷售量的關系是：若每件售價a元，則可賣出（320﹣10a）件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的25%，如果商店計劃要獲利400元．則每件商品的售價應定為（　　）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
2.（2023 常德三模）一商店銷售某種商品，當每件利潤為30元時，平均每天可售出20件，
經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品的單價降低
　 　元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元．
3.（2023秋 陽城縣期末）某商品進價每件30元，有一段時間若以x元賣出，則可賣（100﹣x）件，商場計劃要賺1200元，同時又讓顧客得到實惠，則該商品的售價x＝　 　元．
4.（2023秋 鄒平市期末）某商店經銷一批小家電，每個小家電成本40元，市場預測定價為50元時，可銷售200個，當定價每增加1元時銷售量將減少10個．若商店進貨全部售完后賺了2250元，則本次小家電的銷售定價是 　 　．
5．某汽車租賃公司共有300輛可供出租的某款汽車，2021年每輛汽車的日租金為100元，由于物價上漲，到2023年日租金上漲到121元．
(1)求2021年至2023年日租金的平均增長率．
(2)經市場調研發現，從2023年開始，當每輛汽車的日租金定為121元時，汽車可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2輛．已知汽車租賃公司每日需為每輛租出的汽車支付各類費用31元，每輛未租出的汽車支付各類費用10元．
①在每輛汽車日租金121元的基礎上，設上漲元，則每輛汽車的日租金為______元，實際能租出______輛車．
②當每輛汽車的日租金上漲多少元時，該租賃公司的日收益可達28200元？(日收益總租金各類費用)
6.（2024春 寧明縣期末）某童裝專賣店在銷售中發現，一款童裝每件的進價為80元，當銷售單價為120元時，每天可售出20件．為了迎接六一兒童節，該專賣店決定采取適當的降價措施，以最大限度地擴大銷售量，減少庫存，增加利潤．據測算，每件童裝每降價1元，平均每天可多售出2件，設每件童裝降價x元．
（1）每天可售出 　 　件，每件盈利 　 　元．（用含x的代數式表示）
（2）當每件童裝降價多少元時，平均每天盈利1200元？
（3）平均每天的盈利能否達到2000元？請說明理由．
7．（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習）小明大學畢業后和同學創業，合伙開了一家網店，暑期銷售原創設計的手繪圖案恤衫．已知每件恤衫的成本價為60元，當銷售價為100元時，每天能售出20件；經過一段時間銷售發現，當銷售價每降低1元時，每天就能多售出2件，
(1)若降價8元，則每天銷售恤衫的利潤為多少元？
(2)小明希望每天獲得的利潤達到1050元并且優惠最大，則每件恤衫的銷售價應該定為多少？
(3)為了保證每件恤衫的利潤率不低于，小明每天能否獲得1200元的利潤？若能，求出定價；若不能，請說明理由．（利潤率）
8．（2024·廣西·模擬預測）某景區研發一款紀念品，投放景區內進行銷售，每件成本20元，銷售一段時間發現，每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，部分圖象如圖．
(1)求出銷售量（件）與銷售單價（元/件）之間的函數解析式；
(2)當銷售單價為多少元時，每天的獲利可以達到1600元．
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2.63一元二次方程的運用-銷售問題
常用公式：
（1）利潤=售價-成本；
(2)利潤=售價–成本價=標價×折扣–成本價.
(3)利潤率=
(3)銷售額=銷售價×銷售量.
(4)銷售利潤=(銷售價–成本價)×銷售量
（5）總利潤=每件利潤×銷售量；
（6）每每問題中，單價每漲a元，少買y件。若漲價y元，則少買的數量為
1.（2023 興慶區校級一模）端午節又稱端陽節，是中華民族重要的傳統節日，我國各地都有吃粽子的習俗．某超市以10元每袋的價格購進一批粽子，根據市場調查，售價定為每袋16元，每天可售出200袋；若售價每降低1元，則可多售出80袋，問此種粽子售價降低多少元時，超市每天售出此種粽子的利潤可達到1440元？若設每袋粽子售價降低x元，則可列方程為（　　）
A．（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440 B．（16﹣x）（200+80x）＝1440
C．（16﹣x﹣10）（200﹣80x）＝1440 D．（16﹣x）（200﹣80x）＝1440
【分析】當每袋粽子售價降低x元時，每袋粽子的銷售利潤為（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，利用總利潤＝每袋的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．
【解答】解：當每袋粽子售價降低x元時，每袋粽子的銷售利潤為（16﹣x﹣10）元，每天可售出（200+80x）袋，
依題意得：（16﹣x﹣10）（200+80x）＝1440．
故選：A．
【總結】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
2.（23-24九年級·安徽合肥·期中）某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品．該商品可以自行定價．據市場調查，該商品的售價與銷售量的關系是：若每件售價a元，則可賣出件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的25%，如果商店計劃要獲利400元．則每件商品的售價應定為（ ）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【答案】A
【分析】根據利潤和售價建立一元二次方程組，得到，解方程組得到售價，最后對售價的合理性進行判斷即可得到最終的答案．
【詳解】設商店的獲利為元，
得，
當時，，
得，
，
解方程得元或元，
當元，，
∴元舍去，
∴元，
故選：A．
【總結】本題考查一元二次方程的應用及性質，解題的關鍵是掌握一元二次方程的相關知識．
3．端午節是中國的傳統四大節日之一，在池州有賽龍舟、吃粽子、懸艾葉、吃綠豆糕等習俗．每年端午節前也是購物的高峰期，2024年端午節前期某超市購進A、B兩種端午節禮盒，其中A種禮盒進貨價為28元/盒，B種禮盒進貨價為22元/盒．（注：利潤＝銷售價－進貨價）
(1)該超市第一次用7200元購進A、B兩種禮盒共300盒，求兩種禮盒分別購進的數量；
(2)端午節臨近時，該超市發現B種禮盒還有大量剩余，已知該禮盒售價為34元/盒，如果按照原價銷售，平均每天可售10盒．經調查發現，每降價1元，平均每天可多售5盒，為了盡快減少庫存，將銷售價定為每盒多少元時，才能使B種禮盒平均每天銷售利潤為240元？
【答案】(1)禮盒購進100盒，種禮盒購進200盒
(2)28元
【分析】本題考查了一元一次方程以及一元二次方程的應用，讀懂題意找出等量或不等關系是解題關鍵．
（1）設禮盒購進盒，則種禮盒購進（300－）盒，根據題意列出一元一次方程求解即可；
（2）設應降價m元，才能使B種禮盒平均每天銷售利潤為240元，根據題意列出一元二次方程求解即可．
【詳解】（1）設禮盒購進盒，則種禮盒購進盒，
依題意得：，
解得：，
．
答：禮盒購進100盒，種禮盒購進200盒；
（2）設應降價m元，才能使B種禮盒平均每天銷售利潤為240元，
依題意得：，
整理得：，
解得：，，
要盡快減少庫存，
應取6，
．
答：B種禮盒銷售價定為每盒28元時，才能使平均每天銷售利潤為240元．
4．某公司研發了一款新型玩具，成本為每個50元，投放市場進行試銷售，其銷售單價不低于成本．按照物價部門規定，銷售利潤率不高于，市場調研發現，在一段時間內，每天銷售數量y（個）與銷售單價x（元）（x為整數）符合一次函數關系，如圖所示．
(1)求出y與x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
(2)該公司要想每天獲得3000元的銷售利潤，銷售單價應定為多少元？
【答案】(1)
(2)80元
【分析】本題考查一次函數、一元二次方程的實際應用：
（1）由待定系數法可得函數的解析式；
（2）根據利潤等于每件的利潤乘以銷售量，列一元二次方程可解．
【詳解】（1）解：設y與x的函數關系式為，
將，代入，得：，
解得，
銷售單價不低于成本，銷售利潤率不高于，
，
，
y與x的函數關系式為；
（2）解：由題意列方程：，
整理得，
解得或，
由（1）得，
，
即銷售單價應定為80元．
5.（23-24九年級·安徽六安·期中）《安徽省電動自行車管理條例》自2023年3月1日起施行．《條例》規定，駕駛人和搭載人應當規范佩戴安全頭盔，同時，針對不規范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標準．某商店以每件元的價格購進一批安全頭盔，經市場調研發現，該頭盔每周銷售量（件）與銷售單價（元/件）滿足一次函數，物價部門規定每件頭盔的利潤不能超過進價的．若商店計劃每周銷售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價應為 元．
【答案】
【分析】根據題意，列方程表示每周利潤，代入求解即可．
【詳解】解：由題意，得
，
即，
解得，，，
∵每件頭盔的利潤不能超過進價的，
∴每件頭盔的售價不能超過元，
所以舍去，
所以售價應為100元，
故答案為：．
【總結】本題考查了一元二次方程的營銷問題，理解題意列出方程是解題的關鍵．
1.（23-24九年級·山東菏澤·期中）某旅游景點的門票價格是20元/人，每天接待游客500人，已知該景點每天要支出100元衛生費，每售出一張門票要上繳10元其它費用．
(1)景點每天獲利潤多少元？
(2)進入旅游旺季時，景點想提高門票價格增加盈利．經過市場調查發現，門票價格每提高5元，每天接待游客人數就會減少50人．當門票價格為多少時，可獲利潤8900元？
【答案】(1)景點每天獲利潤4900元
(2)門票價格為40元時，可獲利潤8900元
【分析】本題主要考查有理數四則運算的應用以及一元二次方程的應用：
（1）根據“總利潤=總收入-總支出”列式計算即可；
（2）根據“總利潤=總收入-總支出”列出方程即可解決問題．
【詳解】（1）解：利潤
（元）
答：景點每天獲利潤4900元
（2）解：設門票價格為元時，可獲利潤8900元，根據題意得，
解得，，
答：門票價格為40元時，可獲利潤8900元
2.（23-24九年級·浙江溫州·期中）根據以下素材，解決生活問題
【素材背景】某超市購進200箱的A款牛奶，進價為每箱40元．若每箱售價為60元，每天可銷售50箱．超市也可采取降價促銷措施來提高利潤，經過營銷部的市場調研反饋：若A款牛奶單價每降1元，每天可多售出5箱．
【問題解決】
思考1：第一天超市決定按原價每箱60元出售，則第一天售出A款牛奶所獲利潤為______元．
思考2：第二天超市采取降價促銷措施，為了使第二天的利潤比第一天增加，又要讓顧客實現最優惠，問第二天A款牛奶的每箱售價為多少元？
思考3：第三天超市仍采取降價促銷措施，既要銷售完這批剩余的A款牛奶，又要使超市利益最大化，問銷售完200箱的A款牛奶所獲的總利潤為多少元？
【答案】思考1：1000；思考2：54元；思考3：3240元
【分析】本題主要考查一元二次方程的實際應用：
思考1：售價與進價之差為每箱利潤，乘以銷量即為總利潤；
思考2：設第二天A款牛奶的每箱售價為x元，則銷量為箱，每箱利潤為元，根據第二天的利潤比第一天增加列一元二次方程，解方程即可；
思考3：先求出剩余牛奶的箱數，降價后的銷量剛好等于該數時，可以使超市利益最大化，由此可解．
【詳解】解：思考1：（元），
即第一天售出A款牛奶所獲利潤為1000元，
故答案為：1000；
思考2：設第二天A款牛奶的每箱售價為x元，
由題意得：，
整理得，
解得，，
要讓顧客實現最優惠，
第二天A款牛奶的每箱售價為54元．
思考3：第一天銷量為：50箱，第二天銷量為：（箱），
第三天銷量為：（箱），
設第三天A款牛奶的每箱售價為y元，
則，
解得，
第三天售出A款牛奶所獲利潤為：（元），
（元），
即銷售完200箱的A款牛奶所獲的總利潤為3240元．
3.社區利用一塊矩形空地建了一個小型停車場，其布局如圖所示．已知空地長，寬，陰影部分設計為停車位，要鋪花磚，其余部分均為寬度為x米的道路．已知鋪花磚的面積為640．
(1)求道路的寬是多少米？
(2)該停車場共有車位50個，據調查分析，當每個車位的月租金為200元時，可全部租出；若每個車位的月租金每上漲5元，就會少租出1個車位，當每個車位的月租金上漲多少元時，停車場的月租金收入為10000元？
【答案】(1)米
(2)50元
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程是解題關鍵．
（1）由題意知，道路的寬為米，根據矩形的面積公式列出方程并解答即可；
（2）設車位的月租金上漲元，則租出的車位數量是個，根據：月租金每個車位的月租金車位數，列出方程并解答即可；
【詳解】（1）解：根據道路的寬為米，
，
整理得：，
解得：（舍去），，
答：道路的寬為米．
（2）解：設月租金上漲元，停車場月租金收入為10000元，
根據題意得：，
解得，
答：每個車位的月租金上漲50元時，停車場的月租金收入為10000元．
4．為紀念愛國詩人屈原，人們有了端午節吃粽子的習俗．某顧客端午節前在超市購買了40元的豆沙棕和96元的肉棕，已知肉粽單價是豆沙棕單價的2倍，肉棕比豆沙棕多2個．
(1)求豆沙粽和肉棕的單價．
(2)端午節當天，超市為了促銷推出降價優惠活動，下表列出了芳芳媽媽、媛媛媽媽的購買數量（單位：個）和付款金額（單位：元）：
豆沙粽數量 肉粽數量 付款金額
芳芳媽媽 10 15 135
媛媛媽媽 15 10 115
請根據上表，求豆沙棕和肉粽優惠后的價格．
(3)端午節后，超市為進一步減少庫存，將兩粽子打包成，兩種包裝銷售，每包都是20個（包裝成本忽略不計），每種粽子的銷售價格按（1）中的單價五折出售．包裝中有個豆沙棕，包裝中有個肉棕．活動某天統計發現， 種包裝銷量為包，B種包裝銷量為包，A，B兩種包裝的銷售總額為3880元，試求的值．
【答案】(1)豆沙粽的單價是4元，則肉粽的單價是8元
(2)豆沙粽優惠后的單價是3元，肉粽優惠后的單價是7元；
(3)m的值為15或9
【分析】本題主要考查了分式方程的應用、二元一次方程組的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（3）找準等量關系，正確列出一元二次方程．
（1）設豆沙粽的單價是x元，則肉粽的單價是元，根據某顧客端午節前在超市購買了40元的豆沙粽和96元的肉粽，肉粽比豆沙粽多2個．列出分式方程，解方程即可；
（2）設豆沙粽優惠后的單價是a元，肉粽優惠后的單價是b元，根據表中信息列出二元一次方程組，解方程組即可；
（3）根據A，B兩種包裝的銷售總額為3880元，列出一元二次方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：設豆沙粽的單價是x元，則肉粽的單價是元，
根據題意得：，
解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：豆沙粽的單價是4元，肉粽的單價是8元；
（2）解：設豆沙粽優惠后的單價是a元，肉粽優惠后的單價是b元，
根據題意得：
，
解得，
答：豆沙粽優惠后的單價是3元，肉粽優惠后的單價是7元；
（3）解：根據題意得：
，
整理得：，
解得：，，
答：m的值為15或9．
5．2024年端午節小長假恰巧遇上高考，元祖食品店特別推出“冰淇淋粽”禮盒和“事事高中”禮盒．甲公司從元祖店購買了這兩種部分禮盒發給員工作為福利，甲公司采購人員發現，購買“事事高中”禮盒的單價是“冰淇淋粽”禮盒單價的1.5倍，且花費6000元購買的“冰淇淋粽”禮盒的數量比花費7200元購買的“事事高中”禮盒的數量多5盒．
(1)求“冰淇淋粽”和“事事高中”粽子禮盒的單價分別為多少元；
(2)兩種粽子禮盒在市場上頗受歡迎，元祖食品店決定對這兩種禮盒進行進一步促銷．其中每盒“冰淇淋粽”禮盒降價元，每盒“事事高中”粽子禮盒降價元．乙公司也決定購買以上兩種禮盒發放給員工作為福利，乙公司購買的“冰淇淋粽”禮盒的數量和甲公司購買的“冰淇淋粽”禮盒的數量一樣，乙公司購買“事事高中”禮盒的數量比甲公司購買“事事高中”禮盒的數量多盒，最后乙公司的總花費與甲公司的總花費相同，求m的值．
【答案】(1)“冰淇淋粽”粽子禮盒的單價為240元，“事事高中”粽子禮盒的單價為360元
(2)12
【分析】本題考查了分式方程的應用，一元二次方程的應用，解題的關鍵是：
（1）設“冰淇淋粽”粽子禮盒的單價為x元，則“事事高中”粽子禮盒的單價為元，根據“花費6000元購買的“冰淇淋粽”禮盒的數量比花費7200元購買的“事事高中”禮盒的數量多5盒”列方程求解即可；
（2）根據“乙公司的總花費與甲公司的總花費相同”列方程求解即可．
【詳解】（1）解∶ 設“冰淇淋粽”粽子禮盒的單價為x元，則“事事高中”粽子禮盒的單價為元，
根據題意，得，
解得，
經檢驗，是原方程的解，
∴，
答：“冰淇淋粽”粽子禮盒的單價為240元，“事事高中”粽子禮盒的單價為360元；
（2）解：由（1）知：甲公司購買“冰淇淋粽”粽子禮盒盒，“事事高中”粽子禮盒元，
根據題意，得，
整理得
解得或（舍去），
∴m的值為12．
6．某網店熱銷夏季運動衫，進價每件42元，銷售大數據分析表明：當每件運動衫售價為54元時，平均每月售出800件；若銷售單價每下降1元，其月銷售量就增加100件；設銷售單價下降x元，每天銷售量為y件．
(1)y與x的函數關系式是_______．
(2)該網店決定降價薄利多銷，在庫存充足的情況下；若預計月獲利恰好為9900元，求每件運動衫的售價．
【答案】(1)
(2)每件運動衫的售價為元
【分析】本題考查一元函數，一元二次方程的應用，
（1）根據“銷售單價每下降1元，其月銷售量就增加100件”列關系式即可；
（2）根據總利潤單利潤銷售量列方程解題即可．
【詳解】（1）解：，
故答案為：；
（2）解：，
解得：，，
∵網店決定降價薄利多銷，
∴，
這時售價為元，
答：每件運動衫的售價為元．
50．某商場出售一種商品，經市場調查發現，日銷售量（件）與每件售價（元）滿足一次函數關系，部分數據如下表所示：
每件售價/元
日銷售量/件
(1)求與之間的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
(2)該商品日銷售額能否達到元？如果能，求出每件售價：如果不能，請說明理由．
【答案】(1)；
(2)該商品日銷售額不能達到元，理由見解析。
【分析】本題考查了一次函數的應用以及一元二次方程的應用，解題的關鍵是：（1）利用待定系數法求出與之間的函數表達式；（2）找準等量關系，正確列出一元二次方程．
（1）根據表格中的數據，利用待定系數法即可求出與之間的函數表達式；
（2）利用銷售額每件售價銷售量，即可得出關于的一元二次方程，利用根與系數的關系求解即可．
【詳解】（1）解：設與之間的函數表達式為，
將，代入得
，
解得，
與之間的函數表達式為；
（2）解：該商品日銷售額不能達到元，理由如下：
依題意得，
整理得，
∴，
∴該商品日銷售額不能達到元．
7.（23-24八年級下·山東煙臺·期末）“愛在煙臺，難以離開”，醉美所城里在2024年“五一”小長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2026年“五一”小長假期間，接待游客萬人次，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒以往經驗，若每碗賣10元，平均每天將銷售60碗；若價格每提高1元，則平均每天少銷售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；
(2)為了更好地維護煙臺形象，物價局規定每碗售價不得超過15元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天利潤360元？
【答案】(1)年平均增長率為
(2)當每碗售價定為15元時，店家才能實現每天利潤360元
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用：
（1）設年平均增長率為，則2025年接待游客萬人，2026年接待游客萬人，據此列出方程求解即可；
（2）設每碗售價定為元時，店家才能實現每天利潤600元，根據利潤（售價成本價）銷售量列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：設年平均增長率為，
依題意有．
解得，（舍去）．
答：年平均增長率為；
（2）解：設每碗售價定為元時，店家才能實現每天利潤600元，
依題意得：，
解得，，
每碗售價不得超過15元，
當每碗售價定為15元時，店家才能實現每天利潤360元．
8．（2024·四川南充·模擬預測）大運會期間，某網店直接從工廠購進A，B兩款紀念幣，進貨價和銷售價如表所示：（注：利潤=銷售價-進貨價）
類別價格 A款紀念幣 B款紀念幣
進貨價（元/枚） 15 20
銷售價（元/枚） 25 32
(1)網店第一次用580元購進A，B兩款紀念幣共32枚，求兩款紀念幣分別購進的枚數；
(2)第一次購進的A，B兩款紀念幣售完后，該網店計劃再次購進這兩款紀念幣共80枚（進貨價和銷售價都不變）；且進貨總價不高于1350元．應如何設計進貨方案，才能獲得最大銷售利潤，最大銷售利潤是多少？
(3)大運會臨近結束時，網店打算把A款紀念幣調價銷售，如果按照原價銷售，平均每天可售出6枚，經調查發現，每枚A款紀念幣每降價1元，平均每天可多售出2枚，將銷售價定為每枚多少元時，才能使A款紀念幣平均每天銷售利潤為84元？
【答案】(1)購進款紀念幣12個，款紀念幣20個；
(2)購買50個款，30個款，網店可獲得的最大利潤是860元；
(3)將銷售價定為每件21元或22元時，才能使款紀念幣平均每天銷售利潤為84元．
【分析】（1）設購進款紀念幣個，款紀念幣個，由題意：網店第一次用580元購進、兩款紀念幣共32枚，列出二元一次方程組，解方程組即可；
（2）設購進個款紀念幣，則購進個款紀念幣，由題意：進貨總價不高于1350元，列出一元一次不等式，解答即可．設再次購進的、款紀念幣全部售出后獲得的總利潤為元，則，然后由一次函數的性質即可求解；
（3）設款紀念幣的售價定為元，則每個的銷售利潤為元，平均每天可售出個，使款紀念幣平均每天銷售利潤為84元，列出一元二次方程，解方程即可．
【詳解】（1）解：設購進款紀念幣個，款紀念幣個，
，
解得，
答：購進款紀念幣12個，款紀念幣20個；
（2）解：設購進個款紀念幣，則購進個款紀念幣，
依題意得：，
解得：．
設再次購進的、兩款保溫杯全部售出后獲得的總利潤為元，
則．
，
隨的增大而增小，
當時，取得最大值，最大值（元，
此時（個．
即購買50個款，30個款，網店可獲得的最大利潤是860元；
（3）解：設款紀念幣的售價定為元，則每個的銷售利潤為元，平均每天可售出個，
依題意得：，
解得：，．
答：將銷售價定為每件21元或22元時，才能使款紀念幣平均每天銷售利潤為84元．
【總結】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用、一元二次方程的應用以及一次函數的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）根據各數量之間的關系，找出關于的函數關系式；（3）找準等量關系，正確列出一元二次方程．
9．棲霞某旅游景點的超市以每件元的價格購進某款果都吉祥物擺件，以每件元的價格出售．經統計，月份的銷售量為件，月份的銷售量為件．
(1)求該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率；
(2)從月份起，超市決定采用降價促銷的方式回饋游客，經試驗，發現該吉祥物擺件每降價元，月銷售量就會增加件．當該吉祥物擺件售價為多少元時，月銷售利潤達元？
【答案】(1)
(2)元
【分析】本題考查一元二次方程的應用，
（1）設該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為，利用該款吉祥物擺件月份的銷售量該款吉祥物擺件月份的銷售量該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；
（2）設該吉祥物擺件售價為元，則每件的銷售利潤為元，月銷售量為件，利用總利潤每件的銷售利潤月銷售量，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；
找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為，
根據題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：該款吉祥物擺件月份到月份銷售量的月平均增長率為；
（2）設該吉祥物擺件售價為元，則每件的銷售利潤為元，
∴月銷售量為：，
根據題意得：，
整理得：，
解得：，（不符合題意，舍去），
答：當該吉祥物擺件售價為元時，月銷售利潤達元．
10（2023春 海曙區期末）第19屆亞運會即將在杭州舉行，某商店購進一批亞運會紀念品進行銷售，已知每件紀念品的成本是30元．如果銷售單價定為每件40元，那么日銷售量將達到100件．據市場調查，銷售單價每提高1元，日銷售量將減少2件．
（1）若銷售單價定為每件45元，求每天的銷售利潤；
（2）要使每天銷售這種紀念品盈利1600元，同時又要讓利給顧客，那么該紀念品的售價單價應定為每件多少元？
【分析】（1）利用每天的銷售利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，即可求出結論；
（2）設該紀念品的售價單價應定為每件x元，則每件的銷售利潤為（x﹣30）元，日銷售量為100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，利用每天的銷售利潤＝每件的銷售利潤×日銷售量，可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論．
【解答】解：（1）根據題意得：（45﹣30）×[100﹣2×（45﹣40）]
＝15×[100﹣2×5]
＝15×[100﹣10]
＝15×90
＝1350（元）．
答：每天的銷售利潤為1350元；
（2）設該紀念品的售價單價應定為每件x元，則每件的銷售利潤為（x﹣30）元，日銷售量為100﹣2（x﹣40）＝（180﹣2x）件，
根據題意得：（x﹣30）（180﹣2x）＝1600，
整理得：x2﹣120x+3500＝0，
解得：x1＝50，x2＝70，
又∵要讓利給顧客，
∴x＝50．
答：該紀念品的售價單價應定為每件50元．
【總結】本題主要考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
1.（2023春 花山區校級期中）某商店從廠家以每件18元的價格購進一批商品．該商品可以自行定價．據市場調查，該商品的售價與銷售量的關系是：若每件售價a元，則可賣出（320﹣10a）件，但物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的25%，如果商店計劃要獲利400元．則每件商品的售價應定為（　　）
A．22元 B．24元 C．26元 D．28元
【分析】利用商店銷售該商品獲得的利潤＝每件的銷售利潤×銷售數量，即可得出關于a的一元二次方程，解之即可得出a的值，再結合物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的25%，即可確定每件商品的售價．
【解答】解：依題意得：（a﹣18）（320﹣10a）＝400，
整理得：a2﹣50a+616＝0，
解得：a1＝22，a2＝28．
又∵物價部門限定每件商品加價不能超過進貨價的25%，
∴售價不能超過18×（1+25%）＝22.5（元）．
∴a＝22．
故選：A．
【總結】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
2.（2023 常德三模）一商店銷售某種商品，當每件利潤為30元時，平均每天可售出20件，
經過一段時間銷售，發現銷售單價每降低1元，平均每天可多售出2件，當每件商品的單價降低
　 　元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元．
【分析】設商品單價降低x元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元，然后根據利潤＝單件利潤×銷售量，列出方程求解即可．
【解答】解：設商品單價降低x元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元，
由題意得，（30﹣x）（20+2x）＝800，
整理得：x2﹣20x+100＝0，
解得x＝10，
∴當每件商品的單價降低10元時，該商店銷售這種商品每天的利潤為800元，
故答案為：10．
【總結】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，正確理解題意找到等量關系列出方程是解題的關鍵．
3.（2023秋 陽城縣期末）某商品進價每件30元，有一段時間若以x元賣出，則可賣（100﹣x）件，商場計劃要賺1200元，同時又讓顧客得到實惠，則該商品的售價x＝　 　元．
【分析】根據利潤＝每件利潤×銷售量，每件利潤＝每件售價﹣每件進價．再根據所列一元二次方程最大值即可．
【解答】解：根據題意，得（100﹣x）（x﹣30）＝1200，
整理得x2﹣130x+4200＝0，
解方程，得x1＝60，x2＝70，
要讓顧客得到實惠，
價格取較低的，
故x＝60，
故答案為：60．
【總結】本題考查了把實際問題轉化為一元二次方程．此題為數學建模題解決實際問題．
4.（2023秋 鄒平市期末）某商店經銷一批小家電，每個小家電成本40元，市場預測定價為50元時，可銷售200個，當定價每增加1元時銷售量將減少10個．若商店進貨全部售完后賺了2250元，則本次小家電的銷售定價是 　 　．
【分析】設本次小家電的銷售定價是x元，則每個的銷售利潤為（x﹣40）元，可銷售[200﹣10（x﹣50）]個，根據商店進貨全部售完后賺了2250元，列出一元二次方程，解方程即可．
【解答】解：設本次小家電的銷售定價是x元，則每個的銷售利潤為（x﹣40）元，可銷售[200﹣10（x﹣50）]個，
根據題意得：（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]＝2250，
整理得：x2﹣110x+3025＝0，
解得：x1＝x2＝55，
即本次小家電的銷售定價是55元．
故答案為：55元．
【總結】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
5．某汽車租賃公司共有300輛可供出租的某款汽車，2021年每輛汽車的日租金為100元，由于物價上漲，到2023年日租金上漲到121元．
(1)求2021年至2023年日租金的平均增長率．
(2)經市場調研發現，從2023年開始，當每輛汽車的日租金定為121元時，汽車可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2輛．已知汽車租賃公司每日需為每輛租出的汽車支付各類費用31元，每輛未租出的汽車支付各類費用10元．
①在每輛汽車日租金121元的基礎上，設上漲元，則每輛汽車的日租金為______元，實際能租出______輛車．
②當每輛汽車的日租金上漲多少元時，該租賃公司的日收益可達28200元？(日收益總租金各類費用)
【答案】(1)
(2)①，；
②或元
【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及列代數式；
（1）設年至年日租金的平均增長率為，利用年每輛汽車的日租金年每輛汽車的日租金年至年日租金的平均增長率，可列出關于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；
（2）①利用每輛汽車的日租金每輛汽車日租金上漲的錢數，可用含的代數式表示出每輛汽車的日租金；利用實際能租出的數量每輛汽車日租金上漲的錢數，即可用含的代數式表示出實際能租出的數量；
②利用日收益總租金各類費用，可列出關于的一元二次方程，解之即可得出結論．
【詳解】（1）解：設年至年日租金的平均增長率為，
根據題意得：，
解得： (不符合題意，舍去)．
答：2年至年日租金的平均增長率為；
（2）①根據題意得：在每輛汽車日租金元的基礎上，設上漲元，則每輛汽車的日租金為元，
實際能租出輛．
故答案為：，；
②根據題意得：，
整理得：，
解得：．
答：當每輛汽車的日租金上漲或元時，該租賃公司的日收益可達元．
6.（2024春 寧明縣期末）某童裝專賣店在銷售中發現，一款童裝每件的進價為80元，當銷售單價為120元時，每天可售出20件．為了迎接六一兒童節，該專賣店決定采取適當的降價措施，以最大限度地擴大銷售量，減少庫存，增加利潤．據測算，每件童裝每降價1元，平均每天可多售出2件，設每件童裝降價x元．
（1）每天可售出 　 　件，每件盈利 　 　元．（用含x的代數式表示）
（2）當每件童裝降價多少元時，平均每天盈利1200元？
（3）平均每天的盈利能否達到2000元？請說明理由．
【分析】（1）根據銷售量＝原銷售量+因價格下降而增加的數量，每件利潤＝實際售價﹣進價，列式即可；
（2）根據總利潤＝每件利潤×銷售數量，列方程求解可得；
（3）根據每臺的盈利×銷售的件數＝2000元，即可列方程，再根據根的判別式求解．
【解答】解：（1）設每件童裝降價x元時，每天可銷售（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，
故答案為：（20+2x），（40﹣x）；
（2）根據題意，得：（20+2x）（40﹣x）＝1200．
解得：x1＝20，x2＝10，
∵擴大銷售量，增加利潤，
∴x＝20，
答：每件童裝降價20元，平均每天盈利1200元；
（3）依題意，可列方程：
（40﹣x）（20+2x）＝2000，
化簡，得x2﹣30x+600＝0，
Δ＝（﹣30）2﹣4×1×600＝﹣1500＜0．
故方程無實數根．
故平均每天銷售利潤不能達到2000元．
【總結】本題主要考查一元二次方程的實際應用，理解題意找到題目蘊含的等量關系是列方程求解的關
7．（23-24八年級下·江蘇南通·階段練習）小明大學畢業后和同學創業，合伙開了一家網店，暑期銷售原創設計的手繪圖案恤衫．已知每件恤衫的成本價為60元，當銷售價為100元時，每天能售出20件；經過一段時間銷售發現，當銷售價每降低1元時，每天就能多售出2件，
(1)若降價8元，則每天銷售恤衫的利潤為多少元？
(2)小明希望每天獲得的利潤達到1050元并且優惠最大，則每件恤衫的銷售價應該定為多少？
(3)為了保證每件恤衫的利潤率不低于，小明每天能否獲得1200元的利潤？若能，求出定價；若不能，請說明理由．（利潤率）
【答案】(1)若降價8元，則每天銷售恤衫的利潤為元
(2)每件恤衫的銷售價應該定為元
(3)不能，理由見解析
【分析】本題考查了一元二次方程的應用、一元一次不等式的應用、有理數的混合運算的應用，理解題意，正確列出方程和不等式是解此題的關鍵．
（1）根據題意列出式子計算即可得出答案；
（2）設每件恤衫降價元，則每天的銷售量為件，根據“每天獲得的利潤達到1050元”列出一元二次方程，解方程即可得出答案；
（3）設每件恤衫降價元，根據“為了保證每件恤衫的利潤率不低于”列出一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范圍，再根據“獲得1200元的利潤”列出一元二次方程，解方程即可得出答案．
【詳解】（1）解：由題意得：（元），
∴若降價8元，則每天銷售恤衫的利潤為元；
（2）解：設每件恤衫降價元，則每天的銷售量為件，
由題意得：，
解得：或，
當時，售價為（元），
當時，售價為（元），
∵優惠最大，
∴，
∴每件恤衫的銷售價應該定為元；
（3）解：不能，理由如下：
設每件恤衫降價元，
∵為了保證每件恤衫的利潤率不低于，
∴，
解得：，
由題意得：，
解得：或，
∵，
∴或都不符合題意，舍去，
∴為了保證每件恤衫的利潤率不低于，小明每天不能獲得1200元的利潤．
8．（2024·廣西·模擬預測）某景區研發一款紀念品，投放景區內進行銷售，每件成本20元，銷售一段時間發現，每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元/件）滿足一次函數關系，部分圖象如圖．
(1)求出銷售量（件）與銷售單價（元/件）之間的函數解析式；
(2)當銷售單價為多少元時，每天的獲利可以達到1600元．
【答案】(1)
(2)40元或者60元
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，待定系數法求一次函數表達式，解題的關鍵是理解題意，能正確列出一元二次方程．
（1）利用待定系數法求解可得；
（2）由題意可得，， 再求解即可．
【詳解】（1）解：設解析式為，
根據圖象可知，點在上，代入可得，
∴ ，
解得，
∴y與x的函數關系式為；
（2）解：由題意可得，，
解得，，
答：當銷售價為40元或者60元時，每天的利潤可以達到1600元．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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