資源簡介

1.集合與常用邏輯用語——高考數(shù)學一輪復習大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點1：元素及集合的概念
1.集合的含義與表示
(1)元素：一般地，把研究對象統(tǒng)稱為元素，常用小寫的拉丁字母a，b，c…表示．
(2)集合：一些元素組成的總體，簡稱集，常用大寫拉丁字母A，B，C…表示．
(3)集合相等：指構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的．
(4)集合中元素的特性：確定性、互異性和無序性．
2．元素與集合的關(guān)系
(1)屬于：如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，記作a∈A.
(2)不屬于：如果a不是集合A中的元素，就說a不屬于集合A，記作a A.
3．常見的數(shù)集及表示符號
數(shù)集 非負整數(shù)集(自然數(shù)集) 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
符號 N N*或N＋ Z Q R
4.集合的表示方法
(1)列舉法
把集合的元素一一列舉出來，并用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法．
(2)描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法稱為描述法．一般形式為A＝{x∈I | p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范圍，p是各元素的共同特征．
考點2：元素間的基本關(guān)系
1. 集合與集合的關(guān)系
（1）子集：對于兩個集合A，B，如果集合 A 中任意一個元素都是集合 B 中的元素，就稱集合A為集合B的子集.
記作：或.
讀作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
（2）集合相等：如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時集合B的任何一個元素都是集合A的元素，那么集合A與集合B相等.記作A = B.
即：若AB，且BA，則A = B.
2. 真子集：對于兩個集合A與B，如果集合，但存在元素，且，就稱集合A是集合B的真子集.
記作：（或）.
3. 空集：一般地，我們把不含任何元素的集合叫做空集，記為.
空集是任何集合的子集.
4. 子集性質(zhì)：（1）任何一個集合是它本身的子集，即.
（2）對于集合A，B，C，如果，且，那么.
5.結(jié)論：含n個元素的集合的所有子集的個數(shù)是，所有真子集的個數(shù)是.
考點3：集合的基本運算
1. 并集定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作，讀作“A并B”，即=.
Venn圖表示：
2.交集定義：一般地，由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合，稱為集合A與B的交集，記作，讀作“A交B”，即.
Venn圖表示：
3.集合的運算性質(zhì)：
（1） A，即任何集合與其本身的并集等于這個集合本身；
（2） A，即任何集合與空集的并集等于這個集合本身.
（3） A，即任何集合與其本身的交集等于這個集合本身；
（4），即任何集合與空集的交集等于空集.
4. 全集定義：一般地，如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集，記作U.
5. 補集定義：對于一個集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集U的補集，簡稱為集合A的補集，記作，即=.
Venn圖表示：
考點4：題及其關(guān)系
1.四種命題及其關(guān)系
2．四種命題的真假性
原命題 逆命題 否命題 逆否命題
真 真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 假
假 假 假 假
3．四種命題間的真假關(guān)系
（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．
考點5：分條件與必要條件
若p 、q中所涉及的問題與變量有關(guān)，p、q中相應變量的取值集合分別記為A，B，
那么有以下結(jié)論：
p與q的關(guān)系 集合關(guān)系 結(jié)論
p是q的充分不必要條件
p是q的必要不充分條件
p是q的充要條件
p是q的既不充分也不必要條件
考點6：單的邏輯聯(lián)結(jié)詞
1. 含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷
p q p∨q p∧q ﹁p
真 真 真 真 假
真 假 真 假 假
假 真 真 假 真
假 假 假 假 真
2. 確定p∧q，p∨q，﹁p真假的記憶口訣：
p∧q→見假即假，p∨q→見真即真，p與﹁p→真假相反．
考點7：詞與存在量詞
1.全稱量詞與存在量詞
（1）全稱量詞：含有量詞“所有，任意，一切，全部，每一個”等，符號： .
（2）存在量詞：含有量詞“存在一個，至少一個，有些，某些”等，符號： .
2. 全(特)稱命題及其否定
(1)全稱命題p： x∈M，p(x)．它的否定 p： x0∈M， p(x0) ；
(2)特稱命題p： x0∈M，p(x)．它的否定 p： x∈M， p(x) ；
(3)命題p∨q的否定是( p)∧( q)；命題p∧q的否定是( p)∨( q)．
（二）典型例題
1.已知集合，，其中，函數(shù)的定義域為A，值域為B，則a，k的值分別為( )
A.2，3 B.3，4 C.3，5 D.2，5
2.集合A滿足：，，則A的個數(shù)是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3.“”是“”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知存在，；對任意，，若p或q為假，則實數(shù)m的取值范圍為( )
A. B. C.或 D.
5.（多選）下面四個命題，其中錯誤的是( )
A.，恒成立； B.，；
C.，； D.，
6.（多選）下列結(jié)論正確的是( )
A.“”是“”的充分不必要條件
B.“”是“”的必要不充分條件
C.“，有”的否定是“，使”
D.“是方程的實數(shù)根”的充要條件是“”
7.已知集合，，若，則k的取值范圍是_________.
8.已知集合，，且，則實數(shù)a的取值集合是________
9.設集合，.
(1)若且，求a的取值范圍；
(2)若，求a的取值范圍.
10.已知集合，.
（1）當時，求，；
（2）若求實數(shù)a的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：D
解析：函數(shù)的定義域為A，值域為B，所以當時，；當時，；當時，；當時，；所以，又，所以若，解得或，因為，所以.此時，所以，則；
若，又，所以不成立.綜上，.故選：D.
2.答案：B
解析：因為，所以，，，，又，
所以5可能屬于集合A，也可能不屬于集合V，所以集合或，
所以符合題意的集合A有2個.
3.答案：A
解析：，反之不成立，故選A.
4.答案：B
解析：若p真則；若q真，即恒成立，所以，解得.
因為p或q為假命題，所以p，q全假.所以有，所以.故選：B.
5.答案：ABC
解析：對于A，當時，，故A錯誤；
對于B，由，解得：，是無理數(shù)，則3x也是無理數(shù)，故B錯誤；
對于C，由于對任意實數(shù)x滿足都成立，故C錯誤；
對于D，由原不等式得，
所以，都有成立，故D正確；故選：ABC
6.答案：ACD
解析：對于A，因為，所以或，所以“當”時，“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，正確；
對于B，“”一定有“”成立，反之不成立，故“”是“”的充分不必要條件，錯誤；
對于C，命題“，有”是全稱量詞命題，其否定是存在量詞命題，即“，使”，正確；
對于D，當時，1為方程的一個根，故充分；當方程有一個根為1時，代入得，故必要，正確；故選：ACD
7.答案：
解析：，即，解得，，，
，，即k的取值范圍是.故答案為：.
8.答案：，或
解析：因為方程的解集為，所以，因為，所以或或或，又，所以或或或，所以或，所以a的取值集合是，或.故答案為：，或.
9.答案：(1)
(2)
解析：(1)因為，且，所以，解得，，綜上所述，a的取值范圍為.
(2)由題意，需分為和兩種情形進行討論：
當時，，解得，，滿足題意；
當時，因為，所以，解得，或無解；
綜上所述，a的取值范圍為.
10.答案：（1）或，
（2）
解析：（1）由，即，解得或，
所以或，
當時，，
所以，
或，.
（2）因為，
當時，即，解得，符合題意；
當時，可得，解得，
綜上可得a的取值范圍是.

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