資源簡介

2.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點(diǎn)1：函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念
一般地，設(shè)A ， B是非空的實數(shù)集，如果對于集合A中的任意一個數(shù)x，按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng)，那么就稱f：為從集合A到集合B的一個函數(shù)，記作
其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域.
2.函數(shù)的三個要素：定義域，對應(yīng)關(guān)系，值域.
3.區(qū)間
（1）研究函數(shù)時常會用到區(qū)間的概念.設(shè)a，b是兩個實數(shù)，而且，我們規(guī)定：
a.滿足不等式的實數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，表示為；
b. 滿足不等式的實數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，表示為；
c. 滿足不等式或的實數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間，分別表示為.
（2）在數(shù)軸表示時，用實心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn).
（3）實數(shù)集R可以用區(qū)間表示為.
（4） 把滿足的實數(shù)x的集合，用區(qū)間分別表示為.
考點(diǎn)2：函數(shù)的表示方法
1.常用的函數(shù)表示法
解析法，列表法，圖像法.
2.分段函數(shù)
若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的數(shù)字來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).
考點(diǎn)3：函數(shù)的單調(diào)性
單調(diào)函數(shù)的定義
（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，區(qū)間：
如果，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞增.
如果，當(dāng)時，都有，那么就稱函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減.
（2）圖像描述：
圖象 特征 函數(shù)在區(qū)間D上的圖象是單調(diào)遞增的 函數(shù)在區(qū)間D上的圖象是單調(diào)遞減的
圖示
（3）知識拓展
函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)，，且.
函數(shù)在區(qū)間D上是減函數(shù)，且.
2.函數(shù)的最值
（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：
，都有；，使得.那么，我們稱M是函數(shù)的最大值.
（2）定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果存在實數(shù)M滿足：
，都有；，使得.那么，我們稱M是函數(shù)的最小值.
考點(diǎn)4：函數(shù)的奇偶性
1.函數(shù)的奇偶性
（1）定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù).
（2） 定義：一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為I，如果，都有，且，那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).
2.奇、偶函數(shù)的性質(zhì)
（1）奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性相反.
（2）在公共定義域內(nèi)：
兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，
兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；
兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；
一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的積為奇函數(shù).
考點(diǎn)5：函數(shù)的周期性
1.周期函數(shù)的概念
對于函數(shù)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得x取定義域內(nèi)的任何值時，都有，那么函數(shù)叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作的周期，如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫作的最小正周期.
2.二次函數(shù)的解析式
（1）一般式：.
（2）頂點(diǎn)式：若二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則其解析式為.
（3）兩根式：若相應(yīng)的一元二次方程的兩根為，則其解析式為.
3. 二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)
解析式
圖像
定義域 R R
值域
單調(diào)性 在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù) 在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)
對稱性 函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱
考點(diǎn)6：冪函數(shù)
1.冪函數(shù)的定義
一般地，形如的函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù)．
2.冪函數(shù)的圖象
3.冪函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)
定義域 R R R
值域 R R
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù)
單調(diào)性 在R上遞增 在上遞減，在上遞增 在R上遞增 在上遞增 在和上遞減
圖像
過定點(diǎn)
考點(diǎn)7：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
1.根式的概念
根式的概念 符號表示 備注
一般地，如果，那么x叫作a的n次方根
當(dāng)n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個負(fù)數(shù) 零的n次方根是零
當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù) 負(fù)數(shù)沒有偶次方根
2.兩個重要公式
；
，注意a必須使有意義.
3.有理指數(shù)冪
（1）冪的有關(guān)概念
（i）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：；
（ii）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：；
（iii）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.
（2）有理指數(shù)冪的性質(zhì)
；
；
.
4.指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)

圖像
性質(zhì) 定義域 R
值域
過定點(diǎn) 過點(diǎn) 即x=0時，y=1
單調(diào)性 是R上的增函數(shù) 是R上的減函數(shù)
考點(diǎn)8：對數(shù)與對數(shù)函數(shù)
1.對數(shù)的概念
（1）對數(shù)的定義
如果，那么指數(shù)x叫作以a為底N的對數(shù)，記作，其中a叫作對數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù).
（2）幾種常見對數(shù)
對數(shù)形式 特點(diǎn) 記法
一般對數(shù) 底數(shù)為a
常用對數(shù) 底數(shù)為10
自然對數(shù) 底數(shù)為e
2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算法則
（1）對數(shù)的性質(zhì)
a.；
b.
（2）對數(shù)的重要公式
a.換底公式：
b.
c..
（3）對數(shù)的運(yùn)算法則
如果，那么
a.；
b.
c..
3.對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)
底數(shù)
圖像
性質(zhì) 定義域
值域 R
過定點(diǎn) 過點(diǎn)
單調(diào)性 是R上的增函數(shù) 是R上的減函數(shù)
4.反函數(shù)
指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，他們的圖像關(guān)于直線y=x對稱，其圖像關(guān)系如圖所示：
考點(diǎn)9：函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根
1.函數(shù)的零點(diǎn)
（1）函數(shù)零點(diǎn)的定義：對于函數(shù)，把使的實數(shù)x叫作函數(shù)的零點(diǎn).
（2）三個等價關(guān)系：方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與x軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn).
2.函數(shù)零點(diǎn)存在性定理
（1）條件：在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不間斷的一條曲線；端點(diǎn)值滿足
（2）結(jié)論：存在，使得.
考點(diǎn)10：二分法求函數(shù)的零點(diǎn)
1.二分法
（1）對于區(qū)間上連續(xù)不斷的，且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，從而得到零點(diǎn)近似值的方法，叫做二分法.
（2）用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)近似值的步驟
第一步：確定區(qū)間，驗證，給定精確度，
第二步：求區(qū)間的中點(diǎn)c，
第三步：計算.
（i）若，則c就是函數(shù)的零點(diǎn)；
（ii）若，則令b=c(此時零點(diǎn))；
（iii）若，則令（此時零點(diǎn)）
第四步，判斷是否達(dá)到精確度，即若，則得到零點(diǎn)近似值a（或b）；否則，重復(fù)第二、三、四步.
考點(diǎn)11：函數(shù)模型
1.幾種常見的函數(shù)模型
函數(shù)模型 函數(shù)解析式
一次函數(shù)模型
二次函數(shù)模型
指數(shù)函數(shù)模型
對數(shù)函數(shù)模型
冪函數(shù)模型
“對勾”函數(shù)模型
2.三種增長型函數(shù)模型的性質(zhì)比較
函數(shù) 性質(zhì)
在上的增減性 增函數(shù) 增函數(shù) 增函數(shù)
增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn)
圖像的變化 隨x值的增大圖像與y軸接近于平行 隨x值的增大圖像與x軸接近于平行 隨值變化而不同
聯(lián)系 存在一個，當(dāng)時，有
3.“對勾”函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù).
（1）該函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時，時取得最小值；當(dāng)時，時取最大值-.
考點(diǎn)12：函數(shù)的綜合應(yīng)用
1.解函數(shù)應(yīng)用題的步驟（四步八字）
（1）審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；
（2）建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學(xué)知識建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；
（3）求模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；
（4）還原：將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實際問題的意義
考點(diǎn)13：導(dǎo)數(shù)的概念及幾何意義
1.導(dǎo)數(shù)的概念：
如果當(dāng)時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱在處可導(dǎo)，并把這個確定的值叫做在處的導(dǎo)數(shù)（也稱為瞬時變化率），記作或，即.
2. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：
函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是切線的斜率，即.
3. 導(dǎo)函數(shù)的概念：
當(dāng)變化時，就是的函數(shù)，我們稱它為的導(dǎo)函數(shù)（簡稱導(dǎo)數(shù)）.的導(dǎo)函數(shù)有時也記作，即.
考點(diǎn)14：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
原函數(shù) 導(dǎo)函數(shù)
αxα－1
2. 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
（1）；
（2）；
（3）
考點(diǎn)15：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性
1.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系
設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，是的導(dǎo)數(shù)，則在某個區(qū)間內(nèi)，如果f′(x0)>0那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
考點(diǎn)16：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極（最）值
1.函數(shù)的極值
a.函數(shù)的極值的定義
一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，
（1）若對于附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個極大值，記作；
（2）若對于附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個極小值，記作.
極大值與極小值統(tǒng)稱為極值，在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.
b.求函數(shù)極值的基本步驟：
（1）確定函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)數(shù)；
（3）求方程的根；
（4）檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負(fù)，則在這個根處取得極大值；如果左正右負(fù)，則在這個根處取得極小值（最好通過列表法）.
2. 函數(shù)的最值
（1）函數(shù)的最小值與最大值定理
若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值，如.
（2）通過導(dǎo)數(shù)求數(shù)最值的的基本步驟：
若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：
求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)；
求方程在內(nèi)的根；
求在內(nèi)使的所有點(diǎn)的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；
比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.
考點(diǎn)17：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
1.不等式恒成立（有解）問題的處理方法
（1）形如恒成立，主要方法如下：
法1：構(gòu)造函數(shù)，使恒成立，即恒成立，求的最小值即可.
法2：參變量分離：或恒成立，即或，求的最大值或最小值即可.
（2）形如有解問題的求解方法：
法1：構(gòu)造函數(shù)：，在時有解，即有解，即求的最大值即可.
法2：參變量分離：有解，即或，即求的最值問題.
2.證明形如的不等式恒成立的方法
法1：構(gòu)造函數(shù)：，即恒成立，轉(zhuǎn)化為求的最小值問題.
法2：若，則恒成立，證明的最小值大于或等于的最大值.
法3：中間變量法：且，則（為中間函數(shù)，且為一次函數(shù)較多）.
3.生活中的優(yōu)化問題
（1）生活中經(jīng)常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題，導(dǎo)數(shù)在這一類問題中有著重要的作用，它是求函數(shù)最大（小）值的有力工具.
（2）解決優(yōu)化問題的基本思路：優(yōu)化問題—用函數(shù)表示數(shù)學(xué)問題—用導(dǎo)數(shù)解決數(shù)學(xué)問題—優(yōu)化問題的答案
（二）典型例題
1.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為( )
A. B. C. D.
2.已知是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
4.已知是定義在R上的函數(shù)，是的導(dǎo)函數(shù)，若，且，則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
5.（多選）函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的有( )
A. B. C. D.
6.（多選）已知函數(shù)，且，則( )
A. B.
C.的最小值為 D.
7.已知，，若，，使得，則實數(shù)m的最大值是________.
8.已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，當(dāng)時，，且，則不等式的解集為__________.
9.已知函數(shù)（且）.
（1）若在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，求a的值；
（2）解關(guān)于x的不等式.
10.已知函數(shù)，，.
(1)討論的單調(diào)區(qū)間；
(2)若有三個極值點(diǎn)，求正數(shù)k的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由題意可知函數(shù)的定義域為，即，故，則的定義域為，則對于，需滿足，，
即的定義域為，故選：C
2.答案：C
解析：因為是定義在R上的奇函數(shù)，所以，，
因為當(dāng)時，，所以當(dāng)時，，，所以由二次函數(shù)的單調(diào)性可知的最大的單調(diào)遞增區(qū)間為，若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，
所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：C.
3.答案：A
解析：設(shè)，則在上恒成立，
所以在單調(diào)遞減，所以，即，
所以，因為
，
所以，綜上：.故選：A.
4.答案：D
解析：由，得，設(shè)，則，所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增，因為，所以，所以不等式等價于，即，所以，解得，所以不等式的解集為.
5.答案：ABC
解析：由題圖可知，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，在處取得極小值.，和為方程的兩根且，所以，，所以，，所以，故A正確，B正確.，故C正確.，故D錯誤.
6.答案：AD
解析：函數(shù)，，由，得，
對于AB，，則，解得，A正確，B錯誤；
對于C，在上單調(diào)遞增，則，C錯誤；
對于D，，而在上單調(diào)遞增，，因此，D正確.故選：AD.
7.答案：2
解析：，，使得，；在上單調(diào)遞減，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，；
，解得：，則實數(shù)m的最大值為2.故答案為：2.
8.答案：
解析：因為為奇函數(shù)，定義域為R，所以，兩邊同時求導(dǎo)可得，即且，又因為當(dāng)時，，所以.構(gòu)造函數(shù)，則，所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又因為，所以，在上大于零，在上小于零，又因為，所以在上大于零，在上小于零，
因為為奇函數(shù)，所以在上小于零，在上大于零，
綜上所述，的解集為.故答案為：
9.答案：（1）或
（2）當(dāng)時，原不等式解集為；當(dāng)時，原不等式解集為
解析：（1）因為在上為單調(diào)函數(shù)，且函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值之差為1，所以，即，解得或；
（2）因為函數(shù)是上的減函數(shù)，
所以即
當(dāng)時，，原不等式解集為；
當(dāng)時，，原不等式解集為.
10.答案：(1)答案見解析；
(2)
解析：(1)，則，
當(dāng)時，的兩根為，.
①若，在上單調(diào)遞增；
②若，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
③若，則，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
④若，則，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，無單調(diào)減區(qū)間，單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；
當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
當(dāng)時，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和.
(2)根據(jù)題意可知，函數(shù)的定義域為，
則，
由函數(shù)有三個極值點(diǎn)，，可知在上至少有三個實數(shù)根；顯然，則需方程，
也即有兩個不等于3的不相等的實數(shù)根；
由可得，，
令，，則，，
顯然當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；所以，
畫出函數(shù)，與函數(shù)在同一坐標(biāo)系下的圖象，
經(jīng)檢驗可知當(dāng)時，導(dǎo)函數(shù)在，，左右符號不同，即，，均是的變號零點(diǎn)，滿足題意；
因此實數(shù)k的取值范圍是.

展開更多......

收起↑