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3.三角函數與解三角形——高考數學一輪復習大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點1：任意角與弧度制
1.任意角的概念
（1）我們把角的概念推廣到任意角，任意角包括正、負角、零角.
正角：按逆時針方向旋轉形成的角.
負角：按順時針方向旋轉形成的角.
零角：如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個零角.
（2）終邊相同的角：與終邊相同的角可以表示為.
2.弧度與角度的互化
（1）1弧度的角：長度等于半徑長的弧所對的圓心角.
（2）角的弧度數公式：.
（3）角度與弧度的換算
（4）扇形的弧長及面積公式：
弧長公式：.
面積公式：.
3.象限角
第一象限角的集合
第二象限角的集合
第三象限角的集合
第四象限角的集合
考點2：三角函數的概念
1.三角函數
（1）任意角的三角函數的定義
設角終邊上任意一點P（原點除外）的坐標為，它與原點的距離為r，則.
（2）三角函數值在各象限內的符號
上述符號規律可簡記為：一全正，二正弦，三正切，四余弦.
2. 終邊相同的角的三角函數
即終邊相同的角的同一三角函數值相等.
3.三角函數線
各象限內角的三角函數線如下表：
角的終邊所在的象限 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
圖形
當角的終邊與x軸重合時，正弦線、正切線分別變成一個點，此時角的正弦值和正切值都為0，當角的正弦值都為0，
當角的終邊與y軸重合時，余弦線變成一個點，正切線不存在，此時角的余弦值為0，正切值不存在.
考點3：同角三角函數的基本關系式
（1）平方關系：.
（2）商數關系：.
考點4 ：誘導公式
函數 角 正弦 余弦 正切
角“”的三角函數的記憶口訣為“奇變偶不變，符號看象限.”
考點5：三角函數式的求值與化簡
1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）
（3）.
3.降冪公式
（1）；
（2）
考點6：三角函數式的變形
1.其他常用變形
；
；
.
2.輔助角公式
其中
3.角的拆分與組合
（1）用已知角表示未知角
例如，
（2）互余與互補關系
例如，
.
（3）非特殊角轉化為特殊角
例如，.
考點7：三角函數的圖像及其變換
1.用五點法作正弦函數和余弦函數的簡圖
（1）正弦函數的圖像中，五個關鍵點：.
（2）余弦函數的圖像中，五個關鍵點：，.
2.用“五點法”畫在一個周期內的簡圖
用五點畫圖法畫在一個周期內的簡圖時，一般先列表，后描點，連線，其中所列表如下：
0
0 0 - 0
3.的物理意義
振幅 周期 頻率 相位 初相
4.由函數的圖像變換得到圖像的步驟
上述兩種變換的區別：先相位變換再周期變換（伸縮變換），平移的量是個單位；而先周期變換（伸縮變換）再相位變換，平移的量是個單位.原因在于相位變換和周期變換都是針對x而言的.
特別提醒
（1）平移前后兩個三角函數的名稱如果不一致，應先利用誘導公式化為同名函數.
（2）為負值時應先變成正值.
考點8：三角函數的性質及其應用
1.正弦函數、余弦函數、正切函數的圖像和性質
函數 性質
定義域 R R
圖像
值域 R
對稱性 對稱軸： 對稱中心： 對稱軸： 對稱中心： 對稱中心：
周期
單調性 單調增區間： 單調減區間： 單調增區間： 單調減區間： 單調增區間：
奇偶性 奇 偶 奇
考點9：正弦定理
(2R為△ABC外接圓的直徑)．
變形：．
．
a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C．
考點10：余弦定理
.
推論：.
變形：
考點11：面積公式
考點12：解三角形及其綜合應用
1.有關概念
（1）仰角和俯角
在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖a）.
（2）方位角
從指北方向順時針轉到目標方向線的水平角叫方位角，如B點的方位角為（如圖b）
（3）方向角：相對于某一正方向的水平角（如圖c）.
a.北偏東：指北方向順時針旋轉到達目標方向.
b.東北方向：指北偏東方向.
（4）坡角：坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角（如圖d，角為坡角）.
坡度：坡面的鉛直高度與水平寬度之比叫做坡度（或坡比）（如圖d，i為坡比.）
考點13：三角形的面積公式
1.已知三角形一邊及該邊上的高，利用（h表示邊a上的高）.
2.已知三角形的兩邊及其夾角，利用）
（二）典型例題
1.在半徑為10的圓中，的圓心角所對弧長為( )
A. B. C. D.
2.已知，則( )
A. B. C. D.
3.將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，若函數在區間上是單調增函數，則實數可能的取值為( )
A. B.3 C. D.2
4.已知，，，則( )
A. B. C. D.
5.（多選）設函數，則下列結論正確的是( )
A.的最小正周期為 B.的圖象關于直線對稱
C.的一個零點為 D.的最大值為1
6.（多選）已知，且，，則( )
A. B.
C. D.
7.已知角的頂點在坐標原點，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點，則________.
8.已知函數在上單調遞增，則______.
9.已知函數滿足.
（1）求函數的解析式及最小正周期；
（2）函數的圖象是由函數的圖象向左平移個單位長度得到，若，求的最小值.
10.已知，，，角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點.
（1）求
（2）設函數，求的最小正周期.
答案以及解析
1.答案：A
解析：，，根據弧長公式可得：.故選：A.
2.答案：D
解析：.故選：D.
3.答案：C
解析：因為將函數的圖象向右平移個單位長度得到函數的圖象，所以當時，因為函數在區間上是單調增函數，所以，解得，故選：C
4.答案：D
解析：由已知可得，解得
，，，
，故選：D.
5.答案：ABD
解析：函數.
對于A，的最小正周期為，故A正確；
對于B，，所以的圖象關于直線對稱，故B正確；
對于C，，所以不是的一個零點，故C錯誤；
對于D，函數，則的最大值為1，故D正確.故選：ABD.
6.答案：BCD
解析：由，得，由，得，即，顯然，而，則，對于A，，A錯誤；對于B，，B正確；對于C，，C正確；
對于D，，則
，D正確.故選：BCD.
7.答案：
解析：依題意，所以.
故答案為：.
8.答案：
解析：函數，由，得，因此函數在上單調遞增，又在上單調遞增，于是，即，解得，所以.故答案為：.
9.答案：（1），；
（2）
解析：（1），，而，
，即，的最小正周期為：；
（2）由題意，，
，由，得，
，，又，的最小值為.
10.答案：（1）
（2）π
解析：（1），，，
的終邊經過點，，
由三角函數的定義可知，，
.
（2），
又由（1）可知，
所以
，
.所以的最小正周期為π.

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