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4.平面向量——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點1：平面向量的概念
1.向量的有關(guān)概念及表示法
名稱 定義 表示法
向量 既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫作向量的長度（或模） 向量： 模：
零向量 長度為0的向量叫零向量，其方向是任意的 記作0
單位向量 長度等于1個單位的向量 常用e表示
平行向量 方向相同或相反的非零向量 a與b共線可記為 0與任一向量共線
共線向量 平行向量又叫做共線向量
相等向量 長度相等且方向相同的向量
相反向量 長度相等且方向相反的向量 a與b互為相反向量，則a=-b，0的相反向量為0
考點2：平面向量的線性運算
1. 平面向量的線性運算
向量運算 定義 法則（或幾何意義） 運算律
加法 求兩個向量和的運算 （1）交換律： （2）結(jié)合律：
減法 求a與b的相反向量-b的和的運算
數(shù)乘 求實數(shù)與向量a的積的運算 （1）； （2）當(dāng)時，與的方向相反； 當(dāng)時，
2.共線向量定理
如果向量與共線，那么存在唯一一個實數(shù)使得.
考點3：平面向量基本定理
平面向量基本定理
如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使.
2.基底
若不共線，則把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底.
3. 平面向量的正交分解
把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.
考點4：平面向量的坐標(biāo)
設(shè)向量，則有下表：
運算 文字描述 符號表示
加法 兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和
減法 兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差
數(shù)乘 實數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)
向量坐標(biāo)公式 一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點的坐標(biāo)減去起點的坐標(biāo) 已知， 則
2. 平面向量共線的坐標(biāo)表示
（1）設(shè)，其中共線的充要條件是存在實數(shù)，使.
（2）如果用坐標(biāo)表示，向量共線的充要條件是.
考點5：平面向量的數(shù)量積
1.兩個向量的夾角
向量的夾角：已知兩個非零向量，如圖，是平面上的任意一點，作，則叫做向量與的夾角.記作.
當(dāng)時，向量同向；當(dāng)時，向量垂直，記作；當(dāng)時，向量反向.
2.平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念
定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為，把數(shù)量叫做向量與的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作，即.
坐標(biāo)表示：設(shè)向量，則.
這就是說，兩個向量的數(shù)量積等于它們對應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.
運算律：
（1）交換律：；
（2）數(shù)乘結(jié)合律：；
（3）分配律：.
3.投影向量
如圖，設(shè)是兩個非零向量，，過的起點和終點，分別作所在直線的垂線，垂足分別為，得到，這種變換稱為向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量.
考點6：平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
1.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)
設(shè)是非零向量，它們的夾角是是與方向相同的單位向量，則
（1）；
（2）；
（3）當(dāng)與同向時，；當(dāng)與反向時，，特別地，或；
（4）由可得，；
（5）
2.向量垂直的坐標(biāo)表示
設(shè)向量，則.
考點7：平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用
1.常見應(yīng)用
已知，則
（1）證明垂直問題，常用向量垂直的充要條件：
（2）求向量夾角問題，利用夾角公式：
（3）求線段的長度：向量的模或.
考點8：向量中常用的結(jié)論
在中，所對的邊分別為.
（1）在的條件下，存在使得為的內(nèi)心；為的的內(nèi)心.
（2）為的外心
（3）為的重心.
（4）為的垂心.
（二）典型例題
1.在中，，，則( )
A. B. C. D.
2.已知與為非零向量，，，，若A，B，C三點共線，則( )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.已知向量，，若，則在上的投影向量的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，滿足，且，則( )
A. B.5 C. D.6
5.（多選）已知，，均為非零向量，下列命題錯誤的是( )
A.， B.可能成立
C.若，則 D.若，則或
6.（多選）已知平面向量，，則( )
A.當(dāng)時，
B.若，則
C.若，則
D.若與的夾角為鈍角，則
7.已知向量，，若，則_______.
8.已知向量，，若，則m的值為________.
9.已知，，.
(1)求與的夾角；
(2)求與.
10.已知非零向量，滿足，且.
(1)若向量與共線，求實數(shù)k的值；
(2)若向量與垂直，求實數(shù)k的值；
答案以及解析
1.答案：C
解析：.
2.答案：D
解析：由題意知，A，B，C三點共線，故，，且，共線，故不妨設(shè)，，則，所以，解得，故選：D.
3.答案：C
解析：因為，，，所以，得，
所以，，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，故選：C.
4.答案：D
解析：由，得，由，得，則，
由，得，即，則，所以.故選：D.
5.答案：ACD
解析：仍是向量，不是向量，A錯；不妨取，，，則，，此時，B對；若，，，則，但，C錯；若，，則，但，，D錯.故選：ACD.
6.答案：ACD
解析：A.當(dāng)時，，故A正確；
B.若，則，解得，故B錯誤；
C.若，則，解得，故C正確；
D.由，若與的夾角為鈍角，則且與不共線，解得且，故D正確.故選ACD.
7.答案：
解析：因為，所以由可得，，解得.
8.答案：
解析：設(shè)向量，的夾角為，因為，可得，因為，所以，即向量與向量反向，又因為向量，，設(shè)，可得，可得且解得，.故答案為：.
9.答案：(1)；
(2)，.
解析：（1）由，得，
即，求得，
再由，可得.
（2）；
.
10.答案：(1)；
(2).
解析：（1）依題意，不是零向量，由向量與共線，
得存在實數(shù)，使得，則，
所以.
（2）由，，得，
由向量與垂直，得，
整理得，即，而，
所以.

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