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5.數列——高考數學一輪復習大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點1：數列的概念
1.數列的概念
一般地，我們把按照確定的順序排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的項. 數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第1項，常用符號表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第2項，用表示...第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用表示.其中第1項也叫做首項.
2.數列的分類
分類原則 類型 滿足條件
項數 有窮數列 項數有限
無窮數列 項數無限
項與項間的大小關系 遞增數列
遞減數列
常數列
擺動數列 從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數列
考點2：數列的表示
1.數列的符號表示
數列的一般形式是，，…，，…，簡記為.
2.數列與函數的關系
數列是從正整數集（或它的有限子集）到實數集R的函數，其自變量是序號n，對應的函數值是數列的第n項，記為.
3.數列的函數表示法及性質
數列可以用表格和圖象來表示，定義數列的單調性，從第2項起，每一項都大于它的前一項的數列叫做遞增數列；從第2項起，每一項都小于它的前一項的數列叫做遞減數列.特別地，各項都相等的數列叫做常數列.
4.數列的通項公式
如果數列的第n項與它的序號n之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的通項公式.通項公式就是數列的函數解析式，根據通項公式可以寫出數列的各項.
5.數列的前n項和與其通項公式的關系
若，則稱為數列的前n項和，由可求出通項公式.
已知，則.
考點3：等差數列的有關概念及運算
1.等差數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，公差通常用字母d表示.
2.等差中項
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列. 這時，A叫做a與b的等差中項. 根據等差數列的定義可以知道，.
3.通項公式
首項為，公差為d的等差數列的通項公式為.
4.通項公式的推廣
.
5.等差數列的前n項和
（1）；
（2）.
考點4：等差數列的性質
已知數列是等差數列，是的前n項和.
（1）若，則有.
（2）等差數列的單調性：
當時，是遞增數列；
當時，是遞減數列；
當時，是常數列.
（3）若是等差數列，公差為d，則是公差為md的等差數列.
（4）若是等差數列，則也是等差數列，其首項與的首項相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差數列，分別為的前m項，前2m項，前3m項的和，則成等差數列，公差為（d為數列的公差）.
（6）關于非零等差數列奇數項和與偶數項和的性質
（i）若項數為2n，則.
（ii）若項數為2n-1，則，.
（7）兩個等差數列、的前n項和之間的關系為
考點5：等比數列的有關概念及運算
1.等比數列的定義
一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示（顯然）.
2.等比中項
如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的等比中項.此時，.
3.通項公式
首項為，公比為q的等比數列的通項公式為.
4.等比數列的前n項和
設等比數列的首項為，公比為q，則的前n項和是.
根據等比數列的通項公式，上式可寫成.①
用公比q乘①的兩邊，可得.②
用①減去②，可得，即.
因此，當時，我們就得到了等比數列的前n項和公式.（1）
因為，所以公式（1）還可以寫成.
5.等比數列與指數函數的關系
由可知，當且時，等比數列的第n項是指數函數當時的函數值，即.
考點6：等比數列的性質
1.等比數列的常用性質
（1）通項公式得推廣：
（2）若為等比數列，且，則.
（3）若，（項數相同）是等比數列，則仍是等比數列.
2.等比數列的前n項和的性質
（1）當（或且為奇數）時，是等比數列.
注意：當且k為偶數 時，不是等比數列.
（2）若，則成等比數列.
（3）若數列的項數為2n，與分別為偶數項與奇數項的和，則；
若項數為2n+1，則.
3.等比數列的單調性
等比數列的通項公式為，它的圖像是分布在曲線上的一群孤立的點.
當時，等比數列是遞增數列；
當時，等比數列是遞增數列；
當時，等比數列是遞減數列；
當時，等比數列是遞減數列；
當時，等比數列是擺動數列；
當時，等比數列是常數列.
考點7：數列求和
1.公式法
（1）直接用等差、等比數列的求和公式求解.
（2）掌握一些常見的數列的前n項和公式.
；
；
；
；
.
2.倒序相加法
如果一個數列，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法.
3.錯位相減法
如果一個數列的各項是由一個等差數列和一個等比數列的對應項之積構成的，那么這個數列的前n項和即可用此法來求.
4.裂項相消法
把數列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.
常見的拆項公式：
；
；
.
5.分組求和法
有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，即先分別求和，再合并，形如：
（2）.
考點8：解答數列應用題的基本步驟
（1）審題--仔細閱讀材料，認真理解題意；
（2）建模-將已知條件翻譯成數學（數列）語言，將實際問題轉化成數學問題，弄清該數列的特征以及要求什么；
（3）求解--求出該問題的數學解；
（4）還原-將所求結果還原到實際問題中.
考點3：數列應用題常見模型
1.（1）等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定值，那么該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差.其一般形式是（常數）.
（2）等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數，那么該模型是等比模型，這個固定的數就是公比.其一般形式是（q為常數，且）.
（3）混合模型：在一個問題中同時涉及等比數列和等差數列的模型.
（4）生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數增加（或減少），同時又以一個固定的具體量增加（或減少），稱該模型為生長模型，如分期付款問題，樹木的生長與砍伐問題等.
如設貸款總額為a，年利率為r，等額還款數為b，分n期還完，則.
（5）遞推模型：如果容易推導該數列任意一項，與它的前一項（或前幾項）間的遞推關系式，那么我們可以用數列的知識求解.
（二）典型例題
1.等比數列的前n項和，則( )
A.-2 B. C.0 D.
2.已知正項等比數列的前n項和為，若，，成等差數列，則的最小值為( )
A.25 B.20 C.15 D.10
3.記為等差數列的前n項和，若，，則( )
A.21 B.19 C.12 D.42
4.已知數列是等比數列，若，，則( )
A. B. C. D.
5.（多選）若數列為等比數列，為數列的前n項和，則下列說法正確的是( )
A.數列是等比數列 B.數列是等比數列
C.，，成等比數列 D.數列是等比數列
6.（多選）等差數列中，，則下列命題正確的是( )
A.若，則
B.若，，則
C.若，，則
D.若，則，
7.設是等差數列，且，，則數列的前項和_____________.
8.已知為等比數列，是其前n項和，若，，則________.
9.已知數列的首項，且滿足，記，.
（1）證明：是等比數列；
（2）記，證明；數列的前n項和.
10.記遞增的等差數列的前項和為，已知，且.
(1)求和；
(2)設.求數列的前項和.
答案以及解析
1.答案：C
解析：，當時，，當時，，故，
當時，，從而，由于是等比數列，故，解得，故.故選：C.
2.答案：B
解析：因為是正項等比數列，所以，，仍然構成等比數列，所以.又，，成等差數列，所以，所以.又是正項等比數列，所以，所以，當且僅當時取等號.故選B.
3.答案：A
解析：是等差數列，，即，所以故公差，，，故選：A
4.答案：B
解析：設等比數列的公比為q，因為，，所以由，得，所以，又，即，所以，
所以.故選：B.
5.答案：BD
解析：設等比數列的公比為，則，當時，，此時數列不是等比數列，故A錯誤；
因為是等比數列，所以，又，所以數列是等比數列，故B正確；
當，且n為正偶數時，，此時，，不成等比數列，故C錯誤；因為是等比數列，所以，又，所以數列是等比數列，故D正確.故選：BD.
6.答案：ACD
解析：等差數列中，，對于A，若，則，A正確；對于B，，則，，則，，因此，即，B錯誤；
對于C，，則，C正確；
對于D，由，得，解得，則，，D正確.
7.答案：100
解析：因為，所以，所以的公差，又，
所以.故答案為：100.
8.答案：12
解析：設等比數列的公比為q，，由得，由于，所以，
則，所以.
故答案為：12
9.答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）因為，，所以，，
所以，
因為，，所以；
因為，，所以，
所以，
所以是以5為首項，2為公比的等比數列.
（2）由（1）可得，
因為，
所以得證.
10.答案：(1)；；
(2)
解析：（1）設的公差為d，因為，所以，
又，所以，解得，
所以，
.
（2），
所以.

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