資源簡(jiǎn)介

6.不等式——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大單元知識(shí)清單
（一）核心知識(shí)整合
考點(diǎn)一：不等式的基本性質(zhì)
一、兩實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)
a>b a-b>0；a=b a-b=0；a二.不等式的基本性質(zhì)
性質(zhì)1：若a>b，則b性質(zhì)2：若a>b，b>c，則a>c.
性質(zhì)3：若a>b，則a+c>b+c.
性質(zhì)4：若a>b，c>0，則ac>bc；若a>b，c<0，則ac性質(zhì)5：若a>b，c>d，則a+c>b+d.
性質(zhì)6：若a>b>0，c>d>0，則ac>bd.
特別地，若a>b>0，則an>bn(n∈N*).
三、比較實(shí)數(shù)(代數(shù)式)的大小
作差比較法 作商比較法
依據(jù) a-b>0 a>b； a-b<0 a0，b>0且>1 a>b； a>0，b>0且<1 a應(yīng)用范圍 作差后可化為積或商的形式 同號(hào)兩數(shù)(式)比較大小
步驟 ①作差； ②變形； ③判斷符號(hào)； ④下結(jié)論 ①作商； ②變形； ③判斷商與1的大小關(guān)系； ④下結(jié)論
變形 技巧 ①分解因式； ②平方后作差； ③配方法； ④分子(分母)有理化 按照同類的項(xiàng)進(jìn)行分組
四、利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍
利用幾個(gè)代數(shù)式的取值范圍來確定某個(gè)代數(shù)式的取值范圍是一類常見的綜合問題，對(duì)于這類問題要注意“同向不等式的兩邊可以相加”，但這種轉(zhuǎn)化不是等價(jià)變形，在一個(gè)解題過程中多次進(jìn)行這種轉(zhuǎn)化后，就有可能擴(kuò)大真實(shí)的取值范圍.解決此類問題，可先建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，再通過一次不等關(guān)系的運(yùn)算求得待求式的取值范圍.
5、利用不等式的性質(zhì)證明不等式
利用不等式的性質(zhì)證明不等式的實(shí)質(zhì)就是利用性質(zhì)對(duì)不等式進(jìn)行變形，變形時(shí)，一要考慮已知不等式與未知不等式在運(yùn)算結(jié)構(gòu)上的聯(lián)系，二要考慮變形要等價(jià)，三要注意性質(zhì)使用的前提條件.
考點(diǎn)二：基本不等式
一、兩個(gè)重要不等式
不等式 變形 等號(hào)成立的條件 注意
， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 a，b∈R
基本不等式： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立 a，b≥0
二、基本不等式與最值
1.對(duì)于正數(shù)a，b
(1)和為定值s時(shí)，積有最大值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最大值；
(2)積為定值p時(shí)，和有最小值，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值.
2.在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，要把握不等式成立的三個(gè)條件
一正——各項(xiàng)均為正數(shù).
二定——和或積為定值.
三相等——等號(hào)成立的條件.
3.基本不等式鏈
已知a，b為正實(shí)數(shù)，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立)，
其中稱為平方平均數(shù)，稱為算術(shù)平均數(shù)，稱為幾何平均數(shù)，稱為調(diào)和平均數(shù).
三、利用基本不等式求無附加條件的最值
1.利用基本不等式求最值的注意事項(xiàng)
(1)一正：各項(xiàng)必須都是正值.
若各項(xiàng)都是正數(shù)，則可以直接用基本不等式求最值；若各項(xiàng)都是負(fù)數(shù)，則可以整體提出負(fù)號(hào)，化為正數(shù)，再用基本不等式求最值；若有些項(xiàng)為正數(shù)，有些項(xiàng)為負(fù)數(shù)，則不可以用基本不等式求最值.
考點(diǎn)三：一元二次方程和一元二次不等式
一、二次函數(shù)的零點(diǎn)
1.一元二次方程的根就是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值取零時(shí)自變量x的值，即二次函數(shù)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也稱為二次函數(shù)的零點(diǎn).
二、一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是2的整式不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
或(a，b，c均為常數(shù)，且a≠0).
三、三個(gè)“二次”(二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式)的關(guān)系
判別式 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函數(shù) (a>0)的圖象
一元二次方程的根 有兩個(gè)相異的實(shí)數(shù)根 有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 沒有實(shí)數(shù)根
一元二次 不等式的 解集 R

注意：當(dāng)一元二次不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，可化為正數(shù)再求解
四、一元二次不等式的解法
1. 解不含參數(shù)的一元二次不等式的一般步驟
(1)化標(biāo)準(zhǔn)：通過對(duì)不等式的變形，使不等號(hào)右側(cè)為0，左側(cè)的二次項(xiàng)系數(shù)為正.
(2)判別式：對(duì)不等號(hào)左側(cè)因式分解，若不易分解，則計(jì)算其對(duì)應(yīng)方程的判別式.
(3)求實(shí)根：求出相應(yīng)的一元二次方程的根或根據(jù)判別式說明方程有無實(shí)根.
(4)畫草圖：根據(jù)一元二次方程根的情況畫出其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象的草圖.
(5)寫解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.
2.解含參數(shù)的一元二次不等式
(1)不改變解題步驟.
(2)根據(jù)運(yùn)算的需要進(jìn)行分類討論：
①討論二次項(xiàng)系數(shù)：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)討論二次項(xiàng)系數(shù)與0的大小關(guān)系，然后將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式或二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式；
②討論不等式對(duì)應(yīng)方程根的個(gè)數(shù)：當(dāng)不等式對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的個(gè)數(shù)不確定時(shí)，討論判別式Δ與0的關(guān)系；
③討論兩根的大小：確定方程有兩根時(shí)，要討論兩根的大小關(guān)系，從而確定解集的形式.
五、三個(gè)“二次”之間的關(guān)系
1.三個(gè)“二次”之間的關(guān)系
(1)在三個(gè)“二次”中，二次函數(shù)是主體，研究二次函數(shù)問題主要是將問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程和一元二次不等式的形式來解決.
(2)研究一元二次方程和一元二次不等式時(shí)，要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系，通過二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)來解決相關(guān)問題.
2.應(yīng)用三個(gè)“二次”之間的關(guān)系解題的思路
已知以a，b，c為參數(shù)的不等式(如)的解集求解其他不等式的解集時(shí)，一般遵循：
①根據(jù)解集判斷二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)和一元二次方程的根；
②根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系把b，c用a表示出來并代入所要解的不等式；
③約去a，將不等式化為具體的一元二次不等式求解.
六、一元二次不等式的恒(能)成立問題
1.解決與一元二次不等式恒(能)成立的有關(guān)問題的方法
(1)將與一元二次不等式有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為其所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)問題，考慮二次項(xiàng)系數(shù)和對(duì)應(yīng)方程的判別式的符號(hào)這兩方面.
(2)將與一元二次不等式有關(guān)的問題轉(zhuǎn)化為其對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的最值問題，分離參數(shù)后，求相應(yīng)二次函數(shù)的最值，建立參數(shù)與這個(gè)最值的關(guān)系.
七、一元二次不等式的實(shí)際應(yīng)用問題
1. 利用一元二次不等式解決實(shí)際問題的一般步驟
(1)選擇合適的字母表示題目中起關(guān)鍵作用的未知量；
(2)根據(jù)題中信息構(gòu)造不等關(guān)系或函數(shù)模型；
(3)解一元二次不等式；
(4)結(jié)合題目的實(shí)際意義確定答案.
八、通過三個(gè)“二次”問題發(fā)展直觀想象的素養(yǎng)
三個(gè)“二次”中綜合問題解題思路的探究，是以二次函數(shù)的圖象為幾何直觀，通過其開口方向、對(duì)稱軸、端點(diǎn)函數(shù)值、對(duì)應(yīng)方程的判別式等，對(duì)相關(guān)一元二次方程(不等式)進(jìn)行定量計(jì)算，進(jìn)而解決相關(guān)問題.
(2)二定：各項(xiàng)之和或各項(xiàng)之積為定值.
解決利用基本不等式求最值問題的關(guān)鍵是湊出“和”或“積”為定值，常見的湊項(xiàng)技巧：
①拆(裂項(xiàng)、拆項(xiàng))：對(duì)分子的次數(shù)不低于分母次數(shù)的分式進(jìn)行整式分離——分離成整式與“真分式”的和，再根據(jù)分式中分母的情況對(duì)整式進(jìn)行拆項(xiàng)，為應(yīng)用基本不等式湊定值創(chuàng)造條件.
②并(分組并項(xiàng))：分組后，各組可以單獨(dú)應(yīng)用基本不等式或先對(duì)一組應(yīng)用基本不等式，再在組與組之間應(yīng)用基本不等式得出最值.
③配(配式、配系數(shù))：根據(jù)題設(shè)條件采取合理配式、配系數(shù)的方法，使配式與待求式相乘后可以應(yīng)用基本不等式得出定值，或配以恰當(dāng)?shù)南禂?shù)后，積式中的各項(xiàng)之和為定值.
(3)三相等：必須驗(yàn)證取等號(hào)時(shí)條件是否成立，若等號(hào)不成立，則不能用基本不等式求最大(小)值.
四、利用基本不等式求有限制條件的最值
利用基本不等式求有限制條件的最值常見的解法是換(常值代換、變量代換)，首先對(duì)條件變形，以進(jìn)行代換，再構(gòu)造利用基本不等式求最值的形式.常用于“已知（a，b，x，y均為正數(shù))，求的最小值”和 “已知(a，b，x，y均為正數(shù))，求x+y的最小值”兩種類型.
五、利用基本不等式證明不等式
1.利用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵是所證不等式中必須有“和”式或“積”式，通過將
“和”式轉(zhuǎn)化為“積”式或?qū)ⅰ胺e”式轉(zhuǎn)化為“和”式，達(dá)到放縮的效果.證明不等式常用的變形技巧：
(1)拆分、配湊：將所要證明的不等式先拆分成幾部分，再利用基本不等式證明.
(2)常值代換：利用已知的條件或?qū)⒁阎獥l件變形得到含“常值”的式子，將“常值”代入
后再利用基本不等式證明.
2.多次運(yùn)用基本不等式時(shí)，需要注意兩點(diǎn)：一是不等號(hào)方向要一致，二是等號(hào)要能同時(shí)取到.
（二）典型例題
1.已知，，則( )
A. B.
C. D.P，Q的大小與x有關(guān)
2.若關(guān)于x的不等式的解集為，則不等式的解集為( )
A. B.
C. D.
3.已知，，且，則的最小值是( )
A. B.25 C.4 D.8
4.設(shè)，若關(guān)于的不等式在上有解，則( )
A. B. C. D.
5.（多選）下列命題為真命題的是( )
A.若，且，則 B.若，則
C.若，則 D.若，則
6.（多選）若對(duì)任意滿足的正實(shí)數(shù)x，y，恒成立，則正整數(shù)m的取值為( )
A.1 B.2 C.3 D.4
7.已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則不等式的解集為__________.
8.若"，使"是假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_______.
9.已知函數(shù).
(1)若，對(duì)任意的都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
(2)求關(guān)于x的不等式的解集.
10.已知正數(shù)a，b滿足；
(1)求ab的最大值；
(2)證明：.
答案以及解析
1.答案：D
解析：由題意可得，
當(dāng)即或時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，
當(dāng)即時(shí)，，故P、Q的大小與x有關(guān).故選：D.
2.答案：B
解析：關(guān)于x的不等式的解集為，則方程的兩根為和2，
則，即.則化為，整理得，可解得或.故答案為：B.
3.答案：A
解析：因?yàn)椋裕?
因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)即，時(shí)等號(hào)成立，則.
故選：A.
4.答案：C
解析：由在上有解，得在上有解，則，由于，而在單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取最大值為，故，
故選：C
5.答案：AD
解析：對(duì)于A，，又，故，A正確；
對(duì)于B，不妨設(shè)，，則，故B錯(cuò)誤.
對(duì)于C，，
，，，，， ，所以C錯(cuò)誤.
對(duì)于D，，，，，，，所以D正確.故選：AD.
6.答案：AB
解析：因?yàn)椋遥?br/>所以
，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以的最小值為16，
所以由，得，因?yàn)椋曰颍蔬x：AB.
7.答案：
解析：二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，
不等式，，即，所以，
所以所求不等式的解集為.故答案為：.
8.答案：
解析：因?yàn)?，使"是假命題，所以"，"為真命題，其等價(jià)于在上恒成立，又因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
9.答案：（1）
（2）當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為或
解析：（1）因?yàn)閷?duì)任意的都成立，
當(dāng)時(shí)，則有，合乎題意；
當(dāng)時(shí)，即對(duì)任意的都成立，
則，解得.
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
（2）由可得，
即，
當(dāng)時(shí)，解得，則原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，即，可得，則原不等式解集為；
當(dāng)時(shí)，即，可得，則原不等式的解集為或.
綜上所述：當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為；當(dāng)時(shí)，原不等式解集為或.
10.答案：（1）2
（2）見解析
解析：（1），，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故ab的最大值為2.
（2）由，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
故得證.