資源簡介

7.空間向量與立體幾何——高考數學一輪復習大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點1：空間幾何體
1.空間幾何體
多面體 旋轉體
定義 一般地，由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體. 一條平面曲線（包括直線）繞它所在平面內的一條定直線旋轉所形成的曲面叫做旋轉面，封閉的旋轉面圍成的幾何體叫做旋轉體.
圖形
考點2：空間幾何體的結構特征
1.棱柱、棱錐、棱臺的結構特征
棱柱 棱錐 棱臺
定義 有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱. 有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的多面體叫做棱錐. 用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間那部分多面體叫做棱臺.
相關概念 （1）底面（底）：兩個互相平行的面. （2）側面：其余各面. （3）側棱：相鄰側面的公共邊. （4）頂點：側面與底面的公共頂點. （1）底面（底）：多邊形面. （2）側面：有公共頂點的各個三角形面. （3）側棱：相鄰側面的公共邊. （4）頂點：各側面的公共頂點. （1）上底面：原棱錐的截面. （2）下底面：原棱錐的底面. （3）側面：其余各面. （4）側棱：相鄰側面的公共邊. （5）頂點：側面與底面的公共頂點.
圖形及表示 棱柱 （或六棱柱） 棱錐 （或四棱錐） 棱臺
分類 棱柱的底面是幾邊形就叫幾棱柱，例如，三棱柱、四棱柱…… 棱錐的底面是幾邊形就叫幾棱錐，例如，三棱錐、四棱錐…… 由幾棱錐截得的就叫幾棱臺，例如由三棱錐截得的棱臺叫三棱臺.
2.圓柱、圓錐、圓臺、球的結構特征
圓柱 圓錐 圓臺 球
定義 以矩形的一邊所在直線為旋轉軸，其余三邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓柱. 以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉軸，其余兩邊旋轉一周形成的面所圍成的旋轉體叫做圓錐. 用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺. 半圓以它的直徑所在直線為旋轉軸，旋轉一周形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉體叫做球體，簡稱球.
相關 概念 （1）軸：旋轉軸. （2）底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面. （3）側面：平行于軸的邊旋轉而成的曲面. （4）母線：無論旋轉到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側面的母線. （1）軸：旋轉軸. （2）底面：垂直于軸的邊旋轉而成的圓面. （3）側面：直角三角形的斜邊繞軸旋轉形成的曲面. （4）母線：無論旋轉到什么位置，斜邊都叫做圓錐的母線. （5）頂點：母線的交點. （1）上底面：原圓錐的截面. （2）下底面：原圓錐的底面. （3）軸：上、下底面圓心的連線所在的直線. （4）側面：原圓錐的側面被平面截去后剩余的曲面. （5）母線：原圓錐的母線被平面截去后剩余的部分. （1）球心：半圓的圓心. （2）半徑：連接球心和球面任意一點的線段. （3）直徑：連接球面上兩點并且經過球心的線段.
圖形及表示 圓柱 圓錐 圓臺 球
軸截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圓
側面展開圖 矩形 扇形 扇環
3.簡單組合體的結構特征
（1）簡單組合體的定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體.
（2）簡單組合體的兩種基本形式：
簡單組合體
考點3：空間幾何體的表面積
1.棱柱、棱錐、棱臺的表面積
多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和.一般地，表面積=側面積+底面積.
多面體 側面展開圖 面積公式
棱柱 （如三棱柱）
棱錐 （如三棱錐）
棱臺 （如三棱臺）
2.圓柱、圓錐、圓臺的表面積
旋轉體 側面展開圖 面積公式
圓柱 底面積： 側面積： 表面積：
圓錐 底面積： 側面積： 表面積：
圓臺 上底面面積： 下底面面積： 側面積： 表面積：
考點4：空間幾何體的體積
1.柱體、錐體、臺體的體積
幾何體 體積公式
柱體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
錐體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
臺體 （分別為上、下底面面積，為高）， （分別為上、下底面半徑，為高）
2.球的表面積和體積
（1）球的表面積：設球的半徑為，則球的表面積為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.
（2）球的體積：設球的半徑為，則球的體積為.
考點5：空間平面的基本性質
三個公理及其表示
公理 文字語言 圖形語言 符號語言
公理1 如果一條直線上的兩個點在一個平面內，那么這條直線在此平面內. 且.
公理2 過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面. 三點不共線 存在唯一的平面使.
公理3 如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線. ，且.
考點6：空間點、線、面的位置關系
1.空間中直線與直線之間的位置關系
（1）空間中兩條直線的位置關系
位置關系 特點
相交 同一平面內，有且只有一個公共點
平行 同一平面內，沒有公共點
異面 不同在任何一個平面內，沒有公共點
（2）公理4（平行線的傳遞性）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.
（3）等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.
（4）異面直線所成的角：已知兩條異面直線，經過空間任一點作直線，，我們把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）.
（5）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即時，與互相垂直，記作.
2.空間中直線與平面之間的位置關系
位置關系 直線在平面內 直線在平面外
直線與平面相交 直線與平面平行
公共點 無數個公共點 有且只有一個公共點 沒有公共點
符號表示
圖形表示
3.平面與平面之間的位置關系
位置關系 兩平面平行 兩平面相交
公共點 沒有公共點 有一條公共直線
符號表示
圖形表示
4.異面直線
（1）定義：不同在任何一個平面內的兩條直線.
（2）性質：兩條異面直線既不相交也不平行.
考點7：直線與平面平行的判定與性質
1.直線與平面平行的判定與性質
直線與平面平行的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行. ，，且.
該定理可簡記為“若線線平行，則線面平行”.
直線與平面平行的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行. ，，.
該定理可簡記為“若線面平行，則線線平行”.
考點8：平面與平面平行的判定與性質
1.平面與平面平行的判定與性質
平面與平面平行的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行. ，，，，
該定理可簡記為“若線面平行，則面面平行”.
平面與平面平行的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行. ，，.
該定理可簡記為“若面面平行，則線線平行”.
考點9：直線與平面垂直的判定與性質
1.直線、平面垂直的判定及其性質
（1）直線與平面垂直的概念
定義 如果直線與平面內的任意一條直線都垂直，我們就說直線與平面互相垂直，記作， 直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面.它們唯一的公共點叫做垂足.
畫法圖示 畫直線與平面垂直時，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直，如圖所示
（2）直線與平面垂直的判定定理
自然語言 圖形語言 符號語言
一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直. ，，，， .
該定理可簡記為“若線線垂直，則線面垂直”.
（3）直線與平面垂直的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
垂直于同一個平面的兩條直線平行. ，
2.直線和平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，圖中直線.
斜足 斜線和平面的交點，圖中點.
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影.
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角； 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角； 一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是的角.
取值范圍
3.二面角
概念 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.
圖示
記法 棱為，面分別為的二面角記為. 也可在內（棱以外的半平面部分）分別取點，記作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角.
圖示
符號 ，，，，，，是二面角的平面角.
范圍
規定 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
考點10：平面與平面垂直的判定與性質
1.平面與平面垂直的判定
（1）定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直.平面與平面垂直，記作.如圖
（2）判定定理：
自然語言 圖形語言 符號語言
一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直. ，.
該定理可簡記為“若線面垂直，則面面垂直”.
2.平面與平面垂直的性質定理
自然語言 圖形語言 符號語言
兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直. ，，， .
該定理可簡記為“若面面垂直，則線面垂直”.
考點11：空間向量及其線性運算
1.空間向量的概念
（1）空間向量及空間向量的模：空間中具有大小和方向的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模.
（2）空間向量的表示：用字母a，b，c，…表示，或用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，a的起點是A，終點是B，則a也可記作，其模記為或.
（3）零向量：規定長度為0的向量叫零向量，記為0.
（4）單位向量：模為1的向量叫單位向量.
（5）相反向量：與向量a長度相等而方向相反的向量，稱為a的相反向量，記為-a.
（6）共線向量：如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.
規定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有.
（7）相等向量：方向相同且模相等的向量稱為相等向量，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量.
2.空間向量的運算律
a.空間向量的加法、減法及數乘運算：
（1）；
（2）；
（3）當時，；
當時，；
當時，.
b.空間向量線性運算的運算律：
交換律：；
結合律：，；
分配律：，.（其中，）
3.共線向量和共面向量
（1）共線向量：對任意兩個空間向量a，b（），的充要條件是存在實數，使.
（2）直線的方向向量： O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，則對于直線l上任意一點P，由數乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實數，使得.把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.
（3）共面向量：如果表示向量a的有向線段所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱向量a平行于直線l. 如果直線OA平行于平面或在平面內，那么稱向量a平行于平面.平行于同一個平面的向量，叫做共面向量.
如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使.
考點12：空間向量的數量積運算
1.空間向量的夾角：已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作，，則叫做向量a，b的夾角，記作. 如果，那么向量a，b互相垂直，記作.
2.空間向量的數量積：已知兩個非零向量a，b，則叫做a，b的數量積，記作.即. 特別地，零向量與任意向量的數量積為0.
由向量的數量積定義，可以得到：；.
3.空間向量數量積的運算律：，；（交換律）；（分配律）.
考點13：空間向量基本定理
1.空間向量基本定理：如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序實數組（x，y，z）.使得.
2.如果三個向量a，b，c不共面，那么所有空間向量組成的集合就是.這個集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量.空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底.
3.單位正交基底：如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，那么這個基底叫做單位正交基底，常用{i，j，k}表示.
4.正交分解：把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量進行正交分解
考點14：空間向量及其運算的坐標表示
1.空間直角坐標系
在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}.以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz，O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面，Ozx平面，它們把空間分成八個部分.
2.空間向量運算的坐標表示
（1）空間向量運算的坐標表示：設，，則
，，
，，.
（2）空間向量的平行、垂直、長度和夾角余弦的坐標表示：
當時，，，；
；
；
.
（3）空間兩點間的距離公式：設，是空間中任意兩點，則.
考點15：用空間向量研究直線、平面的位置關系
1.空間直線的向量表示式
取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使 ①，將代人①式，得 ②，①式和②式都稱為空間直線的向量表示式. 由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.
2.空間平面的向量表示式
取定空間任意一點O，可以得到，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，使 ③. 我們把③式稱為空間平面ABC的向量表示式. 由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定.
3.空間中直線、平面的平行
①直線與直線平行：設，分別是直線，的方向向量，由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行，所以，使得.
②直線與平面平行：設u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，，則.
③平面與平面平行：設，分別是平面，的法向量，則，使得.
4.空間中直線、平面的垂直
①直線與直線垂直：設直線，的方向向量分別為，，則.
②直線與平面垂直：直線l的方向向量為u，平面的法向量為n，則，使得.
③平面與平面垂直：設平面，的法向量分別為，，則.
考點16：用空間向量研究距離、夾角問題
1.點到直線的距離
如圖，向量在直線l上的投影向量為，設，則向量在直線l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
2.點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為n，A是平面內的定點，P是平面外一點. 過點P作平面的垂線l，交平面于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面的距離就是在直線l上的投影向量的長度. 因此.
3.異面直線所成的角
若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.
4.直線與平面所成的角
直線AB與平面相交于點B，設直線AB與平面所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面的法向量為n，則.
5.二面角
若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補角.設平面與平面的夾角為，則
（二）典型例題
1.學校某生物老師指導學生培育了一盆綠蘿放置在教室內，綠蘿底部的盆近似看成一個圓臺，圓臺的上、下底面半徑之比為，母線長為8cm，其母線與底面所成的角為，則這個圓臺的體積為( )
A. B. C. D.
2.在三棱錐中，，，E，F分別是AB，CD的中點，，則直線AD與BC所成的角的余弦值為( )
A. B. C. D.
3.如圖，三棱錐中，平面ABC，，且為邊長等于2的正三角形，則DA與平面DBC所成角的正弦值為( )
A. B. C. D.
4.埃及金字塔是世界古代建筑奇跡之一，它形狀可視為一個正四棱錐，若金字塔的高為3，，點E滿足，則點D到平面的距離為( )
A. B. C. D.
5.（多選）在正方體中，AC與BD交于點O，則( )
A.平面 B.平面
C.平面平面 D.平面平面
6.（多選）在空間直角坐標系中，已知，，，，則以下正確的是( )
A. B.，夾角的余弦值為
C.A，B，C，D共面 D.點O到直線的距離是
7.如圖60°的二面角的棱上有A，B兩點，直線，分別在二面角兩個半平面內，且垂直于，，，則__________.
8.在正四棱錐中，若高為1，底面邊長為2，E為BC的中點，則異面直線PE與DB所成角的大小為______.
9.如圖，在三棱錐中，，，，.
（1）證明：平面PAB；
（2）過的中點作平面與平面ABC平行，并分別交，于點，，且E為的中點，求二面角的正弦值.
10.如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的動點，平面ABC，.
（1）求證：平面PBC；
（2）若C是的中點，E是BC的中點，，求平面ADE與平面ABC所成角的余弦值.
答案以及解析
1.答案：B
解析：依題意，設圓臺的上底面半徑為，則下底面半徑，因為母線長為8cm，其母線與底面所成的角為，所以，解得，所以，，
又圓臺的高，于是這個圓臺的體積.
2.答案：A
解析：取AC的中點N，連接FN，EN，因為E，F分別是AB，CD的中點，
所以，，故或其補角為直線AD與BC所成的角，，，又，故，
故直線AD與BC所成的角的余弦值為.故選：A
3.答案：B
解析：過點A作垂直于平面BCD的直線，垂足為O，利用等體積法求解AO.，由此解得，DA與平面DBC所成角為，所以，故選B
4.答案：A
解析：如圖，連接BD，設AC與BD相交于點O，連接PO，
以點O為坐標原點，OA，OB，OP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
則，，，，，，，
所以，，，
設平面AEC的法向量為，則，
取，得，所以點D到平面AEC的距離，故選：A.
5.答案：ABC
解析：設交于點，連接，
在正方體中，，，則四邊形為平行四邊形，可得，又平面，平面，所以平面，故A正確；可知，，
O為BD的中點，為的中點，則，，四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面，故B正確；
由A，B可知平面，平面，又，平面，平面，所以平面平面，故C正確；可知平面即為平面，而平面平面，可知平面與平面不平行，故D錯誤.
6.答案：ACD
解析：因為，，所以，A正確；
夾角的余弦值為，所以B錯誤；
因為，所以，所以A，B，C，D共面，所以C正確；
因為，所以，所以點O到直線的距離是，D正確.故選：ACD.
7.答案：10
解析：如圖，過點B作，且，連接，，
則，又，所以為等邊三角形，所以，
則四邊形為矩形，即，由，則，又，且，
所以平面，所以平面，又平面，所以，
則由勾股定理得.故答案為：10.
8.答案：或60°
解析：如圖，連結BD，作PO⊥平面ABCD，交BD于O.取AB中點F，取BC中點E.以O為原點，OF為x軸，OE為y軸，OP為z軸建立空間直角坐標系.
由已知得，，，，所以，.
所以.因為，所以.即異面直線PE與DB所成的角為.故答案為：.
9.答案：（1）證明見解析；
（2）
解析：（1）在中，，，所以.
在中，，，，因為，所以.即，
又，平面，，所以平面.
因為平面，所以，
又，平面，，
所以平面.
（2）如圖：以B為原點，建立如圖空間直角坐標系.
因為平面平面，且為中點，則為中點.
則，，，，，.
所以，，.
設平面的法向量為，
則，取；
設平面的法向量為，
則，取.
設二面角為，則，
所以.
10.答案：（1）證明見解析
（2）
解析：（1）AB是⊙O的直徑，，平面ABC，平面ABC，.
又，PA，平面PAC，平面PAC.
平面PAC，.
又，，PC，平面PBC，平面PBC.
（2），，D為PC的中點.
以A為坐標原點，AB的垂線為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標系，
如圖所示.
設，
則，，
故，
平面ABC的一個法向量為.
設平面ADE的一個法向量為，
則，即
令得，，即.
設平面ADE與平面ABC所成角為，
則
平面ADE與平面ABC所成角的余弦值為.

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