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8.平面解析幾何——高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點(diǎn)1：直線的傾斜角與斜率
1.當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角.
2.直線的傾斜角的取值范圍為.
3.一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.斜率常用小寫字母k表示，即.傾斜角是90°的直線沒有斜率.
4.如果直線經(jīng)過兩點(diǎn)，那么斜率公式為.
5.若直線l的斜率為k，它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為（x，y），則.
6.對于斜率分別為，的兩條直線，，有（1）；（2）.
考點(diǎn)2：直線的方程
1.直線的點(diǎn)斜式方程
（1）方程叫做直線的點(diǎn)斜式方程，簡稱點(diǎn)斜式.
當(dāng)直線l的傾斜角為0°時(shí)，直線l的方程是.
當(dāng)直線l的傾斜角為90°時(shí)，直線l的方程是.
（2）方程叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式.其中，k是直線的斜率，b是直線在y軸上的截距.
（3）對于直線，，且；.
2.直線的兩點(diǎn)式方程
（1）直線的兩點(diǎn)式方程：直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，（其中，），則，這就是直線的兩點(diǎn)式方程，簡稱兩點(diǎn)式.
（2）直線的截距式方程：方程叫做直線的截距式方程，簡稱截距式. 其中a叫做直線在x軸上的截距，b是直線在y軸上的截距.
3.直線的一般式方程
關(guān)于x，y的二元一次方程（其中A，B不同時(shí)為0）叫做直線的一般式方程，簡稱一般式.
考點(diǎn)3：直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式
1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)
設(shè)這兩條直線的交點(diǎn)為P，則點(diǎn)P既在直線上，也在直線上.點(diǎn)P的坐標(biāo)是方程組的解.解這個(gè)方程組就可以得到這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo).
2.兩點(diǎn)間的距離公式
（1），兩點(diǎn)間的距離公式.
（2）原點(diǎn)與任一點(diǎn)間的距離.
3.點(diǎn)到直線的距離公式
點(diǎn)到直線的距離
4.兩條平行直線間的距離
（1）兩條平行直線間的距離是指夾在這兩條平行直線間的公垂線段的長.
（2）兩條平行直線與間的距離為.
考點(diǎn)4：圓的方程
1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：圓心為，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：點(diǎn)在圓內(nèi)，則；在圓外，則.
3.圓的一般方程：. 其中.
考點(diǎn)5：直線與圓的位置關(guān)系
1.直線與圓的位置關(guān)系的判定
設(shè)直線l：，圓C：，d為圓心到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為.
位置關(guān)系 圖形 判斷方法 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
代數(shù)法 幾何法
相交 2
相切 1
相離 0
2.與圓的切線有關(guān)的結(jié)論
（1）過圓上一點(diǎn)的切線方程為；
（2）過圓上一點(diǎn)的切線方程為；
（3）過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)為A，B，則過A，B兩點(diǎn)的直線方程為；
（4）過圓外一點(diǎn)引圓的切線，切點(diǎn)為T，則切線長.
3.直線與圓相交
直線與圓相交時(shí)，若l為弦長，d為弦心距，r為半徑，則有，即，即，求弦長或已知弦長求其他量時(shí)，一般用此公式.
考點(diǎn)6：圓與圓的位置關(guān)系
1.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為，則
位置關(guān)系 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含
圖形
公共點(diǎn)個(gè)數(shù) 0 1 2 1 0
D，R，r的關(guān)系
公切線條數(shù) 4 3 2 1 0
2.兩圓相交時(shí)，公共弦所在直線的方程
設(shè)圓：，圓：，若兩圓相交，則有一條公共弦，兩圓方程相減得，即圓與的公共弦所在直線的方程.
考點(diǎn)7：橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1.定義
平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的和等于常數(shù)（大于）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距.
注意：若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段，若，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.
2.標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
3.焦點(diǎn)三角形
（1）P是橢圓上不同于長軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為橢圓的兩焦點(diǎn)，則，其中
（2）P是橢圓上不同于長軸兩端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，為橢圓的兩焦點(diǎn)，則的周長為.
（3）過焦點(diǎn)的弦AB與橢圓另一個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的的周長為4a.
考點(diǎn)8：橢圓的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
焦點(diǎn)位置及坐標(biāo) 焦點(diǎn)在x軸上 ， 焦點(diǎn)在y軸上 ，
圖形
范圍 ， ，
對稱性 關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱
頂點(diǎn)坐標(biāo) ，， ， ，， ，
長、短軸長 長軸長，短軸長
離心率
考點(diǎn)9：直線與橢圓的位置關(guān)系
1.直線與橢圓的位置關(guān)系的判斷
把橢圓方程與直線方程聯(lián)立消去y，整理成的形式，則：
直線與橢圓的位置關(guān)系
直線與橢圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)
直線與橢圓相切，有一個(gè)公共點(diǎn)
直線與橢圓相離，無公共點(diǎn)
2.弦長公式
設(shè)直線l：與橢圓交于.
則，，
.
考點(diǎn)10：雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1.定義
在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)，的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于且大于零）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，定點(diǎn)，叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做焦距.
2.標(biāo)準(zhǔn)方程
（1）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
考點(diǎn)11：雙曲線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn)方程
圖形
范圍 ， ，
對稱性 關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)對稱
頂點(diǎn)坐標(biāo) ，， ，，
長、短軸長 實(shí)軸長，虛軸長
漸近線 直線 直線
離心率
考點(diǎn)12：拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程
1.定義
平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，定直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.
2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
在拋物線中，記焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為P，以拋物線的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的垂線段的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以拋物線的軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，可以得到拋物線的四種不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，，其中.
考點(diǎn)13：拋物線的幾何性質(zhì)
標(biāo)準(zhǔn) 方程
圖形
焦點(diǎn)
準(zhǔn)線
頂點(diǎn)
開口 方向 右 左 上 下
對稱軸 x軸 y軸
x的取值范圍 R
y的取值范圍 R
離心率
（二）典型例題
1.已知直線經(jīng)過點(diǎn)，則的最小值為( )
A.4 B.8 C.9 D.
2.已知直線與圓C相切于點(diǎn)，圓心C在直線上，則圓C的方程為( )
A. B.
C. D.
3.“”是“方程表示的曲線為橢圓”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
4.已知雙曲線E的實(shí)軸長為8，且與橢圓有公共焦點(diǎn)，則雙曲線E的漸近線方程為( )
A. B. C. D.
5.（多選）已知點(diǎn)在拋物線（）上，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，，則下列說法正確的是( )
A. B.點(diǎn)F的坐標(biāo)為
C.直線AQ與拋物線相切 D.
6.（多選）已知雙曲線，則C的( )
A.焦點(diǎn)在y軸上 B.焦距為3
C.離心率為 D.漸近線為
7.雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別是，，過且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A B兩點(diǎn)，若為正三角形，則雙曲線的離心率為_______________.
8.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，經(jīng)過點(diǎn)且垂直于x軸的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且，，則橢圓C的離心率為_____________.
9.已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為.直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N.
(1)求橢圓C的方程；
(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求k的值.
10.已知圓，直線，當(dāng)時(shí)，直線l與圓O恰好相切.
（1）求圓O的方程；
（2）若直線l上存在距離為2的兩點(diǎn)M，N，在圓O上存在一點(diǎn)P，使得，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因?yàn)橹本€經(jīng)過點(diǎn)，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即、時(shí)取等號.故選：B
2.答案：D
解析：由題意，設(shè)，圓C的半徑為r，，解得，
所以圓心，半徑，所以圓C的方程為.故選：D.
3.答案：B
解析：若方程表示橢圓，則
，解得：，且，所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故選：B
4.答案：B
解析：橢圓的焦點(diǎn)在y軸上，其中，，，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為和，雙曲線的焦點(diǎn)為和，即，實(shí)軸長，則，
那么，所以雙曲線E的漸近線方程為，即.故選：B.
5.答案：AC
解析：將代入中可得，故，，A正確，B錯(cuò)誤，
，則AQ方程為，則，，故直線AQ與拋物線相切，C正確，由于軸，所以不成立，故D錯(cuò)誤，故選：AC
6.答案：AC
解析：因?yàn)殡p曲線，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
故焦點(diǎn)在y軸上，，，，故焦距為，離心率為，漸近線為，故A，C正確，B，D錯(cuò)誤.故選：AC
7.答案：
解析： 為正三角形，，又，
，，，，（舍去），故答案為：.
8.答案：
解析：由題意知，，，所以，即，又，即，
所以，故答案為：.
9.答案：（1）；
（2）1或-1.
解析：（1）由題意得解得.所以橢圓C的方程為.
（2）由得.
設(shè)點(diǎn)M，N的坐標(biāo)分別為，，則，，，，.所以.
由因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以的面積為.由，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，所以.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）當(dāng)時(shí).圓心O到直線l的距離為，則r＝2，
所以圓O的方程為.
（2）圓心O到直線l的距離
①當(dāng)直線l與圓O有公共點(diǎn)，即，解得，
若點(diǎn)P與點(diǎn)M（或N）重合，則滿足，符合題意.
②當(dāng)直線l與圓O無公共點(diǎn)，即，解得或，
由，可知點(diǎn)P在以MN為直徑的圓上，設(shè)線段MN的中點(diǎn)為，
則圓Q的方程為，
又圓Q與圓O有公共點(diǎn)，設(shè)圓Q的半徑，圓O的半徑，
則，
只需點(diǎn)O到直線l的距離，
所以或.
綜上，實(shí)數(shù)k的取值范圍為.

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