資源簡介

9.計數原理與概率統計——高考數學一輪復習大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點1：隨機抽樣
1.簡單隨機抽樣
（1）定義：一般地，設一個總體含有N（N為正整數）個個體，從中逐個不放回地抽取n（）個個體作為樣本，如果每次抽取時各個個體被抽到的機會都相等，就把這種抽樣方法叫做簡單隨機抽樣.
（2）最常用的簡單隨機抽樣方法有兩種：隨機數法和抽簽法.
2.分層抽樣
（1）定義：一般地，在抽樣時，將總體分成互不交叉的層，然后按照一定的比例，從各層獨立地抽取一定數量的個體，將各層取出的個體合在一起作為樣本，這種抽樣方法是分層抽樣.
（2）應用范圍：總體是由差異明顯的幾個部分組成的.
（3）分層抽樣的關鍵是根據樣本特征的差異進行分層，實質是等比例抽樣，抽樣比.
考點2：用樣本估計總體
1.頻率分布表與頻率分布直方圖
頻率分布表與頻率分布直方圖的繪制步驟如下：
（1）求極差，即求一組數據中最大值與最小值的差；
（2）決定組距與組數；
（3）將數據分組；
（4）列頻率分布表，落在各小組內的數據的個數叫做頻數，每小組的頻數與樣本容量的比值叫做這一小組的頻率，計算各小組的頻率，列出頻率分布表；
（5）畫頻率分布直方圖，依據頻率分布表畫出頻率分布直方圖，其中縱坐標（小長方形的高）表示頻率與組距的比值，其相應組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積，即每個小長方形的面積.
各個小長方形面積的總和等于1.
2.用樣本的數字特征估計總體的數字特征
數字特征 樣本數據 頻率分布直方圖
眾數 出現次數最多的數據 取最高的小長方形底邊中點的橫坐標
中位數 將數據按大小依次排列，處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數） 把頻率分布直方圖劃分為左右兩個面積相等的部分，分界線與x軸交點的橫坐標
平均數 樣本數據的算術平均數 每個小長方形的面積乘小長方形底邊中點的橫坐標之和
方差和標準差反映了數據波動程度的大小.
方差：；
標準差：.
考點3：變量間的相關關系
1.變量間的相關關系
（1）常見的兩變量之間的關系有兩類：一類是函數關系，另一類是相關關系.與函數關系不同，相關關系是一種非確定性關系.
（2）在散點圖中，點散布在從左下角到右上角的區域內，兩個變量的這種相關關系稱為正相關，點散布在從左上角到右下角的區域內，兩個變量的相關關系稱為負相關.
2.兩個變量的線性相關
（1）從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線.
（2）回歸直線方程
①最小二乘法：通過求的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數據的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
②回歸方程：方程是兩個具有線性相關關系的變量的一組數據的回歸方程，其中是待定參數.
，，其中，，稱為樣本點的中心.
（3）相關系數r：，當時，表明兩個變量正相關；當時，表明兩個變量負相關，r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關性越強；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關關系，當r的絕對值大于或等于0.75時，認為兩個變量有很強的線性相關關系.
考點4：分類變量與列聯表
1.分類變量
變量的不同“值”表示個體所屬的不同類別，像這樣的變量稱為分類變量.
2.列聯表
列出兩個分類變量的頻數表，稱為列聯表.假設有兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為和，其樣本頻數列聯表（稱為2×2列聯表）為：
總計
a b
c d
總計
可構造一個隨機變量，其中為樣本容量.
3.獨立性檢驗
利用獨立性假設、隨機變量來確定是否有一定把握認為“兩個分類變量有關系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗.
考點5：隨機事件
1.事件的分類
確定事件 必然事件 一般地，在條件S下，一定會發生的事件叫做相對于S的必然事件
不可能事件 在條件S下，一定不會發生的事件叫做相對于條件S的不可能事件
隨機事件 在條件S下，可能發生也可能不發生的事件叫做相對于條件S的隨機事件
2.事件的關系與運算
名稱 定義 符號表示
包含關系 如果事件A發生，則事件B一定發生，這時稱事件B包含事件A（或稱事件A包含于事件B） 或
相等關系 若，且，那么稱事件A與事件B相等
并事件 （和事件） 若某事件發生當且僅當事件A或事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的并事件（或和事件） 或
交事件 （積事件） 若某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生，則稱此事件為事件A與事件B的交事件（或積事件） 或
互斥事件 若為不可能事件，那么稱事件A與事件B互斥
對立事件 若為不可能事件，為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件 且（U為全集）
考點6：古典概型
1.古典概型的兩個特點
（1）有限性：試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個.
（2）等可能性：每個基本事件出現的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
（1）在基本事件總數為n的古典概型中，每個基本事件發生的概率都是相等的，即每個基本事件發生的概率都是.
（2）對于古典概型，任何事件的概率為.
考點7：計數原理
1.分類加法計數原理
完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.
2.分步乘法計數原理
完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有種不同的方法.
考點8：排列與排列數
1.排列的概念
一般地，從個不同元素中取出個元素，并按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列.
2.排列數的概念
從個不同元素中取出個元素的所有不同排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示.
3.排列數公式
.這里，并且.排列數公式還可以寫成.
4.全排列的概念
特別地，把個不同的元素全部取出的一個排列，叫做個元素的一個全排列.正整數1到的連乘積，叫做的階乘，用表示，于是，個元素的全排列數公式可以寫成.規定，.
考點9：組合與組合數
1.組合
一般地，從n個不同元素中取出個元素作為一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.
2.組合數
從n個不同元素中取出個元素的所有不同組合的個數，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數，用符號表示.
3.組合數公式
.這里，并且.
還可以寫成.規定1.
考點10：二項式定理
1.二項式定理
公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做的二項展開式，其中各項的系數叫做二項式系數.式中的叫做二項展開式的通項，用表示，即通項為展開式的第項：.
2.二項式系數的性質
1.對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數相等.
2.增減性與最大值：因為，即，所以，當時，即時，隨的增加而增大；由對稱性知，當時，隨的增加而減小. 當是偶數時，中間的一項取得最大值；當是奇數時，中間的兩項和相等，且同時取得最大值.
3.各項式系數的和：的展開式的各二項式系數的和等于.
考點11：離散型隨機變量及其分布列
1.離散型隨機變量的分布列
（1）如果隨機試驗的結果可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機變量，按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.
（2）一般地，若離散型隨機變量X的可能取得不同值為取每一個值的概率，則下表稱為隨機變量X的概率分布列，簡稱為X的分布列.
X … …
P … …
2.離散型隨機變量的分布列的性質
根據概率的性質，離散型隨機變量的分布列具有如下性質：
（1），；
（2）；
（3）.
3.常見的離散型隨機變量的概率分布模型
（1）兩點分布：若隨機變量X的分布列為
X 0 1
P 1-p p
則稱X服從兩點分布.
（2）超幾何分布：一般地，在含有M件次品的N件產品中任取n件，其中恰有X件次品，則，其中，且，，，則稱分布列
X 0 1 … m
p …
為超幾何分布.
考點12：離散型隨機變量的均值與方差
1.離散型隨機變量的均值
（1）一般地，若離散型隨機變量X的分布列如表所示，
X …
P …
則稱為隨機變量X的均值或數學期望，數學期望簡稱期望.
（2）兩點分布的均值：.
（3）均值的性質：；；.
2.離散型隨機變量的方差
（1）離散型隨機變量的方差與標準差：
稱為隨機變量的方差，有時也記為，并稱為隨機變量的標準差，記為.
（2）方差的性質：；；.
考點13：事件的相互獨立性
1.相互獨立事件的定義
對任意兩個事件A與B，如果成立，則稱事件與事件相互獨立，簡稱為獨立.
2.相互獨立事件的性質
當事件A與事件B相互獨立時，則事件A與相互獨立，事件與B相互獨立，事件與相互獨立.
考點14：條件概率
1.條件概率
一般地，設，為兩個隨機事件，且，稱為在事件發生的條件下，事件發生的條件概率，簡稱條件概率.
2.條件概率與事件相互獨立性的關系
當時，當且僅當事件與相互獨立時，有.
3.概率的乘法公式
對任意兩個事件與，若，則.上式稱為概率的乘法公式.
4.概率的性質
設，則
（1）；
（2）如果和是兩個互斥事件，則；
（3）設和互為對立事件，則.
5.全概率公式
一般地，設是一組兩兩互斥的事件，，且，，則對任意的事件，有.
考點15：二項分布
1.二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p（），用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為，.如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作.
2.二項分布的均值與方差.
如果，那么，.
考點16：正態分布
1.正態分布
，，為參數)為正態密度函數，稱它的圖象為正態密度曲線，簡稱正態曲線.若隨機變量X的概率分布密度函數為，則稱隨機變量X服從正態分布，記為.特別地，當時，稱隨機變量X服從標準正態分布.
2.正態分布的均值與方差
若，則.
3.原則
在實際應用中，通常認為服從于正態分布的隨機變量X只取中的值，這在統計學中稱為原則.
（二）典型例題
1.已知某地區中小學生人數和近視情況分別如圖甲和圖乙所示.為了了解該地區中小學生近視情況形成的原因，采用分層抽樣的方法抽取部分學生進行調查，若抽取的小學生人數為70，則抽取的高中生中近視人數為( )
A.10 B.20 C.25 D.40
2.的展開式中的系數為( )
A.55 B. C.30 D.
3.某校課外活動期間開展跳繩、踢毽子、韻律操三項活動，甲、乙兩位同學各自任選其中一項參加，則他們選擇同一項活動的概率是( )
A. B. C. D.
4.已知隨機變量X的分布列如下，隨機變量Y滿足，則隨機變量Y的期望等于( )
X 0 1 2
P a
A. B. C. D.
5.（多選）某社區開展“防疫知識競賽”，甲 乙兩人榮獲一等獎的概率分別為p和q，兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩人中至少有一人獲得一等獎的概率為( )
A. B.
C. D.
6.（多選）若一個三位數中十位上的數字比百位上的數字和個位上的數字都大，則稱這個數為“凸數”，如231，354等都是“凸數”，用1，2，3，4，5這五個數字組成無重復數字的三位數，則( )
A.組成的三位數的個數為60
B.在組成的三位數中，奇數的個數為30
C.在組成的三位數中，偶數的個數為30
D.在組成的三位數中，“凸數”的個數為20
7.已知變量x與y的取值如下表：
x 2 3 5 6
y 7 12
若y對x呈現線性相關關系，則y與x的線性回歸直線必經過的定點為________.
8.已知相互獨立事件A，B滿足，，則__________.
9.2024年5月底，各省教育廳陸續召開了2024年高中數學聯賽的相關工作.若某市經過初次選拔后有甲、乙、丙三名同學成功進入決賽，在決賽環節中這三名同學同時解答一道有關組合數論的試題.已知甲同學成功解出這道題的概率是，甲、丙兩名同學都解答錯誤的概率是，乙、丙兩名同學都成功解出的概率是，且這三名同學能否成功解出該題相互獨立.
（1）求乙、丙兩名同學各自成功解出這道題的概率；
（2）求這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題的概率.
10.小明同學與甲、乙二位同學進行一場乒乓球比賽，每局兩人比賽，沒有平局，一局決出勝負.已知每局比賽小明勝甲的概率為，小明勝乙的概率為，甲勝乙的概率為，比賽勝負間互不影響.規定先由其中2人進行第一局比賽，后每局勝者再與此局未比賽的人進行下一局的比賽，在比賽中某人首先獲勝兩局就成為這次比賽的獲勝者，比賽結束.因為小明是三人中水平最弱的，所以讓小明決定第一局的兩個比賽者（小明可以選定自己比賽，也可以選定甲 乙比賽）.
（1）若小明選定第一局由甲、乙比賽，求“只進行三局，小明就成為獲勝者”的概率；
（2）請幫助小明進行第一局的決策，使得小明最終成為獲勝者的概率最大，說明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由圖甲可知抽取的高中生人數是，
又由圖乙可知高中生的近視率為，所以抽取的高中生中近視人數為人.
故選：B.
2.答案：C
解析：對，有，令，有，令，有，則，故的展開式中的系數為30.故選：C.
3.答案：C
解析：設跳繩、踢毽子、韻律操分別為A、B、C，畫樹狀圖如下，
共有9種等可能的結果，甲、乙恰好選擇同一項活動的有3種情況，
故他們選擇同一項活動的概率是，故選：C.
4.答案：C
解析：由已知得，則，
所以.故選：C.
5.答案：AD
解析：記A為“甲獲得一等獎”，B為“乙獲得一等獎”，則，且A、B相互獨立.從正面考慮，甲 乙兩人中至少有一人獲得一等獎為，為三個互斥事件，
所以；
從反面考慮，事件“甲 乙兩人中至少有一人獲得一等獎”的對立事件是“甲 乙兩人都沒獲得一等獎”，即事件，易得，所以“這兩人中至少有一人獲得一等獎”的概率為，
綜上，A、D正確.故選：AD.
6.答案：AD
解析：依題意，組成的三位數的個數為，故A正確；
個位為1，3或5時，三位數是奇數，則奇數的個數為，故B錯誤；則偶數有(個)，故C錯誤；
將這些“凸數”分三類：
①十位為，則有(種)，
②十位為，則有(種)，
③十位為，則有(種)，
所以在組成的三位數中，“凸數”的個數為，故D正確.故選：AD.
7.答案：
解析：因為，，所以線性回歸方程必過定點.故答案為：
8.答案：
解析：因為相互獨立事件A，B，，，
所以，所以，，
所以.故答案為：.
9.答案：（1）乙、丙兩名同學各自成功解出這道題的概率分別為和；
（2）
解析：設甲、乙、丙三名同學各自成功解出該道題分別為事件A，B，C
（1）因為，所以
又，所以，即
又，所以，
即乙、丙兩名同學各自成功解出這道題的概率分別為和
（2）設這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題為事件D，
則
，
所以這三名同學中不少于兩名同學成功解出這道題的概率為
10.答案：（1）；
（2）小明與乙比賽，理由見解析.
解析：（1）第一局由甲、乙比賽，“只進行三局，小明就成為獲勝者”的事件A，第一局甲勝，第二局小明勝，第三局小明勝的事件，
第一局乙勝，第二局小明勝，第三局小明勝的事件，事件與互斥，，
，，則有，
所以“只進行三局，小明就成為獲勝者”的概率是.
（2）第一局小明與甲比賽，小明最終成為獲勝者的事件B，是以下3個互斥事件的和：
小明勝甲，小明勝乙的事件；小明勝甲，乙勝小明，甲勝乙，小明勝甲的事件；甲勝小明，乙勝甲，小明勝乙，小明勝甲的事件，
，
第一局小明與乙比賽，小明最終成為獲勝者的事件C，是以下3個互斥事件的和：
小明勝乙，小明勝甲的事件；小明勝乙，甲勝小明，乙勝甲，小明勝乙的事件；乙勝小明，甲勝乙，小明勝甲，小明勝乙的事件，
，
第一局由甲與乙比賽，小明最終成為獲勝者，只能是小明連勝兩局，由（1）知小明最終成為獲勝者的概率是，顯然，
所以第一局小明與乙比賽，小明最終成為獲勝者的概率最大.

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