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10.復數——高考數學一輪復習大單元知識清單
（一）核心知識整合
考點1：復數的概念及幾何意義
1.復數的有關概念
（1）相關概念：形如的數叫做復數，其中叫做虛數單位.全體復數所構成的集合叫做復數集.
（2）復數通常用字母表示，即.以后不作特殊說明時，復數都有，其中的與分別叫做復數的實部與虛部.
（3）在復數集中任取兩個數，，規定：與相等當且僅當且.
（4）對于復數，當且僅當時，它是實數；當且僅當時，它是實數0；當時，它叫做虛數；當且時，它叫做純虛數.
2.復數的幾何意義
（1）建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸.實軸上的點都表示實數；除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數.
（2）向量的模叫做復數的模或絕對值，記作或.即，其中.
如果，那么是一個實數a，它的模就等于.
（3）一般地，當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛虛數.虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛復數.復數z的共軛復數用表示，即如果，那么.
考點2：復數的運算
1.復數的加、減運算及其幾何意義
（1）復數的加法法則：設，是任意兩個復數，那么它們的和.
（2）復數加法的運算律：對任意，有①交換律：；②結合律：.
（3）復數的減法法則：把滿足的復數叫做復數減去復數的差，記作.
2.復數的乘、除運算
（1）復數的乘法法則：設是任意兩個復數，那么它們的積.
（2）復數乘法的運算律：對于，有，，.
（3）復數的除法法則：，且.
（4）在復數范圍內，實系數一元二次方程的求根公式為：當時，；當時，.
（二）典型例題
1.設，則( )
A. B. C. D.
2.已知復數z滿足，則的最小值為( )
A.1 B.2 C. D.
3.已知，且，其中a，b為實數，則( )
A.1 B.3 C. D.5
4.已知、，且，若，則的最大值是( ).
A.6 B.5 C.4 D.3
5.（多選）已知復數，則( )
A. B.
C.z在復平面內對應的點在第二象限 D.為純虛數
6.（多選）已知i為虛數單位，復數，下列說法正確的是( )
A. B.復數z在復平面內對應的點位于第四象限
C. D.為純虛數
7.已知復數z滿足（i為虛數單位），則復數z的模等于________.
8.在復數范圍內解方程（i為虛數單位），________.
9.已知復數z滿足.
（1）求z；
（2）比較與的大小.
10.已知復數，.
（1）若z是純虛數，求a的值；
（2）若在復平面內對應的點位于第二象限，求a的取值范圍.
答案以及解析
1.答案：D
解析：設，a、b為實數，則，于是，
故，所以，則.故選：D.
2.答案：B
解析：設復數z在復平面內對應的點為Z，因為復數z滿足，所以由復數的幾何意義可知，點Z到點和的距離相等，所以在復平面內點Z的軌跡為x軸，又表示點Z到點的距離，所以問題轉化為x軸上的動點Z到定點距離的最小值，所以的最小值為2，故選：B.
3.答案：C
解析：因為，所以，所以，
所以由可得，解得，所以，
故選：C.
4.答案：C
解析：設，，故，，則，
，
，當時，有最大值為4.故選：C.
5.答案：BCD
解析：對于A中，由復數，所以A錯誤；
對于B中，由，所以B正確；
對于C中，復數在復平面內對應的點位于第二象限，所以C正確；
對于D中，由為純虛數，所以D正確.故選：BCD.
6.答案：ABC
解析：，
，，，故A，C正確；
對于B，因為，所以復數z在復平面內對應的點為，位于第四象限，不是純虛數，故D錯誤.
7.答案：5
解析：設，，a，，由可得，
則，解得：，，故，所以復數z的模等于.
故答案為：5.
8.答案：
解析：原方程化簡為，設（x、），
代入上述方程得，且，
解得且，原方程的解是.故答案為.
9.答案：（1）
（2）
解析：（1）設，
則由，得，
即，所以解得，，
所以.
（2），
，
因為，
所以，所以.
10.答案：（1）
（2）
解析：（1）是純虛數，
故，解得.
（2）
因為在復平面內對應的點在第二象限，
所以，解得，
故a的取值范圍為.

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