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專(zhuān)題33 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（新高考專(zhuān)用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 3
【考點(diǎn)突破】 7
【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算 7
【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明 10
【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 16
【分層檢測(cè)】 19
【基礎(chǔ)篇】 19
【能力篇】 25
【培優(yōu)篇】 28
考試要求：
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也為等差數(shù)列.
1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.
4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
二、填空題
7．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 .
8．（2022·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
參考答案：
題號(hào) 1 2 3 4 5 6
答案 D C B C B D
1．D
【分析】可以根據(jù)等差數(shù)列的基本量，即將題目條件全轉(zhuǎn)化成和來(lái)處理，亦可用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理，或者特殊值法處理.
【詳解】方法一：利用等差數(shù)列的基本量
由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，，
又.
故選：D
方法二：利用等差數(shù)列的性質(zhì)
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，，由，根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，
，故.
故選：D
方法三：特殊值法
不妨取等差數(shù)列公差，則，則.
故選：D
2．C
【分析】結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)將代換，求出直線(xiàn)恒過(guò)的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合法即可求解.
【詳解】因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，，代入直線(xiàn)方程得
，即，令得，
故直線(xiàn)恒過(guò)，設(shè)，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程得：，
設(shè)圓心為，畫(huà)出直線(xiàn)與圓的圖形，由圖可知，當(dāng)時(shí)，最小，
，此時(shí).

故選：C
3．B
【分析】由結(jié)合等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，即可計(jì)算出公差，即可得的值.
【詳解】由，則，
則等差數(shù)列的公差，故.
故選：B.
4．C
【分析】方法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．
【詳解】方法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
5．B
【分析】根據(jù)給定的等差數(shù)列，寫(xiě)出通項(xiàng)公式，再結(jié)合余弦型函數(shù)的周期及集合只有兩個(gè)元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數(shù)列中，，
顯然函數(shù)的周期為3，而，即最多3個(gè)不同取值，又，
則在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故選：B
6．D
【分析】設(shè)，則可得關(guān)于的方程，求出其解后可得正確的選項(xiàng).
【詳解】設(shè)，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
7．95
【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，
則.
故答案為：.
8．2
【分析】轉(zhuǎn)化條件為，即可得解.
【詳解】由可得，化簡(jiǎn)得，
即，解得.
故答案為：2.
【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差不為0．若成等比數(shù)列，則公差為（ ）
A． B． C．1 D．
2．（24-25高三上·河南焦作·開(kāi)學(xué)考試）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等差數(shù)列，且，，則（ ）
A．5 B． C．4 D．3
二、多選題
3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·安徽·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（ ）
A． B．的前n項(xiàng)和為
C．的前100項(xiàng)和為100 D．的前30項(xiàng)和為357
三、填空題
5．（2024·上海·三模）數(shù)列滿(mǎn)足（為正整數(shù)），且與的等差中項(xiàng)是5，則首項(xiàng)
6．（2024·四川·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，設(shè)的前項(xiàng)和為，則 .
參考答案：
題號(hào) 1 2 3 4
答案 B B ABD AD
1．B
【分析】根據(jù)等比中項(xiàng)可得，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式運(yùn)算求解.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，
若成等比數(shù)列，則，即，
整理可得，解得或（舍去），
所以公差為.
故選：B.
2．B
【分析】由題意可知：，，利用余弦定理運(yùn)算求解即可.
【詳解】由題意可知：，，
由余弦定理可得，，
即，解得.
故選：B.
3．ABD
【分析】先由等差數(shù)列的條件求得通項(xiàng)公式，進(jìn)而求得，，可判斷AC，再根據(jù)，的正負(fù)情況判斷BD.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，
，因?yàn)槭桥c的等比中項(xiàng)，所以，
即，解得或，又因?yàn)椋裕?br/>所以，故A正確；
，
令，則，又因?yàn)椋裕藭r(shí)，
即只有時(shí)，且，除此之外，
所以成立，故B正確；
，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)橹挥袝r(shí)，，除此之外，所以的最小值為，
又時(shí)，，所以的最大值為，
所以成立，故D正確.
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題求解，，都比較常規(guī)，關(guān)鍵點(diǎn)在于由的正負(fù)特征推出的最值，從而判斷出BD.
4．AD
【分析】當(dāng)時(shí)，，兩式相減可求出，檢驗(yàn)滿(mǎn)足，可判斷A；由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式可判斷B；由分組求和法可判斷C，D.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減可得：，
所以，
顯然當(dāng)時(shí)，滿(mǎn)足，故，故A正確；
由等差數(shù)列求和公式知的前項(xiàng)和為，故B錯(cuò)誤；
令，的前100項(xiàng)和為：
，故C錯(cuò)誤；
令，
所以的前30項(xiàng)和為：
，故D正確.
故選：AD.
5．1
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．
【詳解】數(shù)列滿(mǎn)足為正整數(shù)），則數(shù)列為等比數(shù)列，
不妨設(shè)其公比為，則，
因?yàn)榕c的等差中項(xiàng)是5，
所以，即，解得．
故答案為：1．
6．
【分析】根據(jù)題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)出公差及首項(xiàng)，再結(jié)合與，從而可求解.
【詳解】由，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，
并設(shè)其公差為，首項(xiàng)為，又因?yàn)椋?br/>即，解得，
因?yàn)椋裕?br/>所以.
故答案為：.
反思提升：
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明
一、解答題
1．（2024·山東·二模）已知數(shù)列．求：
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和數(shù)列，滿(mǎn)足是和的等差中項(xiàng)，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)積滿(mǎn)足，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
4．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知（且，為常數(shù)）.
(1)數(shù)列能否是等比數(shù)列？若是，求的值（用表示）；否則，說(shuō)明理由；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．（2023·青海·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列．
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
6．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
參考答案：
1．(1)；
(2)28
【分析】（1）根據(jù)題目條件得到是以13為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式；
（2）求出通項(xiàng)公式，解不等式，得到數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始小于0，從而得到數(shù)列的前4項(xiàng)和最大，利用求和公式求出答案.
【詳解】（1）由，可知，
所以數(shù)列是以13為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，
所以；
（2）由（1）可知，
令，解得，
令，解得，
即數(shù)列從第5項(xiàng)開(kāi)始小于0，所以數(shù)列的前4項(xiàng)和最大，
最大值為．
2．(1)
(2)
【分析】（1）由題意有，數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可求數(shù)列通項(xiàng)公式．
（2），分為奇數(shù)和為偶數(shù)，結(jié)合分組求和法求.
【詳解】（1）由，有，
又，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
則有，所以數(shù)列通項(xiàng)公式.
（2）設(shè)，
為奇數(shù)時(shí)，；為偶數(shù)時(shí)，.
為奇數(shù)時(shí)，
；
為偶數(shù)時(shí)，
.
所以.
3．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列的定義法判斷即可.
（2）由（1）和，求得，，然后表示出的前20項(xiàng)和即可得出答案.
【詳解】（1）由題知，是等比數(shù)列，
設(shè)其公比為，
由，
可得：當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得，，
故數(shù)列是等差數(shù)列.
（2）由知：
當(dāng)時(shí)，，
又，所以，
由（1）設(shè)的公差為，
則，
由，
則，，
所以
.
即數(shù)列的前20項(xiàng)和為.
4．(1)不可能是等比數(shù)列，理由見(jiàn)解析
(2)，，且.
【分析】（1）利用與的關(guān)系計(jì)算可得，結(jié)合等差、等比數(shù)列的定義即可下結(jié)論；
（2）由（1）可得，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)求和公式計(jì)算即可求解.
【詳解】（1）已知.
當(dāng)時(shí)，，
兩式相減得：，，
顯然，所以.
于是可能是等差數(shù)列，若又是等比數(shù)列，則必為非零常數(shù)數(shù)列，則，
因，故不可能是等比數(shù)列.
（2）由（1）知，且，即，.
，所以當(dāng)時(shí)，.
當(dāng)，，.
而當(dāng)時(shí)，，所以，，且.
5．(1)證明見(jiàn)解析.
(2).
【分析】（1）通過(guò)構(gòu)造證明即可；
（2）采用裂項(xiàng)相消法求解出即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋裕?br/>化簡(jiǎn)得，
所以為等差數(shù)列.
（2）由，則為首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列；
所以，即，，
所以.
6．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用變形給定等式，再利用等差數(shù)列定義推理即得.
（2）由（1）求出，進(jìn)而求出，再按奇偶分類(lèi)，利用分組求和法求解即得.
【詳解】（1）由，得，即，
兩邊同加，得，則，因此數(shù)列為常數(shù)列，
所以數(shù)列為等差數(shù)列.
（2）由（1）知，，則，，
當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，，；當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，，
當(dāng)為正奇數(shù)時(shí)，；
當(dāng)為正偶數(shù)時(shí)，，
所以.
反思提升：
1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：
(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an－1的an代入an－an－1，再化簡(jiǎn)得到定值.
(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：
(1)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用定義.
【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多選題
3．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．等差數(shù)列，若，則
B．等比數(shù)列，若，則
C．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等差數(shù)列
D．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等比數(shù)列
4．（2023·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)有最大值
D．設(shè)，則當(dāng)或時(shí)數(shù)列的前n項(xiàng)和取最大值
三、填空題
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則 ．
6．（22-23高三上·上海靜安·期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則 ．
參考答案：
題號(hào) 1 2 3 4
答案 C D AC BD
1．C
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計(jì)算即可求解.
【詳解】由，
故，則，
由得，故，故公差為，
故選：C
2．D
【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)的公比為q，則．
由成等差數(shù)列，得，即，
于是，故，從而．
故選：D
3．AC
【分析】利用等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)判斷A；舉例說(shuō)明判斷B；利用等差數(shù)列定義判斷C；舉例說(shuō)明判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)知，A正確；
對(duì)于B，取，顯然數(shù)列成等比數(shù)列，且，而，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，等差數(shù)列的公差為，，
，
有，因此成等差數(shù)列，C正確；
對(duì)于D，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比，為正偶數(shù)時(shí)，，顯然不成等比數(shù)列，D錯(cuò)誤.
故選：AC
4．BD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出通項(xiàng)公式判斷A，求出，然后利用等差數(shù)列定義判斷B，結(jié)合二次函數(shù)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最大值判斷C，根據(jù)的符號(hào)判定前n項(xiàng)和的最值判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由知數(shù)列為等差數(shù)列，公差為，首項(xiàng)為，
所以該數(shù)列的通項(xiàng)公式為，錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋裕?br/>則當(dāng)時(shí)，，故數(shù)列為等差數(shù)列，正確；
對(duì)于C，，故當(dāng)時(shí)，有最大值，錯(cuò)誤；
對(duì)于D，令得，令得，
則當(dāng)或時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
又，，
所以或時(shí)，數(shù)列的前n項(xiàng)和取最大值，正確.
故選：BD
5．
【分析】根據(jù)設(shè)出的二次形式，由此求得，即可化簡(jiǎn)得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，
故可設(shè)，
所以，
所以.
故答案為：.
6．5
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)，即可直接求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，故，解得.
故答案為：.
反思提升：
1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.
3.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2025·黑龍江大慶·一模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．112 B．122 C．132 D．142
2．（2024·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
3．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）.
A． B． C． D．
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知遞增數(shù)列滿(mǎn)足．若，，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（ ）
A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276
二、多選題
5．（2024·云南昆明·一模）在數(shù)列中，，，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
7．（2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．
B．
C．當(dāng)時(shí)，取最大值
D．當(dāng)時(shí)，的最小值為27
三、填空題
8．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且滿(mǎn)足成等比數(shù)列，則數(shù)列前6項(xiàng)的和為 .
9．（23-24高二下·北京·期中）已知等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列公比為 .
10．（23-24高二下·天津北辰·階段練習(xí)）在公差大于零的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，若，則 .
四、解答題
11．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
12．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
參考答案：
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7
答案 C A A D ACD ABD ABD
1．C
【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，依題意得到、的方程組，即可求出、，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，
所以.
故選：C
2．A
【分析】先由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而求出公差d，再由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式即可求解.
【詳解】由題結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)有，，
，
設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，，
故.
故選：A.
3．A
【分析】由等差數(shù)列前和公式、等差數(shù)列的性質(zhì)可得答案.
【詳解】，故，
則.
故選：A.
4．D
【分析】根據(jù)，推出，推出數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求出，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋裕詳?shù)列是等差數(shù)列，
設(shè)公差為，因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，
由，得，即，
由，得，將代入，得，
又，所以，，
所以數(shù)列的前2023項(xiàng)和為.
故選：D
5．ACD
【分析】根據(jù)已知，結(jié)合條件，，可依次求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而判斷A、B；由題意可得，根據(jù)等差數(shù)列的定義可判定數(shù)列為等差數(shù)列，從而判斷C、D.
【詳解】若，，又，則，A正確；
若，，由A選項(xiàng)可知，又，可得，
，可得，B錯(cuò)誤；
若，，則，，，可得，
所以數(shù)列為等差數(shù)列，且，所以，C正確；
且，D正確.
故選：ACD
6．ABD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列與等比數(shù)列的定義及等差數(shù)列前項(xiàng)和公式為計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)的公差為，的公比為，
則，
所以是常數(shù)，故A正確；
易知是常數(shù)，故B正確；
由不是常數(shù)，故C錯(cuò)誤；
是常數(shù)，故D正確.
故選：ABD
7．ABD
【分析】由等差中項(xiàng)的性質(zhì)判斷AB；由A和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和判斷C；由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差中項(xiàng)判斷D.
【詳解】A：首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，
所以，
若，則一定大于零，不符合題意，
所以，，故A正確；
B：由A可知，
，故B正確；
C：由A可知，因?yàn)椋芍剩∽畲笾担蔆錯(cuò)誤；
D：，，故D正確.
故選：ABD.
8．
【分析】設(shè)數(shù)列公差為，再根據(jù)成等比數(shù)列求解可得，進(jìn)而可得的通項(xiàng)公式求解即可.
【詳解】設(shè)數(shù)列公差為，由成等比數(shù)列可得，
即，即，因?yàn)楣畈粸?，故.
故.
故前6項(xiàng)的和為.
故答案為：
9．
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程求解即可.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，
由已知，
所以，即，
解得.
故答案為：
10．
【分析】首先由條件得到，再根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于公差的方程，即可求解.
【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，
由，得，且，
所以，得，
得或（舍），
所以.
故答案為：
11．(1)
(2)
【分析】（1）由題意列方程組算出即可；
（2）由裂項(xiàng)相消法求解即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，．
∴．
（2）由（1）知，，
∴，
∴．
12．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)作差得到，結(jié)合等差數(shù)列的定義證明即可；
（2）根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列通項(xiàng)公式求出，即可得到的通項(xiàng)公式，結(jié)合的單調(diào)性及求和公式計(jì)算可得.
【詳解】（1）數(shù)列滿(mǎn)足①，
當(dāng)時(shí)，有②，
①②可得：，
即，
變形可得，
故數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列；
（2）由（1）可知數(shù)列是以為等差的等差數(shù)列，
若，，成等比數(shù)列，則有，
即，解得，
所以，
所以單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故當(dāng)或時(shí)，取得最大值，
且．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
二、多選題
2．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期末）已知等差數(shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列 B．若，則有最大值
C．，，成等差數(shù)列 D．若，，則
三、填空題
3．（21-22高三上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則使時(shí)的的最小值為 .
四、解答題
4．（2024·四川瀘州·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿(mǎn)足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值.
參考答案：
題號(hào) 1 2
答案 D ABD
1．D
【分析】由等比中項(xiàng)性質(zhì)求得，由等差中項(xiàng)性質(zhì)得，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求得，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由等比中項(xiàng)性質(zhì)知.
由成等差數(shù)列，得，所以，
所以等比數(shù)列的公比，所以，
所以.
故選：D.
2．ABD
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和應(yīng)用對(duì)應(yīng)證明等差判斷A,應(yīng)用數(shù)列正負(fù)求前n項(xiàng)和的最大值，特殊值法判斷C,結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)判斷D.
【詳解】，，故A正確；
若，則，最大；若，，最大；
若，則，則存在，，，故最大，故B正確；
對(duì)數(shù)列：1，2，3，…，取，，，，故C錯(cuò)誤；
不妨設(shè)，則，
即，∴，
而，故，D正確．
故選:ABD．
3．
【分析】分為為偶數(shù)時(shí)，和為奇數(shù)時(shí)，兩種情形，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.
【詳解】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，令，
，
又，即，
即為偶數(shù)時(shí)，使時(shí)的的最小值為810；
當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，令，
=，
令，所以（驗(yàn)證符合題意），
即為奇數(shù)時(shí)，使時(shí)的的最小值為809；
綜上可得：的最小值為809，
故答案為：809.
4．(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列定義根據(jù)題意可求得首項(xiàng)和公差，即可得出的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得，裂項(xiàng)可得，即可求出.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
由可得，
解得，
所以；
因此的通項(xiàng)公式為，
（2）由（1）可得；
所以，
因此數(shù)列的前n項(xiàng)和;
即可得.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2021·云南昆明·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
二、多選題
2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若它的前項(xiàng)的和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，使的最大的值為
B．是的最小值
C．
D．
三、填空題
3．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）隨機(jī)數(shù)表是人們根據(jù)需要編制出來(lái)的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字組成，表中每一個(gè)數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法主要有抽簽法、拋擲骰子法和計(jì)算機(jī)生成法．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)合作在一個(gè)正二十面體（如圖）的各面寫(xiě)上0~9這10個(gè)數(shù)字（相對(duì)的兩個(gè)面上的數(shù)字相同），這樣就得到一個(gè)產(chǎn)生0~9的隨機(jī)數(shù)的骰子．依次投擲這個(gè)骰子，并逐個(gè)記下朝上一面的數(shù)字，就能按順序排成一個(gè)隨機(jī)數(shù)表，若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個(gè)數(shù)，三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為 ．
參考答案：
題號(hào) 1 2
答案 B ACD
1．B
【分析】利用兩式相減得，再利用兩式相減可得，由此可得，進(jìn)一步可得答案.
【詳解】由，兩式相減得，即.
再由，兩式相減得，由，得，
故為以14為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，故，
故.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)遞推關(guān)系求出數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以14為首項(xiàng)，8為公差的等差數(shù)列，是解題的關(guān)鍵，屬于較難題目.
2．ACD
【分析】由題設(shè)可推得，對(duì)于A，由，推斷即得，對(duì)于B，利用A結(jié)論，舉反例可排除B，對(duì)于C，D兩項(xiàng)，采用作差法，利用和等差數(shù)列的基本量運(yùn)算即可判斷.
【詳解】由題意，，因，則（*），
對(duì)于A，因，則，由（*）知，
故使的最大的值為，即A正確；
對(duì)于B，若，由A項(xiàng)知，，
即數(shù)列的前項(xiàng)都是正數(shù)項(xiàng)，第項(xiàng)起都是負(fù)數(shù)項(xiàng)，
即此時(shí)是的最大值，即B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由
，
因，，
故上式的值為0，即，故C正確；
對(duì)于D，由
，
由C分析知，且，
故上式的值也為0，即，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵，是要注意弄清等差數(shù)列的前項(xiàng)和與項(xiàng)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，如此題中由推出，再結(jié)合數(shù)列的公差、首項(xiàng)信息進(jìn)行分析判斷即可，在推理時(shí)，還要靈活運(yùn)用等差數(shù)列的項(xiàng)之間的關(guān)系替換轉(zhuǎn)化解題.
3．/
【分析】甲投1次，記下數(shù)字有10種可能，乙投1次也有10種可能；丙投1次也有10種可能，所以甲、乙、丙依次投擲1次，由分步乘法原理可得所有記下數(shù)字的總情況數(shù)，再列舉出等差數(shù)列的公差為0，1，2，3，4的所有情況，將公差為1，2，3，4的等差數(shù)列中的第1項(xiàng)和第3項(xiàng)的數(shù)字交換，分別構(gòu)成公差為，，，的等差數(shù)列，可得出構(gòu)成等差數(shù)列的可能情況數(shù)，根據(jù)古典概率公式計(jì)算可得選項(xiàng).
【詳解】甲投1次，記下數(shù)字有10種可能，乙投1次也有10種可能；丙投1次也有10種可能，
所以甲、乙、丙依次投擲1次，記下數(shù)字有種情況，
0~9這10個(gè)數(shù)字中選3個(gè)，能構(gòu)成等差數(shù)列的情況如下：
公差為0的等差數(shù)列有：0，0，0；1，1，1；2，2，2；；9，9，9共10種情況；
公差為1的等差數(shù)列有：0，1，2；1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8；7，8，9共8種情況；
公差為2的等差數(shù)列有：0，2，4；1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共6種情況；
公差為3的等差數(shù)列有：0，3，6；1，4，7；2，5，8；3，6，9共4種情況；
公差為4的等差數(shù)列有：0，4，8；1，5，9共2種情況；
公差為1，2，3，4的等差數(shù)列中的第1項(xiàng)和第3項(xiàng)的數(shù)字交換，分別構(gòu)成公差為，，，的等差數(shù)列，
所以構(gòu)成等差數(shù)列的可能情況有種，
所以若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個(gè)數(shù)，三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是要細(xì)致地分類(lèi)討論，做到不重不漏列舉出所有構(gòu)成等差數(shù)列的情況，從而得解.
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專(zhuān)題33 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和（新高考專(zhuān)用）
【知識(shí)梳理】 2
【真題自測(cè)】 3
【考點(diǎn)突破】 4
【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算 4
【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明 5
【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 6
【分層檢測(cè)】 7
【基礎(chǔ)篇】 7
【能力篇】 9
【培優(yōu)篇】 9
考試要求：
1.理解等差數(shù)列的概念.
2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.
3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.
4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)的關(guān)系.
1.等差數(shù)列的概念
(1)定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列.
數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)式：an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù)).
(2)等差中項(xiàng)：由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)A叫做a與b的等差中項(xiàng)，根據(jù)等差數(shù)列的定義可以知道，2A＝a＋b.
2.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式
(1)若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)是a1，公差是d，則其通項(xiàng)公式為an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).
(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為md的等差數(shù)列.
(4)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.
(5)若Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則數(shù)列也為等差數(shù)列.
1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.
2.在等差數(shù)列{an}中，a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.
3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.
4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列 Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).
一、單選題
1．（2024·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
2．（2024·全國(guó)·高考真題）已知b是的等差中項(xiàng)，直線(xiàn)與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
3．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
5．（2023·全國(guó)·高考真題）已知等差數(shù)列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
6．（2022·全國(guó)·高考真題）圖1是中國(guó)古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，是桁，相鄰桁的水平距離稱(chēng)為步，垂直距離稱(chēng)為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數(shù)列，且直線(xiàn)的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
二、填空題
7．（2024·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則 .
8．（2022·全國(guó)·高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則公差 ．
【考點(diǎn)1】等差數(shù)列的基本運(yùn)算
一、單選題
1．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列的首項(xiàng)為2，公差不為0．若成等比數(shù)列，則公差為（ ）
A． B． C．1 D．
2．（24-25高三上·河南焦作·開(kāi)學(xué)考試）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等差數(shù)列，且，，則（ ）
A．5 B． C．4 D．3
二、多選題
3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知在公差不為0的等差數(shù)列中，是與的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·安徽·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，則（ ）
A． B．的前n項(xiàng)和為
C．的前100項(xiàng)和為100 D．的前30項(xiàng)和為357
三、填空題
5．（2024·上海·三模）數(shù)列滿(mǎn)足（為正整數(shù)），且與的等差中項(xiàng)是5，則首項(xiàng)
6．（2024·四川·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足，，，設(shè)的前項(xiàng)和為，則 .
反思提升：
1.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題.
2.數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.
【考點(diǎn)2】等差數(shù)列的判定與證明
一、解答題
1．（2024·山東·二模）已知數(shù)列．求：
(1)數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列的前項(xiàng)和的最大值．
2．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)求數(shù)列通項(xiàng)公式．
(2)設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
3．（2023·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列和數(shù)列，滿(mǎn)足是和的等差中項(xiàng)，.
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列，
(2)若數(shù)列的前項(xiàng)積滿(mǎn)足，記，求數(shù)列的前20項(xiàng)和.
4．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知（且，為常數(shù)）.
(1)數(shù)列能否是等比數(shù)列？若是，求的值（用表示）；否則，說(shuō)明理由；
(2)已知，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
5．（2023·青海·一模）已知數(shù)列滿(mǎn)足．
(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列．
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
6．（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為1的數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.
(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，求數(shù)列的前項(xiàng)和.
反思提升：
1.證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：
(1)定義法：對(duì)于n≥2的任意自然數(shù)，驗(yàn)證an－an－1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an－1的an代入an－an－1，再化簡(jiǎn)得到定值.
(2)等差中項(xiàng)法：驗(yàn)證2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)都成立.
2.判定一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：
(1)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)) {an}是等差數(shù)列.問(wèn)題的最終判定還是利用定義.
【考點(diǎn)3】等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
一、單選題
1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的公差為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2023·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，且成等差數(shù)列，則（ ）
A． B． C．1 D．2
二、多選題
3．（23-24高二上·河北石家莊·階段練習(xí)）關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列四個(gè)選項(xiàng)中正確的有（ ）
A．等差數(shù)列，若，則
B．等比數(shù)列，若，則
C．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等差數(shù)列
D．若為數(shù)列前n項(xiàng)和，則，仍為等比數(shù)列
4．（2023·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列前n項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，且，則下列選項(xiàng)正確的是（ ）
A．
B．?dāng)?shù)列為等差數(shù)列
C．當(dāng)時(shí)有最大值
D．設(shè)，則當(dāng)或時(shí)數(shù)列的前n項(xiàng)和取最大值
三、填空題
5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別為和，且，則 ．
6．（22-23高三上·上海靜安·期中）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，則 ．
反思提升：
1.項(xiàng)的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq.
2.和的性質(zhì)：在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，則
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
(3)依次k項(xiàng)和成等差數(shù)列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差數(shù)列.
3.求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值，常用的方法：(1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，或者利用性質(zhì)求其正負(fù)轉(zhuǎn)折項(xiàng)，便可求得和的最值；(2)利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)，A≠0)為二次函數(shù)，通過(guò)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.
【基礎(chǔ)篇】
一、單選題
1．（2025·黑龍江大慶·一模）記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則（ ）
A．112 B．122 C．132 D．142
2．（2024·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．18 B．21 C．24 D．27
3．（2024·江西新余·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（ ）.
A． B． C． D．
4．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知遞增數(shù)列滿(mǎn)足．若，，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和為（ ）
A．2044242 B．2045253 C．2046264 D．2047276
二、多選題
5．（2024·云南昆明·一模）在數(shù)列中，，，，記的前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
6．（2023·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)積為，則（ ）
A．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
C．?dāng)?shù)列是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列
7．（2024·海南海口·模擬預(yù)測(cè)）已知首項(xiàng)為正數(shù)的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（ ）
A．
B．
C．當(dāng)時(shí)，取最大值
D．當(dāng)時(shí)，的最小值為27
三、填空題
8．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，，且滿(mǎn)足成等比數(shù)列，則數(shù)列前6項(xiàng)的和為 .
9．（23-24高二下·北京·期中）已知等比數(shù)列中，，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列公比為 .
10．（23-24高二下·天津北辰·階段練習(xí)）在公差大于零的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，若，則 .
四、解答題
11．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差不為0，其前n項(xiàng)和為，且，．
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
12．（2024·四川自貢·三模）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．
(1)證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
(2)若，，成等比數(shù)列，求的最大值．
【能力篇】
一、單選題
1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，且成等差數(shù)列，則（ ）
A．157 B．156 C．74 D．73
二、多選題
2．（23-24高二下·貴州六盤(pán)水·期末）已知等差數(shù)列的公差，其前n項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．是等差數(shù)列 B．若，則有最大值
C．，，成等差數(shù)列 D．若，，則
三、填空題
3．（21-22高三上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則使時(shí)的的最小值為 .
四、解答題
4．（2024·四川瀘州·二模）已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為．
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)數(shù)列滿(mǎn)足為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求的值.
【培優(yōu)篇】
一、單選題
1．（2021·云南昆明·三模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則（ ）
A．414 B．406 C．403 D．393
二、多選題
2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，若它的前項(xiàng)的和，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，使的最大的值為
B．是的最小值
C．
D．
三、填空題
3．（2022高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）隨機(jī)數(shù)表是人們根據(jù)需要編制出來(lái)的，由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這10個(gè)數(shù)字組成，表中每一個(gè)數(shù)都是用隨機(jī)方法產(chǎn)生的，隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法主要有抽簽法、拋擲骰子法和計(jì)算機(jī)生成法．現(xiàn)有甲、乙、丙三位同學(xué)合作在一個(gè)正二十面體（如圖）的各面寫(xiě)上0~9這10個(gè)數(shù)字（相對(duì)的兩個(gè)面上的數(shù)字相同），這樣就得到一個(gè)產(chǎn)生0~9的隨機(jī)數(shù)的骰子．依次投擲這個(gè)骰子，并逐個(gè)記下朝上一面的數(shù)字，就能按順序排成一個(gè)隨機(jī)數(shù)表，若甲、乙、丙依次投擲一次，按順序記下三個(gè)數(shù)，三個(gè)數(shù)恰好構(gòu)成等差數(shù)列的概率為 ．
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