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2.64一元二次方程的運用-增長率問題
設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次得增長或降低后得等量關系為a（1±x） =b.
1.（2024春 瓊海期末）2024年春節剛過，國內新能源汽車車企紛紛開展降價促銷活動．某款新能源汽車今年3月份的售價為25萬元，5月份的售價為18萬元，設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，則下列方程正確的是（　　）
A．25（1﹣x）2＝18 B．18（1﹣x）2＝25
C．18（x﹣1）2＝25 D．25（1﹣2x）2＝18
2.（2023 富錦市校級三模）某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由1280元降為720元．已知兩次降價的百分率都是x%，則x的值是（　　）
A．25% B．25 C．20% D．20
3.（2024 庫爾勒市一模）某藥品原價每盒25元，為了響應國家解決老百姓看病貴的號召，經過連續兩次降價，現在售價每盒16元，則該藥品平均每次降價的百分率是 　 　．
4.（2024春 濱江區期末）公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，某頭盔經銷商經統計發現某品牌頭盔5月份銷售量144個，7月份銷售量225個，從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，則此月增長率為（　?。?br/>A．83% B．69% C．25% D．20%
5.（2024 沙坪壩區校級一模）據國家文旅部統計，5月1日全國旅游收入為207.9億元，5月1日、5月2日和5月3日的全國旅游收入之和為1027.96億元．若全國旅游收入日平均增長率為x，則可以列出方程為（　?。?br/>A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96
B．207.9（1﹣x）2＝1027.96
C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96
D．207.9（1+x）2＝1027.96
6．（2024·吉林松原·模擬預測）某商城在2024年三八節期間促銷海爾冰箱，每臺標價為3000元．商城舉行了促銷摸獎活動，中獎者商城將冰箱連續兩次降價，且每次降價的百分率相同，若該冰箱最終以2430元售出．求每次降價的百分率．
7.（2024·遼寧·模擬預測）快遞又稱速遞或快運，是指物流企業（含貨運代理）通過自身的獨立網絡或以聯營合作（即聯網）的方式，將用戶委托的文件或包裹，快捷而安全地從發件人送到收件人的門到門的運輸方式．某小區新開了一家快遞店，第一天攬件件，第三天攬件件．
(1)該快遞點這三天攬件日平均增長率；
(2)按這個增長率，求第四天攬件數約為多少件．（結果取整數）
8．（23-24八年級下·山東濟南·期末）“城是濟南城，湖是大明湖，樓是超然樓”是網友為超然樓寫的廣告詞．隨旅游旺季的到來，大明湖超然樓景區的游客人數逐月增加，4月份游客人數約為16萬人次，6月份游客人數約為25萬人次．
(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；
(2)若增長率保持不變，請求出7月份的游客人數．
9．（2024九年級上·全國·專題練習）聚焦“綠色發展，美麗宜居”縣城建設，圍繞“老舊改造人人參與，和諧家園家家受益”的思路，某市從2021年起連續投入資金用于“建設美麗城市，改造老舊小區”，讓小區“舊貌”換“新顏”．已知每年投入資金的增長率相同，其中2021年投入資金1000萬元，2023年投入資金1440萬元．
(1)求該市改造小區投入資金的年平均增長率；
(2)2023年小區改造的平均費用為每個80萬元，如果投入資金年增長率保持不變，求該市2024年最多可以改造多少個小區？
1．2021年杭州市某區的GDP（國內生產總值）為2502.2億元．2023年該區的GDP為2936.43億元，在杭州市各區縣排名第一．設這兩年該區GDP的平均增長率為x，根據題意可列出方程為（ ）
A． B．
C． D．
2．公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，某頭盔經銷商經統計發現某品牌頭盔5月份銷售量144個，7月份銷售量225個，從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，則此月增長率為（ ）
A． B． C． D．
3.某企業今年1月份的利潤為200萬元，2月份和3月份的利潤合計為750萬元，設2月份和3月份利潤的平均增長率為，根據題意可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
4．某市2021年年底自然保護區覆蓋率為，經過兩年努力，該市2023年年底自然保護區覆蓋率達到，求該市這兩年自然保護區面積的年均增長率．設該市這兩年自然保護區面積的年均增長率為x，則下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
5．某放射性元素經2天后，質量衰變為原來的．設這種放射性元素質量的日平均減少率為x，則可列出方程為 ．
6．濟南市公安交警部門提醒市民：“出門戴頭盔，放心平安歸”.某商店統計了某品牌頭盔的銷售量，四月份售出375個，六月份售出540個，且從四月份到六月份月增長率相同.
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
(2)經市場調研發現，此種品牌頭盔如果每個盈利10元，月銷售量為500個，若在此基礎上每個漲價1元，則月銷售量將減少20個，現在既要使月銷售利潤達到6000元，又要盡可能讓顧客得到實惠，那么該品牌頭盔每個應漲價多少元？
7．“城是濟南城，湖是大明湖，樓是超然樓”是網友為超然樓寫的廣告詞．隨旅游旺季的到來，大明湖超然樓景區的游客人數逐月增加，4月份游客人數約為16萬人次，6月份游客人數約為25萬人次．
(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；
(2)若增長率保持不變，請求出7月份的游客人數．
8．某工廠使用舊設備生產，每月生產收入是90萬元，每月另需支付設備維護費5萬元從今年1月份起使用新設備，生產收入提高且無設備維護費，使用當月生產收入達100萬元，1至3月份累計收入達364萬元，且2，3月份的生產收入保持相同的增長率，3月份后每月生產收入穩定在3月份的水平．
(1)求使用新設備后，2月3月生產收入的月增長率
(2)購進新設備需一次性支付640萬元，則使用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤？（累計利潤是指累計生產收入減去舊設備維護費或新設備購進費）
1.（2023春 龍口市期中）某商業街有店面房共195間，2021年平均每間店面房的年租金為10萬元，由于物價上漲，到2023年平均每間店面房的年租金上漲到了12.1萬元，則2021年至2023年平均每間店面房年租金的平均增長率為（　?。?br/>A．2.1% B．11% C．10% D．10%或21%
2.（23-24九年級·安徽安慶·期中）為了美化環境，2021年某市的綠化投資額為萬元，2023年的綠化投資額為萬元，則這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為（ ）
A． B． C． D．
2.（23-24九年級·江蘇鎮江·期中）鎮江香醋甲天下，為開拓醋的養生功能，某醋廠開發出櫻桃醋．為打開市場，該櫻桃醋經過兩次降價，售價由原來的每瓶25元降至每瓶16元，已知兩次降價的百分率相同，若設每次降價的百分率為，則可列方程 ．
3.（23-24九年級·四川綿陽·期中）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣．”某校為響應我市全民閱讀活動，利用節假日面向社會開放學校圖書館．據統計，第一個月進館人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館608人次，若進館人次的月平均增長率相同．進館人次的月平均增長率是 ．
4．為了減輕百姓醫療負擔，某制藥廠將一種藥劑價格逐年降低．2022年這種藥劑價格為400元，2024年該藥劑價格為196元．
(1)求2022年到2024年這種藥劑價格的年平均下降率；
(2)該制藥廠計劃2025年對此藥劑繼續降價，要求此種藥劑的價格不低于147元，則此次價格的下降率最多是多少？
5．“愛在煙臺，難以離開”，醉美所城里在2024年“五一”小長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2026年“五一”小長假期間，接待游客萬人次，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒以往經驗，若每碗賣10元，平均每天將銷售60碗；若價格每提高1元，則平均每天少銷售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；
(2)為了更好地維護煙臺形象，物價局規定每碗售價不得超過15元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天利潤360元？
6．快遞又稱速遞或快運，是指物流企業（含貨運代理）通過自身的獨立網絡或以聯營合作（即聯網）的方式，將用戶委托的文件或包裹，快捷而安全地從發件人送到收件人的門到門的運輸方式．某小區新開了一家快遞店，第一天攬件件，第三天攬件件．
(1)該快遞點這三天攬件日平均增長率；
(2)按這個增長率，求第四天攬件數約為多少件．（結果取整數）
7．近年來，長沙深入挖掘消費潛力，以網紅品牌激活夜經濟，進一步提升城市“煙火氣”．某網紅餐飲品牌斬獲喜人業績，據調查，該品牌某門店2023年1月的營業額為500萬元，3月的營業額為720萬元．
(1)求該店2023年1月至3月營業額的月平均增長率：
(2)若4月保持前兩月營業額的月平均增長率不變，預計該店4月的營業額能否超過850萬元？
8．隨著旅游旺季的到來，貴州某景區游客人數逐月增加，6月份游客人數為1.6萬人，8月份游客人數為2.5萬人．
(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；
(2)預計9月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區9月1日至9月21日已接待游客2.225萬人，則9月份后9天日均接待游客人數最多是多少萬人？
9．某品牌襯衫標價為元件，為提高銷售量，經過兩次降價后為元件，并且兩次降價的百分率相同．
(1)求該種襯衫每次降價的百分率；
(2)若該種品牌襯衫的進價為元件，兩次降價共售出此種品牌襯衫件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于6560元，第一次降價至少要銷售出多少件該種襯衫？
10．隨著國內新能源汽車的普及，為了適應社會的需求，全國各地都在加快公共充電樁的建設，某省2019年公共充電樁的數量為4萬個，2021年公共充電樁的數量為11.56萬個．
(1)求該省2019年至2021年公共充電樁數量的年平均增長率；
(2)按照這樣的增長速度，預計該省2022年公共充電樁數量能否超過20萬個？為什么？
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2.64一元二次方程的運用-增長率問題
設初始量為a，終止量為b，平均增長率或平均降低率為x，則經過兩次得增長或降低后得等量關系為a（1±x） =b.
1.（2024春 瓊海期末）2024年春節剛過，國內新能源汽車車企紛紛開展降價促銷活動．某款新能源汽車今年3月份的售價為25萬元，5月份的售價為18萬元，設該款汽車這兩月售價的月均下降率是x，則下列方程正確的是（　　）
A．25（1﹣x）2＝18 B．18（1﹣x）2＝25
C．18（x﹣1）2＝25 D．25（1﹣2x）2＝18
【分析】根據3月份的售價為25萬元，5月份的售價為18萬元，列出關于x的一元二次方程即可．
【解答】解：根據題意得
25（1﹣x）2＝18．
故選：A．
【總結】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系是解題的關鍵．
2.（2023 富錦市校級三模）某種品牌運動服經過兩次降價，每件零售價由1280元降為720元．已知兩次降價的百分率都是x%，則x的值是（　　）
A．25% B．25 C．20% D．20
【分析】根據經過兩次降價后的價格＝原價×（1﹣x%）2建立方程，解方程即可得．
【解答】解：由題意得：1280（1﹣x%）2＝720，
解得x＝25或x＝175，
當x＝175時，1﹣175%＝﹣75%＜0（不符合題意，舍去）．
故選：B．
【總結】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確建立方程是解題關鍵．
3.（2024 庫爾勒市一模）某藥品原價每盒25元，為了響應國家解決老百姓看病貴的號召，經過連續兩次降價，現在售價每盒16元，則該藥品平均每次降價的百分率是 　 ?。?br/>【分析】設該藥品平均每次降價的百分率為x，根據降價后的價格＝降價前的價格（1﹣降價的百分率），則第一次降價后的價格是25（1﹣x），第二次后的價格是25（1﹣x）2，據此即可列方程求解．
【解答】解：設該藥品平均每次降價的百分率為x，
由題意可知經過連續兩次降價，現在售價每盒16元，
故25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合題意，舍去），
故該藥品平均每次降價的百分率為20%．
【總結】本題考查數量平均變化率問題．原來的數量（價格）為a，平均每次增長或降低的百分率為x的話，經過第一次調整，就調整到a（1±x），再經過第二次調整就是a（1±x）（1±x）＝a（1±x）2．增長用“+”，下降用“﹣”．
4.（2024春 濱江區期末）公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，某頭盔經銷商經統計發現某品牌頭盔5月份銷售量144個，7月份銷售量225個，從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，則此月增長率為（　　）
A．83% B．69% C．25% D．20%
【分析】設從5月份到7月份銷售量的月增長率為x，根據某品牌頭盔5月份銷售量144個，7月份銷售量225個，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【解答】解：設從5月份到7月份銷售量的月增長率為x，
由題意得：144（1+x）2＝225，
解得：x1＝0.25＝20%，x2＝﹣2.25（不合題意，舍去）．
即從5月份到7月份銷售量的月增長率為25%，
故選：C．
【總結】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
5.（2024 沙坪壩區校級一模）據國家文旅部統計，5月1日全國旅游收入為207.9億元，5月1日、5月2日和5月3日的全國旅游收入之和為1027.96億元．若全國旅游收入日平均增長率為x，則可以列出方程為（　　）
A．207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96
B．207.9（1﹣x）2＝1027.96
C．207.9+207.9（1+x）2＝1027.96
D．207.9（1+x）2＝1027.96
【分析】根據5月1日、5月2日和5月3日的全國旅游收入之和為1027.96億元，列方程即可．
【解答】解：根據題意，可列方程為207.9+207.9（1+x）+207.9（1+x）2＝1027.96．
故選：A．
【總結】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，若設變化前的量為a，變化后的量為b，平均變化率為x，則經過兩次變化后的數量關系為a（1±x）2＝b．
6．（2024·吉林松原·模擬預測）某商城在2024年三八節期間促銷海爾冰箱，每臺標價為3000元．商城舉行了促銷摸獎活動，中獎者商城將冰箱連續兩次降價，且每次降價的百分率相同，若該冰箱最終以2430元售出．求每次降價的百分率．
【答案】每次降價的百分率是．
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，設每次降價的百分率為x，依題意列出關于x的一元二次方程，求解即可．
【詳解】解：設每次降價的百分率為x，
依題意，得，
解得，（不合題意，舍去）．
答：每次降價的百分率是．
7.（2024·遼寧·模擬預測）快遞又稱速遞或快運，是指物流企業（含貨運代理）通過自身的獨立網絡或以聯營合作（即聯網）的方式，將用戶委托的文件或包裹，快捷而安全地從發件人送到收件人的門到門的運輸方式．某小區新開了一家快遞店，第一天攬件件，第三天攬件件．
(1)該快遞點這三天攬件日平均增長率；
(2)按這個增長率，求第四天攬件數約為多少件．（結果取整數）
【答案】(1)該快遞點這三天攬件日平均增長率為
(2)按這個增長率，第四天攬件數約為件
【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，正確找出等量關系．
（1）設該快遞點這三天攬件日平均增長率為，根據題意列出方程即可求解；
（2）根據第三天攬件數量和（1）中的增長率即可求解．
【詳解】（1）解：設該快遞點這三天攬件日平均增長率為，
根據題意得：
，
，
，
，（不合題意，舍去），
答：該快遞點這三天攬件日平均增長率為；
（2）根據題意得：（件），
答：按這個增長率，第四天攬件數約為件．
8．（23-24八年級下·山東濟南·期末）“城是濟南城，湖是大明湖，樓是超然樓”是網友為超然樓寫的廣告詞．隨旅游旺季的到來，大明湖超然樓景區的游客人數逐月增加，4月份游客人數約為16萬人次，6月份游客人數約為25萬人次．
(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；
(2)若增長率保持不變，請求出7月份的游客人數．
【答案】(1)
(2)31.25萬人
【分析】（1）設這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為，根據4月份游客人數約為16萬人次，6月份游客人數約為25萬人次．列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；
（2）由題意列式計算即可．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設月平均增長率為x
由題意可得
解得，（不合題意，舍去）
答：這兩個月平均增長率為．
（2）（萬人）
答：7月份的游客人數為31.25萬人．
9．（2024九年級上·全國·專題練習）聚焦“綠色發展，美麗宜居”縣城建設，圍繞“老舊改造人人參與，和諧家園家家受益”的思路，某市從2021年起連續投入資金用于“建設美麗城市，改造老舊小區”，讓小區“舊貌”換“新顏”．已知每年投入資金的增長率相同，其中2021年投入資金1000萬元，2023年投入資金1440萬元．
(1)求該市改造小區投入資金的年平均增長率；
(2)2023年小區改造的平均費用為每個80萬元，如果投入資金年增長率保持不變，求該市2024年最多可以改造多少個小區？
【答案】(1)
(2)21個小區
【分析】本題考查了一元二次方程的應用、有理數的混合運算的應用，理解題意，正確列出一元二次方程是解此題的關鍵．
（1）設該市改造小區投入資金的年平均增長率為x，根據2023年投入資金金額2021年投入資金金額（年平均增長率），列出一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）用2024年投入的費用除以改造的平均費用即可求解．
【詳解】（1）解：設該市改造小區投入資金的年平均增長率為x，
依題意得：，
解得：（不合題意，舍去），
答：該市改造小區投入資金的年平均增長率為；
（2）解：．
答：該市在2024年最多可以改造21個小區．
1．2021年杭州市某區的GDP（國內生產總值）為2502.2億元．2023年該區的GDP為2936.43億元，在杭州市各區縣排名第一．設這兩年該區GDP的平均增長率為x，根據題意可列出方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程．根據該市2021年及2023年該區的，即可得出關于的一元二次方程，此題得解．
【詳解】解：依題意得：．
故選：B．
2．公安部交管局部署“一盔一帶”安全守護行動，某頭盔經銷商經統計發現某品牌頭盔5月份銷售量144個，7月份銷售量225個，從5月份到7月份銷售量的月增長率相同，則此月增長率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，設從5月份到7月份銷售量的月增長率為x，根據某品牌頭盔5月份銷售量144個，7月份銷售量225個，列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可．
【詳解】解：設從5月份到7月份銷售量的月增長率為x，
由題意得：，
解得：（不合題意，舍去）．
即從5月份到7月份銷售量的月增長率為，
故選：C．
3.某企業今年1月份的利潤為200萬元，2月份和3月份的利潤合計為750萬元，設2月份和3月份利潤的平均增長率為，根據題意可列方程為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據2月份和3月份的利潤合計為750萬元列出一元二次方程即可．
【詳解】解：1月份的利潤為200萬元，
則2月份的利潤為，
則3月份的利潤為，
∴根據題意可列方程為．
故選：D．
4．某市2021年年底自然保護區覆蓋率為，經過兩年努力，該市2023年年底自然保護區覆蓋率達到，求該市這兩年自然保護區面積的年均增長率．設該市這兩年自然保護區面積的年均增長率為x，則下列方程正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題考查一元二次方程的實際應用，根據該市2023年年底自然保護區覆蓋率達到，列方程即可．
【詳解】解：由題意得，，
故選：A．
5．某放射性元素經2天后，質量衰變為原來的．設這種放射性元素質量的日平均減少率為x，則可列出方程為 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出方程即可，正確理解題意并列出方程是解題的關鍵．
【詳解】解：∵某放射性元素經2天后，質量衰變為原來的，設這種放射性元素質量的日平均減少率為x，
∴可列出方程為，
故答案為：．
6．濟南市公安交警部門提醒市民：“出門戴頭盔，放心平安歸”.某商店統計了某品牌頭盔的銷售量，四月份售出375個，六月份售出540個，且從四月份到六月份月增長率相同.
(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率；
(2)經市場調研發現，此種品牌頭盔如果每個盈利10元，月銷售量為500個，若在此基礎上每個漲價1元，則月銷售量將減少20個，現在既要使月銷售利潤達到6000元，又要盡可能讓顧客得到實惠，那么該品牌頭盔每個應漲價多少元？
【答案】(1)頭盔銷售量的月增長率為；
(2)該品牌的頭盔每個應漲價5元.
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）設該品牌頭盔銷售量的月增長率為x，根據該品牌頭盔4月份及6月份的月銷售量，得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可；
（2）設頭盔每個漲價元，根據“月銷售利潤達到6000元”，得出關于的一元二次方程求解，根據“盡可能讓市民得到實惠”取舍即可．
【詳解】（1）解：設頭盔銷售量的月增長率為，根據題意得：
，
解得，（舍去），
頭盔銷售量的月增長率為；
（2）解：設頭盔每個漲價元，根據題意得：
，
整理得，
解得，（舍去），
答：該品牌的頭盔每個應漲價5元
7．“城是濟南城，湖是大明湖，樓是超然樓”是網友為超然樓寫的廣告詞．隨旅游旺季的到來，大明湖超然樓景區的游客人數逐月增加，4月份游客人數約為16萬人次，6月份游客人數約為25萬人次．
(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；
(2)若增長率保持不變，請求出7月份的游客人數．
【答案】(1)
(2)31.25萬人
【分析】（1）設這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為，根據4月份游客人數約為16萬人次，6月份游客人數約為25萬人次．列出一元二次方程，解之取符合題意的值即可；
（2）由題意列式計算即可．
本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：設月平均增長率為x
由題意可得
解得，（不合題意，舍去）
答：這兩個月平均增長率為．
（2）（萬人）
答：7月份的游客人數為31.25萬人．
8．某工廠使用舊設備生產，每月生產收入是90萬元，每月另需支付設備維護費5萬元從今年1月份起使用新設備，生產收入提高且無設備維護費，使用當月生產收入達100萬元，1至3月份累計收入達364萬元，且2，3月份的生產收入保持相同的增長率，3月份后每月生產收入穩定在3月份的水平．
(1)求使用新設備后，2月3月生產收入的月增長率
(2)購進新設備需一次性支付640萬元，則使用新設備幾個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤？（累計利潤是指累計生產收入減去舊設備維護費或新設備購進費）
【答案】(1)每月的增長率是．
(2)使用新設備12個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤．
【分析】本題主要考查理一元二次方程的應用、一元一次不等式的應用等知識點，根據題意列出方程和不等式是解題的關鍵．
（1）設每月的增長率為x，那么2月份的生產收入為，三月份的生產收入為，根據1至3月份的生產收入累計可達364萬元可列方程求解即可；
（2）設使用新設備y個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤，根據不等關系可列不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設每月的增長率為x，由題意得：，
解得或（不合題意舍去）．
答：每月的增長率是．
（2）解：設使用新設備y個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤，依題意有，
解得．
答：使用新設備12個月后，該廠所得累計利潤不低于使用舊設備的累計利潤．
1.（2023春 龍口市期中）某商業街有店面房共195間，2021年平均每間店面房的年租金為10萬元，由于物價上漲，到2023年平均每間店面房的年租金上漲到了12.1萬元，則2021年至2023年平均每間店面房年租金的平均增長率為（　?。?br/>A．2.1% B．11% C．10% D．10%或21%
【分析】設2021年至2023年平均每間店面房年租金的平均增長率為x，根據2021年及2023年平均每間店面房的年租金，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
【解答】解：設2021年至2023年平均每間店面房年租金的平均增長率為x，根據題意得：10×（1+x）2＝12.1．
解得：x1＝10%，x2＝﹣2.1（不合題意舍去），
∴2021年至2023年平均每間店面房年租金的平均增長率為10%．
故選：C．
【總結】本題考查了一元二次方程的應用，解題的關鍵是：找準等量關系列出關于x的一元二次方程．
2.（23-24九年級·安徽安慶·期中）為了美化環境，2021年某市的綠化投資額為萬元，2023年的綠化投資額為萬元，則這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．設這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為，利用2023年該市的綠化投資額2021年該市的綠化投資（額這兩年該市綠化投資額的年平均增長率），可得出關于的一元二次方程求解，取其符合題意的值，即可得出結論．
【詳解】解：設這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為，
根據題意得：，
，解得：，（不符合題意，舍去），
，
這兩年該市綠化投資額的年平均增長率為．
故選：C．
2.（23-24九年級·江蘇鎮江·期中）鎮江香醋甲天下，為開拓醋的養生功能，某醋廠開發出櫻桃醋．為打開市場，該櫻桃醋經過兩次降價，售價由原來的每瓶25元降至每瓶16元，已知兩次降價的百分率相同，若設每次降價的百分率為，則可列方程 ．
【答案】
【分析】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，設每次降價的百分率為，根據經過兩次降價后的價格原價（每次降價的百分率）2，即可得出關于的一元二次方程，理解題意，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解此題的關鍵．
【詳解】解：由題意得：，
故答案為：．
3.（23-24九年級·四川綿陽·期中）習近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發，讓人滋養浩然之氣．”某校為響應我市全民閱讀活動，利用節假日面向社會開放學校圖書館．據統計，第一個月進館人次，進館人次逐月增加，到第三個月末累計進館608人次，若進館人次的月平均增長率相同．進館人次的月平均增長率是 ．
【答案】
【分析】本題主要考查二次函數中的增長率問題，注意題目中的要求是到第三個月末累計進館608人次，求和的方式覺得方程的結構，不要受思維定勢，列錯方程是解決問題的關鍵．
【詳解】解：設進館人次的月平均增長率為x，
則由題意得：
化簡得：
∴；
∴或（舍）；
答：進館人次的月平均增長率為；
故答案為：．
4．為了減輕百姓醫療負擔，某制藥廠將一種藥劑價格逐年降低．2022年這種藥劑價格為400元，2024年該藥劑價格為196元．
(1)求2022年到2024年這種藥劑價格的年平均下降率；
(2)該制藥廠計劃2025年對此藥劑繼續降價，要求此種藥劑的價格不低于147元，則此次價格的下降率最多是多少？
【答案】(1)
(2)此次價格的下降率最多是
【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）找出數量關系，正確列出一元一次不等式．
（1）設2022年到2024年這種藥劑價格的年平均下降率為，利用2024年該藥劑的價格年該藥劑的價格年到2024年這種藥劑價格的年平均下降率），列出一元二次方程，解之取其符合題意的值即可；
（2）設此次價格的下降率是，利用2025年該藥劑的價格年該藥劑的價格此次價格的下降率），結合2025年該藥劑的價格不低于147元，列出一元一次不等式，解之取其中的最大值即可．
【詳解】（1）解：設2022年到2024年這種藥劑價格的年平均下降率為，
根據題意得，解得，（不符合題意，舍去），
答：2022年到2024年這種藥劑價格的年平均下降率為；
（2）設此次價格的下降率是，
根據題意得，解得，
的最大值是，
答：此次價格的下降率最多是．
5．“愛在煙臺，難以離開”，醉美所城里在2024年“五一”小長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2026年“五一”小長假期間，接待游客萬人次，一家特色小面店希望在“五一”小長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗6元，借鑒以往經驗，若每碗賣10元，平均每天將銷售60碗；若價格每提高1元，則平均每天少銷售4碗．
(1)求出2024至2026年“五一”小長假期間游客人次的年平均增長率；
(2)為了更好地維護煙臺形象，物價局規定每碗售價不得超過15元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天利潤360元？
【答案】(1)年平均增長率為
(2)當每碗售價定為15元時，店家才能實現每天利潤360元
【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應用：
（1）設年平均增長率為，則2025年接待游客萬人，2026年接待游客萬人，據此列出方程求解即可；
（2）設每碗售價定為元時，店家才能實現每天利潤600元，根據利潤（售價成本價）銷售量列出方程求解即可．
【詳解】（1）解：設年平均增長率為，
依題意有．
解得，（舍去）．
答：年平均增長率為；
（2）解：設每碗售價定為元時，店家才能實現每天利潤600元，
依題意得：，
解得，，
每碗售價不得超過15元，
當每碗售價定為15元時，店家才能實現每天利潤360元．
6．快遞又稱速遞或快運，是指物流企業（含貨運代理）通過自身的獨立網絡或以聯營合作（即聯網）的方式，將用戶委托的文件或包裹，快捷而安全地從發件人送到收件人的門到門的運輸方式．某小區新開了一家快遞店，第一天攬件件，第三天攬件件．
(1)該快遞點這三天攬件日平均增長率；
(2)按這個增長率，求第四天攬件數約為多少件．（結果取整數）
【答案】(1)該快遞點這三天攬件日平均增長率為
(2)按這個增長率，第四天攬件數約為件
【分析】本題考查了二次函數的應用，解題的關鍵是理解題意，正確找出等量關系．
（1）設該快遞點這三天攬件日平均增長率為，根據題意列出方程即可求解；
（2）根據第三天攬件數量和（1）中的增長率即可求解．
【詳解】（1）解：設該快遞點這三天攬件日平均增長率為，
根據題意得：
，
，
，
，（不合題意，舍去），
答：該快遞點這三天攬件日平均增長率為；
（2）根據題意得：（件），
答：按這個增長率，第四天攬件數約為件．
7．近年來，長沙深入挖掘消費潛力，以網紅品牌激活夜經濟，進一步提升城市“煙火氣”．某網紅餐飲品牌斬獲喜人業績，據調查，該品牌某門店2023年1月的營業額為500萬元，3月的營業額為720萬元．
(1)求該店2023年1月至3月營業額的月平均增長率：
(2)若4月保持前兩月營業額的月平均增長率不變，預計該店4月的營業額能否超過850萬元？
【答案】(1)該店2023年1月至3月營業額的月平均增長率為20%
(2)預計該店4月的營業額能超過850萬元
【分析】本題主要考查了一元二次方程的應用，根據題意正確列出一元二次方程成為解題的關鍵．
（1）設該店2023年1月至3月營業額的月平均增長率為x，然后根據增長率問題列出方程求解即可；
（2）根據（1）求得的增長率計算出4月份的營業額，然后與850萬元比較即可．
【詳解】（1）解：設該店2023年1月至3月營業額的月平均增長率為x，
依題意得：，
解得：，（不合題意，舍去）．
答：該店2023年1月至3月營業額的月平均增長率為．
（2）解：預計該店4月的營業額：（萬元）．
∵，
∴預計該店4月的營業額能超過850萬元．
8．隨著旅游旺季的到來，貴州某景區游客人數逐月增加，6月份游客人數為1.6萬人，8月份游客人數為2.5萬人．
(1)求這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率；
(2)預計9月份該景區游客人數會繼續增長，但增長率不會超過前兩個月的月平均增長率．已知該景區9月1日至9月21日已接待游客2.225萬人，則9月份后9天日均接待游客人數最多是多少萬人？
【答案】(1)這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為
(2)9月份后9天日均接待游客人數最多是0.1萬人
【分析】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出一元二次方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
（1）設這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為x，利用該景區8月份游客人數該景區6月份游客人數（這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率），可列出關于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結論；
（2）設9月份后9天日均接待游客人數是y萬人，根據9月份該景區游客人數的增長率不會超過前兩個月的月平均增長率，可列出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出結論．
【詳解】（1）解：設這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為x，
根據題意得：，
解得：，（不符合題意，舍去）．
答：這兩個月中該景區游客人數的月平均增長率為；
（2）解：設9月份后9天日均接待游客人數是y萬人，
根據題意得：，
解得：，
∴y的最大值為．
答：9月份后9天日均接待游客人數最多是萬人．
9．某品牌襯衫標價為元件，為提高銷售量，經過兩次降價后為元件，并且兩次降價的百分率相同．
(1)求該種襯衫每次降價的百分率；
(2)若該種品牌襯衫的進價為元件，兩次降價共售出此種品牌襯衫件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于6560元，第一次降價至少要銷售出多少件該種襯衫？
【答案】(1)該種襯衫每次降價的百分率為
(2)第一次降價至少要銷售出件該種襯衫
【分析】設這種襯衫每次降價的百分率為，由題意：襯衫標價為元件，經過兩次優惠降價為元件，并且兩次降價的百分率相同．列出方程，解方程即可；
設第一次降價要銷售出件該種襯衫，由題意：該種品牌襯衫的進價為元件，兩次降價共售出此種品牌襯衫件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于6560元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：找準等量關系，正確列出一元二次方程；根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
【詳解】（1）解：設這種襯衫每次降價的百分率為，
由題意得：，
解得：，（不合題意，舍去），
答：該種襯衫每次降價的百分率為；
（2）設第一次降價要銷售出件該種襯衫，
由題意得：
解得：，
答：第一次降價至少要銷售出件該種襯衫．
10．隨著國內新能源汽車的普及，為了適應社會的需求，全國各地都在加快公共充電樁的建設，某省2019年公共充電樁的數量為4萬個，2021年公共充電樁的數量為11.56萬個．
(1)求該省2019年至2021年公共充電樁數量的年平均增長率；
(2)按照這樣的增長速度，預計該省2022年公共充電樁數量能否超過20萬個？為什么？
【答案】(1)
(2)不能，理由見解析
【分析】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．
（1）設該省公共充電樁數量的年平均增長率為x，根據廣東省2019年及2021年公共充電樁，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；
（2）根據該省2022年公共充電樁數量=該省2022年公共充電樁數量×增長率，即可求出結論．
【詳解】（1）解：設該省2019年至2021年公共充電樁數量的年平均增長率為．
根據題意，得．
解得，（不合題意，舍去）
答：該省2019年至2021年公共充電樁數量的年平均增長率為．
（2）解：不能
理由：（萬個）．
，
預計該省2022年公共充電樁數量不能超過20萬個．
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