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1.3正方形的性質(zhì)與判定
——九年級數(shù)學(xué)北師大版（2012）上冊課前導(dǎo)學(xué)
一、知識詳解
1.正方形的定義：有 相等并且 是直角的 叫做正方形．
2.正方形既是 又是 ，它既具有 的性質(zhì)，又有 的性質(zhì)．
3.正方形的性質(zhì)∶
①邊∶ 都相等且 ；
②角：四個(gè)角都是 ；
③對角線：兩條對角線互相 且 ，并且每一條對角線平分 ；
④正方形既是 圖形，又是 圖形，正方形有 對稱軸．
4.正方形的判定
① 的菱形是正方形．．
② 的菱形是正方形．
③ 的矩形是正方形．
④ 的矩形是正方形．
二、題目速練
1.一個(gè)四邊形順次添加下列中的三個(gè)條件便得到正方形：
a.兩組對邊分別相等
b.一組對邊平行且相等
c.一組鄰邊相等
d.一個(gè)角是直角
順次添加的條件：
①a→c→d
②b→d→c
③a→b→c則正確的是：( )
A.僅① B.僅③ C.①② D.②③
2.如圖，將長方形紙片折疊，使A點(diǎn)落在BC上的F處，折痕為BE.若沿EF剪下，則折疊部分是一個(gè)正方形，其數(shù)學(xué)原理是( )
A.鄰邊相等的矩形是正方形 B.對角線相等的菱形是正方形
C.兩個(gè)全等的直角三角形構(gòu)成正方形 D.軸對稱圖形是正方形
3.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)P在AC上，，，垂足分別為E，F(xiàn)，連接PD，EF，若，則PD的長為( )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
4.如圖，小明在學(xué)習(xí)了正方形之后，給同桌小文出了道題，從下列四個(gè)條件：
①，
②，
③，
④中任選兩個(gè)作為補(bǔ)充條件，使為正方形.
現(xiàn)有下列四種選法，你認(rèn)為其中錯誤的是( )
A.②③ B.①③ C.①② D.③④
5.四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，請?zhí)砑右恍l件使其成為正方形.麗麗同學(xué)認(rèn)為若添加，，可判定四邊形ABCD是正方形.她的想法是否正確？若不正確，請給出正確的結(jié)論.
答案及解析
一、知識詳解
1.一組鄰邊；有一個(gè)角；平行四邊形
2.矩形；菱形；矩形；菱形
3.①四邊形、對邊平行；②直角；③垂直平分、相等、一組對角；④中心對稱、軸對稱、四條
4.①有一個(gè)角是直角；②對角線相等；③有一組鄰邊；④對角線相互垂直
二、題目速練
1.答案：C
解析：①由兩組對邊分別相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一組鄰邊相等可得該四邊形是菱形，再添加一個(gè)角是直角則可得該四邊形是正方形；正確，故符合題意；
②由一組對邊平行且相等可得該四邊形是平行四邊形，添加一個(gè)角是直角可得該四邊形是矩形，再添加一組鄰邊相等則可得該四邊形是正方形；正確，故符合題意；
③a、b都為平行四邊形的判定定理，故不能判定該四邊形是正方形，故錯誤，不符合題意；
正確的有①②；
故選C.
2.答案：A
解析：將長方形紙片折疊，A點(diǎn)落在BC上的F處，.折痕為BE，沿EF剪下，，四邊形ABFE為矩形.又，四邊形ABFE為正方形.故其數(shù)學(xué)原理是鄰邊相等的矩形是正方形.故選A.
3.答案：D
解析：連接PB.在正方形ABCD中，
，.，，，，.，，，四邊形是矩形，，，故選D.
4.答案：A
解析：A選項(xiàng)，四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)②時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，而，這是矩形的性質(zhì)，無法得出四邊形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)錯誤，符合題意；
B選項(xiàng)，四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)①時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)③時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
C選項(xiàng)，四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)①時(shí)，平行四邊形ABCD是菱形，當(dāng)②時(shí)，菱形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不合題意；
D選項(xiàng)，四邊形ABCD是平行四邊形，當(dāng)③時(shí)，平行四邊形ABCD是矩形，當(dāng)④時(shí)，矩形ABCD是正方形，故此選項(xiàng)正確，不合題意.故選A.
5.答案：不正確
解析：不正確.若要使四邊形ABCD是正方形，可先使其成為菱形或者矩形.
當(dāng)，，時(shí)，四邊形ABCD為矩形.
再添加條件，可判定四邊形ABCD為正方形；
當(dāng)，，時(shí)，四邊形ABCD為菱形.
再添加條件，可判定四邊形ABCD為正方形.答案不唯一，合理即可.

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