資源簡(jiǎn)介

/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 |數(shù)學(xué)
第03講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 冪函數(shù)的定義和性質(zhì) (2) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 2024年I卷，5分 2024年II卷，5分 2024年天津卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5 分 2023年北京卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2020年II卷，5分 （1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題填空題為主 （2）重點(diǎn)是冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等），主要考查冪函數(shù)的定義，二次函數(shù)的解析式求解，常與對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考察大小比較，求定義域，分段函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等.
(
考試要求
小
)
1、通過(guò)具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律；
2、掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等）.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識(shí)點(diǎn)1: 冪函數(shù)定義和性質(zhì)
1、冪函數(shù)定義
（1）函數(shù)叫做冪函數(shù)，其中是自變量，是常數(shù).
（2）冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足以下三個(gè)條件才是冪函數(shù)！
1）的系數(shù)為1；
2)的底數(shù)是自變量；
3）指數(shù)是常數(shù).
2、常見(jiàn)的5種冪函數(shù)的圖象
3、冪函數(shù)的性質(zhì)
（1）冪函數(shù)在上都有定義；
（2）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)和，且在上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)，且在上單調(diào)遞減；
（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇函數(shù)；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).
知識(shí)點(diǎn)2:二次函數(shù)
1、二次函數(shù)解析式的形式
（1）一般式：
（2）頂點(diǎn)式：，頂點(diǎn)坐標(biāo)
（3）零點(diǎn)式：為的零點(diǎn).
2、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)
圖象
定義域
值域
對(duì)稱軸
頂點(diǎn)坐標(biāo)
奇偶性 若是偶函數(shù)， 若是非奇非偶函數(shù)； 若是偶函數(shù)， 若是非奇非偶函數(shù)；
單調(diào)性 在上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減；
知識(shí)點(diǎn):一元二次方程根的分布
1、一元二次方程根的分布可以從以下4個(gè)方面進(jìn)行分析：
（1）開(kāi)口方向：根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)判斷對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向；
（2）判別式：根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷根的數(shù)量；
（3）對(duì)稱軸：討論對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系；
（4）邊界點(diǎn)的函數(shù)值：討論二次函數(shù)在所給區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù).
(
題型展示
小
)
題型一:冪函數(shù)的定義和性質(zhì)
【例1】?jī)绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】
【詳解】
（1）求出的值
是冪函數(shù)，
（2）根據(jù)單調(diào)性取舍
1），在上單調(diào)遞增；
2），在上單調(diào)遞減，舍去；
（3）代入求值
；答案為A.
【變式1】（多選）已知函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A.1 B. C. D.
【答案】
【詳解】選項(xiàng)代入法
（1）對(duì)于直接求解法不太好求解的選擇題，可以用選項(xiàng)代入法排除選項(xiàng)，事半功倍：
1），在上不是單調(diào)遞減，A錯(cuò)；
2），是偶函數(shù)，在上是單調(diào)遞減，B對(duì)；
3），是偶函數(shù)，在上是單調(diào)遞減，C對(duì)；
4），在上不是單調(diào)遞減，D錯(cuò)；
答案為BC.
題型二:求二次函數(shù)解析式
【例2】已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是8，則該二次函數(shù)的解析式為 .
【答案】
【詳解】
，根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性，
對(duì)稱軸為；
的最大值是8，
開(kāi)口向下，且頂點(diǎn)為；
頂點(diǎn)式：，
，
.
【變式2】已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)到軸的距離等于2，則二次函數(shù)的解析式為 .
【答案】
【詳解】或
二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，
是二次函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，對(duì)稱軸為，
零點(diǎn)式：；
頂點(diǎn)到軸的距離等于2，
或；
，或
或.
題型三:二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
【例3】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
根絕復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：
函數(shù)在R上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減；
，解得，的取值范圍是；答案為D.
【變式3】已知函數(shù),函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【詳解】
1）當(dāng)時(shí),,,
的小于0的零點(diǎn)為;
2）當(dāng)時(shí)，,,
無(wú)零點(diǎn);
3）當(dāng)時(shí), ,,大于2的零點(diǎn)為,
函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2；答案為A.
(
考場(chǎng)演練
)
【真題1】（2024·天津）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【詳解】
和都是單調(diào)遞增的，
和成立條件都是當(dāng)且僅當(dāng)，二者互為充要條件；答案為C.
【真題2】（2024·全國(guó)新Ⅰ卷）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
在上單調(diào)遞增，且時(shí)，單調(diào)遞增，
，，
即的范圍是；答案為B.
【真題3】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
利用指數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：
函數(shù)在R上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減，
，解得，的取值范圍是；答案為D.
【真題4】（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
令，則開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，
，而，
，即
由二次函數(shù)性質(zhì)得，
，而，
即，，綜上可得，，
又為增函數(shù)，故，即.答案為A.
【真題6】（2023·北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
對(duì)A，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)；
對(duì)B，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞減，故B錯(cuò)；
對(duì)C，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，故C正確；
對(duì)D， ，，
顯然在上不單調(diào)，D錯(cuò).答案為C.
【真題7】（2021·全國(guó)甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
對(duì)A，為上的減函數(shù)，錯(cuò)；
對(duì)B，為上的減函數(shù)，錯(cuò)；
對(duì)C，在為減函數(shù)，錯(cuò)；
對(duì)D，為上的增函數(shù)，符合，答案為D.
【真題8】（2020·江蘇）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是 .
【答案】
【詳解】
， 為奇函數(shù)，；答案為.
【真題9】（2020·全國(guó)Ⅱ卷）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由或，
的定義域?yàn)椋?br/>在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞增，；答案為D
【真題10】（2019·江蘇）函數(shù)的定義域是 .
【答案】
【詳解】
偶次根式下被開(kāi)方數(shù)非負(fù)，
,即，定義域?yàn)?
【真題11】（2015·重慶）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】
由或，答案為D.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)/ 讓教學(xué)更有效 精品試卷 |數(shù)學(xué)
第03講 冪函數(shù)與二次函數(shù)
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 冪函數(shù)的定義和性質(zhì) (2) 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 2024年I卷，5分 2024年II卷，5分 2024年天津卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5 分 2023年北京卷，5 分 2021年甲卷，5 分 2020年II卷，5分 （1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題填空題為主 （2）重點(diǎn)是冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等），主要考查冪函數(shù)的定義，二次函數(shù)的解析式求解，常與對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)結(jié)合考察大小比較，求定義域，分段函數(shù)單調(diào)性，復(fù)合函數(shù)單調(diào)性等.
(
考試要求
小
)
1、通過(guò)具體實(shí)例，了解冪函數(shù)及其圖象的變化規(guī)律；
2、掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（單調(diào)性、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、最值等）.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識(shí)點(diǎn)1: 冪函數(shù)定義和性質(zhì)
1、冪函數(shù)定義
（1）函數(shù)叫做 ，其中是 ，是 .
（2）冪函數(shù)的特征：同時(shí)滿足以下三個(gè)條件才是冪函數(shù)！
1）的系數(shù)為 ；
2)的底數(shù)是 ；
3）指數(shù)是 .
2、常見(jiàn)的5種冪函數(shù)的圖象
3、冪函數(shù)的性質(zhì)
（1）冪函數(shù)在上都有定義；
（2）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)和，且在上 ；
（3）當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn)，且在上 ；
（4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為 ；
當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).
知識(shí)點(diǎn)2:二次函數(shù)
1、二次函數(shù)解析式的形式
（1）一般式： ；
（2）頂點(diǎn)式：，頂點(diǎn)坐標(biāo) ；
（3）零點(diǎn)式：為的零點(diǎn).
2、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
函數(shù)
圖象
定義域
值域 ，
對(duì)稱軸 ，
頂點(diǎn)坐標(biāo) ，
奇偶性 若是偶函數(shù)， 若是 ； 若是偶函數(shù)， 若是非奇非偶函數(shù)；
單調(diào)性 在上 ， 在上 ； 在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減；
知識(shí)點(diǎn):一元二次方程根的分布
1、一元二次方程根的分布可以從以下4個(gè)方面進(jìn)行分析：
（1）開(kāi)口方向：根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)判斷對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口方向；
（2）判別式：根據(jù)一元二次方程根的判別式判斷根的數(shù)量；
（3）對(duì)稱軸：討論對(duì)應(yīng)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系；
（4）邊界點(diǎn)的函數(shù)值：討論二次函數(shù)在所給區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的正負(fù).
(
題型展示
小
)
題型一:冪函數(shù)的定義和性質(zhì)
【例1】?jī)绾瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則等于（ ）
A. B. C. D.
【變式1】（多選）已知函數(shù)為偶函數(shù)且在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值可以為（ ）
A.1 B. C. D.
題型二:求二次函數(shù)解析式
【例2】已知二次函數(shù)滿足，且的最大值是8，則該二次函數(shù)的解析式為 .
【變式2】已知二次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且頂點(diǎn)到軸的距離等于2，則二次函數(shù)的解析式為 .
題型三:二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)
【例3】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式3】已知函數(shù),函數(shù),則函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
(
考場(chǎng)演練
)
【真題1】（2024·天津）設(shè)，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【真題2】（2024·全國(guó)新Ⅰ卷）已知函數(shù)在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題4】（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．記，則（ ）
A． B． C． D．
【真題6】（2023·北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（ ）
A． B．
C． D．
【真題7】（2021·全國(guó)甲卷）下列函數(shù)中是增函數(shù)的為（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2020·江蘇）已知是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則的值是 .
【真題9】（2020·全國(guó)Ⅱ卷）已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題10】（2019·江蘇）函數(shù)的定義域是 .
【真題11】（2015·重慶）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B． C． D．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開(kāi)更多......

收起↑