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第04講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
(
考綱導(dǎo)向
小
)
考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 指數(shù)冪的含義和運(yùn)算性質(zhì) (2) 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 2023年I卷，5分 2023年乙卷，5 分 2022年浙江卷，5 分 2022年北京卷，5分 2020年全國(guó)卷，5分 2017年全國(guó)卷，5分 （1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點(diǎn)是指數(shù)冪的含義和運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要考查指數(shù)冪的計(jì)算，指數(shù)式的大小比較及結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象分析性質(zhì)，常與冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考查函數(shù)的性質(zhì)以及大小比較.
(
考試要求
小
)
1、理解有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；
2、通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫(huà)指數(shù)函數(shù)的圖像；
3、理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.
(
考點(diǎn)突破考綱解讀
)
(
考點(diǎn)梳理
小
)
知識(shí)點(diǎn)1:根式
1、若，則叫做的次方根，其中，且；
2、式子叫做的次方根，其中叫做根指數(shù)，叫做被開(kāi)方數(shù)；
3、根式運(yùn)算
（1）
（2）
知識(shí)點(diǎn)2:指數(shù)冪
1、指數(shù)冪
（1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：
（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：
（3）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.
2、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
（1） （2） （3）
知識(shí)點(diǎn)3:指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)定義
函數(shù),且叫做指數(shù)函數(shù)，其實(shí)指數(shù)是自變量，是底數(shù)，定義域是.
2、指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
函數(shù)
圖象
定義域
值域
定點(diǎn)坐標(biāo)
函數(shù)值特點(diǎn) 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，， 當(dāng)時(shí)，；
單調(diào)性 在上單調(diào)遞增； 在上單調(diào)遞減；
3、指數(shù)函數(shù)重要結(jié)論
（1）指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn).
（2）函數(shù)，恒過(guò)點(diǎn)
（3）在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù),且的圖像越高，底數(shù)越大.
(
題型展示
小
)
題型一:指數(shù)冪的運(yùn)算
【例1】計(jì)算：
（1）；
（2）
【答案】（1）19；（2）
【解析】
（1）原式；
（2）原式；
【變式1】計(jì)算：
（1）；
（2）.
【答案】
【解析】
（1）原式；
（2）原式.
題型二:指數(shù)式大小比較
【例2】已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，，，
冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，，
；答案為A.
【變式2】設(shè)則的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
在區(qū)間是單調(diào)遞減函數(shù)可知，
，又，；答案為C.
題型三:指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【例3】已知函數(shù)，則（ ）
A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
【答案】A
【解析】
的定義域?yàn)椋?br/>函數(shù) 是奇函數(shù)，
又在都是單調(diào)遞增函數(shù)，
函數(shù) 在R上是增函數(shù)．答案為A.
【變式3】方程的解為 .
【答案】2
【解析】
，
，
令，，解得或，
當(dāng)時(shí)，，，而，不合題意，舍去；
當(dāng)時(shí)，，，，，滿足條件，
是原方程的解.
(
考場(chǎng)演練
)
【真題1】（2023·全國(guó)乙卷）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】
為偶函數(shù)，
，
又不恒為0，可得，即，
，解得.答案為D.
【真題2】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
函數(shù)在R上單調(diào)遞增，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，的取值范圍是；答案為D.
【真題3】（2022·浙江）已知，則（ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】
，，即，
．答案為C.
【真題4】（2022·北京）已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，故A錯(cuò)誤，C正確；
，不是常數(shù)，故BD錯(cuò)；
答案為C．
【真題5】（2020·全國(guó)）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
可得，，，答案為B.
【真題6】（2017·全國(guó)）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是 .
【答案】
【解析】
分類討論：
（1）當(dāng)時(shí)， 恒成立，即；
（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，即；
（3）當(dāng)時(shí)，，即.
綜上，x的取值范圍是.
【真題7】（2016·北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間 上為減函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
A:在區(qū)間上為增函數(shù)；
B:在區(qū)間上先增后減；
C:在區(qū)間上為增函數(shù)；
D:在區(qū)間上為減函數(shù)，選D.
【真題8】（2015·江蘇）不等式的解集為 .
【答案】
【解析】
是一個(gè)遞增函數(shù)；；故答案為
【真題9】（2015·山東）已知函數(shù) 的定義域和值域都是 ，則 .
【答案】
【解析】
對(duì)進(jìn)行分類討論：
（1）若 ，則 在上為增函數(shù), ，無(wú)解；
（2）若 ，則在上為減函數(shù), ，解得，.
【真題10】（2015·福建）若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于 ．
【答案】
【解析】
函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，，
函數(shù)在上是增函數(shù)，從而有，
，故的最小值等于.
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第04講 指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
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考綱導(dǎo)向
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考點(diǎn)要求 考題統(tǒng)計(jì) 考情分析
(1) 指數(shù)冪的含義和運(yùn)算性質(zhì) (2) 指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 2023年I卷，5分 2023年乙卷，5 分 2022年浙江卷，5 分 2022年北京卷，5分 2020年全國(guó)卷，5分 2017年全國(guó)卷，5分 （1）本講為高考命題熱點(diǎn)，題型以選擇題、填空題為主； （2）重點(diǎn)是指數(shù)冪的含義和運(yùn)算性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，主要考查指數(shù)冪的計(jì)算，指數(shù)式的大小比較及結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象分析性質(zhì)，常與冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考查函數(shù)的性質(zhì)以及大小比較.
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考試要求
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1、理解有理數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的含義，掌握指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；
2、通過(guò)實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，會(huì)畫(huà)指數(shù)函數(shù)的圖像；
3、理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、特殊點(diǎn)等性質(zhì)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.
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考點(diǎn)突破考綱解讀
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考點(diǎn)梳理
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知識(shí)點(diǎn)1:根式
1、若，則叫做的 ，其中，且；
2、式子叫做的次方根，其中叫做 ，叫做 ；
3、根式運(yùn)算
（1）
（2）
知識(shí)點(diǎn)2:指數(shù)冪
1、指數(shù)冪
（1）正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：
（2）正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：
（3）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 ，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義.
2、有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
（1） （2） （3）
知識(shí)點(diǎn)3:指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)定義
函數(shù),且叫做指數(shù)函數(shù)，其實(shí)指數(shù)是 ，是 ，定義域是.
2、指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
函數(shù)
圖象
定義域 ,
值域 ,
定點(diǎn)坐標(biāo) ,
函數(shù)值特點(diǎn) 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，；
單調(diào)性 在上 ； 在上 ；
3、指數(shù)函數(shù)重要結(jié)論
（1）指數(shù)函數(shù)圖象的關(guān)鍵點(diǎn);
（2）函數(shù)，恒過(guò)點(diǎn) ,
（3）在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù),且的圖像越高，底數(shù) .
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題型展示
小
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題型一:指數(shù)冪的運(yùn)算
【例1】計(jì)算：
（1）；
（2）
【變式1】計(jì)算：
（1）；
（2）.
題型二:指數(shù)式大小比較
【例2】已知?jiǎng)t（ ）
A． B． C． D．
【變式2】設(shè)則的大小關(guān)系是（ ）
A． B． C． D．
題型三:指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
【例3】已知函數(shù)，則（ ）
A．是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù) B．是偶函數(shù)，且在R上是增函數(shù)
C．是奇函數(shù)，且在R上是減函數(shù) D．是偶函數(shù)，且在R上是減函數(shù)
【變式3】方程的解為 .
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考場(chǎng)演練
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【真題1】（2023·全國(guó)乙卷）已知是偶函數(shù)，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【真題2】（2023·全國(guó)新Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【真題3】（2022·浙江）已知，則（ ）
A．25 B．5 C． D．
【真題4】（2022·北京）已知函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（ ）
A． B． C． D．
【真題5】（2020·全國(guó)）設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．
【真題6】（2017·全國(guó)）設(shè)函數(shù)則滿足的的取值范圍是 .
【真題7】（2016·北京）下列函數(shù)中，在區(qū)間 上為減函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【真題8】（2015·江蘇）不等式的解集為 .
【真題9】（2015·山東）已知函數(shù) 的定義域和值域都是 ，則 .
【真題10】（2015·福建）若函數(shù)滿足，且在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的最小值等于 ．
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