資源簡介

/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第07講 函數與方程
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 函數的零點與方程的解 (2) 函數零點存在定理 (2) 函數零點的判斷與求解 2024年I卷，5分 2024年Ⅱ卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5分 2022年天津卷，5分 2022年北京卷，5分 2021年天津卷，5分 2020年天津卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題和填空題為主，考查難度均變化較大，常作為壓軸小題出現，需要重點理解復習. （2）重點是函數的零點與方程的解的理解，函數零點存在定理以及函數零點的判斷和求解方法；主要考查判斷函數零點的所在區間，判斷函數零點個數與求解及運用函數零點求參數，常與冪函數、二次函數、指數函數、對數函數結合成分段函數或復合函數的形式來出題.
(
考試要求
小
)
1、理解函數的零點與方程的解的聯系；
2、理解函數零點存在定理，并能簡單應用；
3、了解二分法求方程的近似解.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:函數的零點和方程的解
1、函數零點的定義
對一般的函數，把使得的實數叫做函數的零點.
2、函數零點與方程實數解的關系
方程有實數解函數有零點函數的圖象與軸有公共點.
3、函數零點存在定理
若函數在區間上的圖象時一條連續不斷的曲線，且有，則函數在區間內至少有一個零點，即存在使得，其中也就是方程的解.
4、零點有關重要結論
（1）若連續不斷的函數是定義域內的單調函數，則至多有一個零點；
（2）連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持同號.
知識點2:二分法
1、二分法
對于在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有的函數，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法.
知識點3:函數零點問題求解方法步驟
1、函數零點的求解與判斷方法包括：
（1）直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；
（2）零點存在性定理：利用定理不僅要求函數在區間上是連續不斷的曲線，且，還須結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性、周期性、對稱性）確定函數有多少個零點；
（3）利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
2、已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；
（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數的取值范圍．
(
題型展示
小
)
題型一:判斷函數零點所在區間
【例1】已知函數，在下列區間中，包含零點的區間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
，，
由零點存在性定理可得零點所在區間為，答案為C.
【變式1】下列函數中，既是偶函數又存在零點的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
項均不是偶函數，排除，
項是偶函數，但項與軸沒有交點，即項的函數不存在零點，答案為A.
題型二:判斷函數零點個數
【例2】已知函數,函數,則函數的零點的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【詳解】
（1）當時,，
的小于零的零點為;
（2）當時，，
無零點;
（3）當時, , 大于2的零點為；
函數的零點的個數為2；答案為A.
【變式2】函數的零點個數為_________．
【答案】
【詳解】
函數的零點個數方程的根的個數，
即函數與的圖象交點個數；
分別畫出其函數圖像如下圖所示，
由圖可知，函數與的圖象有2個交點．
題型三:運用零點求參數
【例3】已知，若存在實數，使函數有兩個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】
有兩個零點，
有兩個零點，即與的圖象有兩個交點，由可得，或；
（1）當時，函數的圖象如圖所示，此時存在，滿足題意，故滿足題意；
（2）當時，由于函數在定義域上單調遞增，不符；
（3）當時，函數單調遞增，不符；
（4）時，單調遞增，不符；
（5）當時，函數的圖象如圖所示，此時存在使得，與有兩個交點
綜上可得，或故答案為.
【變式3】已知函數在R上單調遞減，且關于x的方程恰有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】
函數在R上單調遞減
；
方程恰有兩個不相等的實數解，
，的取值范圍是.
(
考場演練
)
一、單選題
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）當時，曲線與的交點個數為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【詳解】
函數的的最小正周期為，
函數的最小正周期為，
在上函數有三個周期的圖象， 在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數圖象有6個交點.答案為C
【真題2】（2024·全國新Ⅱ卷）設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【詳解】
方法1：
令，即，可得，
令，
原題等價于當時，曲線與恰有一個交點；
注意到均為偶函數，可知該交點只能在y軸上，
可得，即，解得；
若，令，可得
，則，當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，
則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，
符合題意；綜上所述：.
方法2：
令，
原題意等價于有且僅有一個零點；
，則為偶函數，
根據偶函數的對稱性可知的零點只能為0，即，解得；
若，則，
又當且僅當時，等號成立，
可得，當且僅當時，等號成立，
即有且僅有一個零點0，符合題意；答案為D.
【真題3】（2024·全國新Ⅱ卷）（多選）對于函數和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
【答案】BC
【詳解】
對A，令，解得，即為零點，
令，解得，即為零點，
顯然零點不同，A錯；
對B，顯然，B正確；
對C，根據周期公式，的周期均為，C正確；
對D，根據正弦函數的性質的對稱軸滿足，
的對稱軸滿足，
顯然圖像的對稱軸不同，D錯；答案為BC
【真題4】（2021·天津）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】
最多有2個根，至少有4個根，
由，
由，
（1）時，當時，有4個零點，即；
當，有5個零點，即；
當，有6個零點，即；
（2）當時，，，
當時，，無零點；
當時，，有1個零點；
當時，令，則，有2個零點；
若時，有1個零點.
綜上，要使在區間內恰有6個零點，則應滿足
或或，
解得a的取值范圍是.
【真題5】（2020·天津）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】
，要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根
令，即與的圖象有個不同交點.
，
當時，此時，如圖1，與有個交點，不滿足題意；
當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；
當時，如圖3，當與相切時，聯立方程得，
令得，解得（負值舍去），所以.
綜上，的取值范圍為.答案為D.
【真題6】（2019·全國）函數在的零點個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【詳解】
由，得或，，．
在的零點個數是3；答案為B．
【真題7】（2019·浙江）已知，函數，若函數恰有三個零點，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
當時，，得；最多一個零點；
當時，，
，
當，即時，，在上遞增，最多一個零點．不合題意；
當，即時，令得，函數遞增，令得，，函數遞減；函數最多有2個零點；
根據題意函數恰有3個零點函數在上有一個零點，在上有2個零點，
如圖：
且，
解得，，．答案為．
【真題8】（2018·全國）已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】
畫出函數的圖像，在y軸右側的去掉，再畫出直線，之后上下移動，
可以發現當直線過點A時，直線與函數圖像有兩個交點，
并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數的圖像有兩個交點，
即方程有兩個解，也就是函數有兩個零點，
此時滿足，即，答案為C.
二、填空題
【真題9】（2024·全國甲卷）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為 ．
【答案】
【詳解】
令，即，令
則，令得，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，，
曲線與在上有兩個不同的交點，
等價于與有兩個交點，.
故答案為.
【真題10】（2023·全國新Ⅰ卷）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
【答案】
【詳解】
，所以，
令，則有3個根，
令，則有3個根，其中，
余弦函數的圖像性質可得，故，
故答案為：.
【真題11】（2022·天津）設，對任意實數x，記．若至少有3個零點，則實數的取值范圍為 .
【答案】
【詳解】
設，，由可得.
要使得函數至少有個零點，則函數至少有一個零點，則，
解得或.
①當時，，作出函數、的圖象如下圖所示：
此時函數只有兩個零點，不符題意；
②當時，設函數的兩個零點分別為，
要使得函數至少有個零點，則，
；
③當時，，作出函數、的圖象如下圖所示：
由圖可知，函數的零點個數為，符合題意；
④當時，設函數的兩個零點分別為、，
要使得函數至少有個零點，則，
可得，又.
綜上，實數的取值范圍是.故答案為：.
【真題12】（2022·北京）若函數的一個零點為，則 ； ．
【答案】1；.
【詳解】
∵，∴
∴
；故答案為：1，
【真題13】（2019·江蘇）設是定義在上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中.若在區間上，關于的方程有8個不同的實數根，則 的取值范圍是 .
【答案】.
【詳解】
當時，即
又為奇函數，其圖象關于原點對稱，其周期為，如圖，函數與的圖象，要使在上有個實根，只需二者圖象有個交點即可.
當時，函數與的圖象有個交點；
當時，的圖象為恒過點的直線，只需函數與的圖象有個交點.
當與圖象相切時，圓心到直線的距離為，即，得，函數與的圖象有個交點；
當過點時，函數與的圖象有個交點，此時，得.
綜上可知，滿足在上有個實根的的取值范圍為.
【真題14】（2018·全國）函數在的零點個數為 ．
【答案】
【詳解】
方法1
由題可知，或
解得,或故有3個零點．故答案為：．
方法2
令，即，解得，，分別令，得，所以函數在的零點的個數為3．
故答案為：．
【真題15】（2018·浙江）已知，函數f(x)=，當λ=2時，不等式的解集是 ．若函數恰有2個零點，則λ的取值范圍是 ．
【答案】；.
【詳解】
由題意得或，或，
即，不等式的解集是
當時，，，即在上有兩個零點；
當時，，在上只能有一個零點.
綜上，的取值范圍為.
【真題16】（2018·天津）已知，函數若關于的方程恰有2個互異的實數解，則的取值范圍是 .
【答案】
【詳解】
分類討論：
當時，方程即，
整理可得：， 不是方程的實數解，，
當時，方程即，
不是方程的實數解，，
令，其中，
原問題等價于函數與函數有兩個不同的交點，求的取值范圍.
結合對勾函數和函數圖象平移規律繪制函數圖象，并作函數的圖象如圖所示，
考查臨界條件，結合觀察可得，實數的取值范圍是.
【真題17】（2017·江蘇）設是定義在R 且周期為1的函數，在區間上，其中集合，則方程的解的個數是 .
【答案】8
【詳解】
由于，則需考慮的情況，
在此范圍內，且時，設，且互質，
若，則由，可設，且互質，
，則，此時左邊為整數，右邊為非整數，矛盾，，
不可能與每個周期內對應的部分相等，
只需考慮與每個周期的部分的交點，
畫出函數圖象，圖中交點除外其他交點橫坐標均為無理數，屬于每個周期的部分，且處，則在附近僅有一個交點，
方程的解的個數為8．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)/ 讓教學更有效 精品試卷 |數學
第07講 函數與方程
(
考綱導向
小
)
考點要求 考題統計 考情分析
(1) 函數的零點與方程的解 (2) 函數零點存在定理 (2) 函數零點的判斷與求解 2024年I卷，5分 2024年Ⅱ卷，5分 2024年甲卷，5分 2023年I卷，5分 2023年甲卷，5分 2022年天津卷，5分 2022年北京卷，5分 2021年天津卷，5分 2020年天津卷，5分 （1）本講為高考命題熱點，題型以選擇題和填空題為主，考查難度均變化較大，常作為壓軸小題出現，需要重點理解復習. （2）重點是函數的零點與方程的解的理解，函數零點存在定理以及函數零點的判斷和求解方法；主要考查判斷函數零點的所在區間，判斷函數零點個數與求解及運用函數零點求參數，常與冪函數、二次函數、指數函數、對數函數結合成分段函數或復合函數的形式來出題.
(
考試要求
小
)
1、理解函數的零點與方程的解的聯系；
2、理解函數零點存在定理，并能簡單應用；
3、了解二分法求方程的近似解.
(
考點突破考綱解讀
)
(
考點梳理
小
)
知識點1:函數的零點和方程的解
1、函數零點的定義
對一般的函數，把使得的 叫做函數的零點.
2、函數零點與方程實數解的關系
方程有 函數有 函數的圖象與軸有 .
3、函數零點存在定理
若函數在區間上的圖象時一條 的曲線，且有 ，則函數在區間 內至少有一個零點，即存在使得，其中也就是方程的解.
4、零點有關重要結論
（1）若連續不斷的函數是定義域內的單調函數，則至多有一個零點；
（2）連續不斷的函數，其相鄰兩個零點之間的所有函數值保持 .
知識點2:二分法
1、二分法
對于在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有 的函數，通過不斷地把它的零點所在區間 ，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到 的方法叫做二分法.
知識點3:函數零點問題求解方法步驟
1、函數零點的求解與判斷方法包括：
（1）直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點；
（2）零點存在性定理：利用定理不僅要求函數在區間上是連續不斷的曲線，且，還須結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性、周期性、對稱性）確定函數有多少個零點；
（3）利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其 的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點．
2、已知函數的零點或方程的根的情況，求解參數的取值范圍問題的本質都是研究函數的零點問題，求解此類問題的一般步驟：
（1）轉化，即通過構造函數，把問題轉化成所構造函數的零點問題；
（2）列式，即根據函數的零點存在定理或結合函數的圖象列出關系式；
（3）得解，即由列出的式子求出參數的取值范圍．
(
題型展示
小
)
題型一:判斷函數零點所在區間
【例1】已知函數，在下列區間中，包含零點的區間是（ ）
A． B． C． D．
【變式1】下列函數中，既是偶函數又存在零點的是（ ）
A． B． C． D．
題型二:判斷函數零點個數
【例2】已知函數,函數,則函數的零點的個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式2】函數的零點個數為_________．
題型三:運用零點求參數
【例3】已知，若存在實數，使函數有兩個零點，則的取值范圍是 ．
【變式3】30．（2016·天津）已知函數在R上單調遞減，且關于x的方程恰有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是 .
(
考場演練
)
一、單選題
【真題1】（2024·全國新Ⅰ卷）當時，曲線與的交點個數為（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【真題2】（2024·全國新Ⅱ卷）設函數，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【真題3】（2024·全國新Ⅱ卷）（多選）對于函數和，下列說法中正確的有（ ）
A．與有相同的零點 B．與有相同的最大值
C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對稱軸
【真題4】（2021·天津）設，函數，若在區間內恰有6個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【真題5】（2020·天津）已知函數若函數恰有4個零點，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【真題6】（2019·全國）函數在的零點個數為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【真題7】（2019·浙江）已知，函數，若函數恰有三個零點，則（ ）
A． B．
C． D．
【真題8】（2018·全國）已知函數．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
【真題9】（2024·全國甲卷）曲線與在上有兩個不同的交點，則的取值范圍為 ．
【真題10】（2023·全國新Ⅰ卷）已知函數在區間有且僅有3個零點，則的取值范圍是 ．
【真題11】（2022·天津）設，對任意實數x，記．若至少有3個零點，則實數的取值范圍為 .
【真題12】（2022·北京）若函數的一個零點為，則 ； ．
【真題13】（2019·江蘇）設是定義在上的兩個周期函數，的周期為4，的周期為2，且是奇函數.當時，，，其中.若在區間上，關于的方程有8個不同的實數根，則 的取值范圍是 .
【真題14】（2018·全國）函數在的零點個數為 ．
【真題15】（2018·浙江）已知，函數f(x)=，當λ=2時，不等式的解集是 ．若函數恰有2個零點，則λ的取值范圍是 ．
【真題16】（2018·天津）已知，函數若關于的方程恰有2個互異的實數解，則的取值范圍是 .
【真題17】（2017·江蘇）設是定義在R 且周期為1的函數，在區間上，其中集合，則方程的解的個數是 .
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑