資源簡介

（3）三角函數與解三角形
——2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】
易混重難知識
1.同角三角函數的基本關系式
（1）平方關系：.
（2）商數關系：.
2.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）；
（2）；
（3）.
4.輔助角公式
，其中.
5.三角函數的單調性
（1）求函數的單調區間應遵循簡單化原則，將解析式進行化簡，并注意復合函數單調性規律“同增異減”.
（2）求形如或（其中）的單調區間時，要視“”為一個整體，通過解不等式求解.但如果，那么一定先借助誘導公式將化為正數.
（3）已知三角函數的單調區間求參數，先求出函數的單調區間，然后利用集合間的關系求解.
6.三角函數的奇偶性
對于，若為奇函數，則；若為偶函數，則.對于，若為奇函數，則；若為偶函數，則.對于，若為奇函數，則.
7.三角函數的周期性
求三角函數的最小正周期，一般先通過恒等變換化為或或（為常數，）的形式，再應用公式（正弦、余弦型）或（正切型）求解.
8.三角函數的對稱性
函數（為常數，）圖象的對稱軸一定經過圖象的最高點或最低點，對稱中心的橫坐標一定是函數的零點，因此在判斷直線或點是不是函數圖象的對稱軸或對稱中心時，可通過檢驗的值進行.
9.正弦定理：在中，角的對邊分別為，則.
10.正弦定理的常見變形：
（1）（邊角互化）.
（2）.其中，為外接圓的半徑.
（3）（邊化角）.
（4）（角化邊）.
11.余弦定理：在中，角的對邊分別為，則
，，.
12.余弦定理的推論：，，.
13.三角形的面積公式
（為外接圓的半徑）.
易錯試題提升
1.已知，則的值為( )
A. B. C. D.
2.在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，且，則( )
A. B. C. D.
3.扇面書畫在中國傳統繪畫中由來已久.最早關于扇面書畫的文獻記載，是《王羲之書六角扇》.扇面書畫發展到明清時期，折扇開始逐漸的成為主流如圖，該折扇扇面畫的外弧長為24，內弧長為10，且該扇面所在扇形的圓心角約為，則該扇面畫的面積約為( )()
A.185 B.180 C.119 D.120
4.將函數的圖象向左平移個單位長度后得到函數的圖象，若在上單調遞增，則的最大值為( )
A. B. C. D.1
5.如圖，A是輪子外邊沿上的一點，輪子半徑為.若輪子從圖中位置向右無滑動滾動，則當滾動的水平距離為時，下列描述正確的是（參考數據：）( )
A.點A在輪子的左下位置，距離地面約為
B.點A在輪子的右下位置，距離地面約為
C.點A在輪子的左下位置，距離地面約為
D.點A在輪子的右下位置，距離地面約為
6.已知函數的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得到函數的圖象，若在上恰有3個零點，則a的取值范圍是( )

A. B. C. D.
7.已知函數，若任意，在上有零點，則的取值范圍為( )
A. B. C. D.
8.已知函數，其中.若在區間上單調遞增，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
9.（多選）的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，若邊BC的中線，則下列結論正確的有( )
A. B.
C. D.的面積為
10.（多選）已知函數（，），將的圖像上所有點向右平移個單位長度，然后橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數的圖像.若為偶函數，且最小正周期為，則下列說法正確的是( )
A.的圖像關于對稱
B.在上單調遞增
C.的解集為
D.方程在上有3個解
11.已知，則_____________.
12.位于河北省承德避暑山莊西南十公里處雙塔山，因1300多年以前，契丹人在雙塔峰頂建造的兩座古塔增添了諸多神秘色彩.雙塔山無法攀登，現準備測量兩峰峰頂處的兩塔塔尖的距離.如圖，在與兩座山峰，山腳同一水平面處選一點A，從A處看塔尖C的仰角是，看塔尖B的仰角是，又測量得，若塔尖B到山腳底部D的距離為米，塔尖C到山腳底部E的距離為米，則兩塔塔尖之間的距離為________米.
13.已知，關于該函數有下列四個說法：
①的最小正周期為；
②在上單調遞增；
③當時，的取值范圍為；
④的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到.
以上四個說法中，正確的有為_________.
14.已知的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求A；
（2）若的面積為，，點D為邊BC的中點，求AD的長.
15.如圖，在平面四邊形ABCD中，，，.
（1）當，時，求的面積；
（2）當，時，求.
答案以及解析
1.答案：D
解析：，
故選：D.
2.答案：C
解析：由題意結合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，據此可得，，則.故選C.
3.答案：C
解析：設外弧長為，外弧半徑為，內弧長為，內弧半徑為，該扇面所在扇形的圓心角為，扇形的弧長為，，，扇形的面積為，
該扇面畫的面積為，故選：C.
4.答案：C
解析：將的圖象向左平移個單位長度后得到的圖象.
因為，所以.
因為在上單調遞增，所以，得，所以的最大值為.
5.答案：A
解析：已知輪子的半徑，輪子滾動一周的水平距離為，又，，，又（周），，故A在輪子的左下位置.
可得輪子距地面距離.
點A在輪子的左下位置，距離地面約為.故選A.
6.答案：C
解析：的最小正周期為T，由題圖可得，，所以，
，，得，，又，所以，
所以.將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，再將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，得到的圖象，故.當時，，
因為在上恰有3個零點，所以，得，故選：C.
7.答案：C
解析：由，可得，
令，因為任意，在上有零點，
則在上有解，
又因為在內有解的最短區間長度為，
所以，解得.故選：C.
8.答案：A
解析：由題意得，函數的增區間為，且，
解得.
由題意可知：.
于是，解得.
又，于是.故選：A.
9.答案：ACD
解析：根據正弦定理，由，因為，所以，因此.因為，所以，因此選項A正確，選項B不正確；
因為是中線，所以.
或（舍去）.因此，所以選項C正確；
的面積為，所以選項D正確，故選ACD.
10.答案：BCD
解析：將函數的圖像上所有點向右平移個單位長度，
得到，
然后橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，
得到，
若最小正周期為，則有，得，
又因為為偶函數，
所以，即，
又，所以，，
故，，
對于A，，所以的圖像不關于對稱，A錯誤；
對于B，令，得，，
當時，函數的單調遞增區間為，
所以在上單調遞增，B正確；
對于C，由，得，所以，
所以，
解得，C正確；
對于D，等價于，
即，所以，
所以，即，
又，故當，1，2時，可得，，.
即方程在上有3個解，D正確.
故選：BCD.
11.答案：
解析：因為，所以，
所以.故答案為：.
12.答案：
解析：在中，米，，則米.
同理，在中，米，
在中，米，米，，
由余弦定理，得
米.
故答案為：.
13.答案：②
解析：因為，所以的最小正周期為，故①不正確；
因為，令，而在上遞增，
所以在上單調遞增，故②正確；
因為，所以，，
所以，故③不正確；
由于，
所以的圖象可由的圖象向右平移個單位長度得到，故④不正確.
故答案為：②.
14.答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）因為，
所以由正弦定理可得，即.
由余弦定理可得，又，所以.
（2）因為，
所以，
即，
又，則，所以，所以.
所以，所以.在中，由余弦定理可得，即.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）當時，在中，由余弦定理得，
即，解得，，
因為，則，又，
所以的面積是.
（2）在中，由正弦定理得，即，
在中，由正弦定理得，即，
則，整理得，而，為銳角，
所以.

展開更多......

收起↑