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（5）數列
——2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】
易混重難知識
1.等差數列通項公式：.
2.等差中項公式：.
3.等差數列前n項和公式：.
4.等差數列的性質：
已知數列是等差數列，是的前n項和.
（1）若，則有.
（2）等差數列的單調性：當時，是遞增函數；當時，是遞減函數；當時，是常數列.
（3）若是等差數列，公差為d，則是公差為的等差數列.
（4）若是等差數列，則也是等差數列，其首項與的首項相同，其公差是的公差的.
（5）若是等差數列，分別為的前m項，前2m項，前3m項的和，則成等差數列，公差為（d為數列的公差）.
5.等比數列通項公式：.
6.等比中項公式：.
7.等比數列前n項和公式：.
8.等比數列的前n項和的性質：
（1）當（或且k為奇數）時，是等比數列.
（2）若，則成等比數列.
（3）若數列的項數為2n，與分別為偶數項與奇數項的和，則；若項數為，則.
易錯試題提升
1.已知數列的前n項和，則的值為( ).
A.15 B.37 C.27 D.64
2.已知等比數列的公比為q，前n項和，若，則( )
A.13 B.15 C.31 D.33
3.已知數列是等差數列，若，，則等于( )
A. B. C. D.
4.設公差不為零的等差數列的前n項和為，，則( )
A.15 B.1 C. D.
5.山西大同的遼金時代建筑華嚴寺的大雄寶殿共有9間，左右對稱分布，最中間的是明間，寬度最大，然后向兩邊均依次是次間、次間、梢間、盡間.每間寬度從明間開始向左右兩邊均按相同的比例逐步遞減，且明間與相鄰的次間的寬度比為.若設明間的寬度為a，則該寶殿9間的總寬度為( )
A. B. C. D.
6.已知各項均為正數的數列滿足對任意的正整數m，n都有，且，則( )
A. B. C. D.
7.數列滿足，，若，且數列的前n項和為，則( )
A.64 B.80 C.-64 D.-80
8.我國《洛書》中記載著世界上最古老的一個幻方，如圖所示，將1，2，3，…，9填入的方格內，使得每行、每列、每條對角線上的數的和都相等，便得到一個3階幻方.一般地，將連續的正整數1，2，3，…，填入個方格中，使得每行、每列、每條對角線上的數的和都相等，這個正方形叫做n階幻方.記n階幻方的數的和（即方格內的所有數的和）為，如，那么下列說法錯誤的是( )
A.
B.7階幻方第4行第4列的數字可以為25
C.8階幻方每行、每列、每條對角線上的數的和均為260
D.9階幻方每行、每列、每條對角線上的數的和均為396
9.（多選）已知等差數列，其前n項和為，若，則下列結論正確的是( )
A. B.使的n的最大值為16
C.公差 D.當時最大
10.（多選）已知是等比數列，公比為q，前n項和為，則下列說法正確的是( )
A.為等比數列 B.為等差數列
C.若，則 D.若，則
11.設為等差數列的前n項和，且，，則______.
12.記為等比數列的前n項和.若，則______________.
13.已知數列的前n項和為，首項且，若對恒成立，則實數的取值范圍是______________.
14.已知數列滿足，.
（1）設，求證：數列是等比數列；
（2）求數列的前n項和.
15.為數列的前n項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由題意得，，故選：B.
2.答案：B
解析：是等比數列，，
故，等比數列的前n項和，
又，故，，
則，，，.故選：B.
3.答案：C
解析：因為是等差數列，所以，，
可得，，所以.故選：C.
4.答案：D
解析：設等差數列的公差為.
，，解得：，.
，.
.故選：D.
5.答案：D
解析：由題意，設明間的寬度a為等比數列的首項，從明間向右共5間（包括明間），寬度成等比數列，公比為，同理從明間向左（包括明間）共5間，寬度成等比數列，公比為.
則由可得，
所以總寬度為，故選D.
6.答案：A
解析：因為正數的數列滿足對任意的正整數m，n都有，
取，可得，即，
可得數列是以為首項，為公比的等比數列，所以，
又因為，可得，
則.
故選：A.
7.答案：C
解析：數列滿足，，
則，
可得數列是首項為1、公差為1的等差數列，
即有，即為，
則，
則
.
故選：C.
8.答案：D
解析：根據n階幻方的定義，n階幻方的數列有項，為首項為1，公差為1的等差數列，故，每行、每列、每條對角線上的數的和均為.
對于A，，A正確；
對于B，7階幻方有7行7列，故第4行第4列的數字可以為該數列的中間值，即，B正確；
對于C，8階幻方每行、每列、每條對角線上的數的和均為，C正確；
對于D，9階幻方每行、每列、每條對角線上的數的和均為，D錯誤.
故選D.
9.答案：ACD
解析：等差數列，，
又，，
，A正確.
，C正確.
，，，
使的n的最大值為15.B錯誤.
，，當，，，
所以當時最大.D正確.
故選：ACD.
10.答案：ABD
解析：對于A，，故為公比為的等比數列，故A正確；
對于B，，所以是公差為的等差數列，故B正確；
對于C，若，則，
則，所以，但，故C錯誤；
對于D，因為，所以，，，
因為是等比數列，所以，解得：，故D正確，
故選：ABD.
11.答案：39
解析：根據題意，設等差數列的公差為d，
等差數列中，，則，
變形可得：，
又由，則有，即，
則有，
則.
故答案為：39.
12.答案：60
解析：設等比數列公比為q，
當時，，無解；
當時，，得，
.
故答案為：60.
13.答案：
解析：因為，所以，
數列是以為首項，公比為2的等比數列，
，.
因此.
所以對恒成立，可化為對恒成立.
當n為奇數時，，所以 ，即；
當n為偶數時，，解得.
綜上，實數的取值范圍是.
故答案為：.
14.答案：（1）見解析
（2）見解析
解析：（1）證明：依題意，由，可得
，即，
，
數列是以1為首項，3為公比的等比數列，
（2）由（1），可得，即，
，，
，
，
兩式相減，可得
，
.
15.答案：(1)
(2)
解析：（1）①當時，，
又， ，
②當時，由，可得
兩式相減得：，整理得，
， ，
是以首項為4，公差為3的一個等差數列，
；
（2）由（1）可得，
數列的前n項和：.

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