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（6）不等式
——2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】
易混重難知識
1.不等式的基本性質
性質1 如果，那么；如果，那么.即.
性質2 如果，，那么.即.
性質3 如果，那么.
性質4 如果，，那么；如果，，那么.
性質5 如果，，那么.
性質6 如果，，那么.
性質7 如果，那么.
2.基本不等式
（1）若，，當且僅當時，等號成立.
其中，叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數.
（2）基本不等式表明：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.
3.不等式的恒成立，能成立，恰成立等問題
（1）恒成立問題：若在區間D上存在最小值，則不等式在區間D上恒成立.
若在區間D上存在最大值，則不等式在區間D上恒成立.
（2）能成立問題：若在區間D上存在最大值，則在區間D上存在實數x使不等式成立.
若在區間D上存在最小值，則在區間D上存在實數x使不等式成立.
（3）恰成立問題：不等式恰在區間D上成立，的解集為D，
不等式恰在區間D上成立，的解集為D.
易錯試題提升
1.已知集合，，則( )
A. B. C. D.
2.設，則下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
3.若對于任意的，不等式恒成立，則實數a的取值范圍為( )
A. B. C. D.
4.已知，，則的最小值為( )
A.6 B.5 C.4 D.3
5.如果，那么下列不等式中正確的是( )
A. B. C. D.
6.某批救災物資隨41輛汽車從某市以的速度勻速直達災區，已知兩地公路線長，為安全起見，兩輛汽車的間距不得小于（車長忽略不計），要使這批物資盡快全部到達災區，則( )
A.70 B.80 C.90 D.100
7.若，則下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
8.設實數x滿足，函數的最小值為( )
A. B. C. D.6
9.（多選）下列說法正確的是( )
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，，則
10.（多選）若正實數a，b滿足，則下列選項中正確的是( )
A.ab有最大值 B.有最小值
C.的最小值是10 D.
11.已知，，且滿足，則的最小值為______________.
12.已知，，且，若恒成立，則實數m的取值范圍__________.
13.如圖，在半徑為4（單位：）的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其頂點A，B在直徑上，頂點C，D在圓周上，則矩形ABCD面積的最大值為__________（單位：）.
14.已知實數x，y，滿足，，則的取值范圍是_______.
15.若實數x，y，m滿足，則稱x比y遠離m.
（1）若x比遠離1，求實數x的取值范圍；
（2）若，，試問：x與哪一個更遠離m，并說明理由.
答案以及解析
1.答案：B
解析：由，得，或，所以或.
所以，由，得，
所以.
故選：B.
2.答案：D
解析：對A：若，則由，有，故錯誤；
對B：若，則有，故錯誤；
對C：若，則有，故錯誤；
對D：由，則，，故，故正確.
故選：D.
3.答案：C
解析：不等式可化為，，令，由題意可得，
，當且僅當，即時等號成立，
，所以實數a的取值范圍為.
故選：C.
4.答案：D
解析：由于，，所以，
由，
(當且僅當時取等號)，可得的最小值為3，
故選：D.
5.答案：D
解析：當，時，
對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，所以，即，則，故D正確.
故選：D.
6.答案：C
解析：第一輛汽車到達災區所用的時間為，由題意，知最短每隔到達一輛，則最后一輛汽車到達災區所用的時間為，要使這批物資盡快全部到達災區，即要求最后一輛汽車到達災區所用的時間最短，又，當且僅當，即時等號成立.故選C.
7.答案：C
解析：對于A，因為，故，即，故A錯誤；
對于B，，無法判斷，故B錯誤；
對于C，因為，，故C正確；
對于D，因為，故，即，故D錯誤.
故選：C.
8.答案：A
解析：因為，所以，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以函數的最小值為.
故選：A.
9.答案：BCD
解析：對A：，，
由不能得出，例如，，A錯誤；
對B：，
，即，B正確；
對C： ，則，
，C正確；
對D：作差得：，
，，則，
，即，D正確.
故選：BCD.
10.答案：AD
解析：對于A， ，，且， ，
當且僅當時取到等號， ， ab有最大值，選項A正確；
對于B，， ，
當且僅當時取到等號， B錯誤；
對于C，，
當且僅當即，時取到等號，所以C不正確；
對于D， ， ，∴D正確.
故選：AD.
11.答案：4
解析：因為，所以，
所以，
當且僅當，即時等號成立，
所以的最小值為4.
故答案為：4.
12.答案：
解析：由得，所以，所以，
所以，當且僅當，時，等號成立，所以，
所以恒成立，可化為，即，解得.
13.答案：16
解析：如圖：
連接OC，設，則，
，所以矩形ABCD的面積為，
當且僅當時，即當時，等號成立，
所以矩形ABCD面積的最大值為.
故答案為：16.
14.答案：
解析：設，
，解得，所以，，
，，所以，，，
所以，，即.
因此，取值范圍是.
故答案為：.
15.答案：（1）或
（2）比x更遠離m
解析：（1）若x比遠離1，則，
即，或，
解得或，
因此x的取值范圍是或.
（2）因為，
所以.
因為，所以.
從而.
①當時，，
即.
②當時，
.
又因為，所以，
所以，即.
綜上所述，，即比x更遠離m.

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