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（7）空間向量與立體幾何
——2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】
易混重難知識
1.柱體、錐體、臺體的體積
幾何體 體積公式
柱體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
錐體 （為底面面積，為高），（為底面半徑，為高）
臺體 （分別為上、下底面面積，為高）， （分別為上、下底面半徑，為高）
2.球的表面積和體積
（1）球的表面積：設球的半徑為，則球的表面積為，即球的表面積等于它的大圓面積的4倍.
（2）球的體積：設球的半徑為，則球的體積為.
3.異面直線所成的角：
（1）定義：已知兩條異面直線，經過空間任一點分別作直線，我們把與所成的角叫做異面直線與所成的角（或夾角）.
（2）異面直線所成的角的取值范圍：.
（3）兩條異面直線互相垂直：兩條異面直線所成的角是直角，即時，與互相垂直，記作.
4.直線和平面所成的角
有關概念 對應圖形
斜線 一條直線與一個平面相交，但不與這個平面垂直，圖中直線.
斜足 斜線和平面的交點，圖中點.
射影 過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面內的射影.
直線與平面所成的角 定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的角； 規定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是直角； 一條直線和平面平行或在平面內，它們所成的角是的角.
取值范圍
5.二面角的概念
概念 從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.
圖示
記法 棱為，面分別為的二面角記為. 也可在內（棱以外的半平面部分）分別取點，記作二面角.
平面角 文字 在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內分別作垂直于棱的射線和，則這兩條射線構成的角叫做這個二面角的平面角.
圖示
符號 ，，，，，，是二面角的平面角.
范圍
規定 二面角的大小可以用它的平面角來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫做直二面角.
6.空間中直線、平面的平行
①直線與直線平行：設，分別是直線，的方向向量，由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行，所以，使得.
②直線與平面平行：設u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，，則.
③平面與平面平行：設，分別是平面，的法向量，則，使得.
7.空間中直線、平面的垂直
①直線與直線垂直：設直線，的方向向量分別為，，則.
②直線與平面垂直：直線l的方向向量為u，平面的法向量為n，則，使得.
③平面與平面垂直：設平面，的法向量分別為，，則.
8.點到直線的距離
如圖，向量在直線l上的投影向量為，設，則向量在直線l上的投影向量. 在中，由勾股定理，得.
9.點到平面的距離
如圖，已知平面的法向量為n，A是平面內的定點，P是平面外一點. 過點P作平面的垂線l，交平面于點Q，則n是直線l的方向向量，且點P到平面的距離就是在直線l上的投影向量的長度. 因此
.
10.異面直線所成的角
若異面直線，所成的角為，其方向向量分別是u，v，則.
11.直線與平面所成的角
直線AB與平面相交于點B，設直線AB與平面所成的角為，直線AB的方向向量為u，平面的法向量為n，則.
12.二面角
若平面，的法向量分別是和，則平面與平面的夾角即為向量和的夾角或其補角.設平面與平面的夾角為，則.
易錯試題提升
1.已知圓錐的母線為6，底面半徑為1，把該圓錐截成圓臺，使圓臺的下底面與該圓錐的底面重合，圓臺的上底面半徑為，則圓臺的側面積為( )
A. B. C. D.
2.設m，n是不同的直線，，是不同的平面，則下列命題正確的是( )
A.若，，，則
B.若，，，則
C.若，，，則
D.若，，，則
3.如圖是一款多功能粉碎機的實物圖，它的進物倉可看作正四棱臺，已知該四棱臺的上底面邊長為，下底面邊長為，側棱長為，則該款粉碎機進物倉的容積為( )
A. B. C. D.
4.如圖，將正四棱柱斜立在平面上，頂點在平面內，平面，.點P在平面內，且.若將該正四棱柱繞旋轉，則PC的最大值為( )
A. B. C. D.
5.如圖，在直三棱柱中，所有棱長都相等，D，E，F分別是棱AB，，的中點，則異面直線DF與所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
6.在三棱錐中，，E為線段AP上更靠近P的三等分點，過點E作平行于AB，PC的平面，則該平面截三棱錐所得截面的周長為( )
A.5 B.6 C.8 D.9
7.在四邊型ABCD中（如圖1所示），，，，將四邊形ABCD沿對角線BD折成四面體（如圖2所示），使得，則四面體外接球的表面積為( )
A. B. C. D.
8.已知四面體的每個頂點都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，，，且，則二面角的正切值為( )
A. B. C. D.
9.（多選）如圖，在棱長為2的正方體中，Q為線段的中點，P為線段上的動點（含端點），則下列結論正確的有( )
A.P為中點時，過D，P，Q三點的平面截正方體所得的截面的面積為
B.存在點P，使得平面平面
C.的最小值為
D.三棱錐外接球表面積最大值為
10.（多選）如圖1，在菱形ABCD中，，，沿對角線BD將折起，使點A，C之間的距離為，如圖2，若P，Q分別為直線BD，CA上的動點，則下列說法正確的是( )
A.平面平面BCD
B.當，時，點D到直線PQ的距離為
C.線段PQ的最小值為
D.當P，Q分別為線段BD，CA的中點時，PQ與AD所成角的余弦值為
11.已知向量，，且與平行，則_________.
12.已知點S，A，B，C均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面ABC，則______________.
13.在四棱錐中，底面ABCD是邊長為的正方形，P在底面的射影為正方形的中心O，，Q點為AO中點.點T為該四棱錐表面上一個動點，滿足PA、BD都平行于過QT的四棱錐的截面，則動點T的軌跡圍成的多邊形的面積為__________________.
14.如圖，圓柱上，下底面圓的圓心分別為O，，該圓柱的軸截面為正方形，三棱柱的三條側棱均為圓柱的母線，且，點P在軸上運動.
（1）證明：不論P在何處，總有；
（2）當P為的中點時，求平面與平面夾角的余弦值.
15.如圖，等腰梯形ABCD中，，，，現以AC為折痕把折起，使點B到達點P的位置，且.
(1)證明：平面平面ACD；
(2)M為PD上的一點，若平面ACM與平面ACD的夾角的余弦值為，求點P到平面ACM的距離.
答案以及解析
1.答案：C
解析：假設圓錐半徑R，母線為l，則.設圓臺上底面為r，母線為，則由已知可得，，所以.
如圖，作出圓錐，圓臺的軸截面則有，所以.
所以圓臺的側面積為，
故選：C.
2.答案：D
解析：對于A，若，，，則直線m與n可能相交，也可能平行，還可能是異面直線，A錯誤；
對于B，若，則，B錯誤；
對于C，若，直線m與n可能平行，
如直線m，n都平行于，的交線，且，，滿足條件，而，C錯誤；
對于D，若，，則，又，因此，D正確.
故選：D
3.答案：C
解析：畫出滿足題意的正四棱臺，如圖所示，
則，.過點D作于點E，則，，所以該正四棱臺的容積為.故選C.
4.答案：D
解析：過點C作，垂足為E，連接AC，可知平面，
所以點C到平面的距離為，
由題意，
，，
過點C作平面，垂足為，
因為點P在平面內，且，即點P在以為圓心，為半徑的圓上，
當，，P三點共線時，且時，PC取最大值，
最大值為.
故選：D.
5.答案：D
解析：連接BF，因為在直三棱柱中，E，F分別是棱BC，的中點，
故，，即四邊形為平行四邊形，
所以，則即為異面直線DF與所成角或其補角；
直三棱柱中，所有棱長都相等，設其棱長為2，
連接EF，DE，則，，而平面ABC，故平面ABC，
平面ABC，故，
D是棱AB的中點，故，則，
而，又，
故在中，，
由于異面直線所成角的范圍為大于，小于等于，
故異面直線與所成角的余弦值是，
故選：D
6.答案：B
解析：如圖所示，在三棱錐中，過點E分別作，，再分別過點F，H作，，可得E，F，G，H四點共面，所以，.因為平面，平面，所以平面.同理可證平面，所以截面即為平行四邊形.又因為E為線段AP上更靠近P的三等分點，且，所以，，所以平行四邊形的周長為.故選B.
7.答案：D
解析：，，，
又，則，，
可知，則，
取的中點O，連接BO，DO，則，
所以點O為四面體外接球的球心，
則外接球的半徑為：，
所以四面體外接球的表面積.
故選：D.
8.答案：A
解析：取的中點E，連接，，為等邊三角形，，
，，平面，
又平面，，
由題意得，，，又，
，，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面，
易知，則，故為等腰直角三角形，
綜上，四面體的球心O為的中心，即點O是上靠近E的三等分點.
以E為原點，，，所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，，
設平面的一個法向量為，
則即
令，則，，，
又平面的一個法向量，二面角的余弦值為，
二面角的正弦值為，故二面角的正切值為.
9.答案：AD
解析：A選項：連接，，由三角形中位線性質和正方體性質可知，，且，所以過D，P，Q三點的截面為梯形，
易知，，
作，則，，
所以梯形的面積，A正確；
B選項：若存在點P，使得平面平面，則由平面平面，
平面平面可知，顯然DQ，不平行，故B錯誤；
C選項：將側面展開如圖，顯然當Q、P、D三點共線時，取得最小值，最小值為，C錯誤；

D選項：由題知，，，兩兩垂直，所以三棱錐外接球，
即為以，，為共頂點的三條棱的長方體的外接球，記其半徑為R，
則，
顯然，當點P與C重合時，R取得最大值，此時外接球表面積取得最大值，D正確.
故選：AD.
10.答案：ACD
解析：取BD的中點O，連接OA，OC，由題意可知，，因為，所以，又，，所以平面BCD，因為平面ABD，所以平面平面BCD，故A正確；
以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，當，時，，，，，所以點D到直線PQ的距離為，故B錯誤；
設，由，得，則，
故，
當，時，，故C正確；
當P，Q分別為線段BD，CA的中點時，，，，，設PQ與AD所成的角為，則，即PQ與AD所成角的余弦值為，故D正確.故選ACD.
11.答案：
解析：，.因為與平行，所以當時，，解得；當時，，.綜上，.
12.答案：2
解析：如圖，將三棱錐轉化為正三棱柱，
設的外接圓圓心為，半徑為r，
則，可得，
設三棱錐的外接球球心為O，連接OA，，則，，
因為，即，解得.
故答案為：2.
13.答案：
解析：取AD的中點E，PD的中點F，PO的中點R，PB的中點N，
連接QR延長交PC與點M，依次連接E，F，M，N，G，
可知，，，即，而，
所以E，F，G，Q，N，R共面，所以E，F，M，N，G共面，
因為底面ABCD是邊長為的正方形，
所以對角線，，
因為P在底面的射影為正方形的中心，可得面ABCD，
因為面ABCD，所以，
因為，，所以，
因為E、F分別為AD、PD的中點，
所以，且，
因為平面EFMG，平面EFMG，
所以平面EFMG，同理平面EFMG，
所以平面EFMG即為所求截面.
又因為平面平面，平面APC，所以，
因為Q為AO的中點，可得，
所以， ，，
因為N、F分別為PB、PD的中點，所以，，
所以，，所以四邊形EFNG是平行四邊形，
因為，，，所以平面APC，
因為平面APC，可得，所以，
所以四邊形EFNG是矩形，
所以動點T的軌跡圍成的多邊形的面積為.
故答案為：.
14.答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：連接AO并延長，交BC于M，交圓柱側面于
因為，，，所以，所以，
因為，，所以，所以，即M為BC中點，
所以
又在圓柱中，平面ABC，平面ABC，所以，
因為，AO，平面，所以平面
因為不論P在何處，總有平面，所以
（2）設，則
在中，，
則所以
如圖，以為原點，建立空間直角坐標系，其中軸，y軸是的垂直平分線，
則，，，，
所以，，，.
設平面的一個法向量為，
則，取，得.
設平面的一個法向量為，
則，取，得.
設平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與面夾角的余弦值為.
15.答案：(1)證明見解析
(2)
解析：（1）在梯形ABCD中，取AD的中點N，連接CN，
，，四邊形ABCN為平行四邊形，
， ， ，
，，PA，平面PAC， 平面PAC，
平面ACD，平面平面ACD.
（2）取AC中點O，連接PO，
，O為AC中點，，
又平面平面ACD，平面平面，平面PAC，
平面ACD，
O，N分別為AC，AD中點，，平面PAC，
以O為坐標原點，分別以OA，ON，OP所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，
則，，，
，，，
，，
設，，
則，
設平面ACM的法向量，
則，
令，得，，則，
平面ACM與平面ACD夾角的余弦值為，
又平面ACD的一個法向量，
則，解得，
，又，
點P到平面ACM的距離.

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