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（8）平面解析幾何
——2025屆高考數學二輪復習易錯重難提升【新高考版】
易混重難知識
1.兩條直線平行與垂直的判定：設兩條直線的斜率分別為.
（1）；（2）.
2.直線的方程：
（1）點斜式：.（2）斜截式：.
（3）兩點式：.（4）截距式：.
（5）一般式：(A，B不同時為0) .
3.直線的交點坐標與距離公式
①一般地，將兩條直線的方程聯立，得方程組，若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點的坐標；若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行.
②兩點間的距離公式.
③點到直線的距離：點到直線的距離.
④兩條平行直線間的距離：若直線的方程分別為，，則兩平行線的距離.
4.判斷直線與圓的位置關系的方法：
（1）代數方法（判斷直線與圓方程聯立所得方程組的解的情況）：相交，相離，相切.
（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑r的大小）：設圓心到直線的距離為d，則相交，相離，相切.
5.圓與圓的位置關系：設圓半徑為，圓半徑為.
圓心距與兩圓半徑的關系 兩圓的位置關系
內含
內切
相交
外切
外離
6.橢圓的方程與簡單幾何性質
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
一般方程
焦點坐標
頂點坐標
范圍
長軸長
短軸長
焦距
離心率 ， 越接近于1，橢圓越扁；越接近于0，橢圓越圓
7.雙曲線的幾何性質
焦點在x軸上 焦點在y軸上
標準方程
焦點坐標
頂點坐標
范圍
對稱性 關于x軸、y軸對稱，關于原點對稱
實、虛軸長 實軸長為，虛軸長為
離心率 雙曲線的焦距與實軸長的比
漸近線方程
8.拋物線的幾何性質
標準方程
范圍
準線
焦點
對稱性 關于x軸對稱 關于y軸對稱
頂點
離心率
焦半徑長
焦點弦長
易錯試題提升
1.過點且與直線垂直的直線方程為( )
A. B.
C. D.
2.在平面直角坐標系xOy中，已知A是圓上的一點，B，C是圓上的兩點，則的最大值為( )
A. B. C. D.
3.已知雙曲線的離心率為2，左、右焦點分別為，，到漸近線的距離為3，過的直線軸，與雙曲線C的右支交于A，B兩點，則的面積為( )
A.9 B.24 C.36 D.72
4.已知F為橢圓的右焦點，P為C上一點，Q為圓上一點，則的最小值為( )
A. B. C. D.
5.已知拋物線的焦點為，，點是拋物線C上一動點，則的最小值是( )
A.3 B.5 C.7 D.8
6.已知橢圓的左右焦點為，，P為橢圓C上一點，，則的面積為( )
A. B.1 C.3 D.
7.已知拋物線的焦點為F，過點F作兩條互相垂直的直線，，且直線，分別與拋物線C交于A，B和D，E，則四邊形ADBE面積的最小值是( )
A.32 B.64 C.128 D.256
8.F是雙曲線的左焦點，O是坐標原點，直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于P，Q兩點，且，則雙曲線的離心率為( )
A. B. C. D.
9.（多選）已知橢圓的左、右焦點分別為，上頂點為，離心率為，若M，N為C上關于原點對稱的兩點，則( )
A.C的標準方程為
B.
C.
D.四邊形的周長隨MN的變化而變化
10.（多選）已知O為坐標原點，點F為拋物線焦點，點，直線交拋物線C于A，B兩點(不與P點重合)，則以下說法正確的是( )
A.
B.存在實數m，使得
C.若，則
D.若直線PA與PB的傾斜角互補，則
11.已知圓關于直線對稱，圓C交y于A，B兩點，則________
12.已知拋物線的焦點為F，，過點M作直線的垂線，垂足為Q，點P是拋物線C上的動點，則的最小值為______________.
13.已知橢圓，C的上頂點為A，兩個焦點為，，離心率為.過且垂直于的直線與C交于D，E兩點，的周長是13，則____________.
14.已知雙曲線的離心率為，右焦點為.
（1）求雙曲線C的標準方程.
（2）過點F的直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，在x軸上是否存在點P，使得為定值 若存在.求出該定值；若不存在，請說明理由.
15.已知橢圓的離心率為，A、C分別是E的上、下頂點，B，D分別是E的左、右頂點，.
(1)求E的方程；
(2)設P為第一象限內E上的動點，直線PD與直線BC交于點M，直線PA與直線交于點N.求證：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：直線的斜率為，
所以與直線垂直的直線斜率為，
故由點斜式可得，即，
故選：B.
2.答案：B
解析：由點是圓上的一點，B，C是圓上的兩點，
可得圓心，，半徑，，
根據題意，當點A與圓的距離最短時，且過A與圓相切時，
此時取得最大值，此時，
可得，所以，所以.
故選：B.
3.答案：C
解析：由題知，設雙曲線的焦距為，則，解得，
雙曲線，，．
將代入，解得，，
的面積為．
故選：C．
4.答案：D
解析：如圖，由題可知，圓M的圓心坐標為，半徑為1，
設橢圓C的左焦點為E，即，
則，
故要求的最小值，即求的最小值，
所以的最小值等于，
即的最小值為，
故選：D.
5.答案：A
解析：由題意得，
由拋物線焦半徑公式可知，，
故，顯然連接AF，與拋物線交點為，
此時取得最小值，即當A，P，F三點共線時，最小，
最小值為，
故的最小值為3.
故選：A
6.答案：A
解析：由題意得，解得，
由橢圓定義可得，，
由余弦定理得，
因為，，
所以，解得，
則.
故選：A.
7.答案：C
解析：由題意拋物線的焦點為，顯然，斜率存在且不為0，
設直線方程為，設，，由，得
則，即，
設直線的方程為，設，
由，得
則，即，
，當且僅當，即時等號成立.
故選：C.
8.答案：C
解析：因為直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于P，Q兩點，
所以，
因為，所以，
所以，
過P作軸于點G，在中，，，
所以，
所以點P的坐標為，
因為點P在雙曲線上，
所以，化簡得，
所以，整理得，
所以，所以，
因為，所以，所以，
故選：C
9.答案：ABC
解析：由題意得，上頂點為，離心率為，故，，，
故C的標準方程為，顯然A正確，
連接，，由對稱性得，
結合橢圓的定義得，
故，
當且僅當，時取等，故B正確，
設，，而，故，
故，，
故，故C正確，
易知四邊形的周長為，為定值，故D錯誤.
故選：ABC.
10.答案：ACD
解析：由已知，拋物線，，，焦點，
不妨設為，，設A，B到準線的距離分別為，，
對于A，由標準方程知，拋物線頂點在原點，開口向右，，
由拋物線的定義，故選項A正確；
對于B，消去x，化簡得()，
則，，，，，
，，，
，，
不存在實數m，使得，選項B錯誤；
對于C，，，
，，
又由選項B判斷過程知，，
解得，，或，，，
若，則，選項C正確；
對于D，由題意，，，，，
直線PA與PB的傾斜角互補時，斜率均存在，且，
，代入，，化簡得，
由選項B的判斷知，，，
，故選項D正確.
11.答案：2
解析：圓，即，圓心，半徑，
因為圓C關于直線對稱，所以，解得，
所以，圓心，半徑，
則圓心到y軸的距離，所以.
故答案為：2
12.答案：
解析：由得，
所以直線過點.
連接AM，則，由題意知點Q在以AM為直徑的圓上，
設，所以點Q的軌跡方程為（不包含點），
記圓的圓心為，過點Q，P，N分別作準線的垂線，垂足分別為B，D，S，連接DQ，則，當且僅當B，P，Q，N四點共線且點Q在PN中間時等號同時成立，所以的最小值為.
故答案為：.
13.答案：6
解析：如圖，連接，，，
因為C的離心率為，所以，即，
所以，
因為，所以為等邊三角形，
又，所以直線DE為線段的垂直平分線，
所以，，
則的周長為，
，
而，所以直線DE的方程為，
代入橢圓C的方程，得，
設，，則，，
所以，
故答案為：6.
14.答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）由題意可得解得
則雙曲線C的標準方程為.
（2）由題意可知直線l的斜率不為0，設直線，，，，
聯立，整理得，
則，.
因為，所以.
將代入上式，
得.
若為定值，則，解得，
故存在點，使得為定值.
15.答案：(1)
(2)證明見解析
解析：（1）依題意，得，則，
又A，C分別為橢圓上下頂點，，所以，即，
所以，即，則，
所以橢圓E的方程為.
（2）因為橢圓E的方程為，所以，，，
因為P為第一象限E上的動點，設，則，
易得，則直線BC的方程為，
，則直線PD的方程為，
聯立，解得，即，
而，則直線PA的方程為，
令，則，解得，即，
又，則，，
所以
，
又，即，
顯然，MN與CD不重合，所以.

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