資源簡(jiǎn)介

1.5 全稱(chēng)量詞與存在量詞 7 題型分類(lèi)
一、全稱(chēng)量詞與存在量詞
全稱(chēng)量詞 存在量詞
量詞 所有的、任意一個(gè) 存在一個(gè)、至少有一個(gè)
符號(hào)
命題 含有全稱(chēng)量詞的命題是全稱(chēng)量詞命題 含有存在量詞的命題是存在量詞命題
“對(duì) M 中任意一個(gè) x，p(x)成立”，可用 “存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可用
命題形式
符號(hào)簡(jiǎn)記為“ x∈M，p(x)” 符號(hào)簡(jiǎn)記為“ x∈M，p(x)”
【特別提醒】
（1）在全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題中的“x，M 與 p(x)”表達(dá)的含義：元素 x 可以表示實(shí)數(shù)、方程、函數(shù)、
不等式，也可以表示幾何圖形，相應(yīng)的集合 M 是這些元素的某一特定的范圍.p(x)表示集合 M 的所有元素滿(mǎn)
足的性質(zhì).如“任意一個(gè)自然數(shù)都不小于 0”，可以表示為“ x∈N，x≥0”.
（2）在存在量詞命題中，量詞不可以省略；在有些全稱(chēng)量詞命題中，量詞可以省略.
二、全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的否定
三、全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題及其否定的關(guān)系
1.全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題.
2.存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題.
【思考】 “一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0 有實(shí)數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱(chēng)量詞命題？請(qǐng)改寫(xiě)成相應(yīng)命題
的形式．
是存在量詞命題，可改寫(xiě)為“存在 x∈R，使 ax2＋2x＋1＝0”．
【特別提醒】
（1）一般命題的否定通常是保留條件否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個(gè)命題；
（2）含有一個(gè)量詞的命題的否定，是在否定結(jié)論 p(x)的同時(shí)，改變量詞的屬性，即全稱(chēng)量詞改為存在量詞，
存在量詞改為全稱(chēng)量詞．
（一）
全稱(chēng)量詞命題或存在量詞命題的判斷
1、全稱(chēng)量詞命題或存在量詞命題的判斷
注意：全稱(chēng)量詞命題可以省略全稱(chēng)量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略．
2、全稱(chēng)量詞命題就是陳述某集合所有元素都具有某種性質(zhì)的命題，存在量詞命題就是陳述在某集合中有(存
在)一些元素具有某種性質(zhì)的命題，是對(duì)某集合元素的限定，而不是對(duì)結(jié)論的限定．
題型 1：全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的判斷
1-1．（2024 高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列語(yǔ)句不是全稱(chēng)量詞命題的是（ ）
A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零
B．自然數(shù)都是正整數(shù)
C．高一(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員
D．每一個(gè)實(shí)數(shù)都有大小
1-2．（2024 高一上·河南平頂山·階段練習(xí)）下列語(yǔ)句不是存在量詞命題的是（ ）
A．至少有一個(gè) x，使 x2 + x +1 = 0成立 B．有的無(wú)理數(shù)的平方不是有理數(shù)
C．存在 x R ，3x + 2是偶數(shù) D．梯形有兩邊平行
1-3．（2024 高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）下列命題中，不是全稱(chēng)量詞命題的是（ ）
A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以 0 都等于 0 B．自然數(shù)都是正整數(shù)
C．實(shí)數(shù)都可以寫(xiě)成小數(shù)形式 D．存在奇數(shù)不是素?cái)?shù)
1-4．（2024 高二上·廣西·學(xué)業(yè)考試）下列命題中，含有存在量詞的是（ ）
A．存在一個(gè)平行四邊形是矩形 B．所有正方形都是平行四邊形
C．一切三角形的內(nèi)角和都等于180° D．任意兩個(gè)等邊三角形都相似
（二）
全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假的判斷
全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假判定的技巧
(1)全稱(chēng)量詞命題的真假判定
要判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合 M 中的每個(gè)元素 x 驗(yàn)證 p(x)成立；但要判定全稱(chēng)量詞
命題是假命題，只需舉出集合 M 中的一個(gè) x，使得 p(x)不成立即可(這就是通常所說(shuō)的“舉出一個(gè)反例”)．
(2)存在量詞命題的真假判定
要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定集合 M 中，找到一個(gè) x，使 p(x)成立即可；否則，這一存在
量詞命題就是假命題．　
題型 2：全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假的判斷
2-1．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題中是真命題的為（ ）
A．$x N ，使 4x < -3
B．$x Z，使 2x -1 = 0
C．"x N， 2x x2
D．"x R ， x2 +2>0
2-2．（2024 高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知命題 p : $x0 R, x0 2；命題 q : "x 0, x < x，則下列說(shuō)法正
確的是 （ ）
A． p 為存在量詞命題且為假命題， q為全稱(chēng)量詞命題且為假命題
B． p 為全稱(chēng)量詞命題且為假命題， q為存在量詞命題且為假命題
C． p 為存在量詞命題且為真命題， q為全稱(chēng)量詞命題且為假命題
D． p 為全稱(chēng)量詞命題且為真命題， q為存在量詞命題且為真命題
2-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列四個(gè)命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（ ）
A．銳角三角形的內(nèi)角都是銳角
B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù) x，使 x2 0
C．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)
1
D．存在一個(gè)負(fù)數(shù) x，使 2
x
2-4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）命題 p ："x 1， x + 2x - 3 0，命題 q：$x R， 2x2 - 4x + 3 = 0，則（ ）
A． p 真 q真 B． p 假 q假 C． p 假 q真 D． p 真 q假
（三）
由全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)的范圍
1、解決含有量詞的命題求參數(shù)范圍問(wèn)題的思路:
①全稱(chēng)量詞命題求參數(shù)范圍的問(wèn)題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進(jìn)行考查，一般在題目中會(huì)出現(xiàn)“恒
成立”等詞語(yǔ).解決此類(lèi)問(wèn)題，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍.
②存在量詞命題求參數(shù)范圍的問(wèn)題中常出現(xiàn)“存在”等詞語(yǔ)，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，通常是假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的
參數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設(shè)成立;反之，假設(shè)不成立.
2、求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略:
①對(duì)于全稱(chēng)量詞命題“ x∈M,a>y(或 a的最大值(或最小值)，即 a>ymax(或 a②對(duì)于存在量詞命題“ x∈M,a>y(或 a的最小值(或最大值)，即 a>ymin(或 a題型 3：由全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)的范圍
3-1．（2024 高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知命題 p：$x R, x2 + 2x + 2 - a = 0為真命題，則實(shí)數(shù) a 的值不
能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-3
3-2 2．（2024 高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知命題 p : $x0 R，(a -1)x0 + (a -1)x0 +1 0，若命題 p 是假命題，
則 a 的取值范圍為（ ）
A．1 a 5 B．1< a < 5
C．1< a 5 D．1 a < 5
3-3．（2024 高一上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知命題“ $x R，4x2 - 4 2ax + 5a + 3 = 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù) a的
取值范圍是（ ）
a 1A． - 或 a 3
1
B．- < a < 3
2 2
1
C． < 1或 a 3 D．- a 3
2 2
3-4．（2024 高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）若命題“ "x [-1,4]時(shí)， x2 m ”是假命題，則 m 的取值范圍（ ）
A．m 16 B． ≥ 1 C．m 0 D．m <1
3-5．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）命題“ $x0 R mx
2
，使 0 - m + 3 x0 + m 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍
為 ．
3-6．（2024 高一上· 2新疆烏魯木齊·期末）若命題“ $x0 R ，使得 x0 + 4x0 + 2k < 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) k 的取值
范圍是 .
題型 4：全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題與充分、必要條件
4-1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）命題“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ”是真命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
9
A．a(chǎn) 1 B． a C．a(chǎn) 5 D． a 4
2
4-2．（2024 高一上·江蘇南通·期中）已知 a為實(shí)數(shù)，使“"x 3,4 ， x - a < 0 ”為真命題的一個(gè)充分不必要條
件是（ ）
A． a 4 B． a 5 C． a 3 D． a 4
4-3．（2024 高一上·江蘇）命題“"1 x 2, x2 - a 0 ”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． a 4 B．a(chǎn) 5 C． a 4 D． a 5
4-4．（2024 高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知 p : "x R ， ax2 + 2x +1 0 ； q : a 1,+ ，則 p 是 q 的
條件．（在充分不必要 必要不充分、充要、既不充分也不必要中選一個(gè)正確的填入）
4-5．（2024 高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知命題:“"x 2，不等式 x2 - x - m 0 ”是真命題.
(1)求實(shí)數(shù)m 的取值集合 B ；
(2)設(shè)不等式 (x - a)(x - a -1) < 0的解集為A ，若 x A是 x B的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
（四）
全稱(chēng)量詞和存在量詞命題的否定
（1）對(duì)全稱(chēng)量詞命題進(jìn)行否定要做到“兩變”：一變量詞，即把全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~；二否定命題。
（2）全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，
（3）對(duì)省略全稱(chēng)量詞的全稱(chēng)量詞命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定.
題型 5：全稱(chēng)量詞命題的否定
5-1．（2024 高二下·遼寧·階段練習(xí)）若命題 p ："x < 0， 2023x - x3 + 2 < 0 ，則命題 p 的否定為（ ）
A． ≥ 0， 2023x - x3 + 2 < 0 B． ≥ 0， 2023x - x3 + 2 0
C．$x 0， 2023x - x3 + 2 < 0 D．$x < 0， 2023x - x3 + 2 0
5-2．（2024 高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）命題“"x R,2x2 + 3x - 5 0 ”的否定是（ ）
A．"x R,2x2 + 3x - 5 < 0 B．"x R,2x2 + 3x - 5 0
C．$x R,2x2 + 3x - 5 0 D．$x R,2x2 + 3x - 5 < 0
5-3．（陜西省商洛市鎮(zhèn)安中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二下學(xué)期期中文科數(shù)學(xué)試題）命題 p : "x [1, 2], x2 -1 0，
則 p是（ ）
A．"x [1, 2], x2 -1 0 B．"x [1, 2], x2 -1 < 0
C．$x [1, 2], x2 -1 0 D．$x [1, 2], x2 -1 < 0
題型 6：存在量詞命題的否定
6-1．（2024 高二上·陜西商洛·期末）命題“ $x N,5x < x3 +1”的否定是（ ）
A．"x N,5x < x3 +1 B．"x N,5x x3 +1
C．"x N,5x x3 +1 D．"x N,5x x3 +1
6-2．（2024 高一上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）命題“ $x R ， x2 - 3x + 3 < 0 ”的否定是（ ）
A．"x R ， x2 - 3x + 3 < 0 B．"x R ， x2 - 3x + 3 0
C．$x R ， x2 - 3x+3＞0 D．$x R ， x2 - 3x + 3 0
6-3．（2024 高一上·福建莆田·期中）設(shè)命題 p : $x R,x2 +1 = 0,則命題 p 的否定為（ ）
A．$x R,x2 +1 = 0
B．$x R,x2 +1 0
C．"x R,x2 +1 = 0
D．"x R ， x2 +1 0
6-4．（2024 高二下·甘肅白銀·期末）已知命題 p : $x 0, x2 + x < 1，則（ ）
A． p : "x 0, x2 + x < 1 B． p : "x 0, x2 + x 1
C． p : $x < 0, x2 + x < 1 D． p : $x 0, x2 + x 1
題型 7：含有一個(gè)量詞的命題的否定的應(yīng)用
7-1．（2024 高三上·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）已知命題 p ：$x x 1< x < 2 ， x - a 0，若 p是真命題，則
實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）
A． a <1 B． a 2 C． ≤ 2 D． a 2
7-2．（2024 高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）命題 p : ax2 + 2x +1 = 0 有實(shí)數(shù)根，若 p是假命題，則實(shí)數(shù) a的取值
范圍是（ ）
A．{a | a <1} B．{a | a 1} C．{a | a >1} D．以上都不對(duì)
7-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知命題 p：$ x∈{x|1范圍是（ ）
A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>3 C．a(chǎn)≤3 D．a(chǎn)≥3
7-4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知命題 p：“"x [1, 2]， x2 - a 0 ”，命題 q：“ $x R，
x2 + 2ax + 4 = 0 ”．若命題 p和命題 q 都是真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ）
A． a -2或 a =1 B． a -2或1 a 2 C．a(chǎn) 1 D． a 2
一、單選題
1．（2024 高一上·江蘇南京·期中）已知命題：①任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)；②有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都
是銳角；③每一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)；④所有數(shù)與 0 相乘，都等于 0.其中，其中含存在量詞的命題的個(gè)數(shù)是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題中是存在量詞命題的是（ ）
A．平行四邊形的對(duì)邊相等 B．同位角相等
C．任何實(shí)數(shù)都存在相反數(shù) D．存在實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)
3．（2024 高一上·甘肅慶陽(yáng)·期末）關(guān)于命題“ $x N， x2 + 2x = 0 ”，下列判斷正確的是（ ）
A．該命題是全稱(chēng)量詞命題，且是真命題 B．該命題是存在量詞命題，且是真命題
C．該命題是全稱(chēng)量詞命題，且是假命題 D．該命題是存在量詞命題，且是假命題
4．（廣西柳州市第三中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期 11 月學(xué)考二模考試數(shù)學(xué)試題）已知命題 P 的否定為
“ $x R， x2 +1 1”，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．命題 P 為“ $x R， x2 +1 1”且為真命題
B．命題 P 為“"x R ， x2 +1 1”且為假命題
C．命題 P 為“"x R ， x2 +1 1”且為假命題
D．命題 P 為“ $x R， x2 +1 1”且為真命題
5．（2024 高二上·江西南昌·期末）命題“ x 1，2 ，x a ”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．a(chǎn) 1 B． a <1
C． a 4 D． a 4
6．（2024 高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）命題“ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．a(chǎn) [-2,2] B．a(chǎn) (-2,1)
C．a(chǎn) [-2,3] D．a(chǎn) (-2,3)
7．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）命題 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，則命題 p 的否定是（ ）
A．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 B．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
C．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 D．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
1
8．（2024 高一下·廣西桂林·開(kāi)學(xué)考試）命題“對(duì)任意的 x R ，有 < 0 ”的否定是（ ）
1- x
1
A．不存在 x R ，使 < 0
1
B．存在 x R ， 使 0
1- x 1- x
1
C．存在 x R ，使 x 1 D．對(duì)任意的 x R ， 0
1- x
9．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）命題 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，則命題 p 的否定是（ ）
A．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 B．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
C．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 D．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
10．（2024·山東青島·一模）若命題“"x R ， ax2 +1 0 ”為真命題，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為（ ）
A． a 0 B． a 0 C． a 0 D．a(chǎn) 1
11．（2024 2 2高一上·湖南·階段練習(xí)）若命題P :“ $x R, k -1 x + 4 1- k x + 3 0 ”是假命題，則 k 的取值范
圍是（ ）
A． 1，7 B． 1,7
C． -7，1 D． -7,1
1
12．（2024 高二下· 2江西上饒·期中）已知命題“ $x0 R,4x0 + (a - 2)x0 + 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍4
為（ ）
A． - ,0 B． 0,4
C． 4, + D． 0,4
13．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）已知 p : $x {x∣-1 < x < 3}, x2 - a - 2 0．若 p 為假命題，則 a 的取值范圍為( )
A．{a∣a < -2} B．{a∣a < -1} C．{a∣a < 7} D．{a∣a < 0}
14．（2024 高三上·四川成都·階段練習(xí)）關(guān)于命題 p:“ $x N,6x2 - 7x + 2 0 ”，下列判斷正確的是（ ）
A． p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 B．該命題是存在量詞命題，且為真命題
C． p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 D．該命題是全稱(chēng)量詞命題，且為假命題
15．（2024 高二下·浙江溫州·學(xué)業(yè)考試）設(shè)命題 p :"x R ， (x - 2)(x + 3) 0，則 p為（ ）
x - 2
A． 0 ∈ ， (x0 - 2)(x0 + 3) 0 B．
0
0 ∈ ， 0x0 + 3
x - 2
C．"x R ， (x - 2)(x + 3) 0 D． 0 ∈
0
， 0 xx + 3 或 0
= -3
0
16．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知命題 p : "x N* x + 2 2，總有 0 ，則 p為（ ）
A *．$x0 N ，使得 x0 + 2
2 0 B * 2．$x0 N ，使得 x0 + 2 0
C 2 2．"x N*，總有 x + 2 0 D．"x N*，總有 x + 2 0
17．（2024 高一上·山西·階段練習(xí)）下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；
②命題“"x R ， x2 +1< 0 ”是全稱(chēng)量詞命題；
③命題“ $x R， x2 + 2x +1 0 ”是真命題；
④命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”是真命題.
A．0 B．1 C．2 D．3
18．（2024 高一·浙江·期末）命題 p : $x R,ax2 + 2ax - 4 0為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． -4 < a 0 B．-4 a < 0 C．-3 a 0 D．-4 a 2
19．（2024 高三上·山東）已知命題 p： x0＞0， x + a -1 = 0，若 p 為假命題，則 a 的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
20．（2024 高三上·山東聊城·階段練習(xí)）若“ $x [1,3], x2 - 2 a ”為真命題，則實(shí)數(shù) a 的最小值為（ ）
A．-2 B．-1 C．6 D．7
1
21 2．（2024 高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知命題“ $x R，使 4x + a - 2 x + 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) a的取
4
值范圍是（ ）
A． 0,2 B． 0,1 C． 0,4 D． - , 4
22 2024 · · p : $x R kx 2．（ 高一上 河北邢臺(tái) 期末）命題 0 ，使得 0 - 6kx p0 + k + 8 < 0成立.若 是假命題，則實(shí)數(shù) k
的取值范圍是（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． - ,0 1, + D． - ,0 1,+
23．（2024 高一上· 2江蘇泰州·期末）已知“ 0 ∈ ， x0 - x0 - a < 0 ”為真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ）
a 1 a 1 1 1A． - B． - C． a≤- D． a < -
4 4 4 4
24．（2024 高一上·山東濱州·階段練習(xí)）已知命題 p : $x R, x2 + (a -1)x +1< 0，若命題 p 是假命題，則 a 的
取值范圍為（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．125．（2024 高一下·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）命題 p : "a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實(shí)根，則對(duì)命題 p
的真假判斷和 p正確的為（ ）
A．真命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0無(wú)實(shí)根
B．假命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0無(wú)實(shí)根
C．真命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實(shí)根
D．假命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實(shí)根
26．（2024 高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中既是全稱(chēng)量詞命題，又是真命題的是（ ）
A．菱形的四條邊都相等 B．$x N ，使 2x為偶數(shù)
C．"x R, x2 + 2x +1 0 D． π是無(wú)理數(shù)
27．（2024 高一上·福建福州·期中）下列命題的否定是真命題的是（ ）
A．$m N, m2 +1 N
B．菱形都是平行四邊形
C．$a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根
D．平面四邊形 ABCD，其內(nèi)角和等于 360°
28．（2024 高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）命題 p：“ $x R, ax2 + 2ax - 4 0 ”為假命題的一個(gè)充分不必要條件
是（ ）
A． -4 < a 0 B．-4 a < 0 C．-3 a 0 D．-4 a 0
二、多選題
29．（2024 高一上·陜西西安·期末）關(guān)于命題“ $a N, a2 + a 0 ”，下列判斷正確的是（ ）
A．該命題是全稱(chēng)量詞命題 B．該命題是存在量詞命題
C．該命題是真命題 D．該命題是假命題
30．（2024 高三上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）命題“ $x0 R
2
，使mx0 - (m + 3)x0 + m 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) m 的取
值可以為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
31．（2024 高一上·山東泰安·期中）命題“ $x 1, 2 ， 2x2 - a 0 ”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A． a 2 B． a 0 C． a 1 D． a 2 2
32．（2024 高一上·湖南婁底·期末）命題 p : $x R， x2 - x +1 = 0．命題 q：任意兩個(gè)等邊三角形都相似．關(guān)
于這兩個(gè)命題，下列判斷正確的是（ ）
A．p 是真命題 B． p : "x R， x2 - x +1 0
C．q 是真命題 D． ：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似
33．（2024 高一上·山東·期末）已知命題 p : $x R， ax2 - x +1 = 0，若 p 為真命題，則實(shí)數(shù) a 的值可以是
（ ）
1 1
A．- B．0 C
1
． 4 D．4 2
34．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題的否定為假命題的是（ ）
1
A 2．對(duì)任意的 x R ， x - x + ≥04
B．所有的正方形都是矩形
C．存在 x R,x2 + 2x + 2 0
D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù) x，使 x3 +1 = 0
35．（2024 高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題的否定為真命題的是（　　）
A．p:所有四邊形的內(nèi)角和都是360°
B．q: $x R , x2 + 2x + 2 0
C． r : $x x x是無(wú)理數(shù) ， x2是無(wú)理數(shù)
D．s:對(duì)所有實(shí)數(shù) a，都有 a 0
36．（2024 高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．命題“ $x R ， x2 + 4x + 4 0 ”是存在量詞命題
B．命題“"x R，x2 + 2 < 0 ”是全稱(chēng)量詞命題
C．命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題
D．命題“不論m 取何實(shí)數(shù)，方程 2 + = 0必有實(shí)數(shù)根”是真命題
37．（2024 高一上·廣東江門(mén)·期中）下列命題中，是存在量詞命題且為真命題的有（ ）
A．中國(guó)所有的江河都流入太平洋 B．有的四邊形既是矩形，又是菱形
C．存在 x R ，有 x2 + x +1 = 0 D．有的數(shù)比它的倒數(shù)小
38．（2024 高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）下列命題中正確的是（ ）
A．已知集合M , P滿(mǎn)足命題“"x1 M ,$x2 P, x1 - x2 = 0 ”為真命題，則M P
B 2 2．已知集合M , P滿(mǎn)足命題“"x1 M ,$x2 P, x1 - x2 = 0 ”為真命題，則M P
C．已知集合M 滿(mǎn)足命題“ $x M , x2 - x < 2”為真命題，則M x -1 < x < 2
D．已知集合M 滿(mǎn)足命題“ $x M , x -1 1”為假命題，則M x 0 < x < 2
39．（2024 高一上·山西運(yùn)城·期中）命題“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是
（ ）
A．0 m 3 B．1 ≤ ≤ 2 C．-1≤m≤3 D．0 < m < 3
三、填空題
40．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）命題“"x R ， x2 +1 2x ”的否定是 .
41 2023-2024 “ ∈ ax2．（山東省棗莊市 學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知 0 ， 0 +1< 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù)
a 的取值范圍是 .
42．（2024 高一上·山東臨沂·期末）若 p : "x R, mx2 - 2mx + 2 0為真命題，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 .
43．（2024 高三下·廣東·階段練習(xí)）若命題“ $x R,x2 + mx + 2m - 3 < 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 ．
44．（2024 高二上·四川成都·階段練習(xí)）命題 p ：“ $x R ， ax2 + 2ax - 4 0 ”為假命題，則 a的取值范圍
是 ．
45．（2024 高一上·湖北黃岡·階段練習(xí)）命題 p ："x x | -2 x -1 ，-x2 + mx -1 0為真命題的一個(gè)充分
條件是 ．
46．（2024高二下·河北保定·期末）已知命題“ $x [-6,-1]，x2 - mx + 4…0 ”是假命題，則m的取值范圍是 .
47．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 A = x | 0 x a B = x | m2，集合 + 3 x m2 + 4 ，如果命題
“ $m R ， AI B ”為假命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 .
48．（2024 高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）若命題 p ：“ $x R， ax2 - 2ax - 2 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) a的取值
集合為 .
49．（2024 高一上·重慶·期末）若命題“ $x 20 R, x0 + x0 - a = 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 ．
50．（2024·吉林·二模）命題“ $x R， ax2 + x +1< 0”為假命題，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .
四、解答題
51．（2024 高一上·云南昭通·階段練習(xí)）命題 p："x x 3 x 5 ， x - a 0 .在① $x R， ax2 + 2x +1 = 0；
②存在集合 A = x 2 < x < 4 ，集合 B = x a < x < 2a ，使得 AI B = ，這 2 個(gè)條件中任選一個(gè)作為命題 q，
并求解下列問(wèn)題.
(1)若命題 p 是真命題，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；
(2)若命題 p 和命題 q都是真命題，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
52．（2024 高一上·陜西安康·階段練習(xí)）已知全集 = ，集合 A = {x |1 < x 3}，集合B = {x | 2m < x <1- m}．
(1)若 AI B B ，求實(shí)數(shù)m 的范圍；
(2)若"x1 A，$x2 B ，使得 x1 = x2 ，求實(shí)數(shù)m 的范圍．
53．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 A = x -2 x 5 ，B = x m +1 x 2m -1 ，且B ．
(1)若命題 p ：“"x B， x A”是真命題，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
(2)若命題 q：“ $x A， x B ”是真命題，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。
54．（2024 高一上·福建廈門(mén)·期中）已知命題 p : $x R， ax2 + 2x -1= 0為假命題．
(1)求實(shí)數(shù) a 的取值集合 A；
(2)設(shè)集合B = x 6m - 4 < 2x - 4 < 2m ，若“ x A”是“ x B ”的必要不充分條件，求 m 的取值范圍．
55．（2024 高一上·河南許昌·階段練習(xí)）已知命題 p：“ $x R，使不等式 x2 - 2x - m 0成立”是假命題．
(1)求實(shí)數(shù) m 的取值集合 A；
(2)若 q : -4 < m - a < 4是 p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
56．（2024 高二上·河北張家口·階段練習(xí)）已知命題 p :"x R ， x2 + 2m - 3 0，命題 q : $x0 R ，
x20 - 2mx0 + m + 2 < 0 .
(1)若命題 p 為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
(2)若命題 q 為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
(3)若命題 p，q 至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.
57．（2024 高一上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）已知命題 q :“ $x 滿(mǎn)足-2 < x < 2，使 x2 - 2x - a = 0”，
(1)命題 :“ $x R, x2 + a -1 x + 4 < 0 ”，若命題 , 中至少一個(gè)為真，求實(shí)數(shù) a的范圍.
(2)命題 p : 2a < x < a +1，若 p 是 q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的范圍.1.5 全稱(chēng)量詞與存在量詞 7 題型分類(lèi)
一、全稱(chēng)量詞與存在量詞
全稱(chēng)量詞 存在量詞
量詞 所有的、任意一個(gè) 存在一個(gè)、至少有一個(gè)
符號(hào)
命題 含有全稱(chēng)量詞的命題是全稱(chēng)量詞命題 含有存在量詞的命題是存在量詞命題
“對(duì) M 中任意一個(gè) x，p(x)成立”，可用 “存在 M 中的元素 x，p(x)成立”，可用
命題形式
符號(hào)簡(jiǎn)記為“ x∈M，p(x)” 符號(hào)簡(jiǎn)記為“ x∈M，p(x)”
【特別提醒】
（1）在全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題中的“x，M 與 p(x)”表達(dá)的含義：元素 x 可以表示實(shí)數(shù)、方程、函數(shù)、
不等式，也可以表示幾何圖形，相應(yīng)的集合 M 是這些元素的某一特定的范圍.p(x)表示集合 M 的所有元素滿(mǎn)
足的性質(zhì).如“任意一個(gè)自然數(shù)都不小于 0”，可以表示為“ x∈N，x≥0”.
（2）在存在量詞命題中，量詞不可以省略；在有些全稱(chēng)量詞命題中，量詞可以省略.
二、全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題的否定
三、全稱(chēng)量詞命題、存在量詞命題及其否定的關(guān)系
1.全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題.
2.存在量詞命題的否定是全稱(chēng)量詞命題.
【思考】 “一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0 有實(shí)數(shù)解”是存在量詞命題還是全稱(chēng)量詞命題？請(qǐng)改寫(xiě)成相應(yīng)命題
的形式．
是存在量詞命題，可改寫(xiě)為“存在 x∈R，使 ax2＋2x＋1＝0”．
【特別提醒】
（1）一般命題的否定通常是保留條件否定其結(jié)論，得到真假性完全相反的兩個(gè)命題；
（2）含有一個(gè)量詞的命題的否定，是在否定結(jié)論 p(x)的同時(shí)，改變量詞的屬性，即全稱(chēng)量詞改為存在量詞，
存在量詞改為全稱(chēng)量詞．
（一）
全稱(chēng)量詞命題或存在量詞命題的判斷
1、全稱(chēng)量詞命題或存在量詞命題的判斷
注意：全稱(chēng)量詞命題可以省略全稱(chēng)量詞，存在量詞命題的存在量詞一般不能省略．
2、全稱(chēng)量詞命題就是陳述某集合所有元素都具有某種性質(zhì)的命題，存在量詞命題就是陳述在某集合中有(存
在)一些元素具有某種性質(zhì)的命題，是對(duì)某集合元素的限定，而不是對(duì)結(jié)論的限定．
題型 1：全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的判斷
1-1．（2024 高一·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列語(yǔ)句不是全稱(chēng)量詞命題的是（ ）
A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零
B．自然數(shù)都是正整數(shù)
C．高一(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員
D．每一個(gè)實(shí)數(shù)都有大小
【答案】C
【解析】由全稱(chēng)命題的定義，全稱(chēng)命題應(yīng)包含所有，任意的…等表示全部元素都滿(mǎn)足的語(yǔ)句，如果含有存
在、有一個(gè)…等表示非全部元素都滿(mǎn)足的語(yǔ)句的命題為特稱(chēng)命題，由此對(duì)四個(gè)答案進(jìn)行分析，即可得到答
案．
【詳解】A 中命題可改寫(xiě)為：任意一個(gè)實(shí)數(shù)乘以零都等于零，故 A 是全稱(chēng)量詞命題；
B 中命題可改寫(xiě)為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故 B 是全稱(chēng)量詞命題；
C 中命題可改寫(xiě)為：高一(一)班存在部分同學(xué)是團(tuán)員，C 不是全稱(chēng)量詞命題；
D 中命題可改寫(xiě)為：任意的一個(gè)實(shí)數(shù)都有大小，故 D 是全稱(chēng)量詞命題．
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的定義，熟練掌握全稱(chēng)命題和特稱(chēng)命題的定義是解答本
題的關(guān)鍵．
1-2．（2024 高一上·河南平頂山·階段練習(xí)）下列語(yǔ)句不是存在量詞命題的是（ ）
A．至少有一個(gè) x，使 x2 + x +1 = 0成立 B．有的無(wú)理數(shù)的平方不是有理數(shù)
C．存在 x R ，3x + 2是偶數(shù) D．梯形有兩邊平行
【答案】D
【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的定義與性質(zhì),判斷即可.
【詳解】對(duì)于 A，至少有一個(gè) x，使 x2 + x +1 = 0成立，有存在量詞“至少有一個(gè)”，是存在量詞命題；
對(duì)于 B，有的無(wú)理數(shù)的平方不是有理數(shù)，有存在量詞“有的”，是存在量詞命題；
對(duì)于 C，存在 x R ，3x + 2是偶數(shù)，有存在量詞“存在”，是存在量詞命題；
對(duì)于 D，梯形有兩邊平行，為梯形幾何性質(zhì)，省略了全稱(chēng)量詞“所有”，是全稱(chēng)量詞命題．
故選：D.
1-3．（2024 高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）下列命題中，不是全稱(chēng)量詞命題的是（ ）
A．任何一個(gè)實(shí)數(shù)乘以 0 都等于 0 B．自然數(shù)都是正整數(shù)
C．實(shí)數(shù)都可以寫(xiě)成小數(shù)形式 D．存在奇數(shù)不是素?cái)?shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)存在量詞與全稱(chēng)量詞的定義即可得到答案.
【詳解】對(duì) A 選項(xiàng)，任何是全稱(chēng)量詞，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì) B 選項(xiàng)，省略了量詞所有，是全稱(chēng)量詞，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì) C 選項(xiàng)，省略了量詞所有，是全稱(chēng)量詞，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì) D 選項(xiàng)，存在是存在量詞，故 D 正確；
故選：D.
1-4．（2024 高二上·廣西·學(xué)業(yè)考試）下列命題中，含有存在量詞的是（ ）
A．存在一個(gè)平行四邊形是矩形 B．所有正方形都是平行四邊形
C．一切三角形的內(nèi)角和都等于180° D．任意兩個(gè)等邊三角形都相似
【答案】A
【分析】根據(jù)存在量詞的定義即可得解.
【詳解】A 選項(xiàng)，存在一個(gè)平行四邊形是矩形含有存在量詞；
BCD 選項(xiàng)，含有全稱(chēng)量詞，不含存在量詞.
故選：A.
（二）
全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假的判斷
全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假判定的技巧
(1)全稱(chēng)量詞命題的真假判定
要判定一個(gè)全稱(chēng)量詞命題是真命題，必須對(duì)限定集合 M 中的每個(gè)元素 x 驗(yàn)證 p(x)成立；但要判定全稱(chēng)量詞
命題是假命題，只需舉出集合 M 中的一個(gè) x，使得 p(x)不成立即可(這就是通常所說(shuō)的“舉出一個(gè)反例”)．
(2)存在量詞命題的真假判定
要判定一個(gè)存在量詞命題是真命題，只要在限定集合 M 中，找到一個(gè) x，使 p(x)成立即可；否則，這一存在
量詞命題就是假命題．　
題型 2：全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假的判斷
2-1．（2024 高二·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題中是真命題的為（ ）
A．$x N ，使 4x < -3
B．$x Z，使 2x -1 = 0
C．"x N， 2x x2
D．"x R ， x2 +2>0
【答案】D
【分析】
根據(jù)特殊命題的真假判斷 A，B；當(dāng) x = 2時(shí)， 22 = 22 = 4，從而判斷 C；由 x2 0 ，可得 x2 + 2 2 0，從
而判斷 D.
【詳解】
3
解：對(duì)于 A，由 4x < -3，可得 x < - ，所以不存在 x N，使 4x < -3成立，故錯(cuò)誤；
4
1
對(duì)于 B，由 2x -1 = 0，可得 x = ，所以不存在 x Z，使 2x -1 = 0，故錯(cuò)誤；
2
對(duì)于 C，當(dāng) x = 2時(shí)， 22 = 22 = 4，故錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，因?yàn)楫?dāng) x R 時(shí)， x2 0, x2 + 2 2 0 ，故正確.
故選：D.
2-2．（2024 高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知命題 p : $x0 R, x0 2；命題 q : "x 0, x < x，則下列說(shuō)法正
確的是 （ ）
A． p 為存在量詞命題且為假命題， q為全稱(chēng)量詞命題且為假命題
B． p 為全稱(chēng)量詞命題且為假命題， q為存在量詞命題且為假命題
C． p 為存在量詞命題且為真命題， q為全稱(chēng)量詞命題且為假命題
D． p 為全稱(chēng)量詞命題且為真命題， q為存在量詞命題且為真命題
【答案】C
【分析】含有存在量詞的命題是存在量詞命題，其真假性為“有真即真，全假為假”；含有全稱(chēng)量詞的命題是
全稱(chēng)量詞命題，其真假性為“有假即假，全真為真”；據(jù)此解答即可.
【詳解】對(duì)于命題 p ，是存在量詞命題，取 x0 = 3，則$x0 R, x0 2，故 p 為真命題；
1 1 1 1
對(duì)于命題 q，是全稱(chēng)量詞命題，當(dāng) x = 時(shí)， = ，故 q為假命題；
4 4 2 4
所以 p 為存在量詞命題且為真命題， q為全稱(chēng)量詞命題且為假命題.
故選：C．
2-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列四個(gè)命題中，既是存在量詞命題又是真命題的是（ ）
A．銳角三角形的內(nèi)角都是銳角
B．至少有一個(gè)實(shí)數(shù) x，使 x2 0
C．兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和必是無(wú)理數(shù)
1
D．存在一個(gè)負(fù)數(shù) x，使 2
x
【答案】B
【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞以及存在量詞命題的定義即可判斷.
【詳解】“都是”，“必是”是全稱(chēng)量詞，故 AC 錯(cuò)誤，
“至少”，“存在”是存在量詞，故 B，D 是存在量詞命題，
1
存在 = 0，使得 x2 0 ，不存在負(fù)數(shù)使得 2，故 D 是假命題，B 是真命題．
x
故選：B
2-4．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）命題 p ："x 1， x + 2x - 3 0，命題 q：$x R， 2x2 - 4x + 3 = 0，則（ ）
A． p 真 q真 B． p 假 q假 C． p 假 q真 D． p 真 q假
【答案】D
【分析】對(duì)于命題 p ：根據(jù)特稱(chēng)命題結(jié)合二次函數(shù)分析判斷；對(duì)于命題 q：根據(jù)存在命題結(jié)合二次函數(shù)的Δ
判別式分析判斷.
1
【詳解】對(duì)于命題 p ：令 t = x 1，則 y = t + 2t 2 - 3 = 2t 2 + t - 3開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為 t = - ，4
且 y | = 0，則 y = 2t 2x=1 + t - 3 0，
所以"x 1， x + 2x - 3 0，即命題 p 為真命題；
2
對(duì)于命題 q：因?yàn)镈 = -4 - 4 2 3 = -8 < 0，
所以方程 2x2 - 4x + 3 = 0無(wú)解，即命題 q為假命題；
故選：D.
（三）
由全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)的范圍
1、解決含有量詞的命題求參數(shù)范圍問(wèn)題的思路:
①全稱(chēng)量詞命題求參數(shù)范圍的問(wèn)題，常以一次函數(shù)、二次函數(shù)等為載體進(jìn)行考查，一般在題目中會(huì)出現(xiàn)“恒
成立”等詞語(yǔ).解決此類(lèi)問(wèn)題，可構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合求參數(shù)范圍.
②存在量詞命題求參數(shù)范圍的問(wèn)題中常出現(xiàn)“存在”等詞語(yǔ)，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，通常是假設(shè)存在滿(mǎn)足條件的
參數(shù)，然后利用條件求參數(shù)范圍，若能求出參數(shù)范圍，則假設(shè)成立;反之，假設(shè)不成立.
2、求解含有量詞的命題中參數(shù)范圍的策略:
①對(duì)于全稱(chēng)量詞命題“ x∈M,a>y(或 a的最大值(或最小值)，即 a>ymax(或 a②對(duì)于存在量詞命題“ x∈M,a>y(或 a的最小值(或最大值)，即 a>ymin(或 a題型 3：由全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題的真假求參數(shù)的范圍
3-1．（2024 高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知命題 p：$x R, x2 + 2x + 2 - a = 0為真命題，則實(shí)數(shù) a 的值不
能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．-3
【答案】D
【分析】利用一元二次方程的根與判別式的關(guān)系求解.
【詳解】因?yàn)槊} p：$x R, x2 + 2x + 2 - a = 0為真命題，
所以D = 4 - 4(2 - a) 0解得a 1，
結(jié)合選項(xiàng)可得實(shí)數(shù) a 的值不能是-3，
故選:D.
3-2．（2024 高一上·江蘇南通·階段練習(xí)）已知命題 p : $x0 R，(a -1)x20 + (a -1)x0 +1 0，若命題 p 是假命題，
則 a 的取值范圍為（ ）
A．1 a 5 B．1< a < 5
C．1< a 5 D．1 a < 5
【答案】D
【分析】求得命題 p 的否定，結(jié)合不等式恒成立，求解即可.
【詳解】Q命題 p : $x0 R， (a -1)x20 + (a -1)x0 +1 0是假命題，
\"x R， (a -1)x2 + (a -1)x +1 0恒成立是真命題；
當(dāng) a =1時(shí)，1 > 0恒成立，
當(dāng) a 1時(shí)，需 a -1 0，D = (a -1)2 - 4(a -1) < 0 ，解得1< a < 5，
當(dāng) a <1時(shí)， a -1< 0 2，不可能滿(mǎn)足 (a -1)x0 + (a -1)x0 +1 0 恒成立，
綜上可得 a 的取值范圍為1 a < 5 .
故選：D .
3-3．（2024 高一上·重慶北碚·階段練習(xí)）已知命題“ $x R， 4x2 - 4 2ax + 5a + 3 = 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù) a的
取值范圍是（ ）
1 1
A． a - 或 a 3 B．- < a < 3
2 2
C < 1
1
． 或 a 3 D．- a 3
2 2
【答案】B
【分析】由題意，可知該命題的否定“"x R ，4x2 - 4 2ax + 5a + 3 0 ”為真命題，即可得該方程無(wú)實(shí)數(shù)根，
根據(jù)D < 0求解.
【詳解】因?yàn)椤?$x R， 4x2 - 4 2ax + 5a + 3 = 0 ”為假命題，
所以“"x R ， 4x2 - 4 2ax + 5a + 3 0 ”為真命題，
所以方程 4x2 - 4 2ax + 5a + 3 0 無(wú)實(shí)數(shù)根，
D = 2 1-4 2a -16 5a + 3 < 0 ，解得- < a < 3 .2
故選：B
3-4．（2024 高一上·湖北武漢·階段練習(xí)）若命題“ "x [-1,4]時(shí)， x2 m ”是假命題，則 m 的取值范圍（ ）
A．m 16 B． ≥ 1 C．m 0 D．m <1
【答案】C
2
【分析】由否命題為真命題可得 (x )min m ，求 y = x2的最小值即可.
【詳解】因?yàn)槊}“ "x [-1,4]時(shí)， x2 m ”是假命題，
所以命題“ $x [-1,4]時(shí)， x2 m ”是真命題，
即有 (x2 )min m ，
易知當(dāng) x = 0， y = x2有最小值 0,
所以m 0 .
故選：C
3-5．（2024· 2河南·模擬預(yù)測(cè)）命題“ $x0 R ，使mx0 - m + 3 x0 + m 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍
為 ．
【答案】 3, +
【分析】直接利用特稱(chēng)命題和全稱(chēng)命題的轉(zhuǎn)換和二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．
【詳解】命題“ $x0 R
2
，使mx0 - m + 3 x0 + m 0 ”是假命題，
2
則命題"x R ，mx - m + 3 x + m 0恒成立為真命題，
所以當(dāng)m = 0時(shí)，-3x 0，不恒成立，
ìm 0 ìm 0
當(dāng)m

0 時(shí)，需滿(mǎn)足 í 可得 í 2 ，
Δ < 0 m + 3 - 4m2 < 0
解得m 3,+ ，
故m 的范圍為 3, + ．
故答案為： 3, + ．
3-6．（2024 2高一上·新疆烏魯木齊·期末）若命題“ $x0 R ，使得 x0 + 4x0 + 2k < 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) k 的取值
范圍是 .
【答案】 2, +
【分析】由題意，根據(jù)命題的真假關(guān)系得到原命題的否定為真命題，即
x2 + 4x + 2k 0恒成立，利用判別式求出實(shí)數(shù) k 的取值范圍.
【詳解】由題意得：“"x R ，使得 x2 + 4x + 2k 0 ”是真命題，
即D =16 -8k 0，解得： k 2，
故實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 2, + .
故答案為： 2, +
題型 4：全稱(chēng)量詞命題與存在量詞命題與充分、必要條件
4-1．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）命題“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ”是真命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
9
A．a(chǎn) 1 B． a C．a(chǎn) 5 D． a 4
2
【答案】A
9
【分析】根據(jù)恒成立問(wèn)題分析可得命題“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ”是真命題等價(jià)于“ a ”，結(jié)合充分、必要
2
條件分析判斷.
【詳解】若命題“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ” 2是真命題，則 x - 2a 0max ，
9
可知當(dāng) x = 3時(shí)， x2 - 2a取到最大值9 - 2a 0，解得 a ，2
9
所以命題“" - 2 x 3, x2 - 2a 0 ”是真命題等價(jià)于“ a ”.
2
ì
因?yàn)?ía | a
9
ü a | a 1 9，故“ a 1”是“ a ”的必要不充分條件，故 A 正確；
2 2
ì
因?yàn)?ía | a
9
ü ì = ía | a
9
ü 9 9 ，故“ a ”是“ a ”的充要條件，故 B2 錯(cuò)誤； 2 2 2
ì 9 ü 9
因?yàn)?a | a 5 ía | a ，故“ a 5 ”是“ a ”的充分不必要條件，故 C 錯(cuò)誤；
2 2
ì 9 ü 9
因?yàn)?ía | a 與 a | a 4 不存在包含關(guān)系，故“ a 4 ”是“ a ”的即不充分也不必要條件，故 D 錯(cuò)誤；
2 2
故選：A.
4-2．（2024 高一上·江蘇南通·期中）已知 a為實(shí)數(shù)，使“"x 3,4 ， x - a < 0 ”為真命題的一個(gè)充分不必要條
件是（ ）
A． a 4 B． a 5 C． a 3 D． a 4
【答案】B
【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題的真假性求得 a的取值范圍，然后確定其充分不必要條件.
【詳解】解：依題意，全稱(chēng)量詞命題："x 3,4 , x - a < 0為真命題，
所以， a x在區(qū)間 3,4 上恒成立，所以 a 4，
所以使“"x 3,4 , x - a < 0 ”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是“ a 5 ”.
故選：B
4-3．（2024 高一上·江蘇）命題“"1 x 2, x2 - a 0 ”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． a 4 B．a(chǎn) 5 C． a 4 D． a 5
【答案】B
【分析】根據(jù)命題是真命題，由"1 x 2 ， a x2 恒成立求解.
【詳解】因?yàn)槊}“"1 x 2 ， x2 - a 0 ”是真命題，
所以"1 x 2 ， a x2 恒成立，
所以 a 4，
結(jié)合選項(xiàng)，命題是真命題的一個(gè)充分不必要條件是a 5，
故選：B
4-4．（2024 高一上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知 p : "x R ， ax2 + 2x +1 0 ； q : a 1,+ ，則 p 是 q 的
條件．（在充分不必要 必要不充分、充要、既不充分也不必要中選一個(gè)正確的填入）
【答案】必要不充分
【分析】將全稱(chēng)命題為真命題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，利用充分必要條件判斷即可求解
【詳解】因?yàn)?p : "x R ， ax2 + 2x +1 0 為真命題等價(jià)于不等式 ax2 + 2x +1 0 在 x R 上恒成立，
當(dāng) a = 0時(shí)， 2x +1 0顯然不成立；
ìa 0
當(dāng) a 0時(shí)， í a 1Δ 4 4a ，解得 ， = - 0
綜上，實(shí)數(shù) a的取值范圍為 a 1,+ ，
所以 p : a 1, + ，
又因?yàn)?q : a 1,+ ，
所以 p 是 q 的必要不充分條件．
故答案為：必要不充分.
4-5．（2024 高二上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）已知命題:“"x 2，不等式 x2 - x - m 0 ”是真命題.
(1)求實(shí)數(shù)m 的取值集合 B ；
(2)設(shè)不等式 (x - a)(x - a -1) < 0的解集為A ，若 x A是 x B的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
【答案】(1) B = m m < 2 ；（2） - ,1
【分析】（1）根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m < x2 - x在 x 2時(shí)恒成立，再求 x2 - x 得最小值即可；
（2）解不等式得集合 A = x a < x < a +1 ，故根據(jù)題意得：A 是 B 的真子集，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可.
【詳解】解：（1）命題："x 2，都有不等式 x2 - x - m 0成立是真命題，
∴ x2 - x - m 0，即m < x2 - x在 x 2時(shí)恒成立，
x2 x x 1 2 1 1x 2 - =（ - ）- （- 2 - ）2
1
又當(dāng) 時(shí)， - = 2
2 4 2 4
∴ m < 2，即B = m m < 2 =（- ，2）；
（2）不等式（x - a) ( x - a -1）< 0，
故 A = x a < x < a +1
∵ x A是 x B的充分不必要條件，則A 是 B 的真子集，
∴ a +1 2，解得a 1，
故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 - ,1 .
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：
（1）若 p 是 q的必要不充分條件，則 q對(duì)應(yīng)集合是 p 對(duì)應(yīng)集合的真子集；
（2）若 p 是 q的充分不必要條件， 則 p 對(duì)應(yīng)集合是 q對(duì)應(yīng)集合的真子集；
（3）若 p 是 q的充分必要條件，則 p 對(duì)應(yīng)集合與 q對(duì)應(yīng)集合相等；
（4）若 p 是 q的既不充分又不必要條件， q對(duì)的集合與 p 對(duì)應(yīng)集合互不包含．
（四）
全稱(chēng)量詞和存在量詞命題的否定
（1）對(duì)全稱(chēng)量詞命題進(jìn)行否定要做到“兩變”：一變量詞，即把全稱(chēng)量詞變?yōu)榇嬖诹吭~；二否定命題。
（2）全稱(chēng)量詞命題的否定是存在量詞命題，
（3）對(duì)省略全稱(chēng)量詞的全稱(chēng)量詞命題可補(bǔ)上量詞后進(jìn)行否定.
題型 5：全稱(chēng)量詞命題的否定
5-1．（2024 高二下·遼寧·階段練習(xí)）若命題 p ："x < 0， 2023x - x3 + 2 < 0 ，則命題 p 的否定為（ ）
A． ≥ 0， 2023x - x3 + 2 < 0 B． ≥ 0， 2023x - x3 + 2 0
C．$x 0， 2023x - x3 + 2 < 0 D．$x < 0， 2023x - x3 + 2 0
【答案】D
【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞的否定規(guī)則，先改寫(xiě)量詞，再否定結(jié)論即可.
【詳解】根據(jù)全稱(chēng)量詞的否定規(guī)則，先改寫(xiě)量詞，再否定結(jié)論，可得原命題的否定為“ $x < 0，
2023x - x3 + 2 0 ”.
故選:D
5-2．（2024 高一下·陜西寶雞·階段練習(xí)）命題“"x R,2x2 + 3x - 5 0 ”的否定是（ ）
A．"x R,2x2 + 3x - 5 < 0 B．"x R,2x2 + 3x - 5 0
C．$x R,2x2 + 3x - 5 0 D．$x R,2x2 + 3x - 5 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定，可得答案.
【詳解】由全稱(chēng)命題的否定知原命題的否定為$x R,2x2 + 3x - 5 0．
故選：C．
5-3．（陜西省商洛市鎮(zhèn)安中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二下學(xué)期期中文科數(shù)學(xué)試題）命題 p : "x [1, 2], x2 -1 0，
則 p是（ ）
A．"x [1, 2], x2 -1 0 B．"x [1, 2], x2 -1 < 0
C．$x [1, 2], x2 -1 0 D．$x [1, 2], x2 -1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞的否定是特稱(chēng)量詞可得答案.
【詳解】若命題 p : "x [1, 2], x2 -1 0，則 p是$x [1, 2], x2 -1 < 0 .
故選：D
題型 6：存在量詞命題的否定
6-1．（2024 高二上·陜西商洛·期末）命題“ $x N,5x < x3 +1”的否定是（ ）
A．"x N,5x < x3 +1 B．"x N,5x x3 +1
C．"x N,5x x3 +1 D．"x N,5x x3 +1
【答案】C
【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定相關(guān)知識(shí)直接求解.
【詳解】命題“ $x N,5x < x3 +1”的否定是“"x N,5x x3 +1”.
故選：C
6-2．（2024 高一上·黑龍江齊齊哈爾·階段練習(xí)）命題“ $x R ， x2 - 3x + 3 < 0 ”的否定是（ ）
A．"x R ， x2 - 3x + 3 < 0 B．"x R ， x2 - 3x + 3 0
C．$x R ， x2 - 3x+3＞0 D．$x R ， x2 - 3x + 3 0
【答案】B
【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，即可得出答案．
【詳解】∵命題“ $x R ， x2 - 3x + 3 < 0 ”為特稱(chēng)命題，特稱(chēng)命題的否定是全稱(chēng)命題，
∴命題“ $x R ， x2 - 3x + 3 < 0 ”的否定是“ "x R ， x2 - 3x + 3 0 ”．
故選：B
6-3．（2024 高一上·福建莆田·期中）設(shè)命題 p : $x R,x2 +1 = 0,則命題 p 的否定為（ ）
A．$x R,x2 +1 = 0
B．$x R,x2 +1 0
C．"x R,x2 +1 = 0
D．"x R ， x2 +1 0
【答案】D
【分析】由帶量詞命題的否定形式的規(guī)定寫(xiě)出結(jié)果，應(yīng)包括：否定量詞，否定結(jié)論.
【詳解】命題 p : $x R,x2 +1 = 0的否定是“"x R ， x2 +1 0”.
故選：D.
6-4．（2024 高二下·甘肅白銀·期末）已知命題 p : $x 0, x2 + x < 1，則（ ）
A． p : "x 0, x2 + x < 1 B． p : "x 0, x2 + x 1
C． p : $x < 0, x2 + x < 1 D． p : $x 0, x2 + x 1
【答案】B
【分析】由命題的否定，量詞和結(jié)論發(fā)生改變，條件不變即可得到答案.
【詳解】根據(jù)含有量詞命題的否定形式可知，命題 p : $x 0, x2 + x < 1的否定為"x 0, x2 + x 1，
故選：B.
題型 7：含有一個(gè)量詞的命題的否定的應(yīng)用
7-1．（2024 高三上·黑龍江大慶·開(kāi)學(xué)考試）已知命題 p ：$x x 1< x < 2 ， x - a 0，若 p是真命題，則
實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）
A． a <1 B． a 2 C． ≤ 2 D． a 2
【答案】D
【分析】先求出命題 p 為真命題時(shí) a的取值范圍，則可求出命題 p 為假命題的范圍，即可選出答案.
【詳解】若命題 p 為真命題則，$x x 1< x < 2 ， x a，即 a < 2 .
又 p是真命題，即命題 p 為假命題，即 a 2 .
故選：D.
7-2．（2024 高一上·河南新鄉(xiāng)·階段練習(xí)）命題 p : ax2 + 2x +1 = 0 有實(shí)數(shù)根，若 p是假命題，則實(shí)數(shù) a的取值
范圍是（ ）
A．{a | a <1} B．{a | a 1} C．{a | a >1} D．以上都不對(duì)
【答案】B
【分析】 p是假命題，則 p 為真命題，即 ax2 + 2x +1 = 0有實(shí)數(shù)根，分類(lèi)討論 a = 0與 a 0時(shí)的情況即可.
1
【詳解】當(dāng) a = 0時(shí)，即2 + 1 = 0有實(shí)數(shù)根，解得 x = ，故符合要求；
2
當(dāng) a 0時(shí)，即有D = 4 - 4a≥0，解得a 1且 a 0；
綜上所述，a 1 .
故選：B.
7-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知命題 p：$ x∈{x|1范圍是（ ）
A．a(chǎn)<1 B．a(chǎn)>3 C．a(chǎn)≤3 D．a(chǎn)≥3
【答案】D
【分析】根據(jù)給定條件寫(xiě)出命題 p，再由全稱(chēng)量詞命題是真命題即可得解.
【詳解】因命題 p： x∈{x|1又 p是真命題，即 x∈{x|1x 恒成立，于是得 a≥3，
所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a≥3.
故選：D
7-4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知命題 p：“"x [1, 2]， x2 - a 0 ”，命題 q：“ $x R，
x2 + 2ax + 4 = 0 ”．若命題 p和命題 q 都是真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是（ ）
A． a -2或 a =1 B． a -2或1 a 2 C．a(chǎn) 1 D． a 2
【答案】D
【分析】先考慮 , 均為真命題得到 a的取值范圍，然后根據(jù) p, q的真假性得到關(guān)于 a的不等式，即可求解
出 a的取值范圍.
【詳解】若"x [1, 2]， x2 - a 0 ，則 a x2 ，
∴ a 1．
若$x R， x2 + 2ax + 4 = 0 ，
則D = (2a)2 -16 0，
解得 a -2或 a 2．
∵命題 p和命題 q 都是真命題，
ìa 1 ìa 1
∴ í 或 í ，
a -2 a 2
∴ a 2．
故選 D．
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)全稱(chēng)命題、特稱(chēng)命題的真假求解參數(shù)范圍，難度一般.利用命題的真假求解參數(shù)范圍
時(shí)，可先考慮命題都為真的情況下對(duì)應(yīng)的參數(shù)范圍，然后再根據(jù)實(shí)際的命題真假得到關(guān)于參數(shù)的不等式（注：
若命題為假，只需對(duì)為真時(shí)參數(shù)范圍取補(bǔ)集），由此求解出參數(shù)范圍.
一、單選題
1．（2024 高一上·江蘇南京·期中）已知命題：①任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)；②有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都
是銳角；③每一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)；④所有數(shù)與 0 相乘，都等于 0.其中，其中含存在量詞的命題的個(gè)數(shù)是
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)存在量詞的意義逐一判斷選擇即可.
【詳解】①任何實(shí)數(shù)的平方都是非負(fù)數(shù)，含全稱(chēng)量詞“任何”，不符；
②有些三角形的三個(gè)內(nèi)角都是銳角，含存在量詞“有些”，符合；
③每一個(gè)實(shí)數(shù)都有相反數(shù)，含全稱(chēng)量詞“每一個(gè)”，不符；
④所有數(shù)與 0 相乘，都等于 0，含全稱(chēng)量詞“所有”，不符；
故選：A
2．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題中是存在量詞命題的是（ ）
A．平行四邊形的對(duì)邊相等 B．同位角相等
C．任何實(shí)數(shù)都存在相反數(shù) D．存在實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)
【答案】D
【分析】利用全程量詞和存在量詞的定義，找出命題中對(duì)應(yīng)的量詞即可得出 ABC 為全稱(chēng)量詞命題，D 選項(xiàng)
為存在量詞命題.
【詳解】根據(jù)全稱(chēng)量詞和存在量詞的定義可知，
A 選項(xiàng)，“平行四邊形的對(duì)邊相等”是所有的平行四邊形性質(zhì)，是全稱(chēng)量詞命題；
B 選項(xiàng)，“同位角相等”是所有的同位角都相等，是全稱(chēng)量詞命題；
C 選項(xiàng)，“任何實(shí)數(shù)都存在相反數(shù)”中的“任意”是全稱(chēng)量詞，故其為全稱(chēng)量詞命題；
D 選項(xiàng)，“存在實(shí)數(shù)沒(méi)有倒數(shù)”中的“存在”為存在量詞，其為存在量詞命題.
故選：D
3．（2024 高一上·甘肅慶陽(yáng)·期末）關(guān)于命題“ $x N， x2 + 2x = 0 ”，下列判斷正確的是（ ）
A．該命題是全稱(chēng)量詞命題，且是真命題 B．該命題是存在量詞命題，且是真命題
C．該命題是全稱(chēng)量詞命題，且是假命題 D．該命題是存在量詞命題，且是假命題
【答案】B
【分析】根據(jù)存在量詞命題的定義及取 x = 0可判斷.
【詳解】該命題是存在量詞命題，當(dāng) x = 0時(shí)， x2 + 2x = 0，所以該命題為真命題.
故選:B.
4．（廣西柳州市第三中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高二上學(xué)期 11 月學(xué)考二模考試數(shù)學(xué)試題）已知命題 P 的否定為
“ $x R， x2 +1 1”，則下列說(shuō)法中正確的是（ ）
A．命題 P 為“ $x R， x2 +1 1”且為真命題
B．命題 P 為“"x R ， x2 +1 1”且為假命題
C．命題 P 為“"x R ， x2 +1 1”且為假命題
D．命題 P 為“ $x R， x2 +1 1”且為真命題
【答案】C
【分析】根據(jù)含量詞命題的否定形式可得到原命題，通過(guò)反例可說(shuō)明原命題為假命題.
【詳解】Q命題 P 的否定為特稱(chēng)命題，\P："x R ， x2 +1 1，
當(dāng) x = 0時(shí)， x2 +1 =1，\P為假命題，ABD 錯(cuò)誤，C 正確.
故選：C.
5．（2024 高二上·江西南昌·期末）命題“ x 1，2 ，x a ”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A．a(chǎn) 1 B． a <1
C． a 4 D． a 4
【答案】B
【分析】求解命題為真命題的充要條件，再利用集合包含關(guān)系判斷
【詳解】命題“對(duì)任意x 1，2 ，x a ”為真命題，則 a ≤1,只有 - ,1 是 - ,1 的真子集,故選項(xiàng) B 符合題意
故選：B
6．（2024 高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）命題“ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”為假命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A．a(chǎn) [-2,2] B．a(chǎn) (-2,1)
C．a(chǎn) [-2,3] D．a(chǎn) (-2,3)
【答案】C
【分析】先將命題“ $x R ， x2 - ax +1 < 0 ”為假命題轉(zhuǎn)化“ "x R ， x2 - ax +1 0 ”為真命題，求出其充要條
件，再利用數(shù)集間的包含關(guān)系進(jìn)行求解.
【詳解】命題“ $x R ， x2 - ax +1 < 0 ”為假命題，
即命題“ "x R ， x2 - ax +1 0 ”為真命題，
則Δ= -a 2 - 4 0，解得-2 a 2，
對(duì)于 A：a [-2,2]是命題“ $ x R,x2 - ax+1<0 ”為假命題的充要條件，即選項(xiàng) A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B：(-2,1) 是[-2,2]的真子集，所以a (-2,1)是“ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”為假命題的一個(gè)充分不必要條件，
故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C：[-2,2]是[-2,3]的真子集，所以a [-2,3]是 “ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”為假命題的一個(gè)必要不充分條
件，故選項(xiàng) C 正確；
對(duì)于 D： (-2,3)與[-2,2]無(wú)包含關(guān)系，所以a (-2,3)是“ $x R, x2 - ax +1 < 0 ”為假命題的一個(gè)既不充分也不
必要條件，故選項(xiàng) D 錯(cuò)誤.
故選：C.
7．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）命題 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，則命題 p 的否定是（ ）
A．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 B．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
C．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 D．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
【答案】A
【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的否定，即可判斷出答案.
【詳解】由題意得 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5為全稱(chēng)量詞命題，
故命題 p 的否定是$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，
故選：A
1
8．（2024 高一下·廣西桂林·開(kāi)學(xué)考試）命題“對(duì)任意的 x R ，有 < 0 ”的否定是（ ）
1- x
1 1
A．不存在 x R ，使 < 0 B．存在 x R ， 使 0
1- x 1- x
1
C．存在 x R ，使 x 1 D．對(duì)任意的 x R ， 0
1- x
【答案】C
1
【分析】解不等式 < 0 ，改命題的量詞再否定結(jié)論可得命題的否定.
1- x
1
【詳解】“對(duì)任意的 x R ，有 < 0 ”，
1- x
即“對(duì)任意的 x R ，有 x 1”，
其否定為“存在 x R ，使 x 1”，
故選：C.
9．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）命題 p : "x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，則命題 p 的否定是（ ）
A．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 B．$x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
C．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5 D．"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5
【答案】B
【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義判斷.
【詳解】解：因?yàn)槊}"x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5是全稱(chēng)量詞命題，
所以其否定是存在量詞命題，即 $x x 1 x 5 ， x2 - 4x 5，
故選：B
10．（2024·山東青島·一模）若命題“"x R ， ax2 +1 0 ”為真命題，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為（ ）
A． a 0 B． a 0 C． a 0 D．a(chǎn) 1
【答案】B
【分析】結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)來(lái)求得 a的取值范圍.
【詳解】依題意命題“"x R ， ax2 +1 0 ”為真命題，
當(dāng) a = 0時(shí)，1 0成立，
當(dāng) a 0時(shí)， ax2 +1 0 成立，
當(dāng) a < 0時(shí)，函數(shù) y = ax2 +1開(kāi)口向下， ax2 +1 0 不恒成立.
綜上所述， a 0 .
故選：B
11．（2024 2 2高一上·湖南·階段練習(xí)）若命題P :“ $x R, k -1 x + 4 1- k x + 3 0 ”是假命題，則 k 的取值范
圍是（ ）
A． 1，7 B． 1,7
C． -7，1 D． -7,1
【答案】B
【分析】本題首先可根據(jù)題意得出命題“"x R ， k 2 -1 x2 + 4 1- k x + 3 0 ”是真命題，然后分為 k =1、
k = -1、 k 2 -1 0三種情況進(jìn)行討論，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)槊}“ $x R ， k 2 -1 x2 + 4(1- k)x + 3 0 ”是假命題，
“"x R k 2 -1 x2所以命題 ， + 4 1- k x + 3 0 ”是真命題，
若 k 2 -1 = 0，即 k =1或 k = -1，
當(dāng) k =1時(shí)，不等式為3 0，恒成立，滿(mǎn)足題意；
當(dāng) k = -1時(shí)，不等式為8x + 3 0，不恒成立，不滿(mǎn)足題意；
2
ìk -1 0
當(dāng) k 2 -1 0時(shí)，則需要滿(mǎn)足 í 2 ， Δ =16 1- k - 4 k 2 -1 3 < 0
ì k -1 k +1 0
即 í k 1 k 7 0，解得1< k < 7， - - <
綜上所述， k 的范圍是 1,7 ，
故選：B.
12．（2024 2高二下·江西上饒·期中）已知命題“ $x0 R,4x0 + (a - 2)x
1
0 + 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍4
為（ ）
A． - ,0 B． 0,4
C． 4, + D． 0,4
【答案】D
【分析】根據(jù)題意可知該命題的否定是真命題，再根據(jù)一元二次不等式恒成立即可求解.
1
【詳解】由題意可知，命題“ $x0 R,4x
2
0 + (a - 2)x0 + 0 ”是假命題4
2 1
則該命題的否定“"x R,4x + (a - 2)x + >0 ”是真命題，
4
所以D = (a - 2)2 - 4<0，解得0 < a < 4 ；
故選：D.
13．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）已知 p : $x {x∣-1 < x < 3}, x2 - a - 2 0．若 p 為假命題，則 a 的取值范圍為( )
A．{a∣a < -2} B．{a∣a < -1} C．{a∣a < 7} D．{a∣a < 0}
【答案】A
【分析】根據(jù)命題為假，則命題的否定為真，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，列不等式求參.
【詳解】因?yàn)?p 為假命題，所以 p : "x {x∣-1 < x < 3}， x2 - a - 2 0為真命題，
故當(dāng)-1 < x < 3時(shí)， a < x2 - 2恒成立．
因?yàn)楫?dāng)-1 < x < 3時(shí)， y = x2 - 2的最小值為-2，
所以 a < -2，即 a 的取值范圍為{a∣a < -2}．
故選：A.
14．（2024 高三上·四川成都·階段練習(xí)）關(guān)于命題 p:“ $x N,6x2 - 7x + 2 0 ”，下列判斷正確的是（ ）
A． p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 B．該命題是存在量詞命題，且為真命題
C． p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 D．該命題是全稱(chēng)量詞命題，且為假命題
【答案】C
【分析】首先判斷所給的命題為存在命題，且為假命題，即可判斷 B，D 錯(cuò)誤，再寫(xiě)出所給命題的否命題即
可得到答案.
【詳解】6x2 - 7x + 2 0 3x - 2 2x -1 0 1 x 2，解得 ，
2 3
所以命題 :“ $x N,6x2 - 7x + 2 0 ”為存在命題，且為假命題，故 B，D 錯(cuò)誤；
命題 :“ $x N,6x2 - 7x + 2 0 ”的否命題為： p : "x N,6x2 - 7x + 2 0 .
故 C 正確.
故選：C
15．（2024 高二下·浙江溫州·學(xué)業(yè)考試）設(shè)命題 p :"x R ， (x - 2)(x + 3) 0，則 p為（ ）
x - 2
A． 0 ∈ ， (x0 - 2)(x0 + 3) 0 B． ∈
0
0 ， 0x0 + 3
x0 - 2C．"x R ， (x - 2)(x + 3) 0 D． 0 ∈ ， 0 x = -3x0 + 3
或 0
【答案】D
【分析】根據(jù)命題的否定的定義即可得到答案.
【詳解】根據(jù)命題的否定得任意變存在，結(jié)論相反，
p x ∈ 0
- 2
故 為 0 ， 0 x = -3x0 + 3
或 0 ，
故選：D.
16 2．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知命題 p : "x N*，總有 x + 2 0 ，則 p為（ ）
A $x N* x + 2 2． 0 ，使得 0 0 B．$x0 N*，使得 x0 + 2
2 0
C．"x N*
2
，總有 x + 2 0 D．"x N*，總有 x + 2 2 0
【答案】B
【分析】據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題可寫(xiě)出命題 p 的否定．
* 2
【詳解】根據(jù)全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題可知，則 p為$x0 N ，使得 x0 + 2 0 .
故選：B．
17．（2024 高一上·山西·階段練習(xí)）下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
①命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；
②命題“"x R ， x2 +1< 0 ”是全稱(chēng)量詞命題；
③命題“ $x R， x2 + 2x +1 0 ”是真命題；
④命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”是真命題.
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】①命題是全稱(chēng)量詞命題；②命題是全稱(chēng)量詞命題；③④，通過(guò)舉例得到命題是真命題.
【詳解】①命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱(chēng)量詞命題，不是存在量詞命題，所以該命題是假命題；
②命題“"x R ， x2 +1< 0 ”是全稱(chēng)量詞命題，所以該命題是真命題；
③命題$x R， x2 + 2x +1 0，如 x = -1，所以該命題是真命題；
④命題“有一個(gè)偶數(shù)是素?cái)?shù)”是真命題，如 2，所以該命題是真命題.
故選：D
18．（2024 高一·浙江·期末）命題 p : $x R,ax2 + 2ax - 4 0為假命題的一個(gè)充分不必要條件是（ ）
A． -4 < a 0 B．-4 a < 0 C．-3 a 0 D．-4 a 2
【答案】C
【解析】先化簡(jiǎn)命題 p 是假命題對(duì)應(yīng)的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷即得結(jié)果.
【詳解】命題 p : $x R,ax2 + 2ax - 4 0為假命題，即命題 p : "x R,ax2 + 2ax - 4 < 0為真命題，首先，a = 0
時(shí)， 4 < 0 2恒成立，符合題意；其次 a 0時(shí)， a < 0且D = 2a +16a < 0，即 -4 < a < 0，綜上可知，
-4 < a 0 .
故選項(xiàng) A 中， -4 < a 0是 -4 < a 0的充分必要條件；
選項(xiàng) B 中-4 a < 0推不出 -4 < a 0，且 -4 < a 0推不出-4 a < 0，即-4 a < 0是 -4 < a 0的既不充分
也不必要條件；
選項(xiàng) C 中-3 a 0可推出 -4 < a 0，且 -4 < a 0推不出-3 a 0，即-3 a 0是 -4 < a 0的一個(gè)充分
不必要條件；
選項(xiàng) D 中-4 a 2推不出 -4 < a 0，且 -4 < a 0可推出-4 a 2，即-4 a 2是 -4 < a 0的一個(gè)必要
不充分條件.
故選：C.
19．（2024 高三上·山東）已知命題 p： x0＞0， x + a -1 = 0，若 p 為假命題，則 a 的取值范圍是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，1] C．（1，+∞） D．[1，+∞）
【答案】D
【分析】根據(jù)命題的否定為真命題來(lái)解不等式處理.
【詳解】∵p 為假命題，
∴ p為真命題，
即： x＞0， x + a -1 0，
即 x 1- a ，
∴1- a 0，解得a 1．
∴a 的取值范圍是[1，+∞）．故 A，B，C 錯(cuò)誤.
故選：D．
20．（2024 高三上·山東聊城·階段練習(xí)）若“ $x [1,3], x2 - 2 a ”為真命題，則實(shí)數(shù) a 的最小值為（ ）
A．-2 B．-1 C．6 D．7
【答案】B
【分析】由題知 x2 - 2 [-1,7]，再根據(jù)題意求解即可.
【詳解】解：當(dāng) x [1,3]時(shí)， x2 [1,9]，所以 x2 - 2 [-1,7] .
因?yàn)槊}“ $x [1,3], x2 - 2 a ”為真命題，
所以 a -1，實(shí)數(shù) a 的最小值為-1.
故選：B
1
21．（2024 2高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）已知命題“ $x R，使 4x + a - 2 x + 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) a的取
4
值范圍是（ ）
A． 0,2 B． 0,1 C． 0,4 D． - , 4
【答案】C
2
【分析】根據(jù)題意可得“"x R ，使 4x + a - 2 x + 14 0 ”是真命題，再根據(jù)二次不等式恒成立滿(mǎn)足的判別
式關(guān)系求解即可.
Q “ $x R 4x2
1
【詳解】 命題 ，使 + a - 2 x + 0 ”是假命題，
4
\命題“"x R ，使 4x2 + a - 2 x + 14 0 ”是真命題，
則判別式Δ = (a
1
- 2)2 - 4 4 < 0，解得0 < a < 4 .
4
故選：C.
22．（2024 2高一上·河北邢臺(tái)·期末）命題 p : $x0 R，使得 kx0 - 6kx0 + k + 8 < 0成立.若 p 是假命題，則實(shí)數(shù) k
的取值范圍是（ ）
A． 0,1 B． 0,1
C． - ,0 1, + D． - ,0 1,+
【答案】A
【分析】根據(jù) p 是假命題，得出 p為真命題，利用恒成立知識(shí)求解.
【詳解】因?yàn)?p 是假命題，所以 p為真命題，即"x R ，使得 kx 2 - 6kx + k + 8 0 成立.
當(dāng) k = 0時(shí)，顯然符合題意；
當(dāng) k 0時(shí)，則有 k 0 ，且36k 2 - 4k k + 8 0，解得0 < k 1.
故選：A.
23．（2024 2高一上·江蘇泰州·期末）已知“ 0 ∈ ， x0 - x0 - a < 0 ”為真命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為（ ）
a 1 a 1 1 1A． - B． - C． a≤- D． a < -
4 4 4 4
【答案】A
2
【分析】由題知 a x - x min ，再根據(jù)二次函數(shù)求最值即可求解.
【詳解】因?yàn)槊}“ 0 ∈ ， x
2
0 - x0 - a < 0 ”為真命題，
“ ∈ a x2所以命題 0 ， 0 - x0 ”為真命題，
2
所以 x R 時(shí)， a x - x min ，
2
y x2 x x 1 1因?yàn)?= - = - ÷ - ，
è 2 4
1 1
所以當(dāng) x = 時(shí)， ymin = - ，2 4
1
所以 a - .
4
故選：A
24．（2024 高一上·山東濱州·階段練習(xí)）已知命題 p : $x R, x2 + (a -1)x +1< 0，若命題 p 是假命題，則 a 的
取值范圍為（ ）
A．1≤a≤3 B．－1≤a≤3
C．1【答案】B
【分析】由命題 p 是假命題，可知其否定為真命題，由此結(jié)合判別式列不等式，解得答案.
【詳解】由題意:命題 p : $x R, x2 + (a -1)x +1< 0是假命題,
其否定: p : "x R, x2 + (a -1)x +1 0為真命題,
即D = (a -1)2 - 4 0 ，解得-1 a 3，
故選：B
25．（2024 高一下·湖南邵陽(yáng)·階段練習(xí)）命題 p : "a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實(shí)根，則對(duì)命題 p
的真假判斷和 p正確的為（ ）
A．真命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0無(wú)實(shí)根
B．假命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0無(wú)實(shí)根
C．真命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實(shí)根
D．假命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實(shí)根
【答案】A
【分析】利用判別式判斷根的情況，進(jìn)而判斷命題真假，并寫(xiě)出否命題即可.
【詳解】在一元二次方程 x2 - ax -1 = 0中D=a2 + 4 0恒成立，故對(duì)任意 a，方程都有實(shí)根，
故命題 p 為真命題， p : $a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0無(wú)實(shí)根.
故選：A
26．（2024 高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）下列命題中既是全稱(chēng)量詞命題，又是真命題的是（ ）
A．菱形的四條邊都相等 B．$x N ，使 2x為偶數(shù)
C．"x R, x2 + 2x +1 0 D． π是無(wú)理數(shù)
【答案】A
【分析】根據(jù)全稱(chēng)量詞命題和特稱(chēng)量詞命題的定義以及真假判斷，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】對(duì)于 A，所有菱形的四條邊都相等，是全稱(chēng)量詞命題，且是真命題.
對(duì)于 B，$x N ，使 2x為偶數(shù)，是存在量詞命題.
對(duì)于 C，"x R, x2 + 2x +1 0 ，是全稱(chēng)量詞命題，當(dāng) x= -1時(shí)， x2 + 2x +1 = 0，故是假命題.
對(duì)于 D， π是無(wú)理數(shù)，是真命題，但不是全稱(chēng)量詞命題，
故選：A.
27．（2024 高一上·福建福州·期中）下列命題的否定是真命題的是（ ）
A．$m N, m2 +1 N
B．菱形都是平行四邊形
C．$a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0沒(méi)有實(shí)數(shù)根
D．平面四邊形 ABCD，其內(nèi)角和等于 360°
【答案】C
【分析】對(duì) A，特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題，由m = 0，計(jì)算即可判斷真假；對(duì) B，全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)
命題，再由菱形與平行四邊形的關(guān)系即可判斷真假；對(duì) C，全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，再由判別式的符號(hào)
即可判斷真假；對(duì) D，由四邊形的內(nèi)角和計(jì)算即可判斷原命題為真，特稱(chēng)命題的否定為全稱(chēng)命題為假命題．
【詳解】對(duì)于 A，$m N ， m2 +1 N ，其否定為："m N， m2 +1 N，
由m = 0時(shí)， 0 +1 =1 N ，則原命題為真命題，其否定為假命題，故 A 不正確；
對(duì)于 B，每個(gè)菱形都是平行四邊形，其否定為：存在一個(gè)菱形不是平行四邊形，
原命題為真命題，其否定為假命題，故 B 不正確；
對(duì)于 C，$a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0沒(méi)有實(shí)根，
其否定為："a R ，一元二次方程 x2 - ax -1 = 0有實(shí)根，
由D=a2 + 4 0，可得原命題為假命題，命題的否定為真命題，故 C 正確；
對(duì)于 D，平面四邊形 ABCD，其內(nèi)角和等于 360°為真命題，命題的否定為假命題，故 D 不正確；
故選：C.
28．（2024 高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）命題 p：“ $x R, ax2 + 2ax - 4 0 ”為假命題的一個(gè)充分不必要條件
是（ ）
A． -4 < a 0 B．-4 a < 0 C．-3 a 0 D．-4 a 0
【答案】C
【分析】先化簡(jiǎn)命題 p 是假命題對(duì)應(yīng)的范圍，再利用充分條件和必要條件的定義判斷即得結(jié)果.
【詳解】命題 p : $x R, ax2 + 2ax - 4 0為假命題，即命題 p : "x R, ax2 + 2ax - 4 < 0為真命題，首先，a = 0
時(shí)， 4 < 0恒成立，符合題意；其次 a 0時(shí)， a < 0且D = 2a 2 +16a < 0，即 -4 < a < 0，綜上可知，
-4 < a 0 .
故選項(xiàng) A 中， -4 < a 0是 -4 < a 0的充分必要條件；
選項(xiàng) B 中-4 a < 0推不出 -4 < a 0，且 -4 < a 0推不出-4 a < 0，即-4 a < 0是 -4 < a 0的既不充分
也不必要條件；
選項(xiàng) C 中-3 a 0可推出 -4 < a 0，且 -4 < a 0推不出-3 a 0，即-3 a 0是 -4 < a 0的一個(gè)充分
不必要條件；
選項(xiàng) D 中-4 a 0推不出 -4 < a 0，且 -4 < a 0可推出-4 a 0，即-4 a 0是 -4 < a 0的一個(gè)必要
不充分條件.
故選：C.
二、多選題
29．（2024 高一上·陜西西安·期末）關(guān)于命題“ $a N, a2 + a 0 ”，下列判斷正確的是（ ）
A．該命題是全稱(chēng)量詞命題 B．該命題是存在量詞命題
C．該命題是真命題 D．該命題是假命題
【答案】BC
【分析】根據(jù)存在量詞命題、全稱(chēng)量詞命題概念判斷 AB，再由命題真假判斷 CD.
【詳解】Q$a N, a2 + a 0是存在量詞命題，
\A 選項(xiàng)錯(cuò)誤 B 選項(xiàng)正確；
Qa = 0時(shí)， a2 + a 0成立，
\命題為真命題，即 C 正確 D 錯(cuò)誤.
故選：BC
30．（2024 高三上· 2山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）命題“ $x0 R ，使mx0 - (m + 3)x0 + m 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) m 的取
值可以為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】CD
【分析】由題可得"x R ，使mx2 - (m + 3)x + m 0是真命題，然后分類(lèi)討論結(jié)合二次不等式的解法即得.
【詳解】若$x0 R ，使mx
2
0 - (m + 3)x0 + m 0是假命題，
則"x R ，使mx2 - (m + 3)x + m 0是真命題，
當(dāng) =0時(shí)，mx2 - (m + 3)x + m 0轉(zhuǎn)化-3x 0，不合題意；
ìm>0
當(dāng)m 0 時(shí)，則 í

，
m+3 2 - 4m2 <0
解得m 3，
綜上，m 3 .
故選：CD.
31．（2024 高一上·山東泰安·期中）命題“ $x 1, 2 ， 2x2 - a 0 ”為真命題的一個(gè)必要不充分條件是（ ）
A． a 2 B． a 0 C． a 1 D． a 2 2
【答案】BC
【分析】先化簡(jiǎn)命題得到 a 2，再利用充分、必要條件的定義分析判斷得解.
【詳解】解：由題得 2 12 - a 0，\a 2 .
因?yàn)?a 2是 a 2的充要條件，a 0是 a 2的必要非充分條件，a 1是 a 2的必要非充分條件，a 2 2
是 a 2的非充分非必要條件.
故選：BC
32．（2024 高一上·湖南婁底·期末）命題 p : $x R， x2 - x +1 = 0．命題 q：任意兩個(gè)等邊三角形都相似．關(guān)
于這兩個(gè)命題，下列判斷正確的是（ ）
A．p 是真命題 B． p : "x R， x2 - x +1 0
C．q 是真命題 D． ：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似
【答案】BCD
【分析】根據(jù)根的判別式可判斷命題 p 的真假，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)判斷命題 q的真假，從而判斷 AC，
根據(jù)命題的否定可判斷 BD.
2
【詳解】對(duì)于方程 x2 - x +1 = 0，D = -1 - 4 1 1 = -3 < 0 ,
所以"x R ， x2 - x +1 = 0無(wú)解，故 p 是假命題，故 A 錯(cuò)誤；
p : "x R， x2 - x +1 0，故 B 正確；
任意兩個(gè)等邊三角形都相似，故 q 是真命題，故 C 正確；
：存在兩個(gè)等邊三角形，它們不相似，故 D 正確.
故選:BCD.
33．（2024 高一上·山東·期末）已知命題 p : $x R， ax2 - x +1 = 0，若 p 為真命題，則實(shí)數(shù) a 的值可以是
（ ）
1 1
A．- B．0 C
1
． 4 D．4 2
【答案】ABC
【分析】根據(jù)條件，可知方程 ax2 - x +1 = 0有實(shí)根，分 a = 0和 a 0兩種情況，求出 a的范圍，再結(jié)合選項(xiàng)
得到 a的值即可.
【詳解】因?yàn)?x R， ax2 - x +1 = 0為真命題，所以方程 ax2 - x +1 = 0有實(shí)根.
當(dāng) a = 0時(shí)， x =1符合題意；
當(dāng) a
1
0時(shí)，由方程 ax2 - x +1 = 0有實(shí)根，可得D = (-1)2 - 4a 0，所以 a .4
1 1
綜上，實(shí)數(shù) a的值可以是- ，0 和 .
4 4
故選:ABC.
34．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列命題的否定為假命題的是（ ）
A．對(duì)任意的 x R x2
1
， - x + ≥04
B．所有的正方形都是矩形
C．存在 x R,x2 + 2x + 2 0
D．至少有一個(gè)實(shí)數(shù) x，使 x3 +1 = 0
【答案】ABD
【分析】根據(jù)全稱(chēng)命題以及特稱(chēng)命題的否定，即可寫(xiě)出每個(gè)選項(xiàng)中命題的否定，繼而判斷真假.
2 1
【詳解】A 中命題的否定：存在 x R, x - x + < 0，
4
x2 1 1由于 - x + = (x - )2 0，故該命題是假命題．
4 2
B 中命題的否定：至少存在一個(gè)正方形不是矩形，是假命題．
C 中命題的否定：對(duì)任意的 x R,x2 + 2x + 2 0，
由于 x2 + 2x + 2 = (x +1)2 +1 0 ，該命題是真命題．
D 中命題的否定：對(duì)任意的 x R, x3 +1 0，
因?yàn)?x = -1時(shí)， x3 +1 = 0，故該命題是假命題．
故選：ABD
35．（2024 高一上·河北石家莊·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題的否定為真命題的是（　　）
A．p:所有四邊形的內(nèi)角和都是360°
B．q: $x R , x2 + 2x + 2 0
C． r : $x x x是無(wú)理數(shù) ， x2是無(wú)理數(shù)
D．s:對(duì)所有實(shí)數(shù) a，都有 a 0
【答案】BD
【分析】A 選項(xiàng)，判斷出 p 為真命題；B 選項(xiàng)，寫(xiě)出 ，得到其為真命題；C 選項(xiàng)，舉出反例得到 r 為真命
題；D 選項(xiàng)，舉出反例得到 s為假命題.
【詳解】A 選項(xiàng)，所有四邊形的內(nèi)角和都是360°，故 p 為真命題，則 p為否命題，A 錯(cuò)誤；
B 選項(xiàng)， q : "x R ， x2 + 2x + 2 0，由于 x2 + 2x + 2 = x +1 2 +1 0，故 為真命題，B 正確；
C 選項(xiàng)，當(dāng) x = π 時(shí)， x2也是無(wú)理數(shù)，故 r 為真命題，則 r 為假命題，C 錯(cuò)誤；
D 選項(xiàng)，當(dāng) a = 0時(shí)， a = 0，故 s為假命題，故 s 為真命題，D 正確.
故選：BD
36．（2024 高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）下列說(shuō)法中正確的有（ ）
A．命題“ $x R ， x2 + 4x + 4 0 ”是存在量詞命題
B．命題“"x R，x2 + 2 < 0 ”是全稱(chēng)量詞命題
C．命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題
D．命題“不論m 取何實(shí)數(shù)，方程 2 + = 0必有實(shí)數(shù)根”是真命題
【答案】AB
【分析】根據(jù)存在量詞命題與全稱(chēng)量詞命題的定義逐個(gè)選項(xiàng)判斷即可.
【詳解】對(duì) A，命題中含“ $x R ”，故命題是存在量詞命題，A 正確；
對(duì) B，命題中含“"x R ”，故命題是全稱(chēng)量詞命題，B 正確；
對(duì) C，命題中含“所有的”，故命題是全稱(chēng)量詞命題，C 錯(cuò)誤；
對(duì) D，當(dāng)m = -1時(shí)， x2 + x +1 = 0無(wú)實(shí)數(shù)根，D 錯(cuò)誤；
故選：AB
37．（2024 高一上·廣東江門(mén)·期中）下列命題中，是存在量詞命題且為真命題的有（ ）
A．中國(guó)所有的江河都流入太平洋 B．有的四邊形既是矩形，又是菱形
C．存在 x R ，有 x2 + x +1 = 0 D．有的數(shù)比它的倒數(shù)小
【答案】BD
【分析】選項(xiàng) A 是全稱(chēng)量詞命題，排除；選項(xiàng) C 為假命題，排除；選項(xiàng) B D 滿(mǎn)足；得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng) A：中國(guó)所有的江河都流入太平洋是全稱(chēng)量詞命題，排除；
對(duì)選項(xiàng) B：有的四邊形既是矩形，又是菱形是存在量詞命題且為真命題，比如正方形，正確；
2
對(duì)選項(xiàng) C 1 3：存在 x R ，有 x2 + x +1 = 0是存在量詞命題且為假命題，因?yàn)?x2 + x +1 = x + 2 ÷
+ 0 恒成立，
è 4
排除；
1
對(duì)選項(xiàng) D：有的數(shù)比它的倒數(shù)小是存在量詞命題且為真命題，比如 ，正確；
2
故選：BD
38．（2024 高一上·湖南長(zhǎng)沙·期中）下列命題中正確的是（ ）
A．已知集合M , P滿(mǎn)足命題“"x1 M ,$x2 P, x1 - x2 = 0 ”為真命題，則M P
B．已知集合M , P滿(mǎn)足命題“"x1 M ,$x2 P, x
2 - x21 2 = 0 ”為真命題，則M P
C．已知集合M 滿(mǎn)足命題“ $x M , x2 - x < 2”為真命題，則M x -1 < x < 2
D．已知集合M 滿(mǎn)足命題“ $x M , x -1 1”為假命題，則M x 0 < x < 2
【答案】AD
【分析】結(jié)合命題的真假性對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，由此確定正確選項(xiàng).
【詳解】A， “"x1 M ,$x2 P, x1 - x2 = 0 ”為真命題， x2 = x1 ,則M P ，A 正確.
B “"x M ,$x P, x2 - x2， 1 2 1 2 = x1 + x2 x1 - x2 = 0”為真命題，x2 = x1 或 x2 = -x1，所以M , P不一定有包含關(guān)
系，B 錯(cuò)誤.
C 2，“ $x M , x2 - x < 2”為真命題， x - x - 2 = x - 2 x +1 < 0,-1< x < 2，如M = R 符合，所以 C 錯(cuò)誤.
D，“ $x M , x -1 1”為假命題，“"x M , x -1 <1”為真命題，-1 < x -1<1，0 < x < 2，則
M x 0 < x < 2 ，D 正確.
故選：AD
39．（2024 高一上·山西運(yùn)城·期中）命題“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命題的一個(gè)充分不必要條件是
（ ）
A．0 m 3 B．1 ≤ ≤ 2 C．-1≤m≤3 D．0 < m < 3
【答案】BD
【分析】根據(jù)命題“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命題求出 m 的取值范圍，結(jié)合充分不必要條件與集合
之間的包含關(guān)系，即可判斷出答案.
【詳解】命題“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命題,
則m2 - 3m (-x2 )max , (-1 x 2)，當(dāng) x = 0時(shí)， 2取得最大值 0，
即m2 - 3m 0，即0 m 3，
結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)，有[1, 2], (0,3)是集合[0,3]的真子集，
故命題“ $-1 x 2, x2 + m2 - 3m 0 ”是真命題的一個(gè)充分不必要條件可以是1 ≤ ≤ 2或0 < m < 3，
故選：BD .
三、填空題
40．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）命題“"x R ， x2 +1 2x ”的否定是 .
【答案】$x R， x2 +1< 2x
【分析】利用全稱(chēng)命題的否定形式變換即可.
【詳解】由全稱(chēng)命題的否定形式可得：“"x R ， x2 +1 2x ”的否定是
“ $x R， x2 +1< 2x ”.
故答案為：$x R， x2 +1 < 2x .
41．（山東省棗莊市 2023-2024 2學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）已知“ 0 ∈ ，ax0 +1< 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù)
a 的取值范圍是 .
【答案】 0, +
【分析】寫(xiě)出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.
【詳解】因命題“ ∈ ax20 ， 0 +1< 0 ”為假命題，則命題“"x R ， ax2 +1 0 ”為真命題，
當(dāng) a = 0時(shí)，1 0恒成立，則 a = 0；
ìa 0
當(dāng) a 0時(shí)，必有 í ，解得 a 0，
Δ = -4a 0
綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 0, + .
故答案為： 0, +
42．（2024 高一上·山東臨沂·期末）若 p : "x R, mx2 - 2mx + 2 0為真命題，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 .
【答案】 0,2
【分析】根據(jù)題意，分m = 0與m 0 分別討論，列出不等式求解，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?p : "x R, mx2 - 2mx + 2 0為真命題，
當(dāng)m = 0時(shí)，即 2 0 ，成立；
ìm 0
當(dāng)m 0 時(shí)，即 í ，解得0 < m < 2
Δ = 4m
2 -8m < 0
綜上所述，m 的取值范圍是 0,2
故答案為: 0,2
43．（2024 高三下·廣東·階段練習(xí)）若命題“ $x R,x2 + mx + 2m - 3 < 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 ．
【答案】[2，6]
【分析】寫(xiě)出命題的否定，利用不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)建立不等關(guān)系，即可求出實(shí)數(shù) m 的取
值范圍.
【詳解】由命題“ $x R,x2 + mx + 2m - 3 < 0 ”的否定為“"x R,x2 + mx + 2m - 3 0 ”，
因?yàn)槊}“ $x R,x2 + mx + 2m - 3 < 0 ”為假命題，則“"x R,x2 + mx + 2m - 3 0 ”為真命題，
所以D = m2 - 4(2m - 3) 0 ，解得 2 m 6，
則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 2,6 .
故答案為： 2,6 .
44．（2024 高二上·四川成都·階段練習(xí)）命題 p ：“ $x R ， ax2 + 2ax - 4 0 ”為假命題，則 a的取值范圍
是 ．
【答案】 -4 < a 0
【分析】由“ $x R ，ax2 + 2ax - 4 0 ”為假命題得到“"x R ，ax2 + 2ax - 4 < 0 ”為真命題，然后分類(lèi)討論 a = 0
和 a 0兩種情況，列不等式求解即可.
【詳解】“ $x R ， ax2 + 2ax - 4 0 ”為假命題則“"x R ， ax2 + 2ax - 4 < 0 ”為真命題，
①當(dāng) a = 0時(shí)， 4 < 0，成立；
ìa < 0
②當(dāng) a 0時(shí)， í ，解得 -4 < a < 0Δ 0 ； <
綜上所述， -4 < a 0 .
故答案為： -4 < a 0 .
45．（2024 高一上·湖北黃岡·階段練習(xí)）命題 p ："x x | -2 x -1 ，-x2 + mx -1 0為真命題的一個(gè)充分
條件是 ．
【答案】m m | m 0 （不唯一，集合 m | m -2 的子集即可）
【分析】根據(jù)題意，求解命題 p 為真命題時(shí)，m 的取值范圍，進(jìn)而根據(jù)充分條件的概念求解即可.
【詳解】解：因?yàn)椋瑢?duì)于"x x | -2 x -1 ，-x2 + mx -1 0為真命題，
所以，對(duì)于"x x | -2 x -1 ，-x2 + mx -1 0恒成立，
1
所以，對(duì)于"x x | -2 x -1 ， + x m恒成立，
x
y 1因?yàn)椋瑢?duì)勾函數(shù) = + x, x -2, -1 的最大值為-2，
x
所以，對(duì)于"x x | -2 x -1 1， + x m恒成立，則m -2
x
所以，命題 p 為真命題時(shí)，m 的取值范圍是 m | m -2 ，
所以，命題 p ："x x | -2 x -1 ， -x2 + mx -1 0為真命題的一個(gè)充分條件可以是 m | m 0 （不唯一，
集合 m | m -2 的子集即可）
故答案為：m m | m 0 （不唯一，集合 m | m -2 的子集即可）
46．（2024高二下·河北保定·期末）已知命題“ $x [-6,-1]，x2 - mx + 4…0 ”是假命題，則m的取值范圍是 .
, 20【答案】 - -

è 3 ÷
【分析】假命題的否定為真命題，轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題，再利用分離參數(shù)法處理.
4
【詳解】由題意可知命題“"x [-6, -1]， x2 - mx + 4 < 0 ”是真命題，即"x [-6, -1]，m < x + .因?yàn)閤
6 x 1 20 x 4 20- - ，所以- + - 4，則m < - .
3 x 3
20
故答案為：m < - .
3
47．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 A = x | 0 x a ，集合B = x | m2 + 3 x m2 + 4 ，如果命題
“ $m R ， AI B ”為假命題，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 .
【答案】 - ,3 / a < 3 / a a < 3
【分析】先由題意得到“"m R， AI B = ”為真命題，討論 a < 0和 a 0兩種情況，即可求出結(jié)果.
【詳解】命題“ $m R ， AI B ”為假命題，則其否定“"m R， AI B = ”為真命題.
當(dāng) a < 0時(shí)，集合 A = ，符合 AI B = .
當(dāng) a 0時(shí)，因?yàn)閙2 + 3 0，
所以由"m R， AI B = ，得 a < m2 + 3對(duì)于任意m R 恒成立，
又m2 + 3 3，所以0 a < 3 .
綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 - ,3 .
故答案為： - ,3 .
48．（2024 高一上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）若命題 p ：“ $x R， ax2 - 2ax - 2 0 ”是假命題，則實(shí)數(shù) a的取值
集合為 .
【答案】 -2,0
【分析】命題與命題的否定真假性相反，分類(lèi)討論即可.
【詳解】由題知，命題 p ：“ $x R， ax2 - 2ax - 2 0 ”是假命題
所以"x R ， ax2 - 2ax - 2 < 0是真命題，
當(dāng) a = 0時(shí)，-2 < 0恒成立，滿(mǎn)足題意，
ì a < 0
當(dāng) a 0時(shí)，由題意知 í
Δ = -2a
2 ，- 4a (-2) < 0
解得-2 < a < 0，
綜上可得-2 < a≤0 ，
故答案為： -2,0
49 2024 · · “ $x R, x2．（ 高一上 重慶 期末）若命題 0 0 + x0 - a = 0 ”為假命題，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 ．
, 1- - 【答案】 ÷
è 4
2
【分析】命題“ $x0 R, x0 + x0 - a = 0 ”為假命題，等價(jià)于“方程 x2 + x - a = 0 無(wú)實(shí)根”，則D =1+ 4a < 0，求解
即可．
【詳解】命題“ $x0 R, x
2
0 + x0 - a = 0 ”為假命題，等價(jià)于“方程 x2 + x - a = 0 無(wú)實(shí)根”，
1 1
則D =1+ 4a < 0，解得 a < - ，即實(shí)數(shù) a的取值范圍為 - , - ．
4 ֏ 4
1
故答案為： - , -

÷．
è 4
50．（2024·吉林·二模）命題“ $x R， ax2 + x +1< 0”為假命題，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 .
1
【答案】 a
4
【分析】
分析可知命題“"x R ， ax2 + x +1 0 ”為真命題，對(duì)實(shí)數(shù) a的取值進(jìn)行分類(lèi)討論，在 a = 0時(shí)，直接驗(yàn)證即
可；當(dāng) a 0時(shí)，根據(jù)二次不等式恒成立可得出關(guān)于實(shí)數(shù) a的不等式組，綜合可得出實(shí)數(shù) a的取值范圍.
【詳解】由題意可知，命題“"x R ， ax2 + x +1 0 ”為真命題.
當(dāng) a = 0時(shí)，由 x +1 0可得 x -1，不合乎題意；
ìa 0
當(dāng) a 0
1
時(shí)，由題意可得 í a
Δ =1- 4a 0
，解得 .
4
因此，實(shí)數(shù) a
1
的取值范圍是 a .
4
1
故答案為： a .
4
四、解答題
51．（2024 高一上·云南昭通·階段練習(xí)）命題 p："x x 3 x 5 ， x - a 0 .在① $x R， ax2 + 2x +1 = 0；
②存在集合 A = x 2 < x < 4 ，集合 B = x a < x < 2a ，使得 AI B = ，這 2 個(gè)條件中任選一個(gè)作為命題 q，
并求解下列問(wèn)題.
(1)若命題 p 是真命題，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；
(2)若命題 p 和命題 q都是真命題，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
【答案】(1) - ,3 ；
(2)選擇①②，都有 a - ,1 .
【分析】（1）根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)，即可容易求得參數(shù)的范圍；
（2）選擇不同的條件，根據(jù)方程有根，以及集合之間的關(guān)系，即可求得命題 q為真的條件，再和（1）中所
求取交集即可.
【詳解】（1）根據(jù)題意，"x x 3 x 5 ， x - a 0恒成立，
即 a x恒成立，只需 a 3，故 a - ,3 .
（2）選擇①：$x R， ax2 + 2x +1 = 0，
若 a = 0，顯然滿(mǎn)足題意；
若 a 0，D = 4 - 4a≥0，解得a 1，
故命題 q為真時(shí)， a - ,1 ，
根據(jù)（1）中所求，若命題 p 和命題 q都是真命題，
則 a - ,1 ；
選擇②：存在集合 A = x 2 < x < 4 ，集合B = x a < x < 2a ，使得 AI B = ，
當(dāng) a 2a，即 a 0時(shí)，B = ，顯然滿(mǎn)足題意；
當(dāng) a < 2a，即 a 0時(shí)，只需 2a≤2或 a 4，解得 a 0,1 4,+ .
故命題 q為真時(shí)， a - ,1 4,+ .
根據(jù)（1）中所求，若命題 p 和命題 q都是真命題，
則 a - ,1 .
52．（2024 高一上·陜西安康·階段練習(xí)）已知全集 = ，集合 A = {x |1 < x 3}，集合B = {x | 2m < x <1- m}．
(1)若 AI B B ，求實(shí)數(shù)m 的范圍；
(2)若"x1 A，$x2 B ，使得 x1 = x2 ，求實(shí)數(shù)m 的范圍．
1
【答案】(1) (- , )
3
(2) (- ,-2)
【分析】
（1）可先求出 AI B = B，即B A時(shí)m 的范圍，即可求解；
（2）先得到 A B ，再列出不等式，即可求解
【詳解】（1）若 AI B = B，則B A，
當(dāng)B = 時(shí)，則 2m 1
1
-m，\m ，
3
ì2m <1- m

當(dāng)B 時(shí)，則 í2m 1 ，則m 不存在，

1- m 3
m 1綜上， ，\ AI B B，實(shí)數(shù)m
1
的范圍為 (- , ) ．
3 3
（2）Q"x1 A，$x2 B ，使得 x1 = x2 ，
\ A B ，且 ≠ ，
ì2m 1
則 í1 m 3，
\m < -2，
-
\實(shí)數(shù)m 的范圍為 (- ,-2) ．
53．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 A = x -2 x 5 ，B = x m +1 x 2m -1 ，且B ．
(1)若命題 p ：“"x B， x A”是真命題，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
(2)若命題 q：“ $x A， x B ”是真命題，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍。
【答案】(1) 2 m 3
(2) 2 m 4
【分析】（1）命題 p 可轉(zhuǎn)化為B A，又B ，列出不等式控制范圍，即得解；
（2）命題 q可轉(zhuǎn)化為 AI B ，先求解 AI B = ，且 B 時(shí)，實(shí)數(shù)m 的范圍，再求解對(duì)應(yīng)范圍的補(bǔ)集，
即得解
【詳解】（1）因?yàn)槊} p ：“"x B， x A”是真命題，所以B A，又B ，
ìm +1 2m -1

所以 ím +1 -2 ，解得 2 m 3

2m -1 5
（2）因?yàn)锽 ，所以m +1 2m -1，得m≥ 2 ．
又命題 q：“ $x A， x B ”是真命題，所以 AI B ，
若 AI B = ，且B 時(shí)，則 2m -1< -2或m +1 5，且m≥ 2
即m 4
故若 AI B ，且B 時(shí)，有 2 m 4
故實(shí)數(shù)m 的取值范圍為 2 m 4
54．（2024 高一上·福建廈門(mén)·期中）已知命題 p : $x R， ax2 + 2x -1= 0為假命題．
(1)求實(shí)數(shù) a 的取值集合 A；
(2)設(shè)集合B = x 6m - 4 < 2x - 4 < 2m ，若“ x A”是“ x B ”的必要不充分條件，求 m 的取值范圍．
【答案】(1) A = a a < -1
(2) ≤ 3或 ≥ 1
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程無(wú)解的條件即D < 0求解即可；
（2）根據(jù)題意先求得 B A ，再分情況求得m 的范圍即可．
【詳解】（1）解：命題 p 的否命題為"x R ， ax2 + 2x -1 0為真，
\a 0 且Δ = 4 + 4a < 0，
解得 a < -1．
∴ A = a a < -1 ．
（2）解：由6m - 4 < 2x - 4 < 2m 解得
3m< x若“ x A”是“ x B ”的必要不充分條件，
則 B A ，
∴當(dāng)B = 時(shí)，即3m m + 2，
解得 ≥ 1；
當(dāng)m <1時(shí)，m + 2 -1，
解得 ≤ 3，
綜上： ≤ 3或 ≥ 1．
55．（2024 高一上·河南許昌·階段練習(xí)）已知命題 p：“ $x R，使不等式 x2 - 2x - m 0成立”是假命題．
(1)求實(shí)數(shù) m 的取值集合 A；
(2)若 q : -4 < m - a < 4是 p的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
【答案】(1) - ,-1
(2) - , -5
【分析】（1）把特稱(chēng)命題轉(zhuǎn)化為全稱(chēng)命題，即可根據(jù)一元二次不等式恒成立問(wèn)題得出答案；
（2）利用充分條件和必要條件的關(guān)系以及不等式的解法求出結(jié)果.
【詳解】（1）命題 p：“ $x R，使不等式 x2 - 2x - m 0成立”是假命題，
則“"x R ，使不等式 x2 - 2x - m 0恒成立”是真命題，
故D = 4 + 4m < 0，解得m < -1，
故m - ,-1 ，即 A = - , -1 .
（2）由于命題： q : -4 < m - a < 4，整理得： a - 4 < m < 4 + a，
由小問(wèn) 1 得 p：m < -1，
由于 q是 p的充分不必要條件，
所以 a + 4 -1，解得 a -5，
故實(shí)數(shù) a的取值范圍為 - , -5 .
56．（2024 高二上·河北張家口·階段練習(xí)）已知命題 p :"x R ， x2 + 2m - 3 0，命題 q : $x0 R ，
x20 - 2mx0 + m + 2 < 0 .
(1)若命題 p 為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
(2)若命題 q 為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍；
(3)若命題 p，q 至少有一個(gè)為真命題，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍.
【答案】(1) ìím | m
3
ü
2
(2){m | m < -1或m 2}
ì 3ü
(3) ím m < -1或m 2
2
【分析】（1），可轉(zhuǎn)化個(gè)3 - 2m < x ；
mi n
（2），可轉(zhuǎn)化成方程 x2 - 2mx + m + 2 = 0有兩不等實(shí)根；
（3），即 p 或 q 為真命題，結(jié)合（1）（2）即可得到答案
【詳解】（1）若命題 p 為真命題，則 x2 3 - 2m 對(duì) x R 恒成立，
即3 - 2m < x2 ，因此3 - 2m < 0 3，解得m .
mi n 2
ì
因此，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ím | m
3
ü
2 .
（2）若命題 q 為真命題，則方程 x2 - 2mx + m + 2 = 0有兩不等實(shí)根，
所以D = (-2m)2 - 4(m + 2) 0 ，則m2 - m - 2 0，解得m < -1或m>2 .
因此，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是{m | m < -1或m 2} .
（3）若命題 p，q 至少有一個(gè)為真命題，即 p 或 q 為真命題，
ì 3ü 3
則結(jié)合（1）（2）得m ím | m {m | m < -1或m 2} m
ì
ím m < -1 m
ü
或 ，
2 2


ì
因此，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ím m < -1
3ü
或m
2
57．（2024 高一上·內(nèi)蒙古·階段練習(xí)）已知命題 q :“ $x 滿(mǎn)足-2 < x < 2，使 x2 - 2x - a = 0”，
(1)命題 :“ $x R, x2 + a -1 x + 4 < 0 ”，若命題 , 中至少一個(gè)為真，求實(shí)數(shù) a的范圍.
(2)命題 p : 2a < x < a +1，若 p 是 q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù) a的范圍.
【答案】(1) a a < -3或 a -1 ；
é 1- , + (2) ê 2 ÷
【分析】（1）先求出命題 , 為真和假時(shí) a的取值范圍，由此可得命題 , 都為假命題時(shí) a的取值范圍，進(jìn)而
即可求解；
（2）記 A = -1,8 , B = 2a, a +1 ，由題意可得 B A ，由集合的包含關(guān)系，分類(lèi)討論即可求解；
【詳解】（1）命題 q :“ $x 滿(mǎn)足-2 < x < 2，使 x2 - 2x - a = 0”，為真命題時(shí)，
a x2 2x f x = x2= - ，令 - 2x, -2 < x < 2 ，則-1 f x < 8，
所以-1 a < 8，
所以命題 q為假時(shí)，則 a < -1或 a 8，
:“ $x R, x2命題 + a -1 x + 4 < 0 ”，為真命題時(shí)，
D = a -1 2 - 4 4 0，解得 a < -3或 a 5，
所以命題 q為假時(shí)，則-3 a 5，
ì-3 a 5
又因?yàn)槊} , 都為假命題時(shí)， í
a < -1或a 8
，
即-3 a < -1，
所以命題 , 中至少一個(gè)為真時(shí)，實(shí)數(shù) a的范圍是 a a < -3或 a -1 ；
（2）由（1）可知：命題 q為真命題時(shí)，-1 a < 8，
記 A = -1,8 , B = 2a, a +1
因?yàn)?p 是 q的充分不必要條件，
所以 B A ，
當(dāng)B = 即 2a a +1，也即a 1時(shí)，滿(mǎn)足條件；
當(dāng)B 時(shí)，
ì2a < a +1
2a -1 1í ，解得- a <1；
2
a +1 8
é 1
綜上可知：實(shí)數(shù) a的范圍是 ê- , + 2 ÷

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