資源簡介

1.4 充分條件與必要條件 5 題型分類
一、充分條件與必要條件
充分條件與必要條件
“若 p，則 q”為真命題 “若 p，則 q”為假命題
推出關系 p q p q
p 是 q 的充分條件 p 不是 q 的必要條件
條件關系
q 是 p 的充分條件 q 不是 p 的必要條件
判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件
定理關系
性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件
【特別提醒】
對充分條件和必要條件的理解：
1
(1)對“推出”的正確理解：對于命題 p：∠A＝30°，q：sin A＝ .顯然 p 可以推出 q，記為 p q，而 q 是不能
2
推出 p 的．
(2)若 p q，則 p 是 q 的充分條件．所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠
的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成立”．
(3)若 p q，則 q 是 p 的必要條件．所謂必要，就是條件是必須有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成
立，無之必不成立”．
（4）以下五種表述形式是等價的：①p q；②p 是 q 的充分條件；③q 的充分條件是 p；④q 是 p 的必要
條件；⑤p 的必要條件是 q。
二、充要條件
充要條件
(1)如果“若 p，則 q”和它的逆命題“若 q，則 p”均是真命題，即既有 p q，又有 q p，就記作 p q，此時，
p 既是 q 的充分條件，也是 q 的必要條件，我們就說 p 是 q 的充分必要條件，簡稱為充要條件．
(2)如果 p 是 q 的充要條件，那么 q 也是 p 的充要條件．概括地說，如果 p q，那么 p 與 q 互為充要條件．
【特別提醒】
（1）若 p 是 q 的充要條件，則 p q，即命題 p 和 q 是兩個相互等價的命題。
（2）“p 是 q 的充要條件”與“p 的充要條件是 q”的區別是：若 p 是 q 的充要條件說明 p 是條件，q 是結論；
若 p 的充要條件是 q 說明 q 是條件，p 是結論．
三、從集合的角度理解充分與必要條件
若 p 以集合 A的形式出現， q 以集合 B 的形式出現，即 p ： A {x | p(x)}， q ： B {x | q(x)}，則
（1）若 A B ，則 p 是 q 的充分條件；
（2）若 B A，則 p 是 q 的必要條件；
（3）若 A B ，則 p 是 q 的充分不必要條件；
（4）若 B A，則 p 是 q 的必要不充分條件；
（5）若 A B ，則 p 是 q 的充要條件；
（6）若 A B 且 B A，則 p 是 q 的既不充分也不必要條件.
四、充分性必要性高考高頻考點結構
（1） p 是 q 的充分不必要條件 p q 且 q p（注意標志性詞：“是”，此時 p 與 q 正常順序）
（2） p 的充分不必要條件是 q q p 且 p q（注意標志性詞：“的”，此時 p 與 q 倒裝順序）
（一）
命題的概念及結構
命題的定義:一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫命題，判斷為真的語句
是真命題，判斷為假的語句是假命題.命題的表示：命題表示為“若 p，則 q”時，p 是命題的條件，q 是命題
的結論.
題型 1：命題真假的判斷
1-1．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）對于任意兩個集合 A 與 B，下列命題中是假命題的是（ ）
A．若 A B A，則 A B B．若 AU B A，則 A B
C．若 A B ，B A，則 A B D．若 AI B ，則 A 或B
1-2．（2024·山東·二模）下列命題是真命題的是（ ）
A．5 > 2且7 > 8 B．3 > 4或3 < 4
C．9 7 D．方程 x2 - 3x + 4 0 有實根
1-3．（2024·河南平頂山·模擬預測）下列結論錯誤的是（ ）
A．不大于 0 的數一定不大于 1
B．367 人中一定有同月同日出生的兩個人
C．如果今天是星期五，那么 2000 天后是星期四
D．若點 P 到VABC 三邊的距離相等，則 P 未必是VABC 的內心
1-4．（2024 高一上·重慶·期中）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．如果 a > b，那么 a2 > b2 B．如果 a > b，那么 ac2 > bc2
a b
C．如果a > b,c > d ，那么 > D．如果 a > b,c < d ，那么 a - c > b - d
d c
（二）
充分、必要條件的判斷
1、充分條件的判斷
(1)判定 p 是 q 的充分條件要先分清什么是 p，什么是 q，即轉化成 p q 問題．
(2)除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關系判斷，若 p 構成的集合為 A，q 構成的集合為 B，
A B，則 p 是 q 的充分條件．
(3)關鍵是將判斷命題中條件與結論的關系轉化為判斷集合間的包含關系，解題時注意充分條件與必要條件
的概念，謹防將兩者弄顛倒；解決集合間的包含關系時，利用數軸的直觀性可優化解題過程，同時要注意
端點值的取舍.
2、必要條件的判斷
(1)判斷 p 是 q 的什么條件，主要判斷若 p 成立時，能否推出 q 成立，反過來，若 q 成立時，能否推出 p 成
立；若 p q 為真，則 p 是 q 的充分條件，若 q p 為真，則 p 是 q 的必要條件．
(2)也可利用集合的關系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若 A B，則甲是乙的必要條件．
3、判斷 p 是 q 的什么條件,通常有如下兩種方法:
(1)定義法，即把題目中所給條件按邏輯關系畫出箭頭示意圖，再用定義進行判斷，這是最常用、最基本的
方法.通常對 p q 要予以證明，p q 可舉反例說明.
(2)集合法，利用集合間包含關系進行判斷，常用于一些范圍問題.
題型 2：充分、必要條件的判斷
2-1．（2024 高一·全國·課后作業）已知 a,b R ，則“ a > b ”的一個必要條件是（ ）
A．| | > | | B． a2 > b2
C． a > b +1 D． > 1
2-2．（2024 高一上·山東臨沂·期末）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”.其名篇“但使龍城飛
將在，不教胡馬度陰山”（人在陣地在，人不在陣地在不在不知道），由此推斷，胡馬度過陰山是龍城飛將
不在的什么條件？（ ）
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要
2-3．（2024 高二上·陜西西安·期末）設 x R ，則“ x 2 ”是“ x2 4 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
2-4．（2024 高二下·陜西寶雞·階段練習）若集合 A 2, x2 - x ，則“ 6 A ”是“ x 3”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
2-5．（2024 高一上·新疆巴音郭楞·階段練習）已知 p：“ x2 - 3x - 4 0 ”，q：“ x=-1”，則 p 是 q 的（　　）
A．充要條件 B．既不充分也不必要
C．充分不必要條件 D．必要不充分條件
2-6．（2024 高二下·湖南益陽·期末）已知 p : 2x - 5 > 0 ， q : x2 - x - 2 > 0，則 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
2-7．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）下列“若 p ，則 q ”形式的命題中， p 是 q的充分條件的有 ．
（三）
探求命題為真的一個充要條件
探求充要條件一般有兩種方法
(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的
充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．
(2)將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探
求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證
題型 3：探求命題成立的一個充分、必要條件
3-1．（2024 高一·全國·課后作業）關于 x 的方程 ax +1 0 有實根的一個充分條件是（ ）
A． a 0 B． a 1
C． a 1 D． a <1
3-2．（2024 高一上·湖北十堰·期中）使 x x | x 0 或 x > 3}成立的一個充分不必要條件是（　　）
A． x 0 或 x > 3 B． x < -1或 x > 3
C． x 0 或 x >1 D． x 0
3-3．（2024 高一下·重慶江北·開學考試）“關于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集為 R”的一個必要不充分條
件是（ ）
A．0 < a <1 B．0 a <1 C．0 < < 1 D．0 < a < 0.93
3-4．（2024 高一上·山東青島·期中）“"x R ，不等式 ax2 + 2ax +1 > 0成立”的充要條件是（ ）
A．0 < a 2 B．0 a <1
C． 0≤a
1
≤ D．-1 < a 12
3-5．（2024 高一上·四川成都·階段練習）不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立的一個充要條件是（ ）
m 1A． > B．0 < m <1 C．m > 0 D．m >1
4
3-6．（2024 高二下·上海閔行·期末）不等式mx2 - mx - 2 < 0對任意 ∈ 恒成立的充要條件是m ．
（四）
根據充分條件或必要條件求參數的范圍
充分條件與必要條件的應用技巧
(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．
(2)求解步驟：
①化簡 p ，q兩命題.
②根據 p 與q的關系(充分、必要、充要條件)轉化為集合間的關系.
③利用集合間的關系建立不等關系，
④求解參數范圍.
題型 4：利用充分、必要條件求參數
4-1．（2024 高一上· 2 2湖南郴州·階段練習）設集合 A x x + 3x + 2 0 ，B x x + m +1 x + m 0 ；
(1)用列舉法表示集合A ；
(2)若 x B是 x A的充要條件，求實數m 的值.
2 - x
4-2．（2024 高二下·湖南長沙·期中）已知 p : x k, q : 0，如果 p 是 q的充分不必要條件，則實數 k 的
x +1
取值范圍是（ ）
A． 2, + B． 1, +
C． 1, + D． - ,-1
4-3．（2024 高一上·江西·期中）已知全集U R ，集合 A x 0 < x <1 ，B x a < x <1- a .
(1)當 a -1時，求 U A I B ；
(2)已知“ x A”是“ x B ”的必要條件，求實數 a的取值范圍.
4-4．（2024·江蘇連云港·二模）若不等式-a +1 < x < a +1的一個充分條件為0 < x <1，則實數 a的取值范圍是
（ ）
A． a > 0 B． a 0 C． a >1 D．a 1
4-5．（2024 高一上·廣東汕尾·期末）已知集合 A x -1 < x < 3 ，B x x < m -1或 x m +1 .
(1)當m 0時，求 A B ；
(2)若 x A是 x B的充分不必要條件，求實數m 的取值范圍.
4-6．（2024 高一下·吉林長春·開學考試）已知 p : x < a， q : x < 3， p 是 q的必要不充分條件，則實數 a的取
值范圍為 .
1 1
4-7．（2024 高一上·全國·課后作業）已知不等式m -1< x < m +1成立的充分條件是 < x < ，則實數m 的取
3 2
值范圍是（ ）
ì 1 4ü ì 1 4ü
A． ím∣m < - 或m >2 3
B． ím∣m < - 或m
2 3
ìm 1 m 4ü ìC． í - < < D． ím
1
- m 4ü
2 3 2 3
4-8．（2024 高一上·廣東惠州·階段練習）設集合 A {x∣-1 < x < 3}, B {x∣1- m < x m +1, m 0}，命題 : ∈ ，
命題 : ∈
(1)若 p 是 q的充要條件，求正實數m 的取值范圍；
(2)若 p 是 q的充分不必要條件，求正實數m 的取值范圍.
4-9．（2024 高一上·安徽淮北·階段練習）已知集合 = { |1 < < 3}，集合 = { |2 < < 1 }．
(1)若 AI B ，求實數m 的取值范圍；
(2)命題 : ∈ ，命題 : ∈ ，若 p 是 q 成立的充分不必要條件，求實數m 的取值范圍．
4-10．（2024 高一上·湖北武漢·期末）已知 p : x2 - 5x - 6 < 0， q :1- m x 3 + m ．
(1)若 p 是 q的充分條件，求實數m 的取值范圍；
(2)若 p 是 q的必要條件，求實數m 的取值范圍．
（五）
充要條件的證明
充要條件的證明策略
（1）要證明一個條件 p 是否是 q 的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題“若
p，則 q”為真且“若 q，則 p”為真.
（2）在證明的過程中也可以轉化為集合的思想來證明，證明 p 與 q 的解集是相同的，證明前必須分清楚充
分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結論.
提醒：證明時一定要注意，分清充分性與必要性的證明方向.
題型 5：充要條件的證明
5-1．（2024 高一上·貴州貴陽·階段練習）求證： x=1是一元二次方程 ax2 + bx + c 0的一個根的充要條件是
a + b + c 0 a 0 .
5-2．（2024 高一上·貴州貴陽）求證：關于 x 的方程 ax2 + bx + c 0有一個根是 1 的充要條件是 + + = 0.
5-3．（2024 高一上·湖南長沙·階段練習）VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，求證：
a2 - b2 - ac + bc 0的充要條件是 A B．
5-4．（2024 高一上·陜西寶雞·階段練習）已知 ab 0，求證：a3 + b3 + ab - a2 - b2 0是a + b 1的充要條件.
一、單選題
1．（2024 高二下·江蘇南通·階段練習）《墨經》上說：“小故，有之不必然，無之必不然.體也，若有端.大故，
有之必無然，若見之成見也.”則“有之必然”表述的數學關系一定是（ ）
A．充分條件 B．必要條件
C．既不充分也不必要條件 D．不能確定
2．（2024 高三上·云南·階段練習）唐代著名詩人杜牧在《赤壁》一詩中寫有“東風不與周郎便，銅雀春深鎖
二喬”，即杜牧認為，如果沒有東風，那么東吳的二喬將會被曹操關進銅雀臺，即赤壁之戰東吳將輸給曹
操．那么在杜牧認為，“東風”是“赤壁之戰東吳打敗曹操”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
3．（2024 高二上·陜西西安·期末）“ 2 = 0”是“ x 1”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4．（2024 高三上·天津北辰·期末）已知 x R ，“ x > 2或 x<- 4 ”是“ x + 1 > 3”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條
件
ìx - ay 1
5．（2024 高一上·上海·階段練習）設 ∈ R，關于 x, y的方程組 í .ax 對于命題：
①存在 a，使得該方
+ y a
程組有無數組解；②對任意 a，該方程組均有一組解，下列判斷正確的是（　　）
A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
6．（2024 高二下·四川綿陽·階段練習）對于命題 p： m < 1，命題 q：方程mx2 - 2x + 3 0有兩個同號且不等
實根，則 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
7．（2024 高二下·四川成都·階段練習）若條件 p : -1 < b <1，條件 q : -2 < b < 2，則 p 是 q的（ ）
A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
x
8．（2024 高一上·遼寧·期末）給出的下列條件中能成為 0的充分不必要條件是（ ）
x - 3
A． x 0 或 x > 3 B． x < -1或 x > 3 C． x -1或 x 3 D． x 0
9．（2024·江西·模擬預測）設 x R ，則“ 2x -1 x ”是“ x2 + x - 2 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
10．（2024 高二上·陜西西安·階段練習）命題“ 2x2 - 5x - 3 < 0 ”的一個充分不必要條件是（ ）
1 1
A．- < x < 3 B．- < x < 4
2 2
3 x 1C．- < < D．1< x < 2
2
11．（2024·山西·一模）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其詩作《從軍行》中的詩句“青
海長云暗雪山，孤城遙望玉門關．黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返
回家鄉”是“攻破樓蘭”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條
件
12．（2024·河南開封·模擬預測）設 a R ，則“ a3 < 27 ”是“ a -1 < 2 ”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不允分也不必要條
件
x -1
13．（2024 高二·廣東·學業考試）“ (x -1)(x + 2) > 0 ”是“ > 0 ”的（ ）
x + 2
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．非充分非必要條件
1
14．（上海市上海師范大學附屬中學 2023-2024 學年高二下學期 3 月月考數學試題）“ x >1”是“ <1”的
x
（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
1
15．（2024 高一上·北京海淀·期中）使不等式0 < <1成立的一個充分不必要條件是（
x ）.
A．0 < x
1
< B． x >1
2
C． x > 2 D． x < 0
16．（2024 高一上·上海虹口·期中）“ a 0 ”是關于 x 的不等式 ax - b 1的解集為 R 的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
17．（2024 高二下·重慶沙坪壩·期中）設 x R ，則“ 2 - x 0 ”是“ x +1 1”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
18．（2024·天津紅橋·二模）設 ∈ R，則“ a > 0 ”是“| | > 0”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3
19．（2024 高三上·山東菏澤·階段練習）已知 p : x k, q : <1，如果 p 是 q的充分不必要條件，則實數 k
x +1
的取值范圍是
A．[2, + ∞) B． (2,+ ) C．[1, + ) D． (- , -1]
20．（2024 高一上·重慶渝中·階段練習）“關于 x 的不等式 ax2+ax-1<0 的解集為 R”的一個必要不充分條件是
（ ）
A．-4≤a≤0 B．-4C．-4≤a<0 D．-421．（2024·湖南永州·二模）“不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立”的充要條件是（ ）
A．m
1 1
> B．m <
4 4
C．m <1 D． m >1
1
22．（2024 高一上·河北唐山·期末）已知 x 是實數，那么“ x 1”是“ 1”成立的（
x ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
23．（2024 高三下·天津濱海新·階段練習）設 ∈ ，則“ 0 < x < 3 ”是“ x -1 < 2 ” 的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
二、多選題
24．（2024 高一·江蘇·假期作業）（多選題）使 x > 3成立的充分條件是（　　）
A． x > 4 B． x > 5
C． x > 2 D． x >1
25．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知條件 p：{x | x2 + x - 6 0}，條件 q：{x | xm +1 0}，且 p 是 q 的必
要條件，則 m 的值可以是（ ）
1 1 1
A． B． C．- D．0
2 3 2
26．（2024 高一上·江蘇宿遷·階段練習）二次函數 = 2 2 + 1的圖像恒在 x 軸上方的一個必要條件是
（ ）
1 1
A．- < a < B．-1 a 1 C． a
1
D． > 1
2 2 2
27．（2024 高一上·山東·階段練習）“ x > 3”的必要不充分條件可以是（ ）
A． x > 0 B． x 2 C． x 3 D． x > 5
28．（2024高一上·遼寧沈陽·階段練習）已知集合 A x | a +1< x < 2a - 3 ，B {x | x -2或x 7}，則 AI B
的必要不充分條件可能是（ ）
A． a < 7 B． a < 6 C． a 5 D． a < 4
29．（2024 高一上·四川綿陽·期中）下列選項中，滿足 p 是 q 的充分條件的是（ ）
A． p : x > 2, q : x >1B． p : m 0,q : mn 0 C． p : x2 0, q : x 0 D． : > , : 2 > 2
30．（2024 高一·江蘇·假期作業）下列命題是真命題的是（　　）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要條件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要條件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p 是 q 的必要條件
31．（2024 高一上·河南商丘·期中）下列條件中，使“ x - 2 > 0 ”成立的充分條件的是（ ）
A． 0, + B． -1, + C． 3, + D． 4, +
32．（2024 高三上·江蘇鹽城·階段練習）“不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
m 1A． > B．0 < m <1 C．m > 2 D．m >1
4
33．（2024 高一上·海南海口·階段練習）若-1 < x < 2是-2 < x < a的充分不必要條件，則實數 的值可以是
（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
34．（2024 高一·全國·課后作業）設全集為U ，在下列條件中，是B A的充要條件的有（ ）
A． A B A B． U A B C． U A U B D． AU U B U
三、填空題
35．（2024 高一·全國·單元測試）已知 p : -2 x 10 ，q :1- m x 1+ m(m > 0)，且 p 是 q的必要不充分條件，
則實數m 的取值范圍是 ．
36．（2024 高一·全國·課后作業）“ x <1”是“ x 1”的是 條件．
37．（2024 高一上·江蘇徐州·期中）已知集合P x -1 x 4 ， S x 1- m x 1+ m ，則 ∈ 是 ∈ 的
充分不必要條件，則m 的取值范圍為 .
38．（2024 高三·全國·專題練習）下列命題中所有真命題的序號是
①“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的充分條件；
②“| | > | |”是“ a2 > b2 ”的必要條件；
③“ a > b ”是“ + > + ”的必要條件．
39．（2024 高三上·河南駐馬店·階段練習）在整數集中，被 4除所得余數為 k 的所有整數組成一個“類”，記為
k ，即 k 4n + k n Z , k 0,1,2,3 .給出下列四個結論.
① 2021 1 ；② -1 1 ；③ Z 0 1 2 3 ；④“整數 a,b屬于同一“類””的充要條件是“ a - b 0 ”.
其中正確的結論是 （填所有正確的結論的序號）.
40．（2024 高一上·江蘇連云港·期末）若不等式| | < 的一個充分條件為-2 < x < 0，則實數 a 的取值范圍
是 .
四、解答題
41．（2024 高一上·四川眉山·階段練習）已知集合 A {x | 0 x 4}，B x 1- a x 1+ a ，是否存在實數
a，使得 x A是 x B成立的______？
(1)當橫線部分內容為“充要條件”時，若問題中的 a存在，求出 a的取值范圍，若問題中的 a不存在，請說明
理由？
(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中橫線部分．若問題
中的 a存在，求出 a的取值范圍，若問題中的 a不存在，請說明理由．
42．（2024 高一上·山東日照·期末）已知“ $x x -2 < x < 2 ，使等式 x2 - 2x - m 0 ”是真命題.
（1）求實數m 的取值范圍M ：
（2）設關于 x 的不等式 (x - a)(x - a -1) < 0的解集為 N ，若“ x N ”是“ x M ”的充分條件，求 a的取值范圍.
43．（2024 2高一上·浙江·期中）集合 A x - 3x - x + 2 > 0 ，B x 4x - 3 < 0 .
(1)求 R A B；
(2)設集合C x 2a < x <1- a ，若“ x B ”是“ ∈ ”的必要條件，求實數 a 的取值范圍.
44．（2024 高一上·陜西西安·階段練習）已知全集為R ，集合 A= x x2 -8x+12 0 ，B= x 3x-7 8-2x .
(1)求 A B ；
(2)若C= x a-4 x a+4 ，且“ ∈ ∩ ”是“ ∈ ”的充分不必要條件，求實數 a的取值范圍.
45．（2024 2高一上·江蘇常州·階段練習）設集合 A x x + 2x - 3 < 0 ，B x -a -1< x < a -1,a > 0 ，命題
p： x A，命題 q： x B．
(1)若 p 是 q 的充要條件，求正實數 a 的取值范圍；
(2)若 p 是 q 的必要不充分條件，求正實數 a 的取值范圍．
46．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知集合 A x | -2 x 6 ， B x |1- m x 1+ m ，m > 0 .請在①
充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的
實數m 存在，求出m 的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(1)若 AU B A，求實數m 的取值范圍；
(2)若 x A是 x B的________條件，判斷實數m 是否存在？
47．（2024 高一上·河南鄭州·階段練習）已知M = x|a x a+3 ,N = x|x>1或 x<- 6 ．
(1)若M N ，求實數 a 的取值范圍；
(2)若 x N 是 x M 的必要條件，求實數 a 的取值范圍．
ì 2x - 5 ü
48．（2024 高一上·安徽蕪湖·期末）已知集合 A íx <1 ，B x -k < x < 2k +1 .
x +1
(1)若 A B A，求實數 k 的取值范圍；
(2)已知命題 : ∈ ，命題 : ∈ ，若 p 是 q 的必要不充分條件，求實數 k 的取值范圍.
1- x
49．（2024 高二下·江蘇鎮江·期末）不等式 > 0的解集是 A，關于 x 的不等式 x2x 2 - 4mx - 5m
2 0 的解集是
+
B.
(1)若m 1時，求 A B ；
ì x2 - x - 6 0
(2)設命題 p：實數 x 滿足 x2 - 4ax + 3a2 < 0，其中 a > 0；命題 q：實數 x 滿足 í 2 .若 p 是 q 的必
x + 2x -8 > 0
要不充分條件，求實數 a 的取值范圍.1.4 充分條件與必要條件 5 題型分類
一、充分條件與必要條件
充分條件與必要條件
“若 p，則 q”為真命題 “若 p，則 q”為假命題
推出關系 p q p q
p 是 q 的充分條件 p 不是 q 的必要條件
條件關系
q 是 p 的充分條件 q 不是 p 的必要條件
判定定理給出了相應數學結論成立的充分條件
定理關系
性質定理給出了相應數學結論成立的必要條件
【特別提醒】
對充分條件和必要條件的理解：
1
(1)對“推出”的正確理解：對于命題 p：∠A＝30°，q：sin A＝ .顯然 p 可以推出 q，記為 p q，而 q 是不能
2
推出 p 的．
(2)若 p q，則 p 是 q 的充分條件．所謂充分，就是說條件是充分的，也就是說條件是充足的，條件是足夠
的，條件是足以保證的．“有之必成立，無之未必不成立”．
(3)若 p q，則 q 是 p 的必要條件．所謂必要，就是條件是必須有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成
立，無之必不成立”．
（4）以下五種表述形式是等價的：①p q；②p 是 q 的充分條件；③q 的充分條件是 p；④q 是 p 的必要
條件；⑤p 的必要條件是 q。
二、充要條件
充要條件
(1)如果“若 p，則 q”和它的逆命題“若 q，則 p”均是真命題，即既有 p q，又有 q p，就記作 p q，此時，
p 既是 q 的充分條件，也是 q 的必要條件，我們就說 p 是 q 的充分必要條件，簡稱為充要條件．
(2)如果 p 是 q 的充要條件，那么 q 也是 p 的充要條件．概括地說，如果 p q，那么 p 與 q 互為充要條件．
【特別提醒】
（1）若 p 是 q 的充要條件，則 p q，即命題 p 和 q 是兩個相互等價的命題。
（2）“p 是 q 的充要條件”與“p 的充要條件是 q”的區別是：若 p 是 q 的充要條件說明 p 是條件，q 是結論；
若 p 的充要條件是 q 說明 q 是條件，p 是結論．
三、從集合的角度理解充分與必要條件
若 p 以集合 A的形式出現， q 以集合 B 的形式出現，即 p ： A {x | p(x)}， q ： B {x | q(x)}，則
（1）若 A B ，則 p 是 q 的充分條件；
（2）若 B A，則 p 是 q 的必要條件；
（3）若 A B ，則 p 是 q 的充分不必要條件；
（4）若 B A，則 p 是 q 的必要不充分條件；
（5）若 A B ，則 p 是 q 的充要條件；
（6）若 A B 且 B A，則 p 是 q 的既不充分也不必要條件.
四、充分性必要性高考高頻考點結構
（1） p 是 q 的充分不必要條件 p q 且 q p（注意標志性詞：“是”，此時 p 與 q 正常順序）
（2） p 的充分不必要條件是 q q p 且 p q（注意標志性詞：“的”，此時 p 與 q 倒裝順序）
（一）
命題的概念及結構
命題的定義:一般地，我們把用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句叫命題，判斷為真的語句
是真命題，判斷為假的語句是假命題.命題的表示：命題表示為“若 p，則 q”時，p 是命題的條件，q 是命題
的結論.
題型 1：命題真假的判斷
1-1．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）對于任意兩個集合 A 與 B，下列命題中是假命題的是（ ）
A．若 A B A，則 A B B．若 AU B A，則 A B
C．若 A B ，B A，則 A B D．若 AI B ，則 A 或B
【答案】D
【分析】由集合的運算及基本關系求解．
【詳解】解：對于 A 項，若 A B A，則對"x A A B ，有 x B，則 A B ，則 A 項正確；
對于 B 項，若 AU B A，則對"x B A B A，有 x A，則B A，則 B 項正確；
對于 C 項，對"x A, A B，有 x B，對"x B, B A，有 x A，
所以，集合 A, B的所有元素相同，即 A B，則 C 項正確；
對于 D 項，如 A 1,2 ，B 3,4,5 ，顯然 AI B ，故 D 項錯誤，
故選：D
1-2．（2024·山東·二模）下列命題是真命題的是（ ）
A．5 > 2且7 > 8 B．3 > 4或3 < 4
C．9 7 D．方程 x2 - 3x + 4 0 有實根
【答案】B
【分析】根據或且命題真假性的性質即可求解.
【詳解】對于 A, 5 > 2為真命題，7 > 8為假命題，故5 > 2且7 > 8為假命題，
對于 B，3 > 4為假命題，3 < 4為真命題，所以3 > 4或3 < 4為真命題，
對于 C，9 7為假命題，
對于 D，D 9 - 4 4 < 0 ,故方程 x2 - 3x + 4 0 沒有實數根，故 D 錯誤，
故選：B
1-3．（2024·河南平頂山·模擬預測）下列結論錯誤的是（ ）
A．不大于 0 的數一定不大于 1
B．367 人中一定有同月同日出生的兩個人
C．如果今天是星期五，那么 2000 天后是星期四
D．若點 P 到VABC 三邊的距離相等，則 P 未必是VABC 的內心
【答案】C
【分析】對 AB，直接推理判斷即可；
對 C，結合星期的周期計算余數判斷；
對 D，考慮平面外的情況.
【詳解】對 A，若 x 0 ，則 x 1，所以 A 正確．
對 B，每年有 365 天或 366 天，所以 367 人中一定有同月同日出生的兩個人，所以 B 正確．
對 C， 2000 285 7 + 5，如果今天是星期五，那么 2000 天后是星期三，所以 C 錯誤．
對 D，若點 P 到VABC 三邊的距離相等，則 P 可能是內心，也可能在VABC 所在平面外，所以 D 正確．
故選：C.
1-4．（2024 高一上·重慶·期中）下列命題中，是真命題的是（ ）
A．如果 a > b，那么 a2 > b2 B．如果 a > b，那么 ac2 > bc2
a b
C．如果a > b,c > d ，那么 > D．如果 a > b,c < d ，那么 a - c > b - d
d c
【答案】D
【分析】ABC 選項舉出反例即可判斷，D 選項結合不等式的性質即可判斷.
【詳解】A 選項：若 = 0, = 1，滿足 a > b，但是 a2 < b2 ，因此是假命題，故 A 錯誤；
B 選項：若 a 3,b -1， c 0，滿足 a > b，但是 ac2 bc2 ，因此是假命題，故 B 錯誤；
C 選項：若 a 3,b -1
1 a b
， c 2, d - ，滿足a > b,c > d ，但是 < ，因此是假命題，故 C 錯誤；
3 d c
D 選項：因為 c < d ，則-c > -d ，且 a > b，因此 a - c > b - d ，因此是真命題，故 D 正確，
故選：D.
（二）
充分、必要條件的判斷
1、充分條件的判斷
(1)判定 p 是 q 的充分條件要先分清什么是 p，什么是 q，即轉化成 p q 問題．
(2)除了用定義判斷充分條件還可以利用集合間的關系判斷，若 p 構成的集合為 A，q 構成的集合為 B，
A B，則 p 是 q 的充分條件．
(3)關鍵是將判斷命題中條件與結論的關系轉化為判斷集合間的包含關系，解題時注意充分條件與必要條件
的概念，謹防將兩者弄顛倒；解決集合間的包含關系時，利用數軸的直觀性可優化解題過程，同時要注意
端點值的取舍.
2、必要條件的判斷
(1)判斷 p 是 q 的什么條件，主要判斷若 p 成立時，能否推出 q 成立，反過來，若 q 成立時，能否推出 p 成
立；若 p q 為真，則 p 是 q 的充分條件，若 q p 為真，則 p 是 q 的必要條件．
(2)也可利用集合的關系判斷，如條件甲“x∈A”，條件乙“x∈B”，若 A B，則甲是乙的必要條件．
3、判斷 p 是 q 的什么條件,通常有如下兩種方法:
(1)定義法，即把題目中所給條件按邏輯關系畫出箭頭示意圖，再用定義進行判斷，這是最常用、最基本的
方法.通常對 p q 要予以證明，p q 可舉反例說明.
(2)集合法，利用集合間包含關系進行判斷，常用于一些范圍問題.
題型 2：充分、必要條件的判斷
2-1．（2024 高一·全國·課后作業）已知 a,b R ，則“ a > b ”的一個必要條件是（ ）
A．| | > | | B． a2 > b2
C． a > b +1 D． > 1
【答案】D
【分析】根據不等式的性質即可求解.
【詳解】由于 a > b可得 > 1，故“ > 1”是“ a > b ”的必要條件，
由 a > b不能得到| | > | |， a2 > b2 ， a > b +1，比如 a -1,b -2，
故選：D
2-2．（2024 高一上·山東臨沂·期末）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”.其名篇“但使龍城飛
將在，不教胡馬度陰山”（人在陣地在，人不在陣地在不在不知道），由此推斷，胡馬度過陰山是龍城飛將
不在的什么條件？（ ）
A．充分條件 B．必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根據充分必要條件的定義求解.
【詳解】因為人在陣地在，所以胡馬度過陰山說明龍城飛將不在，
因為人不在陣地在不在不知道，所以龍城飛將不在，不能確定胡馬是否度過陰山，
所以胡馬度過陰山是龍城飛將不在的充分條件，
結合選項，可得 A 正確；
故選:A.
2-3．（2024 高二上·陜西西安·期末）設 x R ，則“ x 2 ”是“ x2 4 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】當 x 2時 x2 4，故充分性成立，
由 x2 4可得 x 2或 x -2，故必要性不成立，
所以“ x 2 ”是“ x2 4 ”的充分不必要條件.
故選：A
2-4．（2024 高二下·陜西寶雞·階段練習）若集合 A 2, x2 - x ，則“ 6 A ”是“ x 3”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件 D．充要條件
【答案】B
【分析】根據6 A求出 x 3或 x -2，再利用必要不充分條件定義即可判斷.
2
【詳解】因為6 A，且 A 2, x - x ，則 x2 - x 6 ，解得 x 3或 x -2，
故“ 6 A ”是“ x 3”的必要不充分條件.
故選：B.
2-5．（2024 高一上·新疆巴音郭楞·階段練習）已知 p：“ x2 - 3x - 4 0 ”，q：“ x=-1”，則 p 是 q 的（　　）
A．充要條件 B．既不充分也不必要
C．充分不必要條件 D．必要不充分條件
【答案】D
【分析】解出 x2 - 3x - 4 0，即可得出答案.
【詳解】解 x2 - 3x - 4 0可得， x -1或 x 4 .
顯然，若 p 成立，推不出 q成立；若 q成立，則 p 成立.
所以，p 是 q 的必要不充分條件.
故選：D.
2-6．（2024 高二下·湖南益陽·期末）已知 p : 2x - 5 > 0 ， q : x2 - x - 2 > 0，則 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】先求出 , 對應的不等式的解，再利用集合包含關系，進而可選出答案.
5
【詳解】由題意， p : 2x - 5 > 0 x
5
> ，設 A
ì ü
2 í
x | x >
2
q : x2 - x - 2 > 0，解得： x > 2或 x < -1，設B x | x > 2或 x < -1
顯然 A 是 B 的真子集，所以 p 是 q的充分不必要條件.
故選：A.
【點睛】結論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據如下規則判斷：
（1）若 p 是 q的必要不充分條件，則 q對應集合是 p 對應集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要條件， 則 p 對應集合是 q對應集合的真子集；
（3） p 是 q的充分必要條件，則 p 對應集合與 q對應集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要條件， q對的集合與 p 對應集合互不包含．
2-7．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）下列“若 p ，則 q ”形式的命題中， p 是 q的充分條件的有 ．
（1）若 x <1，則 x < 2；
（2）若兩個三角形的三邊成比例，則這兩個三角形相似；
（3）若| | ≠ 1，則 ≠ 1；
（4）若 ab > 0，則 a > 0，b > 0．
【答案】（1）（2）（3）
【分析】根據充分條件的定義逐一判斷即可.
【詳解】（1）由 x <1，可以推出 x < 2，所以命題（1）符合題意；
（2）由兩個三角形的三邊對應成比例，可以推出這兩個三角形相似，所以命題（2）符合題意；
（3）由| | ≠ 1，可以推出 x 1，所以命題（3）符合題意；
（4）由 ab > 0，得 a > 0,b > 0或a < 0,b < 0，所以 ab > 0不一定推出 a > 0,b > 0，所以命題（4）不符合題
意.
故答案為：（1）（2）（3）
（三）
探求命題為真的一個充要條件
探求充要條件一般有兩種方法
(1)先尋找必要條件，即將探求充要條件的對象視為結論，尋找使之成立的條件；再證明此條件是該對象的
充分條件，即從充分性和必要性兩方面說明．
(2)將原命題進行等價變形或轉換，直至獲得其成立的充要條件，探求的過程同時也是證明的過程，因為探
求過程每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必要性分開來證
題型 3：探求命題成立的一個充分、必要條件
3-1．（2024 高一·全國·課后作業）關于 x 的方程 ax +1 0 有實根的一個充分條件是（ ）
A． a 0 B． a 1
C． a 1 D． a <1
【答案】B
【分析】根據一元一次方程的求解即可判斷 a 0，由充分條件的定義即可求解.
【詳解】由 ax +1 0 ax -1，要使方程有實根，則 a 0，
故 a 1是方程 ax +1 0 有實根的一個充分條件，
故選：B
3-2．（2024 高一上·湖北十堰·期中）使 x x | x 0 或 x > 3}成立的一個充分不必要條件是（　　）
A． x 0 或 x > 3 B． x < -1或 x > 3
C． x 0 或 x >1 D． x 0
【答案】B
【分析】根據充分不必要條件的定義和集合間的包含關系判斷可得答案.
【詳解】對于 A，因為 x | x 0或 x > 3 x x | x 0 或 x > 3 ，故錯誤；
對于 B，因為 x x | x < -1或 x > 3 x | x 0或 x > 3 ，故正確；
對于 C，因為 x | x 0或 x > 3 x | x 0或 > 1}，故錯誤；
對于 D，因為 x | x 0 不是 x | x 0或 x > 3 的真子集，故錯誤.
故選：B.
3-3．（2024 高一下·重慶江北·開學考試）“關于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集為 R”的一個必要不充分條
件是（ ）
A．0 < a <1 B 1．0 a <1 C．0 < < D 0 < a < 0.93 ．
【答案】B
【分析】根據不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集為 R 求得0 < a <1，于是可得其成立的必要不充分條件.
2
【詳解】解：關于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集為 R，則Δ -2a - 4a 4a2 - 4a < 0，
解得0 < a <1，所以“關于 x 的不等式 x2 - 2ax + a > 0的解集為 R”的一個必要不充一個分條件“ 0 a <1”.
故選：B.
3-4．（2024 高一上·山東青島·期中）“"x R ，不等式 ax2 + 2ax +1 > 0成立”的充要條件是（ ）
A．0 < a 2 B．0 a <1
C 0 a 1． ≤ ≤ 2 D．-1 < a 1
【答案】B
【分析】根據二次不等式恒成立得 a 0,1 ，再根據充分必要條件的概念求解即可.
【詳解】當 a 0時，1 > 0，該不等式成立；
ìa > 0
當 íΔ 4a2 ，即
0 < a <1
4a 0 時，該不等式成立； - <
綜上，得當0 a <1時， 關于 x 的不等式 ax2 + 2ax +1 > 0恒成立，
所以，關于 x 的不等式 ax2 + 2ax +1 > 0恒成立的充分必要條件是0 a <1．
故選：B.
3-5．（2024 高一上·四川成都·階段練習）不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立的一個充要條件是（ ）
1
A．m > B．0 < m <1 C．m > 0 D．m >1
4
【答案】A
【分析】結合二次函數的圖像性質將問題等價于D < 0，由此可解.
【詳解】令 f x x2 - x + m ，
則 x2 - x + m > 0在R 上恒成立等價于 f x 的圖像全在 x 軸上方，
2 1
而 f x 開口向上，所以問題等價于D < 0，即 -1 - 4m < 0，解得m > ，
4
即 x2 - x + m > 0在R 上恒成立等價于m
1
> ，
4
故 x2
1
- x + m > 0在R 上恒成立的一個充要條件為m > .4
故選：A.
3-6．（2024 高二下·上海閔行·期末）不等式mx2 - mx - 2 < 0對任意 ∈ 恒成立的充要條件是m ．
【答案】 -8,0
【分析】先根據一元二次不等式恒成立得m -8,0 ，再根據充要條件概念即可得答案.
【詳解】解：當m 0時，顯然滿足條件，
ìm2 + 8m < 0
當m 0 時，由一元二次不等式恒成立得： í ，解得：-8 < m < 0
m < 0
綜上，m -8,0 ，
所以不等式mx2 - mx - 2 < 0對任意 ∈ 恒成立的充要條件是m -8,0 ，
故答案為： -8,0
【點睛】本題考查充要條件的求解，一元二次不等式恒成立問題，是基礎題.
（四）
根據充分條件或必要條件求參數的范圍
充分條件與必要條件的應用技巧
(1)應用：可利用充分性與必要性進行相關問題的求解，特別是求參數的值或取值范圍問題．
(2)求解步驟：
①化簡 p ，q兩命題.
②根據 p 與q的關系(充分、必要、充要條件)轉化為集合間的關系.
③利用集合間的關系建立不等關系，
④求解參數范圍.
題型 4：利用充分、必要條件求參數
4-1 2 2．（2024 高一上·湖南郴州·階段練習）設集合 A x x + 3x + 2 0 ，B x x + m +1 x + m 0 ；
(1)用列舉法表示集合A ；
(2)若 x B是 x A的充要條件，求實數m 的值.
【答案】(1) -1, -2
(2) 2
【分析】（1）直接解方程即可；
（2）根據條件得 A B，可得-2 2是方程 x + m+1 x+m 0的根，進而可得實數m 的值.
2
【詳解】（1）集合 A x x + 3x + 2 0 -1,-2 ，
即 A -1, -2 ；
（2）由已知 A -1, -2 2，B x x + m +1 x + m 0 x x +1 x + m 0 ，
若 x B是 x A的充要條件，則 A B，
\-m -2 ，
\m 2 .
4-2．（2024 高二下·湖南長沙·期中）已知 p : x k, q :
2 - x
0，如果 p 是 q的充分不必要條件，則實數 k 的
x +1
取值范圍是（ ）
A． 2, + B． 1, +
C． 1, + D． - ,-1
【答案】A
【分析】根據充分必要條件的定義結合集合的包含關系求解.
q : 2 - x【詳解】 0，即 : < 1或 x 2，又 p : x k, p是 q的充分不必要條件，
x +1
所以 k 2，即 k 的取值范圍是 2, + .
故選:A.
4-3．（2024 高一上·江西·期中）已知全集U R ，集合 A x 0 < x <1 ，B x a < x <1- a .
(1)當 a -1時，求 U A I B ；
(2)已知“ x A”是“ x B ”的必要條件，求實數 a的取值范圍.
【答案】(1) U A B {x | -1< x 0或1 x < 2} .
(2) a a 0
【分析】（1）根據集合運算法則進行運算即可；（2）把條件轉化為集合之間的關系，列出不等式，解出即
可.
【詳解】（1）當 a -1時，B x -1< x < 2 ，
又 A x 0 < x <1 ，則 U A {x | x 0 或 x 1}，
所以 U A B {x | -1< x 0或1 x < 2} .
（2）由“ x A”是“ x B ”的必要條件，知B A，
當B 時，顯然B A，則 a
1
1- a ，即 a ；
2
ìa <1- a
1
當B 時，由B A得 ía 0 ，即0 a < ，
2
1- a 1
綜上， a 0，即實數 a的取值范圍為 a a 0 .
4-4．（2024·江蘇連云港·二模）若不等式-a +1 < x < a +1的一個充分條件為0 < x <1，則實數 a的取值范圍是
（ ）
A． a > 0 B． a 0 C． a >1 D．a 1
【答案】D
【分析】結合充分條件的定義列出不等式組，求解即可．
【詳解】若不等式-a +1 < x < a +1的一個充分條件為0 < x <1，
ì0 -a +1

則 0,1 -a +1,a +1 ，所以 í-a +1 < a +1，解得a 1 .

a +1 1
則實數 a的取值范圍是a 1 .
故選：D.
4-5．（2024 高一上·廣東汕尾·期末）已知集合 A x -1 < x < 3 ，B x x < m -1或 x m +1 .
(1)當m 0時，求 A B ；
(2)若 x A是 x B的充分不必要條件，求實數m 的取值范圍.
【答案】(1) x 1 x < 3
(2) 4, + U - - 2
【分析】（1）求出B x x < -1或 ≥ 1}，從而求出交集；
（2）根據題意得到A 是 B 的真子集，從而得到不等式，求出實數m 的取值范圍.
【詳解】（1）m 0時，B x x < -1或 ≥ 1}，
故 A B x -1< x < 3 x x < -1或 ≥ 1}= x 1 x < 3
（2） x A是 x B的充分不必要條件，
故A 是 B 的真子集，
因為m -1< m +1，故要滿足A 是 B 的真子集，
則 1 ≥ 3或m +1 -1，
解得：m 4或m -2
故實數m 的取值范圍是 4, + U - - 2 .
4-6．（2024 高一下·吉林長春·開學考試）已知 p : x < a， q : x < 3， p 是 q的必要不充分條件，則實數 a的取
值范圍為 .
【答案】 3, +
【分析】由充分條件和必要條件的定義即可得出答案.
【詳解】因為 p : x < a， q : x < 3，因為 p 是 q的必要不充分條件，
所以 a > 3 .
所以實數 a的取值范圍為 3, + .
故答案為： 3, + .
1 1
4-7．（2024 高一上·全國·課后作業）已知不等式m -1< x < m +1成立的充分條件是 < x < ，則實數m 的取
3 2
值范圍是（ ）
ì 1 4ü ì 1 4ü
A． ím∣m < - 或m > B． ím∣m < - m
2
或
3 2 3
ì
C． ím
1 4ü ì 1
- < m < D． ím - m
4ü

2 3 2 3


【答案】D
1 1
【分析】由題意知 , ÷ m -1,m +1 ，根據子集關系列式解得參數范圍即可.
è 3 2
1 , 1 【詳解】由題意得 m -1,m +1 ，
è 3 2 ÷
ì
m -1
1

3 1 m 4所以 í ，且等號不能同時成立，解得- .
m +1 1 2 3
2
故選：D.
4-8．（2024 高一上·廣東惠州·階段練習）設集合 A {x∣-1 < x < 3}, B {x∣1- m < x m +1, m 0}，命題 : ∈ ，
命題 : ∈
(1)若 p 是 q的充要條件，求正實數m 的取值范圍；
(2)若 p 是 q的充分不必要條件，求正實數m 的取值范圍.
【答案】(1) 2
(2) 2, + .
【分析】（1）根據 p 是 q的充要條件轉化為 A B求解即可；
（2）根據 p 是 q的充分不必要條件，得A 真包含于 B ，列出不等式求解即可.
【詳解】（1）由條件 A {-1 < x < 3}， p 是 q的充要條件，
ì1- m -1
得 A B，即 í ，解得m 2m ， +1 3
所以實數m 的取值范圍是 2 .
（2）由 p 是 q的充分不必要條件，得A 真包含于 B ，
ìm > 0 ìm > 0

所以 í1- m -1，或 í1- m < -1，解得m > 2 ，
m +1 > 3 m +1 3
綜上實數 a的取值范圍是 2, + .
4-9．（2024 高一上·安徽淮北·階段練習）已知集合 = { |1 < < 3}，集合 = { |2 < < 1 }．
(1)若 AI B ，求實數m 的取值范圍；
(2)命題 : ∈ ，命題 : ∈ ，若 p 是 q 成立的充分不必要條件，求實數m 的取值范圍．
【答案】(1) m∣m 0
(2) m∣m -2
【分析】（1）討論B ，B 兩種情況，結合交集運算的結果得出實數m 的取值范圍；
（2）由 p 是 q 成立的充分不必要條件，得出A 是 B 的真子集，再由包含關系得出實數m 的取值范圍．
【詳解】（1）由 AI B ，得
1
①若 2m 1-m，即m 時，B ，符合題意；
3
ì m 1< ì m 1< 1
②若 2m <1-m，即m
1
< 時，需 í 3 或 í 3 ，解得0 m <3 ．
1- m 1 2m 3
3
綜上，實數m 的取值范圍為 m∣m 0 ．
ì1- m > 2m

（2）由已知A 是 B 的真子集，知 í 2m 1 兩個端不同時取等號，解得m -2．

1- m 3
由實數m 的取值范圍為 m∣m -2 ．
4-10．（2024 高一上·湖北武漢·期末）已知 p : x2 - 5x - 6 < 0， q :1- m x 3 + m ．
(1)若 p 是 q的充分條件，求實數m 的取值范圍；
(2)若 p 是 q的必要條件，求實數m 的取值范圍．
【答案】(1) 3, + ；
(2) - , 2
【分析】（1）先化簡條件 p ，再利用 p 是 q的充分條件列出關于實數m 的不等式，解之即可求得實數m 的
取值范圍；
（2）按實數m 分類討論，利用 p 是 q的必要條件列出關于實數m 的不等式，解之即可求得實數m 的取值范
圍.
【詳解】（1）由 x2 - 5x - 6 < 0，可得-1 < x < 6，則 p : -1 < x < 6
又 q :1- m x 3 + m ，且 p 是 q的充分條件，
ì1- m -1
可得 í6 3 m ，解之得 ≥ 3，則實數
m 的取值范圍為 3, + ；
+
（2）由（1）得 p : -1 < x < 6， q :1- m x 3 + m
當m < -1時，1- m > 3 + m ， q : x ，此時， p 是 q的必要條件，符合要求；
當 ≥ 1時，由 p 是 q的必要條件，
ì1- m > -1

可得 í6 > 3+ m ，解之得-1 m < 2，

m -1
綜上，實數m 的取值范圍為 - , 2 .
（五）
充要條件的證明
充要條件的證明策略
（1）要證明一個條件 p 是否是 q 的充要條件，需要從充分性和必要性兩個方向進行，即證明兩個命題“若
p，則 q”為真且“若 q，則 p”為真.
（2）在證明的過程中也可以轉化為集合的思想來證明，證明 p 與 q 的解集是相同的，證明前必須分清楚充
分性和必要性，即搞清楚由哪些條件推證到哪些結論.
提醒：證明時一定要注意，分清充分性與必要性的證明方向.
題型 5：充要條件的證明
5-1．（2024 高一上·貴州貴陽·階段練習）求證： x=1是一元二次方程 ax2 + bx + c 0的一個根的充要條件是
a + b + c 0 a 0 .
【答案】證明見解析
【分析】先證明充分性，再證明必要性.
【詳解】證明：（1）充分性：由 a + b + c 0 得 a 12 + b 1+ c 0 .
即 x=1滿足方程 ax2 + bx + c 0 .
\ x 1是方程 ax2 + bx + c 0的一個根
（2）必要性：Q x 1是方程 ax2 + bx + c 0的一個根，
將 x=1代入方程 ax2 + bx + c 0得 a + b + c 0 .
故 x=1是一元二次方程 ax2 + bx + c 0的一個根的充要條件
是 a + b + c 0 a 0
5-2．（2024 高一上·貴州貴陽）求證：關于 x 的方程 ax2 + bx + c 0有一個根是 1 的充要條件是 + + = 0.
【答案】證明見解析
【分析】先證明必要性，再證明出充分性即可.
【詳解】假設 p：方程 ax2 + bx + c 0有一個根是 1，q： + + = 0.
證明 p q ，即證明必要性：
∵ x 1是方程 ax2 + bx + c 0的根，
∴ a ×12 + b ×1+ c 0，即 + + = 0.
再證明 q p ，即證明充分性：
由 + + = 0，得 c -a - b .
∵ ax2 + bx + c 0，
∴ ax2 + bx 2- a - b 0，即 a x -1 + b x -1 0 .
故 x -1 ax + a + b 0 .
∴ x 1是方程的一個根．
故方程 ax2 + bx + c 0有一個根是 1 的充要條件是 + + = 0.
5-3．（2024 高一上·湖南長沙·階段練習）VABC 中，角A ， B ，C 所對的邊分別為 a，b ， c，求證：
a2 - b2 - ac + bc 0的充要條件是 A B．
【答案】證明見解析.
【分析】先利用等腰三角形中等角對等邊即可證得，再結合因式分解即可證得必要性.
【詳解】（1）先證充分性：若 A B，則 a b，∴ a2 - b2 - ac + bc 0成立
（2）再證必要性：若 a2 - b2 - ac + bc 0成立，
∵ a2 - b2 - ac + bc (a + b) × (a - b) - c(a - b) (a - b)(a + b - c) ，∴ (a - b)(a + b - c) 0 ，又因為VABC 中，
a + b - c > 0，∴ a - b 0，∴ a b，∴ A B．
綜上可知， a2 - b2 - ac + bc 0的充要條件是 A B．
5-4．（2024 高一上·陜西寶雞·階段練習）已知 ab 0，求證：a3 + b3 + ab - a2 - b2 0是a + b 1的充要條件.
【答案】證明見解析
【分析】先由 a3 + b3 + ab - a2 - b2 0推得a + b 1，再由a + b 1推得 a3 + b3 + ab - a2 - b2 0，即可得證.
【詳解】設 p : a3 + b3 + ab - a2 - b2 0， q : a + b 1，
先證充分性 p q ：
∵ a3 + b3 + ab - a2 - b2 0，
∴ a + b a2 - ab + b2 - a2 - ab + b2 0 2，即 a - ab + b2 a + b -1 0，
2
∵ ab 0， a2 - ab + b2 a
1 3
- b 2
2 ÷
+ b > 0，
è 4
∴ a + b -1 0 ，即a + b 1；
再證必要性 q p ：
∵ a + b 1，
∴ b 1- a，
∴ a3 + b3 + ab - a2 - b2 a3 + 1- a 3 + a 1- a - a2 - 1- a 2 a3 +1- 3a + 3a2 - a3 + a - a2 - a2 -1+ 2a - a2 0；
綜上： a3 + b3 + ab - a2 - b2 0是a + b 1的充要條件.
一、單選題
1．（2024 高二下·江蘇南通·階段練習）《墨經》上說：“小故，有之不必然，無之必不然.體也，若有端.大故，
有之必無然，若見之成見也.”則“有之必然”表述的數學關系一定是（ ）
A．充分條件 B．必要條件
C．既不充分也不必要條件 D．不能確定
【答案】A
【分析】讀懂古文的含義，根據充分條件和必要條件的定義進行判定，即可求解
【詳解】由“小故，有之不必然，無之必不然體也，若有端.大故，有之必然，若見之成見也”
知“大故”必然有其原因，有其原因必然會發生，
所以“有之必然”所表述的數學關系一定是充分條件.
故選：A.
2．（2024 高三上·云南·階段練習）唐代著名詩人杜牧在《赤壁》一詩中寫有“東風不與周郎便，銅雀春深鎖
二喬”，即杜牧認為，如果沒有東風，那么東吳的二喬將會被曹操關進銅雀臺，即赤壁之戰東吳將輸給曹
操．那么在杜牧認為，“東風”是“赤壁之戰東吳打敗曹操”的（ ）
A．充要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】杜牧認為，東吳打敗曹操說明一定有了東風，但僅有東風東吳不一定能打敗曹操.
【詳解】杜牧認為沒有東風，則赤壁之戰東吳將輸給曹操，則說明東風是打敗曹操的必要條件．但有了東
風，若沒有其他的地利人和，也未必能打敗曹操，故東風不是充要條件，
故選：C．
3．（2024 高二上·陜西西安·期末）“ 2 = 0”是“ x 1”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】根據方程的解結合充分條件與必要條件的定義得出答案.
【詳解】 2 = 0解得 x 0或 x 1，
則 2 = 0可推出 x 0或 x 1，
x 1可推出 2 = 0，
故“ 2 = 0”是“ x 1”的必要不充分條件，
故選：B.
4．（2024 高三上·天津北辰·期末）已知 x R ，“ x > 2或 x<- 4 ”是“ x + 1 > 3”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條
件
【答案】C
【分析】先解不等式 x + 1 > 3，再根據充分條件和必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解不等式 x + 1 > 3，即 x +1< -3或 x+1 > 3，即 x<- 4或 x > 2，
故“ x > 2或 x<- 4 ”是“ x + 1 > 3”的充要條件.
故選：C.
ìx - ay 1
5．（2024 高一上·上海·階段練習）設 ∈ R，關于 x, y的方程組 í .對于命題：①存在 a，使得該方
ax + y a
程組有無數組解；②對任意 a，該方程組均有一組解，下列判斷正確的是（　　）
A．①和②均為真命題 B．①和②均為假命題
C．①為真命題，②為假命題 D．①為假命題，②為真命題
【答案】D
【分析】通過解方程組的知識求得正確答案.
2
【詳解】由 x - ay 1得 x ay +1，則 a ay +1 + y a ， a +1 y 0，所以 y 0 ，
ìx 1
則 í ，解得 x 1ax a ，
所以關于 x, y
ìx - ay 1 ìx 1
的方程組 í .
ax + y a
有唯一解
í y 0
所以①為假命題，②為真命題.
故選：D
6．（2024 高二下·四川綿陽·階段練習）對于命題 p： m < 1，命題 q：方程mx2 - 2x + 3 0有兩個同號且不等
實根，則 p 是 q 的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】先化簡命題 p，q，分別求得 m 的范圍，進而得到二者間的邏輯關系.
【詳解】方程mx2 - 2x + 3 0有兩個同號且不等實根，
ìm 0

3
則 í > 0 ，解之得 0
1 1
< m <
3 ，則命題 q：
0 < m <
m 3
，

-2
2 - 4 3m > 0
由 m < 1，可得 -1 < m < 1命題，則 p： -1 < m < 1，
則 p 是 q 的必要不充分條件.
故選：B
7．（2024 高二下·四川成都·階段練習）若條件 p : -1 < b <1，條件 q : -2 < b < 2，則 p 是 q的（ ）
A．必要而不充分條件 B．充分而不必要條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】利用充分條件和必要條件的定義即可求解.
【詳解】由題意可知， -1,1 -2,2 ，
所以 p 是 q的充分而不必要條件.
故選：B.
x
8．（2024 高一上·遼寧·期末）給出的下列條件中能成為 0的充分不必要條件是（
x 3 ）-
A． x 0 或 x > 3 B． x < -1或 x > 3 C． x -1或 x 3 D． x 0
【答案】B
【分析】根據充分條件，必要條件的定義，結合集合的包含關系解決即可.
x
【詳解】由題知， 0，
x - 3
ìx x - 3 0
所以 í ，解得 x 0 ，或 x > 3，
x - 3 0
x
對于 A，能成為 0的充分必要條件；
x - 3
x
對于 B, 能成為 0的充分不必要條件；
x - 3
x
對于 C，能成為 0的既不充分也不必要條件；
x - 3
x
對于 D，能成為 0的既不充分也不必要條件；
x - 3
故選：B
9．（2024·江西·模擬預測）設 x R ，則“ 2x -1 x ”是“ x2 + x - 2 0 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解不等式，再判斷“ 2x -1 x ”和“ x2 + x - 2 0 ”之間的邏輯推理關系，可得答案.
ì2x -1 0 ì2x -1< 0 1
【詳解】由 2x -1 x，得 í 或 í x 1.
2x -1 x -2x +1 x
，解得
3
由 x2 + x - 2 0，解得-2 x 1，
1
當 x 1時，-2 x 1一定成立，反之，不一定成立，
3
所以“ 2x -1 x ”是“ x2 + x - 2 0 ”的充分不必要條件.
故選：A.
10．（2024 高二上·陜西西安·階段練習）命題“ 2x2 - 5x - 3 < 0 ”的一個充分不必要條件是（ ）
1
A．- < x < 3
1
B．- < x < 4
2 2
C．-3 < x
1
< D．1< x < 2
2
【答案】D
【分析】先解不等式 2x2 - 5x - 3 < 0，不等式 2x2 - 5x - 3 < 0成立的一個充分不必要條件，對應的 x 范圍應該
是其解集的真子集，即可得到答案.
1
【詳解】由 2x2 - 5x - 3 < 0可得 2x +1 x - 3 < 0，解得- < x < 3 .2
ì 1
則不等式的解集為 A íx - < x < 3
ü
2
，

因此，不等式 2x2 - 5x - 3 < 0成立的一個充分不必要條件，對應的 x 范圍應該是集合A 的真子集，只有選項 D
滿足.
故選：D
11．（2024·山西·一模）王昌齡是盛唐著名的邊塞詩人，被譽為“七絕圣手”，其詩作《從軍行》中的詩句“青
海長云暗雪山，孤城遙望玉門關．黃沙百戰穿金甲，不破樓蘭終不還”傳誦至今．由此推斷，其中最后一句“返
回家鄉”是“攻破樓蘭”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條
件
【答案】A
【分析】由題意，“不破樓蘭”可以推出“不還”，但是反過來“不還”的原因有多種，按照充分條件、必要條件
的定義即可判斷
【詳解】由題意，“不破樓蘭終不還”即“不破樓蘭”是“不還”的充分條件，即“不破樓蘭”可以推出“不還”，但
是反過來“不還”的原因有多種，比如戰死沙場；
即如果已知“還”，一定是已經“破樓蘭”，所以“還”是“破樓蘭”的充分條件
故選：A
12．（2024·河南開封·模擬預測）設 a R ，則“ a3 < 27 ”是“ a -1 < 2 ”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不允分也不必要條
件
【答案】B
【分析】分別求解 a3 < 27 與 a -1 < 2，再根據充分性與必要性判斷即可.
【詳解】由“ a3 < 27 ”解得 a < 3，由“ a -1 < 2 ”解得-1 < a < 3，故“ a3 < 27 ”是“ a -1 < 2 ”的必要不充分條件.
故選：B
x -1
13．（2024 高二·廣東·學業考試）“ (x -1)(x + 2) > 0 ”是“ > 0 ”的（ ）
x + 2
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充分必要條件 D．非充分非必要條件
【答案】C
【分析】利用“ (x -1)(x + 2) > 0
x -1
” “ > 0 ”，即可判斷出結論.
x + 2
【詳解】解：“ (x -1)(x + 2) > 0
x -1
” “ > 0 ”，
x + 2
\“ (x -1)(x + 2) > 0
x -1
”是“ > 0 ”的充要條件.
x + 2
故選：C.
【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定、不等式的解法，屬于基礎題.
1
14．（上海市上海師范大學附屬中學 2023-2024 學年高二下學期 3 月月考數學試題）“ x >1”是“ <1”的
x
（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．既非充分也非必要條件
【答案】A
1
【分析】根據分數不等式求解 <1答范圍，即可根據集合間的關系求解.
x
1 1 1- x【詳解】由 < 可得 < 0 ，解得 x >1或 x < 0 ，故 x x >1 是 x x >1或 x < 0 的真子集，故“ x >1”是
x x
1
“ <1”的充分不必要條件，
x
故選：A
0 115．（2024 高一上·北京海淀·期中）使不等式 < <1成立的一個充分不必要條件是（
x ）.
A．0 < x
1
< B． x >1
2
C． x > 2 D． x < 0
【答案】C
【解析】解出不等式，進而可判斷出其一個充分不必要條件．
1
【詳解】解：不等式0 < <1，
x
ìx > 0
\ í1 ，解得 x >1，
<1 x
故不等式的解集為： (1, + )，
則其一個充分不必要條件可以是 x > 2，
故選：C ．
【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據如下規則判斷：
（1）若 p 是 q的必要不充分條件，則 q對應集合是 p 對應集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要條件， 則 p 對應集合是 q對應集合的真子集；
（3） p 是 q的充分必要條件，則 p 對應集合與 q對應集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要條件， q對的集合與 p 對應集合互不包含．
16．（2024 高一上·上海虹口·期中）“ a 0 ”是關于 x 的不等式 ax - b 1的解集為 R 的（ ）
A．充分非必要條件 B．必要非充分條件
C．充要條件 D．非充分非必要條件
【答案】B
【分析】取 a 0，b 1時可判斷充分性；當不等式 ax - b 1的解集為 R 時，分 a > 0， a < 0， a 0討論可
判斷必要性.
【詳解】若 a 0，取b 1時，不等式 ax - b 1 -1 1，此時不等式解集為 ；
b +1
當 a > 0時，不等式 ax - b 1的解集為{x | x }，
a
b +1
當 a < 0時，不等式 ax - b 1的解集為{x | x }，
a
當 a 0，且b -1時，不等式 ax - b 1 -b 1 b -1，
所以，若關于 x 的不等式 ax - b 1的解集為 R，則 a 0 .
綜上，“ a 0 ”是關于 x 的不等式 ax - b 1的解集為 R 的必要非充分條件.
故選：B
17．（2024 高二下·重慶沙坪壩·期中）設 x R ，則“ 2 - x 0 ”是“ x +1 1”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】首先求出不等式的解集，再根據充分條件、必要條件的定義判斷即可.
【詳解】解：由 2 - x 0，解得 x 2，由 x +1 1，即-1 x +1 1，解得-2 x 0，
又 -2,0 - , 2 ，
由 2 - x 0推不出 x +1 1，故充分不成立，
由 x +1 1推得出 2 - x 0，即必要性成立，
所以“ 2 - x 0 ”是“ x +1 1”的必要不充分條件.
故選：B
18．（2024·天津紅橋·二模）設 ∈ R，則“ a > 0 ”是“| | > 0”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】利用絕對值的定義及充分條件必要條件的定義即可求解.
【詳解】由題意可知， a > 0 a > 0，
a > 0 a > 0或 a < 0，即 a > 0 不能推出 a > 0，
所以“ a > 0 ”是“| | > 0”的充分不必要條件.
故選：A.
3
19．（2024 高三上·山東菏澤·階段練習）已知 p : x k, q : <1，如果 p 是 q的充分不必要條件，則實數 k
x +1
的取值范圍是
A．[2, + ∞) B． (2,+ ) C．[1, + ) D． (- , -1]
【答案】B
【詳解】由題意可得 q:x<-1 或 x>2,由 p 是 q的充分不必要條件，得 > 2，選 B.
20．（2024 高一上·重慶渝中·階段練習）“關于 x 的不等式 ax2+ax-1<0 的解集為 R”的一個必要不充分條件是
（ ）
A．-4≤a≤0 B．-4C．-4≤a<0 D．-4【答案】A
【分析】分類討論，a 0和 a 0時，使關于 x 的不等式 ax2+ax-1<0 的解集為 R 的 a的取值范圍，再根據選
項找出其必要不充分條件．
【詳解】解：關于 x 的不等式 ax2+ax-1<0 的解集為 R，
當 a 0時，-1 < 0，解集為 R；
ìa < 0
當 a 0時， í a2 4a 0，解得
-4 < a < 0
D + <
綜合可得 -4 < a 0，
觀察選項要找范圍大的，可得 -4 < a 0的一個必要不充分條件是-4 a 0．
故選：A．
【點睛】本題考查二次不等式的解的問題，考查充分性，必要性的判斷，注意不要忽略 a 0的情況，是中
檔題．
21．（2024·湖南永州·二模）“不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立”的充要條件是（ ）
1 1
A．m > B．m <
4 4
C．m <1 D． m >1
【答案】A
1 1
【分析】根據不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立，求得m > ，再由m > ，說明不等式4 4 x
2 - x + m > 0在 R
上恒成立，即可得答案.
【詳解】∵不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立，
∴ D＝(-1)2
1
- 4m < 0 ，解得m > ，
4
m 1又∵ > ，∴ D 1- 4m < 0，則不等式 x2 - x + m > 0在 R 上恒成立，4
1
∴“ m > ”是“不等式 2
4 x - x + m > 0
在 R 上恒成立”的充要條件,
故選:A.
1
22．（2024 高一上·河北唐山·期末）已知 x 是實數，那么“ x 1”是“ 1”成立的（
x ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
1
【分析】解不等式 1求出 x 的范圍，再根據必要不充分條件定義判定可得答案.
x
1 1- x
【詳解】由 1得 0，解得0 < x 1，
x x
所以“ x 1”是“ 0 < x 1”成立的必要不充分條件，
x 1 1即“ ”是“ 1”成立的必要不充分條件.
x
故選：B.
23．（2024 高三下·天津濱海新·階段練習）設 ∈ ，則“ 0 < x < 3 ”是“ x -1 < 2 ” 的
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】解絕對值不等式 x -1 < 2求得 x 的取值范圍.然后根據兩者的范圍判斷正確選項.
【詳解】由 x -1 < 2，得-2 < x -1< 2，解得-1 < x < 3， 0,3 是 -1,3 的子集，故“ 0 < x < 3 ”是“ x -1 < 2 ”
的充分而不必要條件.故選 A.
【點睛】本小題主要考查絕對值不等式的解法，考查充分、必要條件的判斷，屬于基礎題.
二、多選題
24．（2024 高一·江蘇·假期作業）（多選題）使 x > 3成立的充分條件是（　　）
A． x > 4 B． x > 5
C． x > 2 D． x >1
【答案】AB
【分析】根據充分條件的判斷即可由選項求解.
【詳解】 x > 4 x > 3,x > 5 x > 3, x > 2和 x >1不可推出 x > 3．所以使 x > 3成立的充分條件是 x > 4或
x > 5，
故選：AB
25．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知條件 p：{x | x2 + x - 6 0}，條件 q：{x | xm +1 0}，且 p 是 q 的必
要條件，則 m 的值可以是（ ）
1 1 1
A． B． C．- D．0
2 3 2
【答案】BCD
【分析】根據必要條件轉化為集合的包含關系，求解即可.
【詳解】設 A {x | x2 + x - 6 0} {-3,2}，B {x | xm +1 0} ,
因為 p 是 q 的必要條件，所以B A，
當B 時，由mx +1 0無解可得m 0，符合題意；
當B 時，B {2}或B {-3}，當B {2}
1
時，由 2m +1 0解得m - ，
2
當B {-3}時，由-3m +1 0 m 1解得 .3
1 1
綜上，m 的取值為 0，- ， .
2 3
故選：BCD
26．（2024 高一上·江蘇宿遷·階段練習）二次函數 = 2 2 + 1的圖像恒在 x 軸上方的一個必要條件是
（ ）
1 a 1 a 1A．- < < B．-1 a 1 C． D． > 1
2 2 2
【答案】BD
【分析】先由二次函數圖象性質得出圖像恒在 x 軸上方的充要條件，再根據必要條件定義即可求.
2
【詳解】二次函數 = 2 2 + 1的圖像恒在 x 軸上方的充要條件為D -2a - 4 < 0 a -1,1 ，
又 -1,1 -1,1 , -1,1 -1, + ，所以必要條件為-1 a 1、 > 1.
故選：BD
27．（2024 高一上·山東·階段練習）“ x > 3”的必要不充分條件可以是（ ）
A． x > 0 B． x 2 C． x 3 D． x > 5
【答案】ABC
【分析】將必要不充分條件轉化為包含關系即可得到結果.
【詳解】由 x > 3，可得構成集合M x x > 3 ，結合選項可得集合 x x > 0 ， x x 2 ， x x 3 都真包含
M ，所以 x > 0， x 2， x 3都是 x > 3的必要不充分條件.
故選:ABC.
28．（2024高一上·遼寧沈陽·階段練習）已知集合 A x | a +1< x < 2a - 3 ，B {x | x -2或x 7}，則 AI B
的必要不充分條件可能是（ ）
A． a < 7 B． a < 6 C． a 5 D． a < 4
【答案】AB
【分析】分 A 為空集和不為空集兩種情況求得 AI B 的充要條件，然后根據選項逐一判斷可得.
ìa +1< 2a - 3

【詳解】若 AI B ，則 a +1 2a - 3或 ía +1 -2 ，解得 a 4或 4 < a 5，

2a - 3 7
所以， AI B 的充要條件為 a 5，
所以 AI B 的必要不充分條件可能為 a < 7， a < 6
故選：AB
29．（2024 高一上·四川綿陽·期中）下列選項中，滿足 p 是 q 的充分條件的是（ ）
A． p : x > 2, q : x >1B． p : m 0,q : mn 0 C． p : x2 0, q : x 0 D． : > , : 2 > 2
【答案】ABC
【分析】根據充分條件的定義依次判斷各選項即可.
【詳解】對于 A，由 x > 2 可推出 x >1，所以 x > 2 是 x >1的充分條件，A 正確，
對于 B，由m 0可推出mn 0，所以m 0是mn 0的充分條件，B 正確，
對于 C，由 x2 0可推出 x 0，所以 x2 0是 x 0的充分條件，C 正確，
對于 D，當 x 2， y -2時， > ，但是 2 = 2，所以 > 不是 2 > 2的充分條件，D 錯誤，
故選：ABC.
30．（2024 高一·江蘇·假期作業）下列命題是真命題的是（　　）
A．“x＞2”是“x＞3”的必要條件
B．“x＝2”是“x2＝4”的必要條件
C．“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件
D．p：a＞b，q：ac＞bc，p 是 q 的必要條件
【答案】AC
【分析】根據充分條件與必要條件的定義逐項判斷即可.
【詳解】∵x＞3 x＞2，“x＞2”是“x＞3”的必要條件，∴A 是真命題；
∵x＝2 x2＝4，x2＝4 不能推出 x＝2，“x＝2”不是“x2＝4”的必要條件，∴B 是假命題；
∵A∩B＝B A∪B＝A，“A∪B＝A”是“A∩B＝B”的必要條件，反之也成立，故也是充分條件，∴C 是真命題；
∵ac＞bc，c<0 時，a故選：AC.
31．（2024 高一上·河南商丘·期中）下列條件中，使“ x - 2 > 0 ”成立的充分條件的是（ ）
A． 0, + B． -1, + C． 3, + D． 4, +
【答案】CD
【分析】根據充分必要條件的定義對選項逐一分析即可.
【詳解】假設使“ x - 2 > 0 ”成立的充分條件的是 p ，則 p x - 2 > 0，即求能推得 x - 2 > 0成立的條件，
對于 A，令 x 1 0,+ ，則 x - 2 1- 2 -1 < 0，故 A 錯誤；
對于 B，令 x 1 -1, + ，則 x - 2 1- 2 -1 < 0，故 B 錯誤；
對于 C，因為 x 3,+ ，即 x > 3，故 x - 2 >1 > 0，故 C 正確；
對于 D，因為 x 4, + ，即 x > 4，故 x - 2 > 2 > 0，故 D 正確；
故選：CD.
32．（2024 高三上·江蘇鹽城·階段練習）“不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立”的一個充分不必要條件是（ ）
m 1A． > B．0 < m <1 C．m > 2 D．m >1
4
【答案】CD
【解析】先計算已知條件的等價范圍，再利用充分條件和必要條件的定義逐一判斷即可.
【詳解】因為“不等式 x2 - x + m > 0在R 上恒成立”，所以等價于二次方程的 x2 - x + m 0判別式D 1- 4m < 0，
1
即m > .
4
所以 A 選項是充要條件，A 不正確；
1
B 選項中，m > 不可推導出0 < m <1，B 不正確；
4
1 1 1
C 選項中，m > 2 可推導m > ，且m > 不可推導m > 2 ，故m > 2 是m > 的充分不必要條件，故 C 正確；
4 4 4
1 1 1
D 選項中，m >1可推導m> ，且m> 不可推導m >1，故m>1是m > 的充分不必要條件，故 D 正確.
4 4 4
故選：CD.
【點睛】結論點睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據如下規則判斷：
（1）若 p 是 q的必要不充分條件，則 q對應集合是 p 對應集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要條件， 則 p 對應集合是 q對應集合的真子集；
（3） p 是 q的充分必要條件，則 p 對應集合與 q對應集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要條件， q對的集合與 p 對應集合互不包含．
33．（2024 高一上·海南海口·階段練習）若-1 < x < 2是-2 < x < a的充分不必要條件，則實數 的值可以是
（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】BCD
【分析】根據-1 < x < 2是-2 < x < a的充分不必要條件可得 (-1,2) (-2,a)，求得 a 的范圍，可得答案.
【詳解】由題意可知-1 < x < 2是-2 < x < a的充分不必要條件，
則 (-1,2) (-2,a)，故 a 2，
故 a 的值可取 2,3,4，
故選：BCD.
34．（2024 高一·全國·課后作業）設全集為U ，在下列條件中，是B A的充要條件的有（ ）
A． A B A B． U A B C． U A U B D． AU U B U
【答案】ABCD
【分析】結合 Venn 圖，利用充分條件和必要條件的定義，對選項逐一判斷即可.
【詳解】對于 A，若 A B A，則B A；反過來，若B A，則 A B A，故互為充要條件，故正確；
對于 B，如下 Venn 圖，
若 U A B ，則B A，若B A，則 U A B ，故正確；
選項 C 中，若 U A U B ，則B A；反過來，若B A，則 U A U B ，故互為充要條件，故正確；
選項D中，若 AU U B U ，則 U A U B ，故B A；反過來，若B A，則 U A U B ，故 AU U B U ，
故互為充要條件，故正確.
故選：ABCD.
三、填空題
35．（2024 高一·全國·單元測試）已知 p : -2 x 10 ，q :1- m x 1+ m(m > 0)，且 p 是 q的必要不充分條件，
則實數m 的取值范圍是 ．
【答案】0 < ≤ 3
【分析】利用集合法，將 p 是 q的必要不充分條件轉化為兩集合間真包含關系，列出關于m 的不等式組，解
不等式組即可得到答案．
【詳解】因為 p : -2 x 10 ， q :1- m x 1+ m(m > 0)，且 p 是 q的必要不充分條件，
所以{x |1- m x 1+ m}是{x | -2 x 10}的真子集，且{x |1- m x 1+ m}不是空集.
ì1- m -2

所以 í1+ m 10 且等號不同時成立，解得0 < ≤ 3，

m > 0
所以實數m 的取值范圍是0 < ≤ 3，
故答案為:0 < ≤ 3.
【點睛】解決根據充分條件和必要條件條件求參數取值范圍的問題：一般是把充分條件、必要條件或充要
條件轉化為集合之間的關系，然后根據集合之間的包含、相等關系，列出關于參數的不等式(組)求解.
36．（2024 高一·全國·課后作業）“ x <1”是“ x 1”的是 條件．
【答案】充分不必要
【分析】根據充分不必要條件的定義即可求解.
【詳解】若 x <1，則 x 1，但 x 1不能得到 x <1，故“ x <1”是“ x 1”的是充分不必要條件，
故答案為：充分不必要
37．（2024 高一上·江蘇徐州·期中）已知集合P x -1 x 4 ， S x 1- m x 1+ m ，則 ∈ 是 ∈ 的
充分不必要條件，則m 的取值范圍為 .
【答案】 ≥ 3
【分析】分析可得 P S ，可得出關于實數m 的不等式組，由此可解得實數m 的取值范圍.
ì1- m -1
【詳解】由題意可知， P S ，則 í1 m 4 （等號不同時成立） ，解得 ≥ 3. +
故答案為： ≥ 3.
38．（2024 高三·全國·專題練習）下列命題中所有真命題的序號是
①“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的充分條件；
②“| | > | |”是“ a2 > b2 ”的必要條件；
③“ a > b ”是“ + > + ”的必要條件．
【答案】②③
【分析】根據充分性、必要性的定義進行求解即可.
【詳解】對于①，若 a -1，b -2，則不滿足 a2 > b2 ，故①是假命題；
對于②，若 a2 > b2 ，則 2 > 2，從而| | > | |，故②是真命題；
對于③，若 + > + ，則 + > + ，即 a > b，故③是真命題．
故答案為：②③
39．（2024 高三上·河南駐馬店·階段練習）在整數集中，被 4除所得余數為 k 的所有整數組成一個“類”，記為
k ，即 k 4n + k n Z , k 0,1,2,3 .給出下列四個結論.
① 2021 1 ；② -1 1 ；③ Z 0 1 2 3 ；④“整數 a,b屬于同一“類””的充要條件是“ a - b 0 ”.
其中正確的結論是 （填所有正確的結論的序號）.
【答案】①③④
【分析】根據“類”的定義可判斷①②③的正誤；根據“類”的定義結合充分條件、必要條件的定義可判斷④
的正誤.
【詳解】對于①，Q2021 4 505 +1，則 2021 1 ，①正確；
對于②，Q-1 4 -1 + 3，則-1 3 ，②不正確；
對于③，Q任意整數除以 4，余數可以且只可以是0,1,2,3四類，
則Z 0 1 2 3 ，③正確；
對于④，若整數 a、b 屬于同一“類”，
則整數 a、b 被 4除的余數相同，可設 a 4n1 + k ，b 4n2 + k ，其中 n1、 n2 Z ， k 0,1,2,3 ，
則 a - b 4 n1 - n2 ，故 a - b 0 ，
若 a - b 0 ，不妨令 a 4n1 + k1,b 4n2 + k2 n1,n2 Z ,k1,k2 0,1,2,3 ，
則 a - b 4(n1 - n2 ) + k1 - k2 ，
顯然 n1 - n2 Z , k1 - k2 0,1,2,3 ，于是得 k1 - k2 0，\k1 k2 ，即整數 a,b屬于同一“類”，
\“整數 a,b屬于同一“類””的充要條件是“ a - b 0 ”，④正確．
\正確的結論是①③④.
故答案為：①③④.
40．（2024 高一上·江蘇連云港·期末）若不等式| | < 的一個充分條件為-2 < x < 0，則實數 a 的取值范圍
是 .
【答案】 a 2
【分析】根據含絕對值不等式的解法，求解不等式的解集，結合充分條件，列出關系式，即可求解.
【詳解】由不等式| | < ，
當 a 0時，不等式| | < 的解集為空集，顯然不成立；
當 a > 0時，不等式| | < ，可得-a < x < a，
要使得不等式| | < 的一個充分條件為-2 < x < 0，則滿足{ | 2 < < 0} { | < < }，
所以 2 ≥ ，即 a 2
∴實數 a 的取值范圍是 a 2 .
故答案為： a 2 .
四、解答題
41．（2024 高一上·四川眉山·階段練習）已知集合 A {x | 0 x 4}，B x 1- a x 1+ a ，是否存在實數
a，使得 x A是 x B成立的______？
(1)當橫線部分內容為“充要條件”時，若問題中的 a存在，求出 a的取值范圍，若問題中的 a不存在，請說明
理由？
(2)請在①充分不必要條件②必要不充分條件這兩個條件中任選一個補充在上面的問題中橫線部分．若問題
中的 a存在，求出 a的取值范圍，若問題中的 a不存在，請說明理由．
【答案】(1)不存在滿足條件的 a，理由見解析
(2)若選①，問題中的 a存在，且 a的取值集合M a a 3 ，若選②，問題中的 a存在，且 a的取值集合
M {a | a 1}.
【分析】（1）轉化為 A B，根據兩個集合相等列式可求出結果；
（2）若選①，根據A 是 B 的真子集列式可求出結果；若選②，根據 B 是A 的真子集列式可求出結果.
【詳解】（1）當橫線部分內容為“充要條件”時，則 A B，則1- a 0且1+ a 4 ，方程組無解.
∴不存在滿足條件的 a .
（2）若選①，則A 是 B 的真子集，則1- a 0且1+ a 4（兩等號不同時取），且1- a 1+ a ，解得 a 3，
∴問題中的 a存在，且 a的取值集合M a a 3 .
選②，則 B 是A 的真子集，
當B 時，1- a >1+ a，即 a < 0，滿足 B 是A 的真子集；
當B 時，1- a 1+ a ，即 a 0，由 B 是A 的真子集，得1- a 0且1+ a 4（兩等號不同時取），解得0 a 1；
綜上所述：a 1 .
所以問題中的 a存在，且 a的取值集合M {a | a 1}.
42．（2024 高一上·山東日照·期末）已知“ $x x -2 < x < 2 ，使等式 x2 - 2x - m 0 ”是真命題.
（1）求實數m 的取值范圍M ：
（2）設關于 x 的不等式 (x - a)(x - a -1) < 0的解集為 N ，若“ x N ”是“ x M ”的充分條件，求 a的取值范圍.
【答案】（1）M -1,8 ；（2）-1 a 7 .
【解析】（1）利用參數分離法將m 用 x 表示，結合二次函數的性質求出m 的范圍即可求解；
（2）先求出集合 N ，有已知條件可得 N 是M 的子集，結合數軸即可求解
【詳解】（1）若“ $x x -2 < x < 2 ，使等式 x2 - 2x - m 0 ”是真命題，
則m x2 - 2x x -1 2 -1，
因為-2 < x < 2，所以m x -1 2 -1 -1,8 ，
所以M -1,8 ，
（2）由不等式 (x - a)(x - a -1) < 0可得 a < x < a +1，
所以 N x | a < x < a +1 ，
若“ x N ”是“ x M ”的充分條件，
ìa -1
則 N 是M 的子集，所以 í 解得-1 a 7，
a +1 8
經檢驗 a -1、 a 7符合題意，
所以 a的取值范圍是-1 a 7
【點睛】結論點睛：從集合的觀點分析充分、必要條件，根據如下規則判斷：
（1）若 p 是 q的必要不充分條件，則 q對應集合是 p 對應集合的真子集；
（2） p 是 q的充分不必要條件， 則 p 對應集合是 q對應集合的真子集；
（3） p 是 q的充分必要條件，則 p 對應集合與 q對應集合相等；
（4） p 是 q的既不充分又不必要條件， q對的集合與 p 對應集合互不包含．
43．（2024 高一上·浙江· 2期中）集合 A x - 3x - x + 2 > 0 ，B x 4x - 3 < 0 .
(1)求 R A B；
(2)設集合C x 2a < x <1- a ，若“ x B ”是“ ∈ ”的必要條件，求實數 a 的取值范圍.
2 3ü
【答案】(1) x x -1或 x <3 4
é1
(2) ,+ ÷
ê4
2 3
【分析】（1）求解不等式得到 A
ì ü ì ü
íx -1 < x < ，B x x <3 í 4
，從而求出 R A B；

（2）根據“ x B ”是“ ∈ ”的必要條件得到C 是 B 的子集，分C 與C 兩種情況，列出不等式組，求
出實數 a 的取值范圍.
2
【詳解】（1） A x - 3x - x + 2 0 ìx 1 x 2> í - < < ü3 ，
ì
所以 R A íx x
2
或 x -1 ，
3
B x 4x - 3 < 0 ì 3üíx x < 4 ，
A B 2 3 2 3 A ìx x x -1 ìx x < ü x x -1 x < ü故 R R í 或 í 或
3 4 3 4


（2）若“ x B ”是“ ∈ ”的必要條件，則C 是 B 的子集，
若C ，故 2a 1- a 1，解得： ≥ 3，
ì2a <1- a 1 1
若C

，則 í 3 ，解得： a < ，
1- a 4 3 4
1
綜上： a
1
é ，故實數 a 的取值范圍是
4 ê
,+ ÷
4
44 2．（2024 高一上·陜西西安·階段練習）已知全集為R ，集合 A= x x -8x+12 0 ，B= x 3x-7 8-2x .
(1)求 A B ；
(2)若C= x a-4 x a+4 ，且“ ∈ ∩ ”是“ ∈ ”的充分不必要條件，求實數 a的取值范圍.
【答案】(1) 3,6
(2) 2 a 7
【分析】（1）先分別求出集合 A, B，然后再求交集即可；
（2）可分析出 A B 是C 的真子集，列出不等式求解即可.
【詳解】（1）解： x2 -8x +12 0解得 2 x 6所以 A 2,6 ，
由3x - 7 8 - 2x 解得 x 3，所以B 3,+ ，
所以 A B 3,6
（2）解：因為“ ∈ ∩ ”是“ ∈ ”的充分不必要條件，
所以 AI B C 且 A B C ，
ìa - 4 3
所以 í a 4 6 （等號不同時成立）得
2 a 7，
+
所以實數 a的取值范圍是 2 a 7 .
45．（2024 2高一上·江蘇常州·階段練習）設集合 A x x + 2x - 3 < 0 ，B x -a -1< x < a -1,a > 0 ，命題
p： x A，命題 q： x B．
(1)若 p 是 q 的充要條件，求正實數 a 的取值范圍；
(2)若 p 是 q 的必要不充分條件，求正實數 a 的取值范圍．
【答案】(1) 2
(2) 0,2
ì-a -1 -3
【分析】（1）通過解不等式可得 = { | 3 < < 1}，由 p 是 q 的充要條件，得 A B，即 ía ，從 -1 1
而即可求出實數 a 的取值范圍；
（2）根據 p 是 q 的必要不充分條件，得 B A，從而即可求出實數 a 的取值范圍．
【詳解】（1）由 x2 + 2x - 3 < 0，得 x + 3 x -1 < 0 ，
解得-3 < x <1，所以 = { | 3 < < 1}，
ì-a -1 -3
由 p 是 q 的充要條件，得 A B，即 ía 1 1 ，解得 a 2， -
所以實數 a 的取值范圍是 2 ；
（2）由 p 是 q 的必要不充分條件，得 B A，
ì-a -1 > -3

又 a > 0，則B ，所以 ía -1<1 ，解得0 < a < 2 ，

a -1 > -a -1
綜上實數 a 的取值范圍是 0,2 ．
46．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知集合 A x | -2 x 6 ， B x |1- m x 1+ m ，m > 0 .請在①
充分條件，②必要條件，③充要條件這三個條件中任選一個，補充在下面問題（2）中，若問題（2）中的
實數m 存在，求出m 的取值范圍；若不存在，請說明理由．
(1)若 AU B A，求實數m 的取值范圍；
(2)若 x A是 x B的________條件，判斷實數m 是否存在？
【答案】(1) 0,3
(2)答案見解析
【分析】（1）由集合運算得出集合關系，通過包含得出結果；
（2）分別將題目中給出的三個不同條件轉化為集合之間的包含（或相等）關系，根據集合之間的包含（或
相等）關系，得出結果.
【詳解】（1）若 AU B A，則B A，
ìm > 0

則 í1+ m 6 ，解得0 < ≤ 3，

1- m -2
所以實數m 的取值范圍是 0,3 ．
（2）若選擇條件①，即 x A是 x B的充分條件，則 A B ，
ì1+ m 6
所以 í
1- m
，解得 ≥ 5，
-2
所以實數m 的取值范圍是 5,+ ；
若選擇條件②，即 x A是 x B的必要條件，則B A，
ì1+ m 6
所以 í ，解得m 3
1- m -2
．
又m > 0，所以0 < ≤ 3，
所以實數m 的取值范圍是 0,3 ；
若選擇條件③，即 x A是 x B的充要條件，則 A B，
ì1+ m 6
所以 í1 m 2 ，方程組無解， - -
所以不存在滿足條件的實數m ．
47．（2024 高一上·河南鄭州·階段練習）已知M = x|a x a+3 ,N = x|x>1或 x<- 6 ．
(1)若M N ，求實數 a 的取值范圍；
(2)若 x N 是 x M 的必要條件，求實數 a 的取值范圍．
【答案】(1) -6 a -2；
(2) a > 1或 a < -9 .
【分析】（1）由交集的定義得出關于 的不等式組，解出 的取值范圍即可；
（2）利用必要條件的定義，結合子集的定義得出關于 的不等式組，解出即可.
【詳解】（1）Q M = x|a x a+3 ,N = x|x>1或 x<- 6 ，M N ，
ì a -6
\í ，解得：-6 a -2，
a+3 1
\a的取值范圍是-6 a -2；
（2）因為 x N 是 x M 的必要條件，
所以M N ，
\a >1或 a + 3 < -6，
\a的取值范圍是 a > 1或 a < -9 .
48．（2024 高一上·安徽蕪湖·期末）已知集合 A
ì 2x - 5 ü
íx <1 ，B x -k < x < 2k +1 .
x +1
(1)若 A B A，求實數 k 的取值范圍；
(2)已知命題 : ∈ ，命題 : ∈ ，若 p 是 q 的必要不充分條件，求實數 k 的取值范圍.
5
【答案】(1) k
2
(2) k 1
【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合A ，根據集合之間的關系，可列不等式，可得答案；
（2）根據必要不充分條件，可得集合之間的關系，利用分類討論，可列不等式，可得答案.
2x - 5 2x - 5 x - 6
【詳解】（1）由 <1，移項可得 -1< 0，通分并合并同類項可得 < 0，等價于
x +1 x +1 x +1
x - 6 x +1 < 0，解得-1 < x < 6，則 A x -1< x < 6 ；
ì-k -1 5
由 A B A，則 A B ，即 í k .
6 2k
，解得
+1 2
（2）p 是 q 的必要不充分條件等價于B A .
1
①當B 時，-k 2k +1，解得 k - ，滿足.
3
ì 1
k > -
3
②當B 時，原問題等價于 í-k -1 （不同時取等號）

2k +1 6

1
解得- < k 1 .
3
綜上，實數 k 的取值范圍是 k 1 .
1- x
49．（2024 高二下·江蘇鎮江·期末）不等式 > 0的解集是 A，關于 x 的不等式 2
x 2 x - 4mx - 5m
2 0 的解集是
+
B.
(1)若m 1時，求 A B ；
ì x2 - x - 6 0
(2)設命題 p：實數 x 滿足 x2 - 4ax + 3a2 < 0，其中 a > 0；命題 q：實數 x 滿足 í 2 .若 p 是 q 的必
x + 2x -8 > 0
要不充分條件，求實數 a 的取值范圍.
【答案】(1){x | -1 x < 1} ;
(2){a |1 < a 2} .
【分析】（1）m 1時，求出集合A ， B ，由此能求出 AIB．
（2）利用不等式的解法求解出命題 p ， q中的不等式范圍問題，結合二者的關系得出關于字母 a的不等式，
從而求解出 a的取值范圍．
1- x
【詳解】（1）解：不等式 > 0的解集為A ，關于 x 的不等式 x2 - 4mx - 5m2 < 0 的解集為 B
x + 2
\ A {x | 1- x > 0} { {x | -2 < x < 1}
x ，+ 2
m 1時， B {x | x2 - 4x - 5 0} {x | -1 x 5}，
\ AIB {x | -1 x < 1}．
（2）解：當 a > 0時， x2 - 4ax + 3a2 < 0的解集為 A (a,3a)；
若 p 是 q的必要不充分條件，
ìa 2
\(2，3] A，則 í 1< a 23a 3 ； >
故 a的取值范圍是{a |1 < a 2}．

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