資源簡介

1.3 集合的基本運算 11 題型分類
一、并集
【思考 1】“x∈A 或 x∈B”包含哪幾種情況？
“x∈A 或 x∈B”這一條件包括下列三種情況：x∈A，但 x B；x∈B，但 x A；x∈A，且 x∈B.用
Venn 圖表示如圖所示．
【思考 2】集合 A∪B 的元素個數是否等于集合 A 與集合 B 的元素個數和？
不等于，A∪B 的元素個數小于或等于集合 A 與集合 B 的元素個數和．
二、交集
【特別提醒】
交集有下列運算性質：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩ ＝ 。
三、全集
1.定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．
2.記法：全集通常記作 U.
【思考】全集一定是實數集 R 嗎？
全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數范圍內解不等式，
全集為實數集 R，而在整數范圍內解不等式，則全集為整數集 Z.
四、補集
對于一個集合 A，由全集 U 中不屬于集合 A 的所有元素組成的
自然語言
集合稱為集合 A 相對于全集 U 的補集，記作 UA
符號語言 UA＝{x|x∈U，且 x A}
圖形語言
【特別提醒】
(1)補集是相對于全集而言的，它與全集不可分割．一方面，若沒有定義全集，則不存在補集
的說法；另一方面，補集的元素逃不出全集的范圍．
(2)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算．求集合 A 的補集的前提是 A
為全集 U 的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的．
(3)符號 UA 有三層意思：
①A 是 U 的子集，即 A U；
② CUA表示一個集合，且( CUA ) U；
③ CUA是 U 中不屬于 A 的所有元素組成的集合，即CUA＝{x|x∈U，且 x A}．
(4)若 x∈U，則 x∈A 或 x∈ CUA，二者必居其一．
五、運算律
(1) 交換律 A B = B A，A B = B A；
(2) 結合律 (A B) C = A (B C)，(A B) C = A (B C)；
(3) 分配律 (A B) C = (A C) (B C)，(A B) C = (A C) (B C)；
(4) 德摩根律 U(A B) = ( UA) ( UB)， U(A B) = ( UA) ( UB).
（一）
并集的運算
1、求集合并集的方法
(1)兩集合用列舉法給出：①依定義，直接觀察求并集；②借助 Venn 圖寫并集．
(2)兩集合用描述法給出：①直接觀察，寫出并集；②借助數軸，求出并集．
(3)一個集合用描述法，另一個用列舉法：①直接觀察，找出并集；②借助圖形，觀察寫出并集．
2、集合并集運算應注意：
(1)對于描述法給出的集合，應先看集合的代表元素是什么，然后將集合化簡，再按定義求解．
(2)求解時要注意集合元素的互異性這一屬性的應用，重復的元素只能算一個．
(3)無限集進行并集運算時，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要注意端點值能否取到．
題型 1：求兩個集合的并集
1-1．（2024 高二下·浙江寧波·期末）已知集合 A = 0,1,2 ，B = -1,0 ，則 AU B =（ ）
A． -1,1,2 B． 0,1,2 C． -1,0 D． -1,0,1,2
【答案】D
【分析】根據并集的定義計算可得.
【詳解】因為 A = 0,1,2 ，B = -1,0 ，
所以 A B = -1,0,1,2 .
故選：D
1-2．（2024 高一下·浙江·期中）設集合 A = x -1 x 3 ，B = x 0 < x < 4 ，則 AU B =（ ）
A． -1,3 B． - , 4 C． 0,3 D． -1,4
【答案】D
【分析】由集合的并集即可得出答案.
【詳解】集合 A = x -1 x 3 ，B = x 0 < x < 4 ，
則 AU B = -1,4
故選：D.
1-3．（2024·北京順義·一模）已知集合 A = x -2 < x < 2 ，B = x 0 < x 3 ，則 AU B =（ ）
A． x -2 < x 3 B． x 0 < x < 2 C． x -2 < x 0 D． x 2 < x < 3
【答案】A
【分析】根據并集的運算，計算即可得出答案.
【詳解】根據并集的運算可知， A B = x -2 < x < 2 x 0 < x 3 = x -2 < x 3 .
故選：A.
題型 2：利用并集運算求參數
2-1．（2024 高二下·江西景德鎮·期中）設集合M = x - 3 < x < 7 ， N = x 2 - t < x < 2t +1, t R ，若
M N = M ，則實數 t的取值范圍為（ ）
t 1 1A． B． < t < 3 C． t≤3 D． t 3
3 3
【答案】C
【分析】根據M N = M ，可得 N M ，再分 N = 和 ≠ 兩種情況討論即可.
【詳解】因為M N = M ，所以 N M ，
1
當2 - t 2t +1，即 t 時， N = M ，符合題意；
3
當 ≠ 時，
ì2t +1 7

則 í2 - t -3
1
，解得 < t 3，
3
2t +1 > 2 - t
綜上所述實數 t的取值范圍為 t≤3 .
故選：C.
2-2．（2024 高三·全國·課后作業）已知集合 A = x - 2 x 7 ，B = x m +1 x 2m -1 ，且 AU B = A，則
實數 m 的取值范圍是 ．
【答案】m 4
【分析】分析可知B A，分B = 、B 兩種情況討論，根據B A可得出關于實數m 的不等式（組），
綜合可得出實數m 的取值范圍.
【詳解】因為 AU B = A，則B A .
當m +1 > 2m -1時，即當m < 2時，B = A，滿足題意；
當m +1 2m -1時，即當m≥ 2 時，B ，
ìm +1 -2
由B A可得 í ，解得-3 m 4，此時 2 m 4 .
2m -1 7
綜上所述，m 4 .
故答案為：m 4 .
2-3．（2024 高一上·山西晉中·階段練習）已知 A = {-1， 2}，B = {x | mx +1 = 0}，若 AUB = A，則實數m 的取
值所成的集合是 (　　 )
ì 1 ü ì 1 ü ì
A． í-1, B． í- ,1 C． í-1,0,
1 ü ì 1
D． í- ,0,1
ü
2

2 2 2
【答案】D
【分析】 AUB = A，可得B A，B = ，{-1}，{2}．對m 分類討論即可得出．
【詳解】Q AUB = A，\B A，\B = ，{-1}，{2}．
m = 0時，B = ，滿足條件．
m 0 時，-m +1 = 0，或 2m +1 = 0，
1
解得m =1或- ．
2
1
綜上可得：實數m 的取值所成的集合是{0，1， - }2 ．
故選：D
（二）
交集的運算
1、求兩個集合的交集的方法
(1)對于元素個數有限的集合，逐個挑出兩個集合的公共元素即可．
(2)對于元素個數無限的集合，一般借助數軸求交集，兩個集合的交集等于兩個集合在數軸上的相應圖形所
覆蓋的公共范圍，要注意端點值的取舍．　
2、求集合 A∩B 的步驟：
(1)搞清集合 A，B 的代表元素是什么；
(2)把所求交集的集合用集合符號表示出來；
(3)把集合 A，B 的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素，則所求交集為 )
題型 3：求兩個集合的交集
3-1．（2024 高三上·江西贛州·階段練習）已知集合 A = x x - 2 2x +1 0 ，B = x x＜1 ，則 AI B =（ ）
ìx 1 x 1ü ì 1 üA． í - B． íx - x＜1
2 2
ì 1 ü
C．{ |1 ≤ ≤ 2} D． íx x - 2
【答案】B
【分析】先化簡集合，再結合集合的交集運算法則進行計算即可.
ì 1 ü
【詳解】由題意得， A = x x - 2 2x +1 0 = íx - x 2 ， =2 { | < 1}，
所以 A B
ìx 1 x ü= í - <12
故選：B
3-2．（2024 高二下·四川成都·期末）已知集合 A = x - 2 < x < 2 ，B = x x > 3 ，則 AI B =（ ）
A． -2,2 B． -2, 3 C． 3,2 D． -2, +
【答案】C
【分析】根據集合的交集運算求解.
【詳解】 A = x - 2 < x < 2 ，B = x x > 3 ，則 A B = x 3 < x < 2 .
故選：C
3-3．（2024 高一上·云南紅河·期末）設集合 A = x | 0 < x < 4 ，B = 2,3,4,5,6 ，則 AI B =（ ）
A． 2,3 B． 3,4
C． 2,3,4 D． 1,2,3,4,5,6
【答案】A
【分析】根據交集的定義計算即可.
【詳解】由題意可得： A B = 2,3 .
故選：A
3-4．（2024·河北承德·模擬預測）已知集合 A = -1,0,1,2,3 ，B = y | y = 2x2 -1, x A ，則 AI B =（ ）
A． -1,1 B． 1 C． -1,0,1 D． 0
【答案】A
【分析】由已知條件列舉法表示出集合 B，由交集的定義即可求出 A B .
【詳解】集合 A = -1,0,1,2,3 B = y | y = 2x2， -1, x A = -1,1,7,17 ，
AI B = -1,1 .
故選：A
題型 4：利用交集運算求參數
4-1 2．（2024·山東濟寧·二模）已知集合 A = 2,5,m - m ，B = {2,m + 3}，若 AI B = B，則m =（ ）
A．-3 B．-1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】根據 AI B = B得出m + 3 = 5 或m + 3 = m2 - m ，分別求出m 的值，并檢驗是否滿足集合中元素的互
異性，即可得出m 的值．
【詳解】因為 AI B = B，
所以m + 3 = 5 或m + 3 = m2 - m ，
當m + 3 = 5 時，即m = 2 ，
則 2 = m2 - m，不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當m + 3 = m2 - m 時，m = 3或m = -1，
當m = -1時， 2 = m2 - m，不滿足集合中元素的互異性，舍去；
當m = 3時， A = 2,5,6 ，B = {2,6}滿足題意，
所以m = 3，
故選：D．
4-2．（2024 2高二下·甘肅蘭州·期末）已知集合 A = 1,2,3 ,B = 2a,a + a ．若 ∩ = {2}，則 a = ．
【答案】-2
【分析】根據交集的定義，結合集合中元素的互異性進行求解即可.
【詳解】當 2a = 2時， a =1，此時B = 2,2 不滿足集合中元素的互異性，所以 a =1（舍）；
當 a2 + a = 2時，可得a = -2,a = 1（舍），
此時，B = -4,2 ，滿足條件，所以 a = -2 ．
故答案為：-2
4-3 2024· · A = x | a < x < a2．（ 陜西商洛 三模）已知集合 +1, a Z ，B = {x | 2 < x < 6}，若 A B = A，則 a =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】有集合間的關系建立不等式組求出即可.
【詳解】由 A B = A，得 A B ，易知集合A 非空，
ìa 2 ìa 2
a2

則 í +1 6 í- 5 a 5 ，

a Z a Z
解得 a = 2．
故選：B.
（三）
補集的基本運算
求集合補集的基本方法及處理技巧
(1)基本方法：定義法．
(2)兩種處理技巧：
①當集合用列舉法表示時，可借助 Venn 圖求解；
②當集合是用描述法表示的連續數集時，可借助數軸，利用數軸分析求解．
題型 5：求兩個集合的補集
5-1．（2024 高一·全國·專題練習）設全集U = 0,1,2,3,4 ，集合 A = x U x - 2 <1 ，則 U A =（ ）
A． x 1< x < 3 B． x 1< x 3 C． 2 D． 0,1,3,4
【答案】D
【分析】先化簡集合 A，然后根據補集的定義即可求解.
【詳解】根據集合A 的定義，絕對值的意義可知，逐一帶入 x = 0,1,2,3,4到 x - 2 < 1中，
只有 x = 2符合，于是 A = {2}，所以 U A = 0,1,3,4 .
故選：D.
5-2．（2024 高二下·貴州·階段練習）已知集合 A = x 2 x 5 ，B = x 3 x < 4 ，則 AB =（ ）
A． 2,4,5 B． x 2 x < 3或 4 x 5
C． x 2 x 3或 4 x 5 D． x 2 x < 3或 4 < x 5
【答案】B
【分析】利用補集的定義可求得集合 AB .
【詳解】因為集合 A = x 2 x 5 ，B = x 3 x < 4 ，故 AB = x 2 x < 3或 4 x 5 .
故選：B.
ì n 1 ü ì n ü
5-3．（2024·安徽合肥·一模）設集合M = íx x = + , n Z ， N = íx x = , n Z ，則 2 4 N
M = （ ）
4
ìx x n , n ZüA． B． í =
2
ì
C． íx x
3n
= ,n Zü D． x x = 2n,n Z
4
【答案】B
1
【分析】根據兩集合中的元素特征可知，集合M , N 分別表示的是 4 的奇數倍和整數倍，根據補集運算可知
M 1N 表示的應是 的偶數倍.4
n 1 2n +1 1
【詳解】由題意可知， x = + = = 2n +1 , n Z 1，可知集合M 表示的是 的奇數倍，
2 4 4 4 4
而由 x
n
= , n Z 1可知，集合 N 表示的是 4 的整數倍，4
即 N
ì
= M íx x
2n ü ì 2n n ü
= , n Z ，所以 N M = íx x = = , n Z4 4 2
.

故選：B
5-4．（2024 高三上·海南·期末）設全集U = {x Z || x |< 3}，集合 A = {x | x3 - x = 0}，則 U A =（ ）
A． -2,0,2 B． -2,2,3
C． -2,2 D． -3,-2,2,3
【答案】C
【分析】利用補集定義即可求出結果.
【詳解】U = {x Z | x < 3} = {x Z | -3 < x < 3} = -2, -1,0,1,2 ，
A = {x | x3 - x = 0} = {x | x(x -1)(x +1) = 0} = -1,0,1 ，
U A = -2,2 .
故選:C.
題型 6：利用補集運算求參數
6-1．（2024 高二下·山東濱州·階段練習）設集合 A = {1,3,5,7}， U A = {2,4,6,8}， U B = {1,2,3,4}，則集合 B＝ ．
【答案】{5,6,7,8}
【分析】首先由A 和 U A求出全集U ，再根據 U B ，即可求出 B ．
【詳解】因為 A = {1,3,5,7}， U A = {2,4,6,8}，
所以U = A U A = 1,2,3,4,5,6,7,8 ，
又因為 U B = {1,2,3,4}，
所以B = {5,6,7,8}，
故答案為：{5,6,7,8}．
6-2．（2024· 2遼寧鞍山·模擬預測）設全集U = 2,4,a ，集合 A = 4, a + 2 ， U A = a ，則實數 a的值為
（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0 或 2
【答案】A
【分析】利用給定條件，結合元素的互異性直接列式計算作答.
【詳解】由集合 A = 4, a + 2 知， a + 2 4，即 a 2，而 U A = a ，全集U = 2,4,a2 ，
ìa2 = a
因此， í ，解得 a = 0，經驗證 a = 0滿足條件，
a + 2 = 2
所以實數 a的值為 0.
故選：A
6-3．（2024·河南駐馬店·一模）已知全集U = {x |1 x 5}, A = {x |1 x < a}，若 U A = {x | 2 x 5}，則 a =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據題意，結合集合交集的概念及運算，即可求解.
【詳解】由集合U = {x |1 x 5}， A = {x |1 x < a}，
因為 U A = {x | 2 x 5}，可得 a = 2 .
故選：B.
（四）
集合交、并、補集的綜合運算
1、解決集合交、并、補運算的技巧
（1）如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結合交集、并集、補集的定義來求
解.在解答過程中常常借助于 Venn 圖來求解.
（2）如果所給集合是無限集，則常借助數軸，把已知集合及全集分別表示在數軸上，然后進行交、并、補
集的運算.解答過程中要注意邊界問題.
2、涉及“B A”或“ B A且 A≠ ”的問題，一定要分 B＝ 和 B≠ 兩種情況進行討論，其中 B＝ 的情況易被
忽略，應引起足夠的重視．
3、求解含參數的集合運算問題首先要借助數軸的直觀性求參數的范圍，再者還要注意參數的端點值是否能
夠取到.
題型 7：利用集合的交并補運算求集合
7-1．（2024·天津南開·二模）已知全集U = -1,0,1,2,3 ，集合 A = -1,0, 2 ，B = 0,1 ，則 U A U B =
（ ）
A． 2 B． 3 C． -1,1,2,3 D． -1,0,1,2
【答案】B
【分析】根據集合運算的定義計算．
【詳解】由已知 U A = {1,3}， U B = {-1,2,3}，
所以 U A U B = {3}，
故選：B．
7-2．（2024·天津南開）已知集合 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，求 R (A B)， R (AI B)，( R )
∩ ， AU R B .
【答案】答案見解析.
【分析】直接利用集合的交、并、補運算即可求解
【詳解】因為 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，
所以 A B = x 2 < x <10 ,所以 R A B = x | x 2或x 10 ；
因為 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，
所以 A B = x 3 x < 7 ,所以 R A B = x | x < 3或x 7 ；
因為 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，
所以 R A = x | x < 3或x 7 ，所以 R A B = x | 2 < x < 3或7 x <10 ；
因為 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，
所以 R B = x | x 2或x 10 ，所以 A R B = x | x 2或3 x < 7或x 10 .
7-3．（2024·天津）設集合U = {x N | 0 < x 8}， S = {1,2,4,5}，T = {3,5,7}，則 S I ( UT ) =
A．{1,2,4} B．{1,2,3,4,5,7} C．{1,2} D．{1,2,4,5,6,8}
【答案】A
【詳解】因為 UT = 1,2,4,6,8 ，所以 S I ( UT ) = {1,2,4}，選 A．
題型 8：利用集合的交并補集運算求參數范圍
8-1．（2024 高一·全國·專題練習）已知集合 A = x a < x < a +1 ，B = x - 2 x 0 .
(1)若 a =1，求 AU B ；
(2)已知 R B I A = ，求實數 a的取值范圍.
【答案】(1) x - 2 x 0或1< x < 2
(2) -2, -1
【分析】（1）根據并集定義直接求解即可；
（2）根據補集定義可得 R B ，由交集結果可構造不等式組求得結果.
【詳解】（1）當 a =1時， A = x 1 < x < 2 ，又B = x - 2 x 0 ，
\ A B = x - 2 x 0或1< x < 2 .
（2）由題意知： RB = x x < -2或 x > 0 ，
ìa -2Q R B I A = ，\ía 1 0，解得：-2 a -1， +
即實數 a的取值范圍為 -2, -1 .
8-2．（2024 高三上·山西·階段練習）設集合 A = {x∣x < 2或 x 4}, B = x∣a x a +1 ，若 R A I B = ，則
a的取值范圍是（ ）
A．a 1或 a > 4 B． a <1或 a 4
C． a <1 D． a > 4
【答案】B
【分析】先求出 R A，根據 R A I B = ，可求得結果.
【詳解】由集合 A = {x∣x < 2或 x 4}，得 R A = {x∣2 x < 4}，又集合B = x∣a x a +1 且 R A I B = ，
則 a +1< 2 或 a 4，即 a <1或 a 4 .
故選：B.
8-3．（2024 高一·全國·專題練習）已知集合 A = {x | a -1 x a +1}，B
x - 5
= ìíx | 0
ü
.
x + 3
(1)若 a = -3，求 AU B ；
(2)已知B R A = R ，求實數 a的取值范圍.
【答案】(1) A B = {x | -4 x 5}
(2){a | -2 < a 4}
【分析】（1）解不等式求得集合 B ，由此求得 AU B .
（2）先求得 R A，然后根據B R A = R 列不等式組，由此求得 a的取值范圍.
x - 5 ì x - 5 x + 3 0
【詳解】（1） 0
x + 3 í
，解得-3 < x 5 .
x + 3 0
因為 a = -3，所以 A = {x | -4 x -2}，
又因為B = {x | -3 < x 5}，所以 A B = {x | -4 x 5}．
（2）依題意， R A = {x | x < a -1或 x > a +1}，
ìa -1 > -3
由于B R A = R ，所以 ía 1 5 ，解得-2 < a 4， +
所以 a的取值范圍為{a | -2 < a 4}．
（五）
Venn 圖的應用及集合的新定義問題
1、韋恩圖的應用
韋恩(Venn)圖能更直觀地表示集合之間的關系，先分析集合關系，化簡集合，再由韋恩(Venn)圖所表示的集
合關系進行運算．對復雜的集合關系問題，或相關的數學應用問題，可通過構造韋恩(Venn)圖進行求解．
2、集合新定義問題的求解思路
(1)遇到新定義問題，先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到解題的過
程中，這是解答新定義型問題的關鍵所在；
(2)集合的性質是解答集合新定義問題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發現可以使用集合性
質的一些條件．
題型 9：韋恩圖的應用
9-1．（2024 高一上·四川瀘州·期末）設全集U 及集合M 與 N ，則如圖陰影部分所表示的集合為（ ）
A．M N B．M N
C． U M I N D． U M U N
【答案】D
【分析】根據集合并集，補集的定義即可判斷．
【詳解】依題意圖中陰影部分所表示的集合為 U M U N ．
故選：D．
9-2．（2024 高一下·湖北黃岡·期中）設集合 A = {x | -1 x 2}，B = {x | 0 x 4}，則Venn 圖陰影區域表示
的集合是（ ）
A．{x | 0 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x | 0 x 4} D．{x |1 x 4}
【答案】A
【分析】利用交集的定義即可求解.
【詳解】由題意可知，Venn 圖陰影區域表示的集合是 A B ,
所以 AI B = {x | -1 x 2}I{x | 0 x 4} = {x | 0 x 2} .
故選：A.
9-3．（2024·四川成都·模擬預測）已知集合M = 1,2,3,4,5 ，N = {1,3,5,7,9}，且M ，N 都是全集U 的子集，
則下圖韋恩圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．{2,4} B．{1,3,5}
C．{7,9} D．{1,2,3,4,5,7,9}
【答案】C
【分析】依題意圖中陰影部分表示的集合為 N M I N ，根據交集、補集的定義計算可得.
【詳解】因為M = 1,2,3,4,5 ， N = {1,3,5,7,9}，
所以M N = 1,3,5 ，圖中陰影部分表示的集合為 N M I N ，
所以 N M I N = 7,9 .
故選：C
題型 10：容斥原理
10-1．（2024 高一上·浙江臺州·階段練習）某高中學生運動會，某班60 名學生中有一半的學生沒有參加比賽，
參加比賽的同學中，參加田賽的有17人，參加徑賽的有 23人，則田賽和徑賽都參加的學生人數為（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】結合 Venn 圖即可求解.
【詳解】由題可得參加比賽的學生共有 30 人，
設參加田賽的學生為集合 A，參加徑賽的學生為集合 B ，
則 card(A) =17 ， card(B) = 23， card(A B) = 30，
如圖，因為 card(A B) = card(A) + card(B) - card(A B)，
所以田賽和徑賽都參加的學生人數為17 + 23- 30 =10 .
故選：C.
10-2．（2024 高一上·山東臨沂·期末）我們把含有有限個元素的集合A 叫做有限集，用 card A 表示有限集合
A 中元素的個數.例如， A = a,b,c ，則 card A = 3 .容斥原理告訴我們，如果被計數的事物有 A, B,C 三類，
那么， card AU B UC = cardA + cardB + cardC - card AI B - card B IC - card AIC + card AI B IC .某
校初一四班學生 46 人，寒假參加體育訓練，其中足球隊 25 人，排球隊 22 人，游泳隊 24 人，足球排球都
參加的有 12 人，足球游泳都參加的有 9 人，排球游泳都參加的有 8 人，問：三項都參加的有多少人？（教
材閱讀與思考改編）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根據題意設參加各類活動的學生的集合，找出各類運動的人數，然后代入定義中解出即可.
【詳解】設集合 A = {參加足球隊的學生}，
集合B = {參加排球隊的學生}，
集合C = {參加游泳隊的學生}，
則 card A = 25,card B = 22,card C = 24 ，
card AI B =12,card B IC = 8,card AIC = 9
設三項都參加的有 x 人，即 card AI B IC = x， card AU B UC = 46，
所以由 card AU B UC = cardA + cardB + cardC - card AI B - card B IC - card AIC + card AI B IC
即 46 = 25 + 22 + 24 -12 -8 - 9 + x ，
解得 x = 4，
三項都參加的有 4 人，
故選：C.
10-3．（2024 高三·云南昆明·階段練習）某班一個課外調查小組調查了該班同學對物理和歷史兩門學科的興
趣愛好情況，其中該班同學對物理或歷史感興趣的同學占 90％，對物理感興趣的占 56％，對歷史感興趣的
占 74％，則既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學占該班學生總數的比例是（ ）
A．70％ B．56％ C．40％ D．30％
【答案】C
【分析】根據公式 card A B = card A + card B - card A B 列方程求解即可.
【詳解】對物理感興趣的同學占 56％，對歷史感興趣的同學占 74％，
這兩組的比例數據都包含了既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學的比例，
設既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學占該班學生總數的比例為 x，
則對物理或歷史感興趣的同學的比例是 56％＋74％－x，
所以 56％＋74％－x＝90％，
解得 x = 40％，
故選：C.
題型 11：集合新定義問題
11-1．（2024 高一上·湖南·期中）已知集合P = {1,3,4,6,8,9}，對于它的任一非空子集A ，可以將A 中的每一
個元素m 都乘 (-1)m 再求和，例如 A = {3,4,6}，則可求得和為 (-1)3 3 + (-1)4 4 + (-1)6 6 = 7 ，對 P 所有非
空子集，這些和的總和為（ ）
A．80 B．160 C．162 D．320
【答案】B
【分析】先計算出集合的非空子集個數，然后結合新定義計算結果所出現的情況，把結果相加
【詳解】因為元素1，3， 4，6 ，8，9在集合 P 的所有非空子集中分別出現 25次，
則對 P 的所有非空子集中元素m 執行乘 (-1)m 再求和，
5 1
則這些和的總和是 2 é (-1) 1+ (-1)
3 3 + (-1)4 4 + (-1)6 6 + (-1)8 8 + (-1)9 9 ù =160．
故選：B.
ì x 2 ü
11-2．（2024 高一上·湖北恩施·階段練習）定義集合運算： A B = í x, y A, B .若集合
2 y
A ì= B = x N 1 < x < 4 ，C = í x, y y 1 x 5ü= - + ，則 A B C = （6 3 ）
A． B． 4,1 ì 1, 3 ü ì 4,1 , 6, 2 üC． í ÷ D．2 í ÷ è è 3
【答案】D
【分析】由題意可得 A = B = 2,3 2，從而可得 x = 4或 x = 6， y =1或 y = ，再根據新定義得
3
A B ì 2 = 2 ü 1 5í 4,1 , 4, ÷ , 6,1 ,3 6, ÷ ，再代入 y = - x + 驗證即可得答案. è è 3 6 3
【詳解】因為 A = B = 2,3 x x，所以 = 2或 = 3,
2 2
2 2
所以 x = 4或 x = 6， = 2 或 = 3,y y
y 1 2 A B ì 4,1 , 4, 2 , 6,1 , 6, 2 ü所以 = 或 y = ，\ =
3 í 3 ÷ 3 ÷
，
è è
1 5 2
代入 y = - x + 驗證得點 4,1 , 6, ÷在該直線上，6 3 è 3
故 A B IC ì= 2 üí 4,1 , 6, ÷ .
è 3
故選：D.
11-3．（2024 高三·江蘇·學業考試）對于兩個非空實數集合A 和 B ，我們把集合 x∣x = a + b, a A,b B 記作
A* B .若集合 A = 0,1 , B = 0,-1 ，則 A* B 中元素的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】計算 A* B = 0, -1,1 ，得到元素個數.
【詳解】 A = 0,1 , B = 0,-1 ，則 A* B = 0, -1,1 ，則 A* B 中元素的個數為3
故選：C
11-4．（2024 高二下·山西臨汾·期末）對于一個由整數組成的集合A ，A 中所有元素之和稱為A 的“小和數”，
A 的所有非空子集的“小和數”之和稱為A 的“大和數”．已知集合B = -7, -3, -1,1,2,3,4,5,6,7,13 ，則 B 的“小
和數”為 ， B 的“大和數”為 ．
【答案】 30 30720
【分析】根據題意，求出集合中所有元素之和即為“小和數”；將集合 B 的 211個子集，分為M 與M ，其中
M U M = B ，M I M = ，且無重復，則M 與M 的“小和數”之和為 B 的“小和數”，即可求解.
【詳解】根據題意， B 的“小和數”為-7 + -3 + -1 +1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 +13 = 30 ，
集合 B 共有 11 個元素，則一共有 211個子集，
對于任意一個子集M ，總能找到一個子集M ，使得M U M = B ，M I M = ，
且無重復，則M 與M 的“小和數”之和為 B 的“小和數”，
211
這樣的子集對共有 = 210 個，
2
其中當M = B時，M = ，則子集對有 210 -1，
10
則 B 的“大和數”為 2 -1 30 + 30 = 30720 .
故答案為：30；30720
一、單選題
1．（2024·吉林長春·模擬預測）已知集合 A = a,5 - a, 4 ，B = 3,2a +1 ， A B = 2,3,4,5 ，則 a =（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據并集的結果，分類討論當2a +1 = 2、 2a +1 = 5時集合 A、B 的情況，即可求解.
【詳解】 A = {a,5 - a, 4}, B = {3,2a +1}, AU B = {2,3,4,5}，
1
當2a +1 = 2 1 9即 a = 時， A = { , , 4}, B = {3,2}，不符合題意；
2 2 2
當 2a +1 = 5即 a = 2時， A = {2,3,4}, B = {3,5}，此時 A B = {2,3,4,5} .
所以 a = 2 .
故選：B.
2．（2024·四川成都·模擬預測）已知集合M = x | - 3 x 3 , N = x | -3 x 1 ，且 M，N 都是全集 U 的
子集，則如圖的韋恩圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． x | - 3 x 1 B． x | -3 x 1 C． x | -3 x < - 3 D． x |1 < x 3
【答案】C
【分析】根據韋恩圖可得陰影部分表示 N U M ，進而即得.
【詳解】由韋恩圖可知陰影部分表示 N U M ，
∵ M = x | - 3 x 3 , N = x | -3 x 1 ，
∴ N U M = x -3 x < - 3 ．
故選：C.
3．（2024 高二下·湖南·期中）已知全集U = R ，集合 A = x Z 0 < x 2 ，B = -1,0,1,2,3 ，則圖中陰影部
分表示的集合為（ ）
A． -2,0 B． -2,3 C． -2,0,2 D． -2,0,3
【答案】D
【分析】根據集合的交并補運算即可求解.
【詳解】全集為 U，集合 A = -2, -1,1,2 ，B = -1,0,1,2,3 ， A B = -1,1,2 , A B = -2,-1,0,1,2,3 ,圖中
陰影部分表示是 AU B 去掉 A B 的部分，故表示的集合是 -2,0,3 ．
故選：D．
4．（2024·全國·模擬預測）已知全集U = 1,2,3,4,5 , A = 1,2,3 , B = 3,4,5 ，則 U A U B =（ ）
A．U B． 1,2,4,5 C． 3 D．
【答案】D
【分析】由補集的定義求出 U A， U B ，再由交集的定義即可求解.
【詳解】因為U = 1,2,3,4,5 , A = 1,2,3 ， U A = 4，5 ，
B = 3,4,5 ， U B = 1,2 ，
故 U A U B = .
故選：D.
5．（2024·河北石家莊·模擬預測）已知 A = 1,2,a + 3 , B = a,5 ，若 AU B = A，則 a =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據并集的知識求得 a .
【詳解】由于 AU B = A，所以 a + 3 = 5, a = 2，
此時 A = 1,2,5 , B = 2,5 ，滿足 AU B = A .
故選：C
6．（2024 高三下·湖南·階段練習）已知集合U = 1,2,3,4,5,6 ， A = 2,4,6 ，B = 1,2,3,6 ，則 AI U B
（ ）
A． 3 B． 6 C． 4 D． 2,3,4,6
【答案】C
【分析】由補集和交集的定義求解即可.
【詳解】由題可得 U B = 4,5 ，則 AI U B = 4 .
故選：C.
7．（2024·浙江·模擬預測）已知實數集R ，集合 A = x∣0 x 6 , B = {x∣x > 5}，則 RB A = （ ）
A．{x∣0 x < 5} B． x∣0 x 5 C．{x∣x < 6} D． x∣x 6
【答案】B
【分析】根據題意，由交集，補集的運算，代入計算即可得到結果.
【詳解】由題意可得， R B = x∣x 5 ，所以 R B A = x∣0 x 5 ；
故選：B.
8．（2024 高二下·天津河北·期末）設全集U = -2,-1,0,1,2 ，集合 A = -2,-1 ，集合B = -2, -1,0,1 ，則
U A B =（ ）
A． -2, -1 B． -2, -1,2
C． 0,1 D． -2, -1,0,1,2
【答案】C
【分析】根據集合的運算法則求解即可.
【詳解】因為U = -2,-1,0,1,2 ， A = -2,-1 ，
所以 U A = 0,1,2 ，
又B = -2, -1,0,1 ，
所以 U A B = 0,1 ，
故選：C.
9．（2024·山東煙臺·二模）已知集合 A = x x < 3 ，B = x x = 2k ,k Z ，則 AI B =（ ）．
A． -2,2 B． -2,0,2
C． -2, -1,1,2 D． -2, -1,0,1,2
【答案】B
【分析】先求出集合A ，再利用集合的運算即可求出結果.
【詳解】因為 A = x x < 3 ，由 x < 3，解得-3 < x < 3，即 A = x -3 < x < 3 ，又B = x x = 2k ,k Z ，所
以 AI B = -2,0,2 ，
故選：B.
10．（2024 高二下·浙江溫州·學業考試）設集合 A = 0,1,2,3 ，B = 2,3,4,5 ，則 AI B =（ ）
A． 2 B． 2,3 C． 3 D． 3,4
【答案】B
【分析】由交集定義可得答案.
【詳解】由題， A B = 2,3 .
故選：B
11．（2024 高二下·北京海淀·期末）已知集合 A = -1,0,1 ，B = x -1 x <1 ，則 AI B =（ ）
A． 0 B． -1,0
C． 0,1 D． -1,0,1
【答案】B
【分析】利用交集的定義可求得集合 A B .
【詳解】因為集合 A = -1,0,1 ，B = x -1 x <1 ，則 A B = -1,0 .
故選：B.
12．（2024·遼寧大連·三模）已知集合M , N ，滿足M = M N ，則（ ）
A． B． N M C． N M D．M N
【答案】B
【分析】由集合的包含關系判定即可.
【詳解】集合與集合的關系不能用元素與集合的關系來表示，故 C、D 錯誤，而M = M N 說明 N 中元素
都在集合M 中，故 N M .
故選：B.
13．（2024·天津）已知集合U = 1,2,3,4,5 , A = 1,3 , B = 1,2,4 ，則 U B U A = （ ）
A． 1,3,5 B． 1,3 C． 1,2,4 D． 1,2,4,5
【答案】A
【分析】對集合 B 求補集，應用集合的并運算求結果；
【詳解】由 U B = {3,5}，而 A = {1,3}，
所以 U B U A = {1,3,5} .
故選：A
14．（2024 高二下·廣西· *期中）已知集合 A = {-1,0,1,2}，B = x∣-1< x < 2, x N ，則 AU B 中的元素個數為
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據集合的并運算即可求解.
【詳解】由題設 B = 1 ，所以 AU B = {-1,0,1,2}，故其中元素共有 4 個．
故選：B
15．（2024·四川成都·模擬預測）設集合 A = x N -1 x 2 ，B = -2, -1,0,1 ，則 AI B =（ ）
A． -2, -1,0,1,2 B． -1,0,1 C． 0,1 D． 1
【答案】C
【分析】根據交集的定義計算可得.
【詳解】因為 A = x N -1 x 2 = 0,1,2 ，又B = -2, -1,0,1 ，
所以 A B = 0,1 .
故選：C
16．（2024 高一上·江西景德鎮·期中）集合 = { |0 < < 8}， = 1 | < ≤ 10 ，則 AU B =（ ）2
A 1． | 2 < ≤ 8 B．{ |0 < ≤ 10}
C 1 1． | D．2 ≤ < 8 | 2 < ≤ 10
【答案】B
【分析】根據并集的運算可得答案.
【詳解】因為 = { |0 < < 8}， = 1 | < ≤ 10 ，所以 AU B = { |0 < ≤ 10}.2
故選：B.
17．（2024 2高三上·遼寧沈陽·期中）設全集U = 2,3,m + m - 2 ，集合 A = m +1 ,2 , U A = 4 ，則m =（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．-4
【答案】B
【分析】根據題意可確定m2 + m - 2=4，求得 m 的值，檢驗后確定答案.
【詳解】由題意全集U = 2,3,m2 + m - 2 ，集合 A = m +1 ,2 , U A = 4 ，
可得m2 + m - 2=4，解得m = -3或m = 2 ，
當m = -3時， | m +1|= 2，則 A = 2,2 不合題意，
m = 2 時， A = 2,3 ， U A = 4 ，符合題意，故m = 2 ，
故選：B.
18．（2024 高三·全國·專題練習）如圖， I 是全集，A ， B ，C 是 I 的三個子集，則圖中陰影部分表示（ ）
A． A B C B． A C I B
C． A B IC D．B C I A
【答案】B
【分析】
根據集合的運算判斷各選項對應的區域，由此判斷結論.
【詳解】如圖所示，對于 A， A B C 對應的是區域 1；
對于 B， A C I B 對應的是區域 2；
對于 C， A B IC 對應的是區域 3；
對于 D，B C I A 對應的是區域 4．
故選：B．
19．（2024·遼寧朝陽· 2模擬預測）設全集U = -2,-1,0,1,2 ， A = x x -1 = 0 ，B = x x -1 x - 2 = 0 ，則
圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． -1,1,2 B． -2, -1,0,2
C． 1 D． -2,0
【答案】D
【分析】首先求出集合A 、 B ，圖中陰影部分為 U AU B ，根據并集、補集的定義計算可得.
【詳解】由 x2 -1= 0，解得 x =1或 x = -1，所以 A = x x2 -1 = 0 = 1,-1 ，
由( 1)( 2) = 0，解得 x =1或 x = 2，所以B = x x -1 x - 2 = 0 = 1,2 ，
所以 A B = -1,1,2 ，又U = -2,-1,0,1,2 ，則圖中陰影部分為 U AU B = -2,0 .
故選：D
20．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）設全集 = ，若集合 A = x 2x - 3 < 0 ，B = 0,2,3 ，則 U A B =（ ）
A． 0 B． 0,2 C． 2,3 D． 3
【答案】C
【分析】根據題意，將集合A 化簡，然后結合集合的運算即可得到結果.
【詳解】因為 A = x 2x - 3 < 0 ，即 A = - , 3 ÷，且B = 0,2,3 ，
è 2
3
則 A =
é
U ê ,+

÷，所以 U A B = 2,3 .
2
故選:C
21．（2024·北京房山·二模）已知集合 A = x -1< x < 3 ，集合B = x x 2 ，則（　?。?br/>A． A B = x -2 x < 3 B． A B = x -2 x < 3
C． A B = x -1 < x < 2 D． A B = x x < 3
【答案】B
【詳解】根據題意，將集合 B 化簡，然后結合集合的交集與并集運算，即可得到結果.
【解答】因為集合 A = x -1< x < 3 ，集合B = x x 2 = x -2 x 2 ，
所以 A B = x -1 < x 2 ，故 AC 均錯誤；
A B = x -2 x < 3 ，故 B 正確，D 錯誤．
故選：B．
22．（2024·四川成都·模擬預測）若集合 A = x x - 2 > 0 ，B = x -1< x < 4 ，則集合 AU B =（ ）
A． -1,4 B． x x > 2
C． -1,4 D． -1, +
【答案】D
【分析】根據集合并集概念課直接得到.
【詳解】 A = x x - 2 > 0 = x x > 2 ，
A B = x x > 2 x -1< x < 4 = x x > -1
故選：D.
23．（2024·四川攀枝花·三模）設集合M = x -1 < x 3, x Z ， N = -1,0,1,2 ，則M I N = （ ）
A． x -1< x 2 B． -1,0,1,2 C． 0,1,2 D． -1,0,1,2,3
【答案】C
【分析】化簡集合M ，根據交集的定義求解即可.
【詳解】因為M = x -1 < x 3, x Z ，
所以M = 0,1, 2,3 ，又 N = -1,0,1,2 ，
所以M I N = 0,1,2 .
故選：C.
24．（2024·浙江·二模）若集合M = x 2x > 3 ， N = 1,2,3,4 ，則M I N = （ ）
A． 1,2 B． 3,4
C * *． x 1 < x < 5, x N D． x 1 x 4, x N
【答案】C
3
【分析】求得集合M = {x | x > }，根據集合的交集運算可得答案.
2
【詳解】由題意得M = x 2x > 3 3= ì üíx x ， N = 1,2,3,4 ，
2
故M N = 2,3,4 = x 1< x < 5, x N* ，
故選：C
25．（2024 高一上·上海嘉定·階段練習）若集合 A = {-1,1}，B = {x | mx =1}，且 AU B = A，則m 的值為
（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或-1或0 D．1或-1或 2
【答案】C
【分析】利用 A B = A B A，討論三種情況，分別求得m 的值即可．
【詳解】Q A B = A,∴B A
\B = ； B = {-1}； B = {1}
當B = 時，m = 0
當B = {-1}時，m = -1
當B = {1}時，m =1
故m 的值是 0；1；-1
故選：C．
【點睛】本題主要考查集合的運算以及集合的子集，考查了分類討論的數學思想方法，屬于基礎題．
26．（2024·全國·三模）如圖所示的 Venn 圖中，A 、 B 是非空集合，定義集合 A B 為陰影部分表示的集
合．若 A = x x = 2n +1,n N,n 4 ， B = 2,3,4,5,6,7 ，則 A B = （ ）
A． 2,4,6,1 B． 2,4,6,9 C． 2,3,4,5,6,7 D． 1,2,4,6,9
【答案】D
【分析】分析可知 A B = x x A B , x A B ，求出集合A 、 AU B 、 A B ，即可得集合 A B .
【詳解】由韋恩圖可知， A B = x x A B , x A B ，
因為 A = x x = 2n +1,n N,n 4 = 1,3,5,7,9 ， B = 2,3,4,5,6,7 ，
則 AU B = 1,2,3,4,5,6,7,9 ， AI B = 3,5,7 ，因此， A B = 1,2,4,6,9 .
故選：D.
27．（2024 高一上·江西景德鎮·期中）某城市數、理、化競賽時，高一某班有 26 名學生參加數學競賽，25
名學生參加物理競賽，23 名學生參加化學競賽，其中參加數、理、化三科競賽的有 7 名，只參加數、物兩
科的有 6 名，只參加物、化兩科的有 8 名，只參加數、化兩科的有 5 名．若該班學生共有 51 名，則沒有參
加任何競賽的學生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【分析】畫出圖，由題意求出分別單獨參加物理、數學和化學的人數，即可求出參賽人數，進而求出沒有
參加任何競賽的學生.
【詳解】畫三個圓分別代表數學、物理、化學的人，
因為有 26 名學生參加數學競賽，25 名學生參加物理競賽，23 名學生參加化學競賽，
參加數、理、化三科競賽的有 7 名，只參加數、化兩科的有 5 名，
只參加數、物兩科的有 6 名，只參加物、化兩科的有 8 名，
所以單獨參加數學的有 26 - 6 + 7 + 5 = 8人，
單獨參加物理的有 25 - 6 + 7 + 8 = 4 人，單獨參加化學的有 23- 5 + 7 + 8 = 3，
故參賽人數共有8 + 4 + 3 + 6 + 7 + 8 + 5 = 41人，
沒有參加任何競賽的學生共有51- 41 =10 人.
故選：D.
28．（2024 高一上·四川綿陽·期末）如果全集U = {x N * | x < 5}，M = {1,2}，則 U M =
A． B．{1,2} C．{3,4} D．{0,3, 4}
【答案】C
【分析】首先確定集合 U，然后求解補集即可.
【詳解】由題意可得：U = 1,2,3,4 ，結合補集的定義可知 U M = 3,4 .
本題選擇 C 選項.
【點睛】本題主要考查集合的表示方法，補集的定義等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.
ì kp p ü ì
29．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合M = íx | x = + , k Z ，集合 N = íx x
kp p
= - , k Z ü ，則
4 4 8 4
（ ）
A．M N = B． C． N M D．M N = M
【答案】B
【分析】先分析集合 M、N，得到 ，再對四個選項一一判斷.
ì kp p ü ì p
【詳解】M = íx | x = + , k Z = íx | x = k +1 , k p Zü = ìíx | x = 2k + 2 , k Zü ，
4 4 4 8
N ìx | x kp p= = - , k Zü = ìx | x p= k - 2 , k Züí .
8 4
í
8
因為 2k + 2可以表示偶數，列舉出為 L- 2,0，2，4，6L ，而 k - 2 可以表示全部整數.
所以
對于 A：M N = M .故 A 錯誤；
對于 B、C： .故 B 正確；C 錯誤；
對于 D：M N = N .故 D 錯誤.
故選：B
30．（2024·河北滄州·模擬預測）若集合 A = x Z -2 < x <1 , B = 0,1,2 ，則 AU B =（ ）
A． (-2,1) B．{-1,0}
C． (-2, 1] {2} D．{-1,0,1,2}
【答案】D
【分析】根據已知條件求出集合A ，再利用并集的定義即可求解.
【詳解】由題意可知 A = x Z -2 < x <1 = -1,0 ，又B = 0,1,2 ，
所以 AU B = -1,0 U 0,1,2 = {-1,0,1,2}．
故選：D．
31．（2024·北京西城·二模）有三支股票 A, B,C, 28位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中一支股票.
在不持有A 股票的人中，持有 B 股票的人數是持有C 股票的人數的 2 倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股
票的人數比除了持有A 股票外，同時還持有其它股票的人數多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A
股票.則只持有 B 股票的股民人數是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】A
【分析】通過設出只持有A 股票的人數和只同時持有了 B 和C 股票的人數，表達出持有不同股票的人數，通
過持股的總人數即可求出只持有 B 股票的股民人數.
【詳解】由題意，
設只持有A 股票的人數為 X ，
則持有A 股票還持有其它殸票的人數為 X -1 (圖中 d + e + f 的和 )，
∵只持有一支股票的人中, 有一半沒持有 B 或C 股票,
∴只持有了 B 和C 股票的人數和為 X (圖中b + c部分) .
假設只同時持有了 B 和C 股票的人數為 a ,
∴ X + X -1+ X + a = 28 , 即3X + a = 29 ，
則 X 的取值可能是9,8,7,6,5,4,3,2,1,
與之對應的 a值為 2,5,8,11,14,17,20,23,26 ,
∵沒持有A 股票的股民中，持有 B 股票的人數是持有C 股票的人數的 2 倍
∴ a + b = 2 a + c ，即 X - a = 3c ，
∴ X = 8,a = 5時滿足題意，此時 c =1,b = 7 ,
∴只持有 B 股票的股民人數是7 ,
故選：A.
【點睛】本題主要考查了邏輯推理能力，韋恩圖在解決實際問題中的應用，解答此題的重點是求持有A 股
票的人數，利用韋恩圖結合條件即得.
二、多選題
32．（2024·北京西城）已知集合 A＝{x|－1＜x≤3}，集合 B＝{x||x|≤2}，則下列關系式正確的是（　?。?br/>A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ R B＝{x|x≤－1 或 x＞2}
D．A∩ R B＝{x|2＜x≤3}
【答案】BD
【分析】先化簡集合 B ，利用交集計算判斷選項 A，利用并集計算判斷選項 B，利用補集和并集判斷選項 C，
利用補集和交集計算判斷選項 D.
【詳解】因為 A＝{x|－1＜x≤3}，B＝{x||x|≤2}＝{x|－2≤x≤2}，
所以 A∩B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|－2≤x≤2}＝{x|－1＜x≤2}，故 A 錯誤；
A∪B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|－2≤x≤2}＝{x|－2≤x≤3}，故 B 正確；
因為 R B＝{x|x＜－2 或 x＞2}，所以 A∪ R B＝{x|－1＜x≤3}∪{x|x＜－2 或 x＞2}＝{x|x＜－2 或 x＞－1}，故 C
錯誤；
A∩ R B＝{x|－1＜x≤3}∩{x|x＜－2 或 x＞2}＝{x|2＜x≤3}，故 D 正確.
故選：BD.
33．（2024 高一上·江蘇蘇州·階段練習）非空集合 G 關于運算 滿足：（1）對任意 a，b G ，都有
a b G ；（2）存在 e G，使得對一切a G，都有a e = e a = a ，則稱 G 關于運算 為“融洽集”.現給
出下列集合和運算，其中 G 關于運算 為“融洽集”的是（ ）
A．G = 有理數 ， 為實數的乘法 B．G = 非負整數 ， 為整數的加法
C．G = 偶數 ， 為整數的乘法 D．G = 二次三項式 ， 為多項式的加法
【答案】AB
【分析】根據G 是關于運算 為“融洽集”的定義，逐一分析四個集合及運算是否滿足定義，可得答案．
【詳解】對于A ，G = 有理數 ， 為實數的乘法滿足（1），且存在 e =1滿足（2），故G 是關于運算 的
融洽集，\A正確，
對于B，G = {非負整數}， 為整數的加法滿足（1），且存在 e = 0滿足（2），故G 是關于運算 的融洽集，
\正確，
對于C ，G = {偶數}， 為整數的乘法，若存在 e 滿足（2），則 e =1為奇數，與已知矛盾，故G 不是關于運
算 的融洽集，\錯誤，
對于D ，G = 二次三項式 ， 為多項式的加法．兩個二次三項式的和不一定是二次三項式，不滿足（1），
故G 不是關于運算 的融洽集，\錯誤，
故選：AB．
34．（2024 高一下·四川南充·階段練習）已知全集U = R ，集合
A = x | -2 x 7 ，B = x | m +1 x 2m -1 ，則使 A U B 成立的實數 m 的取值范圍可能是（ ）
A． m | 6 m 10 B． m | -2 < m < 2
ìm | 1C． í -2 < m < -
ü
D． m | 5 < m 8
2
【答案】BC
【分析】根據B = 和B 分類討論，求出 m 的取值范圍，再判斷選項即可.
【詳解】①當B = 時，令m +1＞2m -1，得m＜2，此時 U B = R 符合題意；
②當B 時，m +1 2m -1，得m≥ 2 ，
則 U B = x | x < m +1或 x > 2m -1 ，
因為 A U B ，所以m +1＞7或 2m -1＜- 2 ，
1
解得m＞6或m＜- ，
2
因為m≥ 2 ，所以m＞6 .
綜上，m 的取值范圍為m＜2或m＞6，
故選：BC
35．（2024 高一·全國·課后作業）（多選）滿足 1,3 A = 1,3,5 的集合A 可能是
A． 5 B． 1,5 C． 1,3 D． 1,3,5
【答案】ABD
【分析】根據 1,3 A = 1,3,5 分析，集合A 中一定含有元素 5，可能含有 1、3，根據情況選出答案即可
【詳解】由 1,3 U 1,3,5 知， A 1,3,5 ，且A 中至少有 1 個元素 5，故選 ABD.
【點睛】本題考查根據集合的并集結果求出某一集合的方法，抓住集合的互異性快速鎖定元素 5 集合A 中
必須含有元素是解題關鍵
36．（2024 高一上·貴州遵義·期末）（多選題）設全集 U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}． U A＝{x|ax－1＝0}，則
實數 a 的值為（ ）
1 1
A．0 B． C． D．2
3 5
【答案】ABC
【分析】首先求集合U ，再結合補集的定義，討論 a = 0和 a 0兩種情況，求實數 a的取值范圍.
【詳解】U＝{3，5}，若 a＝0，則 U A = ，此時 A＝U；
ì1 ü
若 a≠0，則 U A＝ ía
.

1 1
此時 ＝3 或 ＝5，
a a
1 1
∴a＝ 或 a＝ .
3 5
1 1
綜上 a 的值為 0 或 或 .
3 5
故選：ABC
37．（2024 高三上·江蘇連云港·階段練習）設集合
M = {x | x = 6k + 2，k Z}，N = {x | x = 6k + 5，k Z}，P = {x | x = 3k + 2，k Z}，則 （ ）
A．M N B．M N＝P C．M＝P D． PM＝N
【答案】BD
【分析】M = {x | x = 6k1 + 2，k1 Z}，N = {x | x = 6k2 + 5，k2 Z}，P = {x | x = 3k3 + 2，k3 Z}
對 A，由6k1 + 2 = 6k2 + 5 k k
1
1 = 2 + ，等式不成立即可判斷；2
對 BCD，當 k3 為奇數時，令 k3 = 2k2 +1，則3k3 + 2 = 6k2 + 5；當 k3 為偶數時，令 k3 = 2k1，則3k3 + 2 = 6k1 + 2
即可判斷
【詳解】M = {x | x = 6k1 + 2，k1 Z}，N = {x | x = 6k2 + 5，k2 Z}，P = {x | x = 3k3 + 2，k3 Z}，
對 A，由6k1 + 2 = 6k2 + 5 k1 = k
1
2 + ，等式不成立，故M N = ，A 錯；2
對 BCD，當 k3 為奇數時，可令 k3 = 2k2 +1，則3k3 + 2 = 6k2 + 5；當 k3 為偶數時，可令 k3 = 2k1，則
3k3 + 2 = 6k1 + 2 .
故M N＝P ，且 N = PM ，BD 對 C 錯；
故選：BD
38．（2024 高一上·全國·單元測試）已知全集 U={1,2,3,4,5,6}，集合 P={1,3,5}，Q={1,2,4}，則下列結論正確的
是（　?。?br/>A．P Q ={1} B．P Q ={1,2,3,4,5,6}
C． U P U Q ={1,2,4,6} D．P I UQ ={3,5}
【答案】ACD
【分析】根據集全的交并補運算求解.
【詳解】∵P={1,3,5}，Q={1,2,4}，
∴ P Q ={1}，P Q ={1,2,3,4,5}.
又 U P ={2,4,6}， U Q ={3,5,6}，
∴ U P U Q ={1,2,4,6}，
P I UQ ={3,5}.
故選：ACD.
39．（廣東省東莞市東莞高級中學 2023-2024 學年高一上學期第一次月考數學試題）設
A = x x2 -8x +12 = 0 ，B = x ax -1 = 0 ，若 AI B = B，則實數 a的值可以是（　　）
1 1
A．0 B． C． D．2
6 2
【答案】ABC
【分析】根據題意可以得到B A，進而討論 a = 0和 a 0兩種情況，最后得到答案.
【詳解】由題意， A = 2,6 ，因為 AI B = B，所以B A，
若 a = 0，則B = f ，滿足題意；
a 0 B = ì
1 ü 1 1 1 1
若 ，則 í ，因為B A，所以 = 2或 = 6，則 a = 或 a = .
a a a 2 6
1 1
綜上： a = 0或 a = 或 a = .
2 6
故選：ABC.
三、填空題
40．（2024 高一上·全國·課后作業）已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 4}， = { | > }．
（1）若 AI B ，實數 a的取值范圍是 ．
（2）若 A B A，實數 a的取值范圍是 ．
（3）若 A B = B ，實數 a的取值范圍是 ．
【答案】 (- , 4) -2, + (- ,-2)
【分析】①根據集合間的運算求實數 a的取值范圍；②利用取反思想，先求 A B = A時，實數 a的取值范
圍，再求補集即可；③利用集合間的關系，即可得出答案.
【詳解】①若 AI B ，得 a < 4，所以實數 a 的取值范圍是 (- , 4)；
②因為 A B = A，即 A B ，所以 a < -2，所以若 A B A，則 a -2，
則實數 a 的取值范圍是 -2, + ；
③若 A B = B ，即 A B ，所以 a < -2，
則實數 a 的取值范圍是 (- ,-2) .
故答案為：① (- , 4)；② -2, + ；③ (- ,-2) .
41．（2024 高二下·陜西榆林·期末）已知集合 A = x x < a ，B = x 1 < x < 4 ，若 A R B ，則實數 a 的取值
范圍為 ．
【答案】 (- ,1]
【分析】由條件根據補集的定義求 R B，再根據子集的定義列不等式求 a 的取值范圍．
【詳解】因為B = x 1 < x < 4 ，
所以 R B = x x 1或 ≥ 4}，
又 A R B ， A = x x < a ，
所以a 1，
所以 a 的取值范圍為 (- ,1] .
故答案為： (- ,1] .
42．（2024 高一上·北京海淀·期中）已知 A = {x | x2 + px +1 = 0, x R}，若 AI R+ = ，則實數 p 的取值集合
是 .
【答案】 -2, +
【解析】根據 AI R+ = ，得到方程 x2 + px +1 = 0沒有正實數解，然后分 A = 和 ≠ 兩種情況討論求解.
【詳解】Q A R+ = ，
∴方程 x2 + px +1 = 0沒有正實數解，
故A 集合有兩種情況：
①若 A = ，則D = p2 - 4 < 0 ，則-2 < p < 2；
ì p2 - 4…0
②若 ≠ ，則方程有兩個非正數解，且 0 不是其解，則有： í ，解得 p…2
- p
.
0
綜上所述， p > -2，
所以實數 P 的取值范圍是 -2, + .
43．（2024 高一上·寧夏·階段練習）已知集合 A = {x | -2 x 5}，B = {x | m +1 x 2m -1}，若 AU B = A，
則實數 m 的取值范圍
【答案】m - ，3
【分析】由 AU B = A得到B A，然后分 B 為空集和不是空集討論，當 B 不是空集時利用端點值的關系列
不等式求解．
【詳解】解：Q A = {x | -2 x 5}，B = {x | m +1 x 2m -1}，
由 AU B = A，
\B A，
①當B = 時，滿足B A，
此時m +1 > 2m -1，
∴ m < 2 ；
②當B 時，
QB A，
ìm +1 2m -1

則 ím +1 -2 ，

2m -1 5
解得 2 m 3．
綜上，m - ，3 ．
故答案為：m - ，3 ．
44．（2024·上海松江·模擬預測）已知集合 A = {-1,1,3 }，B = 1,3,5 ，則 AU B = ．
【答案】 -1,1,3,5
【分析】由集合的并集的定義求解即可.
【詳解】因為集合 A = {-1,1,3 }，B = 1,3,5 ，
則 AU B = -1,1,3,5 .
故答案為： -1,1,3,5
45．（2024高二上·上海金山·期末）已知集合 A = x, y x - ay + 2 = 0 ，B = x, y ax - 4y + 4 = 0 ，若 AI B = ，
則實數 a 的值為 ．
【答案】-2
【分析】根據交集和空集的定義以及方程的聯立即可求解.
ìx - ay + 2 = 0
【詳解】聯立 íax 4y 4 0， - + =
ìx -4a + 8 = a2 - 4
解得 í ，
y 2a - 4=
a2 - 4
若 AI B = ，
則 a 2 - 4 = 0 ，
所以 =± 2.
①當 a = 2時，兩個集合的條件都變為 x - 2y + 2 = 0，因此交集不為空集.
②當 a = -2 時，兩個集合的條件都變為 x + 2y + 2 = 0和 x + 2y - 2 = 0，所以交集為空集.
故答案為：-2 .
四、解答題
46．（2024 高一上·陜西渭南·期中）已知集合P = x | x < -1或x > 6 ，Q = x |1- m x 1+ m ，全集為R .
(1)求集合 R P ；
(2)若 R P UQ = R P，求實數 m 的取值范圍.
【答案】(1) x -1 x 6
(2) - , 2
【分析】(1)由已知結合集合補集的運算即可求解；
(2)由 R P UQ = R P，則Q R P，然后對Q是否為空集進行分類討論即可求解.
【詳解】（1）QP = x | x -1或x 6 ，
\ R P = x | -1 x 6 .
（2）由 R P UQ = R P得，Q R P，
當Q = 時，由Q = x |1- m x 1+ m ，可得1- m >1+ m，即m < 0；
當Q 時，由Q = x |1- m x 1+ m ，且Q R P，
ì1- m 1+ m

可得 í1- m -1 ，解得0 m 2，

1+ m 6
綜上所述，實數 m 的取值范圍為 - , 2 .
47．（2024 高一上·福建泉州·階段練習）在① A B = B ；② AI B = 這二個條件中任選一個，補充到本題
第（2）問的橫線處，求解下列問題.
問題：已知集合 A = x a -1 x a +1 , B = x -1 x 3 .
(1)當 a = 2時，求 AU B ；
(2)若__________，求實數 a的取值范圍.
【答案】(1) x -1 x 3
(2)答案見解析
【分析】（1）求出 A = x 1 x 3 ，根據并集概念求解答案；
（2）根據并集或交集結果得到不等式，求出實數 a的取值范圍.
【詳解】（1）當 a = 2時，集合 A = x 1 x 3 , B = x -1 x 3 ，所以 A B = x -1 x 3 ；
（2）若選擇① A B = B ，則 A B ，
因為 A = x a -1 x a +1 ，所以 ≠ ，又B = x -1 x 3 ，
ìa -1 -1
所以 í ，解得0 a 2 ，所以實數 a的取值范圍是 a 0 a 2
a +1 3

若選擇②， AI B = ,
因為 A = x a -1 x a +1 ，所以 ≠ ，又B = x∣-1 x 3
所以 a -1 > 3或 a +1< -1，解得 a > 4或 a < -2，
所以實數 a的取值范圍是 a a > 4 或 a < -2
ì 1 ü
48．（2024 高三·全國·課后作業）已知全集為R ，集合 A = x 0 < 2x + a 3 ，B = íx - < x < 2 ，若
2
A B = A，求實數 a 的取值范圍.
【答案】 -1,1 .
【分析】由 A B = A可得 A B ，由此列出不等式求出 a的取值范圍．
【詳解】若 A B = A，則 A B ，
A x | 0 ì a 3 - a ü 1∵ = < 2x + a 3 = ìíx - < x ，B = íx - < x < 2ü，
2 2

2
ì a 1

- -
∴ 2 2í ，解得-1 < a 13 a ， - < 2
2
∴實數 a的取值范圍是 -1,1 .
49．（2024 高一上·重慶·期末）已知 a R ，集合 A = x x - a 0 ，B = x -1 x 3 .
(1)當 a = 2時，求 A B ， AU B ；
(2)若 A R B ，求 a的取值范圍.
【答案】(1) 2,3 ， -1, +
(2) a > 3
【分析】（1）根據集合的交并運算求解；
（2）求出 R B ，根據 A R B 列出 a應滿足的條件.
【詳解】（1）當 a = 2時， A = 2, + ， AI B = 2,3 ， AU B = -1, + ；
（2） R B = - ,-1 3,+ ， A = a,+ ， A R B ，
∴ a > 3 .
ì 1 ü
50．（2024 高一上·山東臨沂·期末）已知集合 A = íx N < x 2 ，B = x R 2ax - 2 0
2
(1)當 a =1時，求 A B ；
(2)若______求實數 a的取值范圍.① A B = B ，② A B = A ③ A R B = 從這三個條件選一個填入橫線
處，并求 a的取值范圍.
【答案】(1) 1,2 ；
(2)無論選哪個條件， a的取值范圍都是[1,+ ) .
【分析】（1）根據集合交集的定義進行求解即可；
（2）根據集合并集、交集、補集的運算性質進行求解即可.
【詳解】（1）當 a =1時， 2x - 2 0 x 1， A = 1,2 ，
因此 AI B = 1,2
（2）若選①： A B = B A B ，
因為 ≠ ，所以B ，因此 a 0，
1
當 a > 0時， 2ax - 2 0 x ，因為 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 1 a 1，故 a的取值范圍為[1,+ )；
a
當 a < 0時， 2ax - 2 0 x
1
，因為 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 2 a
1
，而 a < 0，所以不符合題意，
a 2
故 a的取值范圍為[1,+ ) .
若選②： A B = A A B ，
因為 ≠ ，所以B ，因此 a 0，
1
當 a > 0時， 2ax - 2 0 x ，因為 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 1 a 1，故 a的取值范圍為[1,+ )；
a
當 a < 0時， 2ax - 2 0 x
1
，因為 A B ， A = 1,2 ，
a
1 1
所以有 2 a ，而 a < 0，所以不符合題意，
a 2
故 a的取值范圍為[1,+ ) .
若選③： A R B = A B
因為 ≠ ，所以B ，因此 a 0，
1
當 a > 0時， 2ax - 2 0 x ，因為 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 1 a 1，故 a的取值范圍為[1,+ )；
a
2ax 2 1當 a < 0時， - 0 x ，因為 A B ， A = 1,2 ，
a
1
所以有 2 a
1
，而 a < 0，所以不符合題意，
a 2
故 a的取值范圍為[1,+ ) .
51．（2024 高一下·江西南昌·期中）已知全集為R ，集合 A = x 2 x 6 ，B = x 3x - 7 8 - 2x ．
(1)求 A B ；
(2)若C = x a - 4 x a + 4 ，且 AI B C ，求 a的取值范圍．
【答案】(1) A B = x 3 x 6
(2) 2 a 7
【分析】（1）解不等式可得集合 B ，即可求得 A B ；
（2）根據集合間的關系，列不等式，解不等式即可.
【詳解】（1）解不等式3x - 7 8 - 2x ，解得 x 3，
所以B = x x 3 ，
所以 A B = x 3 x 6 ；
（2）由（1）得 A B = x 3 x 6 ，
又 AI B C ，
ìa - 4 3 ìa - 4 < 3
則 ía 4 6或 í ，解得
2 < a 7 或 2 a < 7a 4 6 ， + > +
即 2 a 7 .
52．（2024 高一上·北京昌平·期末）已知全集U = R ， A = {x x a - 2 或 x a}， = { |0 < < 5}.
(1)當 a =1時，求 A B ， AU B ， ( U A) I B ；
(2)若 AI B = B，求實數 a 的取值范圍.
【答案】(1) A B = x 1 x < 5 ， A B = {x x -1或 x > 0}， ( U A) B = x 0 < x <1
(2) ≥ 7或 a 0
【分析】（1）代入 a =1，再根據交，并，補的定義求解即可；
（2）由 AI B = B得到B A，根據集合的關系可得實數 a 的取值范圍.
【詳解】（1）當 a =1時， A = {x x -1或 x 1}，
\ U A = x -1 < x <1 ，又 = { |0 < < 5}，
\ A B = x 1 x < 5 ， A B = {x x -1或 x > 0}， ( U A) B = x 0 < x <1 ；
（2）若 AI B = B，則B A，
\a - 2 5或 a 0，
\a 7或 a 0 .
53．（2024 高一上·福建泉州·階段練習）設集合
A = 1, -1- a,a2 + 3a - 3 , B = x x2 - 2x +1 = 0 ,C = x x2 - a +1 x + a = 0 .
(1)討論集合 B 與C 的關系；
(2)若 a < 0，且 A C = C ，求實數 a的值.
【答案】(1)答案見解析
1
(2) a = -3或 a = -
2
【分析】（1）解方程得到B,C ，分兩種情況，得到B,C 的關系；
（2）根據交集結果得到 ，分類討論，求出實數 a的值.
【詳解】（1）B = 1 ,C = x x -1 x - a = 0 ，
當 a =1時，B = C = 1 ；
當 a 1時，C = 1, a ， B 是C 的真子集.
（2）當 a < 0時，因為 A C = C ，所以 ，所以 1, a A .
當 a2 + 3a - 3 = a 時，解得 a =1（舍去）或 a = -3，此時 A = 1, -3,2 ，符合題意.
1 ì 1 17 ü
當-1- a = a 時，解得 a = - ，此時 A = í1, - , - 符合題意.2 2 4
1
綜上， a = -3或 a = - .
2
1
54．（2024 高一上·浙江·期中）已知集合 A =
ì
íx N < x < 4
ü
，B = x ax -1 0 ．請從① A B = B ，②
3
A B = A，③ A R B = 這三個條件中選一個填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．（如果選
擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
1
(1)當 a = 時，求 A B ；
2
(2)若______，求實數 a的取值范圍．
【答案】(1) A B = 2,3 ；
(2)條件選擇見解析， 1, + .
1
【分析】(1)取 a = 化簡 B ，化簡 A，再根據交集的定義求 A B ；
2
(2)若選①，由 A B = B 可得 A B ，討論 a的正負，由條件列不等式求 a 的取值范圍；若選②，討論 a的
正負，化簡集合 B ，結合條件 A B = A列不等式求 a 的取值范圍；若選③，討論 a的正負，化簡集合 B ，
結合條件 A R B = 列不等式求 a 的取值范圍.
ì 1 ü
【詳解】（1）由題意得， A = íx N < x < 43
= 1,2,3 ．

當 a
1
= 時，B =
ìx 1 x -1 0ü
2 í 2
= x x 2 ，

∴ A B = 2,3 ；
（2）選擇①．
∵ A B = B ，∴ A B ，
當 a = 0時，B = ，不滿足 A B ，舍去；
1 1
當 a
ì ü
> 0時，B = íx x ，要使 A B ，則 1，解得a 1；
a a
B ìx x 1當 a < 0時， = í
ü 1
，此時 < 0 ，不滿足 A B ，舍去．
a a
綜上，實數 a的取值范圍為 1, + ．
選擇②
∵ A B = A，∴ A B ，
當 a = 0時，B = ，不滿足 A B ，舍去；
1 1
當 a
ì ü
> 0時，B = íx x ，要使 A B ，則 1，解得a 1；
a a
B 1= ìx x ü 1當 a<0時， í ，此時 < 0 ，不滿足 A B ，舍去．
a a
綜上，實數 a的取值范圍為 1, + ．
選擇③
∵ A R B = ，∴ A B ，
當 a = 0時，B = ，不滿足 A B ，舍去；
1 1
當 a > 0時，B =
ì ü
íx x ，要使 A B ，則 1，解得a 1；
a a
a ì當 < 0時，B = íx x
1
ü 1 ，此時 < 0 ，不滿足 A B ，舍去．
a a
綜上，實數 a的取值范圍為 1, + ．
55．（2024 高一上·河南·階段練習）已知集合 A = {x | 3 - 2m x 2 + m}，集合B = {x | x2 - 4x + 3 0} .
(1)當m =1時，求 AI B，AU CRB ；
(2)若 AI B = ，求實數m 的取值范圍.
【答案】（1） AI B = 1,3 ，AU CRB = {x |1 x 3}（2）m <1
【分析】（1）化簡集合 A，B 根據集合交并補運算即可（2）分 A = ， ≠ 兩種情況討論即可求解.
【詳解】(1)當m =1時， A = {x |1 x 3}，B = {x | x 1或x 3} ,
所以 AI B = 1,3 ，AU CRB = {x |1 x 3} ,
(2)若 A = ，即3- 2m 2 m 1> + ，則m < ,3
ì3- 2m 2 + m

若 ≠ ，則 í3- 2m >1
1
解得 m <1 ,
3
2 + m < 3
綜上: m <1.
【點睛】本題主要考查了集合的交并補運算，分類討論的思想，屬于中檔題.
56 2．（2024高一上·上海楊浦·期中）已知集合 A= x | x - m+3 x+2 m+1 =0 ，B = x | 2x2 + 3n+1 x+2 = 0 ，
其中m, n R .
（1）若 A B = A，求m, n的值；
（2）若 AU B = A，求m, n的取值范圍.
1
【答案】（1） n = -2，m =1或m = - ；
2
ìm R ìm = -2 ìm = 0 ì m
1
= -
（2） í 5 或 或n ( ,1) ín =1 ín 5
或 í 2 .
- = -
3 3 n = -2
【分析】先求得集合A 中元素的可能取值.
（1）根據 A B = A，判斷出 x = 2是集合 A, B的元素，由此求得 n 的值，進而求得集合 B ，由此確定m 的
值.
（2）根據 B 為空集、單元素集、雙元素集進行分類討論，由此確定m, n的取值范圍.
2
【詳解】由 x - m + 3 x + 2 m +1 = x - 2 éx - m +1 ù = 0，解得 x = 2或 x = m +1.
（1 2）當 A B = A，所以 x = 2是集合 A, B的元素，所以 2 2 + 3n +1 2 + 2 = 0，解得 n = -2，所以
B = x | 2x2 - 5x 2 1+ = 0 = ìí , 2ü .若m +1 = 2, m =1 1 1，此時 A = 2 ，符合 A B = A .若m +1 = ,m = - ，此時
2 2 2
A ì2, 1 ü 1= í 2 ，符合 A B = A .故 n = -2，m =1或m = - . 2
（2）由于 AU B = A，
5
當B = 時，由判別式得 3n +1 2 - 4 2 2 < 0，解得 n - ,1÷，此時m R .
è 3
2 5 5
當 B 為單元素集時，由判別式得 3n +1 - 4 2 2 = 0，解得 n = - 或 n =1 .當 n = - 時， B = 1 ，要使
3 3
AU B = A，則m +1 =1,m = 0 .當 n =1時，B = -1 ，，要使 AU B = A，則m +1 = -1, m = -2 .
1
當 B 為雙元素集時，由（1）知 n = -2，m = - .
2
ìm R ìm = 0 ì 1
綜上所述，m, n
ìm = -2 m = -
的取值范圍為 í 5 或 或 或 2 .
n (- ,1)
í í 5 í
3
n =1 n = - 3 n = -2
【點睛】本小題主要考查根據集合交集和并集的情況求參數，考查一元二次方程根的求法，考查分類討論
的數學思想方法，屬于中檔題.
57．（2024 高一·全國·課后作業）設集合 A = x -1 x 2 ，B = x 2m < x <1 ，C = x x < -1或 > 2}．
(1)若 AI B = B，求實數 m 的取值范圍；
(2)若B C 中只有一個整數，求實數 m 的取值范圍．
ìm m 1 - ü【答案】(1) í
2
ì
(2) ím
3
- m < -1ü
2


【分析】（1）根據集合交集的性質，可得兩集合之間的關系，分類討論是否為空集，列出不等式，可得答
案；
（2）由題意，明確交集中的唯一的整數，結合這個整數，列出不等式，可得答案.
【詳解】（1）因為 AI B = B，所以B A．
ì2m <1 1 1
①當B 時，由B A，得 í ，解得- m <
2m 1
；
- 2 2
1
②當B = ，即m 時，B A成立．
2
ìm m 1 ü綜上，實數 m 的取值范圍是 í - ．
2
3
（2）因為B C 中只有一個整數，所以B ，且-3 2m < -2，解得- m < -1，
2
ì 3 ü
所以實數 m 的取值范圍是 ím - m < -12
．

58 2024 · · A = x a - 3 x 3a + 2 B = x x2．（ 高一上 遼寧遼陽 期中）已知集合 ， - 2x -8 0 ．
(1)當 a = 0時，求 AU B ， AI RB ；
(2)若 AI B = B，求實數 a 的取值范圍．
【答案】(1) A B = x -3 x 4 ， A RB = x -3 x < -2
é2 ,1ù(2)
ê3 ú
【分析】（1）代入得到 A = x -3 x 2 ，計算 RB = x x < -2或 x > 4 ，再計算交集和并集得到答案.
（2）將 AI B = B轉換為 ，根據集合的包含關系轉化為不等關系計算得到答案.
【詳解】（1）當 a = 0時， A = x -3 x 2 ，B = x x2 - 2x -8 0 = x -2 x 4 ，
故 A B = x -3 x 4 ，
RB = x x < -2或 x > 4 ，故 A RB = x -3 x < -2 .
ìa - 3 3a + 2

（2） AI B = B，故 ，需滿足 í 3a + 2 4
2 a é2，解得 a 1，即 ê ,1
ù
3 3 ú
.
a 3 2 - -
59．（2024 高一下·四川樂山·階段練習）設全集U = R ，集合 = { |1 ≤ < 4}， = { |2 ≤ < 3 }.
(1)若 a = -2 ，求 ∩ ，B U A
(2)若 AU B = A，求實數 a的取值范圍.
【答案】(1) ∩ = { |1 ≤ < 4}； ∩ ( ) = { | 4 ≤ < 1或4 ≤ < 5}
é1
(2) ê ,+ ÷ 2
【分析】（1）先代入 a = -2 化簡集合 B ，再利用集合的交并補運算即可得到結果；
（2）先由 AU B = A得到B A，再分類討論B = 與B 兩種情況，結合數軸法即可得到所求.
【詳解】（1）因為 a = -2 ，所以 = { |2 ≤ < 3 } = { | 4 ≤ < 5}，
又因為 = { |1 ≤ < 4}，U = R ，
所以 ∩ = { |1 ≤ < 4}， = { | < 1或 ≥ 4}，
故 ∩ ( ) = { | 4 ≤ < 1或4 ≤ < 5}.
（2）因為 AU B = A，所以B A，
因為 = { |2 ≤ < 3 }， = { |1 ≤ < 4}，
所以當B = 時，2 ≥ 3 ，解得a 1，此時B A；
當B 時， a <1，
2 ≥ 1 ≥ 1 1
由數軸法得 3 ≤ 4，解得 2 ，故 ≤ < 1； ≥ 1 2
1 1
綜上： a ，即 ∈
2 2 , + ∞
.
60．（2024 2高一上·重慶沙坪壩·期中）已知 A = x x - 6x + 5 = 0 ，B = x ax -1 = 0 .
(1)若 a =1，求 A ZB ；
(2)從① AU R B = R ；② AI B = B；③ B R A = 這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并進
行解答.
問題：若 ，求實數 a的所有取值構成的集合C .
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
【答案】(1) AI ZB = 5
(2)條件選擇見解析，C =
ì0, 1 ,1üí 5
【分析】（1）當 a =1時，求出集合 B 、A ，利用補集和交集的定義可求得集合 A ZB ；
1
（2）選①，分 a = 0、 a 0 ì ü兩種情況討論，在 a = 0時，直接驗證即可；在 a 0時，求得B = í ，根據
a
AU R B = R 可得出關于 a的等式，綜合可得出集合C ；
選②，分析可知B A，分 a = 0、 a 0兩種情況討論，在 a = 0時，直接驗證即可；在 a 0時，求得
B 1= ì üí ，根據B A可得出關于 a的等式，綜合可得出集合C ；
a
1
選③，分 a = 0 a 0 ì ü、 兩種情況討論，在 a = 0時，直接驗證即可；在 a 0時，求得B = í ，根據B R A = ，
a
可得出關于 a的等式，綜合可得出集合C .
【詳解】（1）解：當 a =1時，B = x x -1 = 0 = 1 ，
又因為 A = x x2 - 6x + 5 = 0 = 1,5 ，故 AI ZB = 5 .
（2）解：若選①，當 a = 0時，B = ，則 RB = R，滿足 AU R B = R ，
1 1
當 a 0 ì ü
1
時，B = í ，若 AU R B = R ，則 =1或5，解得 a =1或 .
a a 5
ì 1 ü
綜上所述，C = í0, ,15
；

若選②，Q AI B = B，則B A .
當 a = 0時，B = ，滿足B A；
1
當 a 0時，B = ì üí ，因為B A
1
，則 =1
1
或5，解得 a =1或 .
a a 5
C ì0, 1 ü綜上所述， = í ,1 ；
5


若選③，當 a = 0時，B = ，滿足B R A = ；
1 1
當 a 0 B = ì ü B A = 1 1時，則 í ，因為 R ，則 = 或5，解得 a =1或 .
a a 5
ì 1 ü
綜上所述，C = í0, ,15
.

61．（2024 2高一上·遼寧葫蘆島·期末）已知集合M = x x + 2x + a = 0 ．
(1)若 M ，求實數 a 的取值范圍；
(2)若 N = x x2 + x = 0 且M N ，求實數 a 的值．
【答案】(1) a a 1 ；
(2) a = 0或 a =1 .
【分析】（1）由方程 x2 + 2x + a = 0有實數解，結合判別式得出實數 a 的取值范圍；
（2）由M N 得出0 M 或-1 M ，進而得出實數 a 的值．
【詳解】（1）由題意得方程 x2 + 2x + a = 0有實數解，
\D = 22 - 4a 0，得a 1，
\實數 a的取值范圍是 a a 1 ；
（2）∵ N = x x2 + x = 0 = 0, -1 ，
QM N ，
\ 0 M 或-1 M ，
則 a = 0或 a =1 .
62 2 2．（2024 高一上·陜西西安·期中）設集合 A = 0, -4 , B = x x + 2(a +1)x + a -1 = 0, x R .
1
(1)若 a = - ，求 AU B ；
2
(2)若 AI B = B，求實數 a的取值范圍.
ì
【答案】(1) A B = í-4
3 1
，- 0 ü，，
2 2


(2) - , -1 1
1
【分析】（1） a = - ，求得 B ，由并集的定義求解即可.
2
（2）根據 AI B = B得到B A，討論B = ，B = 0 ，B = -4 ，B = 0, -4 四種情況分別計算得到答
案.
1 B ìx x2 x 3 0, x Rü 3 1【詳解】（1）當 a = - 時， = í + - = =
ì ü
2 4 í
- ,
2 2
，

又 A = 0, -4
ì
所以 A B = í-4
3
，- ，0 1 ü， .
2 2


（2）Q AI B = B，
\B A
2
當B = 時，D = 4 a +1 - 4 a2 -1 = 8a + 8 < 0，即 a < -1；
B 0 ì-2 a +1 = 0當 = 時，利用韋達定理得到 í ，解得 a = -1；
a
2 -1 = 0
ì-2 a +1 = -8當B = -4 時，利用韋達定理得到 í 2 ，無解；
a -1 =16
當B =
ì-2 a +1 = -4
0, -4 時， 根據韋達定理得到 í 2 ，解得 a =1 ；
a -1 = 0
綜上，實數 a 的取值范圍是： - , -1 1
63．（2024 高一上· 2 2貴州畢節·階段練習）已知集合 A = x x + 4x + 3 = 0 ，B = x x - 2ax + a2 - a - 3 = 0 .
(1)若 a =1，求 A B ；
(2)若 AU B = A，求 a 的取值集合.
【答案】(1) A B = -1
(2) a a -3或 a = -2 .
【分析】（1）化簡集合 A,B，直接根據交集運算求解；
（2）討論判別式，求出集合 B，檢驗是否滿足B A即可求解.
2
【詳解】（1）當 a =1時，B = x x - 2x - 3 = 0 = -1,3 .
2
因為 A = x x + 4x + 3 = 0 = -3, -1 ，
所以 A B = -1 .
（2）因為 AU B = A，所以B A .
D = 4a2當 - 4 a2 - a - 3 = 4a +12 < 0時，解得 a < -3，B = ，符合題意；
當D = 4a +12 = 0，即 a = -3時，B = -3 ，符合題意；
當D = 4a +12 > 0，即 a > -3時，B = A = -3, -1 ，
ì -3 + -1 = 2a,
則 í 3 解得 a = -2 . - -1 = a2 - a - 3,
綜上，a 的取值集合是 a a -3或 a = -2 .
64．（2024 高一上·陜西安康·階段練習）已知集合 A = {x | (x + 2)(x -1) < 0}，B = {x | -m -1< x < -m +1}．
(1)若 ( R A) I B = ，求實數m 的取值范圍；
(2)若集合 A B 中僅有一個整數元素，求 AU B ．
【答案】(1) 0,1
(2)答案見解析
ì-1- m -2
【分析】（1）求出集合 A，得到補集，題意得到 í1 m 1 ，即可求解； -
（2）集合 A B 中僅有一個整數元素，由于集合A 中只有兩個整數元素：-1和 0，分兩種情況，集合 A B
中僅有一個整數元素-1，和僅有一個整數元素0兩種情況，求出m 的取值范圍，再結合 A = (-2,1) ，分1 < ≤ 2，
-1 < m < 0 與0 m 1三種情況討論即可求解．
【詳解】（1）Q集合 A = {x | (x + 2)(x -1) < 0}，
\ A = (-2,1)，從而 R A = - ,-2 U 1,+ ，
∵ ( R A) I B = ，B = {x | -m -1< x < -m +1}，
ì-1- m -2
\ í1 m 1 ，解得0 m 1， -
\實數m 的取值范圍為 0,1 ；
（2）由（1）知： A = (-2,1) ，B = (-1- m,1- m)，
Q集合 A B 中僅有一個整數元素，由于集合 A 中只有兩個整數元素：-1和 0，
ì-1- m < -1
若集合 A B 中僅有一個整數元素-1，則 í ，解得：0 < m < 2，
-1 <1- m 0
ì-1 -1- m < 0
若集合 A B 中僅有一個整數元素 0，則 í1 m 0 ，解得：
-1 < m 0 ，
- >
\-1< m < 2，
當1< m < 2時，-1- m < -2，-1 <1- m < 0，則 A B = (-1- m,1)；
當-1 < m < 0 時，-1 < -1- m < 0，1 < 1- m < 2，則 A B = (-2,1- m) ；
當0 m 1時，-2 -1- m -1，0 1- m 1，則 A B = (-2,1)；
綜上所述，當1< m < 2時， A B = (-1- m,1)；
當-1 < m < 0 時， A B = (-2,1- m) ；
當0 m 1時， A B = (-2,1)．1.3 集合的基本運算 11 題型分類
一、并集
【思考 1】“x∈A 或 x∈B”包含哪幾種情況？
“x∈A 或 x∈B”這一條件包括下列三種情況：x∈A，但 x B；x∈B，但 x A；x∈A，且 x∈B.用
Venn 圖表示如圖所示．
【思考 2】集合 A∪B 的元素個數是否等于集合 A 與集合 B 的元素個數和？
不等于，A∪B 的元素個數小于或等于集合 A 與集合 B 的元素個數和．
二、交集
【特別提醒】
交集有下列運算性質：A∩B＝B∩A；A∩A＝A；A∩ ＝ 。
三、全集
1.定義：如果一個集合含有所研究問題中涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集．
2.記法：全集通常記作 U.
【思考】全集一定是實數集 R 嗎？
全集是一個相對概念，因研究問題的不同而變化，如在實數范圍內解不等式，
全集為實數集 R，而在整數范圍內解不等式，則全集為整數集 Z.
四、補集
對于一個集合 A，由全集 U 中不屬于集合 A 的所有元素組成的
自然語言
集合稱為集合 A 相對于全集 U 的補集，記作 UA
符號語言 UA＝{x|x∈U，且 x A}
圖形語言
【特別提醒】
(1)補集是相對于全集而言的，它與全集不可分割．一方面，若沒有定義全集，則不存在補集
的說法；另一方面，補集的元素逃不出全集的范圍．
(2)補集既是集合之間的一種關系，同時也是集合之間的一種運算．求集合 A 的補集的前提是 A
為全集 U 的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的．
(3)符號 UA 有三層意思：
①A 是 U 的子集，即 A U；
② CUA表示一個集合，且( CUA ) U；
③ CUA是 U 中不屬于 A 的所有元素組成的集合，即CUA＝{x|x∈U，且 x A}．
(4)若 x∈U，則 x∈A 或 x∈ CUA，二者必居其一．
五、運算律
(1) 交換律 A B = B A，A B = B A；
(2) 結合律 (A B) C = A (B C)，(A B) C = A (B C)；
(3) 分配律 (A B) C = (A C) (B C)，(A B) C = (A C) (B C)；
(4) 德摩根律 U(A B) = ( UA) ( UB)， U(A B) = ( UA) ( UB).
（一）
并集的運算
1、求集合并集的方法
(1)兩集合用列舉法給出：①依定義，直接觀察求并集；②借助 Venn 圖寫并集．
(2)兩集合用描述法給出：①直接觀察，寫出并集；②借助數軸，求出并集．
(3)一個集合用描述法，另一個用列舉法：①直接觀察，找出并集；②借助圖形，觀察寫出并集．
2、集合并集運算應注意：
(1)對于描述法給出的集合，應先看集合的代表元素是什么，然后將集合化簡，再按定義求解．
(2)求解時要注意集合元素的互異性這一屬性的應用，重復的元素只能算一個．
(3)無限集進行并集運算時，可借助數軸，利用數軸分析法求解，但要注意端點值能否取到．
題型 1：求兩個集合的并集
1-1．（2024 高二下·浙江寧波·期末）已知集合 A = 0,1,2 ，B = -1,0 ，則 AU B =（ ）
A． -1,1,2 B． 0,1,2 C． -1,0 D． -1,0,1,2
1-2．（2024 高一下·浙江·期中）設集合 A = x -1 x 3 ，B = x 0 < x < 4 ，則 AU B =（ ）
A． -1,3 B． - , 4 C． 0,3 D． -1,4
1-3．（2024·北京順義·一模）已知集合 A = x -2 < x < 2 ，B = x 0 < x 3 ，則 AU B =（ ）
A． x -2 < x 3 B． x 0 < x < 2 C． x -2 < x 0 D． x 2 < x < 3
題型 2：利用并集運算求參數
2-1．（2024 高二下·江西景德鎮·期中）設集合M = x - 3 < x < 7 ， N = x 2 - t < x < 2t +1, t R ，若
M N = M ，則實數 t的取值范圍為（ ）
1 1
A． t B． < t < 3 C． t≤3 D． t 3
3 3
2-2．（2024 高三·全國·課后作業）已知集合 A = x - 2 x 7 ，B = x m +1 x 2m -1 ，且 AU B = A，則
實數 m 的取值范圍是 ．
2-3．（2024 高一上·山西晉中·階段練習）已知 A = {-1， 2}，B = {x | mx +1 = 0}，若 AUB = A，則實數m 的取
值所成的集合是 (　　 )
ì 1 1 1 1
A． í-1,
ü ì ü ì ü ì ü
B． í- ,1 C． í-1,0,2 2 2
D． í- ,0,1
2
（二）
交集的運算
1、求兩個集合的交集的方法
(1)對于元素個數有限的集合，逐個挑出兩個集合的公共元素即可．
(2)對于元素個數無限的集合，一般借助數軸求交集，兩個集合的交集等于兩個集合在數軸上的相應圖形所
覆蓋的公共范圍，要注意端點值的取舍．　
2、求集合 A∩B 的步驟：
(1)搞清集合 A，B 的代表元素是什么；
(2)把所求交集的集合用集合符號表示出來；
(3)把集合 A，B 的所有公共元素都寫出來即可(若無公共元素，則所求交集為 )
題型 3：求兩個集合的交集
3-1．（2024 高三上·江西贛州·階段練習）已知集合 A = x x - 2 2x +1 0 ，B = x x＜1 ，則 AI B =（ ）
ì
A． íx
1 ü ì 1 ü
- x 1
2
B． íx - x＜12
ì 1 ü
C．{ |1 ≤ ≤ 2} D． íx x -
2
3-2．（2024 高二下·四川成都·期末）已知集合 A = x - 2 < x < 2 ，B = x x > 3 ，則 AI B =（ ）
A． -2,2 B． -2, 3 C． 3,2 D． -2, +
3-3．（2024 高一上·云南紅河·期末）設集合 A = x | 0 < x < 4 ，B = 2,3,4,5,6 ，則 AI B =（ ）
A． 2,3 B． 3,4
C． 2,3,4 D． 1,2,3,4,5,6
3-4．（2024·河北承德·模擬預測）已知集合 A = -1,0,1,2,3 ，B = y | y = 2x2 -1, x A ，則 AI B =（ ）
A． -1,1 B． 1 C． -1,0,1 D． 0
題型 4：利用交集運算求參數
4-1．（2024·山東濟寧·二模）已知集合 A = 2,5,m2 - m ，B = {2,m + 3}，若 AI B = B，則m =（ ）
A．-3 B．-1 C．2 D．3
4-2．（2024 高二下·甘肅蘭州·期末）已知集合 A = 1,2,3 ,B = 2a,a2 + a ．若 ∩ = {2}，則 a = ．
4-3．（2024· 2陜西商洛·三模）已知集合 A = x | a < x < a +1, a Z ，B = {x | 2 < x < 6}，若 A B = A，則 a =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（三）
補集的基本運算
求集合補集的基本方法及處理技巧
(1)基本方法：定義法．
(2)兩種處理技巧：
①當集合用列舉法表示時，可借助 Venn 圖求解；
②當集合是用描述法表示的連續數集時，可借助數軸，利用數軸分析求解．
題型 5：求兩個集合的補集
5-1．（2024 高一·全國·專題練習）設全集U = 0,1,2,3,4 ，集合 A = x U x - 2 <1 ，則 U A =（ ）
A． x 1< x < 3 B． x 1< x 3 C． 2 D． 0,1,3,4
5-2．（2024 高二下·貴州·階段練習）已知集合 A = x 2 x 5 ，B = x 3 x < 4 ，則 AB =（ ）
A． 2,4,5 B． x 2 x < 3或 4 x 5
C． x 2 x 3或 4 x 5 D． x 2 x < 3或 4 < x 5
ì n 1 ü ì n ü
5-3．（2024·安徽合肥·一模）設集合M = íx x = + , n Z2 4
， N = íx x = , n Z ，則 M = （4 N ）
ìx x n , n ZüA． B． í =
2
ìx x 3n üC． í = ,n Z D． x x = 2n,n Z
4
5-4．（2024 高三上·海南·期末）設全集U = {x Z || x |< 3}，集合 A = {x | x3 - x = 0}，則 U A =（ ）
A． -2,0,2 B． -2,2,3
C． -2,2 D． -3,-2,2,3
題型 6：利用補集運算求參數
6-1．（2024 高二下·山東濱州·階段練習）設集合 A = {1,3,5,7}， U A = {2,4,6,8}， U B = {1,2,3,4}，則集合 B＝ ．
6-2 2．（2024·遼寧鞍山·模擬預測）設全集U = 2,4,a ，集合 A = 4, a + 2 ， U A = a ，則實數 a的值為
（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．0 或 2
6-3．（2024·河南駐馬店·一模）已知全集U = {x |1 x 5}, A = {x |1 x < a}，若 U A = {x | 2 x 5}，則 a =
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（四）
集合交、并、補集的綜合運算
1、解決集合交、并、補運算的技巧
（1）如果所給集合是有限集，則先把集合中的元素一一列舉出來，然后結合交集、并集、補集的定義來求
解.在解答過程中常常借助于 Venn 圖來求解.
（2）如果所給集合是無限集，則常借助數軸，把已知集合及全集分別表示在數軸上，然后進行交、并、補
集的運算.解答過程中要注意邊界問題.
2、涉及“B A”或“ B A且 A≠ ”的問題，一定要分 B＝ 和 B≠ 兩種情況進行討論，其中 B＝ 的情況易被
忽略，應引起足夠的重視．
3、求解含參數的集合運算問題首先要借助數軸的直觀性求參數的范圍，再者還要注意參數的端點值是否能
夠取到.
題型 7：利用集合的交并補運算求集合
7-1．（2024·天津南開·二模）已知全集U = -1,0,1,2,3 ，集合 A = -1,0, 2 ，B = 0,1 ，則 U A U B =
（ ）
A． 2 B． 3 C． -1,1,2,3 D． -1,0,1,2
7-2．（2024·天津南開）已知集合 A = x 3 x < 7 ，B = x 2 < x <10 ，求 R (A B)， R (AI B)，( R )
∩ ， AU R B .
7-3．（2024·天津）設集合U = {x N | 0 < x 8}， S = {1,2,4,5}，T = {3,5,7}，則 S I ( UT ) =
A．{1,2,4} B．{1,2,3,4,5,7} C．{1,2} D．{1,2,4,5,6,8}
題型 8：利用集合的交并補集運算求參數范圍
8-1．（2024 高一·全國·專題練習）已知集合 A = x a < x < a +1 ，B = x - 2 x 0 .
(1)若 a =1，求 AU B ；
(2)已知 R B I A = ，求實數 a的取值范圍.
8-2．（2024 高三上·山西·階段練習）設集合 A = {x∣x < 2或 x 4}, B = x∣a x a +1 ，若 R A I B = ，則
a的取值范圍是（ ）
A．a 1或 a > 4 B． a <1或 a 4
C． a <1 D． a > 4
A {x | a 1 x a 1} B ìx | x - 5 ü8-3．（2024 高一·全國·專題練習）已知集合 = - + ， = í 0 .
x + 3
(1)若 a = -3，求 AU B ；
(2)已知B R A = R ，求實數 a的取值范圍.
（五）
Venn 圖的應用及集合的新定義問題
1、韋恩圖的應用
韋恩(Venn)圖能更直觀地表示集合之間的關系，先分析集合關系，化簡集合，再由韋恩(Venn)圖所表示的集
合關系進行運算．對復雜的集合關系問題，或相關的數學應用問題，可通過構造韋恩(Venn)圖進行求解．
2、集合新定義問題的求解思路
(1)遇到新定義問題，先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質弄清楚，并能夠應用到解題的過
程中，這是解答新定義型問題的關鍵所在；
(2)集合的性質是解答集合新定義問題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發現可以使用集合性
質的一些條件．
題型 9：韋恩圖的應用
9-1．（2024 高一上·四川瀘州·期末）設全集U 及集合M 與 N ，則如圖陰影部分所表示的集合為（ ）
A．M N B．M N
C． U M I N D． U M U N
9-2．（2024 高一下·湖北黃岡·期中）設集合 A = {x | -1 x 2}，B = {x | 0 x 4}，則Venn 圖陰影區域表示
的集合是（ ）
A．{x | 0 x 2} B．{x |1 x 2} C．{x | 0 x 4} D．{x |1 x 4}
9-3．（2024·四川成都·模擬預測）已知集合M = 1,2,3,4,5 ，N = {1,3,5,7,9}，且M ，N 都是全集U 的子集，
則下圖韋恩圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．{2,4} B．{1,3,5}
C．{7,9} D．{1,2,3,4,5,7,9}
題型 10：容斥原理
10-1．（2024 高一上·浙江臺州·階段練習）某高中學生運動會，某班60 名學生中有一半的學生沒有參加比賽，
參加比賽的同學中，參加田賽的有17人，參加徑賽的有 23人，則田賽和徑賽都參加的學生人數為（ ）
A．7 B．8 C．10 D．12
10-2．（2024 高一上·山東臨沂·期末）我們把含有有限個元素的集合A 叫做有限集，用 card A 表示有限集合
A 中元素的個數.例如， A = a,b,c ，則 card A = 3 .容斥原理告訴我們，如果被計數的事物有 A, B,C 三類，
那么， card AU B UC = cardA + cardB + cardC - card AI B - card B IC - card AIC + card AI B IC .某
校初一四班學生 46 人，寒假參加體育訓練，其中足球隊 25 人，排球隊 22 人，游泳隊 24 人，足球排球都
參加的有 12 人，足球游泳都參加的有 9 人，排球游泳都參加的有 8 人，問：三項都參加的有多少人？（教
材閱讀與思考改編）（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
10-3．（2024 高三·云南昆明·階段練習）某班一個課外調查小組調查了該班同學對物理和歷史兩門學科的興
趣愛好情況，其中該班同學對物理或歷史感興趣的同學占 90％，對物理感興趣的占 56％，對歷史感興趣的
占 74％，則既對物理感興趣又對歷史感興趣的同學占該班學生總數的比例是（ ）
A．70％ B．56％ C．40％ D．30％
題型 11：集合新定義問題
11-1．（2024 高一上·湖南·期中）已知集合P = {1,3,4,6,8,9}，對于它的任一非空子集A ，可以將A 中的每一
個元素m 都乘 (-1)m 再求和，例如 A = {3,4,6}，則可求得和為 (-1)3 3 + (-1)4 4 + (-1)6 6 = 7 ，對 P 所有非
空子集，這些和的總和為（ ）
A．80 B．160 C．162 D．320
ì x 2 ü
11-2．（2024 高一上·湖北恩施·階段練習）定義集合運算： A B = í x, y A, B .若集合
2 y
A ì= B = x N 1 < x < 4 ，C = í x, y y 1 x 5ü= - + ，則 A B C = （6 3 ）
A． B． 4,1 ì 1, 3 ü ì 4,1 , 6, 2 üC． í ÷ D．2 í ÷ è è 3
11-3．（2024 高三·江蘇·學業考試）對于兩個非空實數集合A 和 B ，我們把集合 x∣x = a + b, a A,b B 記作
A* B .若集合 A = 0,1 , B = 0,-1 ，則 A* B 中元素的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
11-4．（2024 高二下·山西臨汾·期末）對于一個由整數組成的集合A ，A 中所有元素之和稱為A 的“小和數”，
A 的所有非空子集的“小和數”之和稱為A 的“大和數”．已知集合B = -7, -3, -1,1,2,3,4,5,6,7,13 ，則 B 的“小
和數”為 ， B 的“大和數”為 ．
一、單選題
1．（2024·吉林長春·模擬預測）已知集合 A = a,5 - a, 4 ，B = 3,2a +1 ， A B = 2,3,4,5 ，則 a =（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·四川成都·模擬預測）已知集合M = x | - 3 x 3 , N = x | -3 x 1 ，且 M，N 都是全集 U 的
子集，則如圖的韋恩圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A． x | - 3 x 1 B． x | -3 x 1 C． x | -3 x < - 3 D． x |1 < x 3
3．（2024 高二下·湖南·期中）已知全集U = R ，集合 A = x Z 0 < x 2 ，B = -1,0,1,2,3 ，則圖中陰影部
分表示的集合為（ ）
A． -2,0 B． -2,3 C． -2,0,2 D． -2,0,3
4．（2024·全國·模擬預測）已知全集U = 1,2,3,4,5 , A = 1,2,3 , B = 3,4,5 ，則 U A U B =（ ）
A．U B． 1,2,4,5 C． 3 D．
5．（2024·河北石家莊·模擬預測）已知 A = 1,2,a + 3 , B = a,5 ，若 AU B = A，則 a =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024 高三下·湖南·階段練習）已知集合U = 1,2,3,4,5,6 ， A = 2,4,6 ，B = 1,2,3,6 ，則 AI U B
（ ）
A． 3 B． 6 C． 4 D． 2,3,4,6
7．（2024·浙江·模擬預測）已知實數集R ，集合 A = x∣0 x 6 , B = {x∣x > 5}，則 RB A = （ ）
A．{x∣0 x < 5} B． x∣0 x 5 C．{x∣x < 6} D． x∣x 6
8．（2024 高二下·天津河北·期末）設全集U = -2,-1,0,1,2 ，集合 A = -2,-1 ，集合B = -2, -1,0,1 ，則
U A B =（ ）
A． -2, -1 B． -2, -1,2
C． 0,1 D． -2, -1,0,1,2
9．（2024·山東煙臺·二模）已知集合 A = x x < 3 ，B = x x = 2k ,k Z ，則 AI B =（ ）．
A． -2,2 B． -2,0,2
C． -2, -1,1,2 D． -2, -1,0,1,2
10．（2024 高二下·浙江溫州·學業考試）設集合 A = 0,1,2,3 ，B = 2,3,4,5 ，則 AI B =（ ）
A． 2 B． 2,3 C． 3 D． 3,4
11．（2024 高二下·北京海淀·期末）已知集合 A = -1,0,1 ，B = x -1 x <1 ，則 AI B =（ ）
A． 0 B． -1,0
C． 0,1 D． -1,0,1
12．（2024·遼寧大連·三模）已知集合M , N ，滿足M = M N ，則（ ）
A． B． N M C． N M D．M N
13．（2024·天津）已知集合U = 1,2,3,4,5 , A = 1,3 , B = 1,2,4 ，則 U B U A = （ ）
A． 1,3,5 B． 1,3 C． 1,2,4 D． 1,2,4,5
14．（2024 高二下·廣西·期中）已知集合 A = {-1,0,1,2}，B = x∣-1< x < 2, x N* ，則 AU B 中的元素個數為
（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
15．（2024·四川成都·模擬預測）設集合 A = x N -1 x 2 ，B = -2, -1,0,1 ，則 AI B =（ ）
A． -2, -1,0,1,2 B． -1,0,1 C． 0,1 D． 1
16．（2024 高一上·江西景德鎮·期中）集合 = { |0 < < 8}， = 1 | < ≤ 10 ，則 AU B =（ ）2
A 1． | < ≤ 8 B．{ |0 < ≤ 10}2
C 1 1． | 2 ≤ < 8 D． | 2 < ≤ 10
17．（2024 高三上·遼寧沈陽·期中）設全集U = 2,3,m2 + m - 2 ，集合 A = m +1 ,2 , U A = 4 ，則m =（ ）
A．-2 B．2 C．-3 D．-4
18．（2024 高三·全國·專題練習）如圖， I 是全集，A ， B ，C 是 I 的三個子集，則圖中陰影部分表示（ ）
A． A B C B． A C I B
C． A B IC D．B C I A
19．（2024·遼寧朝陽·模擬預測）設全集U = -2,-1,0,1,2 A = x x2， -1 = 0 ，B = x x -1 x - 2 = 0 ，則
圖中陰影部分所表示的集合為（ ）
A． -1,1,2 B． -2, -1,0,2
C． 1 D． -2,0
20．（2024·安徽蕪湖·模擬預測）設全集 = ，若集合 A = x 2x - 3 < 0 ，B = 0,2,3 ，則 U A B =（ ）
A． 0 B． 0,2 C． 2,3 D． 3
21．（2024·北京房山·二模）已知集合 A = x -1< x < 3 ，集合B = x x 2 ，則（　　）
A． A B = x -2 x < 3 B． A B = x -2 x < 3
C． A B = x -1 < x < 2 D． A B = x x < 3
22．（2024·四川成都·模擬預測）若集合 A = x x - 2 > 0 ，B = x -1< x < 4 ，則集合 AU B =（ ）
A． -1,4 B． x x > 2
C． -1,4 D． -1, +
23．（2024·四川攀枝花·三模）設集合M = x -1 < x 3, x Z ， N = -1,0,1,2 ，則M I N = （ ）
A． x -1< x 2 B． -1,0,1,2 C． 0,1,2 D． -1,0,1,2,3
24．（2024·浙江·二模）若集合M = x 2x > 3 ， N = 1,2,3,4 ，則M I N = （ ）
A． 1,2 B． 3,4
C． x 1 < x < 5, x N* D． x 1 x 4, x N*
25．（2024 高一上·上海嘉定·階段練習）若集合 A = {-1,1}，B = {x | mx =1}，且 AU B = A，則m 的值為
（ ）
A．1或0 B．-1或0 C．1或-1或0 D．1或-1或 2
26．（2024·全國·三模）如圖所示的 Venn 圖中，A 、 B 是非空集合，定義集合 A B 為陰影部分表示的集
合．若 A = x x = 2n +1,n N,n 4 ， B = 2,3,4,5,6,7 ，則 A B = （ ）
A． 2,4,6,1 B． 2,4,6,9 C． 2,3,4,5,6,7 D． 1,2,4,6,9
27．（2024 高一上·江西景德鎮·期中）某城市數、理、化競賽時，高一某班有 26 名學生參加數學競賽，25
名學生參加物理競賽，23 名學生參加化學競賽，其中參加數、理、化三科競賽的有 7 名，只參加數、物兩
科的有 6 名，只參加物、化兩科的有 8 名，只參加數、化兩科的有 5 名．若該班學生共有 51 名，則沒有參
加任何競賽的學生共有（ ）名
A．7 B．8 C．9 D．10
28．（2024 高一上·四川綿陽·期末）如果全集U = {x N * | x < 5}，M = {1,2}，則 U M =
A． B．{1,2} C．{3,4} D．{0,3, 4}
ì kp p ü ì kp p ü
29．（2024 高三·全國·專題練習）已知集合M = íx | x = + , k Z4 4
，集合 N = íx x = - , k Z ，則
8 4
（ ）
A．M N = B． C． N M D．M N = M
30．（2024·河北滄州·模擬預測）若集合 A = x Z -2 < x <1 , B = 0,1,2 ，則 AU B =（ ）
A． (-2,1) B．{-1,0}
C． (-2, 1] {2} D．{-1,0,1,2}
31．（2024·北京西城·二模）有三支股票 A, B,C, 28位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中一支股票.
在不持有A 股票的人中，持有 B 股票的人數是持有C 股票的人數的 2 倍.在持有A 股票的人中，只持有A 股
票的人數比除了持有A 股票外，同時還持有其它股票的人數多 1.在只持有一支股票的人中，有一半持有A
股票.則只持有 B 股票的股民人數是（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
二、多選題
32．（2024·北京西城）已知集合 A＝{x|－1＜x≤3}，集合 B＝{x||x|≤2}，則下列關系式正確的是（　?。?br/>A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ R B＝{x|x≤－1 或 x＞2}
D．A∩ R B＝{x|2＜x≤3}
33．（2024 高一上·江蘇蘇州·階段練習）非空集合 G 關于運算 滿足：（1）對任意 a，b G ，都有
a b G ；（2）存在 e G，使得對一切a G，都有a e = e a = a ，則稱 G 關于運算 為“融洽集”.現給
出下列集合和運算，其中 G 關于運算 為“融洽集”的是（ ）
A．G = 有理數 ， 為實數的乘法 B．G = 非負整數 ， 為整數的加法
C．G = 偶數 ， 為整數的乘法 D．G = 二次三項式 ， 為多項式的加法
34．（2024 高一下·四川南充·階段練習）已知全集U = R ，集合
A = x | -2 x 7 ，B = x | m +1 x 2m -1 ，則使 A U B 成立的實數 m 的取值范圍可能是（ ）
A． m | 6 m 10 B． m | -2 < m < 2
ì
C． ím | -2 < m
1
< - ü D． m | 5 < m 8
2
35．（2024 高一·全國·課后作業）（多選）滿足 1,3 A = 1,3,5 的集合A 可能是
A． 5 B． 1,5 C． 1,3 D． 1,3,5
36．（2024 高一上·貴州遵義·期末）（多選題）設全集 U＝{x|x2－8x＋15＝0，x∈R}． U A＝{x|ax－1＝0}，則
實數 a 的值為（ ）
1 1
A．0 B． C． D．2
3 5
37．（2024 高三上·江蘇連云港·階段練習）設集合
M = {x | x = 6k + 2，k Z}，N = {x | x = 6k + 5，k Z}，P = {x | x = 3k + 2，k Z}，則 （ ）
A．M N B．M N＝P C．M＝P D． PM＝N
38．（2024 高一上·全國·單元測試）已知全集 U={1,2,3,4,5,6}，集合 P={1,3,5}，Q={1,2,4}，則下列結論正確的
是（　　）
A．P Q ={1} B．P Q ={1,2,3,4,5,6}
C． U P U Q ={1,2,4,6} D．P I UQ ={3,5}
39．（廣東省東莞市東莞高級中學 2023-2024 學年高一上學期第一次月考數學試題）設
A = x x2 -8x +12 = 0 ，B = x ax -1 = 0 ，若 AI B = B，則實數 a的值可以是（　?。?br/>1 1
A．0 B． C． D．2
6 2
三、填空題
40．（2024 高一上·全國·課后作業）已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 4}， = { | > }．
（1）若 AI B ，實數 a的取值范圍是 ．
（2）若 A B A，實數 a的取值范圍是 ．
（3）若 A B = B ，實數 a的取值范圍是 ．
41．（2024 高二下·陜西榆林·期末）已知集合 A = x x < a ，B = x 1 < x < 4 ，若 A R B ，則實數 a 的取值
范圍為 ．
42．（2024 高一上·北京海淀·期中）已知 A = {x | x2 + px +1 = 0, x R}，若 AI R+ = ，則實數 p 的取值集合
是 .
43．（2024 高一上·寧夏·階段練習）已知集合 A = {x | -2 x 5}，B = {x | m +1 x 2m -1}，若 AU B = A，
則實數 m 的取值范圍
44．（2024·上海松江·模擬預測）已知集合 A = {-1,1,3 }，B = 1,3,5 ，則 AU B = ．
45．（2024高二上·上海金山·期末）已知集合 A = x, y x - ay + 2 = 0 ，B = x, y ax - 4y + 4 = 0 ，若 AI B = ，
則實數 a 的值為 ．
四、解答題
46．（2024 高一上·陜西渭南·期中）已知集合P = x | x < -1或x > 6 ，Q = x |1- m x 1+ m ，全集為R .
(1)求集合 R P ；
(2)若 R P UQ = R P，求實數 m 的取值范圍.
47．（2024 高一上·福建泉州·階段練習）在① A B = B ；② AI B = 這二個條件中任選一個，補充到本題
第（2）問的橫線處，求解下列問題.
問題：已知集合 A = x a -1 x a +1 , B = x -1 x 3 .
(1)當 a = 2時，求 AU B ；
(2)若__________，求實數 a的取值范圍.
ì 1 ü
48．（2024 高三·全國·課后作業）已知全集為R ，集合 A = x 0 < 2x + a 3 ，B = íx - < x < 2 ，若
2
A B = A，求實數 a 的取值范圍.
49．（2024 高一上·重慶·期末）已知 a R ，集合 A = x x - a 0 ，B = x -1 x 3 .
(1)當 a = 2時，求 A B ， AU B ；
(2)若 A R B ，求 a的取值范圍.
A ìx N 1 ü50．（2024 高一上·山東臨沂·期末）已知集合 = í < x 2 ，B = x R 2ax - 2 0
2
(1)當 a =1時，求 A B ；
(2)若______求實數 a的取值范圍.① A B = B ，② A B = A ③ A R B = 從這三個條件選一個填入橫線
處，并求 a的取值范圍.
51．（2024 高一下·江西南昌·期中）已知全集為R ，集合 A = x 2 x 6 ，B = x 3x - 7 8 - 2x ．
(1)求 A B ；
(2)若C = x a - 4 x a + 4 ，且 AI B C ，求 a的取值范圍．
52．（2024 高一上·北京昌平·期末）已知全集U = R ， A = {x x a - 2 或 x a}， = { |0 < < 5}.
(1)當 a =1時，求 A B ， AU B ， ( U A) I B ；
(2)若 AI B = B，求實數 a 的取值范圍.
53．（2024 高一上·福建泉州·階段練習）設集合
A = 1, -1- a,a2 + 3a - 3 , B = x x2 - 2x +1 = 0 ,C = x x2 - a +1 x + a = 0 .
(1)討論集合 B 與C 的關系；
(2)若 a < 0，且 A C = C ，求實數 a的值.
ì 1 ü
54．（2024 高一上·浙江·期中）已知集合 A = íx N < x < 4 ，B = x ax -1 0 ．請從① A B = B ，②
3
A B = A，③ A R B = 這三個條件中選一個填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答．（如果選
擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）
a 1(1)當 = 時，求 A B ；
2
(2)若______，求實數 a的取值范圍．
55．（2024 高一上·河南·階段練習）已知集合 A = {x | 3 - 2m x 2 + m}，集合B = {x | x2 - 4x + 3 0} .
(1)當m =1時，求 AI B，AU CRB ；
(2)若 AI B = ，求實數m 的取值范圍.
56．（2024高一上·上海楊浦·期中）已知集合 A= x | x2 - m+3 x+2 m+1 =0 ，B = x | 2x2 + 3n+1 x+2 = 0 ，
其中m, n R .
（1）若 A B = A，求m, n的值；
（2）若 AU B = A，求m, n的取值范圍.
57．（2024 高一·全國·課后作業）設集合 A = x -1 x 2 ，B = x 2m < x <1 ，C = x x < -1或 > 2}．
(1)若 AI B = B，求實數 m 的取值范圍；
(2)若B C 中只有一個整數，求實數 m 的取值范圍．
58．（2024 2高一上·遼寧遼陽·期中）已知集合 A = x a - 3 x 3a + 2 ，B = x x - 2x -8 0 ．
(1)當 a = 0時，求 AU B ， AI RB ；
(2)若 AI B = B，求實數 a 的取值范圍．
59．（2024 高一下·四川樂山·階段練習）設全集U = R ，集合 = { |1 ≤ < 4}， = { |2 ≤ < 3 }.
(1)若 a = -2 ，求 ∩ ，B U A
(2)若 AU B = A，求實數 a的取值范圍.
60．（2024 2高一上·重慶沙坪壩·期中）已知 A = x x - 6x + 5 = 0 ，B = x ax -1 = 0 .
(1)若 a =1，求 A ZB ；
(2)從① AU R B = R ；② AI B = B；③ B R A = 這三個條件中任選一個，補充在下面橫線上，并進
行解答.
問題：若 ，求實數 a的所有取值構成的集合C .
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
61．（2024 高一上·遼寧葫蘆島·期末）已知集合M = x x2 + 2x + a = 0 ．
(1)若 M ，求實數 a 的取值范圍；
(2) N = x x2若 + x = 0 且M N ，求實數 a 的值．
62 2024 · · A = 0, -4 , B = x x2．（ 高一上 陜西西安 期中）設集合 + 2(a +1)x + a2 -1 = 0, x R .
a 1(1)若 = - ，求 AU B ；
2
(2)若 AI B = B，求實數 a的取值范圍.
63．（2024 高一上·貴州畢節·階段練習）已知集合 A = x x2 + 4x + 3 = 0 B = x x2， - 2ax + a2 - a - 3 = 0 .
(1)若 a =1，求 A B ；
(2)若 AU B = A，求 a 的取值集合.
64．（2024 高一上·陜西安康·階段練習）已知集合 A = {x | (x + 2)(x -1) < 0}，B = {x | -m -1< x < -m +1}．
(1)若 ( R A) I B = ，求實數m 的取值范圍；
(2)若集合 A B 中僅有一個整數元素，求 AU B ．

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