資源簡(jiǎn)介

1.2 集合間的基本關(guān)系 8 題型分類
一、子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念
1、子集：如果集合 A 中的任意一個(gè)元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，記作 A B(或
B A)，讀作“A 包含于 B”(或“B 包含 A”)．
2、真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一個(gè)元素不屬于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真
子集。記作 A B 或(B A)
【思考】任何兩個(gè)集合之間是否有包含關(guān)系？
提示：不一定．如集合 A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，這兩個(gè)集合就沒(méi)有包含關(guān)系．
【特別提醒】
符號(hào)“∈”與“ ”的區(qū)別：符號(hào)“∈”表示元素與集合間的關(guān)系，而“ ”表示集合與集合之間的關(guān)系．
二、空集
1.定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .
2.規(guī)定：空集是任何集合的子集．
在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：
（1）空集只有一個(gè)子集，即它本身；
（2）空集是任何非空集合的真子集．
【思考】{0}與 表示同一集合嗎？
提示：{0}表示一個(gè)集合，且集合中有且僅有一個(gè)元素 0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
三、集合關(guān)系的性質(zhì)
1.任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即 A A.
2.對(duì)于集合 A，B，C，①若 A B，且 B C，則 A C；②若 A B，B C，則 A C.
3.若 A B，A≠B，則 A B.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論 A＝ 和 A≠ 兩種情
況，前者常被忽視，造成思考問(wèn)題不全面．
四、Venn 圖的優(yōu)點(diǎn)及其表示
(1)優(yōu)點(diǎn)：形象直觀．
(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部代表集合．
（一）
集合間的關(guān)系判斷
1、集合與集合之間的關(guān)系判斷是通過(guò)兩個(gè)集合間的元素是否相同，注意跟集合與元素之間的屬于關(guān)系進(jìn)行
區(qū)分，通過(guò)集合的列舉、描述、圖示法等進(jìn)行判斷.
2、判斷集合關(guān)系的方法.
（1）觀察法：一一列舉觀察.
（2）元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.
（3）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或 Venn 圖.
提醒：若 A B 和 A B 同時(shí)成立，則 A B 更能準(zhǔn)確表達(dá)集合 A，B 之間的關(guān)系.
題型 1：判斷集合間的關(guān)系
1-1．（2024 高一·江蘇·假期作業(yè)）設(shè)集合M = 1,2,3 ， N = 1 ，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． N M B． N M
C． N M D． N M
【答案】D
【分析】根據(jù)集合與集合間的關(guān)系可得出結(jié)論.
【詳解】因?yàn)镸 = 1,2,3 ， N = 1 ，則 N M .
故選：D.
1-2．（2024·北京東城·二模）已知集合 A = {x N | -1< x < 5}，B = {0,1,2,3,4,5}，則（ ）
A．A B B． A = B C．B A D．B A
【答案】A
【分析】用列舉法寫出集合 A，利用集合間的基本關(guān)系判斷．
【詳解】 A = {x N | -1< x < 5} = {0,1,2,3,4}，B = {0,1,2,3,4,5}，則A B .
故選：A.
ì 1 ü n 1
1-3．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合M = íx x = m + ,m Z ， N =
ìx x = - ,n Zü
6 í 2 3
，

P ìx x p 1= í = + , p Z
ü
2 6
，則 M、N、P 的關(guān)系滿足（ ）

A．M = N P B．M N = P C．M N P D． N P M
【答案】B
【分析】先將集合 M、N、P 化簡(jiǎn)成統(tǒng)一形式，然后判斷即可．
M ì 1 ü ì 6m +1 ü ì 3 × 2m +1 ü【詳解】 = íx x = m + ，m Z = íx x = ，m Z = x x = ，m Z ，
6
í
6 6


N ìx x n 1
ì 3 n -1 +1 ü
= í = - ，n Z
ü
= íx x
ì 3k +1 ü= ，n Z = íx x = ，k Z2 3 ， 6 6
P ìx x p 1 p Zü ìx x 3p +1 ü= í = + ， = = ，p Z ，
2 6
í
6
所以M N = P .
故選：B．
1-4 2024 · · A = x x = a2 * 2．（ 高一 全國(guó) 單元測(cè)試）設(shè)集合 +1, a N ，B = y y = b + 4b + 5,b N * ，則集合A
與 B 的關(guān)系是 ．
【答案】 B A
2 * *
【分析】先由題意得到B = y y = (b +1) +1,b N ，由b+1 2,b N ，而 a N * ，即可得出結(jié)果.
2 * 2 *
【詳解】因?yàn)锽 = y y = b + 4b + 5,b N = y y = (b +1) +1,b N ，
A = x x = a2 +1, a N * ，
顯然b+1 2,b N*，而 a N * ，
所以 B 中元素都屬于A ，而A 中元素 2 B，
所以 B A .
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合包含關(guān)系的判定，熟記集合間的基本關(guān)系即可，屬于常考題型.
（二）
子集、真子集
1、求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的 3 個(gè)步驟
2、子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的 4 個(gè)結(jié)論
假設(shè)集合 A 中含有 n 個(gè)元素，則有
(1)A 的子集的個(gè)數(shù)有 2n個(gè)．
(2)A 的非空子集的個(gè)數(shù)有 2n－1 個(gè)．
(3)A 的真子集的個(gè)數(shù)有 2n－1 個(gè)．
(4)A 的非空真子集的個(gè)數(shù)有 2n－2 個(gè)．
題型 2：求集合的子集、真子集
2-1．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）設(shè) A＝{1，2}，B＝{x|x A}若用列舉法表示，則集合 B 是 .
【答案】{ ，{1}，{2}，{1,2}}
【解析】由集合 A 及集合 B 中元素與 A 的關(guān)系知 B 是由 A 集合的子集構(gòu)成的集合，應(yīng)用列舉法寫出集合 B
即可.
【詳解】由題意得，A＝{1,2}，B＝{x|x A}，
則集合 B 中的元素是集合 A 的子集： ，{1}，{2}，{1,2}，
所以集合 B＝{ ，{1}，{2}，{1,2}}，
故答案為：{ ，{1}，{2}，{1,2}}.
2-2．（2024 高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知集合 = { , , , }的所有非空真子集的元素之和為 2023，則
+ + + = .
【答案】289
【分析】寫出集合A 的非空真子集，得到7 + 7 + 7 + 7 = 2023，求出 + + = 289.
【詳解】因?yàn)榧? = { , , , }的所有非空真子集為：
{ },{ },{ },{ },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , },{ , }，
{ , , },{ , , },{ , , },{ , , }，
所以有7 + 7 + 7 + 7 = 2023 7( + + + ) = 2023 + + + = 289.
故答案為：289
2-3．（24-25 高一上·上海·隨堂練習(xí)）集合 a,b 的所有真子集為 ．
【答案】 ， a ， b
【分析】根據(jù)真子集的定義寫出集合 a,b 的所有真子集即可．
【詳解】解：集合 a,b 的所有真子集為： ， a ， b ，
故答案為： ， a ， b ．
2-4．（2024 高一上·山東濟(jì)寧·期中）已知集合 A = x | x2 + 2x - a = 0 ，若 a = 3，請(qǐng)寫出集合 A 的所有子集．
【答案】 ， -3 ， 1 ，{ 3,1}．
【分析】解集合 A 中的方程，得到集合 A，由子集的定義寫出所有子集.
a = 3 A = x | x2【詳解】當(dāng) 時(shí)， + 2x - 3 = 0 = -3,1 ，
集合 A 的所有子集有 ， -3 ， 1 ，{ 3,1}．
題型 3：根據(jù)集合中的元素的個(gè)數(shù)求子集、真子集的個(gè)數(shù)
3-1．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）設(shè)集合 A = {x N * | -1< x 3}，則集合 A 的真子集個(gè)數(shù)是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
【答案】B
【分析】由題意列舉出集合A 中的元素，再用真子集個(gè)數(shù)公式 2n -1（ n 為集合中元素個(gè)數(shù)）計(jì)算即可．
【詳解】因?yàn)?A = {x N * | -1< x 3}，
所以 A = {1,2,3}，
所以集合 A 的真子集個(gè)數(shù)是 23 -1 = 7 ，
故選：B．
3-2．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）集合 A = x x - 7 < 0, x N* 6 *，則 B = {y | N , y A}y 的子集的個(gè)數(shù)為
（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
【答案】D
【分析】先求出A ，再找出A 中 6 的正約數(shù)，可確定集合 B ，進(jìn)而得到答案．
【詳解】集合 A = {x | x - 7 < 0， x N*} = x | x < 7, x N* = {1,2,3,4,5,6 ,
B = {y | 6 N*, y A} = 1,2,3,6
y ，
故 B 有 24 = 16 個(gè)子集.
故選：D．
3-3．（2024 高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知集合 A = x -1< x < 3, x Z ，則集合A 的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【分析】先求出集合A 中包含的元素個(gè)數(shù)，再求真子集個(gè)數(shù).
【詳解】集合 A = x -1< x < 3, x Z = 0,1, 2 ，
所以集合A 的真子集個(gè)數(shù)為： 23 -1 = 7 .
故選：B.
3-4．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）若集合 A 滿足{1,2} A {1,2,3,4,5}，則集合 A 所有可能的情形有（ ）
A．3 種 B．5 種 C．7 種 D．9 種
【答案】C
【分析】由集合的包含關(guān)系討論 A 所含元素的可能性即可.
【詳解】由{1,2} A {1,2,3,4,5}，可知集合 A 必有元素，即至少有兩個(gè)元素，至多有四個(gè)元素，
依次有以下可能： 1,2 , 1,2,3 , 1,2,4 , 1,2,5 , 1,2,3,4 , 1,2,3,5 , 1, 2,4,5 七種可能.
故選：C
3-5．（2024·河南開封·三模）已知集合 A = -1,0,1 ，B = x x = ab,a,b A ，則集合 B 的真子集個(gè)數(shù)是
（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得到集合 B ，然后根據(jù)集合 B 中元素的個(gè)數(shù)求集合 B 的真子集個(gè)數(shù)即可.
【詳解】由題意得B = -1,0,1 ，所以集合 B 的真子集個(gè)數(shù)為 23 -1 = 7 .
故選：C.
題型 4：根據(jù)子集、真子集個(gè)數(shù)求參數(shù)
ì 1 ü
4-1 2．（2024·浙江紹興·二模）已知集合 A = x x + mx 0 ，B = í- ,m -1 ，且 A B 有 4 個(gè)子集，則實(shí)數(shù)m
3
的最小值是 .
1
【答案】 /0.5
2
【分析】根據(jù) A B 的子集個(gè)數(shù)，得到 A B 元素個(gè)數(shù)，分m -1
1
> - 和m -1
1
< - 討論，進(jìn)而得到實(shí)數(shù) m 的
3 3
取值范圍.
【詳解】由 A B 有 4 個(gè)子集，所以 A B 中有 2 個(gè)元素，
所以B I A = B A = x x2，所以 + mx 0 = x - m x 0 ，
ì 1
-m -
ì-m m -1 3
1 2 1 2
所以滿足 í 1 m <

，或 ím -1 > - < m 1，
m -1< - 2 3 3 3 3 m -1 0

1 2 2
綜上，實(shí)數(shù)m 的取值范圍為 m < ，或 < m 1，
2 3 3
1
故答案為：
2
4-2．（2024 高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若集合M = x∣ m +1 x2 - mx + m -1 = 0 恰有 1 個(gè)真子集，則m 的取
值是（ ）
A．-1 B 2 3 C 2 3． ．± D 2 3．± 或-1
3 3 3
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，由條件可得集合M 有且只有一個(gè)元素，然后分m +1 = 0與m +1 0討論，即可得到結(jié)
果.
【詳解】因?yàn)榧螹 = x∣ m +1 x2 - mx + m -1 = 0 恰有 1 個(gè)真子集，則集合M 有且只有一個(gè)元素，
當(dāng)m +1 = 0時(shí)，即m = -1，則M = x x - 2 = 0 = 2 ，符合題意；
當(dāng)m +1 0時(shí)，即m -1，則關(guān)于 x 的方程 m +1 x2 - mx + m -1 = 0只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
2
則D = m - 4 m +1 m -1 = 4 - 3m2 = 0 2 3，解得m = ± ；
3
m = -1 m 2 3綜上所述， 或 = ± .
3
故選：D
4-3 2024· · P = x∣- 2 x < m - m2．（ 四川內(nèi)江 三模）若集合 , x Z 有 6 個(gè)非空真子集，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍
為（ ）
A．( 0, 1) B．[0,1) C． (0,1] D．[0,1]
【答案】A
【分析】根據(jù)給定條件，求出集合 P 中元素，再列出不等式求解即得.
【詳解】由集合P = x∣- 2 x < m - m2 , x Z 有 6 個(gè)非空真子集，得集合 P 中有 3 個(gè)元素，為-2, -1,0，
因此0 < m - m2 1，解得0 < m <1，
所以實(shí)數(shù)m 的取值范圍為( 0, 1) .
故選：A
（三）
集合的相等與空集
1、兩集合相等常見(jiàn)考法及解法：
(1)若兩個(gè)集合相等，則所含元素完全相同，與順序無(wú)關(guān)，但要注意檢驗(yàn)，排除與集合元素互異性或與已知
相矛盾的情形．
(2)若兩個(gè)集合中元素均有無(wú)限多個(gè)，則要看兩集合的代表元素是否一致，再看代表元素滿足的條件是否一
致．若均一致，則兩集合相等．
(3)證明集合 A與 B相等的常用思路是“證 A B且 B A”．
2、集合與集合之間的關(guān)系，元素與集合之間的關(guān)系是用不同的符號(hào)表示的，特別注意空集是不含有任何元
素的集合，且規(guī)定 .
3、求解含參數(shù)的集合是確定集合的子集或真子集時(shí)，應(yīng)考慮該集合為空集的特殊情況，因此本題求解的易
錯(cuò)之處是忽視集合 B為空集的特殊情況而導(dǎo)致漏解．本題若改為 A B時(shí)，則不需要考慮集合 B為空集的特
殊情況．
題型 5：判斷集合相等
5-1．（2024 高一上·貴州安順·期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = (x, y) x + y =1 , N = y x + y =1 B．M = {1,2}, N = {2,1}
C．M = {(3,2)}, N = {(2,3)} D．M = {1,2}, N = {(1,2)}
【答案】B
【分析】根據(jù)集合元素的性質(zhì)及集合相等定義判斷即可.
【詳解】對(duì) AD，兩集合的元素類型不一致，則M N ，AD 錯(cuò)；
對(duì) B，由集合元素的無(wú)序性可知，M = N ，B 對(duì)；
對(duì) C，兩集合的唯一元素不相等，則M N ，C 錯(cuò)；
故選：B
5-2．（24-25 高一上·上海· 3隨堂練習(xí)）下列集合 x | x = 1 ，{x | x2 1} 1 ìx | 1= = 1ü， ， í 中，有一個(gè)與眾不
x
同的集合是（ ）．
ì 1 ü
A 3 2． x | x =1 B． x | x =1 C． 1 D． íx | = 1x
【答案】B
【分析】解方程求出各集合，即可得出結(jié)論.
3 2
【詳解】易知 x | x =1 = 1 ， x | x =1 = ±1 ìx | 1 =1ü， í x = 1 ，
只有 B 表示 ±1 ，其它 A、C、D 均表示 1 ，B 與眾不同．
故選：B
5-3．（2024 高一上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {整數(shù)}， N = {整數(shù)集}
B．M = {(3,2)}， N = {(2,3)}
C．M = {(x, y) | x + y =1}， N = {(y, x) | x + y =1}
D．M = {1,2}， N = {(1,2)}
【答案】C
【分析】由集合的定義，依次對(duì)集合判斷，從而確定集合是否相等即可.
【詳解】A 選項(xiàng)，M = {整數(shù)}中的元素是整數(shù)， N = {整數(shù)集}中的元素是整數(shù)集，故不是同一集合；
B 選項(xiàng)，M = {(3,2)}中的元素是(3,2)， N = {(2,3)}中的元素是(2,3)，故不是同一集合；
C 選項(xiàng)，M = {(x, y) | x + y =1}與 N = {(y, x) | x + y =1}都表示直線 x + y =1上的所有點(diǎn)，故是同一集合；
D 選項(xiàng)，M = {1,2}中的元素是數(shù) 1，2， N = {(1,2)}中的元素是有序數(shù)對(duì) (1, 2)，故不是同一集合；
故選：C.
題型 6：利用集合相等求參數(shù)
6-1．（2024 高一上·廣東江門·期末）設(shè) a,b R ，P = 1,a ，Q = -1,b ，若 P=Q，則 a - b = .
【答案】-2
【分析】由集合相等的定義，計(jì)算集合內(nèi)的元素.
【詳解】P = 1,a ，Q = -1,b ，若 P=Q，則有 a = -1,b =1， a - b = -2 .
故答案為：-2.
6-2．（2024 2高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知集合 A = 0,1, a ，B = 1,0,3a - 2 ，若 A = B，則 a等于
（ ）
A．1 或 2 B．-1或-2 C．2 D．1
【答案】C
【分析】根據(jù)兩個(gè)集合相等的知識(shí)列方程，結(jié)合集合元素的互異性求得 a的值.
【詳解】解：因?yàn)?A = B，所以 a2 = 3a - 2 ，解得 a =1或 a = 2 .
當(dāng) a =1時(shí)， a2 =1，與集合元素互異性矛盾，故 a =1不正確.
經(jīng)檢驗(yàn)可知 a = 2符合.
故選：C
【點(diǎn)睛】本小題主要考查集合相等的知識(shí)，考查集合元素的互異性，是基礎(chǔ)題.
6-3．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A = x a -1< x < 2a +1 ，B = x x2 - 6x + 5 < 0 ．若 A = B，求實(shí)
數(shù) a的值；
【答案】 a = 2
【分析】由一元二次不等式的解法與集合相等的概念求解，
2
【詳解】由已知得B = x x - 6x + 5 < 0 = x 1< x < 5
Q A = B
ì a -1 =1
\í ，
2a +1 = 5
解得 a = 2；
題型 7：空集及其應(yīng)用
7-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且 M＝ ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 .
【答案】m≥1
【詳解】∵M(jìn)＝ ，∴2m≥m＋1，∴m≥1.
故答案為 m≥1
ìx + a +1 > 0
7-2．（2024 高二上·上海閔行·開學(xué)考試）不等式組 í (a 0) a
ax 0
的解集為 ，則實(shí)數(shù) 的取值范圍
>
是 .
【答案】{a | a -1}
【分析】分 a > 0, a < 0兩種情況討論，分別檢驗(yàn)是否滿足條件，從而得出結(jié)論．
ìx + a +1 > 0
【詳解】解：∵不等式組 í (a 0)
ax 0
的解集為 ，
>
ìx + a +1 > 0
①當(dāng) a > 0時(shí)，由 ax > 0求得 x > 0；由 x + a +1 > 0，求得 x > -a -1，故不等式組 í (a 0)
ax
的解集
> 0
為{x | x > 0} ，故不滿足條件；
②當(dāng) a < 0時(shí)，由 ax > 0求得 x < 0 ；由 x + a +1 > 0，求得 x > -a -1，
ìx + a +1 > 0
若 1 ≥ 0，即 a -1時(shí)，不等式組 í (a 0)ax 0 的解集為 ，滿足條件； >
ìx + a +1 > 0
若-a -1< 0，即0 > a > -1時(shí)，不等式組 í (a 0) 的解集為{x | -a -1< x < 0} ax 0 ，不滿足條件， >
綜上可得實(shí)數(shù) a的取值范圍是{a | a -1}，
故答案為：{a | a -1}．
【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式組的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．
7-3．（2024 高一上·湖南永州·階段練習(xí)）若集合 x R a x 2 為空集，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .
【答案】{a a > 2或 a < -2}
【分析】根據(jù)不等式的解集為空集，比較左右端點(diǎn)值的大小，列式即可求解.
【詳解】因?yàn)榧?x R a x 2 為空集，所以 a > 2，即 a > 2或 a < -2 .
故答案為：{a a > 2或 a < -2}
7-4．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列集合中，結(jié)果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6 或 x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6 且 x<1}
【答案】D
【分析】分析是否有元素在各選項(xiàng)的集合中，再作出判斷.
【詳解】A 選項(xiàng)：±1 {x R | x2 -1 = 0}，不是空集；B 選項(xiàng)：$7 {x|x>6 或 x<1}，不是空集；
C 選項(xiàng)：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D 選項(xiàng)：不存在既大于 6 又小于 1 的數(shù)，
即：{x|x>6 且 x<1}= .
故選：D
7-5．（山西省朔州市平魯區(qū)李林中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一（平行班）上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試題）下列各式中：
① 0 0,1,2 ；② 0,1,2 2,1,0 ；③ 0,1,2 ；④ = 0 ；⑤ 0,1 = 0,1 ；⑥ 0 = 0 .正確的個(gè)
數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)相等集合的概念，元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系，空集的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.
【詳解】①集合之間只有包含、被包含關(guān)系，故錯(cuò)誤；
②兩集合中元素完全相同，它們?yōu)橥患希瑒t 0,1,2 2,1,0 ，正確；
③空集是任意集合的子集，故 0,1,2 ，正確；
④空集沒(méi)有任何元素，故 0 ，錯(cuò)誤；
⑤兩個(gè)集合所研究的對(duì)象不同，故 0,1 , 0,1 為不同集合，錯(cuò)誤；
⑥元素與集合之間只有屬于、不屬于關(guān)系，故錯(cuò)誤；
∴②③正確.
故選：B.
7-6．（2024 高一·上海·專題練習(xí)）下列六個(gè)關(guān)系式：① a,b = b, a ；② a,b b, a ；③ = ；
④ 0 = ；⑤ 0 ；⑥ 0 0 ．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】利用集合相等的概念可判定①，③，④；利用集合之間的包含關(guān)系可判定②，⑤，利用元素與
集合的關(guān)系可判定⑥.
【詳解】①正確，集合中元素具有無(wú)序性；
②正確，任何集合是自身的子集；
③錯(cuò)誤， 表示空集，而 表示的是含 這個(gè)元素的集合，所以 = 不成立.
④錯(cuò)誤， 表示空集，而 0 表示含有一個(gè)元素 0 的集合，并非空集，所以 0 = 不成立；
⑤正確，空集是任何非空集合的真子集；
⑥正確，由元素與集合的關(guān)系知，0 0 ．
故選：C.
（四）
利用集合的關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題
(1)利用集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍問(wèn)題，常涉及兩個(gè)集合，其中一個(gè)為動(dòng)集合(含參數(shù))，另一個(gè)為靜集合(具
體的)，解答時(shí)常借助數(shù)軸來(lái)建立變量間的關(guān)系，需特別注意端點(diǎn)問(wèn)題．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論 A＝ 和 A≠ 兩種情況，前
者常被忽視，造成思考問(wèn)題不全面．
題型 8：利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題
8-1．（2024 高一下·上海寶山·期中）已知集合 A = 1 , B = x x2 + 2x + a = 0, x R ，且 ，則實(shí)數(shù) a 的值
是 ．
【答案】-3
【分析】根據(jù) A B 得出 x =1是方程 x2 + 2x + a = 0的解，將 x =1代入方程 x2 + 2x + a = 0中進(jìn)行計(jì)算，即可
得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?A = 1 ，B = x x2 + 2x + a = 0 ， A B ，
所以 x =1是方程 x2 + 2x + a = 0的解，
即12 + 2 1+ a = 0，解得 a = -3 .
經(jīng)檢驗(yàn)， a = -3符合題意，所以 a = -3 .
故答案為：-3 .
8-2．（2024 2 2高二上·廣東梅州·期末）已知集合 A = x | x - 3x + 2 0 , B= x | x - a +1 x + a 0
（1）當(dāng) A = B 時(shí)，求實(shí)數(shù) a的值；
（2）當(dāng) 時(shí)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
【答案】（1） = 2；（2） 2, +
【詳解】分析：利用一元二次不等式的解法，化簡(jiǎn)集合 A = x |1 x 2 ,化簡(jiǎn)集合B = x |1 x a ,（1）利
用集合相等的定義可得結(jié)果；（2）利用子集的定義可得結(jié)果.
詳解：由 x2 - 3x + 2 0，可得1 x 2，
所以 A = x |1 x 2 ,
由 x2 - (a +1)x + a 0 可得，1 x a
集合B = x |1 x a ,
（1）因?yàn)?A = B，所以 a = 2；
（2）因?yàn)?A B ，所以 a 2，
即實(shí)數(shù) a的范圍是[2, + ∞).
點(diǎn)睛：本題主要考查集合相等與集合子集的定義，意在考查對(duì)基本概念掌握與理解的熟練程度.
8-3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知集合 A = x N | x < 2 , B = x∣ax -1 = 0 ，若 B A ，則實(shí)數(shù) a =（ ）
1 1
A． 或 1 B．0 或 1 C．1 D．
2 2
【答案】B
【分析】先求得合 A = 0,1 ，再分 a = 0和 a 0，兩種情況討論，結(jié)合題意，即可求解.
*
【詳解】解：由集合 A = x N | x < 2 = 0,1 ，
對(duì)于方程 ax -1 = 0，
當(dāng) a = 0時(shí)，此時(shí)方程無(wú)解，可得集合B = ，滿足 B A ；
1 1
當(dāng) a 0時(shí)，解得 x = ，要使得 B A ，則滿足 =1，可得 a =1，
a a
所以實(shí)數(shù) a的值為0 或1.
故選：B.
8-4．（2024 高一·全國(guó)· 2 2課后作業(yè)）已知集合 A = x∣2x - x - 3 = 0 , B = x∣ax - x - 3 = 0 ，若B A，則實(shí)數(shù)
a 的取值集合為（ ）
{2} {2,0} ì2, 1 ü {2}U , 1 A． B． C． í -12
D． - -
è 12 ÷
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程解的情況，結(jié)合子集關(guān)系，即可分類討論求解.
【詳解】 A = x∣2x2 - x - 3 = 0 = ì 1, 3- ü 1í ,由于B A，故B = 時(shí)，則 a 0且D =1+12a < 0 a < - ，
2 12
若 B 中只有一個(gè)元素，
ìΔ =1+12a = 0 a 1① B 中的方程為一元二次方程，則 í = - ，此時(shí)B = -6 a 0 ,不合題意，舍去； 12
② B 中的方程為一元一次方程，則 a = 0，則 x = -3，則B = -3 ，此時(shí)不符合B A，舍去，
當(dāng)B = A時(shí)，則 a = 2符合題意，
1
綜上可知： a = 2或 a < - ，
12
故選：D.
一、單選題
1．（2024 高一上·福建福州·期中）已知集合M = {x N* | -1 x 2}，則下列關(guān)系中，正確的是（ ）.
A．0 M B． M C． 0,1 M D． 1,2 M
【答案】D
【分析】結(jié)合題意寫出集合中的具體元素，然后利用元素與集合、集合與集合之間的關(guān)系逐項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即
可求解.
【詳解】因?yàn)榧螹 = {x N* | -1 x 2} = {1,2}，
對(duì)于 A，因?yàn)? M = {1,2}，故選項(xiàng) A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B， 是一個(gè)集合，且 M ，故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，因?yàn)榧螹 = {1,2}，所以集合{0,1}與集合M 不存在包含關(guān)系，故選項(xiàng) C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，因?yàn)榧螹 = {1,2}，任何集合都是它本身的子集，所以{1,2} M ，故選項(xiàng) D 正確，
故選：D.
2．（2024·寧夏銀川·二模）下列集合關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ）
A．{(a,b)} {a,b} B．{0,2} Z C． {0} D．{0,1} {1,0}
【答案】A
【分析】根據(jù)集合與集合的關(guān)系判斷即可.
【詳解】對(duì)于 A：集合{(a,b)}為點(diǎn)集，含有元素 a,b ，集合{a,b}含有兩個(gè)元素 a，b ，
所以{(a,b)}不包含于{a,b}，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B：{0,2} Z，故 B 正確；
對(duì)于 C： {0}，故 C 正確；
對(duì)于 D：因?yàn)閧0,1} = {1,0}，所以{0,1} {1,0}，故 D 正確；
故選：A
3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列集合中為 的是（ ）
A． 0 B．
C．{x | x2 + 4 = 0} D．{x | x +1 2x}
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的表示方法，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】對(duì)于 A 中，由集合 0 中有一個(gè)元素0 ，不符合題意；
對(duì)于 B 中，由集合 中有一個(gè)元素 ，不符合題意；
對(duì)于 C 中，由方程 x2 + 4 = 0，即 x2 = -4 ，此時(shí)方程無(wú)解，可得{x | x2 + 4 = 0} = ，符合題意；
對(duì)于 D 中，不等式 x +1 2x ，解得 x 1，{x | x +1 2x} = x | x 1 ，不符合題意.
故選：C.
4．（2024 高一上·云南德宏·階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．空集沒(méi)有子集
B．空集是任何一個(gè)集合的真子集
C．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集
D．設(shè)集合B A，那么，若 x A，則 x B
【答案】D
【解析】根據(jù)集合的相關(guān)概念，逐項(xiàng)判斷，即可得出結(jié)果
【詳解】A 選項(xiàng)，空集是其本身的子集，A 錯(cuò)；
B 選項(xiàng)，空集是任一非空集合的真子集，B 錯(cuò)；
C 選項(xiàng)，空集只有一個(gè)子集，即是空集本身；C 錯(cuò)；
D 選項(xiàng)，若B A，則 B 中元素都在A 中，A 中沒(méi)有的元素，則 B 中也沒(méi)有；故 D 正確.
故選：D.
5．（2024 高一上·天津和平·階段練習(xí)）下列四個(gè)說(shuō)法中，正確的有（ ）
①空集沒(méi)有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若 A，則 A = ；
④任何集合至少有兩個(gè)子集．
A．0 個(gè) B．1 個(gè) C．2 個(gè) D．3 個(gè)
【答案】A
【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】①空集是任何集合的子集，所以①錯(cuò)；
②空集是任何非空集合的真子集，所以②錯(cuò)；
③空集是任何集合的子集，集合A 不一定等于空集，所以③錯(cuò)；
④空集只有自己本身一個(gè)子集，所以④錯(cuò).
故選：A.
6．（2024 高一上·上海寶山·期中）已知六個(gè)關(guān)系式① ；② ；③ 0 ；④ 0 ；

⑤ = 0 ；⑥ ，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)空集的性質(zhì)、元素與集合、集合與集合的關(guān)系判斷各關(guān)系式的正誤.
【詳解】根據(jù)元素與集合、集合與集合關(guān)系：
是 的一個(gè)元素，故 ，①正確；
是任何非空集合的真子集，故 、 0 ，②③正確；

沒(méi)有元素，故0 ，④正確；且 0 、 ，⑤錯(cuò)誤，⑥正確；
所以①②③④⑥正確.
故選：C
7．（2024 高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題：
①空集沒(méi)有子集；②空集是任何一個(gè)集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)空集的定義和性質(zhì)判斷即可.
【詳解】因?yàn)榭占瞧浔旧淼淖蛹盛馘e(cuò)誤；空集只有本身一個(gè)子集，故②④錯(cuò)誤；空集沒(méi)有元素，而
集合{0}含有一個(gè)元素 0，故③錯(cuò)誤．故正確命題個(gè)數(shù)為 0.
答案：A.
8．（2024·江蘇南京·二模）集合 A = x N 1< x < 4 的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【分析】確定 A = 2,3 ，再計(jì)算子集個(gè)數(shù)得到答案.
【詳解】 A = x N 1< x < 4 = 2,3 ，故子集個(gè)數(shù)為 22 = 4 .
故選：B
9．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知集合M 滿足 2,3 M 1,2,3,4 ，那么這樣的集合M 的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根據(jù)題意，利用列舉法計(jì)數(shù)即可.
【詳解】∵ 2,3 M 1,2,3,4 ，∴要確定集合 M,只需確定 1 和 4 是否放置在其中，
共有 4 種情況， 2,3 ， 1,2,3 , 2,3,4 , 1,2,3,4 ，
故選：D
10．（2024·全國(guó)）設(shè)集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，則 a =（ ）．
2
A．2 B．1 C． D．-1
3
【答案】B
【分析】根據(jù)包含關(guān)系分a - 2 = 0和 2a - 2 = 0 兩種情況討論，運(yùn)算求解即可.
【詳解】因?yàn)?A B ，則有：
若a - 2 = 0，解得 a = 2，此時(shí) A = 0,-2 ，B = 1,0,2 ，不符合題意；
若 2a - 2 = 0 ，解得 a =1，此時(shí) A = 0,-1 ，B = 1, -1,0 ，符合題意；
綜上所述： a =1 .
故選：B.
11．（遼寧省朝陽(yáng)市建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）集合 A = x x < -1或
x 3 ，B = x ax +1 0 若B A，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）
é 1- ,1 é 1 ùA． ê ÷ B． - ,1 3 ê 3 ú
C． - ,1 0, 1+ D é． ê- ,0

÷ 0,1
3
【答案】A
【分析】根據(jù)B A，分B = 和B 兩種情況討論，建立不等關(guān)系即可求實(shí)數(shù) a的取值范圍．
【詳解】QB A，
\①當(dāng)B = 時(shí)，即 ax +1 0無(wú)解，此時(shí) a = 0，滿足題意．
②當(dāng)B 時(shí)，即 ax +1 0有解，
當(dāng) a > 0時(shí)，可得 x
1
- ，
a
ìa > 0

要使B A，則需要 í 1 ，解得0 < a <1．

- < -1
a
1
當(dāng) a < 0時(shí)，可得 x - ，
a
ìa < 0
1
要使B A，則需要 í 1 ，解得- a < 0，

- 3 3
a
綜上，實(shí)數(shù) a
é 1
的取值范圍是 ê- ,1

．
3 ÷
故選：A．
12．（2024 高三下·北京海淀·開學(xué)考試）集合 A = {x | x < -1或 x 3}，B = x | ax +1 0,a Z ，若B A，則
實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）
A． 1 B． 0,1 C． 0 D．
【答案】C
【分析】分 a = 0、 a > 0和 a < 0三種情況討論，分別求出集合 B ，再根據(jù)集合的包含關(guān)系求出參數(shù)的取值
范圍.
【詳解】因?yàn)?A = {x | x < -1或 x 3}，B = x | ax +1 0,a Z ，
當(dāng) a = 0時(shí)B = ，此時(shí)B A，符合題意；
當(dāng) a 0時(shí)，
B ìx | x 1 ü若 a > 0則 = í - ,a Z ，因?yàn)锽 A，
a
1
所以- < -1，解得0 < a <1，又 a Z ，所以 a ，
a
B ì 1若 a < 0則 =
ü
íx | x - ,a Z ，因?yàn)锽 A，
a
1 3 1所以- ，解得- a < 0，又 a Z ，所以 a ，
a 3
綜上可得 a = 0，即實(shí)數(shù) a的取值范圍是 0 .
故選：C
13．（2024 高一上·貴州遵義·期末）已知集合 A = x |0 x < 5,且 x N ，則集合 A 的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
【答案】D
【分析】先求出集合A 中元素的個(gè)數(shù)，再利用含有 n 個(gè)元素的集合的子集個(gè)數(shù)為2n ，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?A = x |0 x < 5,且 x N = 0,1,2,3,4 ，可知，集合A 中含有 5 個(gè)元素，所以集合A 的子集個(gè)
數(shù)為 25 = 32 .
故選：D.
14．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知集合 A = x y = x - 2 ，B = x x a ，若 A B ，則 a 的取值范圍為
（ ）
A． ≤ 2 B． a 2 C． a 0 D． a 0
【答案】A
【分析】先根據(jù)定義域求出 A = x x 2 ，由 A B 得到 a 的取值范圍.
【詳解】由題意得 x - 2 0，解得 x 2，故 A = x x 2 ，
因?yàn)?A B ，所以 ≤ 2.
故選：A
15．（2024 高一下·湖北孝感·開學(xué)考試）下面五個(gè)式子中：① a a ；② a ；③ a a,b ；
④ a a ；⑤ a b,c, a ，正確的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合，集合與集合之間的關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】解：①中， a是集合 a 中的一個(gè)元素， a a ，所以①錯(cuò)誤；
②中，空集是任一集合的子集，所以②正確；
③中， a 是 a,b 的子集， a a,b ，所以③錯(cuò)誤；
④中，任何集合是其本身的子集，所以④正確；
⑤中， a是 b,c,a 的元素，所以⑤正確.
故選：C.
16．（2024 高一上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合 A = {x | 0 < x < 3}，B = {x | x < 4}，則下列說(shuō)法正確的是
（ ）
A． A B B．B A C． A B D． A B
【答案】C
【分析】利用集合間的包含關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸法即可得解.
【詳解】因?yàn)?A = {x | 0 < x < 3}，B = {x | x < 4}，
所以由數(shù)軸法可知 A B .
故選：C．
17．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知集合 A = {-2,3,1}，集合B = {3,m2} .若B A，則實(shí)數(shù)m 的取值集合為
（ ）
A．{1} B．{ 3}
C．{1,-1} D．{ 3, - 3}
【答案】C
【分析】根據(jù) B 是A 的子集列方程，由此求得m 的取值集合.
【詳解】由于B A，所以m2 =1 m = ±1，
所以實(shí)數(shù) m 的取值集合為{1,-1} .
故選：C
ì 2 ü
18．（2024 高三下·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合 A = 0,1,2 , B = í1, ，且B A，則實(shí)數(shù) x =（x ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．0
【答案】A
2
【分析】根據(jù)集合的包含關(guān)系可得： = 2，解之即可求解.
x
ì 2 ü
【詳解】因?yàn)榧?A = 0,1,2 , B = í1, ，且B A，
x


2
所以 {0,2,1}
2 2
，且 1，則 = 2，解得： x =1，
x x x
故選：A .
ì 1 ü ì 4 1 ü
19．（2024 高一上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）若集合 A = íx | x = 2k +1 ,k Z9 ， B = íx | x = k ± ,k Z ， 9 9
則集合 A， B 之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（ ）
A． A B B．B A C． A=B D． A與 B 互不包含
【答案】C
【分析】對(duì) k 分奇偶進(jìn)行討論，即可判斷集合 A， B 之間的關(guān)系.
【詳解】對(duì)于集合 A，當(dāng) k 2n n Z A ìx | x 4 n 1= 時(shí)， = í = + , n Zü ，當(dāng) k = 2n -1 n Z 時(shí)，
9 9
A 4 1= ìíx | x = n - ,n Z
ü
，所以 A=B .
9 9
故選：C.
20．（2024 高一上·上海楊浦·期末）設(shè) a，b 是實(shí)數(shù)，集合 A = x x - a <1, x R ， B = x || x - b |> 3, x R ，
且 A B ，則 a- b 的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． 2, + D． 4, +
【答案】D
【分析】解絕對(duì)值不等式得到集合 A, B，再利用集合的包含關(guān)系得到不等式，解不等式即可得解.
【詳解】集合 A = x x - a <1, x R = x | a -1 < x < a +1 ，
B = x x - b 3, x R = x | x < b - 3或 x > b + 3
又 A B ，所以 a +1 b - 3或 a -1 b + 3
即 a - b -4或 a - b 4，即 a - b 4
所以 a- b 的取值范圍為 4, +
故選：D
21 2．（2024 高一上·上海徐匯·期中）設(shè)集合P1 = x | x + ax +1 > 0 ，P2 = x | x2 + ax + 2 > 0 ，
Q = x | x2 + x + b > 0 Q = x | x21 ， 2 + 2x + b > 0 ，其中 a， ∈ ，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意 a，P1是P2的子集，對(duì)任意的 b， 1不是 2的子集
B．對(duì)任意 a，P1是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
C．存在 a，使得P1不是P2的真子集，對(duì)任意的 b， 1是 2的子集
D．存在 a，使得P1不是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
【答案】B
【分析】結(jié)合參數(shù)取值情況，根據(jù)集合間元素的關(guān)系確定子集關(guān)系是否成立，即可判斷.
2 2
【詳解】解：對(duì)于集合P1 = x | x + ax +1 > 0 ，P2 = x | x + ax + 2 > 0
可得當(dāng)m P1，即m2 + am +1 > 0，可得m2 + am + 2 > 0 ，即有m P2，可得對(duì)任意 a，P1是P2的子集；
當(dāng)b = 5 2時(shí)，Q1 = x x + x + 5 0 = R ，Q 22 = x x + 2x + 5 0 = R ，可得 1是 2的子集；
當(dāng)b =1 2時(shí)，Q1 = x x + x +1 0 = R ，Q2 = x x2 + 2x +1 0 = {x | x -1且 x R}，可得 1不是 2的子集；
綜上有，對(duì)任意 a，P1是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集.
故選：B.
22．（2024·上海普陀·一模）設(shè)集合 A = x x - a =1 ，B = 1, -3,b ，若A B ，則對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì) (a , b ) 有
A．1對(duì) B． 2對(duì) C．3對(duì) D． 4對(duì)
【答案】D
【解析】先解出A ，再討論包含關(guān)系（注意集合元素互異性），解出數(shù)對(duì)．
【詳解】解：因?yàn)榧?A = {x || x - a |= 1}，
所以 A = {a -1， a +1}，
因?yàn)?B = {1，-3，b}， A B ，
所以 a -1 =1，或 a -1 = -3，或 a -1 = b，
①當(dāng) a -1 =1時(shí)，即 a = 2， A = {1，3}，此時(shí)可知 B = {1，-3，3}，成立，即 a = 2，b = 3；
②當(dāng) a -1 = -3時(shí)，即 a = -2 ， A = {-3， -1}，此時(shí)可知 B = {1，-3， -1}，成立，即 a = -2 ，b = -1；
③當(dāng) a -1 = b時(shí)，則 a +1 =1或 -3:
當(dāng) a +1 =1時(shí)，即 a = 0， A = {-1，1}，此時(shí)可知 B = {1，-3， -1}，成立，即 a = 0，b = -1；
當(dāng) a +1 = -3時(shí)，即 a = -4 ， A = {-5，-3}，此時(shí)可知 B = {1，-3， -5}，成立，即 a = -4 ， = 5；
綜上所述： a = 2，b = 3，或 a = -2 ，b = -1，或 a = 0，b = -1，或 a = -4 ， = 5，共 4 對(duì)．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查集合關(guān)系，綜合集合元素互異性，屬于基礎(chǔ)題．
二、多選題
23．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A = x | x -2 ，B = x | -2 x 1 ，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． A = B B． A B C．B A D． B A
【答案】CD
【分析】根據(jù)已知集合判斷兩個(gè)集合間關(guān)系判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)榧?A = x | x -2 ，B = x | -2 x 1 ，所以根據(jù)子集及真子集的定義可知B A, B A .
故選：CD.
ì 1 1 ü
24．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A＝ í- , ，B＝{x|ax＋1＝0}，且 B A，則實(shí)數(shù) a 的取值可能
3 2
為（　　）
A．－3 B．－2
C．0 D．3
【答案】BCD
ì 1 , 1- ü 1 1【分析】由題得 B＝ í ，{- }，{ }， ，再分四種情況討論得解.
3 2 3 2
ì 1 1 ü
【詳解】由題知 B A，B＝{x|ax＋1＝0}，A＝ í- , .
3 2
ì 1 1
所以 B＝ í- ,
ü 1 1
，{- }，{ }， .
3 2

3 2
ì 1 1 ü
當(dāng) B＝ í- , 時(shí)，此種情況不可能，所以舍去；
3 2
1
當(dāng) B＝{- }
1
時(shí)，- a +1 = 0，解得 a＝3；
3 3
1 1
當(dāng) B＝{ }時(shí)， a +1 = 0，解得 a＝－2；
2 2
當(dāng) B＝ 時(shí)，a＝0.
綜上可得實(shí)數(shù) a 的可能取值為 3，0，－2.
故選：BCD.
25．（2024 高一上·四川瀘州·期末）給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（ ）
A． = 0
B．若 a Z ，則-a Z
C．集合 y y = 2x, x Q 是無(wú)限集
D．集合 x -1 < x < 2, x N 的子集共有 4 個(gè)
【答案】BCD
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合空集、子集的定義，以及Z，Q的含義，即可求解．
【詳解】對(duì)于 A： 是指不含任何元素的集合，故 A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B：若 a Z，則-a Z ，故 B 正確；
對(duì)于 C：有理數(shù)有無(wú)數(shù)個(gè)，則集合 y y = 2x, x Q 是無(wú)限集，故 C 正確；
對(duì)于 D：集合 x -1 < x < 2, x N = 0,1 元素個(gè)數(shù)為 2 個(gè)，
故集合 x -1 < x < 2, x N 的子集共有 22 = 4個(gè)，故 D 正確．
故選：BCD．
26．（2024·廣東肇慶·三模）已知集合 A = x R x2 - 3x -18 < 0 ，B = x R x2 + ax + a2 - 27 < 0 ，則下列
命題中正確的是（ ）
A．若 A = B，則 a = -3 B．若 A B ，則 a = -3
C．若B = ，則 ≤ 6或 a 6 D．若 B A時(shí)，則-6 < a -3或 a 6
【答案】ABC
【分析】求出集合A ，根據(jù)集合包含關(guān)系，集合相等的定義和集合的概念求解判斷．
【詳解】 A = x R -3 < x < 6 ，若 A = B，則 a = -3，且 a2 - 27 = -18，故 A 正確.
a = -3時(shí)， A = B，故 D 不正確.
若 A B ，則 -3 2 + a × -3 + a2 - 27 0且62 + 6a + a2 - 27 0，解得 a = -3，故 B 正確.
當(dāng)B = 時(shí)， a2 - 4 a2 - 27 0，解得 ≤ 6或 a 6，故 C 正確.
故選：ABC．
27．（2024 高一上· 2福建泉州·階段練習(xí)）已知集合 A = x∣ax + 2x + a = 0,a R ，若集合 A 有且僅有 2 個(gè)子
集，則 a 的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】BCD
【分析】根據(jù)條件可知集合A 中僅有一個(gè)元素，由此分析方程 ax2 + 2x + a = 0為一元一次方程、一元二次方
程的情況，從而求解出 a的值.
【詳解】因?yàn)榧螦 僅有 2個(gè)子集，所以集合A 中僅有一個(gè)元素，
當(dāng) a = 0時(shí)， 2x = 0，所以 x = 0，所以 A = 0 ，滿足要求；
當(dāng) a 0時(shí)，因?yàn)榧螦 中僅有一個(gè)元素，所以D = 4 - 4a2 = 0，所以 a = ±1，此時(shí) A = 1 或 A = -1 ，滿足
要求，
故選：BCD.
28．（2024 高一上·河北保定·期中）若集合 A 具有以下性質(zhì)：①集合中至少有兩個(gè)元素；②若{x, y} A，
y
則 xy， x + y A，且當(dāng) x 0 時(shí)， A，則稱集合 A 是“緊密集合”以下說(shuō)法正確的是（ ）
x
A．整數(shù)集是“緊密集合”
B．實(shí)數(shù)集是“緊密集合”
C．“緊密集合”可以是有限集
D．若集合 A 是“緊密集合”，且 x， y A，則 x - y A
【答案】BC
【解析】根據(jù)“緊密集合”具有的性質(zhì)逐一排除即可.
1
【詳解】A 選項(xiàng)：若 x = 2， y =1，而 Z ，故整數(shù)集不是“緊密集合”，A 錯(cuò)誤；
2
B 選項(xiàng)：根據(jù)“緊密集合”的性質(zhì)，實(shí)數(shù)集是“緊密集合”，B 正確；
C 選項(xiàng)：集合 -1,0,1 是“緊密集合”，故“緊密集合”可以是有限集，C 正確；
D 選項(xiàng)：集合 A = {-1,0,1}是“緊密集合”，當(dāng) x =1， y = -1時(shí)， x - y = 2 A，D 錯(cuò)誤．
故選：BC.
【點(diǎn)睛】新定義題目的關(guān)鍵在于正確理解定義，從題意入手.
三、填空題
29．（2024 高一上·湖北武漢·期末）已知集合 A = x R | ax2 + 2(a +1)x + a = 0 沒(méi)有非空真子集，則實(shí)數(shù) a 構(gòu)
成的集合為 .
【答案】 0 ìa a 1 ü í - 2
【分析】根據(jù)題意可得集合A 中元素的個(gè)數(shù)為 1 或 0 個(gè)，再分情況討論即可，注意 a = 0這種情況.
【詳解】解：因?yàn)榧?A = x R | ax2 + 2(a +1)x + a = 0 沒(méi)有非空真子集，
所以集合A 中元素的個(gè)數(shù)為 1 或 0 個(gè)，
當(dāng)集合A 中元素的個(gè)數(shù)為 1 個(gè)時(shí)，
若 a = 0，則有 2x = 0，解得 x = 0，符合題意，
1
若 a 0，則有D = 4 a +1 2 - 4a2 = 0，解得 a = - ，2
當(dāng)集合A 中元素的個(gè)數(shù)為 0 個(gè)時(shí)，
ìΔ = 4 a +1 2 - 4a2 < 0 1
則 í ，解得 <
a 0 2
，
1
綜上 a = 0或 a - ，
2
即實(shí)數(shù) a 構(gòu)成的集合為 0 ì 1 ü ía a - .
2
故答案為： 0 ì 1 ü ía a - 2 .
30．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A = x | x 4或 x < -5 ，B = x | a +1 x a + 3 ，若B A，則
實(shí)數(shù) a的取值范圍 ．
【答案】 a |a < -8或 a 3
【分析】根據(jù)B A，利用數(shù)軸，列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù) a的取值范圍.
【詳解】用數(shù)軸表示兩集合的位置關(guān)系，如上圖所示，
或
要使B A，只需 a + 3 < -5或 a +1 4，解得 a < -8或 a 3．
所以實(shí)數(shù) a的取值范圍 a |a < -8或 a 3 .
故答案為： a |a < -8或 a 3
31．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 A = x x < -1或 x > 4 ，B = x 2a x a + 3 ，若B A，則實(shí)數(shù)
a的取值范圍是 ．
【答案】 a a < -4或 a > 2
【分析】分B = 和B 兩種情況討論，結(jié)合B A得出關(guān)于實(shí)數(shù) a的不等式組，解出即可得出實(shí)數(shù) a的
取值范圍.
【詳解】當(dāng)B = 時(shí)， 2a > a + 3，即 a > 3，滿足要求；
ìa + 3 2a ìa + 3 2a
當(dāng)B 時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得 ía 3 1 或 + < -
í
2a > 4
，
解得 < 4或 2 < a 3．
綜上，實(shí)數(shù) a的取值范圍為 a a < -4或 a > 2 .
故答案為 a a < -4或 a > 2 .
【點(diǎn)睛】本題考查利用集合包含關(guān)系求參數(shù)，解題時(shí)要對(duì)含參數(shù)的集合分空集和非空集合兩種情況討論，
結(jié)合包含關(guān)系列不等式（組）進(jìn)行求解，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.
32 2．（2024 高一上·湖南湘西·階段練習(xí)）已知集合M = x x + x - 6 = 0 ，N = x mx -1 = 0 ，若 N M ，則
實(shí)數(shù) m 的取值構(gòu)成的集合為___________.
ì
【答案】 í0,
1 , 1- ü
2 3
【分析】先化簡(jiǎn)集合 M，然后再根據(jù) N M，求出 m 的值，即可求解．
【詳解】∵集合M = x x2 + x - 6 = 0 ，
∴集合M = 2, -3 ，
∵ N M ， N = x mx -1 = 0 ，
∴ N = ，或 N = 2 ，或 N = -3 三種情況，
當(dāng) N = 時(shí)，可得m = 0；
當(dāng) N = 2 時(shí)，∵ N = x mx -1 = 0 ，∴ x 1 1= = 2，∴ m = ；
m 2
當(dāng) N = -3 1 1， x = = -3，∴ m = - ；
m 3
∴ ì
1 1ü
實(shí)數(shù) m 的取值構(gòu)成的集合為 í0, , - ，
2 3
ì
故答案為： í0,
1 , 1- ü
2 3


33．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 M 滿足 0,1 M 0,1,3,5,6 則集合 M 的個(gè)數(shù)為 ．
【答案】7
【分析】直接根據(jù)集合的關(guān)系列舉出集合M 即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?0,1 M 0,1,3,5,6 ，
所以M 可以為： 0,1,3 ， 0,1,5 ， 0,1,6 ， 0,1,3,5 ， 0,1,3,6 ， 0,1,5,6 ，
0,1,3,5,6 共計(jì) 7 個(gè)，
故答案為：7.
34．（2024 2高一上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合 A = x 2ax + 2a -8 x +1 = 0 有且僅有兩個(gè)子集，則 a的
取值集合為 .
【答案】 0,2,8
【分析】根據(jù)題意集合 A 有一個(gè)元素，考慮 a = 0和 a 0兩種情況，計(jì)算得到答案即可.
2
【詳解】由題意，集合 A = x 2ax + 2a -8 x +1 = 0 有且僅有兩個(gè)子集，則集合A 只有一個(gè)元素，
當(dāng) a = 0時(shí)，-8x +1 = 0，解得 x
1
= ，符合題意；
8
當(dāng) a 0時(shí)，D = 2a -8 2 - 4 2a 1 = 0，解得 a = 2或 a = 8，
a ì
1 ü
當(dāng) = 2時(shí)， A = x 4x2 - 4x +1 = 0 = í2 ，符合題意，
1
當(dāng) a = 8時(shí)， A = x 16x2 + 8x +1 = 0 = ì üí- ，符合題意.
4


綜上所述， a的取值集合為 0,2,8 .
故答案為： 0,2,8 .
35．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知 A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1 或 x>4}，若 A B ，則實(shí)數(shù) a 的
取值范圍是 ．
【答案】a<－4 或 a>2
【分析】按集合 A 為空集和不是空集兩種情況去討論即可求得實(shí)數(shù) a 的取值范圍.
【詳解】①當(dāng) a>3 即 2a>a＋3 時(shí)，A＝ ，滿足 A B ；.
②當(dāng) a 3 即 2a a＋3 時(shí)，若 A B ，
ì2a a + 3
則有 ía + 3 -1 2a 4，解得 a<－4 或 2綜上，實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 a<－4 或 a>2.
故答案為：a<－4 或 a>2
36．（2024 高一上·廣西玉林·期中）設(shè)集合 A={ x - 3 x 2 }，B={x k -1 x 2k +1}，且 A B，則實(shí)數(shù) k
的取值范圍是 (寫成集合形式).
1
【答案】{k | k < -2或- 2 k }
2
【分析】由B A知，集合 B 為 A 的非空子集或空集，列出滿足的包含關(guān)系，求得 k 的范圍.
【詳解】由B A知，集合 B 為 A 的非空子集或空集，
ìk -1 -3

即 í2k +1 2 或 k -1 > 2k +1，

k -1 2k +1
2 k 1解得 k < -2或-
2
1
故答案為：{k | k < -2或- 2 k }
2
37．（2024·上海普陀·一模）設(shè)非空集合Q M ，當(dāng)Q中所有元素和為偶數(shù)時(shí)（集合為單元素時(shí)和為元素本
身），稱Q是M 的偶子集，若集合M = 1,2,3,4,5,6,7 ，則其偶子集Q的個(gè)數(shù)為 .
【答案】63
【分析】對(duì)集合Q中奇數(shù)和偶數(shù)的個(gè)數(shù)進(jìn)行分類討論，確定每種情況下集合Q的個(gè)數(shù)，綜合可得結(jié)果.
【詳解】集合Q中只有 2個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合Q的可能情況為： 1,3 、 1,5 、 1,7 、 3,5 、 3,7 、 5,7 ，
共6 種，
若集合Q中只有 4個(gè)奇數(shù)時(shí)，則集合Q = 1,3,5,7 ，只有一種情況，
若集合Q中只含1個(gè)偶數(shù)，共3種情況；
若集合Q中只含 2個(gè)偶數(shù)，則集合Q可能的情況為 2,4 、 2,6 、{4,6}，共3種情況；
若集合Q中只含3個(gè)偶數(shù)，則集合Q = 2,4,6 ，只有1種情況.
因?yàn)镼是M 的偶子集，分以下幾種情況討論：
若集合Q中的元素全為偶數(shù)，則滿足條件的集合Q的個(gè)數(shù)為7 ；
若集合Q中的元素全為奇數(shù)，則奇數(shù)的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，共7 種；
若集合Q中的元素是 2個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)，共6 3 =18種；
若集合Q中的元素為 2個(gè)奇數(shù) 2個(gè)偶數(shù)，共6 3 =18種；
若集合Q中的元素為 2個(gè)奇數(shù)3個(gè)偶數(shù)，共6 1 = 6種；
若集合Q中的元素為 4個(gè)奇數(shù)1個(gè)偶數(shù)，共1 3 = 3種；
若集合Q中的元素為 4個(gè)奇數(shù) 2個(gè)偶數(shù)，共1 3 = 3種；
若集合Q中的元素為 4個(gè)奇數(shù)3個(gè)偶數(shù)，共1種.
綜上所述，滿足條件的集合Q的個(gè)數(shù)為7 + 7 +18 +18 + 6 + 3+ 3+1 = 63 .
故答案為：63 .
38．（2024 高一上·江蘇·專題練習(xí)）已知集合 A = {x∣- 3 x 4}, B = {x∣2m -1< x < m +1}，且B A，則實(shí)數(shù) m
的取值范圍是 .
【答案】 -1, +
【分析】分 B 為空集和不是空集兩種情況，根據(jù)集合建的包含關(guān)系得到不等式（組）求解.
【詳解】解：分兩種情況考慮：
①若 B 不為空集，可得： 2m -1< m +1，
解得：m < 2，
QB A, A = x | -3 x 4 ，
\2m -1 -3且m +1 4，
解得：-1≤m≤3，所以-1 m < 2 ,
②若 B 為空集，符合題意，可得： 2m -1 m +1，
解得：m≥ 2 .
綜上，實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 ≥ 1.
故答案為： -1, + .
四、解答題
39．（2024 高一·上海·課后作業(yè)）已知集合 A = {x | -2 x 5}, B = {x | m +1 x 2m -1} .
(1)若B A，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
(2)若 A B ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.
【答案】(1){m | m 3}
(2)不存在
【分析】（1）根據(jù)題意，分B = 和B 兩種情況討論，列出不等式組，即可求解；
（2）根據(jù)題意，結(jié)合 A B ，列出不等式組，即可求解.
【詳解】（1）解：①當(dāng)B = 時(shí)，即m +1 > 2m -1，解得m < 2，此時(shí)滿足B A；
②當(dāng)B 時(shí)，要使得B A，
ìm +1 -2

則滿足 í2m -1 5 ，解得 2 m 3，

2m -1 m +1
綜上可得，實(shí)數(shù)m 的取值范圍是{m | m 3} .
ìm +1 -2

（2）解：由題意，要使得 A B ，則滿足 í2m -1 5 ，此時(shí)不等式組無(wú)解，

2m -1 m +1
所以實(shí)數(shù)m 不存在，即不存在實(shí)數(shù)m 使得 A B .
40．（2024 高一上· 2安徽蕪湖·階段練習(xí)）若集合 A = x | x + x - 6 = 0 ，B = {x | mx +1 = 0}，且 B A ，求實(shí)數(shù)
m 的值.
1
【答案】m
1
= 或m = - 或m = 03 2
【分析】分m = 0和m 0 兩種情況討論，結(jié)合已知即可得解.
【詳解】 A = x | x2 + x - 6 = 0 = -3,2 ，
當(dāng)m = 0時(shí)，B = A ，
1
當(dāng)m 0 ì ü 時(shí)，B = {x | mx +1 = 0} = í- m
，

因?yàn)?B 1 1A ，所以 - = -3或- = 2m ，m
1 1
所以m = 或-3 ，2
m 1
1
綜上所述， = 或m = - 或m = 0 .3 2
41．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合M = x -1 x 4 ．
(1)若 N = x m x 2m - 2 ， N M ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
(2)若 N = x m - 6 x 2m -1 ， ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．
【答案】(1) m m 3 ；
ì 5 ü
(2) ím m 52
.

【分析】（1）根據(jù)題意，由 N M ，分類討論當(dāng) N = 和 ≠ 兩種情況，解不等式即可得出實(shí)數(shù)m 的取
值范圍；
ì2m -1 > m - 6

（2）根據(jù)題意，由 ，得出 ím - 6 -1 ，解不等式即可求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．

2m -1 4
【詳解】（1）解：由題可知M = x -1 x 4 ， N = x m x 2m - 2 ， N M ，
①若 N = ，則m > 2m - 2 ，即m < 2；
ìm 2m - 2

②若 ≠ ，則 í-1 m ，解得： 2 m 3；

2m - 2 4
綜合①②，得實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 m m 3 ．
（2）解：已知M = x -1 x 4 ， N = x m - 6 x 2m -1 ， ，
ì2m -1 m - 6

則 ím - 6 -1
5
，解得： ≤ m≤52 ，

2m -1 4
m ìm 5 ü所以實(shí)數(shù) 的取值范圍是 í m 52
．

42．（2024 高一上·山西太原· 2 2 2階段練習(xí)）已知集合 A = x | x + 4x = 0 ，B = x | x + 2(a +1)x + a -1 = 0 .
（1）若 A B ，求 a的值；
（2）若B A，求 a的值.
【答案】（1） a =1；（2） a -1或 a =1 .
【分析】（1）由題 A = {-4,0}，集合 B 最多兩個(gè)元素， A B ，則 A = B，所以集合 B 中的方程兩根為-4,0，
即可求解；
（2）分類討論： B 為空集，單元素集合，兩個(gè)元素的集合三種情況分別求解即可.
【詳解】（1）由題集合 B 最多兩個(gè)元素， A = {-4,0}， A B ，則 A = B，所以集合 B 中的方程兩根為-4,0，
V= 4(a +1)2 - 4(a2 -1) > 0 -4=-2(a+1)，即 > 1，由根與系數(shù)的關(guān)系， 0=a2 -1 ，解得： a =1；
（2）由題B A， B 中最多兩個(gè)元素，對(duì)于方程 x2 + 2(a +1)x + a2 -1 = 0
當(dāng)集合B = 時(shí)：
V= 4(a +1)2 - 4(a2 -1) < 0，即 a < -1時(shí)，方程無(wú)解，B = ，符合題意；
當(dāng)集合 B 中只有一個(gè)元素時(shí)：
V= 4(a +1)2 - 4(a2 -1) = 0，即 a = -1時(shí)，方程的解為 x = 0，B = {0}，符合題意；
當(dāng) B 中有兩個(gè)元素時(shí)：
V= 4(a +1)2 - 4(a2 -1) > 0，即 > 1時(shí)，方程有兩個(gè)不同實(shí)根，集合 B 有兩個(gè)元素，
此時(shí)則 A = B，所以集合 B 中的方程兩根為 x1 = -4, x2 = 0，由根與系數(shù)的關(guān)系， -4=-2(a+1)0=a2 -1 ，解得： a =1；
綜上所述： a -1或 a =1 .
【點(diǎn)睛】此題考查通過(guò)集合的包含關(guān)系求參數(shù)的取值，集合 B 是方程的解集，在進(jìn)行分類討論時(shí)應(yīng)以集合中
元素個(gè)數(shù)為分類標(biāo)準(zhǔn)方可做到不重不漏.
43．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 A = x x2 - ax + 4 = 0 ，B = 1,4 ，且 A B ，求實(shí)數(shù) a 的取值范
圍．
【答案】{a∣- 4 < a < 4或 a = 5}
【分析】根據(jù)題意分 A = 和 ≠ 討論，在 ≠ 時(shí)分集合A 為單元素集和雙元素集兩種討論即可.
【詳解】由題意知Q A B，若 A = ，則D = a2 - 4 4 < 0，解得-4 < a < 4，
若 ≠ ， D = a2 -16 = 0，解得 a = 4或-4，
當(dāng) a = 4時(shí)，則方程為 2 4 + 4 = 0，解得 x = 2，此時(shí) A = {2}，不合題意，舍去，
當(dāng) a = -4 時(shí)，則方程為 x2 + 4x + 4 = 0，解得 x = -2， A = {-2}，不合題意，舍去，
當(dāng)D > 0，即 a2 -16 > 0，解得 a > 4或 < 4，則由題意知 A = {1,4}，
則 1,4 為方程 x2 - ax + 4 = 0 兩根，根據(jù)韋達(dá)定理得 a =1+ 4 = 5，
綜上所述 a的范圍是{a∣- 4 < a < 4或 a = 5} .
44．（2024 高一上·福建·階段練習(xí)）已知集合M = x -2 x 5 .
(1)若 N = x m +1 x 2m -1 ， N M ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
(2)若 N = x m - 6 x 2m -1 ， ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.
【答案】(1) m m 3
(2) m 3 m 4
【分析】(1)分 N 為空集和 N 不為空集兩種情況分別求解，最后再求并集即可；
(2) ，則M 是 N 的子集，列出不等式組求解即可.
【詳解】（1）①若 N = ，則m +1 > 2m -1，即m < 2，此時(shí) N M ；
ìm +1 2m -1

②若 ≠ ，則 í-2 m +1 ，解得 2 m 3 .

2m -1 5
綜合①②，得實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 m m 3 .
ìm - 6 -2
（2）（2）若 ，則 í ，解得3≤m≤ 42m 1 5 ， -
所以實(shí)數(shù)m 的取值范圍是 m 3 m 4 .
45．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)集合 A = x x2 -1 = 0 ，B = {x | x2 - ax + b = 0}，且B ．
(1)若 A B ，求實(shí)數(shù) a,b的值；
(2)若 A C ，且C = -1,2m +1,m2 ，求實(shí)數(shù)m 的值．
【答案】(1) a = 0，b = -1
(2) m = 0或1
【分析】（1）先化簡(jiǎn)集合A ，再利用集合交集的定義求解即可；
（2）利用集合交集的定義結(jié)合集合元素的互異性求解即可.
【詳解】（1）由 x2 -1= 0解得 x = ±1，所以 A = {1, -1}，
因?yàn)?A B ，所以1, -1是集合 B 中元素，
ì1- a + b = 0
所以將 x = ±1代入 x2 - ax + b = 0得 í ，解得 a = 01 a b 0 ，
b = -1 .
+ + =
（2）因?yàn)?A C ，由（1）得1, -1是集合C 中元素，
當(dāng) 2m +1 =1即m = 0時(shí)，此時(shí)C = {-1,1,0}符合題意；
當(dāng)m2 =1時(shí)，① m =1，此時(shí)C = {-1,3,1}符合題意；
② m = -1，此時(shí)不滿足集合元素的互異性，舍去；
綜上m = 0或1.
1
46．（2024 高一上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知集合 A＝{x|02
實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
1 ù
【答案】實(shí)數(shù) a 的取值范圍 - , 2 .
è 2 ú
【分析】對(duì) a 是否為零進(jìn)行討論，分別滿足 B A 列關(guān)系，即解得參數(shù)范圍.
1
【詳解】解： a = 0時(shí)，A＝R，B＝{x|－ 2
A ìx 1 4 ü= - < x 1 1 4a > 0時(shí)， í ，因?yàn)?B A，所以- - , 2 ，解得0 < a 2 ，
a a

a 2 a
ì 4 1 ü 4 1 1 1
a < 0時(shí)， A = íx x < - ，因?yàn)?B A，所以 - , 2 < - ，解得- < a < 0 ，
a a

a 2 a 2
1 ù
故綜上可知，實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 - , 2
è 2 ú
.
【點(diǎn)睛】本題考查了集合之間的子集關(guān)系，屬于中檔題.1.2 集合間的基本關(guān)系 8 題型分類
一、子集、真子集、集合相等的相關(guān)概念
1、子集：如果集合 A 中的任意一個(gè)元素都是集合 B 的元素，那么集合 A 叫做集合 B 的子集，記作 A B(或
B A)，讀作“A 包含于 B”(或“B 包含 A”)．
2、真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中至少有一個(gè)元素不屬于 A，那么集合 A 叫做集合 B 的真
子集。記作 A B 或(B A)
【思考】任何兩個(gè)集合之間是否有包含關(guān)系？
提示：不一定．如集合 A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，這兩個(gè)集合就沒(méi)有包含關(guān)系．
【特別提醒】
符號(hào)“∈”與“ ”的區(qū)別：符號(hào)“∈”表示元素與集合間的關(guān)系，而“ ”表示集合與集合之間的關(guān)系．
二、空集
1.定義：不含任何元素的集合叫做空集，記為 .
2.規(guī)定：空集是任何集合的子集．
在這個(gè)規(guī)定的基礎(chǔ)上，結(jié)合子集和真子集的有關(guān)概念，可以得到：
（1）空集只有一個(gè)子集，即它本身；
（2）空集是任何非空集合的真子集．
【思考】{0}與 表示同一集合嗎？
提示：{0}表示一個(gè)集合，且集合中有且僅有一個(gè)元素 0；而 表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠ .
三、集合關(guān)系的性質(zhì)
1.任何一個(gè)集合都是它本身的子集，即 A A.
2.對(duì)于集合 A，B，C，①若 A B，且 B C，則 A C；②若 A B，B C，則 A C.
3.若 A B，A≠B，則 A B.
【注意】空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論 A＝ 和 A≠ 兩種情
況，前者常被忽視，造成思考問(wèn)題不全面．
四、Venn 圖的優(yōu)點(diǎn)及其表示
(1)優(yōu)點(diǎn)：形象直觀．
(2)表示：通常用封閉曲線的內(nèi)部代表集合．
（一）
集合間的關(guān)系判斷
1、集合與集合之間的關(guān)系判斷是通過(guò)兩個(gè)集合間的元素是否相同，注意跟集合與元素之間的屬于關(guān)系進(jìn)行
區(qū)分，通過(guò)集合的列舉、描述、圖示法等進(jìn)行判斷.
2、判斷集合關(guān)系的方法.
（1）觀察法：一一列舉觀察.
（2）元素特征法：首先確定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判斷關(guān)系.
（3）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或 Venn 圖.
提醒：若 A B 和 A B 同時(shí)成立，則 A B 更能準(zhǔn)確表達(dá)集合 A，B 之間的關(guān)系.
題型 1：判斷集合間的關(guān)系
1-1．（2024 高一·江蘇·假期作業(yè)）設(shè)集合M = 1,2,3 ， N = 1 ，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． N M B． N M
C． N M D． N M
1-2．（2024·北京東城·二模）已知集合 A = {x N | -1< x < 5}，B = {0,1,2,3,4,5}，則（ ）
A．A B B． A = B C．B A D．B A
M ìx x m 1 ,m Zü N ìx x n 11-3．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 = í = + ， = í = - ,n Z
ü
，
6

2 3
P ìx x p 1= í = + , p Z
ü
，則 M、N、P 的關(guān)系滿足（2 6 ）
A．M = N P B．M N = P C．M N P D． N P M
1-4．（2024 高一·全國(guó)· 2 * 2單元測(cè)試）設(shè)集合 A = x x = a +1, a N ，B = y y = b + 4b + 5,b N * ，則集合A
與 B 的關(guān)系是 ．
（二）
子集、真子集
1、求集合子集、真子集個(gè)數(shù)的 3 個(gè)步驟
2、子集、真子集個(gè)數(shù)有關(guān)的 4 個(gè)結(jié)論
假設(shè)集合 A 中含有 n 個(gè)元素，則有
(1)A 的子集的個(gè)數(shù)有 2n個(gè)．
(2)A 的非空子集的個(gè)數(shù)有 2n－1 個(gè)．
(3)A 的真子集的個(gè)數(shù)有 2n－1 個(gè)．
(4)A 的非空真子集的個(gè)數(shù)有 2n－2 個(gè)．
題型 2：求集合的子集、真子集
2-1．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）設(shè) A＝{1，2}，B＝{x|x A}若用列舉法表示，則集合 B 是 .
2-2．（2024 高三上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知集合 = { , , , }的所有非空真子集的元素之和為 2023，則
+ + + = .
2-3．（24-25 高一上·上海·隨堂練習(xí)）集合 a,b 的所有真子集為 ．
2-4．（2024 2高一上·山東濟(jì)寧·期中）已知集合 A = x | x + 2x - a = 0 ，若 a = 3，請(qǐng)寫出集合 A 的所有子集．
題型 3：根據(jù)集合中的元素的個(gè)數(shù)求子集、真子集的個(gè)數(shù)
3-1．（2024·陜西咸陽(yáng)·三模）設(shè)集合 A = {x N * | -1< x 3}，則集合 A 的真子集個(gè)數(shù)是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．15
6
3-2．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）集合 A = x x - 7 < 0, x N* ，則 B = {y | N* , y A}y 的子集的個(gè)數(shù)為
（ ）
A．4 B．8 C．15 D．16
3-3．（2024 高一上·江蘇揚(yáng)州·階段練習(xí)）已知集合 A = x -1< x < 3, x Z ，則集合A 的真子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．8 B．7 C．6 D．5
3-4．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）若集合 A 滿足{1,2} A {1,2,3,4,5}，則集合 A 所有可能的情形有（ ）
A．3 種 B．5 種 C．7 種 D．9 種
3-5．（2024·河南開封·三模）已知集合 A = -1,0,1 ，B = x x = ab,a,b A ，則集合 B 的真子集個(gè)數(shù)是
（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
題型 4：根據(jù)子集、真子集個(gè)數(shù)求參數(shù)
A x x2 mx 0 B ì 1 ü4-1．（2024·浙江紹興·二模）已知集合 = + ， = í- ,m -1 ，且 A B 有 4 個(gè)子集，則實(shí)數(shù)m
3
的最小值是 .
4-2．（2024 2高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）若集合M = x∣ m +1 x - mx + m -1 = 0 恰有 1 個(gè)真子集，則m 的取
值是（ ）
A 2 3 2 3 2 3．-1 B． C．± D．± 或-1
3 3 3
4-3．（2024·四川內(nèi)江·三模）若集合P = x∣- 2 x < m - m2 , x Z 有 6 個(gè)非空真子集，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍
為（ ）
A．( 0, 1) B．[0,1) C． (0,1] D．[0,1]
（三）
集合的相等與空集
1、兩集合相等常見(jiàn)考法及解法：
(1)若兩個(gè)集合相等，則所含元素完全相同，與順序無(wú)關(guān)，但要注意檢驗(yàn)，排除與集合元素互異性或與已知
相矛盾的情形．
(2)若兩個(gè)集合中元素均有無(wú)限多個(gè)，則要看兩集合的代表元素是否一致，再看代表元素滿足的條件是否一
致．若均一致，則兩集合相等．
(3)證明集合 A與 B相等的常用思路是“證 A B且 B A”．
2、集合與集合之間的關(guān)系，元素與集合之間的關(guān)系是用不同的符號(hào)表示的，特別注意空集是不含有任何元
素的集合，且規(guī)定 .
3、求解含參數(shù)的集合是確定集合的子集或真子集時(shí)，應(yīng)考慮該集合為空集的特殊情況，因此本題求解的易
錯(cuò)之處是忽視集合 B為空集的特殊情況而導(dǎo)致漏解．本題若改為 A B時(shí)，則不需要考慮集合 B為空集的特
殊情況．
題型 5：判斷集合相等
5-1．（2024 高一上·貴州安順·期末）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = (x, y) x + y =1 , N = y x + y =1 B．M = {1,2}, N = {2,1}
C．M = {(3,2)}, N = {(2,3)} D．M = {1,2}, N = {(1,2)}
ì 1 ü
5-2．（24-25 · · x | x3 2高一上 上海 隨堂練習(xí)）下列集合 = 1 ，{x | x =1}， 1 ， íx | = 1 中，有一個(gè)與眾不
x
同的集合是（ ）．
A． x | x3 =1 B x | x2． =1 C． 1 ìx | 1 = 1üD． í
x
5-3．（2024 高一上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {整數(shù)}， N = {整數(shù)集}
B．M = {(3,2)}， N = {(2,3)}
C．M = {(x, y) | x + y =1}， N = {(y, x) | x + y =1}
D．M = {1,2}， N = {(1,2)}
題型 6：利用集合相等求參數(shù)
6-1．（2024 高一上·廣東江門·期末）設(shè) a,b R ，P = 1,a ，Q = -1,b ，若 P=Q，則 a - b = .
6-2．（2024 高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知集合 A = 0,1, a2 ，B = 1,0,3a - 2 ，若 A = B，則 a等于
（ ）
A．1 或 2 B．-1或-2 C．2 D．1
6-3．（2024 2高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A = x a -1< x < 2a +1 ，B = x x - 6x + 5 < 0 ．若 A = B，求實(shí)
數(shù) a的值；
題型 7：空集及其應(yīng)用
7-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 M＝{x|2m＜x＜m＋1}，且 M＝ ，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是 .
ìx + a +1 > 0
7-2．（2024 高二上·上海閔行·開學(xué)考試）不等式組 í (a 0) 的解集為 ，則實(shí)數(shù) aax 0 的取值范圍 >
是 .
7-3．（2024 高一上·湖南永州·階段練習(xí)）若集合 x R a x 2 為空集，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是 .
7-4．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列集合中，結(jié)果是空集的是( )
A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6 或 x<1}
C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6 且 x<1}
7-5．（山西省朔州市平魯區(qū)李林中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一（平行班）上學(xué)期月考一數(shù)學(xué)試題）下列各式中：
① 0 0,1,2 ；② 0,1,2 2,1,0 ；③ 0,1,2 ；④ = 0 ；⑤ 0,1 = 0,1 ；⑥ 0 = 0 .正確的個(gè)
數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7-6．（2024 高一·上海·專題練習(xí)）下列六個(gè)關(guān)系式：① a,b = b, a ；② a,b b, a ；③ = ；
④ 0 = ；⑤ 0 ；⑥ 0 0 ．其中正確的個(gè)數(shù)是（ ）
A．1 B．3 C．4 D．6
（四）
利用集合的關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題
(1)利用集合的關(guān)系求參數(shù)的范圍問(wèn)題，常涉及兩個(gè)集合，其中一個(gè)為動(dòng)集合(含參數(shù))，另一個(gè)為靜集合(具
體的)，解答時(shí)常借助數(shù)軸來(lái)建立變量間的關(guān)系，需特別注意端點(diǎn)問(wèn)題．
(2)空集是任何集合的子集，因此在解 A B(B≠ )的含參數(shù)的問(wèn)題時(shí)，要注意討論 A＝ 和 A≠ 兩種情況，前
者常被忽視，造成思考問(wèn)題不全面．
題型 8：利用集合的包含關(guān)系求參數(shù)問(wèn)題
8-1 2．（2024 高一下·上海寶山·期中）已知集合 A = 1 , B = x x + 2x + a = 0, x R ，且 ，則實(shí)數(shù) a 的值
是 ．
8-2．（2024 2高二上·廣東梅州·期末）已知集合 A = x | x - 3x + 2 0 , B= x | x2 - a +1 x + a 0
（1）當(dāng) A = B 時(shí)，求實(shí)數(shù) a的值；
（2）當(dāng) 時(shí)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
8-3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知集合 A = x N | x < 2 , B = x∣ax -1 = 0 ，若 B A ，則實(shí)數(shù) a =（ ）
1 1
A． 或 1 B．0 或 1 C．1 D．
2 2
8-4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 A = x∣2x2 - x - 3 = 0 , B = x∣ax2 - x - 3 = 0 ，若B A，則實(shí)數(shù)
a 的取值集合為（ ）
A．{2} B．{2,0}
ì 1 ü 1
C． í2, - D．{2}U - , -
12
12 ÷ è
一、單選題
1．（2024 高一上·福建福州·期中）已知集合M = {x N* | -1 x 2}，則下列關(guān)系中，正確的是（ ）.
A．0 M B． M C． 0,1 M D． 1,2 M
2．（2024·寧夏銀川·二模）下列集合關(guān)系中錯(cuò)誤的是（ ）
A．{(a,b)} {a,b} B．{0,2} Z C． {0} D．{0,1} {1,0}
3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）下列集合中為 的是（ ）
A． 0 B．
C．{x | x2 + 4 = 0} D．{x | x +1 2x}
4．（2024 高一上·云南德宏·階段練習(xí)）下列命題中正確的是（ ）
A．空集沒(méi)有子集
B．空集是任何一個(gè)集合的真子集
C．任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集
D．設(shè)集合B A，那么，若 x A，則 x B
5．（2024 高一上·天津和平·階段練習(xí)）下列四個(gè)說(shuō)法中，正確的有（ ）
①空集沒(méi)有子集；
②空集是任何集合的真子集；
③若 A，則 A = ；
④任何集合至少有兩個(gè)子集．
A．0 個(gè) B．1 個(gè) C．2 個(gè) D．3 個(gè)
6．（2024 高一上·上海寶山·期中）已知六個(gè)關(guān)系式① ；② ；③ 0 ；④ 0 ；

⑤ = 0 ；⑥ ，它們中關(guān)系表達(dá)正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2024 高一上·河南南陽(yáng)·階段練習(xí)）下列四個(gè)命題：
①空集沒(méi)有子集；②空集是任何一個(gè)集合的真子集；
③ ＝{0}；④任何一個(gè)集合必有兩個(gè)或兩個(gè)以上的子集．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．（2024·江蘇南京·二模）集合 A = x N 1< x < 4 的子集個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
9．（2024·新疆烏魯木齊·三模）已知集合M 滿足 2,3 M 1,2,3,4 ，那么這樣的集合M 的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024·全國(guó)）設(shè)集合 A = 0, -a ，B = 1, a - 2, 2a - 2 ，若 A B ，則 a =（ ）．
2
A．2 B．1 C． D．-1
3
11．（遼寧省朝陽(yáng)市建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）集合 A = x x < -1或
x 3 ，B = x ax +1 0 若B A，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）
é 1- ,1 é 1A． ê ÷ B． ê- ,1
ù
3 3 ú
C． - ,1 0, + D é 1． - ,0 ÷ 0,1
ê 3
12．（2024 高三下·北京海淀·開學(xué)考試）集合 A = {x | x < -1或 x 3}，B = x | ax +1 0,a Z ，若B A，則
實(shí)數(shù) a的取值范圍是（ ）
A． 1 B． 0,1 C． 0 D．
13．（2024 高一上·貴州遵義·期末）已知集合 A = x |0 x < 5,且 x N ，則集合 A 的子集的個(gè)數(shù)為（ ）
A．15 B．16 C．31 D．32
14．（2024·山東濟(jì)南·一模）已知集合 A = x y = x - 2 ，B = x x a ，若 A B ，則 a 的取值范圍為
（ ）
A． ≤ 2 B． a 2 C． a 0 D． a 0
15．（2024 高一下·湖北孝感·開學(xué)考試）下面五個(gè)式子中：① a a ；② a ；③ a a,b ；
④ a a ；⑤ a b,c, a ，正確的有（ ）
A．②③④ B．②③④⑤ C．②④⑤ D．①⑤
16．（2024 高一上·安徽阜陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合 A = {x | 0 < x < 3}，B = {x | x < 4}，則下列說(shuō)法正確的是
（ ）
A． A B B．B A C． A B D． A B
17．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知集合 A = {-2,3,1}，集合B = {3,m2} .若B A，則實(shí)數(shù)m 的取值集合為
（ ）
A．{1} B．{ 3}
C．{1,-1} D．{ 3, - 3}
ì 2 ü
18．（2024 高三下·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合 A = 0,1,2 , B = í1, ，且B A，則實(shí)數(shù) x =（x ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．0
ì 1
19．（2024 高一上·重慶九龍坡·階段練習(xí)）若集合 A = íx | x = 2k +1 ,k Zü B ìx | x 4 k 1 ， = í = ± ,k Zü ，
9 9 9
則集合 A， B 之間的關(guān)系表示最準(zhǔn)確的為（ ）
A． A B B．B A C． A=B D． A與 B 互不包含
20．（2024 高一上·上海楊浦·期末）設(shè) a，b 是實(shí)數(shù)，集合 A = x x - a <1, x R ， B = x || x - b |> 3, x R ，
且 A B ，則 a- b 的取值范圍為（ ）
A． 0,2 B． 0,4 C． 2, + D． 4, +
21．（2024 高一上· 2 2上海徐匯·期中）設(shè)集合P1 = x | x + ax +1 > 0 ，P2 = x | x + ax + 2 > 0 ，
Q1 = x | x2 + x + b > 0 ，Q2 = x | x2 + 2x + b > 0 ，其中 a， ∈ ，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．對(duì)任意 a，P1是P2的子集，對(duì)任意的 b， 1不是 2的子集
B．對(duì)任意 a，P1是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
C．存在 a，使得P1不是P2的真子集，對(duì)任意的 b， 1是 2的子集
D．存在 a，使得P1不是P2的子集，存在 b，使得 1是 2的子集
22．（2024·上海普陀·一模）設(shè)集合 A = x x - a =1 ，B = 1, -3,b ，若A B ，則對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)對(duì) (a , b ) 有
A．1對(duì) B． 2對(duì) C．3對(duì) D． 4對(duì)
二、多選題
23．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A = x | x -2 ，B = x | -2 x 1 ，則下列關(guān)系正確的是（ ）
A． A = B B． A B C．B A D． B A
ì 1 , 1- ü24．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A＝ í ，B＝{x|ax＋1＝0}，且 B A，則實(shí)數(shù) a 的取值可能
3 2
為（　　）
A．－3 B．－2
C．0 D．3
25．（2024 高一上·四川瀘州·期末）給出下列四個(gè)結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（ ）
A． = 0
B．若 a Z ，則-a Z
C．集合 y y = 2x, x Q 是無(wú)限集
D．集合 x -1 < x < 2, x N 的子集共有 4 個(gè)
26 2024· · A = x R x2 - 3x -18 < 0 B = x R x2 + ax + a2．（ 廣東肇慶 三模）已知集合 ， - 27 < 0 ，則下列
命題中正確的是（ ）
A．若 A = B，則 a = -3 B．若 A B ，則 a = -3
C．若B = ，則 ≤ 6或 a 6 D．若 B A時(shí)，則-6 < a -3或 a 6
27．（2024 2高一上·福建泉州·階段練習(xí)）已知集合 A = x∣ax + 2x + a = 0,a R ，若集合 A 有且僅有 2 個(gè)子
集，則 a 的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
28．（2024 高一上·河北保定·期中）若集合 A 具有以下性質(zhì)：①集合中至少有兩個(gè)元素；②若{x, y} A，
y
則 xy， x + y A，且當(dāng) x 0 時(shí)， A，則稱集合 A 是“緊密集合”以下說(shuō)法正確的是（ ）
x
A．整數(shù)集是“緊密集合”
B．實(shí)數(shù)集是“緊密集合”
C．“緊密集合”可以是有限集
D．若集合 A 是“緊密集合”，且 x， y A，則 x - y A
三、填空題
29．（2024 2高一上·湖北武漢·期末）已知集合 A = x R | ax + 2(a +1)x + a = 0 沒(méi)有非空真子集，則實(shí)數(shù) a 構(gòu)
成的集合為 .
30．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 A = x | x 4或 x < -5 ，B = x | a +1 x a + 3 ，若B A，則
實(shí)數(shù) a的取值范圍 ．
31．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合 A = x x < -1或 x > 4 ，B = x 2a x a + 3 ，若B A，則實(shí)數(shù)
a的取值范圍是 ．
32．（2024 2高一上·湖南湘西·階段練習(xí)）已知集合M = x x + x - 6 = 0 ，N = x mx -1 = 0 ，若 N M ，則
實(shí)數(shù) m 的取值構(gòu)成的集合為___________.
33．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）已知集合 M 滿足 0,1 M 0,1,3,5,6 則集合 M 的個(gè)數(shù)為 ．
34．（2024 2高一上·河南信陽(yáng)·階段練習(xí)）已知集合 A = x 2ax + 2a -8 x +1 = 0 有且僅有兩個(gè)子集，則 a的
取值集合為 .
35．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知 A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x<－1 或 x>4}，若 A B ，則實(shí)數(shù) a 的
取值范圍是 ．
36．（2024 高一上·廣西玉林·期中）設(shè)集合 A={ x - 3 x 2 }，B={x k -1 x 2k +1}，且 A B，則實(shí)數(shù) k
的取值范圍是 (寫成集合形式).
37．（2024·上海普陀·一模）設(shè)非空集合Q M ，當(dāng)Q中所有元素和為偶數(shù)時(shí)（集合為單元素時(shí)和為元素本
身），稱Q是M 的偶子集，若集合M = 1,2,3,4,5,6,7 ，則其偶子集Q的個(gè)數(shù)為 .
38．（2024 高一上·江蘇·專題練習(xí)）已知集合 A = {x∣- 3 x 4}, B = {x∣2m -1< x < m +1}，且B A，則實(shí)數(shù) m
的取值范圍是 .
四、解答題
39．（2024 高一·上海·課后作業(yè)）已知集合 A = {x | -2 x 5}, B = {x | m +1 x 2m -1} .
(1)若B A，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
(2)若 A B ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.
40．（2024 2高一上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）若集合 A = x | x + x - 6 = 0 ，B = {x | mx +1 = 0}，且 B A ，求實(shí)數(shù)
m 的值.
41．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知集合M = x -1 x 4 ．
(1)若 N = x m x 2m - 2 ， N M ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
(2)若 N = x m - 6 x 2m -1 ， ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍．
42．（2024 高一上·山西太原· 2階段練習(xí)）已知集合 A = x | x + 4x = 0 ，B = x | x2 + 2(a +1)x + a2 -1 = 0 .
（1）若 A B ，求 a的值；
（2）若B A，求 a的值.
43．（2024 高一·全國(guó)· 2課后作業(yè)）已知集合 A = x x - ax + 4 = 0 ，B = 1,4 ，且 A B ，求實(shí)數(shù) a 的取值范
圍．
44．（2024 高一上·福建·階段練習(xí)）已知集合M = x -2 x 5 .
(1)若 N = x m +1 x 2m -1 ， N M ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍；
(2)若 N = x m - 6 x 2m -1 ， ，求實(shí)數(shù)m 的取值范圍.
45．（2024 高一· 2全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)集合 A = x x -1 = 0 ，B = {x | x2 - ax + b = 0}，且B ．
(1)若 A B ，求實(shí)數(shù) a,b的值；
(2)若 A C ，且C = -1,2m +1,m2 ，求實(shí)數(shù)m 的值．
1
46．（2024 高一上·江蘇蘇州·開學(xué)考試）已知集合 A＝{x|02
實(shí)數(shù) a 的取值范圍．

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