資源簡介

1.1 集合的概念 7 題型分類
知識點(diǎn) 1 元素與集合的概念
1.元素與集合的概念
(1)一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母 a，b，c，…表示，把一些元素
組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母 A，B，C，…表示．
(2)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性.
①確定性
給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就
確定了．簡記為“確定性”．
②互異性
一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．
③無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．
(3)只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.
知識點(diǎn) 2 元素與集合的關(guān)系
1.元素與集合的關(guān)系　
知識點(diǎn) 關(guān)系 概念 記法 讀法
元素與集合 屬于 如果 a 是集合 A 中的元 a∈A “a 屬于 A”
素，就說 a 屬于 A
的關(guān)系 如果 a不是集合 A 中的元
不屬于 a A “a 不屬于 A”
素，就說 a 不屬于 A
2.元素與集合的關(guān)系只能是屬于或不屬于，有且僅有一種情況成立.
知識點(diǎn) 3 常用數(shù)集及表示符號
名稱 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
記法 N N*或 N＋ Z Q R
知識點(diǎn) 4 集合的表示方法
1 列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法，一般
可將集合表示為{a，b，c，…}.
注：列舉法表示的集合的結(jié)構(gòu)：
2.描述法
一般地，設(shè) A 是一個集合，我們把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所組成的集合表
示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法，有時也用冒號或分號代替豎線，寫成{x∈
A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
注：描述法表示的集合的結(jié)構(gòu)：
（一）
1、集合概念的理解
(1)含義:集合是一個原始的不加定義的數(shù)學(xué)術(shù)語，像初中學(xué)過的點(diǎn)、直線一樣，只能描述性說明.
(2)對象:集合中的“對象”所指的范圍非常廣泛，現(xiàn)實生活中我們看到的聽到的、觸摸到的想到的各種各
樣的事物或一些抽象的符號等，都可以看作“對象”，即集合中的元素.
(3)整體:集合是一個整體，即暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對象一旦組成集合，那么這
個集合就是這些對象的全體，而非個別對象.
2、判斷一組對象是否為集合的三依據(jù)
(1)確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否構(gòu)成集合．
(2)互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個數(shù)．
(3)無序性：表示只要一個集合的元素確定，則這個集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無關(guān)．
題型 1：判斷對象是否能構(gòu)成集合
1-1．（2024 高一上·貴州銅仁·階段練習(xí)）下列各組對象中，能組成集合的有 （填序號）．
①所有的好人；
②平面上到原點(diǎn)的距離等于 2 的點(diǎn)；
③正三角形；
④比較小的正整數(shù)；
⑤滿足不等式 x +1 > 0的 x 的取值．
【答案】②③⑤
【分析】根據(jù)集合元素的確定性即可得到答案.
【詳解】①中“好人”，④中“比較小”不滿足構(gòu)成集合元素的確定性，而②③⑤滿足集合元素的性質(zhì)，故
②③⑤正確，
故答案為：②③⑤.
1-2．（2024 高一下·云南·階段練習(xí)）下列各對象可以組成集合的是（ ）
A．與1非常接近的全體實數(shù)
B．北大附中云南實驗學(xué)校 2020 - 2021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生
C．高一年級視力比較好的同學(xué)
D．高一年級很有才華的老師
【答案】B
【分析】由集合中元素的性質(zhì)可直接得到結(jié)果.
【詳解】對于 ACD，集合中的元素具有確定性，但 ACD 中的元素不確定，故不能構(gòu)成集合，ACD 錯誤；
B 中的元素滿足集合中元素的特點(diǎn)，可以構(gòu)成集合，B 正確.
故選：B.
1-3．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（ ）
（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學(xué)生身
高在 1.7 米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段 AB 兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．5 個
【答案】C
【分析】根據(jù)集合中元素的確定性判斷可得答案.
【詳解】（1）（3）（4）（5）中的對象是確定的，可以組成集合，（2）中的對象是不確定的，不能組成集合.
故選：C.
（二）
1、集合中的元素的性質(zhì)及應(yīng)用
元素與集合的關(guān)系有屬于與不屬于兩種:元素 a 屬于集合 A,記作 a∈A,讀作“a 屬于集合 A";元素 a 不屬于集合
A.記作 a A,讀作“a 不屬于集合 A".
(1)a∈A 與 a A 取決于 a 是不是集合 A 中的元素，根據(jù)集合中元素的確定性，可知對任何 a 與 A.在 a∈A 與
a A 這兩種情況中必有一種且只有一種成立.
(2)符號“∈”，“在”是表示元素與集合之間的關(guān)系的，不能用來表示集合與集合之間的關(guān)系，這一點(diǎn)千萬要記
準(zhǔn).
(3)a 與{a}的區(qū)別和聯(lián)系:a 表示一個元素,{a}表示一個集合，該集合只有一個元素 a;它們之間的聯(lián)系為
a a .
2、元素與集合關(guān)系的判斷
（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．
（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此
時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
3、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)
由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟
題型 2：元素與集合關(guān)系的判斷
2-1．（2024 高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）已知集合 A=｛0，1，2｝，則（ ）
A．0 A B．1 A C．2=A D． A
【答案】A
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系進(jìn)行判斷即可
【詳解】已知 A = 0,1,2 ，
所以0 A，1 A， 2 A，而 是任何集合的子集.
故選：A
2-2．（西藏林芝市第二高級中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期第一學(xué)段考試（期中）數(shù)學(xué)試題）給出下列 6 個
關(guān)系：① 2 R，② 3 Z，③ 0 N* ，④ 4 N ，⑤p Q，⑥ -2 Z .其中正確命題的個數(shù)為（ ）
2
A．4 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)數(shù)的分類一一判斷即可.
2 2
【詳解】 為無理數(shù)，有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，所以 R ，所以①正確；
2 2
3是無理數(shù)，所以 3 Z，所以②錯誤；
0 不是正整數(shù)，所以0 N* ，所以③正確；
4 = 2 N ，所以④正確；
π是無理數(shù)，所以 π Q，所以⑤正確；
-2 = 2 Z，所以⑥錯誤.
故選:A.
1
2-3．（河北專版學(xué)業(yè)水平測試專題一集合與常用邏輯用語）給出下列關(guān)系：① R ；② 2 R ；
2
③ -3 N；④ -3 Q．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】結(jié)合數(shù)的分類判斷即可.
1
【詳解】 是有理數(shù)， 2 是無理數(shù)，均為實數(shù)，①正確，②錯誤；2
-3 = 3，為自然數(shù)及有理數(shù)，③④正確.
故選：C.
題型 3：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)
3-1．（2024 2高一上·上海虹口·期中）集合 A = x x -1 x + ax + 4 = 0, x R 中所有元素之和為3，則實數(shù)
a = ．
【答案】-4
2
【分析】由 x -1 x + ax + 4 = 0得 x1 + x2 + x3 =1- a ，即可求解參數(shù)．
【詳解】由 x -1 x2 + ax + 4 = 0得 x -1 = 0或 x2 + ax + 4 = 0
所以 x1 =1 A，
x2 + ax + 4 = 0，當(dāng)D = a2 -16 = 0時， x = 2是方程 x2 + ax + 4 = 0的根，解得 a = -4 ，
當(dāng)D > 0時，若方程 x2 + ax + 4 = 0的一根為 1，則 a = -5，方程的另一根為 4，不合題意；
若 1 不是方程 x2 + ax + 4 = 0的根，則方程兩根 x2 + x3 = -a = 2，此時 a = -2 不滿足D > 0，舍去.
故答案為：-4．
3-2．（2024 高一上·四川瀘州·期末）已知 (1, 2) (x, y) 2x + ay - 3 = 0 ，則 a 的值為 ．
1
【答案】 / 0.5
2
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程運(yùn)算即可求得 a 的值．
【詳解】因為 (1, 2) (x, y) 2x + ay - 3 = 0 ，所以 2 1+ 2a - 3 = 0 ，解得： a = ，
2
1
故答案為： ．
2
3-3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知 A = x∣x2 - ax +1< 0 ，若 2 A，且3 A，則 a 的取值范圍是（ ）
5
A ,+ B
5 ,10 ù é5． ÷ ． ú C． ê ,
10 10
÷ D． - ,
ù
è 2 è 2 3 2 3 è 3 ú
【答案】B
【分析】根據(jù)題意建立不等式求解即可.
【詳解】由題意， 22 - 2a +1< 0且32 - 3a +1 0，
5 a 10解得 < ，
2 3
故選：B
題型 4：利用集合元素的互異性求參數(shù)
4-1．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）設(shè)集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，則實數(shù) m=（ ）
A．0 B．-1 C．0 或-1 D．0 或 1
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分別討論 2m -1 = -3和m - 3 = -3兩種情況，求解m 并檢驗集合的互異性，
可得到答案.
【詳解】設(shè)集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，
Q-3 M ，\2m -1 = -3或m - 3 = -3，
當(dāng) 2m -1 = -3時，m = -1，此時M = -3, -4 ；
當(dāng)m - 3 = -3時，m = 0，此時M = -3, -1 ；
所以m = -1或0 .
故選：C
4-2．（2024·北京海淀· 2模擬預(yù)測）設(shè)集合 A = 2, a - a + 2,1- a ，若 4 A，則 a的值為（ ）．
A．-1，2 B．-3 C．-1，-3，2 D．-3，2
【答案】D
【分析】由集合中元素確定性得到： a = -1， a = 2或 a = -3，通過檢驗，排除掉 a = -1 .
【詳解】由集合中元素的確定性知 a2 - a + 2 = 4或1- a = 4 ．
當(dāng) a2 - a + 2 = 4時， a = -1或 a = 2；當(dāng)1- a = 4 時， a = -3．
當(dāng) a = -1時， A = 2,4,2 不滿足集合中元素的互異性，故 a = -1舍去；
當(dāng) a = 2時， A = 2,4,-1 滿足集合中元素的互異性，故 a = 2滿足要求；
當(dāng) a = -3時， A = 2,14,4 滿足集合中元素的互異性，故 a = -3滿足要求．
綜上， a = 2或 a = -3．
故選：D．
4-3．（2024 高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知集合A 中的元素 1，4， a，且實數(shù) a滿足 a2 A，求實數(shù) a的
值.
【答案】-1, -2，2，0.
【解析】由實數(shù) a滿足：a2 {1，4， a}，得到 a2 =1或 a2 = 4，或 a2 = a ，結(jié)合互異性能求出實數(shù) a的取值．
【詳解】因為實數(shù) a滿足 a2 A，
所以 a2 = 4或 a2 =1或 a2 = a ，
解得 a = -2 或 a = 2或 a = -1或 a =1或 a = 0，
當(dāng) a =1時，集合A 中含有 1，4，1，不合題意；當(dāng) a = -1或 =± 2或 a = 0時，滿足題意.所以實數(shù) a的值為
-1, -2，2，0.
【點(diǎn)睛】本題主要考查已知集合與元素的關(guān)系求參數(shù)，解題時要認(rèn)真審題，注意集合中元素互異性的合理
運(yùn)用，是基礎(chǔ)題．
4-4．（2024 2 2高三·全國·專題練習(xí)）已知 A = a + 2,(a +1) ,a + 3a + 3 ，若1 A，則實數(shù) a構(gòu)成的集合 B 的元
素個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C． 2 D．3
【答案】B
【解析】讓集合A 中每個元素等于 1，求得 a，檢驗符號集合中元素的互異性，得 a的值，從而可得結(jié)論．
【詳解】① a + 2 =1 a = -1，∴ (a +1)2 = 0，a2 +3a+3=1，則 A = 1,0,1 ，不可以，
② (a +1)2 = 1 a = 0，∴ a + 2 = 2， a2 + 3a + 3 = 3，則 A = 2,1,3 ，可以，
或 a = -2 ，∴ a + 2 = 0 ，a2 +3a+3=1，則 A = 0,1,1 ，不可以，
③ a2 +3a+3=1 a = -1， a + 2 =1， (a +1)2 = 0，則 A = 1,0,1 ，不可以，
或 a = -2 ，∴ a + 2 = 0 ， (a +1)2 = 1，則 A = 0,1,1 ，不可以，
∴ B = {0}，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念，掌握集合元素的互異性是解題關(guān)鍵．
4-5 2．（2024 高一上·山東聊城·期中）若 a 1,3, a ，則 a的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
【答案】C
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系及集合中元素的性質(zhì)，即可判斷 a的可能取值.
【詳解】 a = 0，則 a 1,3,0 ，符合題設(shè)；
a =1時，顯然不滿足集合中元素的互異性，不合題設(shè)；
a = 3時，則 a 1,3,9 ，符合題設(shè)；
∴ a = 0或 a = 3均可以.
故選：C
4-6．（2024 高一上·四川自貢·期末）若 a 2,a2 - a ，則 a的值為（ ）
A．0 B． 2 C．0 或 2 D．-2
【答案】A
【分析】分別令 a = 2和 a = a2 - a，根據(jù)集合中元素的互異性可確定結(jié)果.
【詳解】若 a = 2，則 a2 - a = 2，不符合集合元素的互異性；
若 a = a2 - a，則 a = 0或 a = 2（舍），此時 2, a2 - a = 2,0 ，符合題意；
綜上所述： a = 0 .
故選：A.
（三）
用列舉法表示集合
1.列舉法表示的集合的種類
(1)元素個數(shù)少且有限時.全部列舉:如 1,2,3,4;
(2)元素個數(shù)多且有限時，可以列舉部分,中間用省略號表示，如“從 1到 1000的所有自然數(shù)”可以表示為
1,2,3,...,1 000} ;
(3)元素個數(shù)無限但有規(guī)律時，可類似于(2),如自然數(shù)集 N 可以表示為 10,1,2,3....
2.使用列舉法表示集合時需注意
(1)元素之間用“,”而不用“、"隔開;
(2)元素不重復(fù)，滿足元素的互異性;
(3)元素?zé)o順序，滿足元素的無序性;
(4)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法.但是必須把元索間的規(guī)律表
述清楚后才能用省略號.
注意（1）用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點(diǎn)集.
（2）列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中元素個數(shù)較少時，用列舉法表示一目了然.
題型 5：用列舉法表示集合
ìx + y =1
5-1．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）方程組 í
x y 3
的解集是（
- = ）
A． 2, -1 B． x = 2, y = -1 C． x, y -2,1 D． 2, -1
【答案】D
【分析】根據(jù)點(diǎn)集的正確形式，判斷選項.
ìx + y =1 ìx = 2
【詳解】由方程組 íx y 3，解得： íy 1，集合應(yīng)是點(diǎn)集，正確的形式是 2，-1 . - = = -
故選：D
12
5-2．（2024 高一上·北京海淀·期中）已知集合 A = {x | N ， x Z}7 x ，用列舉法表示集合 A = ．-
【答案】 -5,1,3,4,5,6
【分析】根據(jù)元素特征即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意得7 - x =1，2，3，4，6，12
解得 x = 6，5，4，3，1，-5
A {x | 12所以集合 = N ， x Z} = { -57 x ，1，3，4，5，
6}．
-
故答案為： -5,1,3,4,5,6
ì 6 ü
5-3．（2024 高一上·四川·階段練習(xí)）設(shè)集合 A = íx Z N ，則用列舉法表示集合 A 為 .
x + 2


【答案】{-1,0,1,4}
【分析】根據(jù)自然數(shù)集N與整數(shù)集Z的概念分析集合 A 中的元素即可.
6
【詳解】要使 N，則 x + 2 可取1,2,3,6，又 x Z，則 x 可取-1,0,1,4，
x + 2
故答案為： -1,0,1,4 .
5-4．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）集合 x N x - 4 <1 用列舉法表示為（ ）
A． 0,1,2,3,4 B． 1,2,3,4 C． 0,1,2,3,4,5 D． 1,2,3,4,5
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的描述法得到集合的列舉法.
【詳解】∵ x - 4 <1，
∴ x < 5．
又 x N，
∴ x N x - 4 <1 = 0,1,2,3,4 ．
故選：A
（四）
用描述法表示集合
1.描述法的一般形式是 x I p x ,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程
x2 - 3x + 2 = 0 2的實數(shù)根為 x R x - 3x + 2 = 0 .如果從上下文的關(guān)系來看, x I 是明確的，那么 x I
也可省略，只寫其元素 x.例如集合 A = {x R x > 5}也可表示為 A = {x x > 5} .
2.描述法表示集合的條件
對于元素個數(shù)不確定且元素間無明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉出來，可以將集合中元素的共同特
征描述出來，即采用描述法.
3.使用描述法時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)
(1)寫清楚該集合的代表元素，如數(shù)或點(diǎn)等;
(2)說明該集合中元素的共同屬性;
(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母;
(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)，用于描述的內(nèi)容力求簡潔、準(zhǔn)確.
注：(1)用描述法表示集合時，一定要體現(xiàn)描述法的形式，不要漏寫集合的代表元素及元素所具有的性質(zhì),
且用“|”隔開.
(2)當(dāng)描述部分出現(xiàn)集合的代表元素以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值范圍.
題型 6：用描述法表示集合
6-1．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>（1）大于 2 且小于 5 的有理數(shù)組成的集合．
（2）24 的正因數(shù)組成的集合．
（3）自然數(shù)的平方組成的集合．
（4）由 0，1，2 這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))所組成的自然數(shù)組成的集合．
【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）答案見解析．
【分析】（1）集合有無限個元素，利用描述法求解；
（2）集合中元素較少，利用列舉法求解；
（3）集合有無限個元素，利用描述法求解；
（4）集合中元素較少，利用列舉法求解；
【詳解】（1）用描述法表示為{x|2（2）用列舉法表示為{1，2，3，4，6，8，12，24}．
（3）用描述法表示為{x|x=n2，n∈N}．
（4）用列舉法表示為{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．
6-2．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）用描述法表示下列集合：
（1）被 3 除余 1 的正整數(shù)的集合．
（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合．
（3）大于 4 的所有偶數(shù)．
【答案】（1）{x | x = 3n +1,n N}；（2）{(x, y) | x > 0, y > 0}；（3）{x | x = 2n,n 3,n Z}．
【分析】集合用描述法表示，根據(jù)條件寫代表元具有的性質(zhì).
【詳解】（1）因為集合中的元素除以 3 余數(shù)為 1，所以集合表示為：{x | x = 3n +1,n N}；
（2）第一象限內(nèi)的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均大于 0，所以集合表示為：{(x, y) | x > 0, y > 0}；
（3）大于 4 的所有偶數(shù)都是正整數(shù)，所以集合表示為：{x | x = 2n,n 3,n Z}．
【點(diǎn)睛】集合用描述法表示時，注意代表元的元素特征，如果是點(diǎn)集，則代表元要用數(shù)對 (x, y)表示.
6-3．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?
（1）被 5 除余 1 的正整數(shù)組成的集合；
（2）由直線 y＝－x＋4 上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點(diǎn)組成的集合；
（3）方程(x2－9)x＝0 的實數(shù)解組成的集合；
（4）三角形的全體組成的集合.
【答案】（1）{x|x=5k+1，k∈N}；（2）{(x，y)|y＝－x＋4，x∈N，y∈N}；（3）{－3，0，3}；（4）{x|x 是三角
形}或{三角形}.
【分析】（1）（4）集合中有無限多個元素，用描述法表示，（2）是平面上點(diǎn)集，可用描述法也可用列舉法，
（3）中只有有限個元素可以用列舉法表示．
【詳解】（1）{x | x = 5k +1,k N}；
（2）{(x, y) | y = -x + 4, x N , y N}；
（3） (x2 - 9)x = 0 x = 0或 x = ±3，解集為{-3,0,3}，
（4）{x | x 是三角形}或?qū)懗蓒三角形}．
【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示，集合的表示方法有列舉法，描述法，圖示法．一個集合可能用多種方法表
示，表示方法不唯一．
6-4．（2024 高一上·陜西安康·階段練習(xí)）表示下列集合：
(1)請用列舉法表示方程 2x -1 + 2y +1 = 0的解集；
(2)請用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；
(3)請用描述法表示被 5 除余 3 的正整數(shù)組成的集合；
(4)請用描述法表示二次函數(shù) y = x2 + 2x -10的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．
ì(1 , 1【答案】(1) í - )
ü

2 2
(2) (x, y) xy 0
(3){x N+ | x = 5n + 3， n N}
(4){y | y = x2 + 2x -10}
【分析】根據(jù)題意逐項代入分析即可求解.
ì 1 1 ü
【詳解】（1）方程 2x -1 + 2y +1 = 0的解集為 í ,- .
è 2 2
÷

（2）用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合為 x, y xy 0 .
（3）用描述法表示被 5 除余 3 的正整數(shù)組成的集合為{x N+ | x = 5n + 3， n N} .
（4）用描述法表示二次函數(shù) y = x2 + 2x -10的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合為{y | y = x2 + 2x -10}．
（五）
集合表示法的綜合應(yīng)用
(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如集合 A＝{x|kx2－8x＋16＝
0}中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題．
(2)在學(xué)習(xí)過程中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，如等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想．
題型 7：根據(jù)集合元素的個數(shù)求參數(shù)
7-1．（2024 高一上·河南商丘·階段練習(xí)）已知集合 A= x ax2 -3x+2=0 的元素只有一個，則實數(shù) a 的值為
（ ）
9 9
A． B．0 C． 或 0 D．無解
8 8
【答案】C
【分析】集合A 有一個元素，即方程 ax2 - 3x + 2 = 0有一解，分 a=0， a 0 兩種情況討論，即可得解.
【詳解】集合A 有一個元素，即方程 ax2 - 3x + 2 = 0有一解，
a=0 A= x ax2 - 3x+2=0 = x -3x+2=0 = ì2ü當(dāng) 時， í ，符合題意，
3
當(dāng) a 0時， ax2 - 3x + 2 = 0有一解，
9
則D = 9 -8a = 0，解得： a = ，
8
9
綜上可得： a=0或 a = ，
8
故選：C.
7-2．（2024 高一上· 2陜西西安·階段練習(xí)）已知集合 A = x ax - 3x +1 = 0 ，其中 a為常數(shù)，且 ∈ R.若A 中至
多有一個元素，則實數(shù) a的取值范圍為 .
é9
【答案】 ê ,+

÷ U 0
4
【分析】分情況討論集合A 中有零個元素和一個元素時 a的范圍.
【詳解】由 A = x ax2 - 3x +1 = 0 ，
2 9
若A 中有零個元素，即方程 ax2 - 3x +1 = 0無解，則 -3 - 4a < 0，解得 a > ；4
2 x 1若A 中有一個元素，即方程 ax - 3x +1 = 0只有一個解，當(dāng) a = 0時，方程為-3x +1 = 0 ，解得 = ，成立，
3
當(dāng) a 0時，D = -3 2 9- 4a = 0，解得 a = ，成立，
4
é9
綜上所述，若A 中至多有一個元素，則實數(shù) a ê ,+ ÷ U 0 ， 4
é9
故答案為： ê ,+ ÷ U 0 . 4
一、單選題
ìx + y = 2
1．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）方程組 íx 2y 1 0的解集可以表示為（- + = ）
A．{x = 1, y = 1} B．{1} C．{(1,1)} D．{1,1}
【答案】C
【分析】由方程組的解即可求解解集.
ìx + y = 2 ìx =1 ìx + y = 2
【詳解】由 íx - 2y 1 0得 íy 1，所以方程組+ = = í 的解集可以表示為
{(1,1)}，
x - 2y +1 = 0
故選：C
2．（2024 2高二下·河南焦作·階段練習(xí)）已知集合M = 1, m,m + 3 ，且 4 M ，則m 取值構(gòu)成的集合為（ ）
A． 1,4 B． -1,4 C． -1,1,4 D．
【答案】B
【分析】由 4 M 求出 m，再利用互異性即可求解
2
【詳解】因為集合M = 1, m,m + 3 ，且 4 M ，
所以m = 4 或m2 + 3 = 4 .
當(dāng)m2 + 3 = 4 時，解得：m =1或m = -1.
而m =1，不符合元素的互異性，故m = 4 或m = -1.
故選：B
3．（2024 高一上·四川成都·階段練習(xí)）已知 A = a - 2,2a2 + 5a,12 其-3 A，則由 a的值構(gòu)成的集合是（ ）
ì 3ü ì 3ü
A． B． í-1, - 2
C． - 1 D． í- 2
【答案】D
2
【分析】分 a - 2 = -3，2a2 + 5a = -3討論，求出 a，再帶入集合 A = a - 2,2a + 5a,12 看是否滿足互異性即
可.
【詳解】解：Q-3 A，
當(dāng) a - 2 = -3，即 a = -1時， A = -3, -3,12 ，集合中有相同元素，舍去；
7
當(dāng) 2a2 + 5a = -3，即 a = -1（舍）或 a
3
= - 時， A =
ì
í- , -3,12
ü
，符合，2 2
故由 a ì
3ü
的值構(gòu)成的集合是 í- 2
.

故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，以及集合元素的互異性，注意帶入驗證，是基礎(chǔ)題.
4．（2024 高一上·北京·階段練習(xí)）已知集合 A = {a - 2,a2 + 4a,10}，若-3 A，則實數(shù) a的值為（ ）
A．-1 B．-3 C．-3 或-1 D．無解
【答案】B
【分析】根據(jù)題意可得 a - 2 = -3或 a2 + 4a = -3解方程，再利用集合元素的互異性即可求解.
【詳解】若-3 A，可得
當(dāng) a - 2 = -3時，解得 a = -1，此時 A = -3, -3,10 ，
不滿足集合的互異性，故 a = -1（舍去），
當(dāng) a2 + 4a = -3，解得 a = -1（舍去）或 a = -3，此時 A = -5,-3,10 ，
滿足題意，故實數(shù) a的值為-3.
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查了由集合中的元素求參數(shù)值、集合的特征，屬于基礎(chǔ)題.
5．（2024 高一上·浙江·課后作業(yè)）下面四個命題正確的個數(shù)是（ ）.
①集合N*中最小的數(shù)是 1；
②若-a N*，則a N* ；
③若a N*,b N*，則 a + b 的最小值是 2；
④ x2 + 9 = 6x 的解集是 3,3 .
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由 N * 是正整數(shù)集可判斷①②③，根據(jù)集合中元素的互異性知④錯誤.
【詳解】 N * 是正整數(shù)集，最小的正整數(shù)是 1，故①正確；
當(dāng) a < 0時，-a N *，但a N *，故②錯誤；
若 a N * ，則 a 的最小值為 1.又b N *，則 b 的最小值為 1，當(dāng) a 和 b 都取最小值時，a + b 取最小值 2，故
③正確；
由集合中元素的互異性知④錯誤.
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查常用數(shù)集、集合中元素的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
6 2024 · · x ax2．（ 高一 全國 單元測試）若關(guān)于 的方程 + 2 a +1 x + 4 = 0的解集為單元素集合，則（ ）
A． a = 0 B． a =1
C． a = 0或 a =1 D． a 0且 a 1
【答案】C
【分析】分類討論二次項系數(shù)的取值，確定方程只有一個解時參數(shù)的值即可得到答案.
【詳解】 a = 0時，原方程為一元一次方程，有唯一解，滿足條件；
a 0時，原方程為一元二次方程，當(dāng)判別式n= 0時，方程有一個解，此時，
n= 4 a +1 2 - 4 4a = 0，解得 a =1
所以當(dāng)原方程的解集為單元素集合時， a = 0或a =1，選項 C 正確.
故選：C.
7．（2024 高一上·湖北·期末）已知集合 A = -1,0 , B = 1,2 , C = x x = a - b,a A,b B ，則 C 集合中元素
的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)定義列舉出 C 中所有元素，即可判斷.
【詳解】 x = a - b, a A,b B，則可以為： x = -1-1 = -2， x = -1- 2 = -3， x = 0 -1 = -1， x = 0 - 2 = -2 .
故C = -3, -2, -1 ，有 3 個元素.
故選：B
ì 6
8．（2024 高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知集合 M= ía N*,且 a Z ，則 M 等于（ ）
5 - a
A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{ -1，2，3，4}
【答案】D
【分析】由元素具有的性質(zhì)，5- a是 6 的正約數(shù)，由此可得 a的值．
ì
【詳解】因為集合 M= ía
6
N*,且 a Z ，，所以 5-a 可能為 1，2，3，6，
5 - a
即 a 可能為 4，3，2，-1.所以 M={ -1，2，3，4}，
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念，確定集合的元素是解題關(guān)鍵．元素所具有的性質(zhì)是解題的根據(jù)．
9．（2024 高一上·廣東茂名·期中）若 2 {1, a2 +1,a +1}，則 a =（ ）
A．2 B．1 或－1 C．1 D．－1
【答案】D
【分析】分別令 a2 +1 = 2 ， a +1 = 2，求出 a值，代入檢驗．
【詳解】當(dāng) a2 +1 = 2 時，a = ±1，當(dāng) a =1時，a +1 = a2 +1 = 2，不滿足互異性，舍去，當(dāng) a = -1時，集合為
{1,2,0}，滿足；
當(dāng) a +1 = 2時， a =1，不滿足互異性，舍去.
綜上 a = -1．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查集合的定義，掌握集合元素的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．求解集合中的參數(shù)值，一般要進(jìn)行檢驗，
檢驗是否符合元素的互異性．如有其他運(yùn)算也要滿足運(yùn)算的結(jié)論．
10．（2024 高一·全國·假期作業(yè)）方程 x2＝x 的所有實數(shù)根組成的集合為
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D 2． x = x
【答案】C
【分析】解方程 x2＝x，得 x＝0 或 x＝1，由此能求出方程 x2＝x 的所有實數(shù)根組成的集合
【詳解】解：解方程 x2＝x，得 x＝0 或 x＝1，
方程 x2＝x 的所有實數(shù)根組成的集合為 0,1 ．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示方法，屬于基礎(chǔ)題.
11．（2024 高三上·安徽蕪湖·期末）集合 A = x N* x - 5 < 0 中的元素個數(shù)是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】用列舉法表示集合A ，即可知道其元素個數(shù).
【詳解】 A = x N* x - 5 < 0 = 1,2,3,4 ，
所以集合A 中的元素個數(shù)有 4 個，
故選：B.
12．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)有下列關(guān)系：① 2 R；② 4 Q；③ 0 N ；④ 0 0,1 ．其中正確
的個數(shù)為．
A．1 個 B．2 個
C．3 個 D．4 個
【答案】D
【分析】通過判斷元素與集合的關(guān)系即可得到結(jié)果.
【詳解】QR表示實數(shù)集 \ 2 R ，則①正確
QQ 表示有理數(shù)集 \4 Q，則②正確
Q N 表示自然數(shù)集 \0 N ，則③正確
Q0是集合 0,1 的一個元素 \0 0,1 ，則④正確
本題正確選項：D
【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.
13．（2024 高二下·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）已知集合M = 3,4 , N = x∣ x - 3 x + a = 0, a R ， 若M = N ， 則
a = （ ）
A．3 B．4 C．-3 D．-4
【答案】D
【分析】依題意可得3 N ，且 4 N ，即可得到 x = 3和 x = 4為方程 x - 3 x + a = 0的兩個實數(shù)根，從而得
解；
【詳解】解：因為M = 3,4 且M = N ，
所以3 N ，且 4 N ，
又 N = x∣ x - 3 x + a = 0,a R ，
所以 x = 3和 x = 4為方程 x - 3 x + a = 0的兩個實數(shù)根，
所以 a = -4 ；
故選：D
14．（2024 高三下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知集合 A = 4, x, 2y ，B = -2, x2 ,1- y ，若 A = B，則實數(shù) x 的取
值集合為（ ）
A．{-1,0,2} B．{-2,2} C． -1,0,2 D．{-2,1,2}
【答案】B
【分析】根據(jù)集合元素的唯一性分類討論即可.
【詳解】因為 A = B，所以-2 A .
當(dāng) x = -2時， 2y =1- y
1
，得 y = ；
3
當(dāng) 2y = -2時，則 x = 2 .
故實數(shù) x 的取值集合為 -2,2 .
故選：B
15 2．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知集合 A = x | x <1 ，且 a A，則 a的值可能為（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【解析】化簡集合A 得 x 范圍，結(jié)合 a A判斷四個選項即可.
2
【詳解】集合 A = x | x < 1 = x | -1 < x < 1 ，四個選項中，只有0 A，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題
16．（2024 高一上·廣東江門·期中）已知集合M = x | x x -1 = 0 ,那么（ ）
A．0 M B．1 M C．-1 M D．0 M
【答案】A
【分析】確定結(jié)合M = x | x x -1 = 0 的元素，根據(jù)元素和集合的關(guān)系判斷各選項，即得答案.
【詳解】由題意知集合M = x | x x -1 = 0 = {0,1}，
故0 M ，故 A 正確，D 錯誤，1 M ，故 B 錯誤，-1 M ，故 C 錯誤，
故選：A
17．（2024 高一上·海南·期中）下列表示正確的是（ ）
2
A．-3 N* B．0 N C． Z D． π Q7
【答案】B
【分析】利用常用數(shù)集符合的意義，逐項判斷作答.
【詳解】N* 表示正整數(shù)集，而-3 是負(fù)整數(shù)，A 不正確；
N表示自然數(shù)集，0 是自然數(shù)，B 正確；
2
Z表示整數(shù)集， 7 是分?jǐn)?shù)，C 不正確；
Q表示有理數(shù)集， π是無理數(shù)，D 不正確.
故選：B
18．（2024·遼寧· M = a,0 N = a2模擬預(yù)測）設(shè)集合 ， ,b ，若M = N ，則 a + b =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
【答案】B
【分析】根據(jù)集合相等的含義分別求出 a,b，然后可得答案.
【詳解】因為M = a,0 , N = a2 ,b ，M = N ，
ìa = a2

b = 0 ìa =1
所以 í 2 ，解得 í ，所以 a + b = 1．
a b b = 0
a 0
故選：B．
19．（2024 高一上·云南西雙版納·期末）若不等式 3-2x<0 的解集為 M,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
【答案】B
【詳解】當(dāng) x=0 時,3-2x=3>0,所以 0 不屬于 M,即 0 M;當(dāng) x=2 時,3-2x=-1<0,所以 2 屬于 M,即 2∈M.
選 B
點(diǎn)睛：集合與元素的關(guān)系：若 a 屬于集合 A，記作 a∈A；若 b 不屬于集合 A，記作 b A.
20．（2024· 2貴州黔東南·三模）已知集合 S = y | y = x -1 ,T = (x, y) | x + y = 0 ,下列關(guān)系正確的是（ ）
A． -2 S B． 2,-2 T C．-1 S D． -1,1 T
【答案】D
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系求解.
2
【詳解】因為 S = y | y = x -1 = y | y -1 ，
所以 A、C 錯誤，
因為 2 + -2 = 0 ，所以 2,-2 T ，所以 B 錯誤，
又-1+1 = 0 ，所以 -1,1 T ，所以 D 正確，
故選:D．
21．（2024 高一上·浙江·課后作業(yè)）下列四組對象中能構(gòu)成集合的是（　　）
A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生
B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)
C．很小的實數(shù)
D．倒數(shù)等于本身的數(shù)
【答案】D
【分析】根據(jù)集合的含義分別分析四個選項，A，B，C 都不滿足函數(shù)的確定性故排除，D 確定，滿足．
【詳解】解：A：宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生，因為學(xué)習(xí)好的學(xué)生不確定，所以不滿足集合的確定性，
故 A 錯誤；
B：在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)，因為非常近的點(diǎn)不確定，所以不滿足集合的確定性，故 B 錯誤；
C：很小的實數(shù)，因為很小的實數(shù)不確定，所以不滿足集合的確定性，故 C 錯誤；
D：倒數(shù)等于它自身的實數(shù)為 1 與﹣1，∴滿足集合的定義，故正確．
故選：D．
22．（陜西省榆林市府谷中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）下列各組對象不能構(gòu)成集合
的是（ ）
A．上課遲到的學(xué)生
B．2022 年高考數(shù)學(xué)難題
C．所有有理數(shù)
D．小于 x 的正整數(shù)
【答案】B
【分析】集合中元素具有確定性，對于每一個元素要么屬于集合，要么不屬于集合，構(gòu)成集合的元素必要
是確定的.
【詳解】對于 B 中難題沒有一個確定的標(biāo)準(zhǔn)，對同一題有人覺得難，但有人覺得不難，故 2022 年高考數(shù)學(xué)
難題不能構(gòu)成集合，組成它的元素是不確定的.
其它選項的對象都可以構(gòu)成集合.
故選：B
23．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）下列集合中，不同于另外三個集合的是（ ）
A． x x = 2020 y y - 2020 2B． = 0
C． x = 2020 D． 2020
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的表示方法判斷即可.
【詳解】選項 A、B 是集合的描述法表示，選項 D 是集合的列舉法表示，且都表示集合中只有一個元素
2020，都是數(shù)集．
選項 C 它是由方程構(gòu)成的集合，集合是列舉法且只含有一個方程．
故選：C
24．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知關(guān)于 x 的方程 x2 - mx + m2 - 3 = 0的解集只有一個元素，則 m 的值為
（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．不存在
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程解的個數(shù)與判別式的關(guān)系求解即可.
【詳解】因為關(guān)于 x 的方程 x2 - mx + m2 - 3 = 0的解集只有一個元素，
2
所以D = m - 4 m2 - 3 = 0，解得m = ±2 .
故選：C
25．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）由 2， 2 - a ，3 組成的一個集合 A，若 A 中元素個數(shù)不是 2，則實數(shù) a 的
取值可以是（ ）
A．-1 B．1 C． 3 D．2
【答案】D
【分析】由題意判斷集合的元素個數(shù)，根據(jù)集合元素的互異性，可求得 a 的不可能取值，即得答案.
【詳解】由題意由 2， 2 - a ，3 組成的一個集合 A，A 中元素個數(shù)不是 2，
因為 a2 = 2 - a = 3無解，故由 2， 2 - a ，3 組成的集合 A 的元素個數(shù)為 3，
故 a2 2 - a 3，即 a -2, a 1, a -1, a ± 3，即 a 可取 2，
即 A，B，C 錯誤，D 正確，
故選：D
26．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
ì1 ü
A．方程 2x - 1 + 3 y + 3 = 0的解集是 í ,-1
2
B．方程 x2 - x - 6 = 0的解集為{(-2，3)}
C．集合 M={y|y=x2+1，x∈R}與集合 P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一個集合
ì2x + y = 0
D．方程組 í 的解集是{(x，y)|x=-1 且 y=2}
x - y + 3 = 0
【答案】D
【解析】根據(jù)集合表示方法依次判斷即可.
ì 1 ü
【詳解】對于 A，方程 2x - 1 + 3 y 3 0
,-1 + = 的解集是 í ÷ ，故 A 錯誤；
è 2
對于 B，方程 x2 - x - 6 = 0的解集為 -2,3 ，故 B 錯誤；
對于 C，集合M 表示數(shù)集，集合 N 表示點(diǎn)集，故不是同一集合，故 C 錯誤；
ì2x + y = 0
對于 D，由 í 解得 x = -1, y = 2 ，故解集為{(x，y)|x=-1 且 y=2}，故 D .
x - y + 3 0
正確
=
故選：D.
27．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知集合 A = {-2, -1,0,1,2,3}，B = x A -x A ，則B =（ ）
A．{1,2} B．{-2, -1} C．{0,3} D．{3}
【答案】D
【分析】根據(jù)題意直接求解集合 B 即可.
【詳解】∵ A = {-2, -1,0,1,2,3}，即集合 B 的可能元素-2, -1,0,1,2,3，則有：
由0 A，則-0 = 0 A，可得0 B；
由 1 ∈ ，且1 A，可得 1 ，且1 B ；
由-2 A，且 2 A，可得-2 B ，且 2 B；
由3 A，且-3 A，可得3 B；
綜上所述：B = 3 .
故選：D.
28．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）下列語句中，正確的個數(shù)是（ ）
（1）0 N ；（2） π Q；（3）由 3、4、5、5、6 構(gòu)成的集合含有 5 個元素；（4）數(shù)軸上由 1 到 1.01 間的
線段的點(diǎn)集是有限集；（5）方程 x2 = 0的解能構(gòu)成集合.
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的概念和性質(zhì)判斷即可.
【詳解】0 是自然數(shù)，故0 N ，（1）正確；
π是無理數(shù)，故 π Q，（2）錯誤；
由 3、4、5、5、6 構(gòu)成的集合為 3，4，5，6 有 4 個元素，故（3）錯誤；
數(shù)軸上由 1 到 1.01 間的線段的點(diǎn)集是無限集，（4）錯誤；
方程 x2 = 0的解為 x = 0，可以構(gòu)成集合 0 ，（5）正確；
故選：A
29．（2024·湖南岳陽·一模）定義集合 A, B的一種運(yùn)算： A B = {x | x = a2 - b,a A,b B}，若 A = -1,0 ，
B = 1,2 ，則 A B 中的元素個數(shù)為（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】C
【分析】根據(jù)集合的新定義確定集合中的元素.
【詳解】因為 A B = {x | x = a2 - b,a A,b B}， A = -1,0 ，B = 1,2 ，
所以 A B = {0,-1,-2}，
故集合 A B 中的元素個數(shù)為 3，
故選：C.
30．（2024 高三·山西·階段練習(xí)）設(shè)A 是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意 a,b A，都有
a + b, a - b, ab, a A (除數(shù)b 0 )，則稱A 是一個數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是（ ）
b
A．N B．Z C．Q D． x | x 0,x R
【答案】C
【分析】根據(jù)數(shù)域的定義，對選項進(jìn)行驗證.
1
【詳解】1,2 N， N ，故 N 不是數(shù)域，A 選項錯誤，同理 B 選項錯誤；
2
任意 a,b Q
a
，都有 a + b, a - b, ab, Q (除數(shù)b 0 )，故 Q 是一個數(shù)域，C 選項正確；
b
對于集合 A = x | x 0,x R ，1 A，1-1 = 0 A，故 x | x 0,x R 不是數(shù)域，D 選項錯誤.
故選：C
31．（2024·全國）已知集合 A = x, y x2 + y2 3，x Z，y Z ，則A 中元素的個數(shù)為（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
【分析】根據(jù)枚舉法，確定圓及其內(nèi)部整點(diǎn)個數(shù).
【詳解】Q x2 + y2 3
\ x2 3,
Q x Z
\ x = -1,0,1
當(dāng) x = -1時， y = -1,0,1；
當(dāng) x = 0時， y = -1,0,1；
當(dāng) x =1時， y = -1,0,1；
所以共有 9 個，
故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查集合與元素關(guān)系，點(diǎn)與圓位置關(guān)系，考查學(xué)生對概念理解與識別.
32．（2024 高一·全國·課前預(yù)習(xí)）已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng) A＝
{2}時，集合 B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
【答案】D
2
【分析】根據(jù)集合的相等的意義得到 x2＋px＋q＝x 即 x + p -1 x + q = 0 有且只有一個實數(shù)解 = 2,由此求
得 p,q 的值，進(jìn)而求得集合 B.
【詳解】由 A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即 x2 + p -1 x + q = 0 有且只有一個實數(shù)解 = 2,
∴22＋2p＋q＝2，且 Δ＝(p－1)2－4q＝0.
計算得出 p＝－3，q＝4.
則(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3 可化為(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
則 x－1＝0 或 x－1＝4，
計算得出 x＝1 或 x＝5.
所以集合 B＝{1，5}．
故選：D .
33．（2024 高一下·廣西·階段練習(xí)）若集合 A = {x R | ax2 - 3x + 2 = 0}中只有一個元素，則 a = (　　 )
9 9 9
A． B． C．0 D．0 或
2 8 8
【答案】D
【分析】分 a = 0與 a 0兩種情況討論元素的個數(shù)可得答案．
【詳解】解：集合 A = {x R | ax2 - 3x + 2 = 0}中只有一個元素，
x 2 2當(dāng) a = 0時，可得 = ，集合A 只有一個元素為： ．
3 3
當(dāng) a 0時：方程 ax2 - 3x + 2 = 0只有一個解：即D = 9 -8a = 0，
9
可得： a = ．
8
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合描述法的意義，涉及集合元素的確定和個數(shù)的判斷，屬于基礎(chǔ)題．
34．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）由實數(shù) x ，-x， | x |，- x2 ， 3 x3 所組成的集合，最多含元素個數(shù)為
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】化簡根式，再按 x 值的正負(fù) 0，分類討論即可判斷作答.
【詳解】顯然- x2 = - | x |， 3 x3 = x ，
當(dāng) x = 0時，集合中有 1 個元素 0；
當(dāng) x > 0時， | x |= x, - | x |= -x，集合中有 2 個元素 x ，-x；
當(dāng) x < 0 時， | x |= -x, - | x |= x，集合中有 2 個元素 x ，-x，
所以集合中最多含 2 個元素.
故選：A
35．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）集合 A = x | x2 + px + q = 0, x R = 2 ，則 p + q =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】根據(jù)集合相等可知方程 x2 + px + q = 0有相等實根 2，即可由根與系數(shù)關(guān)系求解.
2
【詳解】因為集合 A = x | x + px + q = 0, x R = 2 ，
所以方程 x2 + px + q = 0有相等實根 2，
ì2 + 2 = - p
根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知， í2 2 q ， =
所以 p + q = -4 + 4 = 0，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)集合的元素求參數(shù)，一元二次方程，屬于容易題.
36．（2024 高一上·河北邯鄲·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3,2)}， N = {(2,3)}
B．M = {2,3}， N = {3,2}
C．M = {(x, y∣) x + y = 1}， N = {y∣x + y = 1}
D．M = {2,3}， N = {(2,3)}
【答案】B
【分析】利用集合的定義和元素的三個性質(zhì)，對 A、B、C、D 四個選項進(jìn)行一一判斷；
【詳解】A. M 、 N 都是點(diǎn)集， 3,2 與 2,3 是不同的點(diǎn)，則M 、 N 是不同的集合，故錯誤；
B. M = 2,3 ， N = 3,2 ，根據(jù)集合的無序性，集合M ， N 表示同一集合，故正確；
C. M = (x, y∣) x + y =1 ，M 集合的元素表示點(diǎn)的集合， N = y∣x + y =1 ， N 表示直線 x + y =1的縱坐標(biāo)，
是數(shù)集，故不是同一集合，故錯誤；
D. M = 2,3 集合 M 的元素是兩個數(shù)字 2，3， N = (2,3) ，集合 N 的元素是一個點(diǎn) 2,3 ，故錯誤；
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的定義及元素的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.
ì b ü
37 2．（2024 高一上·北京海淀·階段練習(xí)）若 í1, a, = 0, a , a + b ，則 a2020+b2020的值為（a ）
A．0 B．﹣1 C．1 D．1 或﹣1
【答案】C
ì1, a, b ü 2【分析】根據(jù) í = 0, a , a + b 即可求出 a，b 的值，然后即可求出 a2020+b2020的值.
a
ì b ü
【詳解】∵ í1, a, = 0, a2 , a + b ，根據(jù)集合中元素的性質(zhì)可得：
a
ì b
= 0
a
∴ 2í a =1 ，解得 a=﹣1，b=0，

a + b = a

∴a2020+b2020=（﹣1）2020+0=1.
故選：C.
ì m
38．（2024 高一上·重慶北碚·期末）定義 A B = íx | x = ,m A,n B
ü
,若 A = 1,2,4 , B = 2,4,8 A B
n
則

中元素個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
【答案】D
【分析】根據(jù)新定義中運(yùn)算的性質(zhì)，求出集合中的元素即可.
m
【詳解】因為 A B =
ì
íx | x = ,m A,n B
ü
,且 A = 1,2,4 , B = 2,4,8 n ，
當(dāng)m =1時， n 可能為 2,4,8，此時 x
1 1 1
的取值為： ，，；
2 4 8
1 1
當(dāng)m = 2 時， n 可能為 2,4,8，此時 x 的取值為：1, ， ；
2 4
1
當(dāng)m = 4 時， n 可能為 2,4,8，此時 x 的取值為：2,1, ；
2
綜上可知： A B = {
1 , 1 , 1 ,1,2}，所以集合 A B 中元素個數(shù)為 5，
8 4 2
故選：D.
39．（2024 高一上·陜西西安·階段練習(xí)）下列關(guān)系中，正確的個數(shù)為（ ）
1
① 4 R ② Q ③ 0 N ④p Q ⑤ -3 Z 3
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用數(shù)集符號的意義及元素與集合的關(guān)系判斷作答
【詳解】R 是實數(shù)集， 4=2是整數(shù)，有 4 R ，故①正確，
Q 1 1是有理數(shù)集， 是分?jǐn)?shù)，而 p是無理數(shù)，有 Q，p Q，故②正確，④不正確，
3 3
N表示自然數(shù)集，有0 N ，故③不正確；
Z表示整數(shù)集，-3 是整數(shù)，有-3 Z ，故⑤正確；
所以正確的個數(shù)是 3，
故選：C
40．（江西省五市九校協(xié)作體 2023 屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知集合 A = 1,a,b ，
B = a2 ,a,ab ，若 A = B，則 a2023 + b2022 =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
【答案】A
ì a2 =1 ìa2 = b
【分析】根據(jù) A = B，可得兩集合元素全部相等，分別求 í 和 í ，再根據(jù)集合元素的互異性可確
ab = b ab =1
定 a，b 的值，進(jìn)而得出答案.
ì a2 =1 ìa2 = b
【詳解】由題意 A = B可知，兩集合元素全部相等，得到 í 或 í ，又根據(jù)集合互異性，可知
ab = b ab =1
ìa = -1 ìa =1
a 1，解得 a =1 (舍)， í b 和= 0 í
(舍)，所以 a = -1，b = 0，則 a2023 + b2022 = (-1)2023 + 02022 = -1，
b =1
故選：A
41．（2024 高一上· 2山西運(yùn)城·階段練習(xí)）集合 A = x x - 3x + 2 = 0 ，用列舉法表示為（ ）
A．1 B．2 C． 1,2 D． 2
【答案】C
【分析】解一元二次方程，再利用集合列舉法表示即可得解.
【詳解】 A = x x2 - 3x + 2 = 0 = x x -1 x - 2 = 0 = 1,2
故選：C
42．（江蘇省南京市棲霞區(qū)南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期 10 月月考數(shù)學(xué)試題）已知
集合 A = 0, m, m2 - 3m + 2 ，且 2 A，則實數(shù)m 為（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
【答案】B
【分析】根據(jù) 2 A得m = 2 或m2 -3m+ 2 = 2，求出m 后驗證集合中元素的互異性可得結(jié)果.
2
【詳解】因為 A = 0, m, m - 3m + 2 且 2 A，
所以m = 2 或m2 -3m+ 2 = 2，
①若m = 2 ，此時m2 - 3m + 2 = 0，不滿足互異性；
②若m2 -3m+ 2 = 2，解得m = 0或 3，
當(dāng)m = 0時不滿足互異性，當(dāng)m = 3時， A = {0,3,2}符合題意.
綜上所述，m = 3 .
故選：B
43．（2024 高一上·上海浦東新·期末）設(shè)Q是有理數(shù)，集合 X = {x | x = a + b 2,a,b Q, x 0}，在下列集合中；
（1）{y | y = 2x, x X} {y | y
x
；（2） = , x X}
1
；（3）{y | y = , x X}；（4）{y | y = x2 , x X}；與 X 相同的
2 x
集合有（ ）
A．4 個 B．3 個 C．2 個 D．1 個
【答案】B
【解析】將 x = a + b 2 分別代入（1）、（2）、（3）中，化簡并判斷 , 與 a,b是否一一對應(yīng)，再舉反例判斷
（4）.
【詳解】對于（1），由 2(a + b 2) = p + q 2 ，得 p = 2a,q = 2b ，一一對應(yīng)，則{y | y = 2x, x X} = X
a + b 2 a a x
對于（2），由 = b + × 2 = p + q 2 ，得 p = d ,q = ，一一對應(yīng)，則{y | y = , x X} = X
2 2 2 2
1 a b
對于（3），由 = 2 2 + - 2 × 2 = p + q 2
a -b
，得 p = ,q = ，一一對應(yīng)，則
a + b 2 a - 2b è a - 2b2 ÷ a2 - 2b2 a2 - 2b2
{y | y 1= , x X} = X
x
對于（4），-1- 2 X ，但方程-1- 2 = x2 無解，則{y | y = x2 , x X}與 X 不相同
故選：B
44．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（ ）
A．由 1，2，3 組成的集合可表示為 1,2,3 或 3,2,1
B． 與 0 是同一個集合
C 2 2．集合 x y = x -1 與集合 y y = x -1 是同一個集合
D．集合 x x2 + 5x + 6 = 0 x2與集合 + 5x + 6 = 0 是同一個集合
【答案】A
【分析】根據(jù)集合的定義和性質(zhì)逐項判斷可得答案
【詳解】集合中的元素具有無序性，故 A 正確；
是不含任何元素的集合， 0 是含有一個元素 0 的集合，故 B 錯誤；
x y = x2集合 -1 = R，集合 y y = x2 -1 = y y -1 ，故 C 錯誤；
2
集合 x x + 5x + 6 = 0 = x x + 2 x + 3 = 0 2中有兩個元素-2,-3，集合 x + 5x + 6 = 0 中只有一個元素，為
方程 x2 + 5x + 6 = 0，故 D 錯誤.
故選：A.
45．（2024 高一上·上海黃浦·階段練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn) A(1,1) B(2,-2)可用集合表示為（ ）
A．{(x, y) | x 1, y 1, x 2, y -2}
x 1 ìx 2
B．{(x, y) |
ì
í 或 í }
y 1 y -2
C．{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ][(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}
D．{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ] + [(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}
【答案】C
【解析】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn) A(1,1) B(2,-2)，其余的點(diǎn)全部在集合中，逐一排除法．
【詳解】直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn) A(1,1) 、B(2,-2)，其余的點(diǎn)全部在集合中，
A 選項中除去的是四條線 x = 1, y = 1, x = 2, y = -2；
B 選項中除去的是 A(1,1) 或除去B(2,-2)或者同時除去兩個點(diǎn)，共有三種情況，不符合題意；
C 選項{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ][(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}，則 (x -1)2 + (y -1)2 0且 (x - 2)2 + (y + 2)2 0，即除去
兩點(diǎn) A(1,1) B(2,-2)，符合題意；
D選項{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ] + [(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}，則任意點(diǎn) x, y 都不能
[(x -1)2 + (y -1)2 ] + [(x - 2)2 + (y + 2)2 ] = 0，即不能同時排除A ， B 兩點(diǎn)．
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查了集合的基本概念，考查學(xué)生對集合的識別，屬于中檔題．
二、多選題
46．（2024 高一上·福建莆田·階段練習(xí)）下列說法中不正確的是（ ）
A．0 與 0 表示同一個集合
B．集合M ＝ 3,4 與 N ＝ 3,4 表示同一個集合
C．方程 (x -1)2 x - 2 ＝0 的所有解的集合可表示為 1,1,2
D．集合{x | 4 < x < 5}不能用列舉法表示
【答案】ABC
【分析】根據(jù)集合的概念，以及元素與集合的關(guān)系，以及元素的特征，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于 A 中，0 是一個元素（數(shù)），而 0 是一個集合，可得0 0 ，所以 A 不正確；
對于 B 中，集合M ＝ 3，4 表示數(shù)3,4構(gòu)成的集合，集合 N ＝ 3，4 表示點(diǎn)集，
所以 B 不正確；
2
對于 C 中，方程 (x -1) x - 2 ＝0 的所有解的集合可表示為 1,1,2 ，根據(jù)集合元素的互異性，可得方程
(x -1)2 x - 2 ＝0 的所有解的集合可表示為 1，2 ，所以 C 不正確；
對于 D 中，集合{x | 4 < x < 5}含有無窮個元素，不能用列舉法表示，所以 D 正確.
故選：ABC.
47．（2024 高一上·廣東佛山·期中）下列關(guān)系式正確的是（ ）
1
A． R B． | -3 | N C．- 3 Q D．0 {0}
2
【答案】AD
【分析】由常用集合的定義即可判斷 ABC，由元素與集合的關(guān)系可判斷 D.
1 1
【詳解】對于 A， 是實數(shù)，即 R，A 正確；
2 2
對于 B， -3 = 3 N，B 錯誤；
對于 C，- 3 是無理數(shù)，C 錯誤；
對于 D，0 {0}，D 正確.
故選：AD.
48．（2024 高一上·廣西百色·階段練習(xí)）已知集合 A = x N x < 6 ，則下列關(guān)系式成立的是（ ）
A．0 A B．1.5 A C．-1 A D．6 A
【答案】ABC
【分析】先計算得到 A = 0,1,2,3,4,5 ，從而得到0 A，1.5 A，-1 A，6 A .
【詳解】因為 A = x N x < 6 = 0,1,2,3,4,5 ，故0 A，1.5 A，-1 A，6 A .
故選：ABC
49．（2024 高一上·江蘇常州·期中）已知集合 A = x x = m + 3n,m,n Z ，則下列說法中正確的是（ ）
A．0 A但 (1- 2 3)2 A
B．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，則 x1 ± x2 A
C．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，則 x1 × x2 A
x
D．若 x = m + 3n , x = m 1 A1 1 1 2 2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，則 x2
【答案】BC
【分析】A 選項，求出m =13， n = -4，故 (1- 2 3)2 A；BC 選項，通過計算可以得到 x1 ± x2 A，
x1 × x2 A；D 選項， x2 = m2 + 3n2 = 0時，不符合要求，D 錯誤.
2
【詳解】 1- 2 3 =13- 4 3 ，故m =13， n = -4，所以 (1- 2 3)2 A，A 錯誤；
x1 ± x2 = m1 + 3n1 ± m2 + 3n2 = m1 ± m2 + 3 n1 ± n2 ，其中m1 ± m2 Z ，n1 ± n2 Z ，故 x1 ± x2 A，B 正
確；
x1 × x2 = m1 + 3n1 × m2 + 3n2 = m1m2 + 3n1n2 + m1n2 + m2n1 3 ，其中m1m2 + 3n1n2 Z ，m1n2 + m2n1 Z ，故
x1 × x2 A，C 正確；
x x
因為0 A，若 x2 = m2 + 3n = 0
1 1
2 ，此時 x 無意義，故
A，D 錯誤.
2 x2
故選：BC
50．（2024 高一上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知 a Z， A = {(x, y) | ax - y 3}且， (2,1) A， (1, -4) A，則 a取
值可能為（ ）
A．-1 B．0 C．1 D． 2
【答案】BCD
【分析】分別將各選項代入集合A ，利用元素與集合之間的關(guān)系判斷即可得到答案.
【詳解】選項 A：當(dāng) a = -1時，-2 -1 3，-1- 4 3，故 (2,1) A, (1, -4) A，A 錯誤；
選項 B：當(dāng) a = 0時，-1 3，-(-4) > 3，故 (2,1) A, (1, -4) A，B 正確；
選項 C：當(dāng) a =1時， 2 -1 3，1- (-4) > 3，故 (2,1) A, (1, -4) A，C 正確；
選項 D：當(dāng) a = 2時， 2 2 -1 3， 2 1- (-4) > 3，故 (2,1) A, (1, -4) A，D 正確.
故答案為：BCD.
51．（2024 高一上·甘肅慶陽·期中）已知集合 A = x N | - 3 x 3 ，則有（　　）
A．-1 A B．0 A
C． 3 A D． 2 A
【答案】AB
【分析】根據(jù)集合的描述列舉出集合中的元素即可逐項判斷.
【詳解】解： A = x N | - 3 x 3 = 0,1 ，所以-1 A，0 A， 3 A， 2 A .
故選：AB.
1
52．（2024 高一下·湖南邵陽·開學(xué)考試）若對任意 x A， A，則稱A 為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影
x
子關(guān)系”集合的是（ ）
A -1,1 ì1 üB , 2 C x x2． ． í ． >1 D． x x > 0
2
【答案】ABD
【分析】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義逐項分析即可.
【詳解】根據(jù)“影子關(guān)系”集合的定義，
-1,1 ì1 ,2ü可知 ， í ， x x > 0 為“影子關(guān)系”集合，
2
由 x x2 >1 ，得 x x < -1 1或 > 1}，當(dāng) x = 2 2時， x x >1 ，故不是“影子關(guān)系”集合．2
故選：ABD
x k - 2x
53．（2024 高一上·遼寧大連·階段練習(xí)）關(guān)于 的方程 = 2 的解集中只含有一個元素，則 k 的值可能x -1 x - x
是（ ）
A． 0 B． -1 C．1 D．3
【答案】ABD
【分析】由方程有意義可得 x 0且 x 1，并將方程化為 x2 + 2x - k = 0；根據(jù)方程解集中僅含有一個元素可
分成三種情況：方程 x2 + 2x - k = 0有且僅有一個不為 0 和1的解、方程 x2 + 2x - k = 0有兩個不等實根，其中
一個根為 0 ，另一根不為1、方程 x2 + 2x - k = 0有兩個不等實根，其中一個根為1，另一根不為 0 ；由此可解
得 k 所有可能的值.
ìx- 1 0
【詳解】由已知方程得： í 2 ，解得： x 0且 x 1x x 0 ； -
x k - 2x
由 = 得： 2
x 1 x2 x x + 2x - k = 0
；
- -
x k - 2x
若 = 2 的解集中只有一個元素，則有以下三種情況：x -1 x - x
①方程 x2 + 2x - k = 0有且僅有一個不為 0 和1的解，\D = 4 + 4k = 0，解得： k = -1，
此時 x2 + 2x - k = 0的解為 x = -1，滿足題意；
②方程 x2 + 2x - k = 0有兩個不等實根，其中一個根為 0 ，另一根不為1；
由0 + 2 0 - k = 0得： k=0，\ x2 + 2x = 0，此時方程另一根為 x = -2，滿足題意；
③方程 x2 + 2x - k = 0有兩個不等實根，其中一個根為1，另一根不為 0 ；
由1+ 2 1- k = 0得： k=3，\ x2 + 2x - 3 = 0，此時方程另一根為 x = -3，滿足題意；
綜上所述： k = -1或 0 或3 .
故選：ABD.
三、填空題
54．（2024 高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合 1, a = a, a2 ，則實數(shù) a = ．
【答案】-1
【分析】利用集合相等以及集合元素滿足互異性可得出關(guān)于實數(shù) a的等式與不等式，解之即可.
ìa2 =1
【詳解】因為 1, a = a, a2 2，則 ía a ，解得 a = -1 .

a 1
故答案為：-1.
55．（2024 高一上·江蘇淮安·期中）集合 A = 3,1 ，B = m2 + 2m ,1 ，且 A = B，則實數(shù) m= .
【答案】1 或-3 / -3或 1
【分析】由題意可得m2 + 2m = 3，求出m ，
【詳解】因為 A = 3,1 ，B = m2 + 2m ,1 ，且 A = B，
所以m2 + 2m = 3，
由m2 + 2m = 3，得m2 + 2m - 3 = 0，解得m =1或-3
故答案為：1 或-3
1
56．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）已知① 5 R；② Q；③0={0}；④ 0 N；⑤ π Q；⑥ -3 Z，3
其中正確的個數(shù)為 .
【答案】3
【分析】根據(jù)集合的表示規(guī)則和常用集合的含義求解.
【詳解】 5 是無理數(shù)，屬于實數(shù)，①正確；
1
是分?jǐn)?shù)，屬于有理數(shù)，②正確；
3
0 表示一個元素， 0 表示一個集合，③錯誤；
N 表示從 0 開始的所有自然數(shù)集合，\0 N ，④錯誤；
π是無限不循環(huán)小數(shù)，屬于無理數(shù)，⑤錯誤；
Z 表示所有整數(shù)的集合，-3 是整數(shù)，\-3 Z，⑥正確；
故答案為：3.
57．（2024 高一上·廣東汕頭·期中）在整數(shù)集 Z 中，被 4 除所得余數(shù)為 k 的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，
即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.給出下列四個論①2025∈[1] ；② - 2025∈[1] ； ③若 a∈[1]，
b∈[2]，則 3a+b∈[3] ；④若 a∈[1]，b∈[3]，則 a - 3b∈[0].其中正確的結(jié)論是 .
【答案】①④
【分析】根據(jù)給定的定義進(jìn)行求解，確定被 4 除所得余數(shù)即可.
【詳解】因為 2025 被 4 除所得余數(shù)為 1，所以①正確；
因為-2025 = -507 4 + 3，所以-2025 3 ，所以②不正確；
因為 a∈[1]，b∈[2]，設(shè) a = 4k1 +1,b = 4k2 + 2， k1, k2 Z ，則
3a + b = 3 4k1 +1 + 4k2 + 2 = 4 3k1 + k2 + 5 = 4 3k1 + k2 +1 +1，且3k1 + k2 +1 Z ，所以3a + b 1 ，所以③不
正確；
因為 a∈[1]，b∈[3]，設(shè) a = 4k1 +1,b = 4k2 + 3， k1, k2 Z ，則
a - 3b = 4k1 +1- 3 4k2 + 3 = 4 k1 - 3k2 -8 = 4 k1 - 3k2 - 2 + 0 ，且 k1 - 3k2 - 2 Z，所以 a - 3b 0 ，所以④
正確.
故答案為：①④
ì 12 ü
58．（2024 高一上·全國·專題練習(xí)）集合 A = íx Z∣y = ，y Z 的元素個數(shù)為 ．
x + 3
【答案】12
【分析】根據(jù)集合得表示可知： x +3 是 12 的因數(shù)，即可求解.
ì 12 ü
【詳解】由 A = íx Z∣y = ，y Z 可知， x +3 是 12 的因數(shù)，故 x + 3 = ±1,±2,±3,±4,±6,±12 ，進(jìn)而可
x + 3
得 x 可取0,1,3,9, -1, -2,-4, -5, -6, -7,-9, -15，
故答案為：12
59．（2023-2024 2學(xué)年河北成安一中高一上月考一數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知集合 A = m + 2, 2m + m ,3 A，
則m 的值為 ．
3
【答案】-
2
【分析】根據(jù)集合的互異性，分別分析m + 2 = 3與 2m2 + m = 3是否滿足條件即可.
【詳解】當(dāng)m + 2 = 3，解得m =1，此時 2m2 + m = 3，不滿足集合的互異性，所以舍去；
3 3 1
當(dāng) 2m2 + m = 3時，m =1（舍）或m = - ，當(dāng)m = - 時，m + 2 = ，滿足集合的互異性2 2 2
3
故答案為：- .
2
b
60 ì ü．（2.1.2集合間的基本關(guān)系（分層練習(xí)）-2022年初升高數(shù)學(xué)無憂銜接）含有三個實數(shù)的集合可表示為 ía, ,1 ，
a
2
也可以示為 a ,a + b,0 ，則 a2013 + b2014 的值為 .
【答案】-1
【分析】根據(jù)集合相等的定義及集合中元素的互異性即可求解.
【詳解】解：由題意，若 a = a2，則 a = 0或1，檢驗可知不滿足集合中元素的互異性，
所以 a = a + b，則b = 0，
所以 a2 =1，則 a = -1，
故 a2013 + b2014 = -1.
故答案為：-1.
61．（2024 高一上·上海浦東新·期末）請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線上 .
①上海市 2022 年入學(xué)的全體高一年級新生；
②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn) (0，0)的距離等于 1 的所有點(diǎn)；
③影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家；
④不等式3x -10 < 0 的所有正整數(shù)解.
【答案】①②④
【分析】根據(jù)集合的概念即可判斷.
【詳解】解：對于①，“上海市 2022 年入學(xué)的全體高一年級新生”，研究對象是明確的，符合集合的定義，
能構(gòu)成集合；
對于②，“在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn) (0，0)的距離等于 1 的所有點(diǎn)”，研究對象是明確的，符合集合的定
義，能構(gòu)成集合；
對于③，“影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家”，其中影響力比較大的沒有明確的定義，故不能構(gòu)成集合；
對于④，“不等式3x -10 < 0 的所有正整數(shù)解”，研究對象是明確的，符合集合的定義，能構(gòu)成集合.
故答案為：①②④.
62．（2024 高一上·吉林·期末）設(shè) a,b R ，P = 1, a ，Q = 2a + 3,b ，若 P = Q，則 a - b = ．
【答案】0 或-4
【分析】由集合相等，建立方程組求解即可.
ì2a + 3 =1
【詳解】當(dāng) í 時， a = -1,b = -1，滿足 P = Q，則 a - b = 0a b ； =
ì2a + 3 = a
當(dāng) í 時， a = -3,b =11 b ，滿足
P = Q，則 a - b = -4；
=
故答案為：0 或-4
63．（2024 高一上·天津東麗·期中）若集合 A = a - 3,2a -1,a2 - 4 ，且-3 A，則實數(shù) a = .
【答案】0 或1.
【分析】根據(jù)題意，分 a - 3 = -3、2a -1 = -3和 a2 - 4 = -3，三種情況討論，結(jié)合元素的互異性，即可求解.
【詳解】由題意，集合 A = a - 3,2a -1,a2 - 4 ，且-3 A，
若 a - 3 = -3時，可得 a = 0，此時集合 A = -3, -1, -4 ，符合題意；
若 2a -1 = -3時，可得 a = -1，此時 a2 - 4 = -3，不滿足集合元素的互異性，舍去；
若 a2 - 4 = -3時，可得 a =1或 a = -1（舍去），
當(dāng) a =1時，集合 A = -2,1, -3 ，符合題意，
綜上可得，實數(shù) a的值為0 或1.
故答案為：0 或1.
四、解答題
64．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）用適當(dāng)方法表示下列集合：
（1）從 1，2，3 這三個數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的自然數(shù)的集合；
（2）方程 2x +1 +|y﹣2|＝0 的解集；
（3）由二次函數(shù) y＝3x2+1 圖象上所有點(diǎn)組成的集合.
ì 1 ü
【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2） í - , 2÷ ；
è 2
（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.
【解析】（1）利用列舉法求解即可；
（2）先解出方程的解，然后利用列舉法；
（3）利用描述法即可
【詳解】解：（1）當(dāng)從 1，2，3 這三個數(shù)字中抽出 1 個數(shù)字時，自然數(shù)為 1，2，3；
當(dāng)抽出 2 個數(shù)字時，可組成自然數(shù) 12，21，13，31，23，32；
當(dāng)抽出 3 個數(shù)字時，可組成自然數(shù) 123，132，213，231，321，312.
由于元素個數(shù)有限，故用列舉法表示為
{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.
（2）由算術(shù)平方根及絕對值的意義，可知：
ì2x +1 = 0 ì 1 x = -
í y 2 0 ，解得 í
2 ，
- = y = 2
1
因此該方程的解集為{（﹣ ，2）}.
2
（3）首先此集合應(yīng)是點(diǎn)集，是二次函數(shù) y＝3x2+1 圖象上的所有點(diǎn)，
故用描述法可表示為{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.
65．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）把下列集合用適當(dāng)方法表示出來：
（1）{2,4,6,8,10}；
（2）{x N | 3 < x < 7}；
（3） A = x | x2 = 9 ；
（4）B = x N | 1 x 2 ；
5 C = x | x2（ ） - 3x + 2 = 0 .
【答案】（1）{ x | x = 2k, k Z 且1 k 5 }；（2）{4,5,6}；（3） -3,3 ；（4） 1,2 ；（5） 1,2 .
【分析】根據(jù)集合的元素個數(shù)和元素特征選擇列舉法和描述法即可解出．
【詳解】（1）因為集合中的元素都是偶數(shù)，所以{2,4,6,8,10} = { x | x = 2k,k Z 且1 k 5 }．
（2）{x N | 3 < x < 7} = {4,5,6} .
（3）由 x2 = 9 得 x = ±3 A = x | x 2，因此 = 9 = -3, 3 .
（4）由 x N，且1 x 2，得 x =1或 x = 2，因此B = x N | 1 x 2 = 1, 2 .
（5 2）由 x2 - 3x + 2 = 0 得 x =1或 x = 2，.因此C = x | x - 3x + 2 = 0 = 1, 2 .
66．（2024 2高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知集合C = x ax - 4x +1 = 0 .
(1)若C 是空集，求 a的取值范圍；
(2)若C 中至多有一個元素，求 a的取值范圍.
【答案】(1) 4, +
(2) 4, + U 0
【分析】分 a = 0與 a 0兩種情況，結(jié)合根的判別式進(jìn)行求解.
1
【詳解】（1）由題意得：當(dāng) a = 0時，-4x +1 = 0，解得： x = ，解集不為空集，舍去；
4
當(dāng) a 0時，D =16 - 4a < 0，解得： a > 4，所以 a的取值范圍是 4, + ；
1
（2）當(dāng) a = 0時，-4x +1 = 0， x
1
= ì ü，C =
4 í4
，滿足題意；

當(dāng) a 0時，D =16 - 4a 0，解得： a 4，
綜上： a的取值范圍是 4, + U 0 .
67．（2024 高一·湖南·課后作業(yè)）用自然語言描述下列集合：
(1) 1,3,5,7,9 ；
(2) x R 3x 2 ；
(3) 3,5,7,11,13,17,19 .
【答案】(1)小于 10 的正奇數(shù)構(gòu)成的集合；
2
(2)大于 的實數(shù)構(gòu)成的集合；
3
(3)大于 2 且小于 20 的所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合.
【分析】根據(jù)題設(shè)中的集合，集合中元素的性質(zhì)進(jìn)行描述，即可求解.
【詳解】（1）解：因為集合 A = 1,3,5,7,9 表示：小于 10 的正奇數(shù)構(gòu)成的集合；
（2）解：集合 x R 3x 2 2表示：大于 的實數(shù)構(gòu)成的集合；
3
（3）解：集合 3,5,7,11,13,17,19 表示：大于 2 且小于 20 的所有質(zhì)數(shù)構(gòu)成的集合.
68．（2024 高一上·上海·課后作業(yè)）已知集合 = { | 為小于 6 的正整數(shù)}， = { | 為小于 10 的素數(shù)}，集合
C = {x | x 為 24 和 36 的正公因數(shù)}．
（1）試用列舉法表示集合M = x | x A且 x C ；
（2）試用列舉法表示集合 N = x | x B 且 x C ．
【答案】(1) {1,2,3,4}；（2）{5,7} .
【分析】（1）求出集合 A, B,C ，則M = A C ，即可求出M ；
（2）根據(jù)集合 N 中元素的特征，即可寫出 N .
【詳解】由題意 A = 1,2,3,4,5 ，B = 2,3,5,7 ，C = 1,2,3,4,6,12 .
（1）M = A C = 1,2,3,4 .
（2）. M = x | x B且 x C
\ N = 5,7
【點(diǎn)睛】本題考查集合的表示法和集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.
69．（2024 高一上·湖南岳陽·階段練習(xí)）已知集合 A = x R | ax2 + 2x +1 = 0 ，其中 ∈ .
（1）1 是A 中的一個元素，用列舉法表示 A；
（2）若A 中至多有一個元素，試求 a 的取值范圍.
1
【答案】（1）{- ,1}（2） a = 0或a 1
3
【解析】（1）由1 A得 a = -3，代入 ax2 + 2x +1 = 0，解得A 的元素后，可得解；
（2）按照集合A 中元素的個數(shù)分類討論，可求得結(jié)果.
【詳解】（1）因為1 A，所以 a + 2 +1 = 0，得 a = -3，
1
所以 A = {x R | -3x2 + 2x +1 = 0} = {- ,1}.
3
（2）當(dāng)A 中只有一個元素時， ax2 + 2x +1 = 0只有一個解，
ìa 0
所以 a = 0或 í ，
D = 4 - 4a = 0
所以 a = 0或 a =1，
ìa 0
當(dāng)A 中沒有元素時， ax2 + 2x +1 = 0無解，所以 í ，解得 a >14 4a 0 ， D = - <
綜上所述： a = 0或a 1 .
【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)點(diǎn)睛：容易忽視 a = 0的情況，錯把方程默認(rèn)為一元二次方程，造成漏解.
a
70．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）定義滿足“如果 a∈A，b∈A，那么 a±b∈A，且 ab∈A，且 ∈A(b≠0)”的集合 A
b
為“閉集”．試問數(shù)集 N，Z，Q，R 是否分別為“閉集”？若是，請說明理由；若不是，請舉反例說明．
【答案】數(shù)集 N，Z 不是“閉集”，數(shù)集 Q，R 是“閉集”．舉反例見解析
【詳解】試題分析：根據(jù)給出的“閉集”的定義，驗證給出的集合是否滿足“如果 a∈A，b∈A，那么 a±b∈A，
a
且 ab∈A，且 ∈A(b≠0)”即可得到結(jié)論．
b
試題解析：
（1）數(shù)集 N，Z 不是“閉集”，
3
例如，3∈N,2∈N，而 ＝1.5 N；
2
3
3∈Z，－2∈Z，而 ＝－1.5 Z，故 N，Z 不是閉集．
-2
（2）數(shù)集 Q，R 是“閉集”．
由于兩個有理數(shù) a 與 b 的和，差，積，商，
a
即 a±b，ab， (b≠0)仍是有理數(shù)，
b
故 Q 是閉集．
同理 R 也是閉集．
點(diǎn)睛：與集合有關(guān)的新概念問題的解題思路
(1)理解問題中的新概念、新公式、新運(yùn)算、新法則的含義；
(2)利用學(xué)過的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行邏輯推理；
(3)對選項進(jìn)行篩選、驗證，得出結(jié)論．
71．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）（1）如果集合 A = {x | x = m + 2n}(m, n Z ) ， x1, x2 A，證明： x1x2 A．
（2）如果集合B = x x = m + 2n ，整數(shù)m, n 1互素，那么是否存在 x，使得 x 和 都屬于 B？若存在，請寫x
出一個；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）證明見解析；（2） x = 3+ 2 2 （答案不唯一）.
【分析】(1)設(shè)， x1 = a1 + 2b1， x2 = a2 + 2b2 ，計算即可得．
1 m -n
(2)設(shè) x = m + 2n （整數(shù) m，n 互素），則有 = 2 2x m2 - 2n2
+ 2 ，由題意可得當(dāng) 時，x B
m2 2n2 m - 2n = ±1-
1
且 B ，只需 m，n 取互素的整數(shù)即可.
x
【詳解】解:（1）證明：因為 x1, x2 A，
所以可設(shè) x1 = a1 + 2b1， x2 = a2 + 2b2 ，其中 a1， a2，b1，b2 Z，
則 x1x2 = a1 + 2b1 a2 + 2b2 = a1a2 + 2b1b2 + 2 a1b2 + a2b1 ．
由 a1， a2，b1，b2 Z，可知a1a2 + 2b1b2 Z，a1b2 + a2b1 Z ，
因此 x1x2 A．
（2）設(shè) x B，則 x = m + 2n （整數(shù) m，n 互素），
1 1 m
所以 = = + 2
-n

x m + 2n m2 - 2n2 m2 2n2
．
-
1
若 B
m -n
，則 與
x m2 - 2n2 m2 - 2n2
是互素的整數(shù)．
又 m 與 n 互素，所以m2 - 2n2 = ±1，
所以當(dāng) m，n 互素，且m2
1
- 2n2 = ±1時， x B且 B ．x
1
如取m = 3， n = 2，得 x = 3+ 2 2 ， = 3 - 2 2 ．x
1
綜上，存在 x，使得 x 與 都屬于集合 B，如 x = 3+ 2 2 ．（注：x 的取值不唯一．）x
x +1 2x - 4
72．（2024 高一上·上海虹口·階段練習(xí)）設(shè)關(guān)于 x 的不等式 1+ 2 的解集為A .k k
(1)求A ；
(2)若 2 A，求實數(shù) k 的取值范圍.
【答案】(1)見詳解
(2) 0,3
【分析】（1）利用分類討論的數(shù)學(xué)思想即可求出A ,（2）利用 2 A分類討論解出關(guān)于 k 的不等式即可得到 k
的取值范圍
x +1 2x - 4
【詳解】（1）因為關(guān)于 x 的不等式 1+ 2 解集為A ,k k
故 k 0，所以原不等式可化為 k - 2 x k 2 - k - 4 .
當(dāng) k=2時，不等式解集為R .
k > 2 x k
2 - k - 4 ék 2 - k - 4
當(dāng) 時，解不等式為 即解集為 ê ，+ k - 2 k - 2
÷

2
k < 2 x k - k - 4
k 2 - k - 4ù
當(dāng) 時，解不等式為 即解集為 - ，k - 2 è k - 2
ú

ék 2 - k - 4 k 2 - k - 4ù
綜上所述： k=2時解集為R ， k > 2時解集為 ê ，+ ÷， k < 2時解集為k - 2
- ，
k - 2 ú è
2 ìx x +1 2x - 4ü 3（2）因為 2 A，所以 í 1+ 故 1
k k 2

k
當(dāng) k > 0 時，解得 k 3 .
當(dāng) k < 0時，解得f .
綜上所述： k 的取值范圍為 0,3
73．（2024 · · A = x | ax2高一上 上海奉賢 階段練習(xí)）已知集合 + 4x + 4 = 0, a R, x R .
（1）若A 中只有一個元素，求 a及A ；
（2）若A 中至多有一個元素，求 a的取值范圍.
【答案】（1） a = 0時， A = -1 ； a =1時， A = -2 ；（2） a 0 U 1, + ；
【分析】（1）分 a = 0和 a 0兩種情況討論，當(dāng)A 中只有一個元素時，求 a的取值；
（2）討論集合 A = f 或有一個元素時， a的取值范圍.
【詳解】（1）當(dāng) a = 0時， 4x + 4 = 0 ，解得： x = -1 ，
所以A 中只有一個元素，即 A = -1 ，
當(dāng) a 0時，D =16 -16a = 0 ，解得： a =1，
x2 + 4x + 4 = 0，解得： x = -2，此時 A = -2
綜上可知 a = 0時 A = -1 ， a =1時 A = -2 .
（2）當(dāng)集合 A = f 時，D =16 -16a < 0，解得： a >1
由（1）可知集合A 有 1 個元素時， a = 0或 a =1，
綜上可知： a = 0或a 1，
即 a 0 U 1, + .
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)集合的元素個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，涉及一元二次方程實數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，意在
考查討論思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型，本題容易忽略 a = 0的情況.
74 2．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知集合 A = x ax - 3x - 4 = 0 .
（1）若A 中有兩個元素，求實數(shù) a的取值范圍；
（2）若A 中至多有一個元素，求實數(shù)的 a取值范圍.
【答案】（1）{a | a
9 9
> - 且 a 0}；（2）{a | a - 或 a = 0}
16 16
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的方程 ax2 -3x-4 = 0有兩個不等的實數(shù)根，用判別式控制范圍，即得解；
（2）分 a = 0， a 0兩種情況討論，當(dāng) a 0時用判別式控制范圍，即得解；
【詳解】（1）由于A 中有兩個元素，
∴關(guān)于 x 的方程 ax2 -3x-4 = 0有兩個不等的實數(shù)根，
9
∴ D = 9+16a > 0，且 a 0，即 a > - ，且 a 0 .
16
a {a | a 9故實數(shù) 的取值范圍是 > - 且 a 0}
16
4
（2）當(dāng) a = 0時，方程為-3x-4 = 0， = 3，集合A 只有一個元素；
當(dāng) a 0時，若關(guān)于 x 的方程 ax2 -3x-4 = 0有兩個相等的實數(shù)根，則A 中只有一個元素，即D = 9 +16a = 0，
a 9= - ，
16
若關(guān)于 x 的方程 ax2
9
-3x-4 = 0沒有實數(shù)根，則A 中沒有元素，即D = 9 +16a < 0， a <- .16
9
綜上可知，實數(shù) a的取值范圍是{a | a - 或 a = 0}
161.1 集合的概念 7 題型分類
知識點(diǎn) 1 元素與集合的概念
1.元素與集合的概念
(1)一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，元素常用小寫的拉丁字母 a，b，c，…表示，把一些元素
組成的總體叫做集合(簡稱為集)，集合通常用大寫的拉丁字母 A，B，C，…表示．
(2)集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性.
①確定性
給定的集合，它的元素必須是確定的．也就是說，給定一個集合，那么任何一個元素在不在這個集合中就
確定了．簡記為“確定性”．
②互異性
一個給定集合中的元素是互不相同的．也就是說，集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的．簡記為“互異性”．
③無序性：給定集合中的元素是不分先后，沒有順序的．簡記為“無序性”．
(3)只要構(gòu)成兩個集合的元素是一樣的，我們就稱這兩個集合是相等的.
知識點(diǎn) 2 元素與集合的關(guān)系
1.元素與集合的關(guān)系　
知識點(diǎn) 關(guān)系 概念 記法 讀法
元素與集合 屬于 如果 a 是集合 A 中的元 a∈A “a 屬于 A”
素，就說 a 屬于 A
的關(guān)系 如果 a不是集合 A 中的元
不屬于 a A “a 不屬于 A”
素，就說 a 不屬于 A
2.元素與集合的關(guān)系只能是屬于或不屬于，有且僅有一種情況成立.
知識點(diǎn) 3 常用數(shù)集及表示符號
名稱 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集
記法 N N*或 N＋ Z Q R
知識點(diǎn) 4 集合的表示方法
1 列舉法
把集合的所有元素一一列舉出來，并用花括號“{　}”括起來表示集合的方法叫做列舉法，一般
可將集合表示為{a，b，c，…}.
注：列舉法表示的集合的結(jié)構(gòu)：
2.描述法
一般地，設(shè) A 是一個集合，我們把集合 A 中所有具有共同特征 P(x)的元素 x 所組成的集合表
示為{x∈A|P(x)}，這種表示集合的方法稱為描述法，有時也用冒號或分號代替豎線，寫成{x∈
A：P(x)}或{x∈A；P(x)}.
注：描述法表示的集合的結(jié)構(gòu)：
（一）
1、集合概念的理解
(1)含義:集合是一個原始的不加定義的數(shù)學(xué)術(shù)語，像初中學(xué)過的點(diǎn)、直線一樣，只能描述性說明.
(2)對象:集合中的“對象”所指的范圍非常廣泛，現(xiàn)實生活中我們看到的聽到的、觸摸到的想到的各種各
樣的事物或一些抽象的符號等，都可以看作“對象”，即集合中的元素.
(3)整體:集合是一個整體，即暗含“所有”“全部”“全體”的含義,因此一些對象一旦組成集合，那么這
個集合就是這些對象的全體，而非個別對象.
2、判斷一組對象是否為集合的三依據(jù)
(1)確定性：負(fù)責(zé)判斷這組元素是否構(gòu)成集合．
(2)互異性：負(fù)責(zé)判斷構(gòu)成集合的元素的個數(shù)．
(3)無序性：表示只要一個集合的元素確定，則這個集合也隨之確定，與元素之間的排列順序無關(guān)．
題型 1：判斷對象是否能構(gòu)成集合
1-1．（2024 高一上·貴州銅仁·階段練習(xí)）下列各組對象中，能組成集合的有 （填序號）．
①所有的好人；
②平面上到原點(diǎn)的距離等于 2 的點(diǎn)；
③正三角形；
④比較小的正整數(shù)；
⑤滿足不等式 x +1 > 0的 x 的取值．
1-2．（2024 高一下·云南·階段練習(xí)）下列各對象可以組成集合的是（ ）
A．與1非常接近的全體實數(shù)
B．北大附中云南實驗學(xué)校 2020 - 2021學(xué)年度第二學(xué)期全體高一學(xué)生
C．高一年級視力比較好的同學(xué)
D．高一年級很有才華的老師
1-3．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）下列各組對象的全體能構(gòu)成集合的有（ ）
（1）正方形的全體；（2）高一數(shù)學(xué)書中所有的難題；（3）平方后等于負(fù)數(shù)的數(shù)；（4）某校高一年級學(xué)生身
高在 1.7 米的學(xué)生；（5）平面內(nèi)到線段 AB 兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)的全體.
A．2 個 B．3 個 C．4 個 D．5 個
（二）
1、集合中的元素的性質(zhì)及應(yīng)用
元素與集合的關(guān)系有屬于與不屬于兩種:元素 a 屬于集合 A,記作 a∈A,讀作“a 屬于集合 A";元素 a 不屬于集合
A.記作 a A,讀作“a 不屬于集合 A".
(1)a∈A 與 a A 取決于 a 是不是集合 A 中的元素，根據(jù)集合中元素的確定性，可知對任何 a 與 A.在 a∈A 與
a A 這兩種情況中必有一種且只有一種成立.
(2)符號“∈”，“在”是表示元素與集合之間的關(guān)系的，不能用來表示集合與集合之間的關(guān)系，這一點(diǎn)千萬要記
準(zhǔn).
(3)a 與{a}的區(qū)別和聯(lián)系:a 表示一個元素,{a}表示一個集合，該集合只有一個元素 a;它們之間的聯(lián)系為
a a .
2、元素與集合關(guān)系的判斷
（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．
（2）推理法：對于一些沒有直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可，此
時應(yīng)首先明確已知集合中的元素具有什么特征．
3、根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)
由集合中元素的特性求解字母取值(范圍)的步驟
題型 2：元素與集合關(guān)系的判斷
2-1．（2024 高一上·湖南株洲·階段練習(xí)）已知集合 A=｛0，1，2｝，則（ ）
A．0 A B．1 A C．2=A D． A
2-2．（西藏林芝市第二高級中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期第一學(xué)段考試（期中）數(shù)學(xué)試題）給出下列 6 個
2
關(guān)系：① R，② 3 Z，③ 0 N* ，④ 4 N ，⑤p Q，⑥ -2 Z .其中正確命題的個數(shù)為（ ）
2
A．4 B．2 C．3 D．5
1
2-3．（河北專版學(xué)業(yè)水平測試專題一集合與常用邏輯用語）給出下列關(guān)系：① R ；② 2 R ；
2
③ -3 N；④ -3 Q．其中正確的個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
題型 3：根據(jù)元素與集合的關(guān)系求參數(shù)
3-1．（2024 高一上·上海虹口·期中）集合 A = x x -1 x2 + ax + 4 = 0, x R 中所有元素之和為3，則實數(shù)
a = ．
3-2．（2024 高一上·四川瀘州·期末）已知 (1, 2) (x, y) 2x + ay - 3 = 0 ，則 a 的值為 ．
3-3．（2024·河南· 2模擬預(yù)測）已知 A = x∣x - ax +1< 0 ，若 2 A，且3 A，則 a 的取值范圍是（ ）
5 , 5 ,10 ù é5 ,10 10A． + ÷ B． ú C． ê ÷ D
ù
． - ,
è 2 è 2 3 2 3 è 3 ú
題型 4：利用集合元素的互異性求參數(shù)
4-1．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）設(shè)集合M = 2m -1,m - 3 ，若-3 M ，則實數(shù) m=（ ）
A．0 B．-1 C．0 或-1 D．0 或 1
4-2．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）設(shè)集合 A = 2, a2 - a + 2,1- a ，若 4 A，則 a的值為（ ）．
A．-1，2 B．-3 C．-1，-3，2 D．-3，2
4-3．（2024 高一上·安徽滁州·階段練習(xí)）已知集合A 中的元素 1，4， a，且實數(shù) a滿足 a2 A，求實數(shù) a的
值.
4-4．（2024 高三·全國·專題練習(xí)）已知 A = a + 2,(a +1)2 ,a2 + 3a + 3 ，若1 A，則實數(shù) a構(gòu)成的集合 B 的元
素個數(shù)是（ ）
A．0 B．1 C． 2 D．3
4-5．（2024 高一上· · a 1,3, a2山東聊城 期中）若 ，則 a的可能取值有（ ）
A．0 B．0，1 C．0，3 D．0，1，3
4-6 2．（2024 高一上·四川自貢·期末）若 a 2,a - a ，則 a的值為（ ）
A．0 B． 2 C．0 或 2 D．-2
（三）
用列舉法表示集合
1.列舉法表示的集合的種類
(1)元素個數(shù)少且有限時.全部列舉:如 1,2,3,4;
(2)元素個數(shù)多且有限時，可以列舉部分,中間用省略號表示，如“從 1到 1000的所有自然數(shù)”可以表示為
1,2,3,...,1 000} ;
(3)元素個數(shù)無限但有規(guī)律時，可類似于(2),如自然數(shù)集 N 可以表示為 10,1,2,3....
2.使用列舉法表示集合時需注意
(1)元素之間用“,”而不用“、"隔開;
(2)元素不重復(fù)，滿足元素的互異性;
(3)元素?zé)o順序，滿足元素的無序性;
(4)對于含較多元素的集合，如果構(gòu)成該集合的元素有明顯規(guī)律，可用列舉法.但是必須把元索間的規(guī)律表
述清楚后才能用省略號.
注意（1）用列舉法表示集合，要注意是數(shù)集還是點(diǎn)集.
（2）列舉法適合表示有限集，當(dāng)集合中元素個數(shù)較少時，用列舉法表示一目了然.
題型 5：用列舉法表示集合
ìx + y =1
5-1．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）方程組 íx - y 3的解集是（= ）
A． 2, -1 B． x = 2, y = -1 C． x, y -2,1 D． 2, -1
5-2．（2024
12
高一上·北京海淀·期中）已知集合 A = {x | N ， x Z}7 x ，用列舉法表示集合 A = ．-
A = ì5-3．（2024 高一上·四川·階段練習(xí)）設(shè)集合 íx Z
6
Nü ，則用列舉法表示集合 A 為 .
x + 2


5-4．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）集合 x N x - 4 <1 用列舉法表示為（ ）
A． 0,1,2,3,4 B． 1,2,3,4 C． 0,1,2,3,4,5 D． 1,2,3,4,5
（四）
用描述法表示集合
1.描述法的一般形式是 x I p x ,其中“x”是集合中元素的代表形式.例如用描述法表示方程
x2 - 3x + 2 = 0 2的實數(shù)根為 x R x - 3x + 2 = 0 .如果從上下文的關(guān)系來看, x I 是明確的，那么 x I
也可省略，只寫其元素 x.例如集合 A = {x R x > 5}也可表示為 A = {x x > 5} .
2.描述法表示集合的條件
對于元素個數(shù)不確定且元素間無明顯規(guī)律的集合，不能將它們一一列舉出來，可以將集合中元素的共同特
征描述出來，即采用描述法.
3.使用描述法時應(yīng)注意以下幾點(diǎn)
(1)寫清楚該集合的代表元素，如數(shù)或點(diǎn)等;
(2)說明該集合中元素的共同屬性;
(3)不能出現(xiàn)未被說明的字母;
(4)所有描述的內(nèi)容都要寫在花括號內(nèi)，用于描述的內(nèi)容力求簡潔、準(zhǔn)確.
注：(1)用描述法表示集合時，一定要體現(xiàn)描述法的形式，不要漏寫集合的代表元素及元素所具有的性質(zhì),
且用“|”隔開.
(2)當(dāng)描述部分出現(xiàn)集合的代表元素以外的字母時，要對新字母說明其含義或指出其取值范圍.
題型 6：用描述法表示集合
6-1．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?br/>（1）大于 2 且小于 5 的有理數(shù)組成的集合．
（2）24 的正因數(shù)組成的集合．
（3）自然數(shù)的平方組成的集合．
（4）由 0，1，2 這三個數(shù)字抽出一部分或全部數(shù)字(沒有重復(fù))所組成的自然數(shù)組成的集合．
6-2．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）用描述法表示下列集合：
（1）被 3 除余 1 的正整數(shù)的集合．
（2）坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)的點(diǎn)的集合．
（3）大于 4 的所有偶數(shù)．
6-3．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）選擇適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?
（1）被 5 除余 1 的正整數(shù)組成的集合；
（2）由直線 y＝－x＋4 上的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是自然數(shù)的點(diǎn)組成的集合；
（3）方程(x2－9)x＝0 的實數(shù)解組成的集合；
（4）三角形的全體組成的集合.
6-4．（2024 高一上·陜西安康·階段練習(xí)）表示下列集合：
(1)請用列舉法表示方程 2x -1 + 2y +1 = 0的解集；
(2)請用描述法表示平面直角坐標(biāo)系內(nèi)所有第一、三象限內(nèi)的點(diǎn)組成的集合；
(3)請用描述法表示被 5 除余 3 的正整數(shù)組成的集合；
(4)請用描述法表示二次函數(shù) y = x2 + 2x -10的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)組成的集合．
（五）
集合表示法的綜合應(yīng)用
(1)若已知集合是用描述法給出的，讀懂集合的代表元素及其屬性是解題的關(guān)鍵，如集合 A＝{x|kx2－8x＋16＝
0}中的元素就是所給方程的根，由此便把集合的元素個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)問題．
(2)在學(xué)習(xí)過程中要注意數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，如等價轉(zhuǎn)化思想和分類討論的思想．
題型 7：根據(jù)集合元素的個數(shù)求參數(shù)
7-1．（2024 2高一上·河南商丘·階段練習(xí)）已知集合 A= x ax -3x+2=0 的元素只有一個，則實數(shù) a 的值為
（ ）
9 9
A． B．0 C． 或 0 D．無解
8 8
7-2．（2024 高一上·陜西西安·階段練習(xí)）已知集合 A = x ax2 - 3x +1 = 0 ，其中 a為常數(shù)，且 ∈ R.若A 中至
多有一個元素，則實數(shù) a的取值范圍為 .
一、單選題
ìx + y = 2
1．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）方程組 í 的解集可以表示為（ ）
x - 2y +1 = 0
A．{x = 1, y = 1} B．{1} C．{(1,1)} D．{1,1}
2．（2024 2高二下·河南焦作·階段練習(xí)）已知集合M = 1, m,m + 3 ，且 4 M ，則m 取值構(gòu)成的集合為（ ）
A． 1,4 B． -1,4 C． -1,1,4 D．
3．（2024 高一上·四川成都· A = a - 2,2a2階段練習(xí)）已知 + 5a,12 其-3 A，則由 a的值構(gòu)成的集合是（ ）
ì 1, 3 - - ü ì
3ü
A． B． í C． - 1 D． -
2
í
2
4．（2024 高一上·北京·階段練習(xí)）已知集合 A = {a - 2,a2 + 4a,10}，若-3 A，則實數(shù) a的值為（ ）
A．-1 B．-3 C．-3 或-1 D．無解
5．（2024 高一上·浙江·課后作業(yè)）下面四個命題正確的個數(shù)是（ ）.
①集合N*中最小的數(shù)是 1；
②若-a N*，則a N* ；
③若a N*,b N*，則 a + b 的最小值是 2；
④ x2 + 9 = 6x 的解集是 3,3 .
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024 2高一·全國·單元測試）若關(guān)于 x 的方程 ax + 2 a +1 x + 4 = 0的解集為單元素集合，則（ ）
A． a = 0 B． a =1
C． a = 0或 a =1 D． a 0且 a 1
7．（2024 高一上·湖北·期末）已知集合 A = -1,0 , B = 1,2 , C = x x = a - b,a A,b B ，則 C 集合中元素
的個數(shù)為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
ì 6
8．（2024 高一上·山東泰安·階段練習(xí)）已知集合 M= ía N*,且 a Z ，則 M 等于（5 a ） -
A．{2，3} B．{1，2，3，4} C．{1，2，3，6} D．{ -1，2，3，4}
9．（2024 高一上·廣東茂名·期中）若 2 {1, a2 +1,a +1}，則 a =（ ）
A．2 B．1 或－1 C．1 D．－1
10．（2024 高一·全國·假期作業(yè)）方程 x2＝x 的所有實數(shù)根組成的集合為
A． 0,1 B． 0,1 C． 0,1 D x2． = x
11．（2024 *高三上·安徽蕪湖·期末）集合 A = x N x - 5 < 0 中的元素個數(shù)是（ ）
A．0 B．4 C．5 D．6
12．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）設(shè)有下列關(guān)系：① 2 R；② 4 Q；③ 0 N ；④ 0 0,1 ．其中正確
的個數(shù)為．
A．1 個 B．2 個
C．3 個 D．4 個
13．（2024 高二下·浙江寧波·學(xué)業(yè)考試）已知集合M = 3,4 , N = x∣ x - 3 x + a = 0, a R ， 若M = N ， 則
a = （ ）
A．3 B．4 C．-3 D．-4
14．（2024 2高三下·河南新鄉(xiāng)·開學(xué)考試）已知集合 A = 4, x, 2y ，B = -2, x ,1- y ，若 A = B，則實數(shù) x 的取
值集合為（ ）
A．{-1,0,2} B．{-2,2} C． -1,0,2 D．{-2,1,2}
15．（2024 2高一·全國·課后作業(yè)）已知集合 A = x | x <1 ，且 a A，則 a的值可能為（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
16．（2024 高一上·廣東江門·期中）已知集合M = x | x x -1 = 0 ,那么（ ）
A．0 M B．1 M C．-1 M D．0 M
17．（2024 高一上·海南·期中）下列表示正確的是（ ）
2
A．-3 N* B．0 N C． Z D． π Q7
18．（2024·遼寧· 2模擬預(yù)測）設(shè)集合M = a,0 ， N = a ,b ，若M = N ，則 a + b =（ ）
A．0 B．1 C．2 D．-1
19．（2024 高一上·云南西雙版納·期末）若不等式 3-2x<0 的解集為 M,則下列結(jié)論正確的是 (　　)
A．0∈M,2∈M B．0 M,2∈M
C．0∈M,2 M D．0 M,2 M
20．（2024·貴州黔東南·三模）已知集合 S = y | y = x2 -1 ,T = (x, y) | x + y = 0 ,下列關(guān)系正確的是（ ）
A． -2 S B． 2,-2 T C．-1 S D． -1,1 T
21．（2024 高一上·浙江·課后作業(yè)）下列四組對象中能構(gòu)成集合的是（　　）
A．宜春市第一中學(xué)高一學(xué)習(xí)好的學(xué)生
B．在數(shù)軸上與原點(diǎn)非常近的點(diǎn)
C．很小的實數(shù)
D．倒數(shù)等于本身的數(shù)
22．（陜西省榆林市府谷中學(xué) 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題）下列各組對象不能構(gòu)成集合
的是（ ）
A．上課遲到的學(xué)生
B．2022 年高考數(shù)學(xué)難題
C．所有有理數(shù)
D．小于 x 的正整數(shù)
23．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）下列集合中，不同于另外三個集合的是（ ）
A． x x = 2020 B． y y - 2020 2 = 0
C． x = 2020 D． 2020
24．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知關(guān)于 x 的方程 x2 - mx + m2 - 3 = 0的解集只有一個元素，則 m 的值為
（ ）
A．2 B．-2 C．±2 D．不存在
25．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）由 2， 2 - a ，3 組成的一個集合 A，若 A 中元素個數(shù)不是 2，則實數(shù) a 的
取值可以是（ ）
A．-1 B．1 C． 3 D．2
26．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
ì1 ü
A．方程 2x - 1 + 3 y + 3 = 0的解集是 í ,-1
2


B．方程 x2 - x - 6 = 0的解集為{(-2，3)}
C．集合 M={y|y=x2+1，x∈R}與集合 P={(x，y)|y=x2+1，x∈R}表示同一個集合
ì2x + y = 0
D．方程組 í 的解集是{(x，y)|x=-1 且 y=2}
x - y + 3 = 0
27．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知集合 A = {-2, -1,0,1,2,3}，B = x A -x A ，則B =（ ）
A．{1,2} B．{-2, -1} C．{0,3} D．{3} 28．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）下列語句中，正確的個數(shù)是（ ）
（1）0 N ；（2） π Q；（3）由 3、4、5、5、6 構(gòu)成的集合含有 5 個元素；（4）數(shù)軸上由 1 到 1.01 間的
線段的點(diǎn)集是有限集；（5）方程 x2 = 0的解能構(gòu)成集合.
A．2 B．3 C．4 D．5
29．（2024·湖南岳陽·一模）定義集合 A, B的一種運(yùn)算： A B = {x | x = a2 - b,a A,b B}，若 A = -1,0 ，
B = 1,2 ，則 A B 中的元素個數(shù)為（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
30．（2024 高三·山西·階段練習(xí)）設(shè)A 是一個數(shù)集，且至少含有兩個數(shù)，若對任意 a,b A，都有
a + b, a - b, ab, a A (除數(shù)b 0 )，則稱A 是一個數(shù)域，則下列集合為數(shù)域的是（ ）
b
A．N B．Z C．Q D． x | x 0,x R
31 2 2．（2024·全國）已知集合 A = x, y x + y 3，x Z，y Z ，則A 中元素的個數(shù)為（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
32．（2024 高一·全國·課前預(yù)習(xí)）已知集合 A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，當(dāng) A＝
{2}時，集合 B＝（ ）
A．{1} B．{1，2}
C．{2，5} D．{1，5}
33．（2024 高一下·廣西·階段練習(xí)）若集合 A = {x R | ax2 - 3x + 2 = 0}中只有一個元素，則 a = (　　 )
9 9 9
A． B． C．0 D．0 或
2 8 8
34．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）由實數(shù) x ，-x， | x |，- x2 ， 3 x3 所組成的集合，最多含元素個數(shù)為
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
35．（2024 2高一·全國·課后作業(yè)）集合 A = x | x + px + q = 0, x R = 2 ，則 p + q =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
36．（2024 高一上·河北邯鄲·階段練習(xí)）下列集合中表示同一集合的是（ ）
A．M = {(3,2)}， N = {(2,3)}
B．M = {2,3}， N = {3,2}
C．M = {(x, y∣) x + y = 1}， N = {y∣x + y = 1}
D．M = {2,3}， N = {(2,3)}
ì b ü
37．（2024 高一上·北京海淀· 2階段練習(xí)）若 í1, a, = 0, a , a + b ，則 a2020+b2020的值為（ ）
a
A．0 B．﹣1 C．1 D．1 或﹣1
ì m
38．（2024 高一上·重慶北碚·期末）定義 A B = íx | x = ,m A,n B
ü
,若 A = 1,2,4 , B = 2,4,8 A B
n
則

中元素個數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
39．（2024 高一上·陜西西安·階段練習(xí)）下列關(guān)系中，正確的個數(shù)為（ ）
1
① 4 R ② Q ③ 0 N ④p Q ⑤ -3 Z 3
A．5 B．4 C．3 D．2
40．（江西省五市九校協(xié)作體 2023 屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）試題）已知集合 A = 1,a,b ，
B = a2 ,a,ab ，若 A = B，則 a2023 + b2022 =（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
41．（2024 高一上·山西運(yùn)城· 2階段練習(xí)）集合 A = x x - 3x + 2 = 0 ，用列舉法表示為（ ）
A．1 B．2 C． 1,2 D． 2
42．（江蘇省南京市棲霞區(qū)南京師范大學(xué)附屬實驗學(xué)校 2023-2024 學(xué)年高一上學(xué)期 10 月月考數(shù)學(xué)試題）已知
A = 0, m, m2集合 - 3m + 2 ，且 2 A，則實數(shù)m 為（ ）
A．2 B．3 C．0 或 3 D．0,2,3
43．（2024 高一上·上海浦東新·期末）設(shè)Q是有理數(shù)，集合 X = {x | x = a + b 2,a,b Q, x 0}，在下列集合中；
x 1
（1）{y | y = 2x, x X}；（2）{y | y = , x X}；（3）{y | y = , x X}；（4）{y | y = x2 , x X}；與 X 相同的
2 x
集合有（ ）
A．4 個 B．3 個 C．2 個 D．1 個
44．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）下列說法正確的是（ ）
A．由 1，2，3 組成的集合可表示為 1,2,3 或 3,2,1
B． 與 0 是同一個集合
C x y = x2．集合 -1 與集合 y y = x2 -1 是同一個集合
D．集合 x x2 + 5x + 6 = 0 x2與集合 + 5x + 6 = 0 是同一個集合
45．（2024 高一上·上海黃浦·階段練習(xí)）直角坐標(biāo)平面中除去兩點(diǎn) A(1,1) B(2,-2)可用集合表示為（ ）
A．{(x, y) | x 1, y 1, x 2, y -2}
x 1 ìx 2
B．{(x, y) |
ì
í 或 í }
y 1 y -2
C．{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ][(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}
D．{(x, y) | [(x -1)2 + (y -1)2 ] + [(x - 2)2 + (y + 2)2 ] 0}
二、多選題
46．（2024 高一上·福建莆田·階段練習(xí)）下列說法中不正確的是（ ）
A．0 與 0 表示同一個集合
B．集合M ＝ 3,4 與 N ＝ 3,4 表示同一個集合
C．方程 (x -1)2 x - 2 ＝0 的所有解的集合可表示為 1,1,2
D．集合{x | 4 < x < 5}不能用列舉法表示
47．（2024 高一上·廣東佛山·期中）下列關(guān)系式正確的是（ ）
1
A． R B． | -3 | N C．- 3 Q D．0 {0}
2
48．（2024 高一上·廣西百色·階段練習(xí)）已知集合 A = x N x < 6 ，則下列關(guān)系式成立的是（ ）
A．0 A B．1.5 A C．-1 A D．6 A
49．（2024 高一上·江蘇常州·期中）已知集合 A = x x = m + 3n,m,n Z ，則下列說法中正確的是（ ）
A．0 A但 (1- 2 3)2 A
B．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，則 x1 ± x2 A
C．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，則 x1 × x2 A
x
D．若 x1 = m1 + 3n1, x2 = m
1
2 + 3n2 ，其中m1,n1, m2 ,n2 Z ，則 Ax2
50．（2024 高一上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）已知 a Z， A = {(x, y) | ax - y 3}且， (2,1) A， (1, -4) A，則 a取
值可能為（ ）
A．-1 B．0 C．1 D． 2
51．（2024 高一上·甘肅慶陽·期中）已知集合 A = x N | - 3 x 3 ，則有（　　）
A．-1 A B．0 A
C． 3 A D． 2 A
1
52．（2024 高一下·湖南邵陽·開學(xué)考試）若對任意 x A， A，則稱A 為“影子關(guān)系”集合，下列集合為“影
x
子關(guān)系”集合的是（ ）
A． 1-1,1 ì üB 2． í , 2 C． x x >1 D． x x > 0
2
x k - 2x
53．（2024 高一上·遼寧大連·階段練習(xí)）關(guān)于 的方程 = 2 的解集中只含有一個元素，則 k 的值可能x -1 x - x
是（ ）
A． 0 B． -1 C．1 D．3
三、填空題
54．（2024 高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）已知集合 1, a = a, a2 ，則實數(shù) a = ．
55．（2024 高一上·江蘇淮安·期中）集合 A = 3,1 ，B = m2 + 2m ,1 ，且 A = B，則實數(shù) m= .
1
56．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）已知① 5 R；② Q；③0={0}；④ 0 N；⑤ π Q；⑥ -3 Z，3
其中正確的個數(shù)為 .
57．（2024 高一上·廣東汕頭·期中）在整數(shù)集 Z 中，被 4 除所得余數(shù)為 k 的所有整數(shù)組成一個“類”，記為[k]，
即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.給出下列四個論①2025∈[1] ；② - 2025∈[1] ； ③若 a∈[1]，
b∈[2]，則 3a+b∈[3] ；④若 a∈[1]，b∈[3]，則 a - 3b∈[0].其中正確的結(jié)論是 .
ì 12 ü
58．（2024 高一上·全國·專題練習(xí)）集合 A = íx Z∣y = ，y Z 的元素個數(shù)為 ．
x + 3
59．（2023-2024 2學(xué)年河北成安一中高一上月考一數(shù)學(xué)試卷（帶解析））已知集合 A = m + 2, 2m + m ,3 A，
則m 的值為 ．
60 ì
b ü
．（2.1.2集合間的基本關(guān)系（分層練習(xí)）-2022年初升高數(shù)學(xué)無憂銜接）含有三個實數(shù)的集合可表示為 ía, ,1 ，
a
2
也可以示為 a ,a + b,0 ，則 a2013 + b2014 的值為 .
61．（2024 高一上·上海浦東新·期末）請將下列各組對象能組成集合的序號填在后面的橫線上 .
①上海市 2022 年入學(xué)的全體高一年級新生；
②在平面直角坐標(biāo)系中，到定點(diǎn) (0，0)的距離等于 1 的所有點(diǎn)；
③影響力比較大的中國數(shù)學(xué)家；
④不等式3x -10 < 0 的所有正整數(shù)解.
62．（2024 高一上·吉林·期末）設(shè) a,b R ，P = 1, a ，Q = 2a + 3,b ，若 P = Q，則 a - b = ．
63．（2024 高一上·天津東麗·期中）若集合 A = a - 3,2a -1,a2 - 4 ，且-3 A，則實數(shù) a = .
四、解答題
64．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）用適當(dāng)方法表示下列集合：
（1）從 1，2，3 這三個數(shù)字中抽出一部分或全部數(shù)字（沒有重復(fù)）所組成的自然數(shù)的集合；
（2）方程 2x +1 +|y﹣2|＝0 的解集；
（3）由二次函數(shù) y＝3x2+1 圖象上所有點(diǎn)組成的集合.
65．（2024 高一·全國·專題練習(xí)）把下列集合用適當(dāng)方法表示出來：
（1）{2,4,6,8,10}；
（2）{x N | 3 < x < 7}；
3 A = x | x2（ ） = 9 ；
（4）B = x N | 1 x 2 ；
（5）C = x | x2 - 3x + 2 = 0 .
66．（2024 高一上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知集合C = x ax2 - 4x +1 = 0 .
(1)若C 是空集，求 a的取值范圍；
(2)若C 中至多有一個元素，求 a的取值范圍.
67．（2024 高一·湖南·課后作業(yè)）用自然語言描述下列集合：
(1) 1,3,5,7,9 ；
(2) x R 3x 2 ；
(3) 3,5,7,11,13,17,19 .
68．（2024 高一上·上海·課后作業(yè)）已知集合 = { | 為小于 6 的正整數(shù)}， = { | 為小于 10 的素數(shù)}，集合
C = {x | x 為 24 和 36 的正公因數(shù)}．
（1）試用列舉法表示集合M = x | x A且 x C ；
（2）試用列舉法表示集合 N = x | x B 且 x C ．
69．（2024 高一上·湖南岳陽·階段練習(xí)）已知集合 A = x R | ax2 + 2x +1 = 0 ，其中 ∈ .
（1）1 是A 中的一個元素，用列舉法表示 A；
（2）若A 中至多有一個元素，試求 a 的取值范圍.
a
70．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）定義滿足“如果 a∈A，b∈A，那么 a±b∈A，且 ab∈A，且 ∈A(b≠0)”的集合 A
b
為“閉集”．試問數(shù)集 N，Z，Q，R 是否分別為“閉集”？若是，請說明理由；若不是，請舉反例說明．
71．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）（1）如果集合 A = {x | x = m + 2n}(m, n Z ) ， x1, x2 A，證明： x1x2 A．
（2）如果集合B = x x = m + 2n ，整數(shù)m, n 1互素，那么是否存在 x，使得 x 和 都屬于 B？若存在，請寫x
出一個；若不存在，請說明理由．
注：x 的取值不唯一．）
x +1 2x - 4
72．（2024 高一上·上海虹口·階段練習(xí)）設(shè)關(guān)于 x 的不等式 1+ 2 的解集為A .k k
(1)求A ；
(2)若 2 A，求實數(shù) k 的取值范圍.
73．（2024 高一上· 2上海奉賢·階段練習(xí)）已知集合 A = x | ax + 4x + 4 = 0, a R, x R .
（1）若A 中只有一個元素，求 a及A ；
（2）若A 中至多有一個元素，求 a的取值范圍.
74 2．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知集合 A = x ax - 3x - 4 = 0 .
（1）若A 中有兩個元素，求實數(shù) a的取值范圍；
（2）若A 中至多有一個元素，求實數(shù)的 a取值范圍.

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