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2.2 基本不等式 10 題型分類
一、基本不等式
a + b
1．如果 a>0，b>0， ab ，當且僅當 a = b 時，等號成立．
2
a + b
其中 叫做正數(shù) a，b 的算術(shù)平均數(shù)， ab 叫做正數(shù) a，b 的幾何平均數(shù)．
2
a + b
2
2 ．變形：ab≤ ÷ ，a，b∈R，當且僅當 a＝b 時，等號成立．
è 2
a＋b≥2 ab ，a，b 都是正數(shù)，當且僅當 a＝b 時，等號成立．
3.不等式 a2 + b2 … a + b2 ab 與不等式 ab ≤ 成立的條件一樣嗎？
2
a + b
不一樣， a2 + b2… 2ab 成立的條件時 a，b∈R， ab ≤ 成立的條件是 a>0，b>0.
2
a + b
4. 不等式 a2 + b2 … 2 ab 與不等式 ab ≤ 中“＝”成立的條件相同嗎？
2
相同.都是當且僅當 a＝b 時等號成立.
5.基本不等式成立的條件一正二定三相等.
二、基本不等式與最大值最小值
1.兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值；兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值.
x = y 1(1)已知 x，y 都是正數(shù)，如果和 x＋y 等于定值 S，那么當 時，積 xy 有最大值 S 2 .
4
(2)已知 x，y 都是正數(shù)，如果積 xy 等于定值 P，那么當 x＝y(tǒng) 時，和 x＋y 有最小值 2 P .
（一）
對基本不等式概念的理解
對基本不等式概念的理解
a + b
（1）基本不等式 ab ≤ (a＞0，b＞0)反映了兩個正數(shù)的和與積之間的關(guān)系．2
（2）對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：
①定理成立的條件是 a、b 都是正數(shù)．
a + b a + b
②“當且僅當”的含義：當 a＝b 時， ab ≤ 的等號成立，即 a＝b ＝2 2 ab
；僅當 a＝b 時，
a + b a + b
≥ ab 的等號成立，即 ＝ ab a＝b.2 2
題型 1：對基本不等式概念的理解
1-1．（2024·寧夏銀川·二模）下列不等式恒成立的是（ ）
x 1A． + 2 B．
x a + b 2 ab
2 2
C a + b a + b
2
． ÷ D． a
2 + b2 2ab
è 2 2
4
1-2．（2024 2高一上·河南·階段練習）不等式 a + 2 4中，等號成立的條件是（ ）a
A． a = 4 B． a = 2 C． a = - 2 D． a = ± 2
1-3．（2024 高一上·湖北孝感·階段練習）下列不等式中正確的是（ ）
4
A． a + 4 B． x2
3 2 3 a + b+ 2 C． ab D．a(chǎn) x 2 a
2 + b2 4ab
1-4．（2024 高三·全國·專題練習）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學家處
理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱為無字證明．現(xiàn)
有圖形如圖所示，C 為線段 AB 上的點，且 AC＝a，BC＝b，O 為 AB 的中點，以 AB 為直徑作半圓，過點 C
作 AB 的垂線交半圓于點 D，連接 OD，AD，BD，過點 C 作 OD 的垂線，垂足為點 E，則該圖形可以完成
的無字證明為（ ）
a + b
A． ≤ ab (a>0，b>0)2
B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
2
C． ab ≥ 1 1+ (a>0，b>0)
a b
a2 + b2 a + bD． ≥ (a>0，b>0)
2 2
1-5．（2024 高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等號可以取到的是（ ）
2 1 1
A． x + 5 + 2 22 B． x + 2 + 2 2x + 5 x + 2
2 1 | x | 3 1C． x + 2 D． + + 2
x2 | x | +3
1-6．（2024 高二上·陜西咸陽·期中）已知 a,b R ，且 ab 0，則下列結(jié)論恒成立的是（ ）
a b
A． a + b 2 ab B． + 2
b a
a b
C． a2 + b2 2ab D． + 2b a
（二）
利用基本不等式比較大小
利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項
(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最
后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事項：
①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式
時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．
題型 2：利用基本不等式比較大小
2-1．（2024 高二下·重慶·期末）阿基米德有句名言：“給我一個支點，我就能撬起整個地球!”這句話說的便是
杠桿原理，即“動力×動力臂=阻力×阻力臂”．現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里預
購買 20 g 黃金，售貨員先將10 g的砝碼放在天平左盤中，取出 x g 黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將10 g
的砝碼放在天平右盤中，取 y g黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將稱得的 x g 和 y g黃金交給顧客，則
顧客購得的黃金重量（ ）
A．大于 20g B．等于 20g C．小于 20g D．無法確定
2-2．（2024 高一上·上海普陀·期中）已知 a，b R ，且 a < b < 0，則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）
1 1 b a a + b
A． < B． + > 2 C． > ab D ． >
a b a b 2
2-3．（2024 高一上·上海寶山·階段練習）某城市為控制用水，計劃提高水價，現(xiàn)有以下四種方案，其中提價
最多的方案是（其中0 < q < p <1）（ ）
A．先提價 p% ，再提價 q% B．先提價 q%，再提價 p%
2 2 p + q
C p + q．分兩次，都提價 % D．分兩次，都提價 %
2 2
2-4．（2024 高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如果0 < a < b，那么下列不等式正確的是（ ）
ab a + b a ab a + bA． < < a < b B． < < < b
2 2
C． ab < a
a + b
< < b a a + bD． < < ab < b
2 2
2-5．（2024 高三·全國·專題練習）已知 a,b (0,1) 且 a b，下列各式中最大的是 .(填序號)
① a2 + b2 ；② 2 ab ；③ 2ab；④ a + b .
題型 3：利用基本不等式證明不等式
3-1．（2024 高一下·上海嘉定·階段練習）已知 a,b是實數(shù).
(1)求證： a2 + b2 2a - 2b - 2，并指出等號成立的條件；
(2)若 ab =1，求 a2 + 4b2 的最小值.
3-2．（2024 高一上·陜西榆林·期末）已知 a > 0，b > 0 .
(1)若b
1 b
= 6 - ，求 的最大值；
a a
(2)若 a2 + 9b2 + 2ab = a2b2 ，證明： ab 8 .
3-3．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知 x, y都是正數(shù)，且 x y .
y x
求證：（1） + >2x y ；
2xy
（2） < xyx+y .
3-4．（2024 高一·江蘇·假期作業(yè)）已知 a > 0，b > 0， c > 0，且 a + b + c =1．求證：

a
1 1
+ ÷ +

b +

÷ + c
1
+ ÷≥10．
è a è b è c
bc ca ab
3-5．（2024 高一下·甘肅蘭州·期末）已知 a > 0，b > 0， c > 0，求證： + + a + b + c .
a b c
1 1
3-6．（2024 高二下·河南洛陽·階段練習）已知 > 0，b > 0，且a + b = 1，求證： 1+ ÷ 1+ ÷ 9 .
è a è b
（三）
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值
1．利用基本不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的原則．
a＋b
(1)一正：符合基本不等式 ≥ ab成立的前提條件：a>0，b>0.
2
(2)二定：化不等式的一邊為定值．
(3)三相等：必須存在取等號的條件，即等號成立．
以上三點缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)積為定值；若是求積的最大值，通常化(或利用)和為定值，其解
答技巧是恰當變形，合理拆分項或配湊因式．
3．應用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵在于進行“拼”、“湊”、“拆”、“合”、“放縮”等變形，構(gòu)造
出符合基本不等式的條件結(jié)構(gòu)..
4.一般地，數(shù)學中的定理、公式揭示了若干量之間的本質(zhì)聯(lián)系，但不能定格于某種特殊形式，因此重要不
2 2 2
等式 a2 + b2 … 2ab的形式可以是 a2 … a + b b2ab - b2 ，也可以是 ab ，還可以是 a + … 2b ，
2 a
b2 … 2b - a(a > 0) 等．解題時不僅要利用原來的形式，而且要掌握它的幾種變形形式以及公式的逆用等，以
a
便應用．
題型 4：基本不等式的直接應用求最值
4-1．（2024 高二下·陜西榆林·期中）已知 a > 0,b > 0, a + 4b = 2，則 ab的最大值為（ ）
1 1
A． B4 ． C．1 D．22
4-2．（2024 高二下·福建·學業(yè)考試）已知 nm = 2 ，則m2 + n2 的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1
4-3．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）已知 x < 0 ，則 x + 的最大值為（
x ）
1 1
A． 2 B．- C．-2 D．
2 2
4-4．（2024 高三·全國·專題練習） 3 - a a + 6 ， -6 < a < 3 的最大值為 .
題型 5：配湊法求最值
2
5-1．（2024 3 + x + x高三·全國·專題練習）當 x > 0時，函數(shù) y = 的最小值為（ ）
1+ x
A． 2 3 B． 2 3 -1
C． 2 3 +1 D．4
1
5-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知0 < x < ，則函數(shù) y = x(1- 2x) 的最大值是（　　）
2
1 1 1 1
A． B． C4 ． D．2 8 9
2
5-3．（2024 · · 2x + x + 3高三 全國 專題練習）函數(shù) f x = x < 0 的最大值為 .
x
2
5-4．（2024 高一上· x + x + 4湖南益陽·階段練習）已知 x > -1，則函數(shù) y = 的最小值是 ．
x +1
4
5-5．（2024·貴州貴陽·模擬預測）若 x > 0，則 x + 的最小值為 ．
x +1
2
5-6 2024 · · a >1 a - 3a +11．（ 高一上 江蘇泰州 階段練習）已知 ，則 的最小值為 .
a -1
題型 6：常數(shù)代換法求最值
1 4
6-1．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）已知 a > 0，b > 0，a + b = 2，則 y = + 的最小值是（ ）
a b
7 9
A． B．4 C． D．5
2 2
x, y 1 26-2．（2024·浙江·模擬預測）已知正實數(shù) 滿足 x + 2y =1，則 +x +1 y 1的最小值為（+ ）
1
A 3+ 2
9 34
． + 2 B． C． D．
2 2 4 15
1 2
6-3．（2024 高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知 x， y R*，x＋2y＝1，則 +x y 的最小值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
1 9
6-4．（2024·安徽安慶·三模）已知非負數(shù) x, y滿足 x + y =1，則 +x 1 y 2 的最小值是 .+ +
6-5．（2024 高一上·重慶長壽·期末）已知正數(shù)m n，滿足 2m + 3n - mn = 0，則 2m + 3n的最小值為 .
6-6．（2024 高一上·廣東梅州·期末）已知 x > 0， y > 0，若 x + 3y + 4xy = 6，則 x + 3y 的最小值為 .
題型 7：消元法求最值
7-1．（2024·重慶·模擬預測）已知 x > 0， y > 0，且 xy + 2x + y = 6，則 2x + y 的最小值為（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
7-2．（2024 高一上·四川眉山·階段練習）設(shè) b > 0,ab + b =1,則 a2b的最小值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
7-3．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知 x > 0, y > 0, xy + 2x - y =10，則 x + y 的最小值為（ ）
A． 2 2 -1 B． 2 2 C．4 2 D． 4 2 -1
7-4．（2024 高二下·廣西北海·期末）若正數(shù) x，y 滿足 x - xy + 2 = 0，則 x + y 的最小值是（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D．6
題型 8：整體化求最值
1 1 xy
8-1．（2024 高三上·陜西榆林·階段練習）已知 x > 0， y > 0，且 + =x y 4 ，則
x + y 的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8-2．（2024 高二下·安徽·階段練習）若正實數(shù) x ， y
2
滿足3x +12y - 2xy = 0，則 x y 的最大值為（+ ）
4 1 2 1
A． B． C． D．
27 3 27 27
8-3．（2024 高二下·北京豐臺·期末）若 a > 0，b > 0，且 ab = a + b + 3，則 ab的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．10
（四）
基本不等式的恒成立問題
求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法
(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．
(2)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．
題型 9：基本不等式的恒成立問題
2 1
9-1．（2024 高一·江蘇·假期作業(yè)）若對 x > 0，y > 0，有 (x + 2y) × ( + ) mx y 恒成立，則
m 的取值范圍是（　　）
A．m 4 B．m > 4
C．m < 0 D．m 8
1 4 y
9-2 2．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）若兩個正實數(shù) x, y滿足 + =1，且不等式 x + < m - 3mx y 有解，則實數(shù)
m
4
的取值范圍是（ ）
A． (-1,4) B． (-4,1)
C． (- , -1) U (4, + ) D． (- ,0) (3, + )
2 1
9-3．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知 x > 0， y > 0，且 + =1，若 2x + y > mx y 恒成立，則實數(shù)
m 的取值范圍是（ ）
A． - ,9 B．[7, + ∞) C． 9, + D． - ,7
9-4．（2024 高二下·重慶沙坪壩·期末）已知正實數(shù) x，y 滿足 2x + 3y - xy = 0，若3x + 2y t 恒成立，則實數(shù) t
的取值范圍是（ ）
A． t 25 B． t < 25 C． t ≤ 24 D． t 24
9-5．（2024 高一上·山東·期中）已知 x > 0， y > 0，且 x + y + xy = 3，若不等式 x + y m2 - m 恒成立，則實
數(shù) m 的取值范圍為（ ）
A． -2 m 1 B．-1 m 2
C．m -2或m 1 D．m -1或m≥ 2
1 4 l
9-6．（2024 高三上·江西·階段練習）已知 a、b 0, + ，若 + 恒成立，則實數(shù)l 的取值范圍為
a b a + b
（ ）
A． 5,+ B． 9, + C． - ,5 D． - ,9
x
9-7．（2024 高三上·山西·階段練習）若對任意 x > 0， a 恒成立，則 a2 的取值范圍是 ．x + 3x +1
（五）
利用基本不等式解決實際問題
在應用基本不等式解決實際問題時，應注意如下的思路和方法：
(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；
(2)建立相應的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；
(4)根據(jù)實際背景寫出答案．
題型 10：利用基本不等式解決實際問題
10-1．（2024 高三下·湖南·階段練習）某社區(qū)計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為 1800 平方
米的矩形 ABCD，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為 2 米的人行通道，則種
植花卉區(qū)域的面積的最大值是（ ）
A．1208 平方米 B．1448 平方米 C．1568 平方米 D．1698 平方米
10-2．（2024 高三·全國·專題練習）某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲
得的總利潤 y (單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間 x (單位：年)的關(guān)系為 y = -x2 +18x - 25 x N + ，則每臺機器為
該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是 萬元.
10-3．（2024 高一上·江蘇揚州·階段練習）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員
流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在
本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供 x(x 0,20 )
（萬元）的專項補貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府 x （萬元）補貼后，產(chǎn)量將增加到 t = (x + 3)（萬
81 42
件）．同時波司登制衣有限公司生產(chǎn) t（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為 (7t + + 3x)（萬元），并以每件 (8 + )
t t
元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額+ 政府專項補貼-成本．
(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益 y （萬元）關(guān)于政府補貼 x （萬元）的表達式；
(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益 y （萬元）最大？
10-4．（2024 高一下·山西太原·階段練習）某游泳館擬建一座占地面積為 200 平方米的矩形泳池，其平面圖
形如圖所示，池深 1 米，四周的池壁造價為 400 元/米，泳池中間設(shè)置一條隔離墻，其造價為 100 元/米，泳
池底面造價為 60 元/平方米（池壁厚忽略不計），設(shè)泳池的長為 x 米，寫出泳池的總造價 f x ，問泳池的長
為多少米時，可使總造價 f x 最低，并求出泳池的最低造價．
10-5．（2024 高一上·湖南岳陽·期末）黨的二十大報告指出：我們要推進美麗中國建設(shè)，堅持山水林田湖草
沙一體化保護和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護、應對氣候變化，協(xié)同推進降碳、減
污、擴綠、增長，推進生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維
護．若鄉(xiāng)財政下?lián)芤豁棇？?400 百萬元，分別用于植綠護綠和處理污染兩個生態(tài)維護項目，植綠護綠項目
五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金 x （單位：百萬元）的函數(shù)M x （單位：百萬元）：
M x 80x= ；處理污染項目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金 x （單位：百萬元）的函數(shù) N x
20 + x
（單位：百萬元）： N x 1= x．
4
(1)設(shè)分配給植綠護綠項目的資金為 x （百萬元），則兩個生態(tài)項目五年內(nèi)帶來的收益總和為 y （百萬元），寫
出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式；
(2)生態(tài)維護項目的投資開始利潤薄弱，只有持之以恒，才能功在當代，利在千秋．試求出 y 的最大值，并
求出此時對兩個生態(tài)項目的投資分別為多少？
一、單選題
a + 4
1．（2024 高二下·北京·期中）設(shè) a > 0，則 a + 的最小值為（ ）
a
A．5 B．3 C．4 D．9
2．（2024 高一下·河南·期中）已知正實數(shù) a，b 滿足 2a + b - 9ab = 0，則a + 2b的最小值為（ ）
1
A．3 B．1 C．9 D．
3
3．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）若正數(shù) x，y 滿足 x + y = xy，則 x + 2y 的最小值是（ ）
A．6 B． 2 + 3 2 C．3+2 2 D． 2+2 3
2 1
4．（2024 高一·全國·專題練習）已知 x>0，y>0，且 ＋ y ＝1，若 x + 2y > m
2 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍
x
是（ ）
A．m≤－2 2 或 m≥2 2 B．m≤－4 或 m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2 2 ＜m＜2 2
1
5．（2024 高三上·海南海口·階段練習）當 x > 2時，不等式 x + a恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是（
x 2 ）-
A． - , 2 B．[2, + ∞) C． 4, + D． - , 4
6．（2024 高一上·北京·期末）對任意的正實數(shù) x, y，不等式 x + 4y m xy 恒成立，則實數(shù)m 的取值范圍是
（ ）
A． (0,4] B． (0, 2] C． (- , 4] D． (- , 2]
7．（2024 高三上·重慶南岸·階段練習）為了豐富全校師生的課后學習生活，共建和諧美好的校園文化，重慶
十一中計劃新建校園圖書館精品閱讀區(qū) A1B1C1D1，該項目由圖書陳列區(qū) ABCD（陰影部分）和四周休息區(qū)組
成．圖書陳列區(qū) ABCD的面積為1000m2 ，休息區(qū)的寬分別為 2m 和 5m（如圖所示）.當校園圖書館精品閱
讀區(qū) A1B1C1D1面積最小時，則圖書陳列區(qū)BC 的邊長為（ ）
A．20m B．50m C．10 10 m D．100m
8．（2024 高二下·河北·期末）“ m > 4 ”是“函數(shù) f x = x m+ x > 0 的最小值大于 4”的（ ）．
x
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
4
9．（2024 高二上·江蘇常州·期中）已知函數(shù) f x = x + (x < 0) ，則下列結(jié)論正確的是（ ）x
A． f x 有最小值 4B． f x 有最大值 4 C． f x 有最小值-4 D． f x 有最大值-4
1 1
10．（2024 高一上·江西·階段練習）已知實數(shù) x 滿足0 < x < ，則 y = 8x + 的最大值為（ ）
2 2x -1
A．-4 B．0 C．4 D．8
8
11．（2024 高三·全國·專題練習）當 x > a 時， 2x + 的最小值為 10，則 a =（ ）
x - a
A．1 B． 2 C．2 2 D．4
4
12．（2024·北京東城·一模）已知 x > 0，則 x - 4 + 的最小值為（ ）
x
A．－2 B．0 C．1 D． 2 2
13．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）已知0 < x <1，則當 x(5 - 5x)取最大值時， x 的值為（ ）
5 1 1 3
A． B． C． D．
4 2 3 4
14．（2024 高三下·湖南邵陽·學業(yè)考試）已知 a > 0,b > 0， a + b = 6，則 ab的最大值為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
15．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知 x, y R+ , x + y = 2,c = xy ，那么 c 的最大值為（ ）
1 1
A．1 B． C 2． D．
2 2 4
a + 6b + 3
16．（2024 高二下·浙江溫州·學業(yè)考試）已知正數(shù) a，b 滿足a + b = 1，則 最小值為（
ab ）
A．25 B．19 + 2 6 C．26 D．19
2 1
17．（2024 高一下·河南周口·期末）已知 a > 0，b > 0， + =1，則 a2 + 4b2 的最小值為（ ）a b
A．8 B．16 C．24 D．32
y 1
18．（2024·湖北·二模）若正數(shù) x, y滿足 x + 2y = 2，則 +x y 的最小值為（ ）
5
A． 2 +1 B． 2 2 +1 C．2 D． 2
a + b 2 1 1
19．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知 a、b 為正實數(shù)， A = , = + ,G = ab ，則（
2 H a b ）
A．G H A B．H G A
C．G A H D．H A G
20．（湖南省張家界市民族中學 2023-2024 學年高一上學期第一次月考數(shù)學試題）設(shè)0 < a < b，則下列不等
式成立的是（ ）
ab a + b a + bA． < < a < b B． a < < ab < b
2 2
C． ab
a + b
< a < < b D． a < ab
a + b
< < b
2 2
21．（河南省 TOP 二十名校 2023-2024 學年高三上學期調(diào)研模擬卷二文科數(shù)學試題）若0 < a < b，則下列不
等式成立的是（ ）
ab a a + b a + bA． < < < b B． ab < a < b
2 2
C． a < ab
a + b b a a + b< < D． < ab < b
2 2
22．（2024 高一·全國·單元測試）下列不等式恒成立的是（ ）
A． a + b -2 ab ； B． a + b 2 ab ；
C． a2 + b2 2ab； D． a2 + b2 -2ab ．
二、多選題
23．（2024 高一上·廣東珠海·期中）以下結(jié)論正確的是（ ）
(x +1)2A．函數(shù) y = 的最小值是 4
x
B．若 a,b R
b a
且 ab > 0，則 + 2
a b
1
C．若 x R x2，則 + 3+ 2 的最小值為 3x + 2
1
D．函數(shù) y = 2 + x + (x < 0)的最大值為 0
x
24．（江蘇省南京師范大學附屬中學 2023-2024 學年高一上學期期中數(shù)學試題）設(shè) a,b為正實數(shù)，ab = 4，則
下列不等式中對一切滿足條件的 a,b恒成立的是（ ）
2 2 1 1A． a + b 4 B． a + b 8 C． + 1 D．a(chǎn) b a + b 2 2
25．（2024 高三·山東·開學考試）若 a > 0,b > 0．且 a + b = 4 ，則下列不等式恒成立的是（ ）
1 1
A．0 < B．
ab 4 ab < 2
1 1 1 1
C． + 1 D．
a b a2 + b2

8
26．（2024 高一上·河北邯鄲·期末）若 a > 0,b > 0，且 a b，則（ ）
a + b a2 + b2 a + b a2 + b2A． > B． <
2 2 2 2
ab a + b ab a + bC． > D． <
2 2
27．（2024·河北唐山·模擬預測）已知b < a < 0，則下列不等式正確的是（ ）
1 1
A．b2 > ab B． a + < b +b a
b a
C + > 2 D a2 1． ． + < b2
1
+
a b a b
三、填空題
28．（2024 高三·全國·專題練習）已知0 < < 2，則 x 1- 2x2 的最大值為 .2
29．（2024 高三·全國·專題練習）已知m, n R+ ，若m n - 2 = 9 ，則m + n的最小值為
x + 5 x + 2
30．（2024· ·

天津河西 模擬預測）函數(shù) y = (x > -1)的最小值為 .
x +1
1
31．（2024 高三·全國·課后作業(yè)）設(shè) x -2,0 ，則 x + 的取值范圍是 ．
x
2
32 x - 2x + 4．（2024 高三·全國·專題練習）函數(shù) f x = x > 2 取得的最小值時， x 的值為 ．
x - 2
9
33．（2024·陜西榆林·三模）若不等式 ax2 - 6x + 3 > 0對 x R 恒成立，則 a 的取值范圍是 ，a + a -1
的最小值為 ．
2
34．（2024 x + x + 3高三·全國·專題練習）函數(shù) y = x > 2 的最小值為 ．
x - 2
2x
35．（2024 高一上·上海浦東新·期中）函數(shù) y =
x2
的值域是 ．
- x + 4
36．（2024 高二下·廣東廣州·期中）已知 x 4， y 4，且 x + 4y - xy = 0 ，若不等式 a x + y 恒成立，則 a的
最大值為 ．
37．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）若0 < a <1，0 < b <1， a b，則 a + b ， 2 ab ，2ab， a2 + b2 中最大的一
個是 ．
四、解答題
4
38．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習）（1）求函數(shù) y = x + x >1 的最小值及此時 x 的值；
x -1
2
（2）已知函數(shù) y x + 5x +10= ， x -2, + ，求此函數(shù)的最小值及此時 x 的值.
x + 2
39．（2024 高三上·甘肅蘭州·期中）設(shè) a，b ， c均為正數(shù)，且 a + b + c =1，證明：
1
(1) a2 + b2 + c2 ；
3
2
(2) a b
2 c2
+ + 1.
b c a2.2 基本不等式 10 題型分類
一、基本不等式
a + b
1．如果 a>0，b>0， ab ，當且僅當 a = b 時，等號成立．
2
a + b
其中 叫做正數(shù) a，b 的算術(shù)平均數(shù)， ab 叫做正數(shù) a，b 的幾何平均數(shù)．
2
a + b
2
2 ．變形：ab≤ ÷ ，a，b∈R，當且僅當 a＝b 時，等號成立．
è 2
a＋b≥2 ab ，a，b 都是正數(shù)，當且僅當 a＝b 時，等號成立．
3.不等式 a2 + b2 … a + b2 ab 與不等式 ab ≤ 成立的條件一樣嗎？
2
a + b
不一樣， a2 + b2… 2ab 成立的條件時 a，b∈R， ab ≤ 成立的條件是 a>0，b>0.
2
a + b
4. 不等式 a2 + b2 … 2 ab 與不等式 ab ≤ 中“＝”成立的條件相同嗎？
2
相同.都是當且僅當 a＝b 時等號成立.
5.基本不等式成立的條件一正二定三相等.
二、基本不等式與最大值最小值
1.兩個正數(shù)的和為常數(shù)時，它們的積有最大值；兩個正數(shù)的積為常數(shù)時，它們的和有最小值.
(1)已知 x，y 都是正數(shù)，如果和 x＋y 等于定值 S，那么當 x = y 1時，積 xy 有最大值 S 2 .
4
(2)已知 x，y 都是正數(shù)，如果積 xy 等于定值 P，那么當 x＝y(tǒng) 時，和 x＋y 有最小值 2 P .
（一）
對基本不等式概念的理解
對基本不等式概念的理解
a + b
（1）基本不等式 ab ≤ (a＞0，b＞0)反映了兩個正數(shù)的和與積之間的關(guān)系．2
（2）對基本不等式的準確掌握要抓住以下兩個方面：
①定理成立的條件是 a、b 都是正數(shù)．
a + b a + b
②“當且僅當”的含義：當 a＝b 時， ab ≤ 的等號成立，即 a＝b ＝ ab ；僅當 a＝b 時，2 2
a + b a + b
≥ ab 的等號成立，即 ＝2 2 ab
a＝b.
題型 1：對基本不等式概念的理解
1-1．（2024·寧夏銀川·二模）下列不等式恒成立的是（ ）
x 1A． + 2 B．
x a + b 2 ab
2
C a + b a
2 + b2
． 2 2 ÷ D． a + b 2ab
è 2 2
【答案】D
【分析】根據(jù)不等式成立的條件依次判斷各選項即可得答案.
【詳解】解：對于 A 選項，當 x < 0 時，不等式顯然不成立，故錯誤；
對于 B 選項， a + b 2 ab 成立的條件為 a 0,b 0，故錯誤；
對于 C 選項，當a = -b 0時，不等式顯然不成立，故錯誤；
對于 D
2
選項，由于 a2 + b2 - 2ab = a - b 0，故 a2 + b2 2ab，正確.
故選：D
4
1-2．（2024 高一上· 2河南·階段練習）不等式 a + 2 4中，等號成立的條件是（ ）a
A． a = 4 B． a = 2 C． a = - 2 D． a = ± 2
【答案】D
【分析】利用基本不等式的取等條件即可求解.
4 4 4
【詳解】由基本不等式可知 a2 + 2 a2 × = 4 22 2 ，當且僅當 a = 2 ，a a a
即 a = ± 2 時等號成立，
故選：D .
1-3．（2024 高一上·湖北孝感·階段練習）下列不等式中正確的是（ ）
4
A． a + 4
3 a + b
B． x2 + 2 2
a x2
2 3 C． ab D．
2 a + b 4ab
【答案】B
【解析】A. 由 a < 0時判斷； B.直接利用基本不等式求解判斷；C. 由 a > 0,b > 0時判斷； D.由重要不等式
判斷；
4
【詳解】A. 當 a < 0時， a + < 0 ，故錯誤；
a
B. x2 3 2 x2 3 x2
3
+ 2 × 2 = 2 3 ，當且僅當 = 2 ，即 x = ±
4 3時，取等號，故正確；
x x x
a > 0,b > 0 ab a + bC. 當 時， ，故錯誤；
2
D.由重要不等式得 a2 + b2 2ab，故錯誤；
故選：B
【點睛】本題主要考查基本不等式的辨析和應用，屬于基礎(chǔ)題.
1-4．（2024 高三·全國·專題練習）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學家處
理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱為無字證明．現(xiàn)
有圖形如圖所示，C 為線段 AB 上的點，且 AC＝a，BC＝b，O 為 AB 的中點，以 AB 為直徑作半圓，過點 C
作 AB 的垂線交半圓于點 D，連接 OD，AD，BD，過點 C 作 OD 的垂線，垂足為點 E，則該圖形可以完成
的無字證明為（ ）
a + b
A． ≤ ab (a>0，b>0)2
B．a(chǎn)2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
2
C． ab ≥ 1 1+ (a>0，b>0)
a b
2 2 a + b
D a + b． ≥ (a>0，b>0)
2 2
【答案】C
a + b
【分析】先明確 , ab 的幾何意義，即在圖中相對應的線段，根據(jù)直角三角形的相似可得相應的比例式，
2
結(jié)合不等關(guān)系，即可證明A,C選項；由于 a2 + b2 在該圖中沒有相應的線段與之對應，可判斷B,D選項.
【詳解】由題意可知 AB = a + b,OA = OB = OD
a + b
= ，
2
CD AC
由RtVACD∽RtVDCB 可知 = ，即CD2 = AC × BC = ab，
BC CD
a + b
所以CD = ab ；在Rt△OCD 中，OD > CD ，即 > ab(a > 0,b > 0)2
a + b
當OD ^ AB時，O,C 點重合， a = b ，此時 = ab(a > 0,b > 0)，所以A 錯誤；
2
CD DE
在Rt△OCD 中，RtVDEC ∽RtVDCO可得 = 即 2 ，
DO CD CD = DE ×OD
CD2DE ab 2ab 2= =
所以 OD a + b
= =
a + b 1 1 ，+
2 a b
ab 1>
由于CD > DE，所以 1 1+ ，
a b
ab 1=
當 a = b時，CD = DE ,此時 1 1+ ，所以C 正確；
a b
由于 a2 + b2 在該圖中沒有相應的線段與之對應，故B,D中的不等式無法通過這種幾何方法來證明，
故選：C.
1-5．（2024 高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等號可以取到的是（ ）
2
A． x + 5
1
+ 2 B x22 ． + 2
1
+ 2 2x + 5 x + 2
C． x2
1
+ 2 D． | x | +3
1
+ 2
x2 | x | +3
【答案】C
【分析】根據(jù)基本不等式使用條件逐一檢驗取等條件即可得答案.
1 1
【詳解】解：對于 A，因為 x2 x
2
+ 5 > 0，所以 + 5 + 2 x
2 + 5 × = 2
2 2 ，當且僅當x + 5 x + 5
x2 + 5 1=
2 ，即 x
2 = -4 ，故等號不成立，故 A 不符合；
x + 5
1 1 2 1
對于 B，因為 x2 + 2 > 0 ，所以 x2 + 2 + 2 2 x2 + 2 × 2 = 2，當且僅當 x + 2 = 2 ，即 x2 = -1，x + 2 x + 2 x + 2
故等號不成立，故 B 不符合；
1
對于 C 1 1，因為 x2 > 0，所以 x2 + 2 x22 × 2 = 2
2
，當且僅當 x = 2 ，即 x = ±1時取等號，故 C 符合；x x x
1 1 1
對于 D，因為 x + 3 > 0 ，所以 x + 3+ 2 x + 3 × = 2x 3 x 3 ，當且僅當 x + 3 = x + 3 ，即 x = -2，故+ +
等號不成立，故 D 不符合.
故選：C.
1-6．（2024 高二上·陜西咸陽·期中）已知 a,b R ，且 ab 0，則下列結(jié)論恒成立的是（ ）
a b
A． a + b 2 ab B． + 2
b a
C． a2 + b2
a b
2ab D． + 2b a
【答案】D
【分析】由基本不等式，重要不等式，判斷各選項正誤即可.
【詳解】對于 A 選項，由基本不等式，當 a，b > 0 時，有 a + b 2 ab ，當且僅當 a = b時取等號，故 A 錯
誤.
b
B a b a b對于 ，當 > 0時，由基本不等式， + 2 × = 2，當且僅當 a = b時取等號.故 B 錯誤.
a b a b a
C a - b 2對于 ，因 0，則 a2 + b2 2ab，故 C 錯誤.
b a b a b
對于 D，當 > 0時， + 2 × = 2，當且僅當 a = b時取等號.
a b a b a
b a b b a b a
當 < 0時， + = - - - ÷ -2 - ÷ × - ÷ = -2，當且僅當a = -b時取等號.a b a è a b è a è b
a b
則 ab 0時， + 2 .故 D 正確.
b a
故選：D
（二）
利用基本不等式比較大小
利用基本不等式證明不等式的策略與注意事項
(1)策略：從已證不等式和問題的已知條件出發(fā)，借助不等式的性質(zhì)和有關(guān)定理，經(jīng)過逐步的邏輯推理，最
后轉(zhuǎn)化為所求問題，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．
(2)注意事項：
①多次使用基本不等式時，要注意等號能否成立；②累加法是不等式證明中的一種常用方法，證明不等式
時注意使用；③對不能直接使用基本不等式的證明可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．
題型 2：利用基本不等式比較大小
2-1．（2024 高二下·重慶·期末）阿基米德有句名言：“給我一個支點，我就能撬起整個地球!”這句話說的便是
杠桿原理，即“動力×動力臂=阻力×阻力臂”．現(xiàn)有一商店使用兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里預
購買 20 g 黃金，售貨員先將10 g的砝碼放在天平左盤中，取出 x g 黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將10 g
的砝碼放在天平右盤中，取 y g黃金放在天平左盤中使天平平衡，最后將稱得的 x g 和 y g黃金交給顧客，則
顧客購得的黃金重量（ ）
A．大于 20g B．等于 20g C．小于 20g D．無法確定
【答案】A
【分析】根據(jù)題意設(shè)出天平的兩臂長，利用杠桿原理，即可解出．
【詳解】設(shè)天平左臂長為x1，右臂長為 x2，且 x1 x2 ，
ìx 10x= 1
ì10x
\ 1
= xx2 x2
í \
yx1 =10x
， í
2 y 10x
，
= 2
x1
Q x x x y 10x2 10x ，\ + = + 1
10x
> 2 2 ·10x12 1 = 2 10 = 20 ，x1 x2 x1 x2
故選：A．
2-2．（2024 高一上·上海普陀·期中）已知 a，b R ，且 a < b < 0，則下列不等關(guān)系中正確的是（ ）
1 1 b a 2 a + b A． < B． + > C ． > ab D． >
a b a b 2
【答案】B
【分析】利用不等式性質(zhì)判斷 ACD，利用基本不等式判斷 B.
1 1
【詳解】對于 A，因為 a < b < 0，所以 > ，錯誤；
a b
b a
對于 B，因為 a < b < 0 > 0, > 0 b a b a，所以 ，所以 + 2 × = 2，
a b a b a b
b a 1 b a當且僅當 = = 即 a = b時，等號成立，又 a < b ，所以 + > 2，正確；
a b a b
a + b a + b
對于 C，因為 a < b < 0，所以 < 0， ab > 0，所以 < ab ，錯誤；2 2
1 1 1 1
對于 D，因為 a < b < 0，所以 < < 0，所以- > - > 0，
b a b a
1 1
又-a > -b > 0

，所以 - ÷ × -a >

- ÷ × -b > 0

即 > ，錯誤；
è b è a
故選：B.
2-3．（2024 高一上·上海寶山·階段練習）某城市為控制用水，計劃提高水價，現(xiàn)有以下四種方案，其中提價
最多的方案是（其中0 < q < p <1）（ ）
A．先提價 p% ，再提價 q% B．先提價 q%，再提價 p%
2 2 p + q
C p + q．分兩次，都提價 % D．分兩次，都提價 %
2 2
【答案】C
【分析】求出每個選項中提價后的水價，結(jié)合基本不等式比較大小可得合適的選項.
【詳解】設(shè)原來的水價為 a，AB 選項中，兩次提價后的水價為a 1 + p% 1 + q% ，
2
2 2
C 選項中，兩次提價后的水價為 a 1
p + q
+ %÷ ，
è 2 ÷
p + q
2
D 選項中，兩次提價后的水價為a 1 + %2 ÷
，
è
2 2 2 2
因為0 < q < p <1，則 p2 + q2 > 2 pq ，則 2 p + q > p + q + 2 pq = p + q 2，
p2 + q2 p + q
2 2 2
所以， > p + q p + q ÷ ，則 > ，2 è 2 2 2
2
2 2 2
即 a 1 p + q + %÷ > a 1 p + q+ % ， 2 ÷ 2 ÷è è
2
a 1+ p% 1+ q% < a 1 p + q+ % 由基本不等式可得 ÷ ，
è 2
2
p2 + q2 p + q 2
所以， a 1+ %÷ > a

÷ 1+ %÷ > a 1+ p% 1+ q% .
è 2 è 2
故選：C.
2-4．（2024 高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如果0 < a < b，那么下列不等式正確的是（ ）
ab a + b a ab a + bA． < < a < b B． < < < b
2 2
C． ab a
a + b
< < < b D． a
a + b
< < ab < b
2 2
【答案】B
ab a + b【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出 < ，再結(jié)合0 < a < b可得出結(jié)果.
2
a + b
【詳解】由已知0 < a < b，利用基本不等式得出 ab < ，
2
因為0 < a < b，則 a2 < ab < b2 ， a + b < 2b，
a + b
所以 a < ab < b ， < b，2
∴ a < ab
a + b
< < b .
2
故選：B
2-5．（2024 高三·全國·專題練習）已知 a,b (0,1) 且 a b，下列各式中最大的是 .(填序號)
① a2 + b2 ；② 2 ab ；③ 2ab；④ a + b .
【答案】④
【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式可以得到相關(guān)結(jié)論.
【詳解】因為 a,b (0.1) ，所以 a2 < a，b2 < b， a < a ，b < b ，
所以 a2 + b2 < a + b， ab < ab ，當 a b時，
a + b
由基本不等式可知 > ab ，所以
2 a + b > 2 ab
，
由上可知， a + b > 2 ab > 2ab， a + b > a2 + b2 ，所以四個式子中 a + b 最大．
故答案為：④.
題型 3：利用基本不等式證明不等式
3-1．（2024 高一下·上海嘉定·階段練習）已知 a,b是實數(shù).
(1)求證： a2 + b2 2a - 2b - 2，并指出等號成立的條件；
(2)若 ab =1，求 a2 + 4b2 的最小值.
【答案】(1)證明見解析，當且僅當 a =1，b = -1時，不等式等號成立
(2)4
【分析】（1）作差法證明即可；
（2）構(gòu)造基本不等式，利用基本不等式解決即可.
【詳解】（1）證明：因為 a2 + b2 - (2a - 2b - 2) = a2 + b2 - 2a + 2b + 2
= (a -1)2 + (b +1)2 0，
所以 a2 + b2 2a - 2b - 2，
當且僅當 a =1，b = -1時，不等式中等號成立.
（2） a2 + 4b2 = a2 + (2b)2 2 × a × (2b) = 4ab = 4，
ìa = 2 ìa = - 2

當且僅當 a = 2b，即 í
b 2
或 í
b 2
時，不等式中等號成立.
= = -
2 2
所以 a2 + 4b2 的最小值為 4.
3-2．（2024 高一上·陜西榆林·期末）已知 a > 0，b > 0 .
1 b
(1)若b = 6 - ，求 的最大值；
a a
(2)若 a2 + 9b2 + 2ab = a2b2 ，證明： ab 8 .
【答案】(1)9
(2)證明見解析
b 1
【分析】（1）由 = b 運用基本不等式求乘積得最大值；
a a
（2）直接由基本不等式a2 + 9b2 6ab對已知等式進行放縮，證得結(jié)果.
【詳解】（1）因為b
1 1
= 6 - ，所以b + = 6 .
a a
2
1
b 1 b +

÷
= b a ÷ = 9，a a 2 ÷
è
b 1當且僅當 = ， a
1
= ，b = 3時，等號成立，
a 3
b
故 的最大值為 9.
a
（2）證明：因為 a2 + 9b2 + 2ab 2 a2 ×9b2 + 2ab = 8ab，
所以 a2b2 8ab ，又 a > 0,b > 0，
解得 ab 8，
2 6
當且僅當 a = 2 6,b = 時，等號成立.
3
故 ab 8 .
3-3．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知 x, y都是正數(shù)，且 x y .
y + x求證：（1） >2x y ；
2xy
（2） < xyx+y .
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
x y
【分析】（1）由已知得 >0, >0
y + x 2 y x × = 2
y x ，運用基本不等式得 ，可得證；x y x y
（2）由基本不等式得 x+y 2 xy ，可得證.
x y y x
【詳解】（1）Q x>0, y>0 \ >0, >0
y + x 2 y x， ，\ × = 2，由于當且僅當 =y x x y ，即
x = y 時取等號，
x y x y
但 x y
y x
，因此不能取等號，\ + >2x y ；
2xy 2xy
（2）Q x>0, y>0，\ x+y 2 xy ，\ = xyx+y 2 xy ，當且僅當
x = y 時取等號，但 x y ，因此不能取
2xy
等號，\ < xyx+y .
【點睛】本題考查基本不等式的應用于不等式的證明，在運用時注意滿足基本不等式所需的條件：“一正二
定三相等”，屬于基礎(chǔ)題.
3-4．（2024 高一·江蘇·假期作業(yè)）已知 a > 0，b > 0， c > 0，且 a + b + c =1．求證：
a 1+ + b 1 c 1 ÷ + ÷ + +

÷≥10．
è a è b è c
【答案】證明見解析
b a c a c b
【分析】將證明式子中的 1 用 a + b + c =1代換，整理為 4 + ( + ) + ( + ) + ( + )，根據(jù)基本不等式即可
a b a c b c
證明．
【詳解】因為 a，b，c 都為正實數(shù)，且 a + b + c =1，
1 1 1
所以 (a + ) + (b + ) + (c + )
a b c
(a a + b + c ) (b a + b + c a + b + c= + + + ) + (c + )
a b c
= 4 + (b a+ ) ( c a+ + ) + (c b+ ) b a 4 + 2 × + 2 c a c b× + 2 × = 4 + 2 + 2 + 2 =10，
a b a c b c a b a c b c
1
當且僅當 a = b = c = 時取等號，
3
a 1 1 1所以 +

a ÷
+ b + ÷ + c + ÷≥10．
è è b è c
bc ca ab
3-5．（2024 高一下·甘肅蘭州·期末）已知 a > 0，b > 0， c > 0，求證： + + a + b + c .
a b c
【答案】證明見解析
【分析】三次利用基本不等式即可得證.
【詳解】∵ a > 0，b > 0， c > 0，
∴ bc ca 2 bc ca+ × = 2c ，
a b a b
bc ca
當且僅當 = ，即 a = b時，等號成立，
a b
bc ab 2 bc ab同理： + × = 2b ca ab 2 ca ab， + × = 2a ，
a c a c b c b c
當且僅當 a = c ，b = c時，等號成立，
bc ca ab
以上三式相加得： 2 + +

a b c ÷
2(a + b + c)，
è
當且當且僅當 a = b = c時，等號成立，
bc ca ab
所以 + + a + b + c .
a b c
1 1 1 13-6．（2024 高二下·河南洛陽·階段練習）已知 > 0 b ， > 0，且a + b = 1，求證： + ÷ + ÷ 9 .
è a è b
【答案】證明見解析
1 1 1 1+ + b a【分析】利用a + b = 1把 ÷ ÷ 化為 (2 + )(2 + )，展開利用基本不等式求最值即可證明.
è a è b a b
【詳解】因為 > 0，b > 0，a + b = 1，
1 1 1 1 (1 a + b)(1 a + b b a所以 + ÷ + ÷ = + + ) = (2 + )(2 + ) = 5
2a 2b
+ +
è a è b a b a b b a
2b 2a 2b 2a 1
5 + 2 = 9 ，當且僅當 = ，即 a = b = 時等號成立.
a b a b 2
故原題得證.
（三）
利用基本不等式求最值
利用基本不等式求最值
1．利用基本不等式求最值，必須按照“一正，二定，三相等”的原則．
a＋b
(1)一正：符合基本不等式 ≥ ab成立的前提條件：a>0，b>0.
2
(2)二定：化不等式的一邊為定值．
(3)三相等：必須存在取等號的條件，即等號成立．
以上三點缺一不可．
2．若是求和式的最小值，通常化(或利用)積為定值；若是求積的最大值，通常化(或利用)和為定值，其解
答技巧是恰當變形，合理拆分項或配湊因式．
3．應用基本不等式證明不等式的關(guān)鍵在于進行“拼”、“湊”、“拆”、“合”、“放縮”等變形，構(gòu)造
出符合基本不等式的條件結(jié)構(gòu)..
4.一般地，數(shù)學中的定理、公式揭示了若干量之間的本質(zhì)聯(lián)系，但不能定格于某種特殊形式，因此重要不
2 2 2
等式 a2 + b2 … a + b b2ab的形式可以是 a2 … 2ab - b2 ，也可以是 ab ，還可以是 a + … 2b ，
2 a
b2 … 2b - a(a > 0) 等．解題時不僅要利用原來的形式，而且要掌握它的幾種變形形式以及公式的逆用等，以
a
便應用．
題型 4：基本不等式的直接應用求最值
4-1．（2024 高二下·陜西榆林·期中）已知 a > 0,b > 0, a + 4b = 2，則 ab的最大值為（ ）
1 1
A． B． C4 ．1 D．22
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，利用基本不等式，即可求解.
【詳解】因為 a > 0,b > 0, a + 4b = 2，
1
由基本不等式可得 2 = a + 4b 2 4ab = 4 ab ，可得 ab ，4
1 1
當且僅當 a = 4b，即 a =1,b = 時，等號成立，所以 ab的最大值為 .
4 4
故選：A.
4-2．（2024 高二下·福建·學業(yè)考試）已知 nm = 2 ，則m2 + n2 的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】由基本不等式求解即可.
【詳解】m2 + n2 2mn = 4，當且僅當“ m = n ”時取等.
故m2 + n2 的最小值為 4 .
故選：D.
1
4-3．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）已知 x < 0 ，則 x + 的最大值為（
x ）
1 1
A． 2 B．- C．-2 D．
2 2
【答案】C
x 1 [( x) 1【分析】根據(jù)題意化簡得到 + = - - + ]，結(jié)合基本不等式，即可求解.
x -x
1 1 1
【詳解】因為 x < 0 ，可得 -x > 0，則 x + = -[(-x) + ] -2 (-x) = -2，
x -x -x
x 1當且僅當- = 時，即 x = -1時，等號成立，
-x
即 x
1
+ 的最大值為-2 .
x
故選：C.
4-4．（2024 高三·全國·專題練習） 3 - a a + 6 ， -6 < a < 3 的最大值為 .
9
【答案】 / 4.5
2
【分析】根據(jù)題意，由基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】因為-6 < a < 3，所以3- a > 0 ， a + 6 > 0，由基本不等式可得
3 - a a 6 3- a + a - 6 9 3+ = ，當且僅當3- a = a + 6，即 a = - 時，等號成立．所以 3- a a + 6 ，
2 2 2
-6 < a < 3 9的最大值為 .
2
9
故答案為： .
2
題型 5：配湊法求最值
5-1 3 + x + x
2
．（2024 高三·全國·專題練習）當 x > 0時，函數(shù) y = 的最小值為（ ）
1+ x
A． 2 3 B． 2 3 -1
C． 2 3 +1 D．4
【答案】B
y 3+ x + x
2
y 3+ x + x
2 3 3
【分析】使用變量分離，將 = 化為 = = + x = + x +1 -1，使用基本不等式解
1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
決.
x > 0 y 3+ x + x
2 3 x 3【詳解】因為 ，所以 = = + = + x +1 -1 2 3 × x +1 -1 = 2 3 -1，當且僅當
1+ x 1+ x 1+ x 1+ x
3
= x +1 ，即 x = 3 -1時，等號成立．1+ x
故選：B．
1
5-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知0 < x < ，則函數(shù) y = x(1- 2x) 的最大值是（　　）
2
1 1 1 1
A． B． C D
2 4
． ．
8 9
【答案】C
1
【分析】將 y = x(1- 2x)化為 2x(1- 2x)，利用基本不等式即可求得答案.
2
1
【詳解】∵ 0 < x < ，\1- 2x > 0 ,
2
∴ x(1 - 2x)
1
= 2x(1 2x) 1 [2x + (1- 2x)- ]2 1= ，
2 2 2 8
1
當且僅當 2x =1- 2x 時，即 x = 時等號成立，
4
y = x(1- 2x) (0 x 1 1因此，函數(shù) , < < )的最大值為 ,
2 8
故選：C．
2
5-3．（2024 2x + x + 3高三·全國·專題練習）函數(shù) f x = x < 0 的最大值為 .
x
【答案】1- 2 6 / -2 6 +1
f x 2x
2 + x + 3 2x 3【分析】首先化簡可得 = = + +1 = -(-2x 3+ ) +1，由 -x > 0則可以利用基本不等式求最
x x -x
值即可.
【詳解】因為 x < 0 ，則 -x > 0，
f x 2x
2 + x + 3 3 3
所以 = = 2x + +1 = -(-2x + ) +1
x x -x
≤ 2 2x 3- - × +1 =1- 2 6 ，
-x
3 6
當且僅當-2x = ，即 x = - 時等號成立，
-x 2
所以 f x 的最大值為1- 2 6 .
故答案為：1- 2 6 .
2
5-4 2024 · · x > -1 y x + x + 4．（ 高一上 湖南益陽 階段練習）已知 ，則函數(shù) = 的最小值是 ．
x +1
【答案】3
【分析】將函數(shù)化簡，分離常數(shù)，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】因為 x > -1，
x2 + x + 4 x +1 2 - (x +1) + 4y 4= = = x +1 + -1
x +1 x +1 x +1
2 x 4+1 -1 = 3
x +1
x 1 4當且僅當 + = ，即 x =1時，等號成立.
x +1
2
y x + x + 4所以函數(shù) = 的最小值是3
x +1
故答案為: 3 .
4
5-5．（2024·貴州貴陽·模擬預測）若 x > 0，則 x + 的最小值為 ．
x +1
【答案】3
【分析】利用基本不等式，變形求函數(shù)的最小值.
4 4 4
【詳解】因為 x > 0，由基本不等式得： x + = x +1+ -1 2 x +1 × -1 = 3，
x +1 x +1 x +1
x 1 4當且僅當 + = ，且 x > 0，即 x =1時等號成立．
x +1
故答案為：3
a25-6 - 3a +11．（2024 高一上·江蘇泰州·階段練習）已知 a >1，則 的最小值為 .
a -1
【答案】5
2
t = a -1 a - 3a +11【分析】利用換元法，令 ，將 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t的分式，再利用基本不等式求解最小值即可.
a -1
【詳解】令 t = a -1(t > 0)，則 a = t +1，
a2 - 3a +11 (t +1)2 - 3(t +1) +11 t 2 - t + 9 9 9
所以 = = = t + -1 9 2 t × -1 = 5，當且僅當 t = ，即 t = 3時取等號，
a -1 t t t t t
a2 - 3a +11
所以 的在最小值為5 .
a -1
故答案為：5 .
題型 6：常數(shù)代換法求最值
1 4
6-1．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）已知 a > 0，b > 0，a + b = 2，則 y = + 的最小值是（ ）
a b
7 9
A． B．4 C． D．5
2 2
【答案】C
1 4
a b 2 a + b y = + y =
a + b 1 4
【分析】將 + = 化為 = 1，即可將 變形為 ÷ +2 a b ÷ ，結(jié)合基本不等式即可求得答案.2 a b è è
【詳解】Qa > 0,b > 0, a + b = 2 ，
a + b
\ =1，
2
y 1 4 a + b 1 4\ = + = +
a b 2 ÷ a b ÷è è
5 b 2a 5 b 2a 5 9
= + + + 2 × = + 2 = （當且僅當b = 2a
4
= 時等號成立），
2 2a b 2 2a b 2 2 3
故選：C
1 2
6-2．（2024·浙江·模擬預測）已知正實數(shù) x, y滿足 x + 2y =1，則 +x 的最小值為（ ）+1 y +1
1
A + 2 B 3+ 2 9
34
． ． C． D．
2 2 4 15
【答案】C
【分析】利用基本不等式“1”的妙用求解.
【詳解】由題可得， x + 2y =1，則 x +1 + 2 y +1 = 4，
1 2 1 1 2
所以 + = + ÷ é x +1 + 2 y +1 ùx +1 y +1 4 è x +1 y +1
1 é5 2(y +1) 2(x +1) ù 1
é
5 2 2(y +1) 2(x +1)
ù 9
= ê + + 4 x +1 y +1 ú ê
+ × = ，
4 x +1 y +1
ú
4
2(y +1) 2(x +1)
當且僅當 = x y
1
= =
x 1 y 1 ，即 時，取得等號，+ + 3
故選:C.
1 2
6-3．（2024 高一上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知 x， y R*，x＋2y＝1，則 +x y 的最小值（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】由基本不等式“1”的代換求解即可.
【詳解】因為 x， y R*，x＋2y＝1，
1 2 1 2 x 2y 1 2y 2x 4 5 2y 2x則 + = + ÷ + = + + + = + +x y è x y x y x y
5 2 2y 2x + × = 9，
x y
2y 2x
當且僅當 = ，即 x
1
= y =
x y 時取等.3
故選：B.
1 9
6-4．（2024·安徽安慶·三模）已知非負數(shù) x, y滿足 x + y =1，則 +x 1 y 2 的最小值是 .+ +
【答案】4
【分析】根據(jù)題意 x +1+ y + 2 = 4 ，再構(gòu)造等式利用基本不等式求解即可.
1 9 1 1 9
【詳解】由 x + y =1，可得 x +1+ y + 2 = 4, + = + ÷ x +1+ y + 2 x +1 y + 2 4 è x +1 y + 2
1 1 9 y + 2
9 x +1 1 y + 2 9 x +1
= + + + ÷ 10 + 2 × ÷ = 4，當且僅當 y + 2 = 3 x +1 ，即 x = 0, y =1 ÷ 時取等4 è x +1 y + 2 4 è x +1 y + 2
號.
故答案為：4
6-5．（2024 高一上·重慶長壽·期末）已知正數(shù)m n，滿足 2m + 3n - mn = 0，則 2m + 3n的最小值為 .
【答案】 24
2 3
【分析】根據(jù)正數(shù)m ， n 滿足 2m + 3n - mn = 0，可得 + =1，
n m
再由 2m + 3n = 2m + 3n 2 3 +

÷，利用基本不等式即可求解.
è n m
2 3
【詳解】由正數(shù)m ， n 滿足 2m + 3n - mn = 0，可得 + =1，
n m
所以 2m + 3n = 2m + 3n 2 3 4m 9n 4m 9n + ÷ = + +12 2 × +12 = 24，
è n m n m n m
4m 9n 2 3
當且僅當 = ， + =1，即m = 6,n = 4時取等號，
n m n m
所以 2m + 3n的最小值為 24 .
故答案為： 24 .
6-6．（2024 高一上·廣東梅州·期末）已知 x > 0， y > 0，若 x + 3y + 4xy = 6，則 x + 3y 的最小值為 .
【答案】3
【分析】先移項，結(jié)合基本不等式把積化為和，可求答案
【詳解】因為 x > 0， y > 0， x + 3y + 4xy = 6，
所以 4xy = 6 - x + 3y 4，即 x ×3y = 6 - x + 3y ；
3
4 4 x + 3y 2
x ×3y 因為 ÷ ，當且僅當 = 3 時取到等號，3 3 è 2
x + 3y 2
所以 6 - x + 3y ，
3
解得 x + 3y 3或 x + 3y -6（舍）
3
所以當 x = , y
1
= 時， x + 3y 有最小值 3.
2 2
故答案為：3
題型 7：消元法求最值
7-1．（2024·重慶·模擬預測）已知 x > 0， y > 0，且 xy + 2x + y = 6，則 2x + y 的最小值為（ ）．
A．4 B．6 C．8 D．12
【答案】A
【分析】利用基本不等式和消元思想對本題目進行求解.
【詳解】解：已知 x > 0，y > 0，且 xy+2x+y=6，
6 - 2x
y=
x +1
6 - 2x 8 8
2x+y=2x+ =2(x+1) + - 4 4，當且僅當 2 x +1 = , x =1時取等號，
x +1 x +1 x +1
故 2x+y 的最小值為 4.
故選:A
7-2．（2024 高一上·四川眉山·階段練習）設(shè) b > 0,ab + b =1,則 a2b的最小值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
1 2 1
【分析】首先由等式把b 轉(zhuǎn)化為 ，再應用常數(shù)分離得到 ab = a+1 + - 2，最后應用基本不等式得
a +1 a +1
到最小值.
【詳解】由題意b > 0,ab + b =1 b=
1
，所以 ,a +1 > 0，
a +1
2 a2 a +1-1
2
得到 a b a 1= = = +1+ - 2 2 - 2 = 0，
a +1 a +1 a +1
a 1 1當且僅當 + = ，即 a = 0時， 等號成立，則 a2b的最小值為0 ．
a +1
故選：A.
7-3．（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知 x > 0, y > 0, xy + 2x - y =10，則 x + y 的最小值為（ ）
A． 2 2 -1 B． 2 2 C．4 2 D． 4 2 -1
【答案】D
【分析】用 y 表示 x + y 后，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果.
【詳解】因為 x > 0, y > 0，
y +10
由 xy + 2x - y =10 ，得 x = y 2 ，+
x y y +10 8所以 + = + y = + y + 2 -1
8
2 × (y + 2) -1 = 4 2 -1
y 2 y ，+ + 2 y + 2
當且僅當 y = 2 2 - 2時，等號成立.
故 x + y 的最小值為 4 2 -1.
故選：D
7-4．（2024 高二下·廣西北海·期末）若正數(shù) x，y 滿足 x - xy + 2 = 0，則 x + y 的最小值是（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．4 D．6
【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解.
2
【詳解】由題設(shè)及 x - xy + 2 = 0 ，可得 y = x + .
x
x y x x 2 1 1所以 + = + + = 2 x + ÷ 4 x × = 4，x è x x
1
當且僅當 x = ，即 x =1時，等號成立，此時 y = 3 > 0符合題意.
x
所以 x + y 的最小值為 4.
故選：C.
題型 8：整體化求最值
1 1 xy
8-1．（2024 高三上·陜西榆林·階段練習）已知 x > 0， y > 0，且 + =x y 4 ，則
x + y 的最小值為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
4 x + y = xy 2【分析】先得出 ，再利用基本不等式求解即可.
1 1 xy
【詳解】因為 + =x y 4 ，
é x + y 2
2 4
4 x + y = xy 2
ù x + y
所以 ê 2 ÷ ú
= ，
ê è ú 16
所以 x + y 3 64，所以 x + y 4，
當且僅當 x = y = 2時取等號，
所以 x + y 的最小值為 4 .
故選：C.
2
8-2．（2024 高二下·安徽·階段練習）若正實數(shù) x ， y 滿足3x +12y - 2xy = 0，則 x y 的最大值為（+ ）
4 1 2 1
A． B． C． D．
27 3 27 27
【答案】A
3 12
【分析】根據(jù)等式計算得出 + = 2y x ，再結(jié)合常值代換求和的最值，計算可得最大值．
3 12
【詳解】Q x > 0 ， y > 0，3x +12y - 2xy = 0，\ + = 2y x ，
3 12 1 3x 12y 1
\ x + y = x + y 3x 12y 1 27 + ÷ = +12 + 3 + ÷ 2 +15÷ = ，
è y x 2 è y x 2 ÷è y x 2 2
3x 12y 9
當且僅當 =y x ，即 x = 9 ，
y = 時等號成立，
2
2 4
\
x + y 27 .
故選：A.
8-3．（2024 高二下·北京豐臺·期末）若 a > 0，b > 0，且 ab = a + b + 3，則 ab的最小值為（ ）
A．1 B．3 C．9 D．10
【答案】C
【分析】利用基本不等式變形求解．
【詳解】∵ a > 0,b > 0，
所以 ab = a + b + 3 2 ab + 3，當且僅當 a = b時等號成立，
( ab - 3)( ab +1) 0，所以 ab 9，當且僅當 a = b = 3時取等號，
故選：C．
（四）
基本不等式的恒成立問題
求參數(shù)的值或取值范圍的一般方法
(1)分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求代數(shù)式的最值問題．
(2)觀察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍．
題型 9：基本不等式的恒成立問題
2 1
9-1．（2024 高一·江蘇·假期作業(yè)）若對 x > 0，y > 0，有 (x + 2y) × ( + ) mx y 恒成立，則
m 的取值范圍是（　　）
A．m 4 B．m > 4
C．m < 0 D．m 8
【答案】D
2 1 2 1
【分析】首先由基本不等式求出 (x + 2y) × ( + ) (x + 2y) × ( + ) m mx y 的最小值，由 x y 恒成立即可求出 的范圍．
【詳解】因為 x > 0， y > 0，
所以 (x + 2y)
2 1
× ( + ) 2 x 4y x 4y= + + + 2 4 + 2 × = 8，
x y y x y x
當且僅當 2y = x時取等號，
所以m 8，
故選：D．
1 4
9-2．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）若兩個正實數(shù) x, y滿足 + =1 x
y
+ < m2
x y ，且不等式
- 3m有解，則實數(shù)m
4
的取值范圍是（ ）
A． (-1,4) B． (-4,1)
C． (- , -1) U (4, + ) D． (- ,0) (3, + )
【答案】C
x y x y 1 4 + = + y【分析】由題意可得
4 4 ÷
+ ÷ ，化簡后利用基本不等式可求出 x + 的最小值，然后將問題轉(zhuǎn)
è è x y 4
y
化為m2 - 3m大于 x + 的最小值，從而可求出實數(shù)m 的取值范圍
4
1 4
【詳解】因為兩個正實數(shù) x, y滿足 + =1x y ，
x y x y 1 4 2 4x y 2 2 4x y所以 + = + ÷ + ÷ = + + + × = 4 ，4 è 4 è x y y 4x y 4x
4x y
當且僅當 =y 4x ，即
x = 2, y = 8時取等號，
y 2
因為不等式 x + < m - 3m有解，
4
y
所以m2 - 3m大于 x + 的最小值，即m2 - 3m > 4，
4
解得m < -1或m > 4 ，
即實數(shù)m 的取值范圍是 (- , -1) U (4, + )，
故選：C
2 1
9-3．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知 x > 0，y > 0，且 + =1，若 2x + y > mx y 恒成立，則實數(shù)
m
的取值范圍是（ ）
A． - ,9 B．[7, + ∞) C． 9, + D． - ,7
【答案】A
2 1
【分析】將 2x + y 與 +x y 相乘，展開后利用基本不等式可求得
2x + y 的最小值，即可求得m 的取值范圍.
2 1 2 1 2x 2y 2x 2y
【詳解】因為 x > 0， y > 0，且 + =1，則 2x + y + ÷ = 5 + + 5 + 2 × = 9x y ，è x y y x y x
當且僅當 x = y = 3時，等號成立，即 2x + y 的最小值為9，
因為 2x + y > m 恒成立，則m < 9 .
故選：A.
9-4．（2024 高二下·重慶沙坪壩·期末）已知正實數(shù) x，y 滿足 2x + 3y - xy = 0，若3x + 2y t 恒成立，則實數(shù) t
的取值范圍是（ ）
A． t 25 B． t < 25 C． t ≤ 24 D． t 24
【答案】A
【分析】利用基本不等式中“1”的妙用，可得答案.
2 3
【詳解】由正實數(shù) x，y， 2x + 3y - xy = 0，則 + =1y x ，
即3x + 2y = 3x + 2y 2 3 6x 9 4 6y 13 2 6x 6y + = + + + + × = 25，
è y x
÷
y x y x
6x 6y
當且僅當 = ，即 x = y = 5時，等號成立，則 t 25y x ，
故選：A.
9-5．（2024 高一上·山東·期中）已知 x > 0， y > 0，且 x + y + xy = 3，若不等式 x + y m2 - m 恒成立，則實
數(shù) m 的取值范圍為（ ）
A． -2 m 1 B．-1 m 2
C．m -2或m 1 D．m -1或m≥ 2
【答案】B
【分析】首先根據(jù)基本不等式得到 x + y = 2 2，結(jié)合題意得到m - m x + ymin min ，即m2 - m 2，再解不
等式即可.
x + y
2
【詳解】 xy = 3 x - + y ，當且僅當 x = y =1時等號成立，
4
解得 x + y 2 ，即 x + y = 2min .
因為不等式 x + y m2 - m 恒成立，
所以m2 - m x + y min ，即m2 - m 2，解得-1 m 2 .
故選：B
9-6．（2024 高三上·江西·階段練習）已知 a、b 0, + 1 4 l，若 + 恒成立，則實數(shù)l 的取值范圍為
a b a + b
（ ）
A． 5,+ B． 9, + C． - ,5 D． - ,9
【答案】D
l a b 1 4 【分析】由已知可得出 + + ÷，利用基本不等式可求得實數(shù)l 的取值范圍.
è a b
1 4
【詳解】因為 a、b 0, + ，由已知可得l a + b + ÷，
è a b
1 4 a b b 4a 5 2 b 4a因為 + ÷ + = + + × + 5 = 9，當且僅當b = 2a時等號成立，
è a b a b a b
故實數(shù)l 的取值范圍為 - ,9 ，
故選：D．
x
9-7．（2024 高三上·山西·階段練習）若對任意 x > 0， 2 a 恒成立，則 a的取值范圍是 ．x + 3x +1
【答案】a
1

5
x 1
=
【解析】利用基本不等式求出 x2 + 3x +1 x 1+ + 3 的最大值，即可得出結(jié)果.
x
【詳解】Q x > 0 ，
x 1 1 1
\ 2 = =x + 3x +1 x 1
1
+ + 3 52 x 1× + 3 ，當且僅當
x = ，即 x =1時等號成立，
x xx
a 1\ .
5
1
故答案為：a .
5
x 1
=
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查不等式的恒成立問題，解題的關(guān)鍵是化簡式子 x2 + 3x +1 x 1+ + 3 利用基本
x
不等式求出最大值.
（五）
利用基本不等式解決實際問題
在應用基本不等式解決實際問題時，應注意如下的思路和方法：
(1)先理解題意，設(shè)出變量，一般把要求最值的量定為函數(shù)；
(2)建立相應的函數(shù)關(guān)系，把實際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題；
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；
(4)根據(jù)實際背景寫出答案．
題型 10：利用基本不等式解決實際問題
10-1．（2024 高三下·湖南·階段練習）某社區(qū)計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為 1800 平方
米的矩形 ABCD，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為 2 米的人行通道，則種
植花卉區(qū)域的面積的最大值是（ ）
A．1208 平方米 B．1448 平方米 C．1568 平方米 D．1698 平方米
【答案】C
【分析】設(shè) AB = x 米，則可表示出種植花卉區(qū)域的面積，結(jié)合基本不等式即可求得答案.
【詳解】設(shè) AB = x 米, (x > 0)，
1800 7200
則種植花卉區(qū)域的面積 S = x - 4 - 2÷ = -2x - +1808．
è x x
7200
因為 x > 0，所以 2x + 2 14400 = 240，當且僅當 x = 60時，等號成立，
x
則 S -240 +1808 =1568，即當 AB = 60米， BC = 30米時，
種植花卉區(qū)域的面積取得最大值，最大值是 1568 平方米,
故選：C
10-2．（2024 高三·全國·專題練習）某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲
得的總利潤 y (單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間 x (單位：年)的關(guān)系為 y = -x2 +18x - 25 x N + ，則每臺機器為
該公司創(chuàng)造的年平均利潤的最大值是 萬元.
【答案】8 .
y 25
【分析】由題意可知年平均利潤 =18 - x + ÷，然后利用基本不等式求其最值.x è x
x y =18 - x 25 y【詳解】每臺機器運轉(zhuǎn) 年的年平均利潤為 +
x x ÷
，而 x > 0，故 18 - 2 25 = 8，當且僅當 x = 5
è x
時等號成立，此時每臺機器為該公司創(chuàng)造的年平均利潤最大，最大值為8萬元.
故答案為：8
【點睛】本題考查基本不等式的應用，較易，在應用基本不等式時注意“=”成立的條件.
10-3．（2024 高一上·江蘇揚州·階段練習）近日，隨著新冠肺炎疫情在多地零星散發(fā)，為最大程度減少人員
流動，減少疫情發(fā)生的可能性，高郵政府積極制定政策，決定政企聯(lián)動，鼓勵企業(yè)在國慶期間留住員工在
本市過節(jié)并加班追產(chǎn)，為此，高郵政府決定為波司登制衣有限公司在國慶期間加班追產(chǎn)提供 x(x 0,20 )
（萬元）的專項補貼．波司登制衣有限公司在收到高郵政府 x （萬元）補貼后，產(chǎn)量將增加到 t = (x + 3)（萬
件）．同時波司登制衣有限公司生產(chǎn) t（萬件）產(chǎn)品需要投入成本為 (7t
81
+ + 3x) 42（萬元），并以每件 (8 + )
t t
元的價格將其生產(chǎn)的產(chǎn)品全部售出．注：收益=銷售金額+ 政府專項補貼-成本．
(1)求波司登制衣有限公司國慶期間，加班追產(chǎn)所獲收益 y （萬元）關(guān)于政府補貼 x （萬元）的表達式；
(2)高郵政府的專項補貼為多少萬元時，波司登制衣有限公司國慶期間加班追產(chǎn)所獲收益 y （萬元）最大？
81
【答案】(1) y = 45 - x -
x + 3
(2)6 萬元
【分析】（1）依題意求解即可；
81 é 81
（2）由 y = 45 - x - = - ê x + 3 +
ù
ú + 48結(jié)合基本不等式求解即可.x + 3 x + 3
42 81 81
【詳解】（1） y = 8 + ÷ × t + x -t
7t + + 3x ÷ = t + 42 - 2x - ．
è è t t
因為 t = x + 3 ，所以 y = x + 3+ 42 2x 81- - = 45 x 81- -
x + 3 x + 3
81
（2）因為 y = 45 x
81
- - = -
é
ê x + 3 +
ù
ú + 48．x + 3 x + 3
又因為 x 0,20 x 3 81，所以 + > 0, > 0，
x + 3
所以 x 3 81+ + 2 x 81+ 3 =18（當且僅當 x + 3 81= 即x = 6時取“ = ”）
x + 3 x + 3 x + 3
所以 y -18 + 48 = 30
即當 x = 6萬元時， y 取最大值 30 萬元．
10-4．（2024 高一下·山西太原·階段練習）某游泳館擬建一座占地面積為 200 平方米的矩形泳池，其平面圖
形如圖所示，池深 1 米，四周的池壁造價為 400 元/米，泳池中間設(shè)置一條隔離墻，其造價為 100 元/米，泳
池底面造價為 60 元/平方米（池壁厚忽略不計），設(shè)泳池的長為 x 米，寫出泳池的總造價 f x ，問泳池的長
為多少米時，可使總造價 f x 最低，并求出泳池的最低造價．
【答案】 f (x) = 800
x 225+ ÷ +12000, (x (0, + ))，泳池的長設(shè)計為 15 米時，可使總造價最低，最低總造
è x
價為 36000 元．
【分析】根據(jù)矩形面積公式列出函數(shù)表達式，結(jié)合基本不等式即可求解.
200
【詳解】因為泳池的長為 x 米，則寬為 米．
x
f (x) 400 2x 2 200= 200則總造價 + ÷ +100 + 60 200(x (0, + )) ，
è x x
整理得到 f (x) = 800
225 x + ÷ +12000 1600 15 +12000 = 36000(x (0,+ ))，
è x
當且僅當 x =15時等號成立．
故泳池的長設(shè)計為 15 米時，可使總造價最低，最低總造價為 36000 元．
10-5．（2024 高一上·湖南岳陽·期末）黨的二十大報告指出：我們要推進美麗中國建設(shè)，堅持山水林田湖草
沙一體化保護和系統(tǒng)治理，統(tǒng)籌產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)調(diào)整、污染治理、生態(tài)保護、應對氣候變化，協(xié)同推進降碳、減
污、擴綠、增長，推進生態(tài)優(yōu)先、節(jié)約集約、綠色低碳發(fā)展．某鄉(xiāng)政府也越來越重視生態(tài)系統(tǒng)的重建和維
護．若鄉(xiāng)財政下?lián)芤豁棇？?400 百萬元，分別用于植綠護綠和處理污染兩個生態(tài)維護項目，植綠護綠項目
五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金 x （單位：百萬元）的函數(shù)M x （單位：百萬元）：
M x 80x= ；處理污染項目五年內(nèi)帶來的生態(tài)收益可表示為投放資金 x （單位：百萬元）的函數(shù) N x
20 + x
1
（單位：百萬元）： N x = x．
4
(1)設(shè)分配給植綠護綠項目的資金為 x （百萬元），則兩個生態(tài)項目五年內(nèi)帶來的收益總和為 y （百萬元），寫
出 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式；
(2)生態(tài)維護項目的投資開始利潤薄弱，只有持之以恒，才能功在當代，利在千秋．試求出 y 的最大值，并
求出此時對兩個生態(tài)項目的投資分別為多少？
80x 1
【答案】(1) y = - x +100， x 0,400
20 + x 4
(2) y 的最大值為 145（百萬元），分別投資給植綠護綠項目、污染處理項目的資金為 60（百萬元），340（百
萬元）．
【分析】（1）由題意可得處理污染項目投放資金為 400 - x百萬元，即可求出 N 400 - x ，從而求出 y 關(guān)于 x
的函數(shù)解析式；
（2）利用基本不等式求出函數(shù)的最大值，即可得解.
【詳解】（1）解：由題意可得處理污染項目投放資金為 400 - x百萬元，
M x 80x N 400 x 1 400 x 100 1則 = ， - = - = - x
20 + x 4 4
y 80x 1\ = - x +100 ， x 0,400 ．
20 + x 4
y 80x 1（2）解：由（1）可得， = - x +100 =180
1 x 1600- -
20 + x 4 4 20 + x
185 1 é x 20 6400 ù 1= - ê + + ú 185 - 20 + x
6400
× =145，
4 20 + x 2 20 + x
6400
當且僅當 20 + x = ，即 x = 60時等號成立，此時 400 - x = 340．
20 + x
所以 y 的最大值為145（百萬元），分別投資給植綠護綠項目、污染處理項目的資金為60 （百萬元），340
（百萬元）．
一、單選題
a + 4
1．（2024 高二下·北京·期中）設(shè) a > 0，則 a + 的最小值為（ ）
a
A．5 B．3 C．4 D．9
【答案】A
【分析】先將函數(shù)化簡，然后利用基本不等式即可求解.
a + 4 4 4
【詳解】因為 a > 0，所以 a + = a + +1 2 a × +1 = 5，
a a a
a 4當且僅當 = ，即 a = 2時取等號，
a
a + 4
所以 a + 的最小值為5，
a
故選：A.
2．（2024 高一下·河南·期中）已知正實數(shù) a，b 滿足 2a + b - 9ab = 0，則a + 2b的最小值為（ ）
1
A．3 B．1 C．9 D．
3
【答案】B
1 2
【分析】將條件 2a + b - 9ab = 0轉(zhuǎn)化為 + = 9，然后利用“1 的代換”和基本不等式可得.
a b
1 2
【詳解】因為 2a + b - 9ab = 0，變形得 + = 9 .
a b
(a 2b) 1 2+ + 5 2b 2a+ + 2b 2a 1
由題意 a b ÷è a b 5 + 2 4 ，當且僅當 = ，即 a = b =a 2b 1 時，等號成立．+ = = = a b 3
9 9 9
故選：B.
3．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）若正數(shù) x，y 滿足 x + y = xy，則 x + 2y 的最小值是（ ）
A．6 B． 2 + 3 2 C．3+2 2 D． 2+2 3
【答案】C
1 1
【分析】對 x + y = xy變形得到 + =1y x ，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【詳解】因為正數(shù) x，y 滿足 x + y = xy，
x + y 1 1
所以 = + =1xy y x ，
x 2y x 2y 1 1 x 2y x 2y所以 + = + + ÷ = + + 3 2 × + 3 = 2 2 + 3，
è y x y x y x
x 2y
= x 2 1, y 2 + 2當且僅當 y x ，即 = + = 時，等號成立，2
所以 x + 2y 的最小值為3+2 2
故選：C
2 1
4．（2024 高一·全國·專題練習）已知 x>0，y>0，且 ＋ y ＝1，若 x + 2y > m
2 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍
x
是（ ）
A．m≤－2 2 或 m≥2 2 B．m≤－4 或 m≥2
C．－2＜m＜4 D．－2 2 ＜m＜2 2
【答案】D
【分析】由基本不等式得出 x + 2y 的最小值，進而得出實數(shù) m 的取值范圍.
2 1
【詳解】∵x>0，y>0 且 + =1x y ，
x 2y (x 2y) 2 1 4 4y x 4y x\ + = + + ÷ = + + 4 + 2 × = 8,
è x y x y x y
4y x
當且僅當 =x y ，即 x＝4，y＝2 時取等號，
∴(x＋2y)min＝8，要使 x＋2y>m2恒成立，
只需(x＋2y)min>m2恒成立，即 8>m2，解得-2 2 < m < 2 2 .
故選：D
1
5．（2024 高三上·海南海口·階段練習）當 x > 2時，不等式 x + a恒成立，則實數(shù) a的取值范圍是（
x 2 ）-
A． - , 2 B．[2, + ∞) C． 4, + D． - , 4
【答案】D
1
【分析】利用基本不等式可求得 x + 的最小值，由此可得 a的范圍.
x - 2
1 1 1
【詳解】當 x > 2時， x + = x - 2 + + 2 2 x - 2 × + 2 = 4（當且僅當 x = 3時取等號），
x - 2 x - 2 x - 2
\a 4，即 a的取值范圍為 - , 4 .
故選：D.
6．（2024 高一上·北京·期末）對任意的正實數(shù) x, y，不等式 x + 4y m xy 恒成立，則實數(shù)m 的取值范圍是
（ ）
A． (0,4] B． (0, 2] C． (- , 4] D． (- , 2]
【答案】C
x + 4y x + 4y
【解析】先根據(jù)不等式 x + 4y m xy 恒成立等價于m ÷÷ ，再根據(jù)基本不等式求出xy
÷÷ ，即
è min è xy min
可求解.
【詳解】解：Q x + 4y m xy ，
即m
x + 4y

xy ，
x + 4y
即m xy ÷
÷
è min
x + 4y x 4 y x 4 y
又Q = + 2 × = 4
xy y x y x
x 4 y
當且僅當“ = ”，即“ x = 2y ”時等號成立，
y x
即m 4，
故m (- , 4] .
故選：C.
7．（2024 高三上·重慶南岸·階段練習）為了豐富全校師生的課后學習生活，共建和諧美好的校園文化，重慶
十一中計劃新建校園圖書館精品閱讀區(qū) A1B1C1D1，該項目由圖書陳列區(qū) ABCD（陰影部分）和四周休息區(qū)組
成．圖書陳列區(qū) ABCD的面積為1000m2 ，休息區(qū)的寬分別為 2m 和 5m（如圖所示）.當校園圖書館精品閱
讀區(qū) A1B1C1D1面積最小時，則圖書陳列區(qū)BC 的邊長為（ ）
A．20m B．50m C．10 10 m D．100m
【答案】B
【分析】設(shè)BC = xm, AB
1000 m, A B C D S (x 10)(1000則 = 可得閱讀區(qū) 1 1 1 1面積 = + + 4)，展開后利用基本不等x x
式求解即可.
【詳解】設(shè)BC = xm, x > 0 1000,則 AB = m,
x
A B 1000所以閱讀區(qū) 1 1C1D1的面積 S = (x +10)( + 4)x
10000
=1040 + 4x +
x
1040 + 2 4x 10000× =1440.
x
當 4x
10000
= ,即 x = 50 時取等號，
x
當校園圖書館精品閱讀區(qū) A1B1C1D1面積最小時，則圖書陳列區(qū)BC 的邊長為50m，
故選：B.
m
8．（2024 高二下·河北·期末）“ m > 4 ”是“函數(shù) f x = x + x > 0 的最小值大于 4”的（ ）．
x
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可．
m
【詳解】解：若m > 4 ，則 f x = x + x > 0 的最小值為
x 2 m > 2 4 = 4
；
f x x m若 = + x > 0 的最小值大于 4，則m > 0，且 2 m > 4，則m > 4 ，
x
故選：C．
4
9．（2024 高二上·江蘇常州·期中）已知函數(shù) f x = x + (x < 0) ，則下列結(jié)論正確的是（
x ）
A． f x 有最小值 4B． f x 有最大值 4 C． f x 有最小值-4 D． f x 有最大值-4
【答案】D
【解析】根據(jù)基本不等式即可求出．
【詳解】解：Q x < 0，\-x > 0，
\ f x = x 4 4+ = - éê -x +
ù
x -x ú -2
4
-x × = -4 ，
-x
4
當且僅當 -x = x ，即 x = -2時取等號，-
\ f x 有最大值-4 .
故選：D．
1
10．（2024 高一上·江西·階段練習）已知實數(shù) x 滿足0 < x < ，則 y
1
= 8x + 的最大值為（ ）
2 2x -1
A．-4 B．0 C．4 D．8
【答案】B
【分析】由已知得到0 <1- 2x <1，對題中所給的式子進行轉(zhuǎn)化，利用基本不等式求最大值.
1
【詳解】由0 < x < 得到-1 < 2x -1 < 0，則0 <1- 2x <1，
2
y = 8x 1+ = 4(2x 1) 1 1- + + 4 = -[4(1- 2x) + ]+ 4 1 -2 4(1- 2x) × + 4 = 0，
2x -1 2x -1 1- 2x 1- 2x
1 1
當且僅當 x = 上式取等號，則 y = 8x + 的最大值為 0.
4 2x -1
故選：B.
x > a 2x 811．（2024 高三·全國·專題練習）當 時， + 的最小值為 10，則 a =（ ）
x - a
A．1 B． 2 C．2 2 D．4
【答案】A
【分析】應用基本不等式求解最小值,再根據(jù)最小值求參即可.
【詳解】當 x > a 時
2x 8 8 8+ = 2 x - a + + 2a 2 2 x - a + 2a = 8 + 2a ,
x - a x - a x - a
即8 + 2a =10，故 a =1 .
故選:A.
4
12．（2024·北京東城·一模）已知 x > 0，則 x - 4 + 的最小值為（
x ）
A．－2 B．0 C．1 D． 2 2
【答案】B
【分析】由基本不等式求得最小值．
4 4 4
【詳解】∵ x > 0，∴ x + - 4 2 x - 4 = 0，當且僅當 x = 即 x = 2時等號成立．
x x x
故選：B．
13．（2024 高一上·全國·課后作業(yè)）已知0 < x <1，則當 x(5 - 5x)取最大值時， x 的值為（ ）
5 1 1 3
A． B． C． D．
4 2 3 4
【答案】B
【分析】由 x(5 - 5x) = 5x(1- x) 5 (
x +1- x
× )2，結(jié)合等號成立的條件，即可求解.
2
【詳解】由0 < x <1，可得1- x > 0，
則 x(5 - 5x) = 5x(1
x +1- x 5 1
- x) 5 × ( )2 = ，當且僅當 = 1 ，即 x = 時取等號，
2 4 2
1
所以 x = 時， x(5 - 5x)取得最大值.
2
故選：B.
14．（2024 高三下·湖南邵陽·學業(yè)考試）已知 a > 0,b > 0， a + b = 6，則 ab的最大值為（ ）
A．6 B．9 C．12 D．36
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，即可求解.
【詳解】因為 a > 0，b > 0且 a + b = 6，
a + b
由基本不等式可得 ab ( )2 = 9，當且僅當 a = b = 3時，等號成立，
2
所以 ab的最大值為9 .
故選：B.
15．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知 x, y R+ , x + y = 2,c = xy ，那么 c 的最大值為（ ）
1 1
A．1 B． C 2． D．
2 2 4
【答案】A
【分析】直接利用基本不等式即可得解.
2
【詳解】由于 x, y R+ x + y ，所以 c = xy ÷ =1，
è 2
當且僅當 x = y =1時，等號成立，即 c 的最大值為 1，
故選：A.
a + 6b + 3
16．（2024 高二下·浙江溫州·學業(yè)考試）已知正數(shù) a，b 滿足a + b = 1，則 最小值為（
ab ）
A．25 B．19 + 2 6 C．26 D．19
【答案】A
a + 6b + 3 4 9
【分析】先進行化簡得 = + ，再利用乘“1”法即可得到答案.
ab b a
【詳解】因為正數(shù) a，b 滿足a + b = 1，
a + 6b + 3 a + 6b + 3a + 3b 4a + 9b 4 9 9 4
所以 = = = + = + a + b
ab ab ab b a a b ֏
9b 4a 9b 4a 9b 4a
=13 + + 13 + 2 × = 25，當且僅當 = ，聯(lián)立a + b = 1，
a b a b a b
a 3 2即 = ,b = 時等號成立，
5 5
故選：A.
2 1
17．（2024 高一下·河南周口·期末）已知 a > 0，b > 0， + =1，則 2 2 的最小值為（ ）
a b a + 4b
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
2 1
【分析】由題意利用“1”的妙用，可先求出a + 2b的最小值，再由 a + 4b2 a + 2b 2求出答案.
2
【詳解】由 a + 2b = a 2 1 4b a 4b a+ 2b + ÷ = + + 4 2 + 4 = 8
è a b a b a b
（當且僅當 a = 4,b = 2時取等號），
2 1
又由 a + 4b2 a + 2b 2（當且僅當 a＝4，b＝2 時取等號），有 a22 + 4b
2 32，
可得 a2 + 4b2 的最小值為 32．
故選：D．
y 1
18．（2024·湖北·二模）若正數(shù) x, y滿足 x + 2y = 2，則 +x y 的最小值為（ ）
5
A． 2 +1 B． 2 2 +1 C．2 D． 2
【答案】A
【分析】利用基本不等式及不等式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】因為正數(shù) x, y滿足 x + 2y = 2，
x + 2y
所以 =1.
2
y 1 y x + 2y y x y x
所以 + = + = + +1 2 × +1 = 2 +1 ,
x y x 2y x 2y x 2y
ìx2 = 2y2
當且僅當 í ，即 x = 2 2 - 2, y = 2 - 2 時，取等號，
x + 2y = 2
y 1
當 x = 2 2 - 2, y = 2 - 2 時， +x y 取得的最小值為 2 +1.
故選：A.
a + b 2 1 1
19．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）已知 a、b 為正實數(shù)， A = , = + ,G = ab ，則（
2 H a b ）
A．G H A B．H G A
C．G A H D．H A G
【答案】B
【分析】利用基本不等式計算出H G A .
【詳解】因為 a、b 為正實數(shù)，
A a + b所以 = ab = G，當且僅當 a = b時，等號成立，
2
2 1 1 1 1 2
= + 2 × = ，所以H ab ，當且僅當 a = b時，等號成立，
H a b a b ab
綜上：H G A .
故選：B
20．（湖南省張家界市民族中學 2023-2024 學年高一上學期第一次月考數(shù)學試題）設(shè)0 < a < b，則下列不等
式成立的是（ ）
a + b
A． ab < < a
a + b
< b B． a < < ab < b
2 2
ab a a + b b a ab a + bC． < < < D． < < < b
2 2
【答案】D
【分析】根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差比較法逐一判斷即可.
a + b
【詳解】因為0 < a < b，所以 ab < ；
2
a + b a b - a因為 - = > 0,
a + b b a - b- = < 0，
2 2 2 2
a + b
所以 > a,
a + b b a a + b< ，即 < < b，
2 2 2
因為0 < a < b，
所以 ab - a = ab - a2 = a b - a > 0，即 ab > a，
因此 a < ab
a + b
< < b，
2
故選：D
21．（河南省 TOP 二十名校 2023-2024 學年高三上學期調(diào)研模擬卷二文科數(shù)學試題）若0 < a < b，則下列不
等式成立的是（ ）
A． ab < a
a + b
< < b B． ab
a + b
< a < b
2 2
a + b
C． a < ab < < b a
a + b
D． < ab < b
2 2
【答案】C
a + b
【分析】根據(jù)已知條件利用基本不等式直接得出 ab < ，再結(jié)合0 < a < b可得出結(jié)果.
2
a + b
【詳解】由已知0 < a < b，利用基本不等式得出 ab < ，
2
因為0 < a < b，則 a2 < ab < b2 ， a + b < 2b，
a + b
所以 a < ab < b ， < b，2
a ab a + b∴ < < < b .
2
故選：C.
22．（2024 高一·全國·單元測試）下列不等式恒成立的是（ ）
A． a + b -2 ab ； B． a + b 2 ab ；
C． a2 + b2 2ab； D． a2 + b2 -2ab ．
【答案】D
【分析】對于 A、B、C：取特殊值否定結(jié)論；對于 D：利用基本不等式直接證明.
【詳解】對于 A：取 a = -2 ，b = -1，則 a + b = -3，-2 ab = -2 2 ，此時 a + b < -2 ab .
故 A 錯誤；
對于 B：取 a = 2，b =1，則 a + b = 3， 2 ab = 2 2 ，此時 a + b > 2 ab .
故 B 錯誤；
對于 C：取 a = 2，b =1，則 a2 + b2 = 5， 2ab = 4，此時 a2 + b2 > 2ab .
故 C 錯誤；
2
對于 D：因為 a + b = a2 + 2ab + b2 0 ，所以 a2 + b2 -2ab .
故 D 正確.
故選：D
二、多選題
23．（2024 高一上·廣東珠海·期中）以下結(jié)論正確的是（ ）
A y (x +1)
2
．函數(shù) = 的最小值是 4
x
B．若 a,b R
b a
且 ab > 0，則 + 2
a b
1
C．若 x R ，則 x2 + 3+ 2 的最小值為 3x + 2
1
D．函數(shù) y = 2 + x + (x < 0)的最大值為 0
x
【答案】BD
【分析】結(jié)合基本不等式的知識對選項進行分析，從而確定正確答案.
2
【詳解】A.對于函數(shù) y (x +1)= ，當 x < 0 時， y < 0，所以 A 選項錯誤.
x
B.由于 ab
b
> 0，所以 > 0,
a
> 0，
a b
b a b a b a
所以 + 2 × = 2 = ,a2 = b2，當且僅當 時等號成立，所以 B 選項正確.
a b a b a b
C. x2 3 1 1+ + 2 = x
2 + 2 + 2 +1 2 x2 1+ 2 × 2 +1 = 3，x + 2 x + 2 x + 2
x2 1但 + 2 = 2 無解，所以等號不成立，所以 C 選項錯誤.x + 2
1 1 1
D. é ù由于 x < 0 ，所以 y = 2 + x + = 2 -
x ê
-x + ú 2 - 2 -x × = 0， -x -x
1
當且僅當-x = , x = -1時等號成立，所以 D 選項正確.
-x
故選：BD
24．（江蘇省南京師范大學附屬中學 2023-2024 學年高一上學期期中數(shù)學試題）設(shè) a,b為正實數(shù)，ab = 4，則
下列不等式中對一切滿足條件的 a,b恒成立的是（ ）
1 1
A． a + b 4 B． a2 + b2 8 C． + 1 D．a(chǎn) b a + b 2 2
【答案】AC
【分析】根據(jù)特殊值以及基本不等式對選項進行分析，從而確定正確選項.
【詳解】A 選項，由基本不等式得 a + b 2 ab = 4，當且僅當 a = b = 2時等號成立，A 選項正確.
B 選項， a =1,b = 4時， ab = 4，但 a2 + b2 =17 > 8，B 選項錯誤.
C 1 1 1 1
1 1
選項，由基本不等式得 + 2 × =1，，當且僅當 = ,a = b = 2時等號成立，C 選項正確.
a b a b a b
D 選項， a =1,b = 4時， ab = 4，但 a + b = 3 > 2 2 ，D 選項錯誤.
故選：AC
25．（2024 高三·山東·開學考試）若 a > 0,b > 0．且 a + b = 4 ，則下列不等式恒成立的是（ ）
0 1 1A． < B．
ab 4 ab < 2
1 1 1 1
C． + 1 D．
a b a2

+ b2 8
【答案】CD
【分析】結(jié)合基本不等式對選項進行分析，由此確定正確選項.
a + b 2 2ab a + b
2
【詳解】 ÷ ，當且僅當 a = b = 2時等號成立，
è 2 2
2 2 2 2
則 ab 4 4 4 a + b ÷ = 或 ÷ ，
è 2 è 2 2
1 1
則 , ab 2, a2 + b2
1 1
8, 2 2 ，ab 4 a + b 8
即 AB 錯誤，D 正確.
1 1 a + b 4 1
對于 C 選項， + = = 4 =1，C 選項正確.
a b ab ab 4
故選：CD
26．（2024 高一上·河北邯鄲·期末）若 a > 0,b > 0，且 a b，則（ ）
A a + b a
2 + b2 B a + b a
2 + b2
． > ． <
2 2 2 2
ab a + b ab a + bC． > D． <
2 2
【答案】BD
【分析】根據(jù)作差法結(jié)合條件可判斷 AB，利用基本不等式可判斷 CD.
【詳解】Qa > 0,b > 0，且 a b，
a2 + b2 (a + b)2 (a - b)2
- = > 0 a + b a
2 + b2
所以 ，即 < ，故 A 錯誤，B 正確；
2 4 4 2 2
a + b
所以 a + b > 2 ab ，即 ab < ，故 C 錯誤，D 正確.2
故選：BD.
27．（2024·河北唐山·模擬預測）已知b < a < 0，則下列不等式正確的是（ ）
1 1
A．b2 > ab B． a + < b +b a
b a
C． + > 2 D． a2
1 b2 1+ < +
a b a b
【答案】ACD
【分析】作差法比較 A、B、D 的大小，利用基本不等式判斷 C 即可.
【詳解】b2 - ab = b(b - a) > 0，則b2 > ab ，A 對；
a 1+ - (b 1) (a b) a - b+ = - + = (a - b)(1 1+ ) > 0 1，而 a - b > 0,1+ > 0，
b a ab ab ab
1 1 1
所以 a + - (b
1
+ ) > 0，即 a + > b + Bb a ， 錯；b a
b a b a b , a 0 b a+ 2 × = 2且 > ，僅當 a = b等號成立，而b < a < 0，故 + > 2，C 對；
a b a b a b a b
a2 1 1 b - a 1 1+ - (b2 + ) = a2 - b2 + = (a - b)(a + b - )，而 a - b > 0,a + b - < 0a b ab ab ab ，
a2 1 (b2 1+ - + ) < 0 a2 1+ < b2 1所以 + D .a b ，即 a b ， 對
故選：ACD
三、填空題
28．（2024 高三·全國·專題練習）已知0 < < 2，則 x 1- 2x2 的最大值為 .2
2
【答案】
4
2
【分析】變形 x 1- 2x2 = × 2x2 1- 2x2 ，利用基本不等式求解.2
2
【詳解】Q0 < x < ,\ x2 > 0,1- 2x2 > 0，
2
2 2
\ x 1- 2x2 2= × 2x2 1 2x2 2 2x2 1 2x2 2 2x +1- 2x 2- = × - × = ，2 2 2 2 4
1
當且僅當 2x2 =1- 2x2 ，即 x = 時等號成立.2
2
故答案為： .
4
29．（2024 高三·全國·專題練習）已知m, n R+ ，若m n - 2 = 9 ，則m + n的最小值為
【答案】8
9
【分析】根據(jù)題意，由條件可得 n = + 2，然后結(jié)合基本不等式即可得到結(jié)果.
m
9
【詳解】因為m, n R+ ，且m n - 2 = 9 ，所以 n = + 2，m
9
則m + n = m 9 2 9+ + 2 m × + 2 = 8，當且僅當m = ，即m = 3時等號成立，
m m m
則m + n的最小值為 8．
故答案為:8
x + 5 x + 230 ．（2024·天津河西·模擬預測）函數(shù) y = (x > -1)的最小值為 .
x +1
【答案】9
【分析】由題意得 x +1 > 0，原函數(shù)表達式可化為關(guān)于 x +1的表達式，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式
求最值的問題，即可得答案.
【詳解】因為 x > -1，則 x +1 > 0，
x2y + 7x +10 (x +1)
2 + 5(x +1) + 4
所以 = =
x +1 x +1
= (x 4+1) + + 5 2 (x +1) 4× + 5 = 9 ，
x +1 x +1
4
當且僅當 x +1 = 即 x =1時等號成立，
x +1
∴已知函數(shù)的最小值為 9.
故答案為：9.
【點睛】本題考查利用基本不等式求最值問題，難點在于將原函數(shù)的表達式中的分子按照分母的形式進行
配湊，分離常數(shù)，轉(zhuǎn)化為可利用基本不等式求最值的問題.
1
31．（2024 高三·全國·課后作業(yè)）設(shè) x -2,0 ，則 x + 的取值范圍是 ．
x
【答案】 - , -2
1
【分析】根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性，分別求得 x [-2,-1]和 x -2,0 時 x + 的取值范圍，即可得答案.
x
【詳解】設(shè)函數(shù) f (x) = x
1
+ ，則當 x [-2,-1]時， f (x)
1
= x + 單調(diào)遞增，此時 f (x) [
5
- ,-2]；
x x 2
當 x -1,0 時， f (x) = x 1+ 單調(diào)遞減，此時 f x - ,-2 ，
x
故 x -2,0 ，則 x 1+ 的取值范圍是 - , -2 ，
x
故答案為： - , -2
2
32 2024 · · f x x - 2x + 4．（ 高三 全國 專題練習）函數(shù) = x > 2 取得的最小值時， x 的值為 ．
x - 2
【答案】4
x2 - 2x + 4 4
【分析】將函數(shù) f x = 化成 x - 2 + + 2的形式，然后用均值不等式可求出答案.
x - 2 x - 2
f x x 4 x 2 4 2 2 4 2 6 4【詳解】 = + = - + + + = .當且僅當 x - 2 = ，即 x = 4時，
x - 2 x - 2 x - 2
等號成立.故 f x 的最小值為 6.
故答案為：4
9
33．（2024·陜西榆林·三模）若不等式 ax2 - 6x + 3 > 0對 x R 恒成立，則 a 的取值范圍是 ，a + a -1
的最小值為 ．
【答案】 (3, + ) 7
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，求得 a > 3，再利用基本不等式，即可求解.
【詳解】當 a = 0時，不等式-6x + 3 > 0對 x R 不恒成立，不符合題意（舍去）；
當 a 0時，要使得 ax2 - 6x + 3 > 0對 x R 恒成立，
ìa > 0
則滿足 í ，解得 a > 3，所以實數(shù) a的取值范圍為 (3, + ) .
Δ = 36 -12a < 0
9 9
因為 a > 3，可得 a - 3 > 0 ，所以 a + = a -1+ +1 2 9 +1 = 7 ，
a -1 a -1
當且僅當 a = 4時，等號成立，所以 a
9
+ 的最小值為7 ．
a -1
故答案為： (3, + )；7 .
2
34．（2024 · · x + x + 3高三 全國 專題練習）函數(shù) y = x > 2 的最小值為 ．
x - 2
【答案】11
9
【分析】將函數(shù)化為 y = x - 2 + + 5，利用基本不等式求其最小值，注意取值條件即可.
x - 2
y (x - 2)
2 + 5(x - 2) + 9 9
【詳解】由 = = x - 2 + + 5，又 x - 2 > 0，
x - 2 x - 2
9
所以 y 2 (x 9- 2) × + 5 =11，當且僅當 x - 2 = ，即 x = 5時等號成立，
x - 2 x - 2
所以原函數(shù)的最小值為11.
故答案為：11
2x
35．（2024 高一上·上海浦東新·期中）函數(shù) y = 2 的值域是 ．x - x + 4
é 2 2ù
【答案】 ê- , 5 3ú
【分析】分 x = 0, x > 0, x < 0三種情況討論，運用基本不等式求值域.
【詳解】當 x = 0時， y = 0
y 2xx 0 = 2 =
2
當 ， x - x + 4 x 4-1+ .
x
4
若 x > 0 x 4 4時， + 2 x × = 4，當且僅當 x = ，即 x = 2時等號成立，此時
x x x
y 2 2 2= = 2
x 1 4- + 4 -1 3 ，即0 < y .
x 3
x 0 x 4 é x 4 ù 4 4若 < 時， + = - - + - ê ÷ú -2 -x ×
- ÷ = -4，當且僅當-x = - ，即 x = -2時等號成立，此時x è x è x x
y 2 2 2= 4 = - 2x -1+ -4 -1 5 ，即- y < 0 .
x 5
é 2 2ù
綜上所述，函數(shù)的值域為 - , .
ê 5 3 ú
é 2 , 2ù故答案為： ê- 5 3 ú
36．（2024 高二下·廣東廣州·期中）已知 x 4， y 4，且 x + 4y - xy = 0 ，若不等式 a x + y 恒成立，則 a的
最大值為 ．
28 1
【答案】 / 9
3 3
【分析】根據(jù) x + 4y - xy = 0 對 x + y 進行消元后，轉(zhuǎn)化為求單變量函數(shù)的最小值問題進行求解.
【詳解】當 x = 4時， x + 4y - xy = 4 + 4y - 4y = 0不成立，所以 x 4 .
由 x + 4y - xy = 0 得 y
x
= .
x - 4
x
因為 x 4， y 4，所以 4 4 x
16
，解得 < ，即 0
4
< x - 4 .
x - 4 3 3
a x y x x x - 4 + 4 4 4所以 + = + = x + = x +1+ = x - 4 + + 5，
x - 4 x - 4 x - 4 x - 4
4 4
令 t = x - 4，則0 < t ，于是 a t + + 5 .
3 t
令 f (t) = t
4 4
+ + 5，0 < t ，則 a f (t) .
t 3 min
4 4
由對勾函數(shù)的圖象知， f (t)
0, ù 4 28在 ú 上單調(diào)遞減，故 f (t)3 min
= f 3 ÷
= + 3 + 5 = .
è è 3 3
a 28 28所以 ，即 a的最大值為 .
3 3
28
故答案為： .
3
37．（2024 高一·全國·課后作業(yè)）若0 < a <1，0 < b <1， a b，則 a + b ， 2 ab ，2ab， a2 + b2 中最大的一
個是 ．
【答案】 a + b / b + a
【分析】確定 a + b > 2 ab ， 2 ab > 2ab ， a + b > a2 + b2 ，得到答案.
【詳解】0 < a <1，0 < b <1， a b，則 a + b > 2 ab ， 2 ab > 2ab ， a + b > a2 + b2 ，
綜上所述：最大的一個是 a + b .
故答案為： a + b
四、解答題
4
38．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習）（1）求函數(shù) y = x + x >1 的最小值及此時 x 的值；
x -1
2 y x
2 + 5x +10
（ ）已知函數(shù) = ， x -2, + ，求此函數(shù)的最小值及此時 x 的值.
x + 2
【答案】（1）函數(shù) y 的最小值為 5，此時 x = 3；（2）函數(shù) y 的最小值為 5，此時 x = 0 .
4
【解析】（1）整理 y = x + = x -1
4
+ +1，利用基本不等式求解即可；（2）令 t = x + 2 t > 0 ，將 x = t - 2
x -1 x -1
4
代入整理得 y = t + +1，利用基本不等式求解即可；
t
【詳解】（1）∵ x >1，
∴ y 4= x + = x 4 4-1+ +1 2 x -1 × +1 = 4 +1 = 5，
x -1 x -1 x -1
4
當且僅當 x -1 = 即 x = 3時，等號成立.
x -1
故函數(shù) y 的最小值為 5，此時 x = 3；
（2）令 t = x + 2 t > 0 ，
將 x = t - 2代入得：
t - 2 2 + 5 t - 2y +10 4= = t + +1，
t t
∵ t > 0，
∴ y t 4 4= + +1 2 t × +1 = 4 +1 = 5，
t t
4
當且僅當 t = ，
t
4
即 x + 2 = ，
x + 2
即 x = 0時，等號成立.
故函數(shù) y 的最小值為 5，此時 x = 0 .
【點睛】本題主要考查了利用基本不等式求最值的問題.屬于中檔題.
39．（2024 高三上·甘肅蘭州·期中）設(shè) a，b ， c均為正數(shù)，且 a + b + c =1，證明：
(1) a2 + b2
1
+ c2 ；
3
2 2 2
(2) a b c+ + 1.
b c a
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由 a + b + c =1，則 a + b + c 2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =1，根據(jù) 2ab a2 + b2 ，
2ac a2 + c2 ， 2bc b2 + c2 ，即可得證；
2 2 2
（2
a
）根據(jù) + b 2a b， + c 2c c， + a 2c ，即可得證.
b c a
2
【詳解】（1）由 a + b + c =1，得 a + b + c = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc =1，
又由基本不等式可知當 a，b ， c均為正數(shù)時， 2ab a2 + b2 ， 2ac a2 + c2 ， 2bc b2 + c2 ，
1
當且僅當 a = b = c = 時，上述不等式等號均成立，
3
所以 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc 3a2 + 3b2 + 3c2 ，
即3 a2 + b2 + c2 1，
2
所以 a + b2 c2
1 1
+ ，當且僅當 a = b = c = 時等號成立；
3 3
（2）因為 a，b ， c均為正數(shù)，
a2 b2 2 1
則 + b 2a ， + c 2c c， + a 2c ，當且僅當 a = b = c = 時，不等式等號均成立，
b c a 3
a2 b2 c2
則 + + + b + c + a 2a + 2b + 2c ，
b c a
a2 b2 c2
即 + + a + b + c =1，當且僅當 a
1
= b = c = 時等號成立.
b c a 3
a2 b2 c2
所以 + + 1.
b c a

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