資源簡介

2.1 等式性質與不等式性質 5 題型分類
一、等式的基本性質
(1)如果 a＝b，那么 b＝a.
(2)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
(3)如果 a＝b，那么 a±c＝b±c.
(4)如果 a＝b，那么 ac＝bc
a b
(5)如果 a＝b，c≠0，那么 ＝ .
c c
二、不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 對稱性 a>b b2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
a > bü
ac>bc
c > 0
4 可乘性 c 的符號
a > bü
acc < 0
a > bü
5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向c > d
a > b > 0ü
6 同向同正可乘性
c > d > 0
ac>bd 同向

7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【思考 1】若 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d 成立嗎？a－c>b－d 呢？
a＋c>b＋d 成立，a－c>b－d 不一定成立，但 a－d>b－c 成立.
【思考 2】若 a>b，c>d，那么 ac>bd 成立嗎？
不一定，但當 a>b>0，c>d>0 時，一定成立.
（一）
用不等式（組）表示不等關系
(1)數學學習中的能力之一就是抽象概括能力，即能用數學語言表示出實際問題中的數量關系，用不等式(組)
表示實際問題中的不等關系時:①要先讀懂題，設出未知量;②抓關鍵詞，找到不等關系;③用不等式表示不等
關系。思維要嚴密、規范.
(2)常見的文字語言與符號語言之間的轉換
大于，高于,超 小于，低于，少 大于等于，至少， 小于等于，至多，
文字語言
過 于 不低于 不超過
符號語言 > < ≥ ≤
(3)用不等式(組)表示不等關系的步驟
①審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語:至多、至少、大于等.
②適當的設未知數表示變量.
③用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式，此類問題的難點是如何正確地找出題中的隱性不等關系，
如由變量的實際意義限制的范圍.
題型 1：用不等式（組）表示不等關系
1-1．（2024 高一上·河北邢臺·階段練習）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒 0.5 厘米，人跑
開的速度為每秒 4 米，距離爆破點 150 米以外（含 150 米）為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安
全區，導火索的長度 x （單位：厘米）應滿足的不等式為（ ）
4 x x x xA． <150 B． 4 150 C． 4 150 D． 4 >150
0.5 0.5 0.5 0.5
【答案】B
【分析】安全區距離爆破點要大于等于 150 米，結合題意可構建不等式.
x
【詳解】由題意知導火索的長度 x （單位：厘米），故導火索燃燒的時間為 秒，
0.5
4 x 4 x人在此時間內跑的路程為 ÷米，由題意可得 150 .
è 0.5 0.5
故選：B.
1-2．（2024 高一上·西藏林芝·期中）下列說法正確的是（ ）
A．某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示為“x<2 000”
B．某變量 y 不超過 a 可表示為“y≤a”
C．某變量 x 至少為 a 可表示為“x>a”
D．小明的身高 x cm，小華的身高 y cm，則小明比小華矮表示為“x>y”
【答案】B
【分析】根據數量的大小關系，判斷不等式使用是否正確，選出正確答案.
【詳解】對于 A，某人收入 x 不高于 2000 元可表示為 x 2000，A 錯誤；
對于 B，變量 y 不超過 a 可表示為 y a ，B 正確；
對于 C，變量 x 至少為 a 可表示為 x a，C 錯誤；
對于 D，小明身高 xcm，小華身高 ycm，小明比小華矮表示為 x < y ，D 錯誤.
故選：B.
1-3．（2024 高一上·福建泉州·階段練習）如圖兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個等腰直角三角形構成的，
圖（2）是一個矩形，從圖形上確定這兩個廣告牌面積的大小關系，并將這種關系用含字母 a,b a b 的不
等式表示出來（ ）
1
A a2 + b2． > ab 1 a2 1 1B． + b2 < ab C 2 2． a + b ab D 2 2． a + b ab2 2 2 2
【答案】A
【分析】
利用三角形的面積計算公式、矩形的面積計算公式、基本不等式的性質即可得出．
【詳解】
1 1
解：圖（1 2 2）是由兩個等腰直角三角形構成的，面積 S1 = a + b ．2 2
圖（2）是一個矩形，面積 S2 = ab．
1 (a2可得： + b2 ) > ab(a b)2 ．
故選：A
1-4．（2024 高一·全國·課后作業）用錘子以均勻的力敲擊鐵釘釘入木板，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力
1
會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的
k k N
* ，已知一個鐵釘受擊 3 次后全部進
4
入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的 ，請從這個實例中提煉出一個不等式組： ．
7
ì4 4
+ <1, 7 7k
【答案】 í
4 4 4+ + 1
7 7k 7k 2
【分析】由第二次敲擊鐵釘沒有全部進入木板，第三次敲擊鐵釘全部進入木板可得．
【詳解】解：依題意，知第二次敲擊鐵釘沒有全部進入木板，第三次敲擊鐵釘全部進入木板，所以
ì4 4+ <1,
7 7k
í
4 4 4+ + 1.
7 7k 7k 2
ì4 4
+ <1, 7 7k
故答案為： í
4 4 4+ + 1.
7 7k 7k 2
1-5．（2024·河北衡水·模擬預測）我國經典數學名著《九章算術》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，
買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢 576，買竹子 78 根，擬分大 小兩種竹子為單
位進行計算，每根大竹子比小竹子貴 1 錢，問買大 小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個
問題中大竹子每根的單價可能為（ ）
A．6 錢 B．7 錢 C．8 錢 D．9 錢
【答案】C
【分析】根據題意設買大竹子 x ，每根單價為m ，可得576 = mx + 78 - x m -1 ，由0 x 78，解不等式
組即可求解.
【詳解】依題意可設買大竹子 x ，每根單價為m ，
購買小竹子78 - x，每根單價為 1，
所以576 = mx + 78 - x m -1 ，
即78m + x = 654，即 x = 6 109 -13m ，
因為0 x 78，
ì 109
ì109 -13m 0 m
13 96 109所以 í m 6 109 -13m 78
í
96
，
m 13 13
13
根據選項m = 8， x = 30，
所以買大竹子30根，每根8元.
故選：C
【點睛】本題考查了不等式，考查了數據處理能力以及分析能力，屬于基礎題.
1-6．（2024 高一上·四川眉山·階段練習）將一根長為5m的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為 x m，若兩
段繩子長度之差不小于1m，則 x 所滿足的不等關系為（ ）
ì2x - 5 > 0
A． í B． 2x - 5 1或5 - 2x 1
0 < x < 5
ì5 - 2x 1 ì 2x - 5 1
C． í
0 < x 5
D．
< í 0 < x < 5
【答案】D
【分析】直接表示出另一段，列不等式組即可得到答案.
【詳解】由題意,可知另一段繩子的長度為 5 - x m .
ì x - 5 - x 1
因為兩段繩子長度之差不小于1m，所以 í ，
0 < x < 5
ì 2x - 5 1
化簡得： í .
0 < x < 5
故選：D
（二）
利用不等式的性質判斷命題的真假
(1)對于關于不等式的命題判斷，需要通過不等式的性質及等式的性質進行判斷，除了通過正面證明也可以
通過舉反例的方法.
(2)感悟提升利用不等式的性質判斷真假的技巧
①首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要憑想當然隨意捏造性質．
②解決有關不等式的選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原
則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．
題型 2：利用不等式的性質判斷命題的真假
2-1．（2024 高一下·安徽宿州·期中）下列命題中正確的是（ ）
a b
A．若 a > b，則 ac2 > bc2 B．若 a > b， c < d ，則 >
c d
1 1
C．若 a > b， c > d ，則 a - c > b - d D．若 ab > 0， a > b，則 <
a b
【答案】D
【分析】舉反例排除 ABC；利用作差法即可判斷 D.
【詳解】A 選項，當 c = 0時， ac2 = bc2 ，故 A 錯誤；
a 1 b a b
B 選項，當 a =1，b = 0， c = -2， d = -1時， = - , = 0， < ，故 B 錯誤；
c 2 d c d
C 選項，當 a =1，b = 0， c =1， d = 0 時， a - c = b - d ，故 C 錯誤；
1 1 b - a 1 1
D 選項，若 ab > 0， a > b，則 - = < 0，即 < ，故 D 正確．
a b ab a b
故選：D.
71．（2024·山東·二模）若 a < b < 0，則下列不等式成立的是（ ）
1 1 1 1
A． a2 < b2 B． a + b < b + c C． < D． <
a b a b
【答案】D
【分析】根據不等式的性質，即可結合選項逐一求解.
【詳解】對于 A, 由于 a < b < 0， a2 > b2 ,故 A 錯誤，
對于 B，由于a,c關系不確定，故 a + b < b + c不一定成立，故 B 錯誤，
1 1
對于 C，由于 a < b < 0，所以 > ，C 錯誤，
a b
1 1
對于 D，由于 a < b < 0，則 a > b > 0，故 故選；D
2-2．（2024 高一上·山西朔州·階段練習）如果 a < b < 0， c < 0，那么下列不等式正確的是（ ）
1 1
A． -a < -b B． <
a b
1 1 c cC． < 2 2 D． >a b
【答案】C
【分析】由不等式的性質逐一判斷即可求解.
【詳解】如果 a < b < 0， c < 0，
對于 A，-a > -b > 0， -a > -b ，故 A 錯誤；
1 1 b - a 1 1
對于 B， - = > 0 ，即 > ，故 B 錯誤；
a b ab a b
C 1 1 b
2 - a2
- = < 0 1 1對于 ， 2 2 2 2 ，即 2 < 2，故 Ca b a b
正確；
D c c
c b - a c c
對于 ， - = < 0，即 < ，故 D 錯誤.
a b ab a b
故選：C.
2-3．（25-26 高一上·全國·課后作業）下列說法中，錯誤的是（ ）
1 1 a b
A．若 a2 > b2 , ab > 0，則 < B．若 2 ，則 a < b
C．若b > a > 0, m > 0
a + m a
，則 > D．若 a > b,c < d ，則 a - c > b - d
b + m b
【答案】A
【分析】舉出反例即可判斷 A；根據不等式的性質即可判斷 BD；利用作差法即可判斷 C.
【詳解】對于 A，取 a = -3,b = -2
1 1
，則 > ，故 A 錯誤；
a b
B c2
a b
對于 ，由 > 0, 2 < 2 ，得 a < b ，故 B 正確；c c
a + m a ab + bm - ab - am m b - a
對于 C， - = =b + m b b b + m b b ，+ m
m b - a
由b > a > 0, m > 0 > 0
a + m a
，得 b b m ，所以 > ，故 C 正確；+ b + m b
對于 D，由 c < d ，得-c > -d ，又 a > b，所以 a - c > b - d ，故 D 正確．
故選：A．
2-4．（2024 高二下·北京·期中）若 a，b ， c R 且 a > b > c，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．a - b > b - c B．a + b > 2c C． ac > bc D． a2 > b2 > c2
【答案】B
【分析】運用不等式的性質及特值法求解.
【詳解】對于 A，令，所以 a - b =1,b - c =1，所以 A 不正確；
對于 B，因為 a > b > c，所以 a > c , b > c ，所以由不等式的可加性知：a + b > 2c，所以 B 正確；
對于 C，令 a = 2,b =1,c = 0 ，所以 ac = bc = 0，所以 C 不正確；
對于 D，令 a =1,b = 0,c = -1，所以 a2 =1,b2 = 0，c2 =1，所以 D 不正確.
故選：B.
2-5．（2024 高一下·江蘇揚州·開學考試）對于實數 a，b，c，下列命題正確的是（ ）
A．若 a > b，則 ac2 > bc2
B．若 a > b，則 a2 > b2
C．若 a > b，則 a | a |> b | b |
b c
D．若 a > b > c > 0，則 < ．
a - b a - c
【答案】C
【分析】ABD 選項，由做差法可判斷大小；C 選項，分 a > b > 0, a > 0 > b, 0 > a > b三種情況討論即
可判斷大小.
2 2
【詳解】A 選項， ac - bc = a - b c2 0，故 A 錯誤；
B 2 2選項， a - b = a - b a + b ，因不清楚 a + b 的正負情況，故 B 錯誤；
C 選項，當 a > b > 0時， a | a | -b | b |= a2 - b2 = a - b a + b > 0；
當a > 0 > b時， a | a | -b | b |= a2 + b2 > 0，
當0 > a > b 時， a | a | -b | b |= -a2 + b2 = b - a a + b > 0，
綜上 a | a |> b | b |，故 C 正確；
b c a b - c
D 選項， - = > 0，故 D 錯誤.
a - b a - c a - b a - c
故選：C
（三）
比較兩個實數的大小
作差法 作商法 平方法
a
a>0，b>0，則 >1 a
a－b>0 a>b； b a<0，b<0，則 >1 aa b a>b；依據 － ＝0 a＝b； b a2>b2，且 a>0，b>0 a>b
a b<0 ab
b b b b
a題型 3：數（式）比較大小
3-1．（2024 高二下·全國·專題練習）已知 c＞1，且 x＝ c+1－ c ，y＝ c － c -1 ，則 x，y 之間的大小
關系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y 的關系隨 c 而定
【答案】C
x
【分析】應用作商法比較 ,1y 的大小關系即可.
x y 0 x c +1 - c c + c -1【詳解】由題設，易知 ， ＞ ，又 = = <1，
y c - c -1 c +1 + c
∴x＜y.
故選：C.
3-2．（2024 高一上·山東泰安·階段練習）設M = 2a a - 2 + 7 ， N = a - 2 a - 3 ，則有（ ）
A． M > N B．M N
C．M < N D．M N
【答案】A
【分析】根據作差法判斷兩式大小.
2
【詳解】M - N = 2a2 - 4a + 7 - a2 - 5a + 6 = a2 + a +1 1 3= a + ÷ + > 0，∴ M > N .
è 2 4
故選：A.
3-3．（2024 高一·江蘇·假期作業）已知a 1，試比較M = a +1 - a 和 N = a - a -1的大小.
【答案】M < N
【分析】方法 1：采用作商比較法，結合分母有理化即可求解；方法 2：先計算
1
= a +1 + a , 1 = a + a -1 1 1，從而可得 > > 0 ，進而可求解.
M N M N
【詳解】（方法 1）因為a 1，所以M = a +1 - a > 0, N = a - a -1 > 0 .
M a +1 - a a + a -1
所以 = = .
N a - a -1 a +1 + a
M
因為 a +1 + a > a + a -1 > 0 ，所以 <1，即M < N ；N
（方法 2）所以M = a +1 - a > 0, N = a - a -1 > 0，
1 1
又 = = a +1 + a ,
1 1
= = a + a -1
M ，a +1 - a N a - a -1
1 1
所以 > > 0 , 所以M < N .
M N
2 2 a - b
3-4．（2024 · a - b高一下 黑龍江鶴崗·期末）設 a > b > 0，比較 與 的大小
a2 + b2 a + b
a2 - b2 a - b
【答案】
a2
>
+ b2 a + b
【分析】先判斷兩個式子的符號，然后利用作商法與 1 進行比較即可.
【詳解】Qa > b > 0 a + b > 0,a - b > 0，
a2 - b2 a + b a - b
\ 2 2 = 2 2 > 0,
a - b
> 0，
a + b a + b a + b
a2 - b2
a2 + b2 (a + b)
2
1 2ab\ a b = = + >1- ，a2 + b2 a2 + b2
a + b
a2 - b2 a - b
\ 2 > .a + b2 a + b
3-5．（2024 高三·全國·專題練習）設 t = a + 2b ， s = a + b2 +1，則 s 與 t 的大小關系是 .
【答案】 s t
【分析】作差后變形，判斷符號即可得解.
【詳解】Q s - t = a + b2 +1- (a + 2b) = b2 - 2b +1 = (b -1)2 0 ,
\s t .
故答案為： s t .
a - b a
3-6．（2024 高一上·廣東清遠·期末）“ a > c > b > 0 ”是“ > ”的（ ）
c - b c
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【分析】做差可判斷充分性，取 a > c > b > 0可判斷必要性可得答案.
a - b a c a - b - a c - b b a - c
【詳解】 - = =c - b c c c b c c b ，- -
a - b a b a - c
當 a > c > b > 0時， a - c > 0,c - b > 0，所以 - = > 0c - b c c c ，- b
a - b a
可得 > ，所以充分性成立；
c - b c
a - b a b a - c a - b a
但當a > 0 > c > b 時， - = > 0 >c - b c c c - b 即 也成立，c - b c
所以必要性不成立．
因此“ a
a - b a
> c > b > 0 ”是“ > ”的充分不必要條件．
c - b c
故選：B.
（四）
利用不等式的性質證明不等式
利用不等式的性質證明不等式應注意的事項
(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不
等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用．
(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更
不能隨意構造性質與法則．
題型 4：利用不等式的性質證明不等式
1 1 1
4-1．（2024 高一·全國·課后作業）設 a，b ， c R ， a + b + c = 0 ， abc < 0，證明： + + > 0．
a b c
【答案】證明見解析
1 1 1
【分析】根據題意證明 ab + bc + ca < 0，進而通分 + + ，結合已知條件即可證明.
a b c
【詳解】證明：因為 a + b + c = 0 ，所以 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc = 0 ．
又 abc 0，所以 a2 + b2 + c2 > 0，
所以 ab + bc + ca < 0．
1 1 1 ab + bc + ca
因為 + + = ， abc < 0， ab + bc + ca < 0，
a b c abc
1 1 1
所以 + + > 0．
a b c
a a
4-2．（2024 高一上·河南·階段練習）（1）已知a < b < c ，且 a + b + c = 0 ，證明： < ．
a - c b - c
（2）證明： a - a - 2 < a -1 - a - 3 ． (a 3)
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析
【分析】(1)利用不等式的性質證明即可；
(2)等價于證明 a + a - 3 < a -1 + a - 2 ，對不等式兩邊同時平方后只需證明 a a - 3 < a -1 a - 2 ，
再平方即可證明.
【詳解】證明：（1）由a < b < c ，且 a + b + c = 0 ，
所以 a<0，且 a - c < b - c < 0,
a - c b - c
所以 (a - c)(b - c) > 0，所以 < a - c b - c a - c b - c ，
1 < 1 a即 ；所以 >
a a
，即 <
a
．
b - c b - c a - c a - c b - c
（2）要證 a - a - 2 < a -1 - a - 3 ， (a 3)
只需證 a + a - 3 < a -1 + a - 2 ，
即證 a + (a - 3) + 2 a(a - 3) < (a -1) + (a - 2) + 2 (a -1)(a - 2) ；
即證 a a - 3 < a -1 a - 2 ，
即證 a(a - 3) < (a -1)(a - 2)；即證 0 < 2 ，顯然成立；
所以 a - a - 2 < a -1 - a - 3 ．
4-3．（2024 高一上·內蒙古呼和浩特·期中）證明不等式．
(1)bc - ad 0
a + b c + d
，bd＞0，求證： ；
b d
b b c
(2)已知 a＞b＞c＞0，求證： > > ．
a - b a - c a - c
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
【分析】（1）作差后，根據條件結合不等式的性質證明；
b b b c
（2）先用作差法證明 > ，然后根據不等式的性質證明 > 即可得到.
a - b a - c a - c a - c
a + b c + d a + b d - b c + d1 ad - bc【詳解】（ ）證明： - = = ，
b d bd bd
因為，bc - ad 0，所以， ad - bc 0，
ad - bc
又 bd＞0，所以， 0，
bd
a + b c + d
即 .
b d
（2）證明：因為 a＞b＞c＞0，
所以有，-b < -c ，0 < a - b < a - c，b - c > 0，
b b b a - c - b a - b b b - c
則， - = = > 0a - b a - c a - c a - b a ，- c a - b
b b
即有， > 成立；
a - b a - c
1
因為， a - c > 0，所以， > 0，
a - c
b c
又b > c，所以， > 成立.
a - c a - c
b b c
所以，有 > > .
a - b a - c a - c
（五）
利用不等式的性質求參數范圍
(1)利用不等式的性質求取值范圍的策略
①建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，最后利用一次不等式的性質進行運算，求得待求的范圍．
②同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，
就有可能擴大其取值范圍．
注意：求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．
(2)利用不等式性質求范圍的方法:
①借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答;
②所給條件盡量整體使用，切不可隨意拆分所給條件;
③結合不等式的傳遞性進行求解.
(3)求代數式的取值范圍是不等式性質的應用的一個重要內容.解題時應將條件式視為一個整體，并用其表示
所求范圍的量，同時注意取等號的條件是否具備.切不可利用不等式的性質分別求出變量自身的范圍，再去
求由此構成的代數式的取值范圍，這往往會擴大代數式的范圍.
題型 5：利用不等式的性質求參數范圍
5-1．（2024 高一·全國·專題練習）已知0 a - b 1,2 a + b 4，則 4a - 2b 的取值范圍是（ ）
A．1 4a - 2b 5 B． 2 4a - 2b 7
C．1 4a - 2b 6 D．0 4a - 2b 9
【答案】B
【分析】用含 a - b,a + b 的代數式表示 4a - 2b ，結合已知利用不等式的性質即可求得答案.
【詳解】設 4a - 2b = m a - b + n a + b = m + n a - m - n b ，
ìm + n = 4 ìm = 3
所以 í ，解得 í
m - n = 2 n =1
，
所以 4a - 2b = 3 a - b + a + b ，
又 a - b 0,1 , a + b 2,4 ，
所以3 a - b 0,3 , 4a - 2b 2,7 ，故 A，C，D 錯誤，
故選：B.
5-2．（2024 高三·全國·對口高考）已知-1 a + b 1,-1 a - b 1，求 2a + 3b的取值范圍 ．
【答案】[-3,3]
【分析】利用待定系數法設 2a + 3b = l(a + b) + m(a - b) ，得到方程組，解出l, m ，再根據不等式基本性質即
可得到答案.
ìl 5= ,
2a 3b (a b) (a b) ì
l + m = 2,
+ = l + + m - , 2【詳解】設 則 í
l - m = 3,
解得 í
m 1= - .
2
故 2a
5
+ 3b = (a + b) 1- (a - b) ，
2 2
5 5
由-1 a + b 1 ,故- (a + b)
5
，
2 2 2
1 1 1
由-1 a - b 1 ,故- - (a - b) ，
2 2 2
所以 2a + 3b [-3,3] .
故答案為：[-3,3] .
a
5-3．（2024 高三·全國·專題練習）已知2 < < 3， 2 < < 1，分別求 a + b ，2a - b ，ab， 的取值范圍．
b
【答案】詳見解析.
【分析】根據不等式的基本性質和反比例函數特點即可求解.
【詳解】因為2 < < 3， 2 < < 1，
所以 2 + -2 < a + b < 3 + -1 ，
即 a + b 的取值范圍是 0,2 ．
由4 < 2 < 6，1 < < 2，
得5 < 2a - b < 8，
所以 2a - b 的取值范圍是(5,8)．
由2 < < 3，1 < < 2，
得 2 < -ab < 6，
所以 ab的取值范圍是 -6, -2 ．
1 1
易知 < - < 12 b ，
而2 < < 3
則1
a
< - < 3，
b
a
所以 的取值范圍是 -3, -1 ．
b
5-4．（2024 高一上·湖南長沙·階段練習）已知實數 x，y 滿足 4 ≤ ≤ 1，-1 2x - y 5，則 y 的取值
范圍是（ ）
A． y 0 y 9 B． y - 5 y 4
C． y 1 y 13 D． y 0 y 13
【答案】C
ìx = n - m
【分析】令 x - y = m、 2x - y = n 得 íy n ，利用不等式的性質進行運算即可得答案． = - 2m
x - y = m ìx = n - m【詳解】令 ， 2x - y = n ，則 íy n 2m ， = -
∵ 4 ≤ ≤ 1，-1 2x - y 5，即 4 ≤ ≤ 1， 1 ≤ ≤ 5，
∴ 2 -2m 8，則1 n - 2m 13，即1 y 13 .
故選：C
5-5．（2024 高一上·湖北荊州·階段練習）已知-1 a + b 4， 2 a - b 3，則3a - 2b 的取值范圍為
9
【答案】[ ,
19]
2 2
【分析】令m(a + b) + n(a - b) = 3a - 2b求出 m、n，再應用不等式的性質求3a - 2b 的范圍.
【詳解】令m(a + b) + n(a - b) = 3a - 2b，則 (m + n)a + (m - n)b = 3a - 2b，
ì 1
ìm + n = 3 m = 2 1 5
所以 ím n 2，可得 í ，故
3a - 2b = (a + b) + (a - b) ，
- = - n 5= 2 2
2
1 1 5 15
而 (a + b) [- , 2], (a - b) [5, ]，故3a - 2b [
9 ,19] .
2 2 2 2 2 2
[9 ,19故答案為： ]
2 2
一、單選題
1．（2024 高三·全國·專題練習）已知1 a 2, -1 b 4 ,則 a- 2b的取值范圍是（　　）
A．[-7,4] B．[-6,9] C．[6,9] D．[-2,8]
【答案】A
【分析】利用不等式的基本性質即可求得答案
【詳解】因為-1 b 4 ,所以-8 -2b 2 ,
由1 a 2 ,得-7 a - 2b 4 ,
故選：A
2．（2024 高三·全國·專題練習）已知 p∈R，M = (2 p +1)( p - 3) ，N = ( p - 6)( p + 3) +10 ，則 M，N 的大小關
系為（　　）
A．MN
C．M≤N D．M≥N
【答案】B
【分析】作出 M，N 的差，變形并判斷符號作答.
【詳解】M - N = (2 p +1)( p - 3) -[( p - 6)( p + 3) +10] = p2 - 2 p + 5 = ( p -1)2 + 4 > 0，
所以M > N .
故選：B.
3．（2024 高一上·天津濱海新·期末）下列命題為真命題的是（）
A．若 a > b > 0，則 ac2 > bc2 B．若 a > b > 0，則 a2 > b2
1 1
C．若 a < b < 0，則 a2 < b2 D．若 a < b < 0，則 <
a b
【答案】B
【分析】根據 c = 0排除選項 A；取 = 2, = 1計算驗證，排除選項 C，D 得到答案.
【詳解】對于 A，若 a > b > 0，則 ac2 > bc2 ，當 c = 0時不成立，故 A 錯誤；
2 2
對于 B，若 a > b > 0，所以 a - b = a + b a - b > 0，則 a2 > b2 ，故 B 正確；
對于 C，若 a < b < 0，則 a2 < b2 ，取 = 2, = 1，計算知不成立，故 C 錯誤；
1 1
對于 D，若 a < b < 0，則 < ，取 = 2, = 1，計算知不成立，故 D 錯誤.
a b
故選：B.
4．（2024 高二下·山東濱州·階段練習）下列說法中正確的是（　　）
A．如果 a > b，則 ac > bc B．如果 a > b，則 ac2 > bc2
C．如果 ac2 > bc2 ，則 a > b D．如果 a > b， c > d ，則 ac > bd
【答案】C
【分析】ABD 可舉出反例，C 選項，可利用不等式的性質進行證明.
【詳解】AB 選項，若 a = 2,b =1,c = 0 ，滿足 a > b，但此時 ac = bc ， ac2 = bc2 ，AB 錯誤；
C 選項，如果 ac2 > bc2 ，則 c 0，故 2 > 0，不等式兩邊同時除以 2，則 a > b，C 正確；
D 選項，若 a = 4,b = -1,c = -2,d = -3，滿足 a > b， c > d ，但 ac = -8,bd = 3， ac < bd ，D 錯誤.
故選：C
5．（2024·湖北武漢·模擬預測）下列不等式正確的是（　　）
A．若 ac2 bc2，則 a b
c c
B．若 > ，則 a < b
a b
C．若 a + b > 0， c - b > 0，則 a > c
D．若 a > 0，b > 0
a + m a
，m > 0，且 a < b ，則 >
b + m b
【答案】D
【分析】舉例說明選項 ABC 錯誤；利用作差法證明選項 D 正確.
【詳解】對于 A，當 c = 0， a = -1，b = 2 時滿足 ac2 bc2，但 a < b ，所以 A 錯誤；
c c
對于 B，當 = 1， a = -2 ，b = -3時，滿足 > ，但 a > b，所以 B 錯誤；
a b
3
對于 C，由不等式的基本性質易知 a + c > 0，當 a = -1， b = ， c = 2時滿足 a + b > 0， c - b > 0，但 a < c ，
2
所以 C 錯誤；
a + m a a + m b - a b + m b - a m a + m a
對于 D， - = = > 0 >b m b b m b b m b ，所以 ，故 D 正確．+ + + b + m b
故選：D．
6．（2024 高一·江蘇·假期作業）下列命題是真命題的為（　　）
1 1
A．若 a > b，則 <
a b
B．若 2 = ，則b2 > a 或b2 > c
C．若 x < y ，則 2 < 2
D．若 a = b，則 a = b
【答案】C
【分析】ABD 可舉出反例，C 可用不等式的性質證明.
【詳解】對于 A，若 a =1,b = -2
1 1
，則 > ，故 A 是假命題．
a b
對于 B，當 a = b = 0,c =1時，滿足 2 = ，但b2 > a 或b2 > c不成立，故 B 是假命題．
對于 C，因為 y > x 0，根據不等式的性質得 2 < 2，故 C 是真命題．
對于 D，當 a = b = -2時， a 與 b 沒有意義，故 D 是假命題．
故選：C
7．（2024 高一上·河南·階段練習）某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案A 為一次性投資
300萬；方案 B 為第一年投資80萬，以后每年投資 20萬.下列不等式表示“經過 n 年之后，方案 B 的投入不
大于方案A 的投入”的是（ ）
A．80 + 20n 300 B．80 + 20n 300
C．80 + 20 n -1 300 D．80 + 20 n -1 300
【答案】D
【分析】由不等關系求解即可.
【詳解】經過 n 年之后，方案 B 的投入為80 + 20 n -1 ，故經過 n 年之后，方案 B 的投入不大于方案A 的投
入，即80 + 20 n -1 300
故選：D
8．（2024 高一上·甘肅酒泉·期末）鐵路總公司關于乘車行李規定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、
寬、高之和不超過 130cm，且體積不超過72000cm3 ，設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為 a，b，c（單
位：cm），這個規定用數學關系式可表示為（ ）
A． a + b + c <130且 abc < 72000 B． a + b + c >130且 abc > 72000
C． a + b + c 130且 abc 72000 D． a + b + c 130且 abc 72000
【答案】C
【分析】根據數量關系列不等式，“不超過”不等號為“小于等于”.
【詳解】由長、寬、高之和不超過 130cm 得 a + b + c 130，由體積不超過72000cm3 得 abc 72000 .
故選：C.
9．（2024 高一下·江西撫州·階段練習）若0 < b < a，下列不等式中不一定成立的是（　　）
1 1 1 1
A． > B． < C．
a b b a > b
D．-a < -b < 0
- a b
【答案】A
【分析】利用作差、作商法即可判斷 A、B 的正誤，由不等式的性質可判斷 C、D 的正誤.
1 1 b - (a - b) 2b - a
【詳解】A： - = = ，又0 < b < a，知：b(a - b) > 0a b b b(a b) b(a b) ，但 2b - a 無法確定符號，錯誤；- - -
1 1 b 1 1 1B： = < ，0 < b < a，故 < ，正確；
a b a a b
C：由0 < b < a，知 ( a )2 > ( b)2 > 0 ，即 a > b ，正確；
D：由0 < b < a，有-a < -b < 0，正確；
故選：A
10．（2024 高一上·貴州畢節·階段練習）某學生月考數學成績 x 不低于 100 分，英語成績 y 和語文成績 z
的總成績高于 200 分且低于 240 分，用不等式組表示為（ ）
ì x >100 ì x 100
A． í200 y z 240 B． < + <
í
200 y + z 240
ì x >100 ì x 100
C． í200 y z 240 D． +
í
200 < y + z < 240
【答案】D
【分析】利用題設條件即得.
【詳解】數學成績 x 不低于 100 分表示為 x 100，英語成績 y 和語文成績 z 的總成績高于 200 分且低于 240
x 100
分表示為 200 < y + z < 240
ì
，即 í
200 < y + z < 240
.
故選：D.
11．（2024 高一·全國·課后作業）完成一項裝修工程，請木工需付工資每人 50 元，請瓦工需付工資每人 40
元，現有工人工資預算 2000 元，設木工 人，瓦工 y 人，則請工人滿足的關系式是（ ）
A．5x + 4y < 200 B．5x + 4y 200
C．5x + 4y = 200 D．5x + 4y 200
【答案】D
【分析】根據工資預算以及工人工資列出不等式.
【詳解】依題意，請工人滿足的關系式是50x + 40y 2000，
即5x + 4y 200 .
故選：D
12．（2024 高三上·福建福州·開學考試）鐵路總公司關于乘車行李規定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部
尺寸長、寬、高之和不超過160cm，設攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為 a、b 、 c（單位： cm），這個
規定用數學關系式可表示為（ ）
A． a + b + c > 160 B． a + b + c < 160 C． a + b + c 160 D． a + b + c 160
【答案】D
【分析】根據題意列出不等式即可．
【詳解】由題意可知 a + b + c 160．
故選：D．
13．（2024 高一上·河北唐山·階段練習）如果 a,b,c, d R,ab 0，則下列命題為真命題的是（ ）
1 1
A．若 a > b，則 < B．若 a > b，則 ac2 > bc2
a b
1 1
C．若a > b,c > d ，則 ac > bd D．若 a > b，則 >
ab2 a2b
【答案】D
【分析】對于 A，B，C 取反例即可判斷結果，根據作差法即可判斷 D.
【詳解】對 A，取 a =1,b = -1
1 1
，則 > ，故 A 錯；
a b
對 B，取 c = 0，則 ac2 = bc2 ，故 B 錯；
對 C，取 a = 2,b = -1,c = 0,d = -2 ，則 ac = 0,bd = 2，故 C 錯；
1 1 a - b a - b
對 D，由于 a > b，所以 2 - 2 = 2 2 ， ∵ > ，且 ab 0，則 > 0，ab a b a b a2b2
1 1
則 2 > 2 ，故 D 正確；ab a b
故選：D.
14．（2.1 等式與不等式的性質（精練）-《一隅三反》）已知 a,b R ，則“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】通過反例可說明充分性和必要性均不成立，由此可得結論.
【詳解】當 a = 0，b = -2時，滿足 a > b，此時 a2 < b2 ；
當 a = -2 ，b = 0時，滿足 a2 > b2 ，此時 a < b ；
\a > b a2 > b2， a2 > b2 a > b ，
\“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
15．（2024 高三上·廣西欽州·階段練習）已知 a > 0，b > 0，設m = a - 2 b + 2, n = 2 a - b ，則（ ）
A．m n B．m > n C．m n D．m < n
【答案】A
【分析】利用作差法判斷m- n的正負即可得出結果.
2 2
【詳解】由題意可知，m - n = a - 2 b + 2 - 2 a + b = a -1 + b -1 0
當且僅當 a = b =1時，等號成立；
即m n .
故選：A
16．（2024 高三·全國·專題練習）已知 a>0，b>0，M＝ a + b ，N＝ a + b ，則 M 與 N 的大小關系為（　　）
A．M>N B．M【答案】B
【分析】平方后作差比較大小即可.
M 2 - N 2【詳解】 = a + b - a + b + 2 ab = -2 ab < 0，
∴M故選：B.
17．（2024 高一上·陜西咸陽·期末）已知 a,b,c,d ，為實數，滿足 a > b，且 c > d ，則下列不等式一定成立的
是（ ）
1 1
A． ac bd a
1
> B． + ≥ 2 C． a - d > b - c D． 【答案】C
【分析】根據題意，利用不等式的基本性質，以及作差比較和特殊值法，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于 A 中，例如 a = -1,b = -2,c = -3,d = -4 ，此時滿足 a > b且 c > d ，此時 ac < bd ，所以 A 不正確；
1 1 1
對于 B 中，當 a < 0時，可得 a + = -[(-a) + ] -2 ，當且僅當-a = 時，即 a = -1時，等號成立，所以
a -a -a
B 不正確；
對于 C 中，由 a > b且 c > d ，可得 a + c > b + d ，所以 a - d > b - c ，所以 C 正確；
1 1 b - a
對于 D 中，由 - = ，因為 a > b，可得b - a < 0，但 ab的符號不確定，所以 D 不正確.
a b ab
故選：C.
18．（2024 高一上·安徽蚌埠·期末）已知0 < x <1，則下列不等式成立的是（ ）
x2 1 x 1 x2 x x 1 1A． > > B． > > C． > > x2 D． > x > x2
x x x x
【答案】D
【分析】利用作差法判斷即可.
1 1- x2 1- x 1+ x 1
【詳解】因為0 < x <1，則1- x > 0，所以 - x = = > 0 ，所以 > x，
x x x x
x - x2又 = x 1- x > 0，所以 x > x2 ，
1 2
所以 > x > x .
x
故選：D
19．（2023-2024 學年河南省濮陽市高二上學期期末考試數學（理）試卷（帶解析））若 a > b > 0,c < d < 0,則
一定有
a b a b a b a b
A． > B． < C． > D． <
c d c d d c d c
【答案】D
【詳解】本題主要考查不等關系．已知 a > b > 0,c < d < 0
1 1 a b a b
,所以- > - > 0 ，所以- > - ，故 < ．故
d c d c d c
選D
20．（2024·江西撫州·模擬預測）2021 年是中國共產黨成立 100 周年，為了慶祝建黨 100 周年，學校計劃購
買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅 黃 藍 綠四種顏色，紅色多于藍色，藍色多于綠色，綠
色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（ ）個
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】B
【分析】分別設紅 黃 藍 綠各有 a，b ， c， d 個，根據題意列出不等式可分別求出 a,b,c,d 范圍，即可求
出.
【詳解】分別設紅 黃 藍 綠各有 a，b ， c， d 個，且 a，b ， c， d 為正整數，
則由題意得 a c +1， c d +1， d b +1， 2b a +1，可得b 4，
所以 ≥ 7， c 6， d 5，即至少有 4 + 5 + 6 + 7 = 22個.
故選：B.
21．（2024 高一下·廣西·期中）下列命題為真命題的是（ ）
A．若 a < b < 0，則 2 < 2 B．若 a < b < 0，則 a2 < ab < b2
c c
C．若 a > b， c > d ，則 ac > bd D．若 a > b > c > 0，則 <
a b
【答案】D
【分析】根據不等式的性質逐一判斷即可.
【詳解】對于 A：當 c = 0時， ac2 = bc2 = 0，A 錯誤；
對于 B：當 a < b < 0時， a2 > ab > b2，B 錯誤；
對于 C：取 a = 2,b =1,c = -2,d = -3滿足 a > b， c > d ，而 ac = -4,bd = -3，此時 ac < bd ，C 錯誤；
a 1 b 1 1 1 c c對于 D：當 a > b > 0時，則 ab > 0，所以 × > × ，即 < ，又 c > 0，所以 < ，D 正確.
ab ab a b a b
故選：D.
22．（2024 高一·全國·課后作業）如圖，在一個面積為 200 m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉
庫的長 a 大于寬 b 的 4 倍，則表示上述的不等關系正確的是（ ）
A． a > 4b B． (a + 4)(b + 4) = 200
ìa > 4b ìa > 4b
C． í
(a + 4)(b + 4) = 200
D． í
4ab = 200
【答案】C
【分析】由已知條件及矩形面積公式即可求解.
【詳解】解：由題意知 a > 4b，根據面積公式可以得到 (a + 4)(b + 4) = 200 .
故選:C．
23．（2024 高三下·上海寶山·階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．若 a > b ，則 a2 > b2 B．若 > | |，則 a2 > b2
C．若 a > b，則 a2 > b2 D．若 a2 > b2 ，則 a > b
【答案】B
【分析】根據不等式的性質，結合特殊值法進行判斷即可.
【詳解】取 a = 2,b = -2，
則 a > b ，但是 a2 = b2 ，A 錯誤， a > b，但是 a2 = b2 ，C 錯誤，
取 a = -3,b = 2，則 a2 > b2 ，但是 a < b ，D 錯誤，
2
由 > | |，可得 a > b 0，所以 a2 > b 0，
故 a2 > b2 ，B 正確，
故選：B.
24．（2024 高一·全國·課后作業）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度
為每秒 4 米，距離爆破點 100 米以外（含 100 米）為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區，導
火索的長度 x（單位：厘米）應滿足的不等式為（ ）
A． 4
x
<100 B． 4
x x x
100 C． 4 100 D． 4 >100
0.5 0.5 0.5 0.5
【答案】B
【分析】計算出導火索燃燒的時間也即人跑到 100 米外安全區至少需要的時間，列出不等關系，即可求得
答案.
x
【詳解】由題意知導火索的長度 x（單位：厘米），故導火索燃燒的時間為 秒，
0.5
x
人在此時間內跑的路程為 4 ÷米，由題意可得 4
x
100
0.5 ．è 0.5
故選：B．
25．（2024 高一上·江蘇鹽城·期中）設 p = 2 ，Q = 7 - 3 ，R = 6 - 2 ，則 P，Q，R 的大小順序是
（ ）
A．P > Q > R B．P > R > Q
C．R > P > Q D．Q > R > P
【答案】B
【分析】對P, R作差可求出P > R ，再對R,Q 作差可求出 R > Q ，即可得出答案.
【詳解】解：QP - R = 2 - ( 6 - 2) = 2 2 - 6 = 8 - 6 > 0，
\P > R，
R - Q = 6 - 2 - ( 7 - 3) = ( 6 + 3) - ( 7 + 2) ，
而 ( 6 + 3)2 = 9 + 2 18 ， ( 7 + 2)2 = 9 + 2 14 ，
而18 > 14，
\ 6 + 3 > 7 + 2 ，即 R > Q ，
綜上，P > R > Q .
故選：B.
1 1
26．（2024 高三上·江蘇鹽城·期中）若 a,b R 且 ab 0 .則 2 > 2 成立的一個充分非必要條件是（ ）a b
A． a > b > 0 B．b > a
C．b < a < 0 D． ab a - b < 0
【答案】C
【分析】根據充分非必要條件的定義，依次排除選項.
【詳解】A.當 a > b > 0時， a2 1 1> b2 ，則 2 < A 2，故 錯誤；
B.當b =1, a = -2
1 1
時，不滿足 2 > 2 ，故 B 錯誤；a b
1 1 1 1
C.當b < a < 0時，0 < a2 < b2 2，則 2 > 2 ，反過來， 2 > 2 時，a < b
2 a < b ，推不出b < a < 0，所以
a b a b
1 1
b < a < 0是 2 > 2 成立的一個充分非必要條件，故 C 正確；a b
a = 2,b = -1 1 1D.當 時，不滿足 > ，故 D 錯誤.
a2 b2
故選：C
27．（2024·北京海淀·一模）劉老師沿著某公園的環形道（周長大于1km）按逆時針方向跑步，他從起點出
發、并用軟件記錄了運動軌跡，他每跑1km，軟件會在運動軌跡上標注出相應的里程數．已知劉老師共跑
了11km，恰好回到起點，前5km的記錄數據如圖所示，則劉老師總共跑的圈數為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】利用環形道的周長與里程數的關系建立不等關系求出周長的范圍，再結合跑回原點的長度建立方
程，即可求解.
【詳解】設公園的環形道的周長為 t，劉老師總共跑的圈數為 x ，（ x N*），
ì1< t < 2

2t < 3 4 3
則由題意 í ，所以 < t < ，
3t > 4 3 2
4t > 5
2 1 3 22 11 33
所以 < < ，因為 xt =11，所以 < x = < ，又 x N*，所以 x = 8，3 t 4 3 t 4
即劉老師總共跑的圈數為 8.
故選：B
28．（2024 高三上·上海·階段練習）已知集合 S = { x, y, z | x, y, z Z，且 x < y < z, y < z < x, z < x < y 恰有一
個成立}；若 x, y, z S 且 z, w, x S ，則下列選項正確的是（ ）
A． y, z, w S , x, y, w S
B． y, z, w S , x, y, w S
C． y, z, w S , x, y, w S
D． y, z, w S , x, y, w S
【答案】A
【分析】由集合新定義，結合不等式性質討論w < x < y < z 、 x < y < z < w、 y < z < w < x、 z < w < x < y，
進而判斷元素與集合關系.
【詳解】 x, y, z S ，則 x < y < z或 y < z < x或 z < x < y，
z, w, x S ，則 z < w < x或w < x < z或 x < z < w，
當w < x < y < z 時，則w < y < z ，w < x < y ，此時 y, z, w S , x, y, w S ；
當 x < y < z < w時，則 y < z < w， x < y < w ，此時 y, z, w S , x, y, w S ；
當 y < z < w < x時，則 y < z < w， y < w < x ，此時 y, z, w S , x, y, w S ；
當 z < w < x < y時，則 z < w < y，w < x < y ，此時 y, z, w S , x, y, w S ；
綜上， y, z, w S , x, y, w S .
故選：A
29．（2024 高一上·全國·課后作業）下列說法中，錯誤的是（ ）
A．若 a > b > 0,c < d < 0
a b a b
，則一定有 > B．若 2 > 2 ，則 a > bc d c c
C．若b > a > 0, m > 0
a + m a
，則 > D．若 a > b,c < d ，則 a - c > b - d
b + m b
【答案】A
【分析】對 A 舉反例即可判斷；對 B 和 D，利用不等式基本性質即可判斷；對 C，利用作差法即可判斷.
【詳解】對于 A，若 a = 2,b =1,c = -2,d = -1
a b
，則 = ，故 A 錯誤.
c d
a b
對于 B，由 2 > ，可知 2 ，所以 2 > 0，所以 a > b .故 B 正確.c c2 c 0
a + m a ab + bm - ab - am m(b - a)
對于 C， - = = b > a > 0, m > 0b + m b b × (b + m) b × (b + m) ，因為 ，
m(b - a)
所以 > 0
a + m a
b × (b + m) ，所以 > .故 C 正確.b + m b
對于 D，因為 c < d ，所以-c > -d .又 a > b，所以 a - c > b - d .故 D 正確.
故選：A.
30．（2024 高二上·遼寧沈陽·期中）已知 2 < a + b < 5,0 < a - b <1，某同學求出了如下結論：①1 < a < 3；
1 5
②1 < b < 2 ；③ < b < ；④ -4 < a - 2b < 2；⑤ -3 < a - 2b <1；⑥1< 2a - b < 4；，則下列判斷中正確的
2 2
是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥
【答案】D
1 1
【詳解】a = (a + b) + (a - b) , 2 < a + b < 5,1
1
< (a b) 5 1 1+ < , 0 < a - b <1,0 < (a - b) < ,則1< a < 3，①正確；
2 2 2 2 2 2
1
b= (a + b)
1 (a b) 1 1- - ， < (a
5 1 1
+ b) < ， 0 < (a - b) < ，
2 2 2 2 2 2
1 1
- < - (a - b) 1 5< 0，則 < b < ，③正確；
2 2 2 2
a 2b 1- = - (a b) 3 5 1 3 3+ + (a - b) ，- < - (a+b)< -1，0 < (a - b) < ，
2 2 2 2 2 2
5 a 2b 1則- < - < ，②④⑤錯誤，
2 2
2a - b 1= (a + b) 3+ (a 1 5 3 3- b)，1< (a + b) < ，0 < (a - b) < ，則1< 2a - b < 4
2 2 2 2 2 2
⑥正確；判斷中正確的是①③⑥，選 D.
二、多選題
31．（2024 高二下·福建三明·期中）若 a > b > 0， c R ，則下列結論正確的有（ ）
A． a - b > 0 B． a2 > b2
1 1
C． ac > bc D． <
a b
【答案】ABD
【分析】利用不等式的基本性質可判斷 ABC 選項；利用作差法可判斷 D 選項.
【詳解】因為 a > b > 0， c R ，
對于 A 選項， a - b > 0，A 對；
對于 B 選項， a2 > b2 ，B 對；
對于 C 選項，當 c < 0時， < ，C 錯；
1 1 b - a 1 1
對于 D 選項， - = < 0，則 < ，D 對.
a b ab a b
故選：ABD.
32．（2024 高一上·四川廣安·期末）下列命題為真命題的是（ ）
A．若 ac2 > bc2 ，則 a > b B．若 a > b， c > d ，則 a + c > b + d
c d ac bd b a 0 c 0 a a + cC．若 a > b， > ，則 > D．若 > > ， > ，則 >
b b + c
【答案】AB
【分析】對于 A、D 項運用作差法判斷，對于 B 項由不等式性質可判斷，對于 C 項舉反例可判斷.
【詳解】對于 A 項，因為 ac2 - bc2 = c2 (a - b) > 0，所以 2 > 0且 a - b > 0，即：c 0且 a > b，故 A 項正確；
對于 B 項，運用不等式的性質可知，若 a > b， c > d ，則 a + c > b + d 正確，故 B 項正確；
對于 C 項，當 a = -2 ，b = -3， c = 2， = 1時，滿足 a > b， c > d ，但不滿足 ac > bd ，故 C 項錯誤；
a a + c a(b + c) - b(a + c) (a - b)c
對于 D 項，因為 - = =b b + c b(b + c) b(b ，+ c)
又因為b > a > 0， c > 0，所以 a - b < 0，b + c > 0，
(a - b)c
< 0 a a + c所以 b(b c) ，即：
< ，故 D 項錯誤.
+ b b + c
故選：AB.
33．（2024 高一上·江蘇鎮江·期末）對于實數 a，b ， c，正確的命題是（ ）
a a + bA．若 a > b，則 > > b B．若 a > b > 0，則
2 a > ab > b
1 1
> a 0 b 0 a b 0 c 0 a a + cC．若 ，則 > ， < D．若 > > ， > ，則 >
a b b b + c
【答案】ABD
【分析】利用作差法，作商法和特值法依次判斷選項即可.
a + b a - b a + b a - b
【詳解】對選項 A，因為 a > b，所以 a - = > 0， - b = > 0，
2 2 2 2
a a + b所以 > > b ，故 A 正確；
2
對選項 B
a a
， a > b > 0， = >1，所以 a > ab ，
ab b
ab a
因為 = >1，所以 ab > b ，即 a > ab > b，故 B 正確；
b b
1 1
對選項 C，令 a = 2，b = 3，滿足 > ，不滿足 a > 0，b < 0 .
a b
對選項 D，因為 a > b > 0， c > 0，
a a + c a b + c - b a + c c a - b
所以 - = = > 0b b c b b c b b c ，故 D 正確.+ + +
故選：ABD
1 1
34．（2024 高一上·山東威海·期末）已知 a,b R ，則下列選項中能使 > 成立的是（
a b ）
A．b > a > 0 B． a > b > 0 C．a > 0 > b D．b < a < 0
【答案】AC
【分析】利用不等式的性質逐一判斷即可.
b a 1 1
【詳解】對于 A：Qb > a > 0，\ba > 0，\ > ，\ > ，故 A 正確；
ab ab a b
a b 1 1
對于 B：Qa > b > 0，\ba > 0，\ > ，\ > ，故 B 錯誤；
ab ab b a
1 1
對于 C：Qa > 0 > b，\ > 0 > ，故 C 正確；
a b
b a 1 1
對于 D：Q b < a < 0，\ba > 0，\ < ，\ > ，故 D 錯誤；
ab ab b a
故選：AC.
35．（2024 高一上·福建三明·期末）已知 a > b >1， c < 0，則下列四個不等式中，一定成立的是（ ）
c c
A． < B． < C． a b - c > b a - c D． a > b - c
a b
【答案】BC
【分析】根據不等式基本性質逐個判斷即可.
1 1 c c
【詳解】對 A， a > b >1，則 < ，則 > ，A 錯；
a b a b
對 B， a > b >1，則 < ，B 對；
對 C， a > b >1，則-a < -b ，則-ac > -bc，則 ab - ac > ab - bc，則 a b - c > b a - c ，C 對；
對 D， a > b >1，則 a - c > b - c ，又 c < 0，則 a - c > a，故 a 與b - c的大小關系不確定，D 錯.
故選：BC.
36．（2024·全國·模擬預測）若m > n > 0 > p，m + p 0，則（ ）．
p p
A． > B．m2 - p2 > 0
m n
1 1
C． >m + n m + p D．m
2 - n > n2 - m
【答案】AD
【分析】由不等式的性質可判斷 A；利用特值法可判斷 B，C；利用作差法可判斷 D.
1 1
【詳解】對于 A：由題意可得 < ，因為 p < 0
p p
，所以 > ，故 A 正確；
m n m n
對于 B：當m = 2 ， p = -3時，滿足已知條件，但m2 - p2 < 0，故 B 錯誤；
1 1
對于 C：當m = 3， n = 2， p = -1時，滿足已知條件，但 D m2 - n - (n2 - m) = m2對于 ： - n2 + m - n = m - n m + n +1 ，因為m > n > 0 ，可得 m - n m + n +1 > 0，
所以m2 - n > n2 - m，故 D 正確．
故選：AD.
37．（2024 高一上·廣東梅州·期末）下列結論正確的是（ ）
A．若 a > b，則 a2 > b2 B．若 2 < 2，則 a < b
C．若 a > b， c > d ，則 a + c > b + d D．若 a > b， c > d ，則 ac > bd
【答案】BC
【分析】根據不等式的性質，結合特殊值判斷.
【詳解】A. 取特殊值， a = -1，b = -2，顯然不滿足結論；
B. 由 2 < 2可知， 2 > 0，由不等式性質可得 a < b ，結論正確；
C. 由同向不等式的性質知， a > b， c > d 可推出 a + c > b + d ，結論正確；
D. 取 a = 3,b = 0,c = -1,d = -2，滿足條件，顯然 ac > bd 不成立，結論錯誤.
故選：BC.
38．（2024 高三·全國·專題練習）若 a > 0 > b > -a ， c < d < 0，則下列結論正確的是（　　）
a b
A． ad > bc B． + < 0
d c
C． a - c > b - d D． a d - c > b d - c
【答案】BCD
【分析】利用不等式的基本性質逐項判斷，可得出合適的選項.
【詳解】對于 A 選項，因為a > 0 > b， c < d < 0，則 ad < 0 ，bc > 0，所以， ad < bc，A 錯；
對于 B 選項，因為0 > > ，所以 a > -b > 0 ，
因為 c < d < 0，所以-c > -d > 0，所以-ac > -b × -d = bd ，則 ac + bd < 0 ， cd > 0，
a b ac + bd
所以， + = < 0，B 對；
d c cd
對于 C 選項，因為 c < d ，則-c > -d ，因為 a > b，則 a - c > b - d ，C 對；
對于 D 選項，因為a > 0 > b， d - c > 0，所以， a d - c > b d - c ，D 對.
故選：BCD.
39．（2024 高一上·廣東湛江·期末）已知實數 a，b ， c滿足 c < b < a ， ac < 0，那么下列選項中錯誤的是
（　　）
A． ac a - c > 0 B． cb2 < ca2
C． ab > ac D． c b - a < 0
【答案】ABD
【分析】由已知可得 a > 0,c < 0，然后利用不等式的性質逐個分析判斷即可.
【詳解】因為實數 a，b ， c滿足 c < b < a ， ac < 0，所以 a > 0， c < 0 .
對于 A：因為 a > c ，所以 a - c > 0，因為 ac < 0，所以 ac a - c < 0，所以 A 錯誤；
對于 B，若 a > b > 0，則 a2 > b2 ，因為 c < 0，所以 ca2 < cb2，所以 B 錯誤；
對于 C，因為b > c， a > 0，所以 ab > ac ，所以 C 正確；
對于 D，因為b < a ，所以b - a < 0，因為 c < 0，所以 c b - a > 0，所以 D 錯誤.
故選：ABD
40．（2024 高三下·河北衡水·階段練習）設 a,b為正實數，則下列命題正確的是（ ）
2 2 1 1A．若 a - b =1，則 a - b <1 B．若 - =1，則 a - b <1b a
C．若 a > b +1，則 a2 > b2 +1 D．若a 1，b 1，則| a - b | |1- ab |
【答案】AC
【分析】根據已知條件及不等式的性質逐一判斷選項即可.
【詳解】對于 A，由 a2 - b2 =1及 a,b為正實數，
可知 a - b
1
= ， 2
a b a = b
2 +1 >1，則 a >1，
+
由 a >1,b > 0
1
，可得 a + b >1，所以 a - b = <1，故 A 正確；
a + b
b 1 3= =
對于 B，若 a = 3，則 1 1+ 4 ，所以 a - b >1，故 B 錯誤；
a
對于 C，若 a > b +1，則 a2 > b +1 2 > b2 +1，故 C 正確；
對于 D，若 a = b 1，則| a - b |= 0 |1- ab |，故 D 錯誤.
故選：AC
41．（2024 高一上·江蘇常州·階段練習）生活經驗告訴我們，a 克糖水中有 b 克糖 (a > 0,b > 0,且 a > b) ，若再
添加 c 克糖 (c > 0)
b + c b
后，糖水會更甜，于是得出一個不等式： > .趣稱之為“糖水不等式”．根據生活經
a + c a
驗和不等式的性質判斷下列命題一定正確的是（ ）
b
A．若 a > b > 0 m > 0 + ， ，則 + 與 的大小關系隨 m 的變化而變化a
B + ．若b > a > 0，m > 0，則 >
+
C．若 a > b > 0， c > d > 0 b + d b + c，則 D．若 a > 0，b > 0 a b a b，則一定有 + < +1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b
【答案】BCD
【分析】由作差法可判斷 ABC，由不等式的性質可判斷 D
【詳解】對于 A，Qa > b > 0，m > 0，
b + m b m(a - b)
\ - = > 0 b + m b
a m a a(a m) ，
\ > ，故 A 錯誤，
+ + a + m a
對于 B，Qb > a > 0，m > 0，
b + m b m(a - b)
\ - = < 0 b b + m，\ >a m a a(a ，故 B 正確，+ + m) a a + m
對于 C，Qa > b > 0， c > b > 0，
\a - b > 0， c - d > 0，
b + c b + d (b + c)(a + d ) - (b + d )(a + c) (a - b)(c - d )
\ - = = > 0
a + c a + d (a ，+ c)(a + d ) (a + c)(a + d )
b + d b + c
\ < ，故 C 正確，
a + d a + c
對于 D，Q0 <1+ a <1+ a + b，0 <1+ b <1+ a + b ，
a a b b
\ > ， > ，
1+ a 1+ a + b 1+ b 1+ a + b
a b a b
\ + > + ，故 D 正確，
1+ a 1+ b 1+ a + b 1+ a + b
故選：BCD
42．（2024 高三·北京·強基計劃）設 a，b，c 均為大于零的實數，若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有實根，則
（ ）
A．max{a,b,c}
1 4
(a + b + c) B．max{a,b,c} (a + b + c)
2 9
min{a,b,c} 1C． (a + b + c) D．min{a,b,c}
1
(a + b + c)
4 3
【答案】BCD
【分析】根據對稱性可設 a c，利用不等式放縮及雙勾函數可判斷各項正誤.
【詳解】因為 a，b，c 均為大于零的實數，
故方程 ax2
2
+ bx + c = 0與 a + bx-1 + c x-1 = 0的根互為倒數.
故不妨設 a c，則b2 4ac 4c2 ，
于是b 2c，因此a + b + c a + 2c + c 4c = 4 min{a,b,c}，
故選項 CD 成立．
情形一 若 a b c，則b2 4ac 4bc，
1 5 9 9
于是b 4c，從而a + b + c a + b + b = a + b a = max{a,b,c}．
4 4 4 4
情形二 若b 4a c，則a + b c 9 9+ b = max{a,b,c}．
4 4
情形三 若4a > b > a c ，
2 b
注意a b+ 是關于 a 的對勾函數，當 < a < b時，上確界在 a 取區間端點時取到．
4a 4
b2 5
故 a + < b，
4a 4
b2a b c a b b 5 b 9則 + + + + < + = max{a,b,c}．
4a 4 4
綜上所述，選項 B 成立．
故選：BCD.
43．（2024 高一上·四川涼山·期末）下列四個命題中，正確的是（ ）
1 1
A．若 ac2 bc2，則 a b B．若 a>b，且 > ，則 ab<0a b
b + c b a b
C．若 a>b>0，c>0，則 > D．若 c > a > b > 0，則 >
a + c a c - a c - b
【答案】BCD
【分析】根據不等式的性質判斷各選項．
【詳解】選項 A，例如 a = -2 ，b =1， c = 0時， ac2 bc2成立，但 a b 不成立，A 錯誤；
1 1 1 1 b - a
選項 B， a > b， > - = > 0，而b - a < 0，因此 ab < 0 ，B 正確；
a b a b ab
選項 C， a > b > 0,c > 0， a - b > 0， a + c > 0，
b + c b a b + c - b a + c c a - b b + c b
則 - = = > 0a + c a a a + c a a c ，即 > ，C 正確；+ a + c a
選項 D， c > a > b > 0，則 c - a > 0,c - b > 0,a - b > 0 ，
a b a c - b - b c - a c a - b
- = = > 0 a b>
c a c b c a c b c a c b ，則 ，D 正確．- - - - - - c - a c - b
故選：BCD．
44．（2024 高三·全國·專題練習）下列是假命題的是（　　）
A．若 ac2 bc2，則 a b
c c
B．若 > ，則 a < b
a b
C．若 a + b > 0， c - b > 0，則 a > c
a + m a
D．若 a > 0，b > 0，m > 0，且 a < b ，則 >
b + m b
【答案】ABC
a + m a b - a m
【分析】舉反例得到 ABC 錯誤，利用作差法計算 - = > 0b + m b b + m b 得到 D 正確，得到答案.
【詳解】對選項 A：當 c = 0， a = -1，b = 2 時滿足 ac2 bc2，但 a < b ，錯誤；
c c
對選項 B：當 = 1， a = -2 ，b = -3時，滿足 > ，但 a > b，錯誤；
a b
3
對選項 C：當 a = -1，b = ， c = 2時滿足 a + b > 0， c - b > 0，但 a < c ，錯誤；
2
a + m a a + m b - a b + m b - a m a + m a
對選項 D： - = = > 0 >b + m b b + m b b m b ，所以 ，正確．+ b + m b
故選：ABC
三、填空題
45．（2024 高一·全國·課后作業）某同學拿 50 元錢買紀念郵票，票面 8 角的每套 5 張，票面 2 元的每套 4 張，
如果每種郵票至少買兩套，那么買票面 8 角的 x 套與票面 2 元的 y 套用不等式組可表示為 .
ìx 2, x N+

【答案】 íy 2, y N+

0.8 5x + 2 4y 50
【分析】根據不等關系列出不等式組.
【詳解】每種郵票至少買兩套，則有 x 2, x N+ , y 2, y N+，又因為 50 元錢買紀念郵票，
所以0.8 5x + 2 4y 50，
ìx 2, x N+

故 íy 2, y N+

0.8 5x + 2 4y 50
46．（2024 高三·全國·專題練習）若1< a < 3 , -4 < b < 2 ,則 2a + b 的取值范圍是 .
【答案】 2,10
【分析】
根據絕對值定義求 b 范圍,再根據不等式性質求出結果.
【詳解】
因為-4 < b < 2 ,
所以0 b < 4 ,
又1< a < 3 ,
所以 2 < 2a < 6 ,
所以 2 < 2a + b <10 .
故答案為: 2,10 .
47．（2024 高一上·云南怒江·期末）已知1 < a < 3，-2 < b <1，則a + 2b的取值范圍是 .
【答案】 -3,5
【分析】根據不等式的性質可得.
【詳解】解：∵ -2 < b <1，∴ -4 < 2b < 2，
∵1 < a < 3，∴ -3 < a + 2b < 5 .
故答案為： -3,5 .
48．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知1 a + b 4，-1 a - b 2 ，則3a + 2b的取值范圍是 ．
【答案】 2,11
5 1
【分析】利用待定系數法可得3a + 2b = a + b + a - b ，利用不等式的基本性質可求得3a + 2b的取值范
2 2
圍.
【詳解】設3a + 2b = x a + b + y a - b = x + y a + x - y b ，
ì 5
ìx + y = 3 x = 2
所以 íx y 2 ，解得 ， - =
í
y 1=
2
5 1
\3a + 2b = a + b + a - b
2 2
5 5 1 1
因為1 a + b 4，-1 a - b 2 ，則 (a + b) 10 ，- a - b 1，
2 2 2 2
因此， 2 3a + 2b 11 .
故答案為： 2,11 .
49．（2024 高三·全國·專題練習）設 2 < a < 7 ，1 < b < 2 ，則 a + 3b的取值范圍是 ，ab的取值范圍是 .
【答案】 (5,13) (2,14)
【分析】利用不等式的性質求目標式的范圍即可.
【詳解】由3 < 3b < 6 ， 2 < a < 7 ，同向不等式的可加性，得5 < a + 3b <13；
由 2 < a < 7 ，1 < b < 2 ，同向同正不等式的可乘性，得 2 < ab <14；
故答案為： (5,13), (2,14)
50．（江蘇省揚州市儀征中學 2023-2024 學年高三下學期 3 月學情測試數學試題）若 -1 < a + b < 3,2 < a - b < 4 ，
則 2a + 3b的取值范圍為 ．
9
【答案】 - ,
13
è 2 2 ÷
【分析】設 2a + 3b = x(a + b) + y(a - b) = (x + y)a + (x - y)b ，利用系數相等求得 x, y的值，結合不等式的基本
性質，即可求解.
【詳解】由題意，設 2a + 3b = x(a + b) + y(a - b) = (x + y)a + (x - y)b ，
ìx + y = 2
x 5 1則 í ，解得 = , y = -x y 3 ， - = 2 2
因為 -1 < a + b < 3,2 < a - b < 4 ，
5 5 (a b) 15 1可得- < + < , -2 < - (a - b) < -1
2 2 2 2
9 5
所以- < (a b)
1 (a b) 13 9 13+ - - < ，即 2a + 3b 的取值范圍是 - ,

÷ .2 2 2 2 è 2 2
9 13
故答案為： - , ÷ .
è 2 2
51．（2024 高一上·遼寧葫蘆島·期末）社會實踐活動是青年學生按照學校培養目標的要求，利用節假日等課
余時間參與社會政治、經濟、文化生活的教育活動.通過社會實踐活動，可以使學生豐富對國情的感性認識，
加深對社會、對人民群眾的了解，從而增強擁護和執行黨的基本路線的自覺性；可以使學生在接觸實際的
過程中鞏固和深化課堂知識，鍛煉和增強解決實際問題的能力.某學校要建立社會實踐活動小組，小組由學
生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：①男學生人數多于女學生人數；②女學生人數多于教師
人數；③教師人數的兩倍多于男學生人數.若男學生人數為7 ，則女學生人數的最小值為 ；若男學
生人數未知，則該小組人數的最小值為 .
【答案】 5 12
【分析】設男學生、女學生、教師的人數分別為 x 、 y 、 z ，可得出 z < y < x < 2z ，當 x = 7時，討論 z 的取
值，結合不等式的性質可求得 y 的最小值；當 x 的值未知時，討論 z 的取值，結合不等關系可求得 x + y + z
的最小值.
【詳解】設男學生、女學生、教師的人數分別為 x 、 y 、 z ，則 z < y < x < 2z .
ì7 > y > z
若 x = 7
7
，則 í2z 7 ，可得
< z < 7 ，則 z 4,5, 6 ，當 z = 4 時， y 取最小值5，
> 2
即男學生人數為7 ，則女學生人數的最小值為5；
若 x 的值未知，當 z =1時，則1= z < y < x <2，不滿足題意，
當 z = 2 時，則2 = z < y < x < 4，不合乎題意，
當 z = 3時，則3 = z < y < x < 6，此時 y = 4 ， x = 5，則 x + y + z =12，合乎題意.
故當男學生人數未知，則該小組人數的最小值為12 .
故答案為：5；12 .
x2 x
52．（2024 高二上·寧夏吳忠·期末）設 x，y 為實數，滿足3 xy2 8， 4 9，則 的最小值是 .
y y3
1
【答案】
2
n
x m x2
【解析】利用方程組形式，可得 = xy2 × ÷ ，求得m, n
x
3 后結合不等式性質即可求得 y3 的最小值.y è y
n
x 2 m x
2
【詳解】設 = xy ×
y3 y ֏
即 xy-3 = xm+2n × y 2m-n
ìm + 2n =1 ìm = -1
所以 í2m n 3，解得 - = -
í
n =1
x 2 -1 xy x
2
所以 3 = ×y ÷è y
2
因為3 xy2 8 4
x
， 9，
y
1
所以 -1xy28
1

3
1 2 -1 x2
由不等式性質可知 xy ×2 3è y ÷
ì x2
= 4
1 x 7 4
即 3
y
2 y3 ，當且僅當 í 時取等號，解得 5 5 . 2 -1 1
x = 2 , y = 2
xy = 8
x 1
綜上可知， y3 的最小值為 .2
1
故答案為： .
2
【點睛】本題考查了不等式的化簡變形應用，不等式性質求最值，關鍵是要求出兩個不等式間的關系，屬
于中檔題.
1
53．（2024 高一·安徽宣城·強基計劃）若關于 x 的不等式 a - 2 < 2a - x < 只有一個整數解 2，則實數 a的取
2
值范圍為 ．
3
【答案】 a 1
4
【分析】求出不等式的解后可得端點滿足的不等式組，從而可求參數的取值范圍.
【詳解】 a - 2 < 2a
1 1
- x < 的解為 2a - < x < a + 2 ，
2 2
ì1 2a 1 - < 2 3
因為不等式的整數解只有 2，故 í 2 ，故 a 1，
2 < a + 2 3
4
3
故答案為： a 1.
4
54．（2024 高三·全國·對口高考）已知 a，b，c，d 為實數，以下 6 個命題中，真命題的序號是 ．
①若 a > b，則 ac2 > bc2 ； ②若 ac2 > bc2 ，則 a > b；
③若0 a b
b b + x
< < ，則 2 > ab > b2；
1 1
⑤若 a < b < 0，則 < ； ⑥ 若 a < b < 0 ，則 >
a b
；
【答案】②④
【分析】利用特殊值法和不等式的基本性質一一判斷即可.
【詳解】對①，當 c = 0時， ac2 = bc2 ，故①不成立；
對②，若 ac2 > bc2 ，則 c2 0，即 2 > 0，則 a > b，故②成立；
對③，若 a =1,b = 2, x =1
b 2 b + x 3
b b + x
，則 = , =a a x 2 ，則
> ，故③不成立.
+ a a + x
對④，若 a < b < 0，則a2 > ab 且 > 2，故 a2 > ab > b2，故④成立；
對⑤，若 a < b < 0，則 ab > 0
1 1
，故 < ，即 > ，故⑤不成立， a b
對⑥，Qa < b 0,
a b b a
< \ >1, <1,\ < ，故⑥不成立，
b a a b
故②④為真命題.
故答案為：②④.
55．（2024 高二下·上海浦東新·期末）已知 x R ，定義： x 表示不小于 x 的最小整數，如： 2 = 2 ，

- 2 = -1， 2 = 2 ，若 2x × x = 5，則 x 的取值范圍是 .

【答案】 1,
5
è 4 ú
【分析】由已知得 2 < x
5
× x ，再利用 x 的定義分類討論可得其范圍，解不等式可得解.
2
【詳解】由 2x × x = 5，可得 4 < 2x × x 5，即 2 < x
5
× x ；
2
當 x =1 5時，即0 < x 1時， 2 < x 2 （舍去）；
當 x = 2 時，即1< x 2 1 x 5時， < ，滿足題意；4
當 x = 3 2 5時，即 2 < x 3時， < x （舍去）；
3 6
同理可知，當 x 0或 x 4時不合題意，
5
所以實數 x 的取值范圍是1 < x .
4
5
故答案為： 1,
è 4 ú
四、解答題
ì 1 a + b 3
56．（2024·廣東汕頭·一模）已知 a，b R ，且滿足 í ，則 4a + 2b1 a b 1 的取值范圍是？ - -
【答案】[2,10]
【分析】由4a + 2b = 3(a + b) + (a - b)，再結合同向不等式的可加性求解即可.
ìA + B = 4 ìA = 3
【詳解】設 4a + 2b = A a + b + B a - b ，則 í
A - B 2
，解得 íB 1，= =
所以4a + 2b = 3(a + b) + (a - b)，
又1 a + b 3，所以3 3(a + b) 9，
又-1 a - b 1，
所以3 -1 4a + 2b 9 + 1，
即 2 4a + 2b 10 .
故 4a + 2b的取值范圍為[2,10] .
57．（2024 高一·全國·專題練習）用比較法證明以下各題：
1 1 2
(1)已知 a > 0，b > 0．求證： + a b ab ．
b a
(2)已知 a > 0，b > 0．求證： + a + b ．
a b
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
2
1 1 2 1 1
【分析】（1）作差可得 + - =
a b ab
- ÷ ，由完全平方的性質可得；
è a b
b a
（2）作差變形可得 + - a - b = (b - a)
b - a
，可證不等式．
a b ab
【詳解】（1）證明：Qa > 0，b > 0，
1 1 2
\ + -
a b ab
2 2
1 2 1 1 1 = - +
è a
÷
a b
÷
è b
2
1 1
= - ÷ 0，
è a b
1 1 2
\ +
a b ab ；
（2）Qa > 0，b > 0，則b - a與 b - a 符號相同，且 ab > 0，
b a
\ + - a - b
a b
b a
= - a + - b
a b
b - a a - b
= +
a b
= b a 1 1 - - ÷
è a b
b a b - a= - 0，
ab
b a
\ + a + b .
a b
2
58．（2024 高一·全國·單元測試）（1）已知 x R ，比較 x2 +1 與 x4 + x2 +1的大小．
（2）已知 x <1，比較 x3 -1與2x2 - 2x的大小．
2
【答案】（1） x2 +1 x4 + x2 +1；（2） x3 -1< 2x2 - 2x
【分析】由作差法及因式分解比較大小即可
2
【詳解】（1） x2 +1 - x4 + x2 +1 = x4 + 2x2 +1 - x4 + x2 +1 = x2．
2
∵ x2 0 ，∴ x2 +1 - x4 + x2 2 2+1 0 ，即 x +1 x4 + x2 +1，當且僅當 x = 0時取等號．
1 2 3
（2 3 2 2 2

） x -1 - 2x - 2x = x -1 x + x +1 - 2x x -1 = x -1 x - x +1 = x -1 ê x - ÷ + ú ．
ê è 2 4ú
1 2
2
x <1 3
1 3
因為 ，所以 x -1< 0；又 x - ÷ + > 0 ，所以 x -1 ê x - ÷ + < 0，
è 2 4 ê è 2 4
ú
ú
所以 x3 -1< 2x2 - 2x．
2
59．（2024 高二下·廣東清遠·階段練習）已知 a > b > c，且 a + b + c = 0 b - ac，求證： < 3 ．
a
【答案】證明見解析
【分析】由條件推出 a > 0， c < 0，從而將問題轉化為 b2 - ac < 3a ，化簡驗證是否成立即可.
【詳解】因為 a > b > c，且 a + b + c = 0 ，所以 a > 0， c < 0，
要證明原不等式成立，只需證明 b2 - ac < 3a ，即證b2 - ac < 3a2 ，
從而只需證明 (a + c)2 - ac < 3a2 ，即 (a - c)(2a + c) > 0，
因為 a - c > 0， 2a + c = a + c + a = a - b > 0，
所以 (a - c)(2a + c) > 0成立，故原不等式成立．
60．（2024 高三·全國·對口高考）設實數 a，b ，c滿足① b + c = 6 - 4a + 3a2 ，② c - b = 4 - 4a + a2 ，試確定
a，b ， c的大小關系．
【答案】 c b > a ，當且僅當 a = 2時 c = b．
【分析】根據作差法，結合完全平方公式判斷大小.
【詳解】因 c - b = 4 - 4a + a2 = a - 2 2 0，
所以 c b，當且僅當 a = 2時，b = c，
2b = b + c - c - b = 6 - 4a + 3a2 - 4 - 4a + a2 = 2a2 + 2，
所以b = a2 +1，
2
b - a = a2 - a +1 = 1 3 a - ÷ + > 0，
è 2 4
所以b > a ，
綜上可知： c b > a ，當且僅當 a = 2時 c = b．
61．（2024 高一·全國·課后作業）比較下列各組數的大小 a b .
a 2+ b
（1） 與 1 1 ， (a > 0,b > 0)+ ；2 a b
（2） a4 - b4 4a3與 a - b .
a + b 2
>
【答案】（1） 2 1 1 2 a4 - b4 < 4a3 a - b+ ；（ ） .
a b
【解析】利用作差法求解即可.
2 2
a + b 2 a + b 2ab a + b - 4ab a - b
【詳解】（1） -2 1 1
= - = =
+ 2 a + b 2 a + b 2 a + b ，
a b
Q a > 0，b > 0且 a b，
\ a + b > 0， a - b 2 > 0 .
a - b\
2 a + b 2
>
> 0，即 2 1 1
2 a + b +
.
a b
（2 a4 - b4 - 4a3） a - b
= a - b a + b a2 + b2 - 4a3 a - b
= a - b a3 + a2b + ab2 + b3 - 4a3
= a - b a2b - a3 + ab2 - a3 + b3 - a3
= a - b a
2 b - a + a b - a b + a + b - a a2 + ab + b2
= - a - b 2 3a2 + 2ab + b2
= - a - b 2 2a
2 + a + b 2
Q 2a2 + a + b 2 0（當且僅當 a = b = 0時取等號），
又 a b，\ a - b 2 > 0 ， 2a2 + a + b 2 > 0 .
\ - a - b 2 2a2 + a + b 2 < 0
\ a4 - b4 < 4a3 a - b .
【點睛】本題主要考查了利用作差法比較大小，屬于較難題.
62．（2024 高一·上海·專題練習）已知 a,b,c, d (0,1)，試比較 abcd 與 a + b + c + d - 3的大小，并給出你的證
明．
【答案】 abcd > a + b + c + d - 3，證明見解析.
【分析】先證明 ab > a + b -1，然后用 ab， c分別替換 ab > a + b -1中的 a,b可證明
abc > a + b + c - 2，再用 abc， d 分別替換 ab > a + b -1中再利用已證的不等式放縮即可求證.
【詳解】 abcd > a + b + c + d - 3
證明如下：
因為 a,b (0,1) ，
所以 ab - a + b -1 = ab - a - b +1 = a -1 b -1 > 0，
即 ab > a + b -1
因為 a,b,c (0,1)，所以 ab 0,1 ，
所以 abc = ab × c > ab + c -1 > a + b -1+ c -1，
即 abc > a + b + c - 2，
因為 a,b,c, d (0,1)，所以 abc 0,1 ，
abc × d > abc + d -1 > a + b + c - 2 + d -1 = a + b + c + d - 3，
即證得 abcd > a + b + c + d - 3
【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是首先利用 a,b (0,1) ，證明 ab > a + b -1，通過類比和放縮即可
證明.
a b
63．（2024 高一·全國·課后作業）已知 a > 0，b > 0，試比較 a + b 與 + 的大小；b a
【答案】 a + b
a b
+ （當且僅當 a = b時取等號）
b a
a b
【分析】因為 a + b 與 + 都大于 0，故相除再和 1 比較大小即可，在變形過程中要用到立方和公式b a
以及基本不等式.
a b
+
【詳解】由題意 b a a a + b b x3 3= ，由立方和公式 + y = x + y x2 - xy + y2 ，
a + b ab a + b
可得分子 a a + b b = a 3 + 3b = a + b a - ab + b ，
a a + b b a + b a + b - ab a + b - ab
將其代入原式得 = =
ab a + b ，ab a + b ab
進一步對其分子利用基本不等式可得 a + b - ab 2 ab - ab = ab ，且等號成立當且僅當 a = b，
a + b - ab
將其代入原式得 1，
ab
a b a b綜上所述 + + （當且僅當 a = b時取等號）.
b a2.1 等式性質與不等式性質 5 題型分類
一、等式的基本性質
(1)如果 a＝b，那么 b＝a.
(2)如果 a＝b，b＝c，那么 a＝c.
(3)如果 a＝b，那么 a±c＝b±c.
(4)如果 a＝b，那么 ac＝bc
a b
(5)如果 a＝b，c≠0，那么 ＝ .
c c
二、不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 對稱性 a>b b2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
a > bü
ac>bc
c > 0
4 可乘性 c 的符號
a > bü
acc < 0
a > bü
5 同向可加性 a＋c>b＋d 同向c > d
a > b > 0ü
6 同向同正可乘性
c > d > 0
ac>bd 同向

7 可乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
【思考 1】若 a>b，c>d，那么 a＋c>b＋d 成立嗎？a－c>b－d 呢？
a＋c>b＋d 成立，a－c>b－d 不一定成立，但 a－d>b－c 成立.
【思考 2】若 a>b，c>d，那么 ac>bd 成立嗎？
不一定，但當 a>b>0，c>d>0 時，一定成立.
（一）
用不等式（組）表示不等關系
(1)數學學習中的能力之一就是抽象概括能力，即能用數學語言表示出實際問題中的數量關系，用不等式(組)
表示實際問題中的不等關系時:①要先讀懂題，設出未知量;②抓關鍵詞，找到不等關系;③用不等式表示不等
關系。思維要嚴密、規范.
(2)常見的文字語言與符號語言之間的轉換
大于，高于,超 小于，低于，少 大于等于，至少， 小于等于，至多，
文字語言
過 于 不低于 不超過
符號語言 > < ≥ ≤
(3)用不等式(組)表示不等關系的步驟
①審清題意，明確表示不等關系的關鍵詞語:至多、至少、大于等.
②適當的設未知數表示變量.
③用不等號表示關鍵詞語，并連接變量得不等式，此類問題的難點是如何正確地找出題中的隱性不等關系，
如由變量的實際意義限制的范圍.
題型 1：用不等式（組）表示不等關系
1-1．（2024 高一上·河北邢臺·階段練習）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒 0.5 厘米，人跑
開的速度為每秒 4 米，距離爆破點 150 米以外（含 150 米）為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安
全區，導火索的長度 x （單位：厘米）應滿足的不等式為（ ）
A． 4
x
<150 4 x x xB． 150 C． 4 150 D． 4 >150
0.5 0.5 0.5 0.5
1-2．（2024 高一上·西藏林芝·期中）下列說法正確的是（ ）
A．某人月收入 x 不高于 2 000 元可表示為“x<2 000”
B．某變量 y 不超過 a 可表示為“y≤a”
C．某變量 x 至少為 a 可表示為“x>a”
D．小明的身高 x cm，小華的身高 y cm，則小明比小華矮表示為“x>y”
1-3．（2024 高一上·福建泉州·階段練習）如圖兩種廣告牌，其中圖（1）是由兩個等腰直角三角形構成的，
圖（2）是一個矩形，從圖形上確定這兩個廣告牌面積的大小關系，并將這種關系用含字母 a,b a b 的不
等式表示出來（ ）
1
A． a2 + b2 ab 1> B． a2 + b2 < ab 1C．2 2 2 a
2 + b2 ab 1D 2 2． a + b ab2
1-4．（2024 高一·全國·課后作業）用錘子以均勻的力敲擊鐵釘釘入木板，隨著鐵釘的深入，鐵釘所受的阻力
1 *
會越來越大，使得每次釘入木板的釘子長度后一次為前一次的 k N ，已知一個鐵釘受擊 3 次后全部進
k
4
入木板，且第一次受擊后進入木板部分的鐵釘長度是釘長的 ，請從這個實例中提煉出一個不等式組： ．
7
1-5．（2024·河北衡水·模擬預測）我國經典數學名著《九章算術》中有這樣的一道題：今有出錢五百七十六，
買竹七十八，欲其大小率之，向各幾何？其意是：今有人出錢 576，買竹子 78 根，擬分大 小兩種竹子為單
位進行計算，每根大竹子比小竹子貴 1 錢，問買大 小竹子各多少根？每根竹子單價各是多少錢？則在這個
問題中大竹子每根的單價可能為（ ）
A．6 錢 B．7 錢 C．8 錢 D．9 錢
1-6．（2024 高一上·四川眉山·階段練習）將一根長為5m的繩子截成兩段，已知其中一段的長度為 x m，若兩
段繩子長度之差不小于1m，則 x 所滿足的不等關系為（ ）
ì2x - 5 > 0
A． í B． 2x - 5 10 x 5 或
5 - 2x 1
< <
ì5 - 2x 1 ì 2x - 5 1
C． í0 x 5 D．< < í 0 < x < 5
（二）
利用不等式的性質判斷命題的真假
(1)對于關于不等式的命題判斷，需要通過不等式的性質及等式的性質進行判斷，除了通過正面證明也可以
通過舉反例的方法.
(2)感悟提升利用不等式的性質判斷真假的技巧
①首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不要憑想當然隨意捏造性質．
②解決有關不等式的選擇題時，也可采用特殊值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原
則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算．
題型 2：利用不等式的性質判斷命題的真假
2-1．（2024 高一下·安徽宿州·期中）下列命題中正確的是（ ）
a b
A．若 a > b，則 ac2 > bc2 B．若 a > b， c < d ，則 >
c d
1 1
C．若 a > b， c > d ，則 a - c > b - d D．若 ab > 0， a > b，則 <
a b
71．（2024·山東·二模）若 a < b < 0，則下列不等式成立的是（ ）
1 1 1 1
A． a2 < b2 B． a + b < b + c C． < D． <
a b a b
2-2．（2024 高一上·山西朔州·階段練習）如果 a < b < 0， c < 0，那么下列不等式正確的是（ ）
1 1
A． -a < -b B． <
a b
C 1 < 1
c c
． 2 2 D． >a b
2-3．（25-26 高一上·全國·課后作業）下列說法中，錯誤的是（ ）
2 1 1 a bA．若 a > b2 , ab > 0，則 < B．若 2 < 2 ，則 a < ba b c c
C．若b > a > 0, m > 0
a + m a
，則 > D．若 a > b,c < d ，則 a - c > b - d
b + m b
2-4．（2024 高二下·北京·期中）若 a，b ， c R 且 a > b > c，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．a - b > b - c B．a + b > 2c C． ac > bc D． a2 > b2 > c2
2-5．（2024 高一下·江蘇揚州·開學考試）對于實數 a，b，c，下列命題正確的是（ ）
A．若 a > b，則 ac2 > bc2
B．若 a > b，則 a2 > b2
C．若 a > b，則 a | a |> b | b |
b c
D．若 a > b > c > 0，則 < ．
a - b a - c
（三）
比較兩個實數的大小
作差法 作商法 平方法
a
a>0，b>0，則 >1 a
a－b>0 a>b； b a<0，b<0，則 >1 aa b a>b；依據 － ＝0 a＝b； b a2>b2，且 a>0，b>0 a>b
a b<0 ab
b b b b
a題型 3：數（式）比較大小
3-1．（2024 高二下·全國·專題練習）已知 c＞1，且 x＝ c+1－ c ，y＝ c － c -1 ，則 x，y 之間的大小
關系是（ ）
A．x＞y B．x＝y
C．x＜y D．x，y 的關系隨 c 而定
3-2．（2024 高一上·山東泰安·階段練習）設M = 2a a - 2 + 7 ， N = a - 2 a - 3 ，則有（ ）
A． M > N B．M N
C．M < N D．M N
3-3．（2024 高一·江蘇·假期作業）已知a 1，試比較M = a +1 - a 和 N = a - a -1的大小.
2 2 a - b
3-4．（2024 a - b高一下·黑龍江鶴崗·期末）設 a > b > 0，比較 與 的大小
a2 + b2 a + b
3-5．（2024 高三·全國·專題練習）設 t = a + 2b ， s = a + b2 +1，則 s 與 t 的大小關系是 .
a - b a
3-6．（2024 高一上·廣東清遠·期末）“ a > c > b > 0 ”是“ > ”的（
c b c ）-
A．充分必要條件 B．充分不必要條件
C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件
（四）
利用不等式的性質證明不等式
利用不等式的性質證明不等式應注意的事項
(1)利用不等式的性質及其推論可以證明一些不等式．解決此類問題一定要在理解的基礎上，記準、記熟不
等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用．
(2)應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條件或跳步推導，更
不能隨意構造性質與法則．
題型 4：利用不等式的性質證明不等式
1 1 1
4-1．（2024 高一·全國·課后作業）設 a，b ， c R ， a + b + c = 0 ， abc < 0，證明： + + > 0．
a b c
a a
4-2．（2024 高一上·河南·階段練習）（1）已知a < b < c ，且 a + b + c = 0 ，證明： < ．
a - c b - c
（2）證明： a - a - 2 < a -1 - a - 3 ． (a 3)
4-3．（2024 高一上·內蒙古呼和浩特·期中）證明不等式．
(1)bc - ad 0
a + b c + d
，bd＞0，求證： ；
b d
b b c
(2)已知 a＞b＞c＞0，求證： > > ．
a - b a - c a - c
（五）
利用不等式的性質求參數范圍
(1)利用不等式的性質求取值范圍的策略
①建立待求范圍的整體與已知范圍的整體的關系，最后利用一次不等式的性質進行運算，求得待求的范圍．
②同向(異向)不等式的兩邊可以相加(相減)，這種轉化不是等價變形，如果在解題過程中多次使用這種轉化，
就有可能擴大其取值范圍．
注意：求解這種不等式問題要特別注意不能簡單地分別求出單個變量的范圍，再去求其他不等式的范圍．
(2)利用不等式性質求范圍的方法:
①借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答;
②所給條件盡量整體使用，切不可隨意拆分所給條件;
③結合不等式的傳遞性進行求解.
(3)求代數式的取值范圍是不等式性質的應用的一個重要內容.解題時應將條件式視為一個整體，并用其表示
所求范圍的量，同時注意取等號的條件是否具備.切不可利用不等式的性質分別求出變量自身的范圍，再去
求由此構成的代數式的取值范圍，這往往會擴大代數式的范圍.
題型 5：利用不等式的性質求參數范圍
5-1．（2024 高一·全國·專題練習）已知0 a - b 1,2 a + b 4，則 4a - 2b 的取值范圍是（ ）
A．1 4a - 2b 5 B． 2 4a - 2b 7
C．1 4a - 2b 6 D．0 4a - 2b 9
5-2．（2024 高三·全國·對口高考）已知-1 a + b 1,-1 a - b 1，求 2a + 3b的取值范圍 ．
a
5-3．（2024 高三·全國·專題練習）已知2 < < 3， 2 < < 1，分別求 a + b ，2a - b ，ab， 的取值范圍．
b
5-4．（2024 高一上·湖南長沙·階段練習）已知實數 x，y 滿足 4 ≤ ≤ 1，-1 2x - y 5，則 y 的取值
范圍是（ ）
A． y 0 y 9 B． y - 5 y 4
C． y 1 y 13 D． y 0 y 13
5-5．（2024 高一上·湖北荊州·階段練習）已知-1 a + b 4， 2 a - b 3，則3a - 2b 的取值范圍為
一、單選題
1．（2024 高三·全國·專題練習）已知1 a 2, -1 b 4 ,則 a- 2b的取值范圍是（　　）
A．[-7,4] B．[-6,9] C．[6,9] D．[-2,8]
2．（2024 高三·全國·專題練習）已知 p∈R，M = (2 p +1)( p - 3) ，N = ( p - 6)( p + 3) +10 ，則 M，N 的大小關
系為（　　）
A．MN
C．M≤N D．M≥N
3．（2024 高一上·天津濱海新·期末）下列命題為真命題的是（）
A．若 a > b > 0，則 ac2 > bc2 B．若 a > b > 0，則 a2 > b2
1 1
C．若 a < b < 0，則 a2 < b2 D．若 a < b < 0，則 <
a b
4．（2024 高二下·山東濱州·階段練習）下列說法中正確的是（　　）
A．如果 a > b，則 ac > bc B．如果 a > b，則 ac2 > bc2
C．如果 ac2 > bc2 ，則 a > b D．如果 a > b， c > d ，則 ac > bd
5．（2024·湖北武漢·模擬預測）下列不等式正確的是（　　）
A．若 ac2 bc2，則 a b
c c
B．若 > ，則 a < b
a b
C．若 a + b > 0， c - b > 0，則 a > c
D．若 a > 0，b > 0
a + m a
，m > 0，且 a < b ，則 >
b + m b
6．（2024 高一·江蘇·假期作業）下列命題是真命題的為（　　）
1 1
A．若 a > b，則 <
a b
B．若 2 = ，則b2 > a 或b2 > c
C．若 x < y ，則 2 < 2
D．若 a = b，則 a = b
7．（2024 高一上·河南·階段練習）某公司準備對一項目進行投資，提出兩個投資方案：方案A 為一次性投資
300萬；方案 B 為第一年投資80萬，以后每年投資 20萬.下列不等式表示“經過 n 年之后，方案 B 的投入不
大于方案A 的投入”的是（ ）
A．80 + 20n 300 B．80 + 20n 300
C．80 + 20 n -1 300 D．80 + 20 n -1 300
8．（2024 高一上·甘肅酒泉·期末）鐵路總公司關于乘車行李規定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部尺寸長、
寬、高之和不超過 130cm，且體積不超過72000cm3 ，設攜帶品外部尺寸長、寬、高分別記為 a，b，c（單
位：cm），這個規定用數學關系式可表示為（ ）
A． a + b + c <130且 abc < 72000 B． a + b + c >130且 abc > 72000
C． a + b + c 130且 abc 72000 D． a + b + c 130且 abc 72000
9．（2024 高一下·江西撫州·階段練習）若0 < b < a，下列不等式中不一定成立的是（　　）
1 1 1 1
A． > B． < C．
a b b a > b
D．-a < -b < 0
- a b
10．（2024 高一上·貴州畢節·階段練習）某學生月考數學成績 x 不低于 100 分，英語成績 y 和語文成績 z
的總成績高于 200 分且低于 240 分，用不等式組表示為（ ）
ì x >100 ì x 100
A． í200 B．< y + z < 240 í 200 y + z 240
ì x >100 ì x 100
C． í200 y z 240 D． + í 200 < y + z < 240
11．（2024 高一·全國·課后作業）完成一項裝修工程，請木工需付工資每人 50 元，請瓦工需付工資每人 40
元，現有工人工資預算 2000 元，設木工 人，瓦工 y 人，則請工人滿足的關系式是（ ）
A．5x + 4y < 200 B．5x + 4y 200
C．5x + 4y = 200 D．5x + 4y 200
12．（2024 高三上·福建福州·開學考試）鐵路總公司關于乘車行李規定如下：乘坐動車組列車攜帶品的外部
尺寸長、寬、高之和不超過160cm，設攜帶品的外部尺寸長、寬、高分別為 a、b 、 c（單位： cm），這個
規定用數學關系式可表示為（ ）
A． a + b + c > 160 B． a + b + c < 160 C． a + b + c 160 D． a + b + c 160
13．（2024 高一上·河北唐山·階段練習）如果 a,b,c, d R,ab 0，則下列命題為真命題的是（ ）
1 1
A．若 a > b，則 < B．若 a > b，則 ac2 > bc2
a b
1 1
C．若a > b,c > d ，則 ac > bd D．若 a > b，則
ab2
>
a2b
14．（2.1 等式與不等式的性質（精練）-《一隅三反》）已知 a,b R ，則“ a > b ”是“ a2 > b2 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
15．（2024 高三上·廣西欽州·階段練習）已知 a > 0，b > 0，設m = a - 2 b + 2, n = 2 a - b ，則（ ）
A．m n B．m > n C．m n D．m < n
16．（2024 高三·全國·專題練習）已知 a>0，b>0，M＝ a + b ，N＝ a + b ，則 M 與 N 的大小關系為（　　）
A．M>N B．M17．（2024 高一上·陜西咸陽·期末）已知 a,b,c,d ，為實數，滿足 a > b，且 c > d ，則下列不等式一定成立的
是（ ）
1 1 1
A． ac > bd B． a + ≥ 2 C． a - d > b - c 18．（2024 高一上·安徽蚌埠·期末）已知0 < x <1，則下列不等式成立的是（ ）
A． x2
1 1
> > x B． > x2
1 1
> x C． x > > x2 D 2． > x > x
x x x x
19．（2023-2024 學年河南省濮陽市高二上學期期末考試數學（理）試卷（帶解析））若 a > b > 0,c < d < 0,則
一定有
a b a b a b a b
A． > B． < C． > D． <
c d c d d c d c
20．（2024·江西撫州·模擬預測）2021 年是中國共產黨成立 100 周年，為了慶祝建黨 100 周年，學校計劃購
買一些氣球來布置會場，已知購買的氣球一共有紅 黃 藍 綠四種顏色，紅色多于藍色，藍色多于綠色，綠
色多于黃色，黃色的兩倍多于紅色，則購買的氣球最少有（ ）個
A．20 B．22 C．24 D．26
21．（2024 高一下·廣西·期中）下列命題為真命題的是（ ）
A．若 a < b < 0，則 2 < 2 B．若 a < b < 0，則 a2 < ab < b2
c c
C．若 a > b， c > d ，則 ac > bd D．若 a > b > c > 0，則 <
a b
22．（2024 高一·全國·課后作業）如圖，在一個面積為 200 m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉
庫的長 a 大于寬 b 的 4 倍，則表示上述的不等關系正確的是（ ）
A． a > 4b B． (a + 4)(b + 4) = 200
ìa > 4b ìa > 4b
C． í
(a + 4)(b 4) 200
D．
+ = í 4ab = 200
23．（2024 高三下·上海寶山·階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．若 a > b ，則 a2 > b2 B．若 > | |，則 a2 > b2
C．若 a > b，則 a2 > b2 D．若 a2 > b2 ，則 a > b
24．（2024 高一·全國·課后作業）在開山工程爆破時，已知導火索燃燒的速度是每秒0.5厘米，人跑開的速度
為每秒 4 米，距離爆破點 100 米以外（含 100 米）為安全區．為了使導火索燃盡時人能夠跑到安全區，導
火索的長度 x（單位：厘米）應滿足的不等式為（ ）
4 x 100 4 xA． < B． 100
x
C． 4 100
x
D． 4 >100
0.5 0.5 0.5 0.5
25．（2024 高一上·江蘇鹽城·期中）設 p = 2 ，Q = 7 - 3 ，R = 6 - 2 ，則 P，Q，R 的大小順序是
（ ）
A．P > Q > R B．P > R > Q
C．R > P > Q D．Q > R > P
a,b R 1 126．（2024 高三上·江蘇鹽城·期中）若 且 ab 0 .則 2 > 2 成立的一個充分非必要條件是（ ）a b
A． a > b > 0 B．b > a
C．b < a < 0 D． ab a - b < 0
27．（2024·北京海淀·一模）劉老師沿著某公園的環形道（周長大于1km）按逆時針方向跑步，他從起點出
發、并用軟件記錄了運動軌跡，他每跑1km，軟件會在運動軌跡上標注出相應的里程數．已知劉老師共跑
了11km，恰好回到起點，前5km的記錄數據如圖所示，則劉老師總共跑的圈數為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
28．（2024 高三上·上海·階段練習）已知集合 S = { x, y, z | x, y, z Z，且 x < y < z, y < z < x, z < x < y 恰有一
個成立}；若 x, y, z S 且 z, w, x S ，則下列選項正確的是（ ）
A． y, z, w S , x, y, w S
B． y, z, w S , x, y, w S
C． y, z, w S , x, y, w S
D． y, z, w S , x, y, w S
29．（2024 高一上·全國·課后作業）下列說法中，錯誤的是（ ）
a b a b
A．若 a > b > 0,c < d < 0，則一定有 > B．若 >
c d c2 c2
，則 a > b
C．若b > a > 0, m > 0
a + m a
，則 > D．若 a > b,c < d ，則 a - c > b - d
b + m b
30．（2024 高二上·遼寧沈陽·期中）已知 2 < a + b < 5,0 < a - b <1，某同學求出了如下結論：①1 < a < 3；
1 5
②1 < b < 2 ；③ < b < ；④ -4 < a - 2b < 2；⑤ -3 < a - 2b <1；⑥1< 2a - b < 4；，則下列判斷中正確的
2 2
是（ ）
A．①③④ B．①②④ C．①②⑤ D．①③⑥
二、多選題
31．（2024 高二下·福建三明·期中）若 a > b > 0， c R ，則下列結論正確的有（ ）
A． a - b > 0 B． a2 > b2
1 1
C． ac > bc D． <
a b
32．（2024 高一上·四川廣安·期末）下列命題為真命題的是（ ）
A．若 ac2 > bc2 ，則 a > b B．若 a > b， c > d ，則 a + c > b + d
a a + c
C．若 a > b， c > d ，則 ac > bd D．若b > a > 0， c > 0，則 >
b b + c
33．（2024 高一上·江蘇鎮江·期末）對于實數 a，b ， c，正確的命題是（ ）
a + b
A．若 a > b，則 a > > b B．若 a > b > 0，則
2 a > ab > b
1 1
C．若 > ，則 a > 0，b < 0 D．若 a > b > 0， c > 0 a a + c，則 >
a b b b + c
1 1
34．（2024 高一上·山東威海·期末）已知 a,b R ，則下列選項中能使 > 成立的是（ ）a b
A．b > a > 0 B． a > b > 0 C．a > 0 > b D．b < a < 0
35．（2024 高一上·福建三明·期末）已知 a > b >1， c < 0，則下列四個不等式中，一定成立的是（ ）
c c
A． < B． < C． a b - c > b a - c D． a > b - c
a b
36．（2024·全國·模擬預測）若m > n > 0 > p，m + p 0，則（ ）．
p p
A． > B．m2 - p2 > 0
m n
1 1
C． >m D．+ n m + p m
2 - n > n2 - m
37．（2024 高一上·廣東梅州·期末）下列結論正確的是（ ）
A．若 a > b，則 a2 > b2 B．若 2 < 2，則 a < b
C．若 a > b， c > d ，則 a + c > b + d D．若 a > b， c > d ，則 ac > bd
38．（2024 高三·全國·專題練習）若 a > 0 > b > -a ， c < d < 0，則下列結論正確的是（　　）
a b
A． ad > bc B． + < 0
d c
C． a - c > b - d D． a d - c > b d - c
39．（2024 高一上·廣東湛江·期末）已知實數 a，b ， c滿足 c < b < a ， ac < 0，那么下列選項中錯誤的是
（　　）
A． ac a - c > 0 B． cb2 < ca2
C． ab > ac D． c b - a < 0
40．（2024 高三下·河北衡水·階段練習）設 a,b為正實數，則下列命題正確的是（ ）
1 1
A．若 a2 - b2 =1，則 a - b <1 B．若 - =1，則 a - b <1b a
C．若 a > b +1，則 a2 > b2 +1 D．若a 1，b 1，則| a - b | |1- ab |
41．（2024 高一上·江蘇常州·階段練習）生活經驗告訴我們，a 克糖水中有 b 克糖 (a > 0,b > 0,且 a > b) ，若再
添加 c 克糖 (c > 0)
b + c b
后，糖水會更甜，于是得出一個不等式： > .趣稱之為“糖水不等式”．根據生活經
a + c a
驗和不等式的性質判斷下列命題一定正確的是（ ）
b
A．若 a > b > 0，m > 0 + ，則 m + 與 的大小關系隨 的變化而變化a
B b > a > 0 m > 0 ．若 ， ，則 > +
+
C a > b > 0 c > d > 0 b + d b + c．若 ， ，則 D．若 a > 0，b > 0 a b a b，則一定有 + < +1+ a + b 1+ a + b 1+ a 1+ b
42．（2024 高三·北京·強基計劃）設 a，b，c 均為大于零的實數，若一元二次方程 ax2 + bx + c = 0有實根，則
（ ）
1 4
A．max{a,b,c} (a + b + c) B．max{a,b,c} (a + b + c)
2 9
min{a,b,c} 1C． (a + b + c) D．min{a,b,c}
1
(a + b + c)
4 3
43．（2024 高一上·四川涼山·期末）下列四個命題中，正確的是（ ）
1 1
A．若 ac2 bc2，則 a b B．若 a>b，且 > ，則 ab<0a b
b + c b a b
C．若 a>b>0，c>0，則 > D．若 c > a > b > 0，則 >
a + c a c - a c - b
44．（2024 高三·全國·專題練習）下列是假命題的是（　　）
A．若 ac2 bc2，則 a b
c c
B．若 > ，則 a < b
a b
C．若 a + b > 0， c - b > 0，則 a > c
a + m a
D．若 a > 0，b > 0，m > 0，且 a < b ，則 >
b + m b
三、填空題
45．（2024 高一·全國·課后作業）某同學拿 50 元錢買紀念郵票，票面 8 角的每套 5 張，票面 2 元的每套 4 張，
如果每種郵票至少買兩套，那么買票面 8 角的 x 套與票面 2 元的 y 套用不等式組可表示為 .
46．（2024 高三·全國·專題練習）若1< a < 3 , -4 < b < 2 ,則 2a + b 的取值范圍是 .
47．（2024 高一上·云南怒江·期末）已知1 < a < 3，-2 < b <1，則a + 2b的取值范圍是 .
48．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知1 a + b 4，-1 a - b 2 ，則3a + 2b的取值范圍是 ．
49．（2024 高三·全國·專題練習）設 2 < a < 7 ，1 < b < 2 ，則 a + 3b的取值范圍是 ，ab的取值范圍是 .
江蘇省揚州市儀征中學 2023-2024 學年高三下學期 3 月學情測試數學試題）若 -1 < a + b < 3,2 < a - b < 4 ，則
2a + 3b的取值范圍為 ．
51．（2024 高一上·遼寧葫蘆島·期末）社會實踐活動是青年學生按照學校培養目標的要求，利用節假日等課
余時間參與社會政治、經濟、文化生活的教育活動.通過社會實踐活動，可以使學生豐富對國情的感性認識，
加深對社會、對人民群眾的了解，從而增強擁護和執行黨的基本路線的自覺性；可以使學生在接觸實際的
過程中鞏固和深化課堂知識，鍛煉和增強解決實際問題的能力.某學校要建立社會實踐活動小組，小組由學
生和教師組成，人員構成同時滿足以下三個條件：①男學生人數多于女學生人數；②女學生人數多于教師
人數；③教師人數的兩倍多于男學生人數.若男學生人數為7 ，則女學生人數的最小值為 ；若男學
生人數未知，則該小組人數的最小值為 .
x2 x
52．（2024 高二上·寧夏吳忠·期末）設 x，y 為實數，滿足3 xy2 8， 4 9，則 y3 的最小值是 .y
1
53．（2024 高一·安徽宣城·強基計劃）若關于 x 的不等式 a - 2 < 2a - x < 只有一個整數解 2，則實數 a的取
2
值范圍為 ．
54．（2024 高三·全國·對口高考）已知 a，b，c，d 為實數，以下 6 個命題中，真命題的序號是 ．
①若 a > b，則 ac2 > bc2 ； ②若 ac2 > bc2 ，則 a > b；
③若0 a b
b b + x
< < ，則 < ； ④若 a < b < 0，則 a2a a + x > ab > b
2；
1 1
⑤若 a < b < 0，則 < ； ⑥ 若 a < b < 0 ，則 > ；
a b
55．（2024 高二下·上海浦東新·期末）已知 x R ，定義： x 表示不小于 x 的最小整數，如： 2 = 2 ，
- 2 = -1， 2 = 2 ，若 2x x = 5，則 x 的取值范圍是 .
四、解答題
ì 1 a + b 3
56．（2024·廣東汕頭·一模）已知 a，b R ，且滿足 í ，則 4a + 2b1 a b 1 的取值范圍是？ - -
57．（2024 高一·全國·專題練習）用比較法證明以下各題：
1 1 2
(1)已知 a > 0，b > 0．求證： + a b ab ．
b a
(2)已知 a > 0，b > 0．求證： + a + b ．
a b
2
58．（2024 高一·全國·單元測試）（1）已知 x R ，比較 x2 +1 與 x4 + x2 +1的大小．
（2）已知 x <1，比較 x3 -1與2x2 - 2x的大小．
2
59 b - ac．（2024 高二下·廣東清遠·階段練習）已知 a > b > c，且 a + b + c = 0 ，求證： < 3 ．
a
60．（2024 高三·全國·對口高考）設實數 a，b ，c滿足① b + c = 6 - 4a + 3a2 ，② c - b = 4 - 4a + a2 ，試確定
a，b ， c的大小關系．
61．（2024 高一·全國·課后作業）比較下列各組數的大小 a b .
a b 2+
（1） 與 1 1 ， (a > 0,b > 0)；
2 +a b
（2 3） a4 - b4與 4a a - b .
62．（2024 高一·上海·專題練習）已知 a,b,c, d (0,1)，試比較 abcd 與 a + b + c + d - 3的大小，并給出你的證
明．
a b
63．（2024 高一·全國·課后作業）已知 a > 0，b > 0，試比較 a + b 與 + 的大小；b a

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