資源簡(jiǎn)介

3.1.1 函數(shù)的概念 9 題型分類
一、函數(shù)的概念
(1)函數(shù)的概念
一般地，設(shè) A，B 是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x，按
函數(shù)的定義 照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)，那么
就稱 f：A→B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)
函數(shù)的記法 y＝f(x)，x∈A
定義域 x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域
函數(shù)值 與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值
值域 函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合 B 的子集
(2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域是函數(shù)的三要素，缺一不可．
二、區(qū)間的概念
(1)設(shè) a，b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且 a①滿足不等式 a≤x≤b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]；
②滿足不等式 a③滿足不等式 a≤xb].
這里的實(shí)數(shù) a 與 b 都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).
實(shí)數(shù)集 R 可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無(wú)窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“＋
∞”讀作“正無(wú)窮大”．
滿足 x≥a，x>a，x≤b，x∞，b]，(－∞，b).
(2)區(qū)間的幾何表示
在用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)
的端點(diǎn)．
區(qū)間 數(shù)軸表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
(3)含“∞”的區(qū)間的幾何表示
區(qū)間 數(shù)軸表示
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
注意：(1)無(wú)窮大“∞”只是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)，因而它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)算法
則．
(2)以“－∞”或“＋∞”為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須用小括號(hào)．
三、同一個(gè)函數(shù)的判定
如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，
那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．
四、常見(jiàn)函數(shù)的值域
(1)一次函數(shù) f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域?yàn)?R，值域是 R.
4ac－b2
(2)二次函數(shù) f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是 R，當(dāng) a>0 時(shí)，值域?yàn)閇 ，＋∞)，當(dāng)4a
4ac－b2
a<0 時(shí)，值域?yàn)?－∞， 4a ].
（一）
函數(shù)關(guān)系的判斷
1、判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)的兩個(gè)條件
(1)A，B 必須是非空數(shù)集．
(2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一個(gè)元素與其對(duì)應(yīng)．
對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系．
2、根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法
(1)任取一條垂直于 x 軸的直線 l.
(2)在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線 l.
(3)若直線 l 與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則
不是函數(shù)，如圖所示：
題型 1：函數(shù)關(guān)系的判斷
1-1．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）已知集合 A = {0,1,2}，B = {-1,1,3}，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，從 A 到 B 的函數(shù)為
（ ）
A．f： x y = x B．f： x y = x2
C．f： x y = 2x D．f： x y = 2x -1
1-2．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）若函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?x | -3 x 8, x 5 ，值域?yàn)?br/> y | -1 y 2, y 0 ，則 y = f x 的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
1-3．（2024 高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）下列對(duì)應(yīng)是集合A 到集合 B 的函數(shù)的是（ ）
A． A = B = R ， f : x y =1
B． A = Z，B = Q， f : x y
1
=
x
C． A = B = N* ， f : x y = x - 3
D． A = [0,+ )，B = R ， f : x y = x
1-4．（2024·山東·二模）如圖所示， AB 是半圓O的直徑，點(diǎn) P 從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA 弧 AB BO的路徑運(yùn)
動(dòng)一周，設(shè)點(diǎn) P 到點(diǎn)O的距離為 s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，則下列圖象能大致地刻畫(huà) s與 t之間的關(guān)系的是（ ）
A． B．
C． D．
（二）
求函數(shù)的定義域
求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若 f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．
(2)若 f(x)是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零．
(3)若 f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合．
(4)若 f(x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集．
(5)若 f(x)是實(shí)際問(wèn)題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題有意義．
注：求定義域時(shí)要將結(jié)果寫(xiě)成集合或區(qū)間形式.
題型 2：求具體函數(shù)的定義域
2-1．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）函數(shù) f (x) x -1= 2 的定義域?yàn)? .x +1
1
2-2 2．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù) y = -x + x + 6 + 的定義域?yàn)? ．
x -1
1
2-3．（2024 高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知函數(shù) f x = x - 3 - 的定義域?yàn)椋?br/>7 x ）-
A． 3,7 B． 3,7 C． - ，3 D． 7,+
2-4．（2024 高一上·江蘇無(wú)錫·期中）函數(shù) f x 1= + x + 2 的定義域?yàn)? .
x -1
題型 3：求抽象函數(shù)的定義域
1
3-1．（2024 高一上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）若函數(shù) f x 的定義域?yàn)?0,4 ，則函數(shù) g x = f x + 2 +
x -1
的定義域?yàn)椋? ）
A． 1,2 B． 1,4 C． 1,2 D． 1,4
f (x +1)
3-2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?0,4 ，則函數(shù) y = + (x - 2)0 的定義域
x -1
是（ ）
A． 1,5 B． 1,2 2,5 C． 1,2 2,3 D． 1,3
3-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù) f 3x +1 的定義域?yàn)?1,7 ，則函數(shù) f x 的定義域是 .
3-4．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù) y = f 2x +1 的定義域?yàn)? .
3-5．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）已知函數(shù) f x + 2 的定義域?yàn)?1,3 ，則函數(shù) f x 的定義域?yàn)? ．
（2 2）已知函數(shù) f x +1 的定義域?yàn)?3,8 ，則函數(shù) f x 的定義域?yàn)? ．
3-6 2．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)? 0, 1)，則函數(shù) f x 的定義域是 .
題型 4：已知函數(shù)定義域求參數(shù)
4-1．（24-25 高一上·上海·隨堂練習(xí)）若函數(shù) y = mx2 + 4mx + 3 中 x 的取值范圍為 R，則m 的取值范圍
是 ．
4-2．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = ax2 + 2ax +1的定義域?yàn)?R，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為
（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, + D． 1, +
3x
4-3．（25-26 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù) y = 2 的定義域?yàn)镽 ，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為（ ）kx 2kx 1 + +
A． - ,0 1, + B． - ,0 U 1, + C． 0,1 D． 0,1
（三）
已知自變量的值求函數(shù)值
函數(shù)求值的方法
①求 f(a)：已知 f(x)時(shí)，只需用 a 替換 f(x)中的 x 即得 f(a)的值；
②求 f(g(a))：已知 f(x)與 g(x)，求 f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．
注：函數(shù)求值的關(guān)注點(diǎn)用來(lái)替換 f(x)中 x 的數(shù) a 必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則函數(shù)無(wú)意義．
題型 5：已知自變量的值求函數(shù)值
x + 3 1
5-1．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù) f x = ，則 f 2 + f ÷ =x 1 ．+ è 2
2
5-2．（2024 高一· · x全國(guó) 課后作業(yè)）已知 f x = ， x R2 ．1+ x
f a + f 1 （1）計(jì)算： ÷ = ；
è a
（2）計(jì)算： f 1 1 1 1+ f 2 + f + f 3 + f ÷ ÷ + f 4 + f

÷ = ．
è 2 è 3 è 4
é 1 ù
5-3．（2024 高一上·廣東中山·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù) f x = x -1 - x ，則 f ê f =（2 ÷ú ） è
1 1
A．- B．1 C． D． 0
2 2
5-4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若 f (x) = x2 - 2x ，則 f f (1) ＝ ．
（四）
區(qū)間的應(yīng)用
用區(qū)間表示數(shù)集的方法
(1)區(qū)間左端點(diǎn)值小于右端點(diǎn)值；
(2)區(qū)間兩端點(diǎn)之間用“，”隔開(kāi)；
(3)含端點(diǎn)值的一端用中括號(hào)，不含端點(diǎn)值的一端用小括號(hào)；
(4)以“－∞”“＋∞”為區(qū)間的一端時(shí)，這端必須用小括號(hào)．
注：區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，但并不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合{0},Z,Q 等就
不能用區(qū)間表示.
題型 6：區(qū)間的應(yīng)用
6-1．（2024 高三上·江蘇南通·期末）已知全集U = x -2 < x < 3 ,集合 A = x -1< x 1 ,則 U A =（ ）
A． -1,1 B． -2, -1 1,3
C． -1,1 D． -2, -1 1,3
6-2．（2024 高一上·吉林松原·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù) x 滿足 x | 3 x < 7 ，則用區(qū)間表示為（ ）
A． 3,7 B． 3,7 C． 3,7 D． 3,7
6-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示．
(1){x | x -1}；
(2) x | x < 0 ；
(3){x | -1< x <1}；
(4){x | 0 < x <1或 2 x 4}．
6-4．（2024 高一上·河北張家口·階段練習(xí)）全集U = R ，集合 A = x R∣- 2 2x 1 ，集合
B = {x R | x <1}，則 U AI B =（ ）
A． - ,-1 1 1 ù ,+ B． -1,
è 2 ÷ è 2ú
, 1 1 1C． - - éê- , +

÷ D．2
-1, - ÷
è 2
（五）
同一個(gè)函數(shù)的判定
判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)的條件：
(1)判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同．定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中
只要有一個(gè)不相同就不是同一個(gè)函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個(gè)函數(shù)．
(2)函數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒(méi)有限制的．另外，在化簡(jiǎn)
解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形．
題型 7：判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)
7-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各函數(shù)中，與函數(shù) g(x) = x2 表示同一函數(shù)的是（ ）
A． f (x) =| x | B． f (x) = | x |
x2
C． f (x) = D． f (x) = x0 × | x |
| x |
7-2．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（ ）
2
A． f x = x2 和 g x = x B． f x =1和 g x = x0
ì x, x 0, 2
C f x = x x -1． 和 g(x) = í D． f x = x +1x, x 0 和 g x- < = x -1
7-3．（2024 高一上·福建福州·期中）下列函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）.
2
A． f x x= 與 g x = x0 B． f x = x -1 × x +1與 g x = x -1 x +1
x
C． y = -2x3 與 y = x -2x D． f x = x - 3 與 g x = x - 3 2
7-4．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
A． f x = x ， g x = x 2 B． f t = t ， g x = x2
C f x 2x3 g x = -2x D f x x
2 - 9
． = - ， ． = ， g x = x + 3
x - 3
（六）
求函數(shù)的值域
求函數(shù)值域的原則及常用方法
(1)原則：①先確定相應(yīng)的定義域；②再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算法則確定其值域．
(2)常用方法
①觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察法得到．
②配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法．
③換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對(duì)于 f(x)＝ax＋b＋
cx＋d(其中 a，b，c，d 為常數(shù)，且 ac≠0)型的函數(shù)常用換元法．
④分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．
題型 8：求函數(shù)的值域
8-1．（2024 高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）函數(shù) y =1+ x - 1- 2x 的值域?yàn)椋? ）
, 3 ù 3 é3 3A． -

ú B．2
- , ÷ C． ,+ ÷ D． ,+ ÷
è è 2 ê2 è 2
8-2．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.
5x + 4
(1) f (x) = ；
x - 2
(2) f x = x2 - 2x - 3， x (-1,4] .
8-3．（2024 高一·江蘇·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域、值域，并畫(huà)出圖象：
(1) f (x) = 3x；
(2) f (x) = -3x +1；
(3) f (x)
1
= - ；
x
(4) f (x)
1
= - +1；
x
(5) f (x) =1- x2 ；
(6) f (x) = x2 + 2x．
8-4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）試求下列函數(shù)的定義域與值域．
(1) y = x -1 2 +1， x {-1,0,1,2,3}；
(2) y = x -1 2 +1；
y 5x + 4(3) = ；
x -1
(4) y = x - x +1 .
8-5．（2024 高一上·湖北襄陽(yáng)·階段練習(xí)）函數(shù) y = -x + 2 1- x 的值域是 .
8-6．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.
(1) f x = 2x + 4 1- x ;
(2) f x 5x + 4= ;
x - 2
(3) f x = x2 - 2x - 3， x -1,4
(4) y x
2 + x +1
=
x
題型 9：函數(shù)值域的應(yīng)用
9-1．（2024 高一上·四川遂寧·階段練習(xí)）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函
數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù) y = x2 , x 1,2 y = x2與函數(shù) , x -2, -1 即為“同族函數(shù)”．請(qǐng)你找出下面哪個(gè)函數(shù)
解析式也能夠被用來(lái)構(gòu)造“同族函數(shù)”的是（ ）
A． y = x B． y = x - 3 C． y
1
= D． y = x +1x
9-2．（2024 高三上·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù) y = f x 的值域?yàn)?-2,2 ，則函數(shù) y = f 2x +1 的值域
為 .
9-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù) f (x) = x2 - 2x, x [0,b]，且該函數(shù)的值域?yàn)閇-1,3]，則b 的值
為 .
9-4．（2024 高一上·廣東佛山·期中）已知函數(shù) f x = 6 - 2x 的值域?yàn)? -4,10 ，則函數(shù) f x 的定義域?yàn)? .
一、單選題
1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）周長(zhǎng)為定值 a 的矩形，它的面積 S 是這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng) x 的函數(shù)，則這個(gè)函
數(shù)的定義域是（ ）
A． a, a+ , + aB． ÷ C． ,a

÷ D． 0,
a
2 ÷è è 2 è 2
2．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下表給出了 x 與 f (x) 和 g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)表格可知 f [g(1)]的值為
（ ）
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f (x) 3 1 4 2 g(x) 4 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024 高一·全國(guó)·單元測(cè)試）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為 40cm，底邊長(zhǎng) y cm 是腰長(zhǎng) x cm 的函數(shù)，則函數(shù)
的定義域?yàn)? )
A． 10,20 B． 0,10 C． 5,10 D． 5,10
4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知高斯取整函數(shù) f (x) = [x]，則 f (-1.35) + f (4.65)的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
x -1
5．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù) f (x) = 的定義域是（
x ）+1
A．{x R∣x -1} B．{x R∣x 1}
C．{x R∣x 1} D．{x R∣x -1或 x 1}
6．（2024 高二·重慶·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù) f (x) = x3 - 2x + 3，那么 f (2) 的值（ ）
A．3 B．5 C．7
7．（2024 高一上·廣東廣州·期末）若集合 A = x -1< x < 3 ，B = x x > 0 ，則 AI B =（ ）
A． -1,3 B． -1, + C． 0,3 D． 2, +
8．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·期中）函數(shù) f (x) = -x2 - 2x + 4, x [-2,3]，則 f (x) 的值域?yàn)椋? ）
A．[-11,4] B．[-11,5] C．[4,5] D．[-4,5]
f x +1
9．（2024

高一上·重慶渝中·期末）若函數(shù) f (x) 的定義域是[-3,2]，則函數(shù) g x = 的定義域是（ ）
x -1
A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）
10．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合 A 到集合 B 的函數(shù)的是（ ）
A． A = N, B = N, f : x y = x –1 2 B． A = N, B = N, f : x y = x
1
C． A = N, B = Q, f : x y = D． A = R, B = y | y > 0 , f : x y = x
x –1
f (x)
11．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù) f（x+2）的定義域?yàn)椋ī?，4），則函數(shù) g(x) = 的
3x -1
定義域?yàn)椋ā　。?br/>1 1
A．（ ，4） B．[ ，4）
3 3
1 1
C．（ ，6） D．（ ，2）
3 3
12．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知函數(shù) y = x2 - 3x + 3(x > 0) 的值域是[1,7]，則 x 的取值范圍是（ ）
A． (0,4] B．[1, 4] C．[1, 2] D． (0,1]U [2,4]
2
13．（2024 高一·全國(guó)·單元測(cè)試）若函數(shù) f (x) = 的定義域是 ( ,1) U [2,5)，則其值域?yàn)椋? ）.
x -1
A． (- ,0) B． (- , 2]
é0, 1C ù
1 ù
． ê 2ú D．
(- ,0)

, 2
è 2 ú
1 é1
14．（2024 高三上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）若函數(shù) y = 的值域是 (- ,0) ê ,+ ÷，則此函數(shù)的定義域?yàn)閤 -1 2
（ ）
A． (- ,3] B． (- ,1) U (1,3) C． (- ,1)U[3,+ ) D． (- ,1) (1,3]
15．（2024 高一上·廣東·期末）已知集合 A = {x 0 < x < 3}，B = x 1 x 4 ，則 AI B =（ ）
A． 0,1 B． 0,4 C． 3,4 D． 1,3
16．（2024 高一上·廣東清遠(yuǎn)·期末）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A． f x = x與 g x = x
B． f x = (x + 2)2 與 g x = ( x + 2)2
C． f x g x x= x 與 =
x
D． f x = x與 g x = 3 x3
17．（2024· *廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)j n n N 的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù) n ，且與 n 互素的正
m
整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，j 1 =1，j 4 = 2．若m N*，且 j 2i =13，則j m =（ ）
i=1
A．3 B． 4 C．5 D．6
18．（2024 高一上·廣東梅州·階段練習(xí)）設(shè) x R，用 x 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)，則 y = x 稱為高斯函
數(shù)．例如： p = 3， -5,1 = -6，已知函數(shù) f x 2x= 2 ，則函數(shù) y = é f x ù 的值域?yàn)椋?）x +1
A． -1,1 B． -1,0 C． 1,0 D． -1,0,1
x +1
19．（2024 高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）函數(shù) f x = 2 0 x 8 的值域?yàn)閤 + 2x +10
é1 1 ù é 1
A． ê , ú B． 6,8 C． ê ,
1 ù
ú D． 6,10 8 6 10 6
é 25 ù
20．（2024 高三·廣東·階段練習(xí)）若函數(shù) y = x2 - 3x - 4 的定義域?yàn)閇0, m]，值域?yàn)?ê- ,-4ú ，則實(shí)數(shù)m 的取 4
值范圍是（ ）
é 3 ù é 3
(0,3] , 4 ,3
ù é3
A． B． ê ú C． ê ú D． ê ,+

÷
2 2 2
21．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·期中）函數(shù) f (x) = 3+ 2x - x2 的值域?yàn)椋? ）
A．[0, 4] B． (- , 2] C．[2,+ ) D．[0,2]
2 + x
22．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù) y = 的值域是（　　）
4 - 3x
1 1
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，- ）∪（ ，+∞）
2 2
1 1 1 1
C．（﹣∞，- ）∪（ ，+∞） D．（﹣∞，- ）∪（- ，+∞）
3 3 3 3
二、多選題
23．（2024 高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)中是函數(shù)的是（ ）．
A． x y ，其中 y = 2x +1， x 1,2,3,4 ， y {x | x <10, x N}
B． x y ，其中 y2 = x ， x 0, + ， y R
C． x y ，其中 y 為不大于 x 的最大整數(shù)， x R ， y Z
D． x y ，其中 y = x -1， x N*， y N*
24．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
25．（2024 高一上·吉林通化·階段練習(xí)）中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在 1859 年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將
“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函
數(shù)”．1930 年美國(guó)人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義．已知集合 M＝{ - 1，1，2，4}，N＝{1，2，
4，16}，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從 M 到 N 的函數(shù)的是（ ）
A． y = 2x B． y=x+2 C． y =| x | D． y = x2
26．（2024 高一上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）若函數(shù) f x 定義域?yàn)镽 ，且 f x + y + f x - y = f x f (y) ，
f (0) 0, f (1) =1，則下列結(jié)果正確的是（ ）
A． f (2) = -2 B． f (3) = -2 C． f 4 =1 D． f 5 =1
27．（2024 高一上·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù) f (x) = x2 - 4x +1在定義域A 上的值域?yàn)閇-3,1] ，則區(qū)間A 可
能為（　　）
A．[-1,4] B．[0,3] C．[1，4] D．[1,3]
28．（2024 高一上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）下面各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（ ）
2
A． f x = x2 ， g x = x B． f x =1 0（ x 0）， g x = x
3 2
C． f x = 3 x3 ， g x = 3 x D． f x = x +1， g x x -1= x -1
29．（2024 高一上·湖南郴州·階段練習(xí)）已知函數(shù) y = x2 - 2x + 3的值域是[2,11]，則其定義域可能是（ ）
A．[0, 4] B．[-1,1] C．[2,3] D．[-1,4]
30．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于定義域?yàn)?0, + 的函數(shù) y = f x ，若同時(shí)滿足下列條件：
① "x 0,+ ， f x 0；② ≥ 0， y 0， f x + y f x + f y ，則稱函數(shù) f x 為“ H 函數(shù)”.下列結(jié)
論正確的是（ ）
A．若 f x 為“ H 函數(shù)”，則其圖象恒過(guò)定點(diǎn) 0,0
ì1, x Q
B．函數(shù) f (x) = í 在 0, + 上是“ H 函數(shù)”
0, x Q
C．函數(shù) f x = x 在 0, + 上是“ H 函數(shù)”（ x 表示不大于 x 的最大整數(shù)）
D．若 f x 為“ H 函數(shù)”，則 f x 一定是 0, + 上的增函數(shù)
三、填空題
1 1
31 2．（2024 高一上·安徽滁州·期末）設(shè)二次函數(shù) f x = mx + 2x + n （m ，n R ）的值域是 0, + ，則 +
m n
的最小值是 ．
32．（2024 高一上·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為 40m 的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃
在空地內(nèi)種植一邊長(zhǎng)為 x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于336m2 ，則 x 的取值范
圍為 .
33．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = 4 - x2 ，g x = 2x +1，則函數(shù) y = f é g x ù 的定義域?yàn)? .
34．（2024 高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）函數(shù) f (x) = x + x -1的值域?yàn)? ．
35．（2024 高一上·陜西西安·期末）已知函數(shù) f 2x 1 2的定義域?yàn)閇 , 2]，則函數(shù) f x 的定義域?yàn)? .
2
36 1．（2024·上海普陀·二模）函數(shù) y = 3- 的定義域?yàn)? ．
x
x 1
37．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求函數(shù) y = + 20 - x 0 x 20 的值域?yàn)? .
8 2
2
38．（2024 高一上·浙江杭州·期中）函數(shù) f x x - x +1= 2 的值域是 .x - x + 2
y 2x +139．（2024 高一·上海·專題練習(xí)）求函數(shù) = 2 的值域 ．x - 2x + 2
四、解答題
2x +1
40．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域 f x =
x - 3
5x + 4
41．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求函數(shù) f x = 的值域.
x - 2
42．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求函數(shù) y = x + 2 2 - x 的值域.
2
43．（2024 高一·上海·專題練習(xí)）已知函數(shù) f (x) 2x + ax + b= 2 的值域?yàn)閇1，3]，求 a,b的值x +1
44．（2024 高一上·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x)
1
= 4 - x +
x 3 的定義域?yàn)?A，集合+
B={ x 1- a(1)當(dāng) a=2時(shí)，求 A （ RB）；
(2)若B A，求 a 的取值范圍.
45．（2024·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）若 ( )的定義域?yàn)?-4, 4 ，求 g(x) = f (2x +1) + f x2 的定義域．
46．（2024 高一上·甘肅武威·期中）求下列函數(shù)的值域： y = x - 1- 2x .
47．（2024 高三下·浙江·學(xué)業(yè)考試）如果一個(gè)函數(shù)的值域與其定義域相同，則稱該函數(shù)為“同域函數(shù)”.已知函
數(shù) f x = ax2 + bx + a +1 x | ax2的定義域?yàn)?+ bx + a +1 0且 ≥ 0}.
（Ⅰ）若 a = -2 ，b = 3，求 f x 的定義域；
（Ⅱ）當(dāng) a =1時(shí)，若 f x 為“同域函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b 的值；
（Ⅲ）若存在實(shí)數(shù) a < 0且 a -1，使得 f x 為“同域函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍.
48．（2024 高一下·湖北荊州·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽 的函數(shù) f x , f 0 0，對(duì)于任意的 , ∈ R恒有
f x + y + f x - y = 2 f x f y .
(1)若 f 1 1= ，求 f 6 的值；
2
(2)若 f 2x = f 2 x ，求 f x 的值.
2
49．（2024 高一· x全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù) f x = ．
1+ x2
1
(1)求 f 2 + f ÷， f 3 + f
1
÷ 的值；
è 2 è 3
f x f 1+ (2)求證： ÷ 的定值；
è x
2 f 1 1+ f 2 + f + f 3 + f 1 1 (3)求 ÷ ÷ +L+ f 2021 + f ÷ + f 2022 + f
1
÷的值．
è 2 è 3 è 2021 è 2022
2
50 x + x +1．（2024 高一上·上海徐匯·期末）（1）求函數(shù) y = 的值域；
x
（2）求函數(shù) y = x + 2 2 - x 的值域.3.1.1 函數(shù)的概念 9 題型分類
一、函數(shù)的概念
(1)函數(shù)的概念
一般地，設(shè) A，B 是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x，按
函數(shù)的定義 照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系 f，在集合 B 中都有唯一確定的數(shù) y 和它對(duì)應(yīng)，那么
就稱 f：A→B 為從集合 A 到集合 B 的一個(gè)函數(shù)
函數(shù)的記法 y＝f(x)，x∈A
定義域 x 叫做自變量，x 的取值范圍 A 叫做函數(shù)的定義域
函數(shù)值 與 x 的值相對(duì)應(yīng)的 y 值
值域 函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域，顯然，值域是集合 B 的子集
(2)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系、值域是函數(shù)的三要素，缺一不可．
二、區(qū)間的概念
(1)設(shè) a，b 是兩個(gè)實(shí)數(shù)，而且 a①滿足不等式 a≤x≤b 的實(shí)數(shù) x 的集合叫做閉區(qū)間，表示為[a，b]；
②滿足不等式 a③滿足不等式 a≤xb].
這里的實(shí)數(shù) a 與 b 都叫做相應(yīng)區(qū)間的端點(diǎn).
實(shí)數(shù)集 R 可以用區(qū)間表示為(－∞，＋∞)，“∞”讀作“無(wú)窮大”，“－∞”讀作“負(fù)無(wú)窮大”，“＋
∞”讀作“正無(wú)窮大”．
滿足 x≥a，x>a，x≤b，x∞，b]，(－∞，b).
(2)區(qū)間的幾何表示
在用數(shù)軸表示區(qū)間時(shí)，用實(shí)心點(diǎn)表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點(diǎn)，用空心點(diǎn)表示不包括在區(qū)間內(nèi)
的端點(diǎn)．
區(qū)間 數(shù)軸表示
[a，b]
(a，b)
[a，b)
(a，b]
(3)含“∞”的區(qū)間的幾何表示
區(qū)間 數(shù)軸表示
[a，＋∞)
(a，＋∞)
(－∞，b]
(－∞，b)
注意：(1)無(wú)窮大“∞”只是一個(gè)符號(hào)，而不是一個(gè)數(shù)，因而它不具備數(shù)的一些性質(zhì)和運(yùn)算法
則．
(2)以“－∞”或“＋∞”為區(qū)間一端時(shí)，這一端必須用小括號(hào)．
三、同一個(gè)函數(shù)的判定
如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即相同的自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相同，
那么這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)．
四、常見(jiàn)函數(shù)的值域
(1)一次函數(shù) f(x)＝ax＋b(a≠0)的定義域?yàn)?R，值域是 R.
4ac－b2
(2)二次函數(shù) f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的定義域是 R，當(dāng) a>0 時(shí)，值域?yàn)閇 ，＋∞)，當(dāng)4a
4ac－b2
a<0 時(shí)，值域?yàn)?－∞， 4a ].
（一）
函數(shù)關(guān)系的判斷
1、判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否是函數(shù)的兩個(gè)條件
(1)A，B 必須是非空數(shù)集．
(2)A 中任意一元素在 B 中有且只有一個(gè)元素與其對(duì)應(yīng)．
對(duì)應(yīng)關(guān)系是“一對(duì)一”或“多對(duì)一”的是函數(shù)關(guān)系，“一對(duì)多”的不是函數(shù)關(guān)系．
2、根據(jù)圖形判斷對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法
(1)任取一條垂直于 x 軸的直線 l.
(2)在定義域內(nèi)平行移動(dòng)直線 l.
(3)若直線 l 與圖形有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則是函數(shù)；若在定義域內(nèi)沒(méi)有交點(diǎn)或有兩個(gè)或兩個(gè)以上的交點(diǎn)，則
不是函數(shù)，如圖所示：
題型 1：函數(shù)關(guān)系的判斷
1-1．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）已知集合 A = {0,1,2}，B = {-1,1,3}，下列對(duì)應(yīng)關(guān)系中，從 A 到 B 的函數(shù)為
（ ）
A．f： x y = x B．f： x y = x2
C．f： x y = 2x D．f： x y = 2x -1
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義分別進(jìn)行判斷即可.
【詳解】解：對(duì) A：當(dāng) x = 0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的 y = x 為 0,1,2，所以選項(xiàng) A 不能構(gòu)成函數(shù)；
對(duì) B：當(dāng) x = 0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的 y = x2為 0,1,4，所以選項(xiàng) B 不能構(gòu)成函數(shù)；
對(duì) C：當(dāng) x = 0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的 y = 2x為 0,2,4，所以選項(xiàng) C 不能構(gòu)成函數(shù)；
對(duì) D：當(dāng) x = 0,1,2時(shí)，對(duì)應(yīng)的 y = 2x -1為-1,1,3，所以選項(xiàng) D 能構(gòu)成函數(shù)；
故選：D.
1-2．（2024 高一·江蘇·課后作業(yè)）若函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?x | -3 x 8, x 5 ，值域?yàn)?br/> y | -1 y 2, y 0 ，則 y = f x 的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用函數(shù)的定義，數(shù)形結(jié)合即可對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷.
【詳解】選項(xiàng) A 中，當(dāng) x = 8時(shí)， y = 0 ，不符合題意，排除 A；選項(xiàng) C 中，存在一個(gè) x 對(duì)應(yīng)多個(gè) y 值，不是
函數(shù)的圖象，排除 C；選項(xiàng) D 中，x 取不到 0，不符合題意，排除 D.
故選：B.
1-3．（2024 高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）下列對(duì)應(yīng)是集合A 到集合 B 的函數(shù)的是（ ）
A． A = B = R ， f : x y =1
1
B． A = Z，B = Q， f : x y =
x
C． A = B = N* ， f : x y = x - 3
D． A = [0,+ )，B = R ， f : x y = x
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義進(jìn)行判斷即可．
【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，滿足函數(shù)的定義，A 選項(xiàng)正確；
對(duì)于 B 選項(xiàng)，集合 A 中取 x = 0，在集合 B 中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，故 B 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于 C 選項(xiàng)，集合 A 中取 x = 3，在集合 B 中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，故 C 選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于 D 選項(xiàng)，集合 A 中當(dāng) x > 0時(shí)，在集合 B 中都有兩個(gè)元素與 x 對(duì)應(yīng)，不滿足函數(shù)的定義，故 D 選項(xiàng)錯(cuò)
誤.
故選：A．
1-4．（2024·山東·二模）如圖所示， AB 是半圓O的直徑，點(diǎn) P 從點(diǎn)O出發(fā)，沿OA 弧 AB BO的路徑運(yùn)
動(dòng)一周，設(shè)點(diǎn) P 到點(diǎn)O的距離為 s，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，則下列圖象能大致地刻畫(huà) s與 t之間的關(guān)系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】點(diǎn) P 在OA段運(yùn)動(dòng)時(shí)和點(diǎn) P 在BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)， s， t之間是線性關(guān)系，點(diǎn) P 在弧 AB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
s OP 1= = AB（定值），即可結(jié)合選項(xiàng)求解.
2
【詳解】當(dāng)點(diǎn) P 在OA段運(yùn)動(dòng)時(shí)， s隨 t的增大而勻速增大，
1
點(diǎn) P 在弧 AB 上運(yùn)動(dòng)時(shí)， s = OP = AB（定值），
2
點(diǎn) P 在BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)， s隨著 t的增大而減小．
故選：C．
（二）
求函數(shù)的定義域
求函數(shù)定義域的常用方法
(1)若 f(x)是分式，則應(yīng)考慮使分母不為零．
(2)若 f(x)是偶次根式，則被開(kāi)方數(shù)大于或等于零．
(3)若 f(x)是指數(shù)冪，則函數(shù)的定義域是使冪運(yùn)算有意義的實(shí)數(shù)集合．
(4)若 f(x)是由幾個(gè)式子構(gòu)成的，則函數(shù)的定義域是幾個(gè)部分定義域的交集．
(5)若 f(x)是實(shí)際問(wèn)題的解析式，則應(yīng)符合實(shí)際問(wèn)題，使實(shí)際問(wèn)題有意義．
注：求定義域時(shí)要將結(jié)果寫(xiě)成集合或區(qū)間形式.
題型 2：求具體函數(shù)的定義域
2-1．（2024·北京朝陽(yáng)·二模）函數(shù) f (x) x -1= 2 的定義域?yàn)? .x +1
【答案】 x x 1
【分析】解不等式 x -1 0即可得函數(shù)的定義域.
x -1
【詳解】令 2 0，可得 x -1 0，解得 x 1.x +1
f (x) x -1故函數(shù) = 2 的定義域?yàn)?x x 1 .x +1
故答案為: x x 1 .
1
2-2．（2024 2高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù) y = -x + x + 6 + 的定義域?yàn)? ．
x -1
【答案】 -2,1 U 1,3
【分析】根據(jù)二次根式與分式的意義求定義域即可.
2 1 ì-x
2 + x + 6 0
【詳解】由 y = -x + x + 6 + ，得 í x -2,1 1,3 ，x -1 x -1 0
故函數(shù)的定義域?yàn)椋?x -2,1 1,3 ．
故答案為： -2,1 U 1,3
1
2-3．（2024 高一上·全國(guó)·單元測(cè)試）已知函數(shù) f x = x - 3 - 的定義域?yàn)椋?）
7 - x
A． 3,7 B． 3,7 C． - ，3 D． 7,+
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式組，求出定義域.
ìx - 3 0
【詳解】由題意得 í ，解得3 x < 7 ，故定義域?yàn)?3,7 .
7 - x > 0
故選：B
1
2-4．（2024 高一上·江蘇無(wú)錫·期中）函數(shù) f x = + x + 2 的定義域?yàn)? .
x -1
【答案】 -2,1 1, +
ìx -1 0
【分析】由 í .
x 2 0
即可求出
+
ìx -1 0
【詳解】由 í ，解得 x -2x 2 0 且
x 1，
+
所以 f x 的定義域?yàn)?-2,1 1, + .
故答案為： -2,1 1, + .
題型 3：求抽象函數(shù)的定義域
1
3-1．（2024 高一上·黑龍江雞西·階段練習(xí)）若函數(shù) f x 的定義域?yàn)?0,4 ，則函數(shù) g x = f x + 2 +
x -1
的定義域?yàn)椋? ）
A． 1,2 B． 1,4 C． 1,2 D． 1,4
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于 x 的不等式組，由此可解得函數(shù) g x 的定義域.
【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù) f x 的定義域?yàn)?0,4 ，
g x f x 2 1 ì0 x + 2 4對(duì)于函數(shù) = + + ，則 íx 1 0 ，解得1< x 2，x -1 - >
即函數(shù) g x 1= f x + 2 + 的定義域?yàn)? 1,2 .
x -1
故選：C
f (x +1)
3-2．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?0,4 ，則函數(shù) y = + (x - 2)0 的定義域
x -1
是（ ）
A． 1,5 B． 1,2 2,5 C． 1,2 2,3 D． 1,3
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合復(fù)合函數(shù)的意義列出不等式組，求解不等式組作答.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y = f x 的定義域?yàn)? f (x +1)0,4 0，又函數(shù) y = + (x - 2) 有意義，
x -1
ì0 x +1 4

則有 íx -1 > 0 ，解得1< x < 2或 2 < x 3，

x - 2 0
y f (x +1)所以函數(shù) = + (x - 2)0 的定義域是 1,2 2,3 .
x -1
故選：C
3-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù) f 3x +1 的定義域?yàn)?1,7 ，則函數(shù) f x 的定義域是 .
【答案】 4,22
【分析】由 f 3x +1 的定義域確定3x +1的取值范圍，即可確定函數(shù) f x 的定義域.
【詳解】函數(shù) f 3x +1 的定義域?yàn)?1,7 ，即1 x 7，得3x +1 4,22 ，
所以函數(shù) f x 的定義域?yàn)?4,22 ，
故答案為： 4,22
3-4．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)閇－2,2]，則函數(shù) y = f 2x +1 的定義域?yàn)? .
3 1
【答案】 - , 2 2
【分析】抽象函數(shù)定義域問(wèn)題，同一個(gè)對(duì)應(yīng)法則下，括號(hào)內(nèi)的式子取值范圍相同，即可求解.
3 1
【詳解】令-2 2x +1 2，得-3 2x 1，從而- x ，
2 2
所以函數(shù) y = f (2x
3 1
+1) 的定義域?yàn)? - , 2 2
.

3 , 1- 故答案為： 2 2
3-5．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）（1）已知函數(shù) f x + 2 的定義域?yàn)?1,3 ，則函數(shù) f x 的定義域?yàn)? ．
（2）已知函數(shù) f x +1 的定義域?yàn)?3,8 ，則函數(shù) f x2 的定義域?yàn)? ．
【答案】 3,5 -3, -2 U 2,3
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義域的求法，內(nèi)層函數(shù)必須包含于外層函數(shù)的定義域之中.
【詳解】（1）令u = x + 2，則 f x + 2 = f u ，
因?yàn)楹瘮?shù) f x + 2 的定義域?yàn)?1,3 ，所以u(píng) = x + 2 3,5 ，
所以函數(shù) f x 的定義域?yàn)?3,5 ．
（2）令u = x +1，v = x2，則 f x +1 = f u 2， f x = f v ．
因?yàn)楹瘮?shù) f x +1 的定義域?yàn)?3,8 ，所以u(píng) = x +1 4,9 ，
所以函數(shù) f x 的定義域?yàn)? 4,9 ，
所以 v = x2 4,9 ，所以 x -3, -2 2,3 ，
所以函數(shù) f x2 的定義域?yàn)?-3, -2 U 2,3 ．
故答案為： 3,5 ； -3, -2 U 2,3
3-6．（2024 2高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知函數(shù) f x 的定義域?yàn)? 0, 1)，則函數(shù) f x 的定義域是 .
【答案】 (-1,0) U (0,1)
【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義的求法，得到0 < x2 <1，即可求得函數(shù) f x2 的定義域.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f x 的定義域?yàn)? 0, 1)，所以0 < x2 <1，即-1 < x <1且 x 0，
所以函數(shù) f x2 的定義域?yàn)?(-1,0) U (0,1) .
故答案為： (-1,0) U (0,1) .
題型 4：已知函數(shù)定義域求參數(shù)
4-1．（24-25 高一上·上海·隨堂練習(xí)）若函數(shù) y = mx2 + 4mx + 3 中 x 的取值范圍為 R，則m 的取值范圍
是 ．
0, 3 【答案】 4
【分析】把函數(shù) y = mx2 + 4mx + 3 中的 x 的取值范圍為 R，轉(zhuǎn)化為mx2 + 4mx + 3≥0對(duì)任意實(shí)數(shù) x 恒成立．然
后對(duì)m 分類討論得答案．
【詳解】由已知mx2 + 4mx + 3≥0恒成立，
當(dāng)m = 0時(shí)符合題意，
當(dāng)m 0 時(shí)，D =16m2 -12m≤0，
0 m 3< ，
4
綜上所述m
3
0, 4
，

3
故答案為： 0, 4
．

4-2．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = ax2 + 2ax +1的定義域?yàn)?R，則實(shí)數(shù) a的取值范圍為
（ ）
A． 0,1 B． 0,1 C． 1, + D． 1, +
【答案】B
【分析】轉(zhuǎn)化為不等式 ax2 + 2ax +1≥0對(duì)任意的 x R 恒成立，分 a = 0與 a 0兩種情況，結(jié)合根的判別式
得到不等式，求出答案.
【詳解】由題意，不等式 ax2 + 2ax +1≥0對(duì)任意的 x R 恒成立．
當(dāng) a = 0時(shí)，1 0恒成立，即 a = 0符合題意．
ìa > 0
當(dāng) a 0時(shí)，則 íΔ 4a2 4a 0，解得
0 < a 1．
= -
綜上， a的取值范圍是 0,1 ．
故選：B
3x
4-3．（25-26 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù) y = 2 的定義域?yàn)镽 ，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為（ ）kx + 2kx +1
A． - ,0 1, + B． - ,0 U 1, + C． 0,1 D． 0,1
【答案】D
【分析】 k = 0時(shí)直接代入； k 0時(shí)利用Δ < 0 可得答案．
3x
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y = 的定義域?yàn)镽 ，
kx2 + 2kx +1
所以關(guān)于 x 的方程 kx2 + 2kx +1 = 0 無(wú)實(shí)數(shù)解，
當(dāng) k = 0時(shí)，1 = 0 顯然無(wú)解，符合題意；
當(dāng) k 0時(shí)，則Δ = 4k 2 - 4k < 0，解得0 < k <1．
綜上可得0 k <1．
故選：D．
（三）
已知自變量的值求函數(shù)值
函數(shù)求值的方法
①求 f(a)：已知 f(x)時(shí)，只需用 a 替換 f(x)中的 x 即得 f(a)的值；
②求 f(g(a))：已知 f(x)與 g(x)，求 f(g(a))的值應(yīng)遵循由里往外的原則．
注：函數(shù)求值的關(guān)注點(diǎn)用來(lái)替換 f(x)中 x 的數(shù) a 必須是函數(shù)定義域內(nèi)的值，否則函數(shù)無(wú)意義．
題型 5：已知自變量的值求函數(shù)值
x + 3 1
5-1．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）若函數(shù) f x = ，則 f 2 + fx +1 ÷ = ．è 2
【答案】4
f x x + 3 f x 1+ f 【分析】根據(jù) = ,x 1 計(jì)算 ÷ 的值即可求解.+ è x
1
f x f 1 x + 3
+ 3
x x + 3 3x +1 4x + 4
【詳解】因?yàn)?+ ÷ = +x x 1 1
= + = = 4
x 1 x ,è + +1 + +1 x +1
x
所以 f 2 + f 1 ÷ = 4 ,
è 2
故答案為：4.
2
5-2．（2024 x高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 f x = ， x R ．
1+ x2
（1）計(jì)算： f a + f 1 ÷ = ；
è a
f 1 f 2 f 1 1 （2）計(jì)算： + + ÷ + f 3 + f ÷ + f 4 + f
1
÷ = ．
è 2 è 3 è 4
7
【答案】 1 /3.5
2
1
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式計(jì)算（1） f a + f ÷，由（1）的結(jié)論及解析式計(jì)算（2）即可.
è a
2
1
1 f a a
2 1 a ÷ 1
【詳解】（ ） = ， f è ÷ = 2 =1+ a2
，
è a 1+ a21+ 1 ÷
è a
所以 f a 1+ f ÷ =1．
è a
（2）由（1）知 f a + f 1 ÷ =1，
è a
1 1 1
從而 f 2 + f ÷ = f 3 + f

÷ = f 4 + f
=1，
è 2 è 3 ÷ è 4
f 2 f 1 f 3 f 1 f 4 f 1 故 + ÷ + +

2 3 ÷
+ + ÷
è è
= 3，
è 4
12f 1 1
1
而 = = ，所以 f 1 + f 2 + f ÷ + f 3 f
1+ + f 4 + f 1 7= ．
1+12 2 è 2 3 ÷ ÷ è è 4 2
7
故答案為：1； .
2
1
5-3．（2024 高一上·廣東中山·階段練習(xí)）設(shè)函數(shù) f x = x -1 - x ，則 f f 2 ÷ =（ ） è
1 1
A．- B．1 C． D． 0
2 2
【答案】B
【分析】將 x=
1
和 x=0依次代入解析式即可得到結(jié)果.
2
【詳解】Q f
1 1 1 1
÷ = -1 - = 0，\ f f ÷ = f 0 = 0 -1 - 0 =1.è 2 2 2 è 2
故選：B.
5-4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若 f (x) = x2 - 2x ，則 f f (1) ＝ ．
【答案】3
【分析】根據(jù) f (x) = x2 - 2x ，先求 f (1)，再求 f f (1) .
【詳解】解：因?yàn)?f (x) = x2 - 2x ，
所以 f (1) =12 - 2 1 = -1，
所以 f f (1) = f -1 = -1 2 - 2 -1 = 3，
故答案為：3
（四）
區(qū)間的應(yīng)用
用區(qū)間表示數(shù)集的方法
(1)區(qū)間左端點(diǎn)值小于右端點(diǎn)值；
(2)區(qū)間兩端點(diǎn)之間用“，”隔開(kāi)；
(3)含端點(diǎn)值的一端用中括號(hào)，不含端點(diǎn)值的一端用小括號(hào)；
(4)以“－∞”“＋∞”為區(qū)間的一端時(shí)，這端必須用小括號(hào)．
注：區(qū)間是數(shù)集的另一種表示方法，但并不是任何數(shù)集都能用區(qū)間表示，如集合{0},Z,Q 等就
不能用區(qū)間表示.
題型 6：區(qū)間的應(yīng)用
6-1．（2024 高三上·江蘇南通·期末）已知全集U = x -2 < x < 3 ,集合 A = x -1< x 1 ,則 U A =（ ）
A． -1,1 B． -2, -1 1,3
C． -1,1 D． -2, -1 1,3
【答案】B
【分析】根據(jù)集合補(bǔ)集的運(yùn)算性質(zhì),求出即可.
【詳解】解:由題知 A = x -1< x 1 ,
U = x -2 < x < 3 ,
故 U A = {x -2 < x -1或1< x < 3} .
故選:B
6-2．（2024 高一上·吉林松原·階段練習(xí)）若實(shí)數(shù) x 滿足 x | 3 x < 7 ，則用區(qū)間表示為（ ）
A． 3,7 B． 3,7 C． 3,7 D． 3,7
【答案】D
【分析】根據(jù)區(qū)間的概念選出正確選項(xiàng).
【詳解】由3 x < 7 可知 x 可以等于3，不能等于7 ，所以是半開(kāi)半閉區(qū)間，D 選項(xiàng)符合.
故選 D.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查用區(qū)間表示集合，屬于基礎(chǔ)題.
6-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）把下列數(shù)集用區(qū)間表示．
(1){x | x -1}；
(2) x | x < 0 ；
(3){x | -1< x <1}；
(4){x | 0 < x <1或 2 x 4}．
【答案】(1)[-1, + )
(2) (- , 0)
(3) (-1,1)
(4) 0,1 U 2,4
【分析】由區(qū)間的概念求解即可.
【詳解】（1）{x | x -1} = [-1,+ ) .
（2） x | x < 0 = (- ,0) .
（3）{x | -1< x <1} = (-1,1) .
（4）{x | 0 < x <1或 2 x 4} = 0,1 U 2,4 .
6-4．（2024 高一上·河北張家口·階段練習(xí)）全集U = R ，集合 A = x R∣- 2 2x 1 ，集合
B = {x R | x <1}，則 U AI B =（ ）
1 1
A． - ,-1 ,+ B． -1,
è 2 ÷ è 2
C． - ,-1 1 - , +

÷ D． -1,
1
-
2 2 ÷ è
【答案】A
【分析】求出集合 A, B，繼而求得 A B ，即可求得 U A B ，即得答案.
1 1
【詳解】由 A 中不等式-2 2x 1變形得：-1 x ，即 A = [-1, ]，
2 2
由 B 中不等式 x <1解得：-1 < x <1，即B = (-1,1) ，
AI B ( 1, 1\ = - ]，
2
1
又全集U = R ，則 U AI B = - , -1 U , + ÷ ,
è 2
故選：A .
（五）
同一個(gè)函數(shù)的判定
判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)的條件：
(1)判斷兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的準(zhǔn)則是兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系分別相同．定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系兩者中
只要有一個(gè)不相同就不是同一個(gè)函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一個(gè)函數(shù)．
(2)函數(shù)是兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒(méi)有限制的．另外，在化簡(jiǎn)
解析式時(shí)，必須是等價(jià)變形．
題型 7：判斷兩個(gè)函數(shù)為同一個(gè)函數(shù)
7-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各函數(shù)中，與函數(shù) g(x) = x2 表示同一函數(shù)的是（ ）
A． f (x) =| x | B． f (x) = | x |
x2
C． f (x) = D． f (x) = x0 × | x |
| x |
【答案】A
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域以及解析式結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷.
【詳解】 g(x) = x2 = x ，故 g x 的定義域?yàn)镽 ,
對(duì)于 A， f x 的定義域?yàn)镽 ，且解析式與 g x 相同，故為同一個(gè)函數(shù)，
對(duì)于 B, f x g x ，故不是同一個(gè)函數(shù)，
對(duì)于 C, f x 的定義域?yàn)?x x 0 ，而 g x 對(duì)定義域?yàn)镽 ，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，
對(duì)于 D, f x 的定義域?yàn)?x x 0 ，而 g x 對(duì)定義域?yàn)镽 ，定義域不同，不是同一個(gè)函數(shù)，
故選:A
7-2．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下列各組函數(shù)表示相同函數(shù)的是（ ）
2
A． f x = x2 和 g x = x B． f x =1和 g x = x0
x, x 0, 2
C． f x = x 和 g(x) ì= í D． f x = x +1 x -1x, x 0 和 g- < x = x -1
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域及對(duì)應(yīng)法則判斷是否為同一函數(shù)即可.
【詳解】對(duì)于 A 中，函數(shù) f (x) = x2 的定義域?yàn)镽 ，函數(shù) g (x) = ( x )2 的定義域?yàn)閇0,+ )，兩個(gè)函數(shù)的定義
域不同，所以表示不同的函數(shù)；
對(duì)于 B 中，函數(shù) f (x) = 1的定義域?yàn)镽 ，函數(shù) g(x) = x0 的定義域?yàn)?(- ,0) U (0,+ )，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，
所以表示不同的函數(shù)；
ìx, x 0 ìx, x 0
對(duì)于 C 中，函數(shù) f (x) = x = í g(x) =x, x 0與 í x, x 0的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，所以表示相同的函數(shù)； - < - <
2
D f (x) = x +1 R g(x) x -1對(duì)于 中，函數(shù) 的定義域?yàn)?，函數(shù) = 的定義域?yàn)閧x | x 1}，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，
x -1
所以表示不同的函數(shù).
故選：C
7-3．（2024 高一上·福建福州·期中）下列函數(shù)表示同一個(gè)函數(shù)的是（ ）.
A f x x
2
． = 與 g x = x0 B． f x = x -1 × x +1與 g x = x -1 x +1
x
C． y = -2x3 與 y = x -2x D． f x = x - 3 與 g x = x - 3 2
【答案】D
【分析】根據(jù)相同函數(shù)的概念判定即可.
2 x 1, x > 0
【詳解】對(duì)于 A 項(xiàng)， f x x ì= = = í ，顯然與 g x = x0 =1對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，但定義域相同均為x x -1, x < 0
x 0，故 A 錯(cuò)誤；
ìx -1 0
對(duì)于 B 項(xiàng)，由題意得 í f x x 1 0，即 的定義域?yàn)?x 1， x -1 x +1 0，即 g x 的定義域?yàn)?x 1和 +
x -1，兩函數(shù)定義域不同，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C 項(xiàng)， x 0, y = -2x3 = -x × -2x x × -2x ，即兩函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D 項(xiàng)， g x = x - 3 2 = x - 3 = f x ，兩函數(shù)定義域與對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，故 D 正確.
故選：D
7-4．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列每組中的函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)的是（ ）
2
A． f x = x ， g x = x B． f t = t ， g x = x2
2
C． f x = -2x3 ， g x = -2x D f x x - 9． = ， g x = x + 3
x - 3
【答案】B
【分析】根據(jù)相同函數(shù)的定義進(jìn)行逐一判斷即可.
【詳解】對(duì)于 A，函數(shù) f x 的定義域?yàn)?R，函數(shù) g x 的定義域?yàn)閇0，+∞），所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函
數(shù)；
對(duì)于 B，因?yàn)?g x = x2 = x ，且 f (t) ， g x 的定義域均為 R，所以這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)；
對(duì)于 C， f x = -2x3 = -x -2x ， f x 和 g x 的對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)；
對(duì)于 D，函數(shù) f x 的定義域?yàn)閧 x x R ，且 x 3 }，函數(shù) g x 的定義域?yàn)?R，
所以這兩個(gè)函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù).
故選：B.
（六）
求函數(shù)的值域
求函數(shù)值域的原則及常用方法
(1)原則：①先確定相應(yīng)的定義域；②再根據(jù)函數(shù)的具體形式及運(yùn)算法則確定其值域．
(2)常用方法
①觀察法：對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過(guò)觀察法得到．
②配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法．
③換元法：運(yùn)用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對(duì)于 f(x)＝ax＋b＋
cx＋d(其中 a，b，c，d 為常數(shù)，且 ac≠0)型的函數(shù)常用換元法．
④分離常數(shù)法：此方法主要是針對(duì)有理分式，即將有理分式轉(zhuǎn)化為“反比例函數(shù)類”的形式，便于求值域．
題型 8：求函數(shù)的值域
8-1．（2024 高一上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）函數(shù) y =1+ x - 1- 2x 的值域?yàn)椋? ）
- , 3 , 3 3- ,+ 3 A． 2
B． 2 ÷
C． D2 ÷ ．
,+
2 ÷è è è
【答案】A
1
【分析】換元設(shè) 1- 2x = t ，可得 y = - t +1 2 + 2，再結(jié)合 t 0與二次函數(shù)的范圍求解即可.2
2 2
【詳解】設(shè) 1- 2x = t ，則 t 0, x
1- t y 1 1- t t 1 t 2 1 = ，所以 = + - = - - 2t + 3 = - t +1 2 + 2，因?yàn)?t 0，2 2 2 2
3 3y 所以 ，所以函數(shù) y =1+ x - 1- 2x 的值域?yàn)? - ,2 è 2
.
故選：A．
8-2．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.
f (x) 5x + 4(1) = ；
x - 2
(2) f x = x2 - 2x - 3， x (-1,4] .
【答案】(1) (- ,5) U (5,+ )
(2)[-4,5]
【分析】（1）利用分離常數(shù)的方法確定 f (x) 的值域；
（2）判斷出 f (x) 在 x (-1,4]上的單調(diào)性，從而求出值域.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?(- ,2) (2,+ )
Q f (x) 5x + 4 5(x - 2) +14 14= = = 5 + 5，\ f (x)的值域?yàn)?(- ,5) U (5,+ ) .
x - 2 x - 2 x - 2
2
（2） f x = x - 2x - 3 = (x -1)2 - 4 ,則 f (x) 的對(duì)稱軸是 x =1，在 (-1,1)上單調(diào)遞減，在 (1, 4]單調(diào)遞增，
故 f (x)min = f (1) = -4 ； f (x)max = f (4) = 5，\ f (x)的值域?yàn)閇-4,5] .
8-3．（2024 高一·江蘇·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域、值域，并畫(huà)出圖象：
(1) f (x) = 3x；
(2) f (x) = -3x +1；
1
(3) f (x) = - ；
x
(4) f (x)
1
= - +1；
x
(5) f (x) =1- x2 ；
(6) f (x) = x2 + 2x．
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
(3)答案見(jiàn)解析
(4)答案見(jiàn)解析
(5)答案見(jiàn)解析
(6)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）（2）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得定義域和值域，列表、描點(diǎn)、連線可得圖象；
（3）（4）由分母不等于0 可得定義域，列表、描點(diǎn)、連線可得圖象，根據(jù)單調(diào)性可得值域；
（5）（6）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得定義域和值域，列表、描點(diǎn)、連線可得圖象.
【詳解】（1） f (x) = 3x定義域?yàn)镽 ，值域?yàn)镽 ，
列表如下：
x -1 0 1 2
f x -3 0 3 6
作出圖象如圖：
（2） f (x) = -3x +1的定義域?yàn)镽 ，值域?yàn)镽 ，
列表如下：
x -1 0 1 2
f x 4 1 -2 -5
作出圖象如圖：
.
1
（3） f (x) = - 的定義域?yàn)?x | x 0 ，
x
列表如下：
1 1
x -2 -1 - 2 2 1 2
f x 1 1
2 1 2 -2 -1
-
2
作出圖象如圖：
由圖知：值域?yàn)?y | y 0 .
（4） f (x)
1
= - +1的定義域?yàn)?x | x 0 ，
x
列表如下：
1 1
x -4 -3 -2 -1 - 2 2 1 2
3 4
f x 5 4 3 13 0 2 3
4 3 2 2 -1 2 3 4
作出圖象如圖：
由圖知：值域?yàn)?y | y 1 ；
（5） f (x) =1- x2 的定義域?yàn)镽 ，開(kāi)口向下的拋物線，最大值為1，所以值域?yàn)? - ,1 ，
列表如下：
x -2 -1 0 1 2
f x -3 0 1 0 -3
作出圖象如圖：
（6） f (x) = x2 + 2x的定義域?yàn)镽 ，對(duì)稱軸為 x=-1，開(kāi)口向上，
f (x)min = f -1 =1- 2 = -1，所以值域?yàn)?-1, + ；
列表如下：
x -3 -2 -1 0 1
f x 3 0 -1 0 3
作出圖象如圖：
8-4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）試求下列函數(shù)的定義域與值域．
(1) y = x -1 2 +1， x {-1,0,1,2,3}；
(2) y = x -1 2 +1；
y 5x + 4(3) = ；
x -1
(4) y = x - x +1 .
【答案】(1)定義域?yàn)閧-1,0,1,2,3}，值域?yàn)閧1,2,5}
(2)定義域?yàn)镽 ，值域?yàn)?1, +
(3)定義域是 x | x 1 ，值域?yàn)? - ,5 U 5, +
(4)定義域是 x | x 5 -1 ，值域是 - , +

÷ .
4
【分析】（1）定義域已知，代入計(jì)算得到值域；
（2）變換 f x = x -1 2 +1 1，得到答案；
（3）確定定義域，變換 f x 5 9= + ，得到值域；
x -1
2
（4 1 5）設(shè) t = x +1， y = t 2 -1- t = t - ÷ - ，計(jì)算得到定義域和值域.
è 2 4
【詳解】（1）因?yàn)?y = x -1 2 +1的定義域?yàn)?-1,0,1,2,3 ，則 f -1 = -1-1 2 +1 = 5，
同理可得 f 0 = 2 ， f 1 =1， f 2 = 2， (3) = 5，所以函數(shù)的值域?yàn)?1,2,5 .
（2）函數(shù)的定義域?yàn)?R，因?yàn)?f x = x -1 2 +1 1，所以函數(shù)的值域?yàn)?1, + .
（3）函數(shù)的定義域?yàn)?x | x 1 ，因?yàn)?f x 5x + 4 5x - 5 + 9 9= = = 5 + ，
x -1 x -1 x -1
所以函數(shù)的值域?yàn)? - ,5 U 5, + .
（4）要使函數(shù)有意義，需滿足 x +1 0，即 x -1，故函數(shù)的定義域是 x | x -1 .
2
設(shè) t = x +1，則 x = t 2 -1 t 0 1 5，于是 y = t 2 -1- t = t -

÷ - ，
è 2 4
t 0 y 5
5
又 ，所以 -

，所以函數(shù)的值域?yàn)?- , + .
4 4 ÷
8-5．（2024 高一上·湖北襄陽(yáng)·階段練習(xí)）函數(shù) y = -x + 2 1- x 的值域是 .
【答案】[-1,+ )
【分析】令 1- x = t ， t 0，換元后利用二次函數(shù)的單調(diào)性，即可求出答案.
【詳解】設(shè) 1- x = t 則 x =1- t 2 , t 0
所以 y = -x + 2 1- x = t 2 -1+ 2t = (t +1)2 - 2 t 0
因?yàn)楹瘮?shù) y = (t +1)2 - 2在 0, + 上單調(diào)遞增，
當(dāng) t = 0， y = -1，
所以函數(shù) y = -x + 2 1- x 的值域?yàn)閇-1,+ )
故答案為：[-1,+ ) .
8-6．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域.
(1) f x = 2x + 4 1- x ;
f x 5x + 4(2) = ;
x - 2
(3) f x = x2 - 2x - 3， x -1,4
x2(4) y + x +1=
x
【答案】(1) - , 4
(2) - ,5 U 5, +
(3) -4,5
(4) - , -1 U 3, +
【分析】（1）用換元法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間的值域問(wèn)題求解；
（2）用分離常數(shù)法求解；
（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解；
（4）利用基本不等式求解．
2
【詳解】（1）設(shè) t = 1- x t 0 ，則 x =1- t 2 ，所以 g t = 2 1- t 2 + 4t = -2t 2 + 4t + 2 = -2 t -1 + 4，
根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù) g t 的值域?yàn)? - , 4 .
2 5x + 4
5 x - 2 +14 14
（ ）函數(shù)的定義域?yàn)? - , 2 U 2,+ ， f x = = = 5 + ，
x - 2 x - 2 x - 2
所以函數(shù) f x 的值域?yàn)? - ,5 U 5, + .
（3）因?yàn)楹瘮?shù) f x = x2 - 2x - 3圖象的對(duì)稱軸為 x =1，所以函數(shù) f x 在 -1,1 單調(diào)遞減， 1,4 單調(diào)遞增，
所以函數(shù) f x 的值域?yàn)?-4,5 .
x24 y + x +1 x 1（ ） = = + +1， x 0，
x x
x > 0 y x 1當(dāng) 時(shí)， = + +1 2 x 1+ +1 = 3，當(dāng)且僅當(dāng) x =1時(shí)等號(hào)成立；
x x
當(dāng) x < 0 時(shí)， y = - -x
1 1 2 x 1- ÷ + - - × -

÷ +1 = -1，當(dāng)且僅當(dāng) x=-1時(shí)等號(hào)成立.
è x è x
故函數(shù)值域?yàn)? - , -1 U 3, + .
題型 9：函數(shù)值域的應(yīng)用
9-1．（2024 高一上·四川遂寧·階段練習(xí)）若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但其定義域不同，則稱這些函
數(shù)為“同族函數(shù)”，例如函數(shù) y = x2 , x 1,2 y = x2與函數(shù) , x -2, -1 即為“同族函數(shù)”．請(qǐng)你找出下面哪個(gè)函數(shù)
解析式也能夠被用來(lái)構(gòu)造“同族函數(shù)”的是（ ）
A． y = x B． y = x - 3 C． y
1
= D． y = x +1x
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，可知構(gòu)造“同族函數(shù)”的函數(shù)最起碼不能是單調(diào)的，結(jié)合選項(xiàng)一一判斷即可.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng) AD，函數(shù)都為單調(diào)遞增的，故不滿足，因此 AD 都錯(cuò)；
1
對(duì)于選項(xiàng) C， y = x 在區(qū)間( ∞,0)和(0, + ∞)上都是單調(diào)遞減的，且在兩個(gè)區(qū)間上
y 的取值一正一負(fù)，故不滿
足，因此 C 錯(cuò)；
對(duì)于選項(xiàng) B，函數(shù) y = x - 3 ， x 2,3 和函數(shù) y = x - 3 ， x 3,4 即為“同族函數(shù)”，故滿足，因此 B 正確.
故選：B.
9-2．（2024 高三上·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù) y = f x 的值域?yàn)?-2,2 ，則函數(shù) y = f 2x +1 的值域
為 .
【答案】 -2,2
【分析】由函數(shù)的伸縮變換、平移變換以及函數(shù)值域的概念即可求解.
【詳解】函數(shù) y = f 2x +1 的圖象是通過(guò)一下操作得到的：
首先將函數(shù) y = f x 1上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)的 得到 y = f 2x ，
2
然后將函數(shù) y = f 2x 1的圖象向左平移 個(gè)單位得到函數(shù) y = f 2x +1 的圖象，
2
以上操作過(guò)程中不改變函數(shù)圖象的“高度”，
也就是說(shuō)函數(shù) y = f 2x +1 的值域和函數(shù) y = f x 的值域一樣，都是 -2,2 .
故答案為： -2,2 .
9-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù) f (x) = x2 - 2x, x [0,b]，且該函數(shù)的值域?yàn)閇-1,3]，則b 的值
為 .
【答案】3
【分析】由題意可得b >1，且 f (x) 在[0,1)上遞減， (1,b]上遞增，然后由 f (b) = 3可求得答案.
【詳解】因?yàn)?f (x) = x2 - 2x = (x -1)2 -1 -1，當(dāng)且僅當(dāng) x =1時(shí)取等號(hào)，
所以若 x [0,b]， f (x) 的值域?yàn)閇-1,3]，則b >1，
因?yàn)?f (x) 的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，
所以 f (x) 在[0,1)上遞減， (1,b]上遞增，
因?yàn)?f (0) = 0 3，
所以 f (b) = b2 - 2b = 3，即b2 - 2b - 3 = 0，解得b = 3或b = -1（舍去），
故答案為：3
9-4．（2024 高一上·廣東佛山·期中）已知函數(shù) f x = 6 - 2x 的值域?yàn)? -4,10 ，則函數(shù) f x 的定義域?yàn)? .
【答案】 -2,5
【分析】依題意可得-4 < 6 - 2x <10，解得 x 的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f x = 6 - 2x 的值域?yàn)? -4,10 ，又函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，
所以-4 < 6 - 2x <10，解得-2 < x < 5，
所以函數(shù) f x 的定義域?yàn)? -2,5 .
故答案為： -2,5
一、單選題
1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）周長(zhǎng)為定值 a 的矩形，它的面積 S 是這個(gè)矩形的一邊長(zhǎng) x 的函數(shù)，則這個(gè)函
數(shù)的定義域是（ ）
a a a
A． a,+ B． , + ÷ C2 ． ,a ÷ D． 0, ÷è è 2 è 2
【答案】D
a - 2x a
【解析】設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為 x，該邊的鄰邊長(zhǎng)為 = - x ，根據(jù)矩形的邊長(zhǎng)大于零即可求解.
2 2
a - 2x a
【詳解】依題意知，矩形的一邊長(zhǎng)為 x，則該邊的鄰邊長(zhǎng)為 = - x ，
2 2
ìx > 0
0 x a
a
由 ía 得 < < ，故這個(gè)函數(shù)的定義域是 0, .
- x > 0 2
÷
è 2
2
故選：D
【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義域，函數(shù)的定義域使表達(dá)式有意義或滿足實(shí)際生活中的自變量的取值范圍，
屬于基礎(chǔ)題.
2．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）下表給出了 x 與 f (x) 和 g(x)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，根據(jù)表格可知 f [g(1)]的值為
（ ）
x 1 2 3 4 x 1 2 3 4
f (x) 3 1 4 2 g(x) 4 3 2 1
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)即可先求 g 1 = 4 ，再求解 f 4 即可.
【詳解】由表中數(shù)據(jù)可知 g 1 = 4 ，所以 f [g(1)] = f 4 = 2，
故選：B
3．（2024 高一·全國(guó)·單元測(cè)試）已知等腰三角形的周長(zhǎng)為 40cm，底邊長(zhǎng) y cm 是腰長(zhǎng) x cm 的函數(shù)，則函數(shù)
的定義域?yàn)? )
A． 10,20 B． 0,10 C． 5,10 D． 5,10
【答案】A
【分析】利用兩邊之和大于第三邊及邊長(zhǎng)為正數(shù)可得函數(shù)的定義域.
【詳解】由題設(shè)有 y = 40 - 2x ，
ì40 - 2x > 0
由 í 得10 < x < 20x x ，故選
A.
+ > 40 - 2x
【點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用題中函數(shù)的定義域，注意根據(jù)實(shí)際意義和幾何圖形的性質(zhì)得到自變量的取值范圍.
4．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知高斯取整函數(shù) f (x) = [x]，則 f (-1.35) + f (4.65)的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】利用取整函數(shù)的定義直接計(jì)算作答.
【詳解】取整函數(shù) f (x) = [x]，所以 f (-1.35) + f (4.65) = -2 + 4 = 2 .
故選：A
x -1
5．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù) f (x) = 的定義域是（
x 1 ）+
A．{x R∣x -1} B．{x R∣x 1}
C．{x R∣x 1} D．{x R∣x -1或 x 1}
【答案】A
【分析】根據(jù)分式中分母不為 0 即可求解.
f (x) x -1【詳解】 = 的自變量需滿足 x +1 0，所以定義域?yàn)閧x R∣x -1}，
x +1
故選：A
6．（2024 高二·重慶·學(xué)業(yè)考試）已知函數(shù) f (x) = x3 - 2x + 3，那么 f (2) 的值（ ）
A．3 B．5 C．7
【答案】C
【分析】把 x = 2代入解析式即可求解.
【詳解】 f (2) = 23 - 2 2 + 3 = 7 .
故選：C
7．（2024 高一上·廣東廣州·期末）若集合 A = x -1< x < 3 ，B = x x > 0 ，則 AI B =（ ）
A． -1,3 B． -1, + C． 0,3 D． 2, +
【答案】C
【分析】利用集合交集運(yùn)算求解即可.
【詳解】由集合交集運(yùn)算可得 AI B = 0,3 .
故選：C.
8．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·期中）函數(shù) f (x) = -x2 - 2x + 4, x [-2,3]，則 f (x) 的值域?yàn)椋? ）
A．[-11,4] B．[-11,5] C．[4,5] D．[-4,5]
【答案】B
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性確定最值即可得 f (x) 的值域.
2
【詳解】解： f x = -x2 - 2x + 4 = - x +1 + 5，又 x [-2,3]
所以函數(shù) f x 在 -2, -1 上單調(diào)遞增，在 -1,3 上單調(diào)遞減
則 f x = f -1 = 5，又 f -2 = 4, f 3 = -11max ，所以 f x = -11min
所以 f (x) 的值域?yàn)閇-11,5] .
故選：B.
9．（2024 高一上·重慶渝中·期末）若函數(shù) f (x) [-3,2] f x +1g x 的定義域是 ，則函數(shù) = 的定義域是（ ）
x -1
A．[-4，1] B．[-3，1] C．[-3，1） D．[-4，1）
【答案】D
【分析】由復(fù)合函數(shù)的定義求定義域，同時(shí)注意分母不為 0．
【詳解】由-3 x +1 2解得-4 x 1，又 x -1 0，得-4 x <1 .
故選：D．
10．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合 A 到集合 B 的函數(shù)的是（ ）
A． A = N, B = N, f : x y = x –1 2 B． A = N, B = N, f : x y = x
C． A = N, B = Q, f : x y
1
= D． A = R, B = y | y > 0 , f : x y = x
x –1
【答案】A
【分析】由函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】對(duì)于 A 選項(xiàng)，對(duì)集合 A 中的任意一個(gè)數(shù) x，集合 B 中都有唯一的數(shù) y 與之對(duì)應(yīng)，是函數(shù)；
對(duì)于 B 選項(xiàng)， x = 4時(shí)， y = 2，有兩個(gè) y 與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)；
對(duì)于 C 選項(xiàng)，當(dāng) x =1時(shí)， y 不存在，不是函數(shù)；
對(duì)于 D 選項(xiàng)，集合 A 中的元素 0 在集合 B 中沒(méi)有對(duì)應(yīng)元素，不是函數(shù).
故選：A
f (x)
11．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知函數(shù) f（x+2）的定義域?yàn)椋ī?，4），則函數(shù) g(x) = 的
3x -1
定義域?yàn)椋ā　。?br/>1 1
A．（ ，4） B．[ ，4）
3 3
1 1
C．（ ，6） D．（ ，2）
3 3
【答案】C
【分析】由已知求得 f (x) 的定義域，再由 g(x)解析式分母中根式內(nèi)的代數(shù)式大于 0，最后取交集即可.
【詳解】由函數(shù) ( + 2)的定義域?yàn)?(-3,4)，即 3 < < 4，得 -1 < x + 2 < 6 ，
所以 f (x) 定義域?yàn)?(-1,6)
1
，又Q3x 1 0 \ x > 1- > ， ，取交集得 g(x)的定義域?yàn)?(3 ，6) ．3
故選：C．
12．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知函數(shù) y = x2 - 3x + 3(x > 0) 的值域是[1,7]，則 x 的取值范圍是（ ）
A． (0,4] B．[1, 4] C．[1, 2] D． (0,1]U [2,4]
【答案】D
【分析】畫(huà)出 y = x2 - 3x + 3(x > 0) 的圖像，數(shù)形結(jié)合即可判斷出答案．
3
2
3
【詳解】 y = x2 - 3x + 3 = x - ÷ + ，畫(huà)出圖像，如圖所示，
è 2 4
令 y =1，則 x2 - 3x + 3 =1，解得 x =1或 x = 2，
令 y = 7 ，則 x2 - 3x + 3 = 7，解得 x = -1（舍去）或 x = 4，
對(duì)于 A：當(dāng) x (0, 4]
3
時(shí)，結(jié)合圖像，得 y [ ,7]，故 A 錯(cuò)誤；
4
對(duì)于 B：當(dāng) x [1, 4]
3
時(shí)，結(jié)合圖像，得 y [ ,7]，故 B 錯(cuò)誤；
4
3
對(duì)于 C：當(dāng) x [1,2]時(shí)，結(jié)合圖像，得 y [ ,1]，故 C 錯(cuò)誤；
4
對(duì)于 D：當(dāng) x (0,1] [2, 4]時(shí)，結(jié)合圖像，得 y [1,7]，故 D 正確；
故選：D．
2
13．（2024 高一·全國(guó)·單元測(cè)試）若函數(shù) f (x) = 的定義域是 ( ,1) U [2,5)，則其值域?yàn)椋? ）.
x -1
A． (- ,0) B． (- , 2]
1
C ． 0,
1
D． (- ,0)
, 2
2 è 2
【答案】D
【分析】畫(huà)出函數(shù)圖像，從圖像觀察可得答案.
2 2
【詳解】函數(shù) y = 圖像可由 y = 圖像向右平移一個(gè)單位得到，
x 1 x
如圖所示:
f (2) = 2, f (5)
1
= ，
2
結(jié)合圖像可知，函數(shù)的值域?yàn)?(- ,0)
1
, 2 .
è 2
故選：D
1 1
14．（2024 高三上·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）若函數(shù) y = 的值域是 (- ,0) ,+ ÷，則此函數(shù)的定義域?yàn)閤 -1 2
（ ）
A． (- ,3] B． (- ,1) U (1,3) C． (- ,1)U[3,+ ) D． (- ,1) (1,3]
【答案】D
【分析】分類討論解不等式即可.
1 1
【詳解】由函數(shù) y = 的值域是 (- ,0)
x -1
,+
2 ÷
，

所以當(dāng) y (- ,0) y
1
時(shí)， = < 0 x <1，
x -1
1 1 1 1 1 2 - x -1 3- x
當(dāng) y

,+ ÷時(shí)， y = - 0 0 0 2 x -1 2 x -1 2 2 x -1 2 x -1
ì 3 - x x -1 0
即 í ，解得1 < ≤ 3，
x -1 0
所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?(- ,1) (1,3]，
故選：D
15．（2024 高一上·廣東·期末）已知集合 A = {x 0 < x < 3}，B = x 1 x 4 ，則 AI B =（ ）
A． 0,1 B． 0,4 C． 3,4 D． 1,3
【答案】D
【分析】直接根據(jù)集合的交集運(yùn)算可得結(jié)果.
【詳解】解：因?yàn)榧?A = {x 0 < x < 3}，B = x 1 x 4 ，所以 A B = x |1 x < 3 = 1,3 .
故選：D.
16．（2024 高一上·廣東清遠(yuǎn)·期末）下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（ ）
A． f x = x與 g x = x
B． f x = (x + 2)2 與 g x = ( x + 2)2
C． f x = x 與 g x x=
x
D． f x = x與 g x = 3 x3
【答案】D
【分析】分別判斷選項(xiàng)中函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng) A，因?yàn)?f x = x定義域?yàn)?R， g x = x 定義域?yàn)?R，定義域相同，
但 f x g x ，所以 f x ， g x 不是同一函數(shù)，故 A 錯(cuò)誤；
2
對(duì)選項(xiàng) B，因?yàn)?f x = (x + 2)2 定義域?yàn)?R， g x = x + 2 定義域?yàn)?x | x -2 ，
定義域不同，所以 f x ， g x 不是同一函數(shù)，故 B 錯(cuò)誤；
x
對(duì)選項(xiàng) C，因?yàn)?f x = x 定義域?yàn)?x x 0 ， g x = 定義域?yàn)?x | x > 0 ，
x
定義域不同，所以 f x ， g x 不是同一函數(shù)，故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)選項(xiàng) D，因?yàn)?f x = x定義域?yàn)?R， g x = 3 x3 定義域?yàn)?R，
又 g x = 3 x3 = x = f x ，所以 f x ， g x 是同一函數(shù)，故 D 正確.
故選：D
17．（2024· *廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）歐拉函數(shù)j n n N 的函數(shù)值等于所有不超過(guò)正整數(shù) n ，且與 n 互素的正
m
整數(shù)的個(gè)數(shù)，例如，j 1 =1，j 4 = 2．若m N*，且 j 2i =13，則j m =（ ）
i=1
A．3 B． 4 C．5 D．6
【答案】B
m
【分析】根據(jù)歐拉函數(shù)的定義結(jié)合 j 2i =13可求得m 的值，再結(jié)合歐拉函數(shù)的定義可求得j m 的值.
i=1
【詳解】與 2互素且不超過(guò) 2的正整數(shù)為1，與 4互素且不超過(guò) 4的正整數(shù)為1、3，
與6 互素且不超過(guò)6 的正整數(shù)為1、5，與8互素且不超過(guò)8的正整數(shù)為1、3、5、7 ，
與10互素且不超過(guò)10的正整數(shù)為1、3、7 、9，
因?yàn)閖 2 =1，j 4 = 2，j 6 = 2 ，j 8 = 4，j 10 = 4，
m 5
所以， j 2i = j 2i =1+ 2 + 2 + 4 + 4 =13，則m = 5，
i=1 i=1
因?yàn)榕c5互素且不超過(guò)5的正整數(shù)為1、 2、3、 4，所以，j m = j 5 = 4 .
故選：B.
18．（2024 高一上·廣東梅州·階段練習(xí)）設(shè) x R，用 x 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)，則 y = x 稱為高斯函
2x
數(shù)．例如： p = 3， -5,1 = -6，已知函數(shù) f x = ，則函數(shù) y = 2 f x 的值域?yàn)椋▁ 1 ）+
A． -1,1 B． -1,0 C． 1,0 D． -1,0,1
【答案】D
【分析】利用基本不等式可求得函數(shù) f x 的值域，由此可求得函數(shù) y = f x 的值域.
0 f x 2x 2 2< = = =1
【詳解】當(dāng) x > 0時(shí)， x2 +1 x 1+ 2 x 1 ，當(dāng)且僅當(dāng)
x =1時(shí)，等號(hào)成立；
x × x
f x 2x 2 2= = - - = -1
當(dāng) x 2< 0 時(shí)， x +1 -x 1+ 2 x 1- × ，當(dāng)且僅當(dāng) x = -1時(shí)，等號(hào)成立， -x -x
此時(shí)-1 f x < 0；
又因?yàn)?f 0 = 0，所以，函數(shù) f x 的值域?yàn)?-1,1 ，
當(dāng)-1 f x < 0時(shí)， f x = -1；當(dāng)0 f x <1時(shí)， f x = 0 ；
當(dāng) f x =1時(shí)， f x =1 .
綜上所述，函數(shù) y = f x 的值域?yàn)?-1,0,1 .
故選：D.
x +1
19．（2024 高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）函數(shù) f x = 2 0 x 8 的值域?yàn)閤 + 2x +10
1 1
A． , B． 6,8
1 , 1 C
8 6
．
10 6
D． 6,10

【答案】C
g(x) 1【分析】令 = f (x) ，把已知函數(shù)解析式變形，令 t = x +1變形，再由“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求解.
2 2
g(x) 1= g(x) x + 2x +10 (x +1) + 9 9【詳解】解：令 f (x) ， = = = (x +1) + ，x +1 x +1 x +1
令 t = x +1，則 t [1,9]，
y t 9原函數(shù)化為 = + (1 t 9)，
t
該函數(shù)在[1,3]上為減函數(shù)，在[3,9]上為增函數(shù)，
又當(dāng) t =1時(shí)， y =10，當(dāng) t = 3時(shí)， y = 6，當(dāng) t = 9時(shí)， y =10 .
x2∴ g(x) + 2x +10函數(shù) = , (0 x 8)的值域?yàn)?6,10 ，
x +1
f x x +1= 0 x 8 1則函數(shù) 2 的值域?yàn)? ,
1
.
x + 2x +10 10 6
故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查利用換元法及“對(duì)勾函數(shù)”的單調(diào)性求函數(shù)值域，是中檔題.
2 [0, m] 25 20．（2024 高三·廣東·階段練習(xí)）若函數(shù) y = x - 3x - 4 的定義域?yàn)?，值域?yàn)? - ,-4 ，則實(shí)數(shù)m 的取 4
值范圍是（ ）
3 3 3
A．(0,3] B． , 4 C．
2
,3 D． 2
,+
2 ÷
【答案】C
25
【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可確定其最小值為- ，由 y = -4可求得 x1 = 0 ， x2 = 3；由此根據(jù)值域可確定4
函數(shù)定義域，即可得到m 的取值范圍.
3
【詳解】Q y = x2 - 3x - 4為開(kāi)口方向向上，對(duì)稱軸為 x = 的二次函數(shù)
2
y 9 9 4 25\ min = - - = -4 2 4
令 x2 - 3x - 4 = -4，解得： x1 = 0 ， x2 = 3
3
\ m 3
2
m 3 即實(shí)數(shù) 的取值范圍為 ,3
2
故選：C
【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的值域求解函數(shù)的定義域的問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠確定最值點(diǎn)的位置，根據(jù)函數(shù)的
性質(zhì)可確定定義域.
21．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·期中）函數(shù) f (x) = 3+ 2x - x2 的值域?yàn)椋? ）
A．[0, 4] B． (- , 2] C．[2,+ ) D．[0,2]
【答案】D
【分析】先求出函數(shù) t = -x2 + 2x + 3的值域，再要注意 t 0，進(jìn)而可以求解．
【詳解】解：令 t = -x2 + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4，
當(dāng) x =1時(shí)， tmax = 4，又 t 0，
2 2
所以 t [0， 4]，即 t = -x + 2x + 3 = -(x -1) + 4 0,4
所以 f (x) = 3+ 2x - x2 0,2 ，
故選：D．
2 + x
22．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）函數(shù) y = 的值域是（　　）
4 - 3x
1 1
A．（﹣∞，+∞） B．（﹣∞，- ）∪（ ，+∞）
2 2
1 1 1 1
C．（﹣∞，- ）∪（ ，+∞） D．（﹣∞，- ）∪（- ，+∞）
3 3 3 3
【答案】D
1 10 1
【分析】分離常數(shù)即可得出 y = - +3 3 4 - 3x ，從而得出 y - ，進(jìn)而得出該函數(shù)的值域．3
1 4 3x 10
【詳解】解： y 2 + x
- - +
= = 3 3 1 10= - + ，
4 - 3x 4 - 3x 3 3 4 - 3x
1
∴y - ，
3
1 1
∴該函數(shù)的值域?yàn)? - -

，
3 ÷
- ，+ ÷．
è è 3
故選：D．
二、多選題
23．（2024 高一上·福建龍巖·階段練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)中是函數(shù)的是（ ）．
A． x y ，其中 y = 2x +1， x 1,2,3,4 ， y {x | x <10, x N}
B． x y ，其中 y2 = x ， x 0, + ， y R
C． x y ，其中 y 為不大于 x 的最大整數(shù)， x R ， y Z
D． x y ，其中 y = x -1， x N*， y N*
【答案】AC
【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)的定義逐項(xiàng)分析判斷作答.
【詳解】對(duì)于 A，對(duì)集合{1,2,3,4}中的每個(gè)元素 x，按照 y = 2x +1，在{x | x <10, x N}中都有唯一元素 y 與
之對(duì)應(yīng)，A 是；
對(duì)于 B，在區(qū)間 0, + 內(nèi)存在元素 x，按照 y2 = x ，在 R 中有兩個(gè) y 值與這對(duì)應(yīng)，如 x =1，與之對(duì)應(yīng)的
y = 1，B 不是；
對(duì)于 C，對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù) x，按照“y 為不大于 x 的最大整數(shù)”，都有唯一一個(gè)整數(shù) y 與之對(duì)應(yīng)，C 是；
對(duì)于 D，當(dāng) x =1時(shí)，按照 y = x -1，在N* 中不存在元素與之對(duì)應(yīng)，D 不是.
故選：AC
24．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）下列四個(gè)圖象中，是函數(shù)圖象的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根據(jù)函數(shù)的概念，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的定義可知，對(duì)任意的自變量 x ，有唯一的 y 值相對(duì)應(yīng)，
選項(xiàng) B 中的圖像不是函數(shù)圖像，出現(xiàn)了一對(duì)多的情況，
其中選項(xiàng) A、C、D 皆符合函數(shù)的定義，可以表示是函數(shù).
故選：ACD
25．（2024 高一上·吉林通化·階段練習(xí)）中國(guó)清朝數(shù)學(xué)家李善蘭在 1859 年翻譯《代數(shù)學(xué)》中首次將
“function”譯做：“函數(shù)”，沿用至今，為什么這么翻譯，書(shū)中解釋說(shuō)“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函
數(shù)”．1930 年美國(guó)人給出了我們課本中所學(xué)的集合論的函數(shù)定義．已知集合 M＝{ - 1，1，2，4}，N＝{1，2，
4，16}，給出下列四個(gè)對(duì)應(yīng)法則，請(qǐng)由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從 M 到 N 的函數(shù)的是（ ）
A． y = 2x B． y=x+2 C． y =| x | D． y = x2
【答案】CD
【分析】利用函數(shù)定義對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.
【詳解】解：在 A 中，當(dāng) x = -1時(shí)， y = -2 N ，故 A 錯(cuò)誤；
在 B 中，當(dāng) x=1時(shí)， y =1+ 2 = 3 N ，故 B 錯(cuò)誤；
在 C 中，任取 x M ，總有 y =| x | N ，故 C 正確；
在 D 中，任取 x M ，總有 y = x2 N ，故 D 正確．
故選：CD．
26．（2024 高一上·遼寧鐵嶺·階段練習(xí)）若函數(shù) f x 定義域?yàn)镽 ，且 f x + y + f x - y = f x f (y) ，
f (0) 0, f (1) =1，則下列結(jié)果正確的是（ ）
A． f (2) = -2 B． f (3) = -2 C． f 4 =1 D． f 5 =1
【答案】BD
【分析】根據(jù)題意，賦值求解即可.
【詳解】解：因?yàn)?f x + y + f x - y = f x f (y) ， f (0) 0, f (1) =1，
所以，令 x =1, y = 0，則 f 1 + f 1 = f 1 f 0 ，解得 f 0 = 2 ，
令 x = y =1，則 f 2 + f 0 = f 1 f 1 =1，解得 f 2 = -1，
令 x = 2, y =1，則 f 3 + f 1 = f 2 f 1 = -1，解得 f 3 = -2 ，
令 x = y = 2，則 f 4 + f 0 = f 2 f 2 =1，解得 f 4 = -1，
令 x = 3, y = 2，則 f 5 + f 1 = f 3 f 2 = 2 ，解得 f 5 =1，
故 BD 選項(xiàng)正確，AC 選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：BD
27．（2024 高一上·湖南岳陽(yáng)·階段練習(xí)）若函數(shù) f (x) = x2 - 4x +1在定義域A 上的值域?yàn)閇-3,1] ，則區(qū)間A 可
能為（　　）
A．[-1,4] B．[0,3] C．[1，4] D．[1,3]
【答案】BC
【分析】根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性，以及值域，結(jié)合其函數(shù)特點(diǎn)，即可容易求得結(jié)果.
【詳解】∵函數(shù) f (x) = x2 - 4x +1的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸方程為 x = 2，
故 f (x)min = f (2) = -3，又 f (0) = f (4) =1，
故要定義域A 上的值域?yàn)?-3,1 ，滿足題意的選項(xiàng)是：BC.
故選：BC.
28．（2024 高一上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·期末）下面各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（ ）
A． f x = x2
2
， g x = x B． f x =1（ x 0）， g x = x0
2
C． f x = 3
3
x3 ， g x = 3 x D． f x = x +1， g x x -1= x -1
【答案】BC
【分析】根據(jù)題意，由同一函數(shù)的定義，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷，即可得到結(jié)果.
2
【詳解】對(duì)于 A， f x = x2 = x ，g x = x = x, x 0 ，定義域和對(duì)應(yīng)法則不一樣，故不為同一函數(shù)；
對(duì)于 B， f x =1, x 0， g x = x0 =1, x 0，定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)；
對(duì)于 C， f x = 3 x3 3= x， g x = 3 x = x，定義域和對(duì)應(yīng)法則相同，故為同一函數(shù)；
2
對(duì)于 D， f x = x +1, x R g x x -1， = = x +1, x 1，定義域不同，故不為同一函數(shù)；
x -1
故選:BC
29．（2024 高一上·湖南郴州·階段練習(xí)）已知函數(shù) y = x2 - 2x + 3的值域是[2,11]，則其定義域可能是（ ）
A．[0, 4] B．[-1,1] C．[2,3] D．[-1,4]
【答案】AD
【分析】分別令 x2 - 2x + 3 = 2， x2 - 2x + 3 =11，解方程解得 x ，設(shè)定義域?yàn)镸 ，根據(jù)圖象得到 -2,1 M
或 1,4 M ，然后判斷即可.
【詳解】令 x2 - 2x + 3 = 2，解得 x =1，令 x2 - 2x + 3 =11，解得 x = 4或-2，
可作出函數(shù)圖象如圖：
設(shè)定義域?yàn)镸 ，所以 -2,1 M 或 1,4 M ，故 AD 正確，BC 錯(cuò).
故選：AD.
30．（2024·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于定義域?yàn)?0, + 的函數(shù) y = f x ，若同時(shí)滿足下列條件：
① "x 0,+ ， f x 0；② ≥ 0， y 0， f x + y f x + f y ，則稱函數(shù) f x 為“ H 函數(shù)”.下列結(jié)
論正確的是（ ）
A．若 f x 為“ H 函數(shù)”，則其圖象恒過(guò)定點(diǎn) 0,0
1, x Q
B．函數(shù) f (x)
ì
= í 在 0, + 上是“ H 函數(shù)”
0, x Q
C．函數(shù) f x = x 在 0, + 上是“ H 函數(shù)”（ x 表示不大于 x 的最大整數(shù)）
D．若 f x 為“ H 函數(shù)”，則 f x 一定是 0, + 上的增函數(shù)
【答案】AC
【分析】結(jié)合函數(shù)新定義的概念利用賦值法即可求解.
【詳解】對(duì)于 A：不妨令 x = y = 0 ，則 f (0 + 0) f (0) + f (0) f (0) 0，
因?yàn)?x 0,+ ， f x 0，所以 f (0) 0，
故 f (0) = 0，故 A 正確；
對(duì)于 B：不妨令 x =1， y = 2 ，
則 f (1) =1， f ( 2) = 0， f (1+ 2) = 0，即 f (1+ 2) f (1) + f ( 2)，
這與 ≥ 0， y 0， f x + y f x + f y 矛盾，故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C：由題意可知，"x 0,+ ， f x = [x] 0，
不妨令 x = m + n 0，其中m 為整數(shù)部分， n 為小數(shù)部分，則 f (x) = [x] = m ；
再令 y = a + b 0，其中 a為整數(shù)部分，b 為小數(shù)部分，則 f (y) = [y] = a ；
若0 n + b <1，則 f (x + y) = [x + y] = m + a ；
若n + b 1，則 f (x + y) = [x + y] = m + a +1，
從而 ≥ 0， y 0， f x + y f x + f y 成立，故 C 正確；
對(duì)于 D：由題意可知，常函數(shù) f (x) = 0 為“H 函數(shù)”，但 f (x) 不是增函數(shù)，故 D 錯(cuò)誤.
故選：AC.
三、填空題
31．（2024 高一上·安徽滁州·期末）設(shè)二次函數(shù) f x = mx2 + 2x + n 1 1（m ，n R ）的值域是 0, + ，則 +
m n
的最小值是 ．
【答案】 2
【分析】結(jié)合二次函數(shù)圖象，由值域?yàn)?0, + ，求得m > 0，mn =1，再由基本不等式求解即可.
2
【詳解】當(dāng)二次函數(shù) f x = mx + 2x + n 的圖象開(kāi)口向上，且與 x 軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，其值域?yàn)?br/> 0, + ，
ìm > 0
∴ í 2 ，∴ mn =1，m > 0， n > 0 .
Δ = 2 - 4mn = 4 - 4mn = 0
∴ 1 1 1由基本不等式， + 2 = 2，
m n mn
當(dāng)且僅當(dāng)m = n =1時(shí)等號(hào)成立．
1 1
∴ + 的最小值是 2．
m n
故答案為： 2 .
32．（2024 高一上·山東煙臺(tái)·階段練習(xí)）如圖，某小區(qū)有一塊底邊和高均為 40m 的銳角三角形空地，現(xiàn)規(guī)劃
在空地內(nèi)種植一邊長(zhǎng)為 x（單位：m）的矩形草坪（陰影部分），要求草坪面積不小于336m2 ，則 x 的取值范
圍為 .
【答案】{x|12 x 28}
【分析】由三角形相似得 x + y = 40 ，再根據(jù)面積不小于336m2 ，即可求得 x 的取值范圍.
【詳解】設(shè)矩形另一邊的長(zhǎng)為 y m，
x 40 - y
由三角形相似得： = ，（0 < x < 40,0 < y < 40）,
40 40
所以 x + y = 40 ,
所以矩形草坪的面積 S = xy = x(40 - x) 336，
解得：12 x 28 .
故答案為：{x|12 x 28}
33．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知函數(shù) f x = 4 - x2 ，g x = 2x +1，則函數(shù) y = f g x 的定義域?yàn)? .
3 1
【答案】 - , 2 2
【分析】解法 1、先求得函數(shù) f x 的定義域?yàn)?-2,2 ，令-2 g x 2，進(jìn)而求得函數(shù)的定義域；
解法 2、根據(jù)題意求得 f g x = -4x2 - 4x + 3 ，進(jìn)而求得其定義域.
【詳解】解法 1：由函數(shù) f x = 4 - x2 ，則滿足 4 - x2 0，可得-2 x 2，
即函數(shù) f x 的定義域?yàn)?-2,2 ，
對(duì)于函數(shù) y = f g x ，令-2 g x 2
3 1
，即-2 2x +1 2，解得- x ，
2 2
即函數(shù) y = f g x
3 1


的定義域?yàn)? - ,

. 2 2
解法 2：由 f x = 4 - x2 ， g x = 2x +1，
可得 f g x = 4 - 2x +1
2 = -4x2 - 4x + 3 ，
2 3 1- x f g x 3 1 令-4x - 4x + 3 0，解得 ，所以 的定義域?yàn)?- , .2 2 2 2
3 1
故答案為： - , . 2 2
34．（2024 高一上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）函數(shù) f (x) = x + x -1的值域?yàn)? ．
【答案】[1,+ )
2
【分析】利用換元法，令 t = x -1，則 x = t 2 +1， f t = t +1+ t ，t 0, + ，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可
得；
2
【詳解】解：因?yàn)?f (x) = x + x -1，令 t = x -1，則 t 0，則 x = t 2 +1，所以 f t = t 2 +1+ t = t 1 3 + ÷ + ，
è 2 4
t 0, + ，所以 f t 在 0, + 上單調(diào)遞增，所以 f t f 0 =1，即 f x 的值域?yàn)?1, + ；
故答案為： 1, +
1
35．（2024 2高一上·陜西西安·期末）已知函數(shù) f 2x 的定義域?yàn)閇 , 2]，則函數(shù) f x 的定義域?yàn)? .
2
【答案】 -2, -1 U 1, 2
x [1【分析】由 , 2]，可知1 2x 4，再解關(guān)于 x 的不等式
2 1 x
2 4即可.
1
【詳解】因?yàn)?x [ , 2]
1
，即 x 2，所以1 2x 4，所以1 x2 4，所以 x -2, -1 1,2 .2 2
故答案為： -2, -1 U 1, 2 .
36．（2024· 1上海普陀·二模）函數(shù) y = 3- 的定義域?yàn)? ．
x
【答案】 - ,0 U 1 , + ÷ 3
【分析】
y 3 1求函數(shù) = - 的定義域，保證根號(hào)下的式子大于等于 0，分母不為 0 即可.
x
【詳解】 y = 3 1- ，
x
ì3 1- 0
\ í x ， x
1
或 x < 0
x 0 3
所以定義域?yàn)椋? - ,0 U 1 , +

÷ .
3
故答案為： - ,0 U 1 , +

÷
3
x 1
37．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求函數(shù) y = + 20 - x 0 x 20 的值域?yàn)? .
8 2
【答案】 5,3
【分析】通過(guò)換元，配方，將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)頂點(diǎn)式的形式，要注意的是原函數(shù)是給定定義域的，
要在定義域內(nèi)求值域.
【詳解】令 t = 20 - x (0 t 2 5) ，則 x = 20 - t 2 ，
y 20 - t
2 1 1
\ = + t = - (t 2 1- 4t - 20) = - (t - 2)2 + 3
8 2 8 8
容易看出，該函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個(gè)開(kāi)口向下的二次函數(shù)，對(duì)稱軸為 t = 2，
Q0 t 2 5 ，所以該函數(shù)在 t = 2時(shí)取到最大值3，當(dāng) t = 2 5 時(shí)，函數(shù)取得最小值 5 ，
y x 1所以函數(shù) = + 20 - x 0 x 20 值域?yàn)?y
8 2
5,3 .
故答案為： 5,3
2
38．（2024 · · f x x - x +1高一上 浙江杭州 期中）函數(shù) = 2 的值域是 .x - x + 2
3
【答案】 ,1÷
7
【分析】利用判別式法即可求出函數(shù)的值域.
x2f x - x +1【詳解】解： = ，
x2 - x + 2
1 2x2 x 7因?yàn)?- + 2 = x - ÷ + > 0
è 2 4
所以函數(shù) f x 的定義域?yàn)?x R
2
y x - x +1= 2令 2 ，整理得方程： y -1 x + 1- y x + 2y -1 = 0x - x + 2
當(dāng) y =1時(shí)，方程無(wú)解；
當(dāng) y 1時(shí)，Δ = 1- y 2 - 4 y -1 2y -1 0
不等式整理得：7y2 -10y + 3 0
解得： y
3 ,1 ÷
7
2
f x x - x +1
3
所以函數(shù) = 2 的值域?yàn)?,1x ÷
.
- x + 2 7
3
故答案為： ,1

7 ÷
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求值域的常見(jiàn)方法
單調(diào)性法求函數(shù)值域；判別式法求函數(shù)值域；分離常數(shù)法求函數(shù)值域；分類討論法求二次函數(shù)的值域；利
用基本不等式或?qū)春瘮?shù)求值域；換元法求值域.
2x +1
39．（2024 高一·上海·專題練習(xí)）求函數(shù) y = 2 的值域 ．x - 2x + 2
[3- 13 , 3+ 13【答案】 ]
2 2
【分析】由解析式知函數(shù)的定義域?yàn)?x R，將函數(shù)式轉(zhuǎn)化為方程 yx2 - 2(y +1)x + 2y -1 = 0，即該方程在 x R
上有解，討論 y = 0 、 y 0 ，結(jié)合判別式法即可求值域.
【詳解】由解析式知：函數(shù)的定義域?yàn)?x R，且 y(x2 - 2x + 2) = 2x +1，
∴整理可得： yx2 - 2(y +1)x + 2y -1 = 0，即該方程在 x R上有解，
∴當(dāng) y = 0
1
時(shí)， x = - ，顯然成立；
2
y 0 D = 4(y +1)2 - 4y(2y -1) 0 y2 - 3y -1 0 3- 13 y 3+ 13當(dāng) 時(shí)，有 ，整理得 ，即 ，
2 2
∴ 3- 13 3+ 13綜上，有函數(shù)值域?yàn)閇 , ] .
2 2
3- 13
故答案為：[ , 3+ 13] .
2 2
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由解析式求函數(shù)定義域D并將函數(shù)轉(zhuǎn)化為方程形式，求值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程在D上
有解.
四、解答題
f x 2x +140．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求下列函數(shù)的值域 =
x - 3
【答案】 (- ,2) (2,+ )
【分析】利用分離常數(shù)法和反比例函數(shù)值域即可求得結(jié)果.
f x 2x +1 2 x - 3 + 7 7【詳解】因?yàn)?= = = 2 + ，
x - 3 x - 3 x - 3
7
由反比例函數(shù)易知 0 ，所以 f x 2，
x - 3
所以函數(shù) f x 的值域?yàn)?(- ,2) (2,+ )．
5x + 4
41．（2024 高三·全國(guó)·專題練習(xí)）求函數(shù) f x = 的值域.
x - 2
【答案】 - ,5 U 5, + .
【分析】化簡(jiǎn) f x 14= 5 + ，結(jié)合函數(shù)的定義域，進(jìn)而求得函數(shù)的值域.
x - 2
【詳解】由函數(shù) f x 5x + 4= ，可得其定義域?yàn)? - , 2 U 2,+ ，
x - 2
5x + 4 5 x - 2 +14f x 5 14 14又由 = = = + ，可得5 + 5
x - 2 x - 2 x - 2 x - 2
所以函數(shù) f x 的值域?yàn)? - ,5 U 5, + .
42．（2024 高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求函數(shù) y = x + 2 2 - x 的值域.
【答案】 - ,3
【分析】利用換元法根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出函數(shù)值域.
【詳解】由題意可知 2 - x 0，所以可得 x 2，即函數(shù)定義域?yàn)?x | x 2 ，
令 t = 2 x , t 0 ，可得 x = 2 - t 2 ；
則 y = 2 t 2 + 2t = t 1 2 +3 3，當(dāng) t =1時(shí)， ymin = 3；
故函數(shù)值域?yàn)? - ,3 .
43 2x
2 + ax + b
．（2024 高一·上海·專題練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 2 的值域?yàn)閇1，3]，求 a,b的值x +1
【答案】 a = 2,b = 2
【分析】根據(jù)判別式法求解函數(shù)值域即可求解
2x2 + ax + b 2
【詳解】由題意 y = f (x) = 定義域?yàn)?R ，則 y - 2 x - ax + y - b = 02 在 R 上有解，當(dāng) y = 2 符合題x +1
2
意，當(dāng) y 2, D = a2 - 4 y - 2 y - b 0 ，即 y a- 2 y - b - 0的解集為[1，3]，故 1 和 3 為關(guān)于 y 的
4
ì a2
2 - 1- b =
二次方程 y - 2 y - b a- = 0 4的兩個(gè)根所以 í
4 a2

3- b = 4
解得 a = 2,b = 2
1
44．（2024 高一上·四川眉山·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = 4 - x + x 3 的定義域?yàn)?A，集合+
B={ x 1- a(1)當(dāng) a=2時(shí)，求 A （ RB）；
(2)若B A，求 a 的取值范圍.
【答案】(1) x - 3(2){a｜a 3}
【分析】（1）求出定義域，得到 A = {x｜- 3 < x 4}，進(jìn)而計(jì)算出 R B及 A R B ；
（2）分B = 與B ，列出不等式，求出 a 的取值范圍.
1 ì4- x 0
【詳解】（1）要使函數(shù) f (x) = 4 - x + x 3 有意義，則 í ，解得：
-3 < x 4
x+3>0 ，+
所以集合 A = {x｜- 3 < x 4} .
Qa = 2 ，
∴ B= x 1- a∴ R B= x x -1或 x 3 ，
∴ A R B= x - 3（2）B A，
①當(dāng)B = 時(shí)，1- a 1+ a ，即 a 0，滿足題意；
ì1- a<1+a

②當(dāng)B 時(shí)，由B A，得 í1- a -3 ，解得： 0 < a 3，

1+a 4
綜上所述：a 的取值范圍為 a a 3 .
45．（2024· 2江西九江·模擬預(yù)測(cè)）若 ( )的定義域?yàn)?-4, 4 ，求 g(x) = f (2x +1) + f x 的定義域．

【答案】 -2,
3
2
.

【分析】由題意列出不等式組解之即得.
2
【詳解】由函數(shù) y = f x 的定義域?yàn)?-4, 4 ，則要使函數(shù) g(x) = f (2x +1) + f x 有意義，
ì-4 2x +1 4
則 í
-4
，
x2 4
2 x 3解得- ,
2
∴函數(shù) g(x) = f (2x
3
+1) + f x2 的定義域?yàn)? -2, . 2
46．（2024 高一上·甘肅武威·期中）求下列函數(shù)的值域： y = x - 1- 2x .
1
【答案】 - ,
è 2
【分析】利用換元法，令 t = 1- 2x ，即可將函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于 t的二次函數(shù)形式，結(jié)合 t的范圍即可確定函數(shù)
的值域.
1 1
【詳解】設(shè) t = 1- 2x 則 t 0且 x = - t 2 + ，2 2
1 2 1 1
得 y = - t - t + = - t +1 2 +1，
2 2 2
1
因?yàn)?t 0，所以 y≤ ，
2
1
所以該函數(shù)的值域?yàn)? - , .
è 2
【點(diǎn)睛】本題考查了換元法求函數(shù)的值域，二次函數(shù)值域的求法，注意換元后的取值范圍，屬于基礎(chǔ)題.
47．（2024 高三下·浙江·學(xué)業(yè)考試）如果一個(gè)函數(shù)的值域與其定義域相同，則稱該函數(shù)為“同域函數(shù)”.已知函
數(shù) f x = ax2 + bx + a +1的定義域?yàn)?x | ax2 + bx + a +1 0且 ≥ 0}.
（Ⅰ）若 a = -2 ，b = 3，求 f x 的定義域；
（Ⅱ）當(dāng) a =1時(shí)，若 f x 為“同域函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b 的值；
（Ⅲ）若存在實(shí)數(shù) a < 0且 a -1，使得 f x 為“同域函數(shù)”，求實(shí)數(shù)b 的取值范圍.
1
【答案】（Ⅰ） ,1
-1,0 .
2
；（Ⅱ）-2 2 ；（Ⅲ）

ì-2x2 + 3x -1 0
【解析】（Ⅰ）當(dāng) a = -2 ，b = 3時(shí)，解出不等式組 í 即可；
x 0
（Ⅱ）當(dāng) a =1時(shí)， f (x) = x2 + bx + 2(x 0)，分b 0、b < 0兩種情況討論即可；
（Ⅲ）分-1 < a < 0、-1 < a < 0且b 0、-1 < a < 0且b > 0三種情況討論即可.
ì-2x2 + 3x -1 0 1
【詳解】（Ⅰ）當(dāng) a = -2 ，b = 3時(shí)，由題意知： í ，解得： x 1.
x 0 2
∴ f x 1的定義域?yàn)? ,1

2 ；
（Ⅱ）當(dāng) a =1時(shí)， f (x) = x2 + bx + 2(x 0)，
b
（1）當(dāng)- 0 ，即b 0時(shí)， f x 的定義域?yàn)?0, + ，值域?yàn)? 2, + 2 ，
∴ b 0時(shí)， f x 不是“同域函數(shù)”.
b
（2）當(dāng)- > 0，即b < 0時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)
2 D = b
2 - 8 = 0時(shí)， f x 為“同域函數(shù)”.
∴ b = -2 2 .
綜上所述，b 的值為-2 2 .
（Ⅲ）設(shè) f x 的定義域?yàn)锳 ，值域?yàn)?B .
（1）當(dāng) a < -1時(shí)， a +1< 0，此時(shí)，0 A，0 B，從而 ≠ ，
∴ f x 不是“同域函數(shù)”.
（2）當(dāng)-1 < a < 0，即 a +1 > 0，
-b - b2
設(shè) x - 4a(a +1)= ，則 f x 的定義域 A = 0, x0 .0 2a
b
①當(dāng)- 0，即b 0時(shí)， f x 的值域B = 0, a +1 2a .
若 f x 為“同域函數(shù)”，則 x0 = a +1，
3
從而，b = - a +1 ，
又∵ -1 < a < 0，∴ b 的取值范圍為 -1,0 .
b f x 4a(a +1) - b
2
②當(dāng)- > 0，即b > 0時(shí)， 的值域B = 0, .
2a 4a
2
若 f x “ 4a(a +1) - b為 同域函數(shù)”，則 x0 = ，4a
從而，b = b2 - 4a(a +1)( -a -1) *
此時(shí)，由 -a -1 < 0，b > 0可知 * 不成立.
綜上所述，b 的取值范圍為 -1,0
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是理解清楚題意，能夠分情況求出 f x 的定義域和值域.
48．（2024 高一下·湖北荊州·階段練習(xí)）已知定義域?yàn)镽 的函數(shù) f x , f 0 0，對(duì)于任意的 , ∈ R恒有
f x + y + f x - y = 2 f x f y .
1
(1)若 f 1 = ，求 f 6 的值；
2
(2)若 f 2x = f 2 x ，求 f x 的值.
【答案】(1)1；
(2)1.
【分析】（1）根據(jù)給定的抽象函數(shù)等式，利用賦值法計(jì)算作答.
（2）根據(jù)給定的抽象函數(shù)等式，利用賦值法，結(jié)合函數(shù)的意義求解作答.
【詳解】（1）因?yàn)閷?duì)于任意的 , ∈ R恒有 f x + y + f x - y = 2 f x f y ，
則令 x =1, y = 0，得 2 f 1 = 2 f 1 × f 0 1，又 f 1 = ，則 f 0 =1，
2
又令 y =1, x R ，得 f x +1 + f x -1 = f x ，即 f x +1 = f x - f x -1 ，
f 2 f 1 f 0 1因此 = - = - ， f 3 = f 2 - f 1 = -1，
2
f 4 f 3 1 1= - f 2 = - ， f 5 = f 4 - f 3 = ，
2 2
所以 f 6 = f 5 - f 4 =1.
（2）因?yàn)閷?duì)于任意的 , ∈ R恒有 f x + y + f x - y = 2 f x f y ，
則令 x = y = 0 ，得 2 f 2 (0) = 2 f (0) ，而 f 0 0 ，有 f 0 =1，
令 y = x R ，得 f 2x + f 0 = 2 f 2 x 2，又 f x = f 2x ，則有 f (2x) = f (0) =1，
所以 f x =1 .
2
49．（2024 · · f x x高一 全國(guó) 課后作業(yè)）已知函數(shù) = ．
1+ x2
(1)求 f 2 + f 1 ÷， f 3 f
1+ 3 ÷ 的值；è 2 è
(2)求證： f x + f 1 ÷ 的定值；
è x
2 f 1 f 2 f 1 1 1 1(3)求 + + ÷ + f 3 + f

÷ +L+ f 2021 + f

÷ + f 2022 + f

2 3 2021 ÷
的值．
è è è è 2022
f 2 + f 1 【答案】(1) ÷ =1， f 3
1
+ f ÷ =1
è 2 è 3
(2)證明見(jiàn)解析
(3)2022
【分析】（1）代入計(jì)算函數(shù)值可得答案；
f x + f 1 （2）化簡(jiǎn)計(jì)算 ÷ 可得答案；
è x
（3）利用 f x + f 1 ÷ =1可得答案.
è x
x2
【詳解】（1）因?yàn)?f x = 2 ，所以1+ x
2 2
1 1
f 2 f 1 2
2 ÷ 1 32 ÷
+ ÷ = 2 +
è 2
2 =1， f 3 + f

÷ = +
è 3 =1；
è 2 1+ 2 1 è 3 1+ 32 1
2
1+ ÷ 1+

2 3 ÷è è
2
1
1 x2 x ÷ x2 2
（2） f x f è 1 x +1+ ÷ = 2 + 2 = 2 + = =1，是定值；è x 1+ x 2 21+ 1 1+ x x +1 x +1
è x ÷
1
（3）由（2）知 f x + f ÷ =1，因?yàn)?f 1 + f 1 =1，
è x
f 2 f 1+ ÷ =1， f 3 + f
1 1
÷ =1

，……， f 2022 + f ÷ =1，
è 2 è 3 è 2022
2 f 1 f 2 f 1+ + + f 3 + f 1 1 1 所以 ÷ ÷ +L+ f 2021 + f ÷ + f 2022 + f ÷ = 2022 .
è 2 è 3 è 2021 è 2022
2
50．（2024 x + x +1高一上·上海徐匯·期末）（1）求函數(shù) y = 的值域；
x
（2）求函數(shù) y = x + 2 2 - x 的值域.
【答案】（1） - , -1 U 3, + ；（2） - ,3
1
【分析】（1）函數(shù)化成 y = x + +1，結(jié)合均值不等式分別判斷 x > 0、 x < 0 的最值，從而得出值域.
x
（2）由換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)換成二次函數(shù)的值域問(wèn)題.
1 y x
2 + x +1 x 1【詳解】（ ） = = + +1， x 0，
x x
當(dāng) x > 0 1時(shí)， y = x + +1 2 x 1+ +1 = 3，當(dāng)且僅當(dāng) x =1時(shí)等號(hào)成立；
x x
x < 0 y 1= - -x - +1 -2 -x × 1 當(dāng) 時(shí)， ÷ - ÷ +1 = -1，當(dāng)且僅當(dāng) x=-1時(shí)等號(hào)成立.
è x è x
故函數(shù)值域?yàn)? - , -1 U 3, + ；
（2
2
）函數(shù)定義域?yàn)?x 2，令 t = 2 x , t 0 ，則 y = 2 t 2 + 2t = t 1 +3 3，故函數(shù)值域?yàn)? - ,3 .

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