資源簡介

3.1.2 函數的表示法 12 題型分類
一、函數的表示法
(1)解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.
(2)列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.
(3)圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.
二、描點法作函數圖象的三個步驟
(1)列表：先找出一些有代表性的自變量 x 的值，再計算出與這些自變量 x 相對應的函數值 f(x)，并用表
格的形式表示出來．
(2)描點：把第(1)步表格中的點(x，f(x))一一在平面直角坐標系中描出來．
(3)連線：用光滑的曲線把這些點按自變量由小到大(或由大到小)的順序連接起來．
三、函數三種表示法的幾點說明
(1)解析法：變量間的對應關系明確，且要注意函數的定義域．
(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．比如我們生活中經常遇到的列車時刻表、
銀行的利率表等．其優點是不需要計算就可以直接看出與自變量相對應的函數值．這種表示法常常被應用
到實際生產和生活中去．
(3)圖象法：函數圖象的形狀不一定是一條或幾條無限長的平滑曲線，也可能是一些點、一些線段、一
段曲線等，但不是任何一個圖形都是函數圖象．
四、分段函數的概念
如果函數 y＝f(x)，x∈A，根據自變量 x 在 A 中不同的取值范圍，有著不同的對應關系，那么稱這樣的函
數為分段函數.
五、應用函數知識解決實際問題的一般步驟
(1)閱讀材料、理解題意；
(2)把實際問題抽象為函數問題，并建立相應的函數模型；
(3)利用函數知識對函數模型進行分析、研究，得出數學結論；
(4)把數學結論(結果)應用到實際問題中，解決實際問題．
六、分段函數的特點
(1)分段函數是一個函數，并非幾個函數．
(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集．
(3)分段函數的值域是各段值域的并集．
(4)分段函數的圖象要分段來畫．
七、應用函數知識解決實際問題
關鍵是如何根據題意將實際問題抽象、轉化成數學問題，然后通過求解數學問題，最后解決實際問題，
這也是數學建模思想在實際問題中的具體應用．
（一）
函數表示法
函數的三種表示法的選擇和應用的注意點
解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與函數值的對應關系．采用解析法的前提是
變量間的對應關系明確，采用圖象法的前提是函數的變化規律清晰，采用列表法的前提是定義域內自變量
的個數較少．
題型 1：函數的表示法
1-1．（2024 高一上·廣東廣州·期末）已知函數 f x ， g x 分別由下表給出，
x 0 1 2
f x 1 2 1
x 0 1 2
g x 2 1 0
則 f é g 1 ù = ；滿足 f ég x ù > g f x 的 x 的值是 ．
【答案】 2 1
【分析】根據列表法給定的函數，x 分別取 0，1，2 依次計算 f [g(x)]、 g[ f (x)]即可作答.
【詳解】依題意， f é g 1 ù = f 1 = 2；
f [g(0)] = f (2) =1， g[ f (0)] = g(1) =1， f ég 1 ù = f 1 = 2， g[ f (1)] = g(2) = 0 ，
f [g(2)] = f (0) =1， g[ f (2)] = g(1) =1，因此當且僅當 = 1時， f é g x ù > g é f x ù 成立，
所以滿足 f [g(x)] > g[ f (x)]的 x 的值是 1.
故答案為：2；1
1-2．（2024 高一·全國·課后作業）已知完成某項任務的時間 t與參加完成此項任務的人數 x 之間滿足關系式
t = ax b+ a R,b R ，當 x = 2時， t =100；當 x = 4時， t = 53，且參加此項任務的人數不能超過 8．
x
（1）寫出 t關于 x 的解析式；
（2）用列表法表示此函數；
（3）畫出此函數的圖象．
196
1 t = x + 0 < x 8, x N*【答案】（ ）函數解析式是 （2）詳見解析（3）圖象見解析x
【分析】（1）將 2,100 ， 4,53 b 代入 t = ax + a R,b R .即可解出 t關于 x 的解析式.
x
（2）令 x =1，2，3，4，5，6，7，8，再求出對應的 t值，列表即可.
（3）根據（2）的表格數據，在直角坐標系中描出即可.
【詳解】（1）因為當 x = 2時， t =100；當 x = 4時， t = 53，
ì b
4a + = 53 4 ìa =1
所以 í ，解得 í ，
2a b b =196+ =100
2
所以 t = x
196
+ ．
x
又 x 8， x *為正整數，所以此函數的定義域是 x 0 < x 8, x N ，
t x 196 *所以所求函數解析式是 = + 0 < x 8, x N ．x
（2） x =1，2，3，4，5，6，7，8，列表如下：
x 1 2 3 4 5 6 7 8
205 221 116 65
t 197 100 53 35
3 5 3 2
（3）此函數的圖象如圖所示：
【點睛】本題考查函數的表示法：函數的解析式、表格法、圖像法，方程組法求函數的解析式，屬于基礎
題.
1-3．（2024 高一上·陜西咸陽·階段練習）如圖中的圖象所表示的函數的解析式為（ ）
y 3A． = x -1 (0 x 2)
2
y 3 3B． = - x -1 (0 x 2)
2 2
3
C． y = - x -1 (0 x 2)
2
D． y =1- x -1 (0 x 2)
【答案】B
【分析】分段求解：分別把 0≤x≤1 及 1≤x≤2 時的解析式求出即可．
3 3 3
【詳解】當 0≤x≤1 時，設 f（x）=kx，由圖象過點（1， ），得 k= ，所以此時 f（x）= x；
2 2 2
ì33 = m + n
ì 3
m = -
當 1≤x≤2 時，設 f（x）=mx+n，由圖象過點（1， ），（2，0），得 í2 ，解得 í 2 所以此時 f2 0 = 2m + n n = 3
- 3 x 3 3 3（x）= + ．函數表達式可轉化為：y＝ - |x－1|(0≤x≤2)
2 2 2
故答案為 B
【點睛】本題考查函數解析式的求解問題，本題根據圖象可知該函數為分段函數，分兩段用待定系數法求
得．
1-4．（2024 高一上·安徽黃山·開學考試）已知邊長為 1 的正方形 ABCD 中，E 為 CD 的中點，動點 P 在正方
形 ABCD 邊上沿 A B C E 運動．設點 P 經過的路程為 x ．VAPE 的面積為 y ．則 y 與 x 的函數圖象大
致為圖中的（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據題意求 y 與 x 的函數關系式，進而可得結果.
【詳解】當動點 P 在正方形 ABCD 邊上沿 A B 運動時，
1 1
則VAPE 的面積為 y = x 1 = x,0 < x 1；
2 2
當動點 P 在正方形 ABCD 邊上沿B C 運動時，
y 1 1 1= + 1則VAPE 的面積為 ÷ 1- x -1 1
1 1 2 x 1- - = 3- x x,1 < x < 2；
2 è 2 2 2 2 4
當動點 P 在正方形 ABCD 邊上沿C E運動時，
1 5 1
則VAPE 的面積為 y = - x ÷ 1 = 5 - 2x , 2 x < 2.5；2 è 2 4
ì
x,0 < x 1

y = 1綜上所述： í 3 - x x,1 < x < 2 ，可知 B、C、D 錯誤，A 正確.
4
1
5 - 2x , 2 x < 2.5 4
故選：A.
（二）
函數圖象的作法及應用
1、畫函數圖象的兩種常用方法
(1)描點法
一般步驟：①列表——先找出一些(有代表性的)自變量 x，并計算出與這些自變量相對應的函數值 f(x)，用
表格的形式表示出來；
②描點——從表中得到一系列的點(x，f(x))，在坐標平面上描出這些點；
③連線——用光滑曲線把這些點按自變量由小到大的順序連接起來．
(2)變換作圖法：常用的有水平平移變換、豎直平移變換、翻折變換等．
2、畫函數圖象的關注點
①畫函數圖象時首先關注函數的定義域，即在定義域內作圖；
②圖象是實線或實點，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象；
③要標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等．要分清這些關鍵點是實心點還是空心
點．
題型 2：函數圖象的作法及應用
2-1．（2024 高三·全國·對口高考）已知函數 f (x) 定義在[-2,2]上的圖象如圖所示，請分別畫出下列函數的圖
象：
(1) y = f (x +1)；
(2) y = f (x) +1；
(3) y = f (-x) ；
(4) y = - f (x) ；
(5) y =| f (x) |；
(6) y = f (| x |) .
【答案】(1)答案見解析
(2)答案見解析
(3)答案見解析
(4)答案見解析
(5)答案見解析
(6)答案見解析
【分析】（1）根據左右平移可得圖象；
（2）根據上下平移可得圖象；
（3）根據對稱變換可得圖象；
（4）根據對稱變換可得圖象；
（5）根據翻折變換可得圖象；
（6）根據翻折變換可得圖象.
【詳解】（1）將函數 y = f (x) 的圖象向左平移一個單位可得函數 y = f (x +1)的圖象，函數 y = f (x +1)的圖象
如圖：
（2）將函數 y = f (x) 的圖象向上平移一個單位可得函數 y = f (x) +1的圖象，函數 y = f (x) +1圖象如圖：
（3）函數 y = f (x) 的圖象與函數 y = f (-x) 的圖象關于 y 軸對稱，函數 y = f (-x) 圖象如圖：
（4）函數 y = f (x) 的圖象與函數 y = - f (x) 的圖象關于 x 軸對稱，函數 y = - f (x) 的圖象如圖：
（5）將函數 y = f (x) 的圖象在 x 軸上方圖象保留，下方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸上方可得函數 y =| f (x) |的
圖象，函數 y =| f (x) |的圖象如圖：
（6）將函數 y = f (x) 的圖象在 y 軸左邊的圖象去掉，在 y 軸右邊的圖象保留，并將右邊圖象沿 y 軸翻折到 y
軸左邊得函數 y = f (| x |)的圖象，其圖象如圖：
1
2-2．（2024·全國）畫出函數 y = (x +1)2 的圖象．
【答案】見解析
【分析】由 y
1
= 2 的圖象與函數圖象平移變換求解，x
1
【詳解】由 y = 2 圖象向左平移一個單位即可，x
2-3．（2024 高一上·浙江杭州·階段練習）直線 l : x = a 與二次函數 y = f x 交點個數為（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．以上都有可能
【答案】B
【分析】數形結合判斷即可.
【詳解】直線 l : x = a 為的縱坐標為 R ，圖像為一條與 y 軸平行的直線，
設二次函數為 y = Ax2 + Bx + C, A 0，
當 A > 0 時， A =1, B = 2,C =1；開口向上，圖像與直線一定有一個交點，如圖：
當 A < 0時，如 A = -1, B = 2,C =1如；開口向下，圖像與直線一定有一個交點，如圖：
故選：B
2-4．（2024 高一·江蘇·專題練習）作出下列函數圖象：
(1) y =1- x(x Z 且 | x | 2)；
(2) y = 2x2 - 4x - 3(0 x < 3)．
【答案】(1)答案見解析；
(2)答案見解析.
【分析】（1）分析函數特征，再描點作出圖象.
（2）分析函數特征，描出幾何特殊點，借助二次函數作出圖象.
【詳解】（1）由于 x Z且 | x |≤2，則 x {-2, -1,0,1,2}，
所以函數 y =1- x(x Z 且 | x | 2)的圖象為直線 y =1- x上的 5 個孤立點，如圖：
（2）函數 y = 2(x -1)2 - 5，則當 x = 0時， y=- 3；當 x = 3時， y = 3；當 x =1時， y = -5，
所以函數 y = 2x2 - 4x - 3(0 x < 3)的圖象是拋物線 y = 2x2 - 4x - 3在 x [0,3)的部分，如圖：
2-5．（2024 高二下·上海楊浦·階段練習）設 a,b均為非零實數，則直線 y = ax + b 和 y = ax2 + bx 在同一坐標系
下的圖形可能是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】假設每個選項中的一次函數圖象正確，可得 a,b的正負，由此可確定二次函數的開口方向和對稱軸
位置，可排除得到最終結果.
【詳解】對于 A，若 y = ax + b 圖象正確，則 a > 0，b > 0，
\ y = ax2 x
b
+ bx 開口方向向上，對稱軸為 = - < 0，與圖象符合，A 正確；
2a
對于 B，若 y = ax + b 圖象正確，則 a < 0，b < 0，
\ y = ax2 + bx 開口方向向下，與圖象不符，B 錯誤；
對于 C，若 y = ax + b 圖象正確，則 a > 0，b > 0，
\ y = ax2 + bx 開口方向向上，與圖象不符，C 錯誤；
對于 D，若 y = ax + b 圖象正確，則 a > 0，b < 0，
\ y = ax2 + bx 開口方向向上，與圖象不符，D 錯誤.
故選：A.
（三）
函數解析式的求法
函數解析式的求法
求函數解析式，關鍵是對基本方法的掌握，常用方法有配湊法、換元法、待定系數法、解方程(組)法、賦值
法等．
(1)配湊法：將形如 f(g(x))的函數的表達式配湊為關于 g(x)的表達式，并整體將 g(x)用 x 代換，即可求出函數
f(x)的解析式．如由 f(x＋1)＝(x＋1)2可得 f(x)＝x2.
(2)換元法：將函數 f(g(x))中的 g(x)用 t 表示，則可求得 x 關于 t 的表達式，并將最終結果中的 t 用 x 代換，
即可求得函數 f(x)的解析式．
(3)待定系數法：將已知類型的函數以確定的形式表達，并利用已知條件求出其中的參數，從而得到函數的
解析式．
一次函數解析式為 y＝ax＋b(a≠0)，二次函數解析式為 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(4)解方程(組)法：采用解方程或方程組的方法，消去不需要的函數式子，得到 f(x)的表達式，這種方法也稱
為消去法．
(5)賦值法：利用恒等式將特殊值代入，求出特定函數的解析式．這種方法靈活性強，必須針對不同的類型
選取不同的特殊值．
題型 3：配湊法
3-1．（2024 高一上·江蘇揚州·期中）已知 f x +1 = x2 + x +1，則 f x = ．
【答案】 x2 - x +1
【分析】運用拼湊法，將等式右邊整理成關于 x +1的式子，再整體換元即得.
【詳解】因 f (x +1) = x2 + x +1 = (x +1)2 - (x +1) +1,故 f (x) = x2 - x +1.
故答案為： x2 - x +1.
3-2．（2024 高一上·安徽蚌埠·期末）已知函數 f x f 1 2 1滿足： x - ÷ = x + 2 ，則 f x 的解析式為（x x ）è
A f x = x2 + 2 B f x = x2． ．
C． f x = x2 + 2 x 0 D． f x = x 2 - 2 x 0
【答案】A
【分析】通過化簡即可得出函數的解析式.
2
f x 1- 1 1【詳解】因為 ÷ = x
2 + = 2
x
x - ÷ + 2，∴ f x = x + 2，
è x2 è x
故選：A.
3-3．（2024 高一上·浙江金華·期末）已知 f (| x -1|) = x2 - 2x + 3，則 (3) = （ ）
A．6 B．3 C．11 D．10
【答案】C
【解析】利用拼湊法求出 f x 解析式，即可得出所求.
【詳解】Q f (| x -1|) = x2 - 2x + 3 = x -1 2 + 2 = x -1 2 + 2，
\ f x = x2 + 2 ，
\ f 3 = 32 + 2 =11.
故選：C.
3-4．（2024 高一上·甘肅慶陽·期中）已知 f (x -1) = x2 - 2x - 3，則 f x = ．
【答案】 x2 - 4
【分析】利用配湊法求函數的解析式即可.
【詳解】因為 f (x -1) = x2 - 2x - 3 = (x -1)2 - 4，
2
所以 f x = x - 4，
故答案為： x2 - 4
題型 4：換元法
4-1．（2024 高一上·浙江·期中）已知函數 f x - 2 = x - 4 x + 5，則 f (x) 的解析式為（ ）
A． f (x) = x2 +1(x 0) B． f (x) = x2 +1(x -2)
C． f (x) = x2 (x 0) D． f (x) = x2 (x -2)
【答案】B
【分析】應用換元法求函數解析式，注意定義域.
【詳解】令 t = x - 2 -2 ，則 x = (t + 2)2 ，
所以 f t = (t + 2)2 - 4(t + 2) + 5 = t 2 +1，
綜上， f (x) = x2 +1(x -2) .
故選：B
2
4-2．（2024·重慶·模擬預測）已知函數 f 1 x 1- x- = 2 x 0 ，則 f x =（ ）x
1 1
A． x -1 2
-1 x 0 B． -1 x 1 x -1 2
4 4
C． 2 -1 x 0 D． 2 -1 x 1 x -1 x -1
【答案】B
【分析】利用換元法令 t =1- x 求解析式即可．
【詳解】令 t =1- x ，則 x =1- t ，且 x 0，則 t 1，
1- 1- t 2
可得 f t 1= = -1, t 1 ，
1- t 2 t -1 2
f x 1所以 = -1 x 1 x -1 2 .
故選：B.
4-3．（2024 高一上·重慶·期中）已知 f x -1 = x +1，則函數 f x 的解析式為（ ）
A f x = x2 B f x = x2． ． +1 x 1
C． f x = x2 + 2x + 2 x -1 D． f x = x2 - 2x x 1
【答案】C
【分析】利用換元法求解即可.
【詳解】因為 f x -1 = x +1， x 0 ，
令 t = x -1，則 x = t 2 + 2t +1，t -1，
所以 f t = t 2 + 2t +1+1 = t 2 + 2t + 2，t -1，
故 f x = x2 + 2x + 2， x -1，
故選：C
1 1
4-4．（2024 高三·全國·專題練習）已知 f x +
= x3÷ + 3 ，求 f x .è x x
【答案】 f x = x3 - 3x， x - ,-2 U 2,+
【分析】利用立方和公式將函數變形，令 t = x
1
+ ，利用基本不等式求出 t的取值范圍，最后利用換元法計
x
算可得.
1 1 1 1 1 é 1 2 3 2 ù
【詳解】因為 f x + ÷ = x + 3 = x + ÷ x -1+ 2 ÷ = x +x x x x x ÷ ê
x + ÷ - 3ú，
è è è è êè x ú
1 1
令 t = x + x > 0 t x 1，當 時 = + 2 x 1× = 2，當且僅當 x = ，即 x =1時取等號，
x x x x
1 1 1
當 x < 0 時 t = x + = - éê -x +
ù
ú -2 -x
1
× = -2，當且僅當-x = ，即 x = -1時取等號，
x -x -x -x
所以 t - ,-2 U 2,+ ，則 f t = t t 2 - 3 = t3 - 3t ， t - ,-2 U 2,+ ，
\ f x = x3 - 3x ， x - ,-2 U 2,+ .
題型 5：待定系數法
5-1．（2024 高一上·福建廈門·階段練習）已知 f x 是一次函數，且 f x +1 = 2x ，則 f x = .
【答案】 2x - 2
【分析】設 f x = ax + b，再代入 f x +1 = 2x 求解即可.
【詳解】設 f x = ax + b，因為 f x +1 = a x +1 + b = ax + a + b = 2x，
則 a = 2，a + b = 0，故 a = 2，b = -2 .
所以 f (x) = 2x - 2 .
故答案為： 2x - 2
5-2 2．（2024 高一上·湖南衡陽·期末）已知二次函數 f x 滿足 f x -1 = 2x -7x +6．
(1)求 f x 的解析式．
(2)求 f x 在 0,2 上的值域．
【答案】(1) f x = 2x2 - 3x +1
é 1 ù
(2) ê- ,3 8 ú
【分析】（1）令 x -1 = t ，則 x = t +1，利用換元法代入可求得 f x 的解析式；
（2）由（1）可得函數 f x 的解析式，結合二次函數的性質分析可得答案.
【詳解】（1）令 x -1 = t ，則 x = t +1，
f t = 2 t +1 2 - 7 t +1 + 6 = 2t 2 - 3t +1 2，∴ f x = 2x - 3x +1 .
2
3 1
（2）因為 f x = 2x2 - 3x +1 = 2 x - ÷ - ，
è 4 8
所以 f x 3 é 3ù é 3 ù的圖象對稱軸為 x = ，在 ê0, ú 上遞減，在 ê , 2 上遞增，4 4 4 ú
f x = f 3 1∴ ÷ = - ， f x = f 2 = 3min ，è 4 8 max
f x é 1 ù即 的值域為 ê- ,3ú . 8
5-3．（2024 高一上·廣西桂林·期中）若 f g x = 6x +1，且 g x = 2x +1，則 f x =（ ）
A．3 B．3x C．3x - 2 D．3x - 3
【答案】C
【分析】應用換元法求函數解析式即可.
【詳解】因為 f g x = 6x +1 , g x = 2x +1 ,則 f 2x +1 = 6x +1
設 2x +1 = t,即 2x = t -1
則 f t = 3 t -1 +1 ,即 f t = 3t - 2
所以 f x = 3x - 2
故選: C .
5-4．（2024 高三·全國·對口高考）若二次函數 f (x) 滿足 f (x +1) - f (x) = 2x，且 f (0) =1，則 f (x) 的表達式為
（ ）
A． f (x) = -x2 - x -1 B． f (x) = -x2 + x -1
C． f (x) = x2 - x -1 D． f (x) = x2 - x +1
【答案】D
【分析】設 f x = ax2 + bx + c ， a 0，根據 f 0 =1得到 c =1，再根據 f x +1 - f x = 2x 得到 a =1，
b = -1，從而得到函數的解析式.
【詳解】設 f x = ax2 + bx + c ， a 0，
∵ f 0 =1，則 c =1， f x = ax2 + bx +1
又∵ f x +1 - f x = 2x ，
令 x = 0，則 f 1 - f 0 = 0，∴ f 1 =1，即 a + b +1 =1，a + b = 0，
令 x =1，則 f 2 - f 1 = 2， f 2 = 3，即 4a + 2b +1 = 3， 2a + b =1，
∴ a =1，b = -1， f x = x2 - x +1.
故選：D.
題型 6：方程組法
3
6-1．（2024 高一上·山西·階段練習）已知函數 f (x) 滿足 f (x) + 2 f (1- x) = ，求 (3)的值為（
x ）
3 4 3 5
A．- B．- C．- D．-
4 3 5 3
【答案】B
【解析】構造方程求出 f (x) 的解析式，再求 (3)的值.
Q f (x) 2 f (1 x) 3【詳解】 + - =
x
\ f (1- x) + 2 f (x) 3=
1- x
f (x) 2 1\ = -
1- x x
\ f (3) 1 4= -1- = -
3 3
故選：B
1
6-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知 f x + 2 f ÷ = 3x x 0 ，求 f (x) 的解析式
è x
2
【答案】 f x = - x x 0
x
【分析】用方程組的方法求解即可.
1
【詳解】因為 f x + 2 f ÷ = 3x x 0 ，
è x
1 1
用 替換 x 得 f ÷ + 2 f x
3
= x 0 ，
x è x x
f 1 消去 ÷，解得3 f x
6 2
= - 3x ，即 f x = - x x 0 .
è x x x
6-3．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數 f x 的定義域為 R，對任意 x R 均滿足：
2 f x - f -x = 3x +1則函數 f x 解析式為（ ）
A． f x = x +1 B． f x = x -1 C． f x = -x +1 D． f x = -x -1
【答案】A
【分析】利用方程組法求解析式即可.
【詳解】由 2 f x - f -x = 3x +1，可得2 f -x - f x = -3x +1 ①，
又 4 f x - 2 f -x = 6x + 2 ②，①＋②得：3 f x = 3x + 3，解得 f x = x +1，
故選：A．
題型 7：賦值法
7-1．（2024 高三上·江蘇揚州·開學考試）寫出滿足 f x - y = f x + f y - 2xy 的函數的解析式 ．
2
【答案】 f x = x
【分析】利用賦值法可得函數解析式.
【詳解】 f x - y = f x + f y - 2xy 中，令 x = y = 0 ，得 f (0) = 0；
令 y = x 得 f x - x = f x + f x - 2x2 ，故 f x + f x = 2x2，
則 f x = x2 ．
故答案為： f x = x2 ．
7-2．（2024 高一上·江西撫州·階段練習）已知函數 f (x) 對一切的實數 x ， y ，都滿足
2 f (x + y) - f (x - y) = x2 + y2 + 6xy + x + 3y - 2，且 f (0) = -2 .
（1）求 f (2) 的值；
（2）求 f (x) 的解析式；
（3）求 f (x) 在 -3,1 上的值域.
f (2) = 4 f (x) x2 x 2 é
9 ù
【答案】（1） ；（2） = + - ；（3） - , 4
ê 4 ú
．

【分析】（1）令 x = y =1，則 2 f (2) - f (0) =10 即可求 f (2) ；
（2）令 y = 0 代入式子即可求解 f (x) 的解析式；
（3）由（2）知 f (x) = x2 + x - 2，根據二次函數性質即可求解．
【詳解】（1）令 x = y =1,則 2 f (2) - f (0) =1+1+ 6 +1+ 3 - 2 =10,Q f (0) = -2,\ f (2) = 4;
（2）令 y = 0 則 2 f (x) - f (x) = x2 + x - 2,\ f (x) = x2 + x - 2；
1
（3）Q f (x)對稱軸為 x = - -1,3 ，
2
\ f (x) 9min = - , f (x)4 max
= 4，
\ f (x) 9 éê- , 4
ù
4 ú
．

7-3．（2024 高三·全國·專題練習）定義在 R 上的函數 f(x)滿足 f 0 = 0，并且對任意實數 x，y 都有
f x - y = f x - y 2x - y + 2 ，求 f x 的解析式.
2
【答案】 f x =x +2 x
【分析】對 f x - y = f x - y 2x - y + 2 進行賦值，解方程求得 f x 的解析式.
【詳解】對任意實數 x ， y ， f x - y = f x - y 2x - y + 2 ，
令 y = x ，得 f 0 = f x - x 2x - x + 2 ，即 f 0 = f x - x x + 2 ，
f 0 = 0 f x = x x + 2 = x2又 ，所以 + 2x .
7-4．（2024 高一·全國·專題練習）已知函數 y = f x 滿足：對一切實數 a、b ，均有
f a + b - f b = a a + 2b +1 成立，且 f 1 = 0 .求函數 y = f x 的表達式.
【答案】 f (x) = x(x +1) - 2 .
【分析】根據所給關系對于 a,b合理賦值后求出 f (0)，再令b = 0可得解.
【詳解】由已知等式 f (a + b) - f (b) = a(a + 2b +1)，
令 a =1，b = 0，得 f 1 - f 0 = 2．
又 f 1 = 0，所以 f 0 = -2．
再令b = 0，可得 f (a) - f (0) = a(a +1) ，即 f (a) = a(a +1) - 2．
因此，函數 y = f x 的表達式為 f (x) = x(x +1) - 2 ．
（四）
分段函數的定義域、值域
分段函數定義域、值域的求法
(1)分段函數的定義域是各段函數定義域的并集；
(2)分段函數的值域是各段函數值域的并集．
題型 8：求分段函數的定義域
ìx2 -1, x -1,1
8-1．（2024 高一上·山西太原·階段練習）函數 f x = í
x, x 0,2
的定義域為（ ）
A． B． x -1 x 2 C． -1,0,1,2 D． -1,0,1
【答案】C
【分析】由對分段函數的定義域的理解可得.
【詳解】由 -1,1 U 0,2 = -1,0,1,2 ，
得函數 f (x) 的定義域為 -1,0,1,2 .
故選：C.
8-2．（2024 高一上·福建福州·期中）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）
2
A． f x = x， g x = x B． f t = t ， g x = x2
2
C f x x -1
1, x 0
． = ， g x = x +1 D． f x x= ， g x
ì
= í
x -1 x -1, x < 0
【答案】B
【分析】求出兩個函數定義域以及化簡對應關系.若兩個函數定義域相同且對應關系相同，則這兩個函數相
同，進而判斷答案.
【詳解】對 A， f x 的定義域為 R， g x 的定義域為[0,+ )，則 A 錯誤；
對 B， f t 和 g x 的定義域均為 R，且 g x = x2 =| x |，則 B 正確；
對 C， f x 的定義域為 x | x 1 ， g x 的定義域為 R，則 C 錯誤；
對 D， f x 的定義域為 x | x 0 ， g x 的定義域為 R，則 D 錯誤.
故選：B.
1
8-3．（2024 高一上·河北邯鄲·階段練習）下列四個函數：① y = 3 - x ；② y = ；③ y = x2 + 2x -10 x ；
ì-x, x 0
y = ④ í 1 ．其中定義域與值域相同的函數有（　　）

- , x > 0
x
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
【答案】C
【分析】根據函數解析式分別求得每個函數的定義域和值域，即可判斷出答案.
【詳解】① y = 3 - x 的定義域和值域均為 R,
y 1② = ,定義域為{x R | x 0} x ，∴值域為
{y R | y 0}，定義域與值域相同；
③ y = x2 + 2x -10 = (x +1)2 -11的定義域為 R，值域為{y | y -11} ，
定義域與值域不相同；
ì-x, x 0
④ y =

í 1 的定義域為 R，當 x 0 時， y = -x 0；
- , x > 0 x
1
當 x > 0時， y = - < 0 ，則函數值域為 R, 故函數定義域與值域相同，
x
所以函數定義域與值域相同的函數是①②④，共有 3 個．
故選：C．
題型 9：求分段函數的值域
ì2x2 ,0 x <1

9-1．（2024 高一上·云南保山·期中）函數 f x = í2,1 x < 2 的值域是（ ）

3, x 2
A． 0,2 3 B． 0, + C． 0,3 D． 0,2
【答案】A
【分析】分段求解值域，再取并集即可.
【詳解】當0 x <1時， f x = 2x2 0,2 ；
當1 x < 2時， f x = 2；
當 x 2時， f x = 3，
所以函數 f x 的值域為 0,2 3 .
故選:A.
9-2．（2024·上海嘉定·二模）函數 y = x -1 + x - 4 的值域為 ．
【答案】 3, +
【分析】利用絕對值的定義化簡函數解析式，結合不等式的性質，可得答案.
ì5 - 2x, x 1

【詳解】由函數 y = x -1 + x - 4 = í3,1 < x 4 ，

2x - 5, x > 4
當 x 1時， y = 5 - 2x 3；當 x > 4時， 2x - 5 > 3 .
綜上所述，函數 y = x -1 + x - 4 的值域為 3, + .
故答案為： 3, + .
ì-x2 + x,0 x 2,
9-3．（2024 高一上·內蒙古通遼·期末）已知函數 f x = í
-x2
f x 的最大值為 m， f x 的最小
- x, -1 x < 0,
值為 n，則m + n = ．
7
【答案】-
4
【分析】根據二次函數的性質分別求出兩段函數的最值，從而可得函數 f x 的最大值和最小值，即可得
解.
2
【詳解】當0 x 2 1 1時， f x = -x2 + x = - x - ÷ + ，
è 2 4
1 1
所以此時 f x = fmax 2 ÷ = , f x = f 2 = -2 ，è 4 min
-1 x < 0 f x x2 x x 1
2
= - - = - +
1
當 時， 2 ÷
+ ，
è 4
f x = f 1- 1所以此時 max 2 ÷ = , f x = f -1 = 0è 4 min
，
1 1
綜上所述， f x = , f x = -2，即m = ,n = -2max 4 min ，4
7
所以m + n = - .
4
7
故答案為：- .
4
ì -x x -1
9-4．（2024 高二下·北京大興·階段練習）函數 f x = í 2
x x > -1
的最小值是 .
【答案】0
【分析】根據分段函數，分別求兩段函數的最小值，比較后，即可求解.
【詳解】當 x -1時， y = -x 的單調遞減， ymin =1，
當 x > -1， y = x2， ymin = 0 ，
所以函數 f x 的最小值為0 .
故答案為：0
（五）
分段函數求值問題
1、求分段函數函數值的步驟
(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區間．
(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止．
2、已知分段函數值求字母取值的步驟
(1)先對字母的取值范圍分類討論．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通過解方程求出字母的值．
(4)檢驗所求的值是否在所討論的區間內．
題型 10：分段函數求值問題
ìx + 4, x 0

10-1．（2024 2高一·全國·課后作業）已知函數 f x = íx - 2x,0 < x 4．

-x + 2, x > 4
（1）求 f f 5 的值；
（2）畫出函數 f x 的圖象．
【答案】（1）1；（2）圖象見解析.
【解析】（1）利用函數 f x 的解析式由內到外可逐層計算出 f f 5 的值；
（2）根據函數 f x 的解析式可畫出該函數的圖象.
ìx + 4, x 0
【詳解】（1）Q f x = íx2 - 2x,0 < x 4，\ f 5 = -5 + 2 = -3，則 f f 5 = f -3 = -3+ 4 =1；

-x + 2, x > 4
（2）函數 f x 的圖象如下圖所示：
ì -2x, x < -1,

10-2．（2024 高一上·廣東汕頭·期中）已知函數 f x = í2,-1 x 1,

2x, x >1,
f 3- f 1 f f 1 (1)求 2 ÷ ， 2 ÷， ÷÷；è è è è 2
(2)若 f a = 6，求 a的值．
【答案】(1)3，2，4
(2) -3或 3
【分析】（1）根據自變量的范圍代入進行求值即可；
（2）分段解方程即可求解.
3
【詳解】（1）因為- - ,-1 ，
2
f 3 2 3所以 - ÷ = - -

÷ = 3．
è 2 è 2
1
因為 1-1,1 ，所以 f ÷ = 2．2 è 2
又 2 1,+ ，
f 1 所以 f ÷÷ = f 2 = 2 2 = 4 ．
è è 2
（2）經觀察可知 a -1,1 ，否則 f a = 2．
若 a - ,-1 ，令-2a = 6 ，得 a = -3，符合題意；
若 a 1,+ ，令 2a = 6，得 a = 3，符合題意．
故 a的值為-3或 3．
ì
2x + 3, x < -1

10-3．（2024 2高一上·廣西梧州·階段練習）已知函數 f x = íx +1,-1 x 1.

1 1+ , x >1
x
(1)求 f ( f (-2))的值；
3
(2)若 f x0 = ，求 x0 的值.2
【答案】(1)2；
(2) 2± 或 2
2
【分析】（1）根據 x 的取值范圍求出對應的函數值，再將函數值代入相應的解析式即可求得.
3
（2）對自變量分情況討論，令函數值等于 ，求出對應的 x0 ，再根據自變量的取值范圍即可確定 x0 的值.2
ì
2x + 3, x < -1
2
【詳解】（1）Q f x = íx +1,-1 x 1

1 1+ , x >1
x
\ f -2 = 2 -2 + 3 = -1，
f f -2 = f -1 = -1 2 +1 = 2
（2） f x 30 = 2
x < -1 f x 2x 3 3 x 3當 0 時， 0 = 0 + = ，解得2 0 = - ，不成立；4
2 3
當-1 x0 1時， f x0 = x0 +1 = 2 2，解得2 x0 = - 或 x0 = ，成立；2 2
f x 1 1 3當 x0 >1時， 0 = + =x 2 ，解得x0 = 2成立.0
2
綜上， x0 的值為± 或 2.
2
題型 11：分段函數與不等式的綜合
ì 2x + 3, x 0
11-1．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 f (x) = í 2 ,x 0 則使
f (x) -1成立的 x 的取值范圍是
- x -1 , >
（　 ）
A． -2,2 B． -2,0
C． -2, 2 D． 0,2
【答案】A
【分析】（方法 1）分別在 x 0 時，解不等式 f (x) -1，在 x > 0時，解不等式 f (x) -1，再求并集得答
案.
（方法 2）在同一坐標軸中畫 f (x) 的圖象，虛線 y = -1，則函數 f (x) 圖象在虛線 y = -1及以上的部分中 x 的
取值范圍，即不等式 f (x) -1的解集，從而得答案.
【詳解】（方法 1）當 x 0 時 f (x) = 2x + 3，不等式 f (x) -1可化為 2x + 3 -1，解得 x -2，又 x 0 ，所以
-2 x 0；
當 x > 0時， f (x) = -(x -1)2，不等式 f (x) -1可化為-(x -1)2 -1，解得0 x 2，
又 x > 0，所以0 < x 2 .
綜上，使不等式 f (x) -1成立的 x 的取值范圍是 -2,2 .
故選: A.
（方法 2）函數 f (x) 的圖象如圖所示，虛線表示 y = -1，函數 f (x) 圖象在虛線 y = -1及以上的部分中 x 的取
值范圍即不等式 f (x) -1的解集.
由圖可知， x 的取值范圍就是點的橫坐標與點 B 的橫坐標之間的范圍.
在 y = 2x + 3中，令 y = -1，得 x = -2，所以點A 的橫坐標為-2 .
在 y = -(x -1)2中，令 y = -1，得 x = 0（舍去）或 x = 2，
所以點 B 的橫坐標為 2，所以使不等式 f (x) -1成立的 x 的取值范圍是 -2,2 .
故選：A.
ì-x2 + 2x, x > 0
11-2．（2024 高一上·重慶萬州·階段練習）函數 f (x) = í ，若關于 x 的不等式 f (x) x 的解
3x + 6, x 0
集 .
é 3 ù
【答案】 ê- ,1 2 ú
ì x > 0 ì x 0
【分析】原不等式等價于 í x2 2x x或 í3x 6 x，分別解出對應
x 不等式即可得出結果.
- + + -
ì x > 0 ì x 0 3
【詳解】由題意得原不等式等價于 í 2 或 í ，解得0 < x 1或- x 0 ，
-x + 2x x 3x + 6 -x 2
即關于 x 的不等式 f (x)
3
x é ù的解集為： ê- ,1 2 ú
é 3 ù
故答案為： ê- ,1 2 ú
ìx + 2, x > 011-3 2．（2024 高一下·河北衡水·階段練習）設 f x = íx ，則不等式 f x < x 的解集是（　　） - 2, x 0
A． - ,0 2,+
B．R
C． 0,2
D． - ,0
【答案】A
【分析】分別在 x > 0和 x 0 的情況下解一元二次不等式即可.
【詳解】當 x > 0時，由 f x < x2 得： x + 2 < x2 ，解得： x < -1或 x > 2，\ x > 2；
當 x 0 時，由 f x < x2 得： x - 2 < x2，解得： x R ，\ x 0；
\不等式 f x < x2 的解集是 - ,0 2,+ .
故選：A.
11-4．（2024·全國· 2模擬預測）已知函數 f x = max -x + 2x,-x +1, x - 2 .
(1)求 f x 的最小值；
(2)若 f x k x -1對任意 x R 恒成立，求 k 的取值范圍.
【答案】(1)0
1 ù
(2) - ,
è 2 ú
【分析】（1）由題意分別畫出三個函數的圖象，即可分析出 f x 的圖象，通過圖象可得最小值；
（2）設 g x = k x -1，可知 g x 恒過點M 0, -1 ，作圖并分類討論 k ，結合條件根據圖象，求出 k 的取值
范圍.
2
【詳解】（1）在同一平面直角坐標系中，畫出函數 y = -x + 2x， y = -x +1， y = x - 2的圖象，如圖 1 所
示，
-x2 + 2x = -x +1 x 3 - 5 x 3+ 5由 ，解得 = 或 = ；
2 2
由-x2 + 2x = x - 2，解得 x=-1或 x = 2 .
ì
-x
3- 5
+1, x
2

由圖象易得 f x = 2í-x + 2x, 3- 5 < x 2，
2
x - 2, x > 2


結合圖象可知，當 x = 2時， f x 取得最小值，
即 f x = f 2 = 0min .
（2）設 g x = k x -1，則 g x 恒過點M 0, -1 ，
因為 f x = f 2 = 0min ，所以記 A 2,0 ，
由（1）知， f x 的圖象如圖 2 所示，
當 k 0時， g x = k x -1 -1，即 g x = -1max ，
所以 f x > g xmin max ，不等式恒成立.
1
當 k > 0 時，易知直線 AM 的斜率 kAM = ，2
由圖象可知，根據 f x g x 恒成立，
ìk 1 1 1
可得 í 2 ，解得 k ，所以0 < k ，
k 1 2 2
1 ù
綜上所述，k 的取值范圍是 - , ú .è 2
（六）
分段函數圖象的畫法
作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再
保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．
注：(1)判斷分段函數的圖 象，分段判斷，宏觀把握.
(2)畫分段函數的圖象，首先確定函數是否已經確為分段函數，然后再分段畫出，分點處的虛實情況用空心
點和實心點標出.
題型 12：分段函數圖象及應用
ìx + 2, (x -1)

12-1．（24-25 高一上·上海· 2隨堂練習）已知函數 y = í x , (-1 < x < 2)

-2x + 8, (x 2)
(1)在坐標系中作出函數的圖象；
1
(2)若 x = a時函數值等于 ，求 a 的取值集合．
2
【答案】(1)答案見解析
ì 3 2 ü
(2) í- , - ,
2 ,15
2 2 2 4


【分析】（1）直接根據函數解析式得出函數性質，作圖即可.
（2）根據分段函數性質對 a分類討論，列出方程即可求解.
ìx + 2, (x -1)
2
【詳解】（1）函數 y = íx , (-1< x < 2)的圖象如下圖所示：

-2x + 8, (x 2)
1 3
（2）當 a -1時， f a = a + 2 = ，可得： a = - ；
2 2
當-1 < a < 2時， f (a)
1
= a2 = 2，可得：
2 a = ±
；
2
當 a 2時， f a 1 15= -2a + 8 = ，可得 a = ；
2 4
ì 3 2 2 15 ü
綜上所述，a 的取值構成集合為 í- , - , , .
2 2 2 4


12-2．（2024 高一上·陜西榆林·階段練習）設函數 f x = 2 x + x - 2．
(1)將函數 f x 寫成分段函數的形式并畫出其圖象；
(2)寫出函數 f x 的單調區間和值域．
ì3x - 2, x 0
【答案】(1) f x = í x 2, x 0，圖象見解析 - - <
(2)單調遞增區間為 0, + ，單調遞減區間為 - ,0 ，值域為 -2, +
【分析】（1）去掉絕對值符號將函數寫成分段函數，再畫出函數圖象；
（2）結合函數圖象得到函數的單調區間與最小值，即可求出函數的值域.
ìx, x 0
【詳解】（1）因為 x = í x, x 0， - <
3x - 2, x 0所以 f x = 2 x + x - 2 ì= í
-x 2, x 0
，
- <
所以 f x 的圖象如下所示：
（2）由（1）中函數圖象可知， f x 的單調遞增區間為 0, + ，單調遞減區間為 - ,0 ，
又 f 0 = -2，所以 f x 的值域為 -2, + .
12-3．（2024·山東濟寧·模擬預測）已知函數 f x = x - x , x -1,2 ，其中[x]表示不超過 x 的最大整數，例
如 -3.05 = -4， 2.1 = 2.
(1)將 f (x) 的解析式寫成分段函數的形式;
(2)請在如圖所示的平面直角坐標系中作出函數 f (x) 的圖象;
(3)根據圖象寫出函數 f (x) 的值域.
ìx +1，-1 x < 0

【答案】(1) f (x) = íx,0 x <1 .

x -1，1 x < 2
(2)作圖見解析
(3) 0,1 .
【分析】(1)根據已知條件給的新定義，可以將函數分為三段，分別求解析式即可.
(2)根據寫出的分段函數畫圖.
(3)由圖像就可以觀察出函數的值域.
【詳解】（1）當-1 x < 0時， x = -1，所以 f (x) = x +1;
當0 x <1時， x = 0，所以 f (x) = x;
當1 x < 2時， x =1，所以 f (x) = x -1.
ìx +1，-1 x < 0

綜上， f (x) = íx,0 x <1

x -1，1 x < 2
（2）函數 f (x) 的圖象如圖所示.
（3）由圖象，得函數 f x 的值域為 0,1 .
12-4．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函數 f (x) 是定義在 上的奇函數，且當 x < 0 時， f (x) = x2 + 2x，
(1)求函數 f (x)(x R)的解析式，并作出簡圖；
g(x) x +1(2)求函數 = 在區間 (0,2)f (x) 上的值域.
ìx2 + 2x, x 0
【答案】(1) f (x) = í 2 ，作圖見解析；
-x + 2x, x > 0
(2)[1 3+ , + ) .
2
【分析】（1）利用奇函數定義求出 x > 0時 f (x) ，再用分段函數表示出即可.
（2）當 x (0,2) 時，求出 g(x)，利用換元法結合對勾函數性質求出值域.
【詳解】（1）函數 f (x) 是定義在 上的奇函數，且當 x < 0 時， f (x) = x2 + 2x，
當 x > 0時，-x < 0，則 f (x) = - f (-x) = -(x2 - 2x) = -x2 + 2x，而 f (0) = 0，
ìx2 + 2x, x 0
所以 f (x) = í ，函數 f (x) 的圖象，如圖：
-x
2 + 2x, x > 0
g(x) x +1（2）由（1）得 = ， x (0,2) ，
-x2 + 2x
y t 1 1= = =
令 t = x +1， t (1,3)，則 -t 2 + 4t - 3 -t 3+ 4 - -(t 3+ ) + 4 ，
t t
函數 y = t
3
+ 在 (1, 3]上單調遞減，在[ 3,3)上單調遞增，
t
1 1 3
則 2 3
3 3
t + < 4，0 < -(t + ) + 4 4 - 2 3 =1+，于是
t t -(t 3+ ) + 4 4 - 2 3 2
，
t
x +1 3
所以函數 g(x) = 在區間 (0,2)f (x) 上的值域為[1+ , + ) .2
ì x - 3 -1, x 012-5．（2024 高二下·海南海口·期末）已知函數 f x = í 2 ， g x = kx .若 k = -1，則
2 - x , x < 0
f ég 2 ù = ；若函數 y = f x 的圖象與 y = g x 的圖象有 3 個公共點，則 k 的取值范圍
是 .
1
【答案】 -2 - ,1

3 ֏
【分析】利用分段函數的定義直接計算可得第一空；作出兩個函數的圖象，利用數形結合分類討論即得.
【詳解】若 k = -1，則 g x = -x，顯然 g 2 = -2，
則 f ég 2 ù = f -2 = 2 - -2
2 = -2；
如圖所示作出 = ( )的大致圖象，
易知 = ( )過原點，要滿足題意需與 y = x - 3 -1有兩個交點，
當 = ( )過 3, -1 1時，此時 k = - ，不滿足題意，
3
當 k =1時， = ( )與 y = x - 3 -1只一個交點，
1 1
數形結合可知，當 y = g x 的斜率介于 - ,1÷時滿足題意，即 k - ,1

÷ .
è 3 è 3
1- ,1 故答案為：-2； ÷ .
è 3
一、單選題
1．（2024 2高一上·重慶萬州·期中）將函數 y = 2 x -1 + 3的圖象向左平移 1 個單位，再向下平移 3 個單位長
度，所得的函數圖象對應的解析式為（ ）
A． y = 2 x - 2 2 + 6 B． y = 2x2 + 6
C． y = 2x2 D． y = 2 x - 2 2
【答案】C
【分析】
根據函數圖象變換的知識求得正確答案.
2
【詳解】函數 y = 2 x -1 + 3的圖象向左平移 1 個單位得到 y = 2x2 + 3，
再向下平移 3 個單位長度得到 y = 2x2 .
故選：C
2．（山東省 2023-2024 學年高三上學期普通高校招生（春季）考試第一次校際聯考數學試題）如圖，公園里
有一處扇形花壇，小明同學從A 點出發，沿花壇外側的小路順時針方向勻速走了一圈(路線為
AB BO OA )，則小明到O點的直線距離 y 與他從A 點出發后運動的時間 t之間的函數圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根據距離隨與時間的增長的變化增減情況即可判定.
【詳解】小明沿 AB 走時，與О點的直線距離保持不變，
沿BO走時，隨時間增加與點О的距離越來越小，
沿OA走時，隨時間增加與點О的距離越來越大.
故選：D.
x
3．（2024 高一上·福建寧德·期中）函數 f x = x -1的圖象大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本題為分段函數圖像判斷，寫出分段函數，可根據特殊點進行判斷.
ì x
, x > 0且x 1
【詳解】函數 f x
x
= x x -1
x -1的定義域為 x ±1， f x = =x -1 í x , x < 0且x -1
-x -1
f (2) = 2 > 0，排除 BC 選項， f (-2) = -2 < 0，排除 D 選項.
故選：A
4．（2024 高一上·福建）如圖，點 P 在邊長為 1 的正方形的邊上運動，M 是CD的中點，則當 P 沿 A - B - C - M
運動時，點 P 經過的路程 x 與△ APM 的面積 y 的函數 y = f (x) 的圖象的形狀大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分點 P 在 AB 上時，點 P 在BC 上時，點 P 在 AB 上時求得函數，再利用函數的性質來判斷．
1 1
【詳解】當點 P 在 AB 上時： y = x 1 = x,0 x 1，
2 2
當點 P 在BC 上時： y = S正方形ABCD - SVADM - SVABP - SVPCM
= AB2 1 AD DM 1 1- × - AB × BP - CP ×CM
2 2 2
=12 1- 1 1 1 1 1 - 1 x -1 - 2 - x ，
2 2 2 2 2
1 x 3= - + ,1< x 2
4 4
1 5 1 5 5
當點 P 在 AB 上時： y = ( - x) 1 = - x + ,2 < x ，
2 2 2 4 2
由函數可知，有三段直線，又當點 P 在BC 上時是減函數，如下圖：
故選：A．
5．（2024 高三上·北京大興·期中）如圖為某無人機飛行時，從某時刻開始 15 分鐘內的速度V x （單位：米
/分鐘）與時間 x （單位：分鐘）的關系．若定義“速度差函數” v x 為無人機在時間段 0, x 內的最大速度與
最小速度的差，則 v x 的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據速度差函數的定義，分 x [0,6], x [6,10], x [10,12], x [12,15]四種情況，分別求得函數解析
式，從而得到函數圖像.
【詳解】由題意可得，當 x [0,6]時，無人機做勻加速運動，V (x) 60
40 x v(x) 40= + ，“速度差函數” = x；
3 3
當 x [6,10]時，無人機做勻速運動，V (x) =140，“速度差函數” v(x) = 80；
當 x [10,12]時，無人機做勻加速運動，V (x) = 40 +10x，“速度差函數” v(x) = -20 +10x；
當 x [12,15]時，無人機做勻減速運動，“速度差函數” v(x) =100，結合選項 C 滿足“速度差函數”解析式，
故選：C.
ì x2 x 0

6．（2024·湖北·一模）已知函數 f x = í 1 ，g x = - f x ，則函數 g x 的圖像是（ ）
- x > 0 x
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由 g x = - f x 可知 g x 圖像與 f x 的圖像關于 x 軸對稱，由 f x 的圖像即可得出結果.
【詳解】因為 g x = - f x ，所以 g x 圖像與 f x 的圖像關于 x 軸對稱，
由 f x 解析式，作出 f x 的圖像如圖
.
從而可得 g x 圖像為 D 選項.
故選：D.
ì 1 2 3
7．（2024 高二下·吉林長春·期末）已知函數 f
- x - x + , x a
x = í 2 2 無最大值，則實數 a 的取值范圍是
-2x, x > a
（ ）
A． 1, + B． -1,0 C． 0, + D． - ,-1
【答案】D
【分析】根據題意作出函數 f (x) 的圖象，根據二次函數的性質，數形結合判斷臨界點即可求解.
1 2
【詳解】解：由題可知，當 x a時， f (x) = - x - x
3
+ ，其對稱軸為 x = -1，
2 2
1
當 a -1時，函數 f (x) = - x2 x
3
- + 有最大值為 f (-1) = 2，
2 2
當 a < -1時，函數 f (x)
1 3 1 3
= - x2 - x + 2有最大值為 f (a) = - a -a + ，
2 2 2 2
當 x > a 時， f (x) = -2x ，在 (a,+ ) 單調遞減，故 f (x) < f (a) = -2a ，
因為函數 f (x) 無最大值，故當 a -1時，需滿足 2 < -2a ，解得 a < -1，不符合題意，
1 2 3
當 a < -1時，需滿足- a -a + < -2a ，解得 a < -1， a > 3（舍去）.
2 2
綜上，實數 a 的取值范圍是 (- ,-1) .
故選：D.
8．（2024 高一上·遼寧遼陽·期中）函數 f x = x -1 +1的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】將函數寫成分段函數，再根據特殊值判斷即可.
f x x 1 1 ìx, x 1【詳解】解：因為 = - + = í ，且 f 1 = 1-1 +1 =12 x, x 1 ， - <
f 0 = 0 -1 +1 = 2，故符合題意的只有 A.
故選：A
ì x2 -1, x > a
9．（2024·河北唐山·模擬預測）已知函數 f x = í x a 1 , x a，若 f x 的最小值為 1，則 a 的取值范圍是 - -
（ ）
é 2
A． ê ,+ 2 ÷÷ B．
é
2, +
C． é 2 2, + D． é 4 2,+
【答案】B
【分析】討論分段函數各段上的函數性質，結合分類討論研究函數最小值，進而確定 a 0的情況下有滿足
要求的情況，再比較兩分段上最小值列不等式求參數范圍.
【詳解】由 x a，則 x - a -1 -1，僅當 x = a時等號成立，
所以 | x - a -1|= a +1- x 1，在 (- ,a]上遞減，且最小值為1，
對于 y = x2 -1在 (a,+ ) 上，當 a < 0時 ymin = -1；當 a 0時 y > a2 -1，無最小值；
顯然， a < 0時 f x 的最小值不為 1，不合題意；
所以 a 0，此時必有a2 -1 1，可得 a 2 .
故選：B
10．（2024 高一·全國·期末）某校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當班人數除以10的
余數大于6 時，再增選一名代表，則各班推選代表人數 y 與該班人數 x 之間的函數關系用取整函數 y = [x]
（[x]表示不大于 x 的最大整數，如[p ] = 3，[4] = 4）可表示為（ ）
A． y
x + 2
= [ ] B． y [
x + 3] y [ x + 4= C． = ] D． y = [
x + 5]
10 10 10 10
【答案】B
【分析】令班級人數的個位數字為 n ，則 x =10m + n（m N ），結合題意討論 n 寫出對應 y 值，由取整函數
的定義寫出函數關系式.
【詳解】設班級人數的個位數字為 n ，令 x =10m + n，（m N ），
當0 n 6時， y = m，當 7 n 9時， y = m +1，
y [ x + 3綜上，函數關系式為 = ] .
10
故選：B.
11．（2024 高一上·廣西柳州·期中）如圖，VABC 是邊長為 2 的等邊三角形，點 E 由點 A 沿線段 AB 向點 B
移動，過點 E 作 AB 的垂線 l，設 AE = x，記位于直線 l 左側的圖形的面積為 y，那么 y 與 x 的函數關系的圖
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】建立 y 關于 x 的關系式，分為E 點在 AB 中點左側和右側分類討論，結合函數圖象變化情況即可求
解．
【詳解】因為VABC 是邊長為 2 的等邊三角形，
所以當 AE = x時，設直線 l與 AC 交點為F ，
當E 點在 AB 1 3中點左側時，EF = 3x ， SVAEF = x × 3x = x
2 (0 x 1)，
2 2
此時函數為開口向上的二次函數；此時可排除 BC，
當E 點在 AB 1 3中點右側時， S 2VBEF = (2 - x) × 3(2 - x) = (2 - x) ，2 2
3 3 3
此時左側部分面積為： S 2VABC - SVBEF = 2 - (2 - x)
2 = - (x - 2)2 + 3(1 < x 2) ，
4 2 2
此時函數為開口向下 d 額二次函數，此時可排除 A，
故選：D
故選：D．
二、多選題
12．（2024 高一上·重慶萬州·期中）下列函數圖像經過變換后，過原點的是（ ）
A． y = (x -1)2 - 4向右平移1個單位 B． y = (x -1)2 - 4向左平移1個單位
C． y = (x +1)2 - 2向上平移1個單位 D． y = (x +1)2 - 2向下平移1個單位
【答案】AC
【分析】
先求得變換后的解析式，然后將原點坐標代入驗證即可.
【詳解】 y = (x -1)2 - 4向右平移1個單位得到 y = (x - 2)2 - 4，當 x = 0時， y = 0 ，函數圖像過原點，選項 A
正確；..
y = (x -1)2 - 4向左平移1個單位得到 y = x2 - 4，當 x = 0時， y = -4 ，函數圖像不過原點，選項 B 錯誤；
y = (x +1)2 - 2向上平移1個單位得到 y = (x +1)2 -1，當 x = 0時， y = 0 ，函數圖像過原點，選項 C 正確；
y = (x +1)2 - 2向下平移1個單位得到 y = (x +1)2 - 3，當 x = 0時， y = -2，函數圖像不過原點，選項 D 錯誤.
故選：AC
f x ìax -1, x < a13．（2024 高一下·貴州遵義·期末）設函數 = í f x a
x
2 ， 存在最小值時，實數 的值可能- 2ax +1, x a
是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】ABC
【分析】根據函數解析式，分 a > 0、 a = 0、 a < 0三種情況討論，當 a < 0時根據二次函數的性質只需函數
在斷點處左側的函數值不小于右側的函數值即可；
ìax -1, x < a
【詳解】解：因為 f x = í 2 ，
x - 2ax +1, x a
若 a > 0，當 x < a 時 f x = ax -1在 - ,a 上單調遞增，當 x - 時 f x - ，此時函數不存在最小值；
ì-1, x < 0若 a = 0，則 f x = í 2 ，此時 f x = -1min ，符合題意；
x +1, x 0
若 a < 0，當 x < a 時 f x = ax -1在 - ,a 上單調遞減，
當 x a時 f x = x2 - 2ax +1，
二次函數 = 2 2 + 1對稱軸為 x = a，開口向上，此時 f x 在 a,+ 上單調遞增，
ìa < 0
要使函數 f x 存在最小值，只需 í a -1
a
2 -1 a2 - 2a2 ，解得 ，+1
綜上可得 a - ,-1 U 0 .
故選：ABC
14．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x 是一次函數，滿足 f f x = 9x + 8，則 f x 的解析式可能
為（ ）
A． f x = 3x + 2 B． f x = 3x - 2
C． f x = -3x + 4 D． f x = -3x - 4
【答案】AD
【分析】設 f x = kx + b，代入 f f x = 9x + 8列方程組求解即可.
【詳解】設 f x = kx + b，
由題意可知 f f x = k kx + b + b = k 2x + kb + b = 9x + 8，
ìk 2 = 9 ìk = 3 ìk = -3
所以 í ，解得 或 í ，
kb + b
í
= 8 b = 2 b = -4
所以 f x = 3x + 2或 f x = -3x - 4 .
故選：AD.
三、填空題
ìn - 3, n 10
15．（2024 高三·全國·對口高考）已知函數 f n = í n N ，則 f (8)f f n 5 ,n 10 的值為 . é + ù <
【答案】7
【分析】根據函數的解析式，代入 n = 8，逐次計算，即可求解.
ì n - 3, n 10
【詳解】由題意，函數 f n = í n N
f é f n + 5
，
ù ,n <10
則 f 8 = f f (8 + 5) = f (13- 3) = f (10) =10 - 3 = 7 .
故答案為：7 .
ì f x +1
f x , x 016．（2024·四川內江·模擬預測）已知函數 = í 2 ，則 f ( f (-4)) = ．
x - 3x - 4, x > 0
【答案】-6
【分析】由分段函數解析式計算函數值即可.
【詳解】 f (-4) = f (-3) = f (-2) = f (-1) = f (0) = f (1) =1- 3- 4 = -6，
所以 f ( f (-4)) = f (-6) = f (1) =1- 3- 4 = -6
故答案為：-6 .
ì4x2 -1, x 0
17．（2024 高一下·河南信陽·期中）已知函數 f x é 1 ù= í 1 ，則 f f = ．
- +1, x > 0
ê
è 5
÷
ú
x
【答案】63
1
【分析】先計算 f ÷ = -4，再計算 f -4 的值即可.
è 5
f 1 1 ÷ = - 1 +1 = -4 f
é f 1 ù【詳解】因為 è 5 ，所以 ê ÷ú = f -4 = 4 16 -1 = 63．
è 55
故答案為：63．
18．（2024 高三·廣東深圳·階段練習）寫出一個滿足： f x + y = f x + f y + 2xy的函數解析式為 .
【答案】 f x = x2
【分析】賦值法得到 f 0 = 0， f x + f -x = 2x2，求出函數解析式.
【詳解】 f x + y = f x + f y + 2xy中，令 x = y = 0 ，解得 f 0 = 0，
令 y = -x 得 f x - x = f x + f -x - 2x2 ，故 f x + f -x = 2x2，
f x = x2不妨設 ，滿足要求.
故答案為： f x = x2
1 1
19．（2024 高一上· 2全國·課后作業）已知 f x - ÷ = x + 2 ，則函數 f x = ， (3)= ．è x x
【答案】 x2 + 2 11
【分析】利用換元法可求出 f (x) ，進一步可得 (3).
1 2 1 1 2 2
【詳解】令 x - = t ，則 x +
x x2
= (x - ) + 2 = t + 2，
x
所以 f (t) = t 2 + 2，所以 f (x) = x2 + 2，
所以 f (3) = 32 + 2 =11 .
故答案為： x2 + 2；11.
ì-x2 + 2, x 1

20．（2024 高三上·廣東深圳·階段練習）已知函數 f x = í 1 ，當 x a,b 時，1 f x 3，則b - a
x + -1, x >1 x
的最大值是 ．
【答案】3 + 3 / 3 + 3
【分析】分別求得 f x = 3和 f x =1時對應的自變量 x 的值，結合 f x 的圖象可確定 a,b的取值范圍，由
此可得結果.
2
【詳解】令-x + 2 =1 x 1 1，解得： x = ±1；令 x + -1 = 3 x >1 ，解得： x = 2 + 3 ；x
\ f x 圖象如下圖所示，
由圖象可知： a -1,1 ，b = 2 + 3 ，\ b - a = 2 + 3 - -1 = 3 + 3max .
故答案為：3+ 3 .
四、解答題
21．（2024 高一上·江西南昌·階段練習）根據下列條件，求 f x 的解析式.
(1)已知 f x + 2 = 2x + 8 x + 5
(2)已知 f x + 2 f -x = 3x2 - 2x
(3)已知 f x 是二次函數，且滿足 f 0 =1, f x +1 - f x = 2x
【答案】(1) f x = 2x2 - 3(x 2) ；
(2) f x = x2 + 2x；
(3) f x = x2 - x +1.
【分析】（1）利用換元求解，令 t = x + 2(t 2)，然后 t表示出 x , x，代入化簡即可；
（2）利用方程組法求解，再構造一個關于 f x , f -x 的方程，然后解方程組可求得結果；
（3）利用待定系數法求解，令 f x = ax2 + bx + c(a 0) ，然后由已知條件列方程組求解.
2
【詳解】（1）令 t = x + 2(t 2)，則 x = t - 2， x = t - 2 ，
所以由 f x + 2 = 2x + 8 x + 5，
得 f t = 2(t - 2)2 + 8(t - 2) + 5 = 2t 2 - 3，
2
所以 f x = 2x - 3(x 2) ；
（2）由 f x + 2 f -x = 3x2 - 2x ，
得 f -x + 2 f x = 3(-x)2 - 2(-x) = 3x2 + 2x ，
所以 f -x = 3x2 + 2x - 2 f x ，
所以 f x + 2 é 2 2 3x + 2x - 2 f x ù = 3x - 2x，
解得 f x = x2 + 2x；
（3 2）由題意設 f x = ax + bx + c(a 0) ，
因為 f 0 =1，所以 c =1，
因為 f x +1 - f x = 2x ，
2
所以 a(x +1) + b(x +1) + c - ax2 + bx + c = 2x ，
所以 2ax + a + b = 2x，
ì2a = 2
所以 í ，得 a =1,b = -1，
a + b = 0
所以 f x = x2 - x +1.
22．（2024 高三·全國·專題練習）根據下列條件，求函數 f (x) 的解析式．
(1)已知 f x +1 = x + 2 x ，則 f (x) 的解析式為__________．
(2)已知 f (x) 2 f (x) + f
1
滿足 ÷ = 3x，求 f (x) 的解析式．
è x
(3)已知 f (0) =1，對任意的實數 x，y 都有 f (x - y) = f (x) - y(2x - y +1)，求 f (x) 的解析式．
【答案】(1) f (x) = x2 -1(x 1)
1
(2) f (x) = 2x - (x 0)
x
(3) f (x) = x2 + x +1
【分析】(1)利用換元法或者配湊法求解析式；
(2)構造方程組即可求解析式；
(3)令 x = 0即可求得解析式.
【詳解】（1）方法一（換元法）：令 x +1 = t ，則 x = (t -1)2 ， t 1．
所以 f (t) = (t -1)2 + 2(t -1) = t 2 -1(t 1) ，
所以函數 f (x) 的解析式為 f (x) = x2 -1(x 1) ．
方法二（配湊法）： f x +1 2= x + 2 x = x + 2 x +1-1 = x +1 -1．
因為 x +1 1，所以函數 f (x) 的解析式為 f (x) = x2 -1(x 1) ．
1
（2）將 代入 2 f (x) + f
1 1 3
÷ = 3x，得 2 f + f (x) = ，x x x ÷è è x
ì
2 f (x) f (
1
+ ) = 3x,
x
因此 í ，解得 f (x) = 2x
1
- (x 0) ．
2 f (1) f (x) 3+ = , x
x x
（3）令 x = 0，得 f (-y) = f (0) - y(-y +1) =1+ y2 - y = (-y)2 + (-y) +1，
所以 f (y) = y2 + y +1，即 f (x) = x2 + x +1．
ì 2
, x 2
23．（2024 高一上·云南昆明·期末）已知函數 f x = í x .
2
x - 3, x < 2
(1)在所給坐標系中作出 y = f x 的簡圖；
1
(2)解不等式 f x < .
2
【答案】(1)圖像見解析
14 14
(2) - ,2 2 ÷÷
U 4,+
è
【分析】（1）直接畫出對應二次函數和反比例函數的圖像即可；
（2）分段函數分段解不等式即可.
【詳解】（1） y = f x 的簡圖如下：
；
ì2 1 1
<
ì
x2 - 3 <
（2）由已知得 í x 2 或 í 2 ，
x 2 x < 2
>4 14 14解得 或- < x < ，
2 2

即不等式 f 1 14 , 14x < 的解集為 - ÷÷ U 4,+ ．2 è 2 2
ì-x2 + 2x(0 x 2)
24．（2024 高一上·廣東佛山·階段練習）已知函數 f (x) = íx2
.
+ 2x(-2 x < 0)
f 2- f 1 (1)求 ÷ ， 2 ÷的值；è 3 è
(2)作出函數的簡圖；
(3)由簡圖指出函數的值域；
f 2- 8 1 3【答案】(1) 3 ÷
= - ， f =
è 9 2 ÷è 4
(2)函數的簡圖見解析.
(3) -1,1
【分析】（1）直接利用分段函數解析式求解函數值.
（2）根據函數類型及性質作函數簡圖.
（3）由簡圖直接看出函數的值域.
ì-x2 + 2x(0 x 2)
【詳解】（1）由 f (x) = í ，
x
2 + 2x(-2 x < 0)
2 2 2 2∴ f - = ÷ - ÷ + 2
2

8 1 1 1 3
- ÷ = - ， f ÷ = - ÷ + 2 = .
è 3 è 3 è 3 9 è 2 è 2 2 4
（2）簡圖如圖所示：
（3）簡圖可知函數的值域為 -1,1
25 2024 · · f x = x2．（ 高一上 廣東深圳 期中）已知 - 2 x + 2 .
(1)用分段函數的形式表示該函數.
(2)畫出 f x 區間 -1,3 上的的圖象；
(3)根據圖象寫出 f x 區間 -1,3 上的值域.
ìx2 - 2x + 2, x 0
【答案】(1) f (x) = í
x
2 + 2x + 2, x < 0
(2)作圖見解析
(3) 1,5
【分析】(1)根據絕對值分類討論即可表示為分段函數；
(2)根據二次函數圖象性質作出圖象；
(3)根據圖象確定函數最小值、最大值即可求值域.
【詳解】（1）當 x 0 時， f x = x2 - 2x + 2，當 x < 0 時， f x = x2 + 2x + 2，
ìx2 - 2x + 2, x 0
所以 f (x) = í 2 .
x + 2x + 2, x < 0
（2）根據二次函數的圖象性質，作圖如下，
（3）由圖象可知，當 x = -1或 x =1時，函數有最小值為 f (-1) = f (1) =1，
當 x = 3時，函數有最大值為 f (3) = 5，
所以 f x 區間 -1,3 上的值域為 1,5 .
26 2．（2024 高一上·廣東東莞·階段練習）給定函數 f x = 2 - 2x ， g x = 3x ， x R .
(1)在所給坐標系（1）中畫出函數 ( )， ( )的大致圖象；（不需列表，直接畫出.）
(2) ∈ ，用m x 表示 ( )， ( )中的較小者，記為m x = min f x , g x ，請分別用解析法和圖象法表
示函數m x .（m x 的圖象畫在坐標系（2）中）
(3)直接寫出函數m x 的值域.
【答案】(1)圖象見解析.
ì
2 - 2x2 , x -2

1
(2) m(x) = í3x,-2 < x < ，圖象見解析.
2
2 - 2x2 , x
1

2
3
(3) (- , ] .
2
【分析】（1）根據函數的解析式，在坐標系中分別描出 5 個點，再將各點連接起來，即可得 ( )， ( )的大
致圖象；
（2）根據函數的定義，結合（1）所得圖象寫出解析式，進而畫出m x 的圖象.
（3）由（2）所得圖象直接寫出m x 的值域.
【詳解】（1）
-2 -1 0 1 2
( ) -6 0 2 0 -6
( ) -6 -3 0 3 6
∴函數 ( )， ( )的大致圖象如下圖示：
（2）由 2 - 2x2 = 3x，可得 x = -2或 x
1
= ，結合（1）的圖象知：
2
ì
2 - 2x2 , x -2

m(x) = í3x, 2
1
- < x < ，則m x 的圖象如下：
2
2 1

2 - 2x , x
2
（3）由（2）所得圖象知：m x 的值域為 ( 3- , ] .
2
27．（2024 高二上·云南·階段練習）已知函數 f x 滿足 f x + 2 f -x = 6x2 - 4x +12．
(1)求 f x 的解析式；
(2)設函數 g x = 8x2 +16x - m，若對任意 x -3,3 ， f x g x 恒成立，求實數 m 的取值范圍．
2
【答案】(1) f x = 2x + 4x + 4
(2) 86, +
【分析】（1）將“ -x ”代入等式，消去 f (-x) 解出 f (x) ；
（2）將條件轉化為m 6x2 +12x - 4對任意 x -3,3 恒成立，求出 y = 6x2 +12x - 4在 x -3,3 上的最大值，
可得 m 的取值范圍.
【詳解】（1）由 f x + 2 f -x = 6x2 - 4x +12，
得 f -x + 2 f x = 6x2 + 4x +12，
消去 f (-x) 得3 f x = 6x2 +12x +12 f x = 2x2，所以 + 4x + 4．
（2）由 f x g x ，得 2x2 + 4x + 4 8x2 +16x - m ，即m 6x2 +12x - 4對任意 x -3,3 恒成立，
令 y = 6x2 +12x - 4 = 6 x +1 2 -10 ， x -3,3 ，
當 x = 3時， y = 6x2 +12x - 4取得最大值 86，
所以實數 m 的取值范圍為 86, + ．
28．（2024 高一上·安徽宣城·期中）根據下列條件，求 f x 的解析式
(1)已知 f x 滿足 f x +1 = x2 + 4x +1
(2)已知 f x 是一次函數，且滿足3 f x +1 - f x = 2x + 9；
f x 2 f 1 (3)已知 滿足 ÷ + f x = x x 0
è x
2
【答案】(1) f x = x + 2x - 2
(2) f x = x + 3
2 x
(3) f x = - x 0
3x 3
【分析】（1）利用換元法即可求解；
（2）設 f x = kx + b，然后結合待定系數法即可得解；
1 1
（3）由題意可得 2 f x + f x ÷ = ，利用方程組思想即可得出答案.è x
【詳解】（1）解：令 t = x +1，則 x = t -1，
故 f t = t -1 2 + 4 t -1 +1 = t 2 + 2t - 2 ，
所以 f x = x2 + 2x - 2；
（2）解：設 f x = kx + b，
因為3 f x +1 - f x = 2x + 9，
所以3k x +1 + 3b - kx - b = 2x + 9，
即 2kx + 3k + 2b = 2x + 9 ，
ì2k = 2 ìk =1
所以 í
3k + 2b 9
，解得
= íb 3， =
所以 f x = x + 3；
1
（3）解：因為 2 f ÷ + f x = x x 0 ①，
è x
2 f x f 1 1所以 + ÷ = ②，
è x x
2 ② - ①得3 f x 2= - x，
x
所以 f x 2 x= - x 0 .
3x 3
29．（2024 高一上·河北衡水·階段練習）某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定：① 5公里以內(含
5公里)，票價 2元；② 5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里的按5公里計算)．如果某條線
路的總里程為 20公里，
(1)請根據題意，寫出票價與里程之間的函數關系式；
(2)畫出該函數的圖像．
ì2,0 < x 5

3,5 < x 10
【答案】(1) f (x) = í
4,10 < x 15
；
5,15 < x 20
(2)作圖見解析.
【分析】（1）根據給定條件，分段求出函數關系式作答.
（2）由（1）中函數式，作出函數圖象即可作答.
【詳解】（1）依題意，令 x 為里程數（單位：公里）， f (x) 為行駛 x 公里的票價（單位：元），
當0 < x 5時， f (x) = 2 ，當5 < x 10時， f (x) = 3，
當10 < x 15時， f (x) = 4，當15 < x 20 時， f (x) = 5，
ì2,0 < x 5

3,5 < x 10
所以票價與里程之間的函數關系式為 f (x) = í .
4,10 < x 15
5,15 < x 20
（2）由（1）得函數 f (x) 的圖象，如下：
ìx2 + x, x 0
30．（2024 高一上·江蘇常州·期中）已知函數 f (x) = í .
2 - x, x < 0
（1）若 f (a) = 6，求實數 a的值；
（2）畫出函數的圖象并寫出函數 f (x) 在區間[-2,2]上的值域；
（3）若函數 g(x) = f (x) + (2a -1)x + 2，求函數 g(x)在[1, 4]上最大值.
ì
18 + 8a, a
5
-
2
【答案】（1） a = 2或 a = -4 ；（2）圖象答案見解析，值域為[0,6]；（3） g(x)max = í .
3 5+ 2a, a < -
2
【分析】（1）討論 a的范圍根據分段函數解析式可求解；
（2）根據分段函數解析式即可畫出，計算出端點值，結合圖象即可得出值域；
5 5
（3）可得 g(x) = (x + a)2 + 2 - a2 ，討論-a 和-a > 兩種情況根據二次函數的性質求解.
2 2
【詳解】（1）當 a 0時， f (a) = a2 + a = 6得 a = 2，
當 a < 0時， f (a) = 2 - a = 6 得 a = -4 ，
由上知 a = 2或 a = -4 .
（2）圖象如下圖：
Q f (0) = 0, f (2) = 22 + 2 = 6, f (-2) = 2 - (-2) = 4 ，
\由圖象知函數 f (x) 的值域為[0,6] .
（3）當 x [1, 4]時， g(x) = f (x) + (2a -1)x + 2 = x2 + 2ax + 2，
配方得 g(x) = (x + a)2 + 2 - a2 ,
a 5 5當- ，即 a - 時， g(x)max = g(4) =18 +18a ，2 2
a 5 5當- > ，即 a < - 時， g(x)max = g(1) = 3 + 2a ，2 2
ì
18 + 8a, a
5
-
綜上， g(x)
2
max = í .
3+ 2a,a 5< -
2
【點睛】思路點睛：求二次函數在閉區間 a,b 的最值的思路；
a + b
（1）二次函數開口向上時，求函數的最大值，討論對稱軸和 的大小求解；
2
（2）二次函數開口向上時，求函數的最小值，討論對稱軸在 - ,a , a,b , b, + 三個區間的范圍求解.3.1.2 函數的表示法 12 題型分類
一、函數的表示法
(1)解析法：用數學表達式表示兩個變量之間的對應關系.
(2)列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系.
(3)圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系.
二、描點法作函數圖象的三個步驟
(1)列表：先找出一些有代表性的自變量 x 的值，再計算出與這些自變量 x 相對應的函數值 f(x)，并用表
格的形式表示出來．
(2)描點：把第(1)步表格中的點(x，f(x))一一在平面直角坐標系中描出來．
(3)連線：用光滑的曲線把這些點按自變量由小到大(或由大到小)的順序連接起來．
三、函數三種表示法的幾點說明
(1)解析法：變量間的對應關系明確，且要注意函數的定義域．
(2)列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．比如我們生活中經常遇到的列車時刻表、
銀行的利率表等．其優點是不需要計算就可以直接看出與自變量相對應的函數值．這種表示法常常被應用
到實際生產和生活中去．
(3)圖象法：函數圖象的形狀不一定是一條或幾條無限長的平滑曲線，也可能是一些點、一些線段、一
段曲線等，但不是任何一個圖形都是函數圖象．
四、分段函數的概念
如果函數 y＝f(x)，x∈A，根據自變量 x 在 A 中不同的取值范圍，有著不同的對應關系，那么稱這樣的函
數為分段函數.
五、應用函數知識解決實際問題的一般步驟
(1)閱讀材料、理解題意；
(2)把實際問題抽象為函數問題，并建立相應的函數模型；
(3)利用函數知識對函數模型進行分析、研究，得出數學結論；
(4)把數學結論(結果)應用到實際問題中，解決實際問題．
六、分段函數的特點
(1)分段函數是一個函數，并非幾個函數．
(2)分段函數的定義域是各段定義域的并集．
(3)分段函數的值域是各段值域的并集．
(4)分段函數的圖象要分段來畫．
七、應用函數知識解決實際問題
關鍵是如何根據題意將實際問題抽象、轉化成數學問題，然后通過求解數學問題，最后解決實際問題，
這也是數學建模思想在實際問題中的具體應用．
（一）
函數表示法
函數的三種表示法的選擇和應用的注意點
解析法、圖象法和列表法分別從三個不同的角度刻畫了自變量與函數值的對應關系．采用解析法的前提是
變量間的對應關系明確，采用圖象法的前提是函數的變化規律清晰，采用列表法的前提是定義域內自變量
的個數較少．
題型 1：函數的表示法
1-1．（2024 高一上·廣東廣州·期末）已知函數 f x ， g x 分別由下表給出，
x 0 1 2
f x 1 2 1
x 0 1 2
g x 2 1 0
則 f é g 1 ù = ；滿足 f é g x ù > g f x 的 x 的值是 ．
1-2．（2024 高一·全國·課后作業）已知完成某項任務的時間 t與參加完成此項任務的人數 x 之間滿足關系式
t = ax b+ a R,b R ，當 x = 2時， t =100；當 x = 4時， t = 53，且參加此項任務的人數不能超過 8．
x
（1）寫出 t關于 x 的解析式；
（2）用列表法表示此函數；
（3）畫出此函數的圖象．
1-3．（2024 高一上·陜西咸陽·階段練習）如圖中的圖象所表示的函數的解析式為（ ）
y 3A． = x -1 (0 x 2)
2
3 3
B． y = - x -1 (0 x 2)
2 2
C． y
3
= - x -1 (0 x 2)
2
D． y =1- x -1 (0 x 2)
1-4．（2024 高一上·安徽黃山·開學考試）已知邊長為 1 的正方形 ABCD 中，E 為 CD 的中點，動點 P 在正方
形 ABCD 邊上沿 A B C E 運動．設點 P 經過的路程為 x ．VAPE 的面積為 y ．則 y 與 x 的函數圖象大
致為圖中的（　　）
A． B．
C． D．
（二）
函數圖象的作法及應用
1、畫函數圖象的兩種常用方法
(1)描點法
一般步驟：①列表——先找出一些(有代表性的)自變量 x，并計算出與這些自變量相對應的函數值 f(x)，用
表格的形式表示出來；
②描點——從表中得到一系列的點(x，f(x))，在坐標平面上描出這些點；
③連線——用光滑曲線把這些點按自變量由小到大的順序連接起來．
(2)變換作圖法：常用的有水平平移變換、豎直平移變換、翻折變換等．
2、畫函數圖象的關注點
①畫函數圖象時首先關注函數的定義域，即在定義域內作圖；
②圖象是實線或實點，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象；
③要標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等．要分清這些關鍵點是實心點還是空心
點．
題型 2：函數圖象的作法及應用
2-1．（2024 高三·全國·對口高考）已知函數 f (x) 定義在[-2,2]上的圖象如圖所示，請分別畫出下列函數的圖
象：
(1) y = f (x +1)；
(2) y = f (x) +1；
(3) y = f (-x) ；
(4) y = - f (x) ；
(5) y =| f (x) |；
(6) y = f (| x |) .
1
2-2．（2024·全國）畫出函數 y = (x +1)2 的圖象．
2-3．（2024 高一上·浙江杭州·階段練習）直線 l : x = a 與二次函數 y = f x 交點個數為（ ）
A．0 個 B．1 個 C．2 個 D．以上都有可能
2-4．（2024 高一·江蘇·專題練習）作出下列函數圖象：
(1) y =1- x(x Z 且 | x | 2)；
(2) y = 2x2 - 4x - 3(0 x < 3)．
2-5．（2024 高二下·上海楊浦·階段練習）設 a,b均為非零實數，則直線 y = ax + b 和 y = ax2 + bx 在同一坐標系
下的圖形可能是（ ）．
A． B．
C． D．
（三）
函數解析式的求法
函數解析式的求法
求函數解析式，關鍵是對基本方法的掌握，常用方法有配湊法、換元法、待定系數法、解方程(組)法、賦值
法等．
(1)配湊法：將形如 f(g(x))的函數的表達式配湊為關于 g(x)的表達式，并整體將 g(x)用 x 代換，即可求出函數
f(x)的解析式．如由 f(x＋1)＝(x＋1)2可得 f(x)＝x2.
(2)換元法：將函數 f(g(x))中的 g(x)用 t 表示，則可求得 x 關于 t 的表達式，并將最終結果中的 t 用 x 代換，
即可求得函數 f(x)的解析式．
(3)待定系數法：將已知類型的函數以確定的形式表達，并利用已知條件求出其中的參數，從而得到函數的
解析式．
一次函數解析式為 y＝ax＋b(a≠0)，二次函數解析式為 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
(4)解方程(組)法：采用解方程或方程組的方法，消去不需要的函數式子，得到 f(x)的表達式，這種方法也稱
為消去法．
(5)賦值法：利用恒等式將特殊值代入，求出特定函數的解析式．這種方法靈活性強，必須針對不同的類型
選取不同的特殊值．
題型 3：配湊法
3-1．（2024 2高一上·江蘇揚州·期中）已知 f x +1 = x + x +1，則 f x = ．
1 1
3-2．（2024 高一上·安徽蚌埠· 2期末）已知函數 f x 滿足： f x - ÷ = x + 2 ，則 f x 的解析式為（x x ）è
A． f x = x2 + 2 B f x = x2．
C． f x = x2 + 2 x 0 D 2． f x = x - 2 x 0
3-3．（2024 高一上·浙江金華·期末）已知 f (| x -1|) = x2 - 2x + 3，則 (3) = （ ）
A．6 B．3 C．11 D．10
3-4．（2024 高一上·甘肅慶陽·期中）已知 f (x -1) = x2 - 2x - 3，則 f x = ．
題型 4：換元法
4-1．（2024 高一上·浙江·期中）已知函數 f x - 2 = x - 4 x + 5，則 f (x) 的解析式為（ ）
A． f (x) = x2 +1(x 0) B． f (x) = x2 +1(x -2)
C． f (x) = x2 (x 0) D． f (x) = x2 (x -2)
2
4-2．（2024·
1- x
重慶·模擬預測）已知函數 f 1- x = 2 x 0 ，則 f x =（ ）x
1 1 x 1A． 2 - 0 B． 2 -1 x 1 x -1 x -1
4 4
C． 2 -1 x 0 D． 2 -1 x 1 x -1 x -1
4-3．（2024 高一上·重慶·期中）已知 f x -1 = x +1，則函數 f x 的解析式為（ ）
A 2． f x = x B． f x = x2 +1 x 1
C． f x = x2 + 2x + 2 x -1 D 2． f x = x - 2x x 1
1 1
4-4．（2024 3高三·全國·專題練習）已知 f x + x ÷
= x + 3 ，求 f x .è x
題型 5：待定系數法
5-1．（2024 高一上·福建廈門·階段練習）已知 f x 是一次函數，且 f x +1 = 2x ，則 f x = .
5-2．（2024 高一上·湖南衡陽·期末）已知二次函數 f x 滿足 f x -1 = 2x2 -7x +6．
(1)求 f x 的解析式．
(2)求 f x 在 0,2 上的值域．
5-3．（2024 高一上·廣西桂林·期中）若 f g x = 6x +1，且 g x = 2x +1，則 f x =（ ）
A．3 B．3x C．3x - 2 D．3x - 3
5-4．（2024 高三·全國·對口高考）若二次函數 f (x) 滿足 f (x +1) - f (x) = 2x，且 f (0) =1，則 f (x) 的表達式為
（ ）
A． f (x) = -x2 - x -1 B． f (x) = -x2 + x -1
C． f (x) = x2 - x -1 D． f (x) = x2 - x +1
題型 6：方程組法
3
6-1．（2024 高一上·山西·階段練習）已知函數 f (x) 滿足 f (x) + 2 f (1- x) = ，求 (3)的值為（
x ）
3 4 - 3 5A．- B．- C． D．-
4 3 5 3
6-2．（2024 高三·全國·專題練習）已知 f x + 2 f 1 ÷ = 3x x 0 ，求 f (x) 的解析式
è x
6-3．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·階段練習）已知函數 f x 的定義域為 R，對任意 x R 均滿足：
2 f x - f -x = 3x +1則函數 f x 解析式為（ ）
A． f x = x +1 B． f x = x -1 C． f x = -x +1 D． f x = -x -1
題型 7：賦值法
7-1．（2024 高三上·江蘇揚州·開學考試）寫出滿足 f x - y = f x + f y - 2xy 的函數的解析式 ．
7-2．（2024 高一上·江西撫州·階段練習）已知函數 f (x) 對一切的實數 x ， y ，都滿足
2 f (x + y) - f (x - y) = x2 + y2 + 6xy + x + 3y - 2，且 f (0) = -2 .
（1）求 f (2) 的值；
（2）求 f (x) 的解析式；
（3）求 f (x) 在 -3,1 上的值域.
7-3．（2024 高三·全國·專題練習）定義在 R 上的函數 f(x)滿足 f 0 = 0，并且對任意實數 x，y 都有
f x - y = f x - y 2x - y + 2 ，求 f x 的解析式.
7-4．（2024 高一·全國·專題練習）已知函數 y = f x 滿足：對一切實數 a、b ，均有
f a + b - f b = a a + 2b +1 成立，且 f 1 = 0 .求函數 y = f x 的表達式.
（四）
分段函數的定義域、值域
分段函數定義域、值域的求法
(1)分段函數的定義域是各段函數定義域的并集；
(2)分段函數的值域是各段函數值域的并集．
題型 8：求分段函數的定義域
ì 2
8-1．（2024 高一上·山西太原·階段練習）函數 f
x -1, x -1,1
x = í
x, x 0,2
的定義域為（ ）
A． B． x -1 x 2 C． -1,0,1,2 D． -1,0,1
8-2．（2024 高一上·福建福州·期中）下列各組函數中，表示同一個函數的是（ ）
A． f x
2
= x， g x = x B． f t = t ， g x = x2
2 ì1, x 0
C． f x x -1= ， g x = x +1 xD． f x = ， g x = í
x -1 x -1, x < 0
1
8-3．（2024 高一上·河北邯鄲·階段練習）下列四個函數：① y = 3 - x ；② y = ；③ y = x2 + 2x -10 x ；
ì-x, x 0
④ y =

í 1 ．其中定義域與值域相同的函數有（　　）
- , x > 0 x
A．1 個 B．2 個 C．3 個 D．4 個
題型 9：求分段函數的值域
ì2x2 ,0 x <1

9-1．（2024 高一上·云南保山·期中）函數 f x = í2,1 x < 2 的值域是（ ）

3, x 2
A． 0,2 3 B． 0, + C． 0,3 D． 0,2
9-2．（2024·上海嘉定·二模）函數 y = x -1 + x - 4 的值域為 ．
ì-x
2 + x,0 x 2,
9-3．（2024 高一上·內蒙古通遼·期末）已知函數 f x = í f x 的最大值為 m， f x 的最小
-x
2 - x, -1 x < 0,
值為 n，則m + n = ．
ì-x x -1
9-4．（2024 高二下·北京大興·階段練習）函數 f x = íx2 x 1 的最小值是 . > -
（五）
分段函數求值問題
1、求分段函數函數值的步驟
(1)先確定要求值的自變量屬于哪一段區間．
(2)然后代入該段的解析式求值，直到求出值為止．
2、已知分段函數值求字母取值的步驟
(1)先對字母的取值范圍分類討論．
(2)然后代入到不同的解析式中．
(3)通過解方程求出字母的值．
(4)檢驗所求的值是否在所討論的區間內．
題型 10：分段函數求值問題
ìx + 4, x 0

10-1．（2024 高一·全國·課后作業）已知函數 f x = 2íx - 2x,0 < x 4．

-x + 2, x > 4
（1）求 f f 5 的值；
（2）畫出函數 f x 的圖象．
ì -2x, x < -1,

10-2．（2024 高一上·廣東汕頭·期中）已知函數 f x = í2,-1 x 1,

2x, x >1,
(1)求 f
3 f 1 f - f 1 2 ÷ ， ÷， ÷ ；è è 2 è è 2
÷

(2)若 f a = 6，求 a的值．
ì
2x + 3, x < -1

10-3．（2024 高一上·廣西梧州· 2階段練習）已知函數 f x = íx +1,-1 x 1.

1 1+ , x >1
x
(1)求 f ( f (-2))的值；
(2)若 f x 30 = ，求 x2 0 的值.
題型 11：分段函數與不等式的綜合
ì 2x + 3, x 0
11-1．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 f (x) = í 2 ,則使 f (x) -1x 0 成立的
x 的取值范圍是
- x -1 , >
（　 ）
A． -2,2 B． -2,0
C． -2, 2 D． 0,2
ì-x2 + 2x, x > 0
11-2．（2024 高一上·重慶萬州·階段練習）函數 f (x) = í ，若關于 x 的不等式 f (x) x 的解
3x + 6, x 0
集 .
ìx + 2, x > 0
11-3 2．（2024 高一下·河北衡水·階段練習）設 f x = íx 2, x 0，則不等式 f x < x 的解集是（　　） -
A． - ,0 2,+
B．R
C． 0,2
D． - ,0
11-4．（2024·全國·模擬預測）已知函數 f x = max -x2 + 2x,-x +1, x - 2 .
(1)求 f x 的最小值；
(2)若 f x k x -1對任意 x R 恒成立，求 k 的取值范圍.
（六）
分段函數圖象的畫法
作分段函數的圖象時，分別作出各段的圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，作出其圖象，再
保留定義域內的一段圖象即可，作圖時要特別注意接點處點的虛實，保證不重不漏．
注：(1)判斷分段函數的圖 象，分段判斷，宏觀把握.
(2)畫分段函數的圖象，首先確定函數是否已經確為分段函數，然后再分段畫出，分點處的虛實情況用空心
點和實心點標出.
題型 12：分段函數圖象及應用
ìx + 2, (x -1)

12-1．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）已知函數 y = x2í , (-1 < x < 2)

-2x + 8, (x 2)
(1)在坐標系中作出函數的圖象；
1
(2)若 x = a時函數值等于 ，求 a 的取值集合．
2
12-2．（2024 高一上·陜西榆林·階段練習）設函數 f x = 2 x + x - 2．
(1)將函數 f x 寫成分段函數的形式并畫出其圖象；
(2)寫出函數 f x 的單調區間和值域．
12-3．（2024·山東濟寧·模擬預測）已知函數 f x = x - x , x -1,2 ，其中[x]表示不超過 x 的最大整數，例
如 -3.05 = -4， 2.1 = 2.
(1)將 f (x) 的解析式寫成分段函數的形式;
(2)請在如圖所示的平面直角坐標系中作出函數 f (x) 的圖象;
(3)根據圖象寫出函數 f (x) 的值域.
12-4．（2024 高一上·云南昆明·期中）已知函數 f (x) 是定義在 上的奇函數，且當 x < 0 時， f (x) = x2 + 2x，
(1)求函數 f (x)(x R)的解析式，并作出簡圖；
x +1
(2)求函數 g(x) = (0,2)f (x) 在區間 上的值域.
ì x - 3 -1, x 0
12-5．（2024 高二下·海南海口·期末）已知函數 f x = í 2 ， g x = kx .若 k = -1，則
2 - x , x < 0
f é g 2 ù = ；若函數 y = f x 的圖象與 y = g x 的圖象有 3 個公共點，則 k 的取值范圍
是 .
一、單選題
1．（2024 高一上·重慶萬州·期中）將函數 y = 2 x -1 2 + 3的圖象向左平移 1 個單位，再向下平移 3 個單位長
度，所得的函數圖象對應的解析式為（ ）
A． y = 2 x - 2 2 + 6 B． y = 2x2 + 6
C． y = 2x2 D 2． y = 2 x - 2
2．（山東省 2023-2024 學年高三上學期普通高校招生（春季）考試第一次校際聯考數學試題）如圖，公園里
有一處扇形花壇，小明同學從A 點出發，沿花壇外側的小路順時針方向勻速走了一圈(路線為
AB BO OA )，則小明到O點的直線距離 y 與他從A 點出發后運動的時間 t之間的函數圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
x
3．（2024 高一上·福建寧德·期中）函數 f x = x -1的圖象大致形狀是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024 高一上·福建）如圖，點 P 在邊長為 1 的正方形的邊上運動，M 是CD的中點，則當 P 沿 A - B - C - M
運動時，點 P 經過的路程 x 與△ APM 的面積 y 的函數 y = f (x) 的圖象的形狀大致是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024 高三上·北京大興·期中）如圖為某無人機飛行時，從某時刻開始 15 分鐘內的速度V x （單位：米
/分鐘）與時間 x （單位：分鐘）的關系．若定義“速度差函數” v x 為無人機在時間段 0, x 內的最大速度與
最小速度的差，則 v x 的圖像為（ ）
A． B．
C． D．
ì x2 x 0
6．（2024·湖北·一模）已知函數 f x = í 1 ，g x = - f x ，則函數 g x 的圖像是（ ）
- x > 0 x
A． B．
C． D．
ì 1
- x2 - x
3
+ , x a
7．（2024 高二下·吉林長春·期末）已知函數 f x = í 2 2 無最大值，則實數 a 的取值范圍是
-2x, x > a
（ ）
A． 1, + B． -1,0 C． 0, + D． - ,-1
8．（2024 高一上·遼寧遼陽·期中）函數 f x = x -1 +1的部分圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
ì x2 -1, x > a9．（2024·河北唐山·模擬預測）已知函數 f x = í ，若 f x 的最小值為 1，則 a 的取值范圍是
x - a -1 , x a
（ ）
é 2
A． ê ,+ ÷÷ B． é 2, + 2


C． é 2 2, + D． é 4 2,+
10．（2024 高一·全國·期末）某校要召開學生代表大會，規定各班每10人推選一名代表，當班人數除以10的
余數大于6 時，再增選一名代表，則各班推選代表人數 y 與該班人數 x 之間的函數關系用取整函數 y = [x]
（[x]表示不大于 x 的最大整數，如[p ] = 3，[4] = 4）可表示為（ ）
y [ x + 2] y [ x + 3] y [ x + 4] y [ x + 5A． = B． = C． = D． = ]
10 10 10 10
11．（2024 高一上·廣西柳州·期中）如圖，VABC 是邊長為 2 的等邊三角形，點 E 由點 A 沿線段 AB 向點 B
移動，過點 E 作 AB 的垂線 l，設 AE = x，記位于直線 l 左側的圖形的面積為 y，那么 y 與 x 的函數關系的圖
象大致是（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
12．（2024 高一上·重慶萬州·期中）下列函數圖像經過變換后，過原點的是（ ）
A． y = (x -1)2 - 4向右平移1個單位 B． y = (x -1)2 - 4向左平移1個單位
C． y = (x +1)2 - 2向上平移1個單位 D． y = (x +1)2 - 2向下平移1個單位
ìax -1, x < a13．（2024 高一下·貴州遵義·期末）設函數 f x = í f x a
x
2 - 2ax ， 存在最小值時，實數 的值可能+1, x a
是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
14．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f x 是一次函數，滿足 f f x = 9x + 8，則 f x 的解析式可能
為（ ）
A． f x = 3x + 2 B． f x = 3x - 2
C． f x = -3x + 4 D． f x = -3x - 4
三、填空題
ìn - 3, n 10
15．（2024 高三·全國·對口高考）已知函數 f n = í n N f (8)
f é f n + 5 ù ,n <10
，則 的值為 .
ì f x +1f x , x 016．（2024·四川內江·模擬預測）已知函數 = í 2 ，則 f ( f (-4)) = ．
x - 3x - 4, x > 0
ì4x2 -1, x 0
f x f é17．（2024 高一下·河南信陽·期中）已知函數 = í 1 ，則 ê f
1 ù
÷ú = ．
- +1, x > 0 è 5 x
18．（2024 高三·廣東深圳·階段練習）寫出一個滿足： f x + y = f x + f y + 2xy的函數解析式為 .
1 1
19．（2024 2高一上·全國·課后作業）已知 f x - ÷ = x +
è x x2
，則函數 f x = ， (3)= ．
ì-x2 + 2, x 1

20．（2024 高三上·廣東深圳·階段練習）已知函數 f x = í 1 ，當 x a,b 時，1 f x 3，則b - a
x + -1, x >1 x
的最大值是 ．
四、解答題
21．（2024 高一上·江西南昌·階段練習）根據下列條件，求 f x 的解析式.
(1)已知 f x + 2 = 2x + 8 x + 5
(2) f x + 2 f -x = 3x2已知 - 2x
(3)已知 f x 是二次函數，且滿足 f 0 =1, f x +1 - f x = 2x
22．（2024 高三·全國·專題練習）根據下列條件，求函數 f (x) 的解析式．
(1)已知 f x +1 = x + 2 x ，則 f (x) 的解析式為__________．
(2)已知 f (x) 滿足 2 f (x) + f
1
÷ = 3x，求 f (x) 的解析式．
è x
(3)已知 f (0) =1，對任意的實數 x，y 都有 f (x - y) = f (x) - y(2x - y +1)，求 f (x) 的解析式．
ì 2
, x 2
23．（2024 高一上·云南昆明·期末）已知函數 f x = í x .
x2 - 3, x < 2
(1)在所給坐標系中作出 y = f x 的簡圖；
1
(2)解不等式 f x < .
2
ì-x2 + 2x(0 x 2)
24．（2024 高一上·廣東佛山·階段練習）已知函數 f (x) = í 2 .
x + 2x(-2 x < 0)
2 1
(1)求 f - ÷ ， f3 è è 2 ÷
的值；

(2)作出函數的簡圖；
(3)由簡圖指出函數的值域；
25 2．（2024 高一上·廣東深圳·期中）已知 f x = x - 2 x + 2 .
(1)用分段函數的形式表示該函數.
(2)畫出 f x 區間 -1,3 上的的圖象；
(3)根據圖象寫出 f x 區間 -1,3 上的值域.
26．（2024 高一上·廣東東莞·階段練習）給定函數 f x = 2 - 2x2 ， g x = 3x ， x R .
(1)在所給坐標系（1）中畫出函數 ( )， ( )的大致圖象；（不需列表，直接畫出.）
(2) ∈ ，用m x 表示 ( )， ( )中的較小者，記為m x = min f x , g x ，請分別用解析法和圖象法表
示函數m x .（m x 的圖象畫在坐標系（2）中）
(3)直接寫出函數m x 的值域.
27．（2024 2高二上·云南·階段練習）已知函數 f x 滿足 f x + 2 f -x = 6x - 4x +12．
(1)求 f x 的解析式；
(2) g x = 8x2設函數 +16x - m，若對任意 x -3,3 ， f x g x 恒成立，求實數 m 的取值范圍．
28．（2024 高一上·安徽宣城·期中）根據下列條件，求 f x 的解析式
(1)已知 f x f x +1 = x2滿足 + 4x +1
(2)已知 f x 是一次函數，且滿足3 f x +1 - f x = 2x + 9；
(3)已知 f x 2 f 1 滿足 ÷ + f x = x x 0
è x
29．（2024 高一上·河北衡水·階段練習）某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規則制定：① 5公里以內(含
5公里)，票價 2元；② 5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里的按5公里計算)．如果某條線
路的總里程為 20公里，
(1)請根據題意，寫出票價與里程之間的函數關系式；
(2)畫出該函數的圖像．
ìx2 + x, x 0
30．（2024 高一上·江蘇常州·期中）已知函數 f (x) = í .
2 - x, x < 0
（1）若 f (a) = 6，求實數 a的值；
（2）畫出函數的圖象并寫出函數 f (x) 在區間[-2,2]上的值域；
（3）若函數 g(x) = f (x) + (2a -1)x + 2，求函數 g(x)在[1, 4]上最大值.

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