資源簡(jiǎn)介

3.3 冪函數(shù) 11 題型分類
一、冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù) y＝xα叫做冪函數(shù)，其中 x 是自變量，α 是常數(shù)．
注意：冪函數(shù)的特征
(1)xα的系數(shù)是 1；
(2)xα的底數(shù) x 是自變量；
(3)xα的指數(shù) α 為常數(shù)．
只有滿足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù)．對(duì)于形如 y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6 等的函數(shù)都不
是冪函數(shù)．
二、一些常用冪函數(shù)的圖象
同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù) y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 的圖象(如圖)．
三、一些常用冪函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)
特征 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
性質(zhì)
定義域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
非奇非
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)
偶函數(shù)
在(0，
在[0，＋∞)上單
在(－∞，＋ ＋∞)上單調(diào)遞
在(－∞，＋∞) 調(diào)遞增 在[0，＋∞)上單
單調(diào)性 ∞)上單調(diào) 減
上單調(diào)遞增 調(diào)遞增
在(－∞，0]上單 遞增 在(－∞，0)上
調(diào)遞減 單調(diào)遞減
注意：冪函數(shù)的性質(zhì)
(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；
(2)如果 α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；
(3)如果 α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng) x 從右
邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在 y 軸右方無(wú)限接近 y 軸，當(dāng) x 從原點(diǎn)趨向于＋∞時(shí)，圖象在 x 軸上方
無(wú)限接近 x 軸；
(4)在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來(lái)越靠近 y 軸．
（一）
冪函數(shù)的概念
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為 y＝xα(α 為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為
一個(gè)冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為 1.
題型 1：判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)
1-1．（2024 高一·全國(guó)·課堂例題）下列函數(shù)：① y = 2x3；② y = x2 +1；③ y = (x +1)3是冪函數(shù)嗎？
1 1
1-2．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在函數(shù)① y = ，② y = x2，③ y = 2x ，④ y = 2 ，y = 2x2 ，⑥ -x y = x 2 中，
是冪函數(shù)的是（ ）
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
1-3．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列函數(shù)：
① y
1
= ；② y = 3x - 2；③ y = x4 + x23 ；④ y = 3 x5 ；⑤ y = x -1
2
；⑥ y = 0.3x ，其中是冪函數(shù)的有
x
（ ）
A．1 個(gè) B．2 個(gè)
C．3 個(gè) D．4 個(gè)
題型 2：求冪函數(shù)解析式或求值
2-1．（2024 高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知冪函數(shù) f (x) = xa 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) (4, 2)，則a 的值為（ ）
1 1
A．- B． C．-2 D． 2
2 2
f 4
2-2．（2024 高一上·北京·期末）已知函數(shù) f

x 是冪函數(shù)，若 = 2f 2 ，則 (4) = ．
2-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) f(x)＝xα(α 為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2, 2 ，則 f(9)＝（ ）
1
A．-3 B．-
3
1
C．3 D．
3
2-4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x 是冪函數(shù)，且滿足：① f -x = f x ；② f x 在 0, + 上單調(diào)遞
增，請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù) f x = .
2-5．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知冪函數(shù) f (x) = xa (α 是常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2,4 ，那么 ( 2) =
（ ）
1 1
A．4 B．-4 C． D4 ．- 4
題型 3：根據(jù)冪函數(shù)求參數(shù)
1
3-1．（24-25 高一上·上海·單元測(cè)試）函數(shù) y = m2 + 2m - 2 xm-1 是冪函數(shù)，則m = ．
3-2．（2024 高一上·湖北孝感·階段練習(xí)）函數(shù) y = k 2 - 2k - 7 x2 是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù) k 的值是（ ）
A． k = 4 B． k = -2 C． k = 4或 k = -2 D． k 4且 k -2
2
3-3 2024 2 m -3m-2．（ 高一下·上海楊浦·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù) f x = m + m - 5 × x 的圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)
m = .
（二）
冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用
依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1]上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近 x 軸(簡(jiǎn)
記為指大圖低)；在[1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離 x 軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)．
題型 4：冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
4-1．（2024 a高一上·廣東東莞·期中）函數(shù) y = x - 2 a為常數(shù) 的圖象過(guò)定點(diǎn) ．
4-2．（2024 高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）冪函數(shù) y = xa的圖象不可能在第四象限，但所有圖象過(guò)定點(diǎn)，定
點(diǎn)坐標(biāo)為 .
4-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù) y = x -1 a +1 a < 0 恒過(guò)定點(diǎn) ．
4-4．（2024 高一上·云南曲靖·期中）冪函數(shù) f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, 2 ，則函數(shù) g x = af x - 3 +1 a R,a 0
的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn) ．
題型 5：冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用
ìx2 , x 0,
5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù) f (x) =

í1 g(x) = f (-x)，則函數(shù) g(x)的圖象大致是

, x < 0,
x
（ ）
A． B．
C． D．
1
3 -1
5-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) f x x - x= 的圖象大致為（ ）
x
A． B．
C． D．
p
5-3．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知冪函數(shù) y = x q （ p,q Z 且 p 與 q 互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（ ）
p p
A．p、q 均為奇數(shù)且 < 0q B．p 為奇數(shù)，q 為偶數(shù)且
< 0
q
p p
C．p 為奇數(shù)，q 為偶數(shù)且 > 0 < 0q D．p 為偶數(shù)，q 為奇數(shù)且 q
2
5-4．（2024 高一上·福建泉州· 2 m +m-3期中）已知冪函數(shù) f x = m - m -1 x ，其圖像與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m
的值為 ．
5-5．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·期末）若點(diǎn)P 4,2 在冪函數(shù) f x 的圖象上，則 f x 的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
5-6．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）給定一組函數(shù)解析式：
3 2 3 2 3 1 1
① - - -y = x 4 ；② y = x 3 ；③ y = x 2 ；④ y = x 3 ；⑤ y = x 2 ；⑥ y = x 3 ；⑦ y = x3 ．
如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
（三）
求冪函數(shù)的定義域和值域
冪函數(shù)的定義域和值域要根據(jù)解析式來(lái)確定，要保證解析式有意義，值域要在定義域范圍內(nèi)求
解.冪函數(shù)的定義域由冪指數(shù) a 確定：①當(dāng)冪指數(shù)取正整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?R；②當(dāng)冪指數(shù)取零
或負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?一∞,0) U (0,+∞)；③當(dāng)冪指數(shù)取分?jǐn)?shù)時(shí)，可以先化成根式(在第四章會(huì)
學(xué)到)，再根據(jù)根式的要求求定義域.
題型 6：求冪函數(shù)的定義域
6-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若冪函數(shù) f (x) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (25,5) ，求 f (x) 的定義域.
1
6-2．（2024· -上海楊浦·一模）函數(shù) f x = x 2 的定義域?yàn)? ．
6-3．（2024 高一上·浙江·期末）已知冪函數(shù) y = -3a xa ，則此函數(shù)的定義域?yàn)? ．
題型 7：求冪函數(shù)的值域
7-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) f (x) = xa 的圖像過(guò)點(diǎn) (8,4) ，則 f (x) = xa 的值域是（ ）
A．( ∞,0) B． - ,0 0, +
C．(0, + ∞) D． 0, +
ìx,0 x <1,

7-2．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) f x = í1 的值域?yàn)? .
, x 1. x
ì 3 x , x a
7-3．（2024 高三下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = í 2 ，若函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?R ，則實(shí)數(shù) a的取
x , x > a
值范圍為 ．
1
7-4．（2024 高一上·河北石家莊·期中）若冪函數(shù) f (x) 的圖象過(guò)點(diǎn) 4, ÷，則 f (x) 的值域?yàn)? ．
è 16
（四）
利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小
（1）比較冪大小的三種常用方法:
(2)利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)要注意的問(wèn)題:
比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無(wú)法比較大小.
題型 8：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小
2 1 1
8-1．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知 a = 23 ，b = 33 ， c = 256 ，則（ ）
A．b < a < c B．a(chǎn) < b < c
C．b < c < a D． c < a < b
8-2．（2024 高一下·浙江·期中）記a = 0.20.1,b = 0.10.2 ,c = ( 2)-0.5，則（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． a > c > b D． c > a > b
1 1
1
8-3．（2024 高一上·全國(guó)· 3 3課后作業(yè)）設(shè) a = 1 ÷ ，b
2= ÷ ， c = ，則（2 ）è 3 è 5
A．a(chǎn) < b < c B． c < a < b C．b < c < a D．b < a < c
0.3 0.3 -0.3
8-4．（2024 · 2 1 1 高三 河北·學(xué)業(yè)考試）已知 a = ÷ ，b = ÷ ， c = ÷ ，則 a，b，c 的大小關(guān)系為（ ）
è 5 è 3 è 3
A．a(chǎn) < c < b B．a(chǎn) < b < c C．b題型 9：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
2
9-1．（2024 高一·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù) y = m2 - m +1 xm +2m-3 是冪函數(shù)，且在 x 0, + 上時(shí)是嚴(yán)格減函數(shù)，
則實(shí)數(shù)m = ．
1
9-2 4 m ．（2024 高二下·遼寧本溪·期末）已知冪函數(shù) f x = m -15 x 在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，則 f - 2 ÷ =è
（ ）
1 1
A． B． C．2 D．44 2
9-3．（24-25 高一上·上海·隨堂練習(xí)）若冪函數(shù) y = xm 在區(qū)間 0, + 上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m 的值可能為
（ ）．
1
A．1 B．
2
C．-1 D．2
9-4．（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）冪函數(shù) f x = m2 - 3m - 3 xm 在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確
的是（ ）
A．m = 4 B． f x 是減函數(shù)
C． f x 是奇函數(shù) D． f x 是偶函數(shù)
（五）
冪函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用
利用冪函數(shù)解不等式的步驟
利用冪函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)
性、奇偶性等綜合命題．求解步驟如下：
(1)確定可以利用的冪函數(shù)；
(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系；
(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用．
題型 10：利用冪函數(shù)解不等式
1
10-1．（2024 高三上·四川遂寧·階段練習(xí)）若 f (x) = x 2 ，則不等式 f (x) > f (8x -16)的解集是（ ）
é2,16 0,2 ( ,16A． ê ÷ B． C． - ) D7 ．[2, + ∞) 7
1
10-2．（2024

高一上·安徽·期中）已知冪函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,93 ÷，且 f a +1 < f 2 ，則 a的取值范圍è
為（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． -3,1 D． - ,-3 U 1,+
1 1
10-3 2024 · · “ ” “ -2 < a < 2．（ 高三上 四川綿陽(yáng) 階段練習(xí)） (a +1)2 < (3 - 2a)2 是 3 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
3 3
10-4．（2024 高一上·上海浦東新·期中）不等式 x + 2 -5 < 5 - 2x -5 的解集為 ．
1
10-5．（2024 高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）函數(shù) -f (x) = x 2 ，則不等式 f (2x -1) > f (x +1) 的解集為 ．
題型 11：利用冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用
2
11-1．（2024 高一下·黑龍江齊齊哈爾·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù) f x = x-2m -m+3 -2 < m < 2,m Ζ 在區(qū)間 0, +
上單調(diào)遞增.請(qǐng)從如下 2 個(gè)條件：①對(duì)任意的 x R ，都有 f -x = f x ；②對(duì)任意的 x R ，都有
f -x + f x = 0中任選 1 個(gè)作為已知條件，求解下列問(wèn)題.
(1)求 f x 的解析式；
(2)在（1）問(wèn)的條件下，當(dāng) x -3,3 時(shí)，求 f x 的值域.
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）
4 3 4
11-2．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)：① y = x-2 ，② -y = x 3 ，③ y = x5 ，④ y = x 5 ，既是偶函數(shù)，
又在 (- ,0)上為增函數(shù)的是 ．
ì 1 1
11-3．（2024 高一上·上海楊浦·期末）已知a í-2, -1, - , ,1, 2,3
ü
，若冪函數(shù) f x = xa 奇函數(shù)，且在 0, +
2 2
上為嚴(yán)格減函數(shù)，則a = .
11-4．（2024 2 -m-1高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù) f x = m - 5m + 7 x m R 為奇函數(shù).
1
(1)求 f ÷的值；
è 2
(2)若 f 2a +1 > f a ，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
一、單選題
1．（2024 高一上·四川成都·期末）函數(shù) f x = x 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024 3高一上·青海西寧·期末）已知點(diǎn) a , 2 在冪函數(shù) f x = a -1 xb的圖象上，則（ ）
1
A． f x = x-1 B． f x = 2x 2
1
C． f x = x3 D． f x = x3
1
3．（2024 高一上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知冪函數(shù) f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, 2 ，則 f 2 ÷等于（ ）è
1
A B 2． 2 ． 4 C． D．2 4
4．（2024· 2海南·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x = m + m - 5 xm 為冪函數(shù)，則（ ）．
A． f x 在 - ,0 上單調(diào)遞增 B． f x 在 - ,0 上單調(diào)遞減
C． f x 在 0, + 上單調(diào)遞增 D． f x 在 0, + 上單調(diào)遞減
2
5．（2024 高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)m R ，若冪函數(shù) y = xm -2m+1定義域?yàn)?R，且其圖像關(guān)于 y 軸成軸
對(duì)稱，則 m 的值可以為（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
1 x6 ．（2024 高二下·陜西咸陽(yáng)·期末）現(xiàn)有下列函數(shù)：① y = x3；② y = ÷ ；③ y = 4x
2 ；④ y = x5 +1；⑤
è 2
y = x -1 2 ；⑥ y = x ；⑦ y = a x (a > 1)，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7 2 m+1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) y = m - 3m + 3 x 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則m 等于（ ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．3
m
8．（2024 高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù) y = x n （m, n均為正整數(shù)且m, n互質(zhì)）的圖象，則
（ ）
m
A．m, n是奇數(shù)且 <1
n
B．m
m
是偶數(shù)， n 是奇數(shù)，且 <1
n
C．m
m
是偶數(shù)， n 是奇數(shù)，且 >1
n
m
D．m, n是奇數(shù)，且 >1
n
9．（24-25 高二下·福建莆田·期中）如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù) y = xn 在第一象限的圖象，已知 n 取±2，
1
± 四個(gè)值，則相應(yīng)于C1，C2 ，C3，C4 的 n 依次為（ ）2
1 1 1 1
A．-2，- ， ， 2 B． 2， ，- ，-2
2 2 2 2
1 1 1 1
C．- ，-2， 2， D． 2， ，-2，-
2 2 2 2
10 2
2
．（2024 高一上·安徽·期末）若冪函數(shù) f x = m -2m-2 xm -4m+1在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞減，則m =
（ ）
A．3 B．1 C．-1或 3 D．1 或-3
1 1 1
-
11．（2024 高一上·重慶九龍坡·期末）已知 a = 3
3 3 3 2 3
,b =5 ÷ 5 ÷
,c = ÷ ，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
è è è 5
A．a(chǎn) < b < c B．b < c < a C． c < a < b D．a(chǎn) < c < b
12．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 f x 1= 2 ，若 0 < a < b <1，則下列各式中正確的是（ ）x
f a f b f 1 1< < < f f 1 < f 1 A． ÷ ÷ B． ÷ ÷ < f b < f a
è a è b è a è b
C． f a < f b 1< f < f 1 ÷ ÷ D． f
1 1
b a a ÷
< f a < f ÷ < f b
è è è è b
13 2024 2 m
2 -4m+1
．（ 高一下·遼寧本溪·階段練習(xí)）若冪函數(shù) f x = m -2m-2 x 在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞增，則
m =（ ）
A．-1 B．3 C．-1或 3 D．1 或-3
2
14．（2024 2 n -2n高一上·浙江杭州·期末）已知冪函數(shù) f x = n + 2n - 2 × x 在 0, + 上是減函數(shù)，則 n 的值為
（ ）
A．-3 B．1 C．3 D．1 或-3
15．（2024 高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知冪函數(shù) f x 的圖像過(guò)點(diǎn) 64,4 ，則 f 8 的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
16．（2024 高一上·云南德宏·期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（ ）
1 1
A． y = 3 x B． y = 2 C． y = 2x
2 D． y = x +
x x
17．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，下列 3 個(gè)冪函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（ ）
1 1 1 1
A．① y = x-1，② y = x 2 ，③ y = x3 B．① y = x
-1，② y = x3 ，③ y = x 2
1 1 1 1
C．① y = x3 ，② y = x 2 ，③ y = x
-1 D．① -1y = x3 ，② y = x ，③ y = x 2
18．（2024 高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù) y = f x 的圖象過(guò) 4,32 點(diǎn)，則 f 2 =（ ）．
A． 2 2 B．4 C．4 2 D．8
二、多選題
1
19．（2024 高一下·山西忻州·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù) f x = m2 - 3 xm 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, 4 ÷ ，則（ ）è
A． f x 是偶函數(shù) B． f x 是奇函數(shù)
C． f x 在 - ,0 上為減函數(shù) D． f x 在 0, + 上為減函數(shù)
20．（2024 2 -m-1高一上·寧夏銀川·期末）冪函數(shù) f x = m + m -1 x ， ∈ N ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．m =1 B．函數(shù) f x 是偶函數(shù)
C． f -2 < f 3 D．函數(shù) f x 的值域?yàn)? 0, +
21．（2024 高一上·重慶長(zhǎng)壽·期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)，又在 - ,0 上單調(diào)遞減的是（ ）
A． y = -x B． y = x-2
C． y = x-1 D． y = x2
22．（2024 高一上·云南紅河·期末）已知冪函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 8,2 2 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù) f x 為增函數(shù)
B．函數(shù) f x 為偶函數(shù)
C．當(dāng) x 4時(shí)， f x 2
f x + f x
0 x x 1 2 < < f x1 + xD < 2 ．當(dāng) 1 2 時(shí)， 2 ÷è 2
三、填空題
7+3t-2t2
23．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）冪函數(shù) f x = t3 - t +1 x 5 是偶函數(shù)，且在 (0, + )上為增函數(shù)，則函數(shù)
解析式為 ．
1
24．（2024 高一上·寧夏吳忠·期中）若 f x 是冪函數(shù)，且 f 2 1= ，則 f
4 ÷
=
è 3
25．（2024 高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件①和②的冪函數(shù) f (x) ，條件：① f (x) 是偶函
數(shù)；② f (x) 為 0, + 上的減函數(shù)．則 f (x) = ．
26．（2024 高一上·廣東肇慶·期中）已知冪函數(shù) f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 3,3 和 m,2 ，則實(shí)數(shù) m＝ .
2
27．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）冪函數(shù) y = xn +n+1 n N 的圖像一定經(jīng)過(guò)第 象限
28．（2024 高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若冪函數(shù) f x 過(guò)點(diǎn) 4，2 ，則滿足不等式 f 2 - a > f a -1 的實(shí)數(shù) a
的取值范圍是 ．
29．（2024 2 m高一上·陜西咸陽(yáng)·期末）已知冪函數(shù) f x = m - 2m - 2 x 滿足 f 2 < f 3 ，則m = .
30．（2024·寧夏銀川·二模）已知函數(shù) f x 2= m2 - m -1 xm -2m-2 是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m = ．
31．（2024 高一上·遼寧·期末）已知冪函數(shù) f x = m2 + 3m +1 xm 在第一象限單調(diào)遞減，則 f m = .
32 2 m．（2024 高三上·河南許昌·期末）已知函數(shù) f x = m + m -1 x 是冪函數(shù)，且在 0, + 上是增函數(shù)，則實(shí)
數(shù)m 的值為 ．
33．（2024 高三下·上海楊浦·階段練習(xí)）已知冪函數(shù) y = f (x) 的圖像過(guò)點(diǎn) (9,3)，則 f (2) 的值為 ．
34．（2024 高一上·江西贛州·期中）冪函數(shù) ( ) = ( 2 2 2) 2 1在 0, + 上為減函數(shù)，則m 的值為 .
1
35．（2024 · 2 2高三下 上海·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = x3 ，則關(guān)于 t的表達(dá)式 f t - 2t + f 2t -1 < 0的解集
為 .
1
36．（2024 10高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) f (x) 1= ÷ ，若 ( 1) < (8 2 )，則a的取值范圍是 .
è x
37．（2024 高一上·浙江寧波·期中）已知冪函數(shù) f (x) 過(guò)點(diǎn) (2, 2)，則滿足 f (2 - a) > f (a -1)的實(shí)數(shù) a的取值
范圍是 ．
2
38．（2024 2 m -6m+6高二下·陜西寶雞·期末）冪函數(shù) f x = m - 3m + 3 x 在 0, + 上單調(diào)遞減，則m 的值為 ．
四、解答題
1
39．（2024 高一上·四川眉山·期末）已知冪函數(shù) y = f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) , 22 ÷．è
(1)求 f x 的解析式，并指明函數(shù) f x 的定義域；
(2)設(shè)函數(shù) g x = x + f x ，用單調(diào)性的定義證明 g x 在 1, + 單調(diào)遞增．
40．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）比較下列各組數(shù)的大小：
(1) -2 -3， -2.5 -3 ；
7
7
(2) - ， 1 8-8 8 -

9 ÷
；
è
3 3 1
(3) 1 4 4 4 ÷ ，
1 1
2 ÷
，
5 ÷
．
è è è 2
2 2
41．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求不等式 x -1 3 > 3x +1 3 的解.
2
42．（2024 高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) f x = xm -2m-3（m 為正整數(shù)）的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，且在 0, +
m m
上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足 a +1 - 3 > 3- 2a - 3 的實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
43．（2024 高一上· 2福建龍巖·期末）已知冪函數(shù) f (x) = 2m - 9m +10 xm-1為偶函數(shù)，
g(x) f (x) k= + (k R)．
x
(1)若 g(2) = 5，求 k ；
1
(2)已知 k 2 2，若關(guān)于 x 的不等式 g(x) - k > 0 在[1,+ )上恒成立，求 k 的取值范圍．
2
44．（2024 高一下·四川廣安·階段練習(xí)）已知冪函數(shù) f x = m2 + m - 5 xm+1 m R 在 0, + 上單調(diào)遞增．
(1)求 m 的值及函數(shù) f x 的解析式；
(2)若函數(shù) g x 2= - 3 é f x ù + 2ax +1- a 在 0,2 上的最大值為 3，求實(shí)數(shù) a 的值．
45．（2024 2 a高一上·遼寧遼陽(yáng)·期末）已知冪函數(shù) f x = a + a - 5 x 為奇函數(shù)．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若正數(shù)m, n
9 1
滿足3m +12n + 5a = 0，若不等式 + b恒成立．求b 的最大值．
m n
46．（2024 2高一上·山東棗莊·期末）已知冪函數(shù) f x = m - m - 5 xm-1的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱.
(1)求 m 的值;
(2)若函數(shù) g(x) = f (x) - 4 f (x) ，求 g x 的單調(diào)遞增區(qū)間.3.3 冪函數(shù) 11 題型分類
一、冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù) y＝xα叫做冪函數(shù)，其中 x 是自變量，α 是常數(shù)．
注意：冪函數(shù)的特征
(1)xα的系數(shù)是 1；
(2)xα的底數(shù) x 是自變量；
(3)xα的指數(shù) α 為常數(shù)．
只有滿足這三個(gè)條件，才是冪函數(shù)．對(duì)于形如 y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6 等的函數(shù)都不
是冪函數(shù)．
二、一些常用冪函數(shù)的圖象
同一坐標(biāo)系中，冪函數(shù) y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x 的圖象(如圖)．
三、一些常用冪函數(shù)的性質(zhì)
函數(shù)
特征 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
性質(zhì)
定義域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
非奇非
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 奇函數(shù)
偶函數(shù)
在(0，
在[0，＋∞)上單
在(－∞，＋ ＋∞)上單調(diào)遞
在(－∞，＋∞) 調(diào)遞增 在[0，＋∞)上單
單調(diào)性 ∞)上單調(diào) 減
上單調(diào)遞增 調(diào)遞增
在(－∞，0]上單 遞增 在(－∞，0)上
調(diào)遞減 單調(diào)遞減
注意：冪函數(shù)的性質(zhì)
(1)所有的冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義，并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1)；
(2)如果 α＞0，那么冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增；
(3)如果 α＜0，那么冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)，當(dāng) x 從右
邊趨向于原點(diǎn)時(shí)，圖象在 y 軸右方無(wú)限接近 y 軸，當(dāng) x 從原點(diǎn)趨向于＋∞時(shí)，圖象在 x 軸上方
無(wú)限接近 x 軸；
(4)在(1，＋∞)上，隨冪指數(shù)的逐漸增大，圖象越來(lái)越靠近 y 軸．
（一）
冪函數(shù)的概念
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的方法
判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)的依據(jù)是該函數(shù)是否為 y＝xα(α 為常數(shù))的形式，即函數(shù)的解析式為
一個(gè)冪的形式，且需滿足：(1)指數(shù)為常數(shù)；(2)底數(shù)為自變量；(3)系數(shù)為 1.
題型 1：判斷一個(gè)函數(shù)是否為冪函數(shù)
1-1．（2024 高一·全國(guó)·課堂例題）下列函數(shù)：① y = 2x3；② y = x2 +1；③ y = (x +1)3是冪函數(shù)嗎？
【答案】答案見(jiàn)解析．
【分析】利用冪函數(shù)的定義判斷.
【詳解】形如 y = xa （a 為常數(shù)）的函數(shù)叫冪函數(shù)，顯然它們都不滿足冪函數(shù)的定義，所以都不是冪函數(shù)．
1 1
1-2．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）在函數(shù)① y = ，② y = x2，③ y = 2x ，④ y = 2 y = 2x2 ⑥ -x ， ， y = x 2 中，
是冪函數(shù)的是（ ）
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可判斷.
【詳解】?jī)绾瘮?shù)是形如 y = xa （a R ，a 為常數(shù)）的函數(shù)，①是a = -1的情形，②是a = 2的情形，⑥
是a
1
= - 的情形，所以①②⑥都是冪函數(shù)；③是指數(shù)函數(shù)，不是冪函數(shù)；⑤中 x2的系數(shù)是 2，所以不
2
是冪函數(shù)；④是常函數(shù)，不是冪函數(shù).
故選：C.
1-3．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）給出下列函數(shù)：
① y
1
= 3 ；② y = 3x - 2；③ y = x
4 + x2 ；④ y = 3
2
x5 ；⑤ y = x -1 ；⑥ y = 0.3x ，其中是冪函數(shù)的有x
（ ）
A．1 個(gè) B．2 個(gè)
C．3 個(gè) D．4 個(gè)
【答案】B
【解析】由冪函數(shù)的定義即可判斷.
【詳解】由冪函數(shù)的定義：形如 y = xa （a 為常數(shù)）的函數(shù)為冪函數(shù)，
y 1① = = x-3
5
則可知 和④ y = 3 x53 = x3 是冪函數(shù).x
故選；B.
題型 2：求冪函數(shù)解析式或求值
2-1．（2024 高一上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知冪函數(shù) f (x) = xa 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) (4, 2)，則a 的值為（ ）
1 1
A．- B． C．-2 D． 2
2 2
【答案】B
【分析】由條件列方程求a 即可.
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù) f (x) = xa 的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn) (4, 2)，
所以 2 = 4a ，
a 1所以 = ，
2
故選：B.
f 4
2-2．（2024 高一上·北京·期末）已知函數(shù) f x 是冪函數(shù)，若 = 2f 2 ，則 (4) = ．
【答案】2
f x = xa【分析】設(shè) ，a 是常數(shù)，代入已知條件運(yùn)算求解．
a f 4 4a 1a 1
【詳解】設(shè) f x = x ，a 是常數(shù)，則 = = 2 = 2 = 22f 2 2a ，解得a = 2
1
則 f 4 = 42 = 2．
故答案為：2．
2-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) f(x)＝xα(α 為常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2, 2 ，則 f(9)＝（ ）
1
A．-3 B．-
3
1
C．3 D．
3
【答案】C
【分析】代點(diǎn)的坐標(biāo)求出 α 的值，得到函數(shù) f (x) 的解析式，即得解.
1
【詳解】由題意 f(2)＝2α＝ 2=22 ，
1
所以 α＝ ，所以 f(x)＝
2 x
，
所以 f(9)＝ 9 ＝3.
故選：C
2-4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知 f x 是冪函數(shù)，且滿足：① f -x = f x ；② f x 在 0, + 上單調(diào)遞
增，請(qǐng)寫(xiě)出符合上述條件的一個(gè)函數(shù) f x = .
n
【答案】 x2（答案不唯一）(形如 f x = xm ，m 為正奇數(shù)， n 為正偶數(shù)，均可)
【分析】由條件結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù) f x 的解析式即可.
【詳解】因?yàn)?f x 是冪函數(shù)，且 f x 在 0, + 上單調(diào)遞增，
n
故可設(shè) f x = xm ，（m, n N*，m, n互質(zhì)），
又 f -x = f x ，所以m 為奇數(shù)， n 為偶數(shù)，
故 f x = x2 為符合條件的一個(gè)函數(shù)，
n
故答案為： x2 (形如 f x = xm ，m 為正奇數(shù)， n 為正偶數(shù)，均可).
2-5．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知冪函數(shù) f (x) = xa (α 是常數(shù))的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 2,4 ，那么 ( 2) =
（ ）
1 1
A．4 B．-4 C． D4 ．- 4
【答案】A
【分析】首先代入函數(shù)解析式求出a ，即可得到函數(shù)解析式，再代入求出函數(shù)值即可；
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù) f (x) = xa （a 是常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (2,4)，
所以 2a = 4，解得a = 2，
所以 f (x) = x2 ，
所以 f -2 = -2 2 = 4；
故選：A
題型 3：根據(jù)冪函數(shù)求參數(shù)
1
3-1．（24-25 高一上·上海·單元測(cè)試）函數(shù) y = m2 + 2m - 2 xm-1 是冪函數(shù)，則m = ．
【答案】-3
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合一元二次方程的解法，即可得解
1
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y = m2 + 2m - 2 xm-1 是冪函數(shù)，所以m2 + 2m - 2 =1且m -1 0 ，
解得：m = -3，或m =1（舍）
故答案為：-3 .
3-2．（2024 2高一上·湖北孝感·階段練習(xí)）函數(shù) y = k - 2k - 7 x2 是冪函數(shù)，則實(shí)數(shù) k 的值是（ ）
A． k = 4 B． k = -2 C． k = 4或 k = -2 D． k 4且 k -2
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義列方程求解即可.
【詳解】由冪函數(shù)的定義知 k 2 - 2k - 7 =1，
即 k 2 - 2k -8 = 0，解得 k = 4或 k = -2 ．
故選：C
2
3-3．（2024 2 m -3m-2高一下·上海楊浦·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù) f x = m + m - 5 × x 的圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)
m = .
【答案】 2
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及定義域直接求參數(shù)值.
f x = 2 m2m + m - 5 × x -3m-2【詳解】由已知函數(shù) 為冪函數(shù)，
得m2 + m - 5 =1，解得m = 2 或m = -3，
當(dāng)m = 2 時(shí)， f x = x-4 ，定義域?yàn)? - ,0 U 0, + ，函數(shù)圖像不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
當(dāng)m = -3時(shí)， f x = x16 ，定義域?yàn)镽 ，且 f 0 = 0，函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
綜上所述：m = 2 ，
故答案為： 2 .
（二）
冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用
依據(jù)圖象高低判斷冪指數(shù)大小，相關(guān)結(jié)論為：在(0,1]上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越靠近 x 軸(簡(jiǎn)
記為指大圖低)；在[1，＋∞)上，指數(shù)越大，冪函數(shù)圖象越遠(yuǎn)離 x 軸(簡(jiǎn)記為指大圖高)．
題型 4：冪函數(shù)過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題
4-1．（2024 高一上· a廣東東莞·期中）函數(shù) y = x - 2 a為常數(shù) 的圖象過(guò)定點(diǎn) ．
【答案】 1,-1
【分析】利用1a =1求得正確答案.
【詳解】當(dāng) x =1時(shí)， y =1a - 2 = -1，
所以定點(diǎn)為 1,-1 .
故答案為： 1,-1
4-2．（2024 高一上·上海浦東新·階段練習(xí)）冪函數(shù) y = xa的圖象不可能在第四象限，但所有圖象過(guò)定點(diǎn)，定
點(diǎn)坐標(biāo)為 .
【答案】 (1,1)
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，直接求出定點(diǎn)坐標(biāo)即得.
【詳解】因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù) a，當(dāng) x =1時(shí)， y =1，
所以所有冪函數(shù)的圖象都過(guò)點(diǎn) (1,1) .
故答案為： (1,1)
4-3．（2024
a
高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）函數(shù) y = x -1 +1 a < 0 恒過(guò)定點(diǎn) ．
【答案】 2,2
【分析】令 x -1 = 1即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】當(dāng) x -1 = 1，即 x = 2時(shí)， y = 2 ，\函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn) 2,2 .
故答案為： 2,2 .
4-4．（2024 高一上·云南曲靖·期中）冪函數(shù) f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, 2 ，則函數(shù) g x = af x - 3 +1 a R,a 0
的圖象經(jīng)過(guò)定點(diǎn) ．
【答案】 3,1
【分析】根據(jù)冪函數(shù)過(guò)點(diǎn) 2, 2 可求 f x 解析式，寫(xiě)出 g x ，根據(jù)函數(shù) g x 的解析式可求所過(guò)定點(diǎn).
a
【詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù) f x = x 過(guò)點(diǎn) 2, 2 ，可解得a 1= ，2
1
所以 f x = x 2 ，
1
故 g(x) = a(x - 3)2 +1，
當(dāng) x = 3時(shí)， g(3) = a 0 +1 =1，
故 g(x)恒過(guò)定點(diǎn) (3,1) .
故答案為 3,1
【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪函數(shù)的解析式，函數(shù)過(guò)定點(diǎn)，屬于中檔題.
題型 5：冪函數(shù)的圖象及應(yīng)用
ìx2 , x 0,

5-1．（2024·新疆阿勒泰·三模）已知函數(shù)則函數(shù) f (x) = í1 g(x) = f (-x)，則函數(shù) g(x)的圖象大致是
, x < 0, x
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由 g x = f -x 可知 g x 圖像與 f x 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，由 f x 的圖像即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?g x = f -x ，所以 g x 圖像與 f x 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，
由 f x 解析式，作出 f x 的圖像如圖
從而可得 g x 圖像為 B 選項(xiàng).
故選：B.
1
x3 - x-15-2．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) f x = 的圖象大致為（ ）
x
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用特殊值法即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng).
【詳解】由 f 1 = 0，排除 A，D，
1
當(dāng) x >1時(shí)， x3 - x-1 > 0，所以 f x > 0，排除 C．
故選：B．
p
5-3．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）已知冪函數(shù) y = x q （ p,q Z 且 p 與 q 互質(zhì)）的圖像如圖所示，則（ ）
p 0 pA．p、q 均為奇數(shù)且 < B．p 為奇數(shù)，q 為偶數(shù)且 < 0q q
p p
C．p 為奇數(shù)，q 為偶數(shù)且 > 0q D．p 為偶數(shù)，q 為奇數(shù)且
< 0
q
【答案】D
【分析】根據(jù)圖像的對(duì)稱性及形狀結(jié)合冪函數(shù)的圖像特征可直接解答.
p
【詳解】由圖像知函數(shù)為偶函數(shù)，所以 p 為偶數(shù)，且由圖像的形狀判定 < 0q ，
又因?yàn)?p 與 q 互質(zhì)，所以 q 為奇數(shù)，
故選：D.
2
5-4．（2024 · 2 m +m-3高一上 福建泉州·期中）已知冪函數(shù) f x = m - m -1 x ，其圖像與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m
的值為 ．
【答案】-1
【分析】根據(jù)冪函數(shù)定義，由m2 - m -1 =1求得 m，再根據(jù)函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)確定即可.
2 m2 +m-3
【詳解】由冪函數(shù) f x = m - m -1 x 知，
m2 - m -1 =1得m = 2 或m = -1.
當(dāng)m = 2 時(shí)， f x = x3 圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn) 0,0 ，
當(dāng)m = -1時(shí)， f x = x-3 與坐標(biāo)軸無(wú)交點(diǎn)，
∴ m = -1.
故答案為: -1
5-5．（2024 高一上·黑龍江哈爾濱·期末）若點(diǎn)P 4,2 在冪函數(shù) f x 的圖象上，則 f x 的圖象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，再進(jìn)行判斷即可得出答案．
【詳解】設(shè)冪函數(shù) f (x) = xa ，將點(diǎn)P 4,2 代入，得 4a = 2，解得 a 1= ，2
1
所以 f (x) = x 2 ，定義域?yàn)閇0,+ )，且在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，大致圖像為 B，
故選：B．
5-6．（2024 高三·全國(guó)·對(duì)口高考）給定一組函數(shù)解析式：
3 2 3 2 3 1 1
① y = x 4 ；② y = x 3 ；③
- ；④ -y = x 2 y = x 3 ；⑤
-
y = x 2 ；⑥ y = x 3 ；⑦ y = x3 ．
如圖所示一組函數(shù)圖象．圖象對(duì)應(yīng)的解析式號(hào)碼順序正確的是（ ）
A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象的性質(zhì)判斷各圖象對(duì)應(yīng)解析式的形式，即可得答案.
1
【詳解】圖象（1）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故 -y = x 3 滿足；
圖象（2）關(guān)于 y
2
軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故 -y = x 3 滿足；
3
圖象（3）非奇非偶函數(shù)，且不過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞減，故 -y = x 2 滿足；
2
圖象（4）關(guān)于 y 軸對(duì)稱，為偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，故 y = x 3 滿足；
1
圖象（5）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，為奇函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，故 y = x3 滿足；
3
圖象（6）非奇非偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨 x 增大遞減，故 y = x 4 滿足；
3
圖象（7）非奇非偶函數(shù)，且過(guò)原點(diǎn)、第一象限遞增，而增長(zhǎng)率隨 x 增大遞增，故 y = x 2 滿足；
故圖象對(duì)應(yīng)解析式順序?yàn)棰蔻堍邰冖撷佗?
故選：C
（三）
求冪函數(shù)的定義域和值域
冪函數(shù)的定義域和值域要根據(jù)解析式來(lái)確定，要保證解析式有意義，值域要在定義域范圍內(nèi)求
解.冪函數(shù)的定義域由冪指數(shù) a 確定：①當(dāng)冪指數(shù)取正整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?R；②當(dāng)冪指數(shù)取零
或負(fù)整數(shù)時(shí)，定義域?yàn)?一∞,0) U (0,+∞)；③當(dāng)冪指數(shù)取分?jǐn)?shù)時(shí)，可以先化成根式(在第四章會(huì)
學(xué)到)，再根據(jù)根式的要求求定義域.
題型 6：求冪函數(shù)的定義域
6-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）若冪函數(shù) f (x) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (25,5) ，求 f (x) 的定義域.
【答案】[0,+ )
1
【分析】設(shè) f (x) = xa ，根據(jù)冪函數(shù) f (x) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (25,5) 求出a = ，可得函數(shù) f (x) 的解析式，根據(jù)解
2
析式可得定義域.
【詳解】因?yàn)?f (x) 為冪函數(shù)，所以設(shè) f (x) = xa ．
又 f (x) 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) (25,5) ，可得5 = 25a ，
1 1
解得a = ，所以
2 f (x) = x
2 = x ．
故 f(x)的定義域?yàn)閇0,+ )．
1
6-2．（2024· · -上海楊浦 一模）函數(shù) f x = x 2 的定義域?yàn)? ．
【答案】(0, + ∞)
【解析】將函數(shù)解析式變形為 f x 1= ，即可求得原函數(shù)的定義域.
x
1
-
Q f x x 2 1【詳解】 = = ，所以， x > 0 .
x
1
-
因此，函數(shù) f x = x 2 的定義域?yàn)?0, + ∞).
故答案為：(0, + ∞).
6-3．（2024 高一上·浙江·期末）已知冪函數(shù) y = -3a xa ，則此函數(shù)的定義域?yàn)? ．
【答案】 - ,0 U 0, + .
1 1
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，求得 a = - ，得到 y = 3 ，進(jìn)而求得函數(shù)的定義域.3 x
1 1- 1
【詳解】由冪函數(shù) y = -3a xa ，可得-3a =1，解得 a = - ，即 y = x 3 = ，
3 3 x
則滿足 x 0，即冪函數(shù) y = -3a xa 的定義域?yàn)? - ,0 U 0, + .
故答案為： - ,0 U 0, + .
題型 7：求冪函數(shù)的值域
7-1．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) f (x) = xa 的圖像過(guò)點(diǎn) (8,4) ，則 f (x) = xa 的值域是（ ）
A．( ∞,0) B． - ,0 0, +
C．(0, + ∞) D． 0, +
【答案】D
【解析】先求出冪函數(shù)解析式，根據(jù)解析式即可求出值域.
【詳解】Q冪函數(shù) f (x) = xa 的圖像過(guò)點(diǎn) (8,4) ，
\8a = 4，解得 = 23，
2
\ f (x) = x 3 = 3 x2 0，
\ f (x) 的值域是 0, + .
故選：D.
ìx,0 x <1,

7-2．（2024·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) f x = í1 的值域?yàn)? .
, x 1. x
【答案】 0,1
【分析】根據(jù) f x 的解析式求得 f x 的值域.
【詳解】0 x <1時(shí)， f x = x 0,1 ，
1
x 1時(shí)， f x = 0,1 ，
x
所以 f x 的值域?yàn)?0,1 .
故答案為： 0,1
ì 3 x , x a
7-3．（2024 高三下·上海嘉定·階段練習(xí)）已知函數(shù) f (x) = í ，若函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?R ，則實(shí)數(shù) a的取
x
2 , x > a
值范圍為 ．
【答案】 0,1
【分析】判斷 y = 3 x 單調(diào)遞增，討論 a < 0或 a 0，根據(jù)分段函數(shù)的值域可得 a 0且 a2 3 a ，解不等式即
可求解.
【詳解】由函數(shù) y = 3 x 單調(diào)遞增，
①當(dāng) a < 0時(shí)，若 x a，有 3 x 3 a < 0，
而 x2 0 ，此時(shí)函數(shù) f (x) 的值域不是 R ；
②當(dāng) a 0時(shí)，若 x a，有 3 x 3 a ，而 x2 > a2，
若函數(shù) f (x) 的值域?yàn)?R ，必有 a2 3 a ，可得0 a 1．
則實(shí)數(shù) a的取值范圍為 0,1 ．
故答案為： 0,1
1
7-4．（2024 高一上·河北石家莊·期中）若冪函數(shù) f (x) 的圖象過(guò)點(diǎn) 4, ÷，則 f (x) 的值域?yàn)? ．
è 16
【答案】 0, +
【分析】設(shè) f (x) = xa ，根據(jù)條件求出a ，然后可得答案.
1 a 1 -2
【詳解】設(shè) f (x) = xa ，因?yàn)閮绾瘮?shù) f (x) 的圖象過(guò)點(diǎn) 4,16 ÷，所以
4 = = 4
è 16
a = -2 f (x) = x-2 1所以 ，所以 = 0,+ x2
故答案為： 0, +
（四）
利用冪函數(shù)的性質(zhì)比較大小
（1）比較冪大小的三種常用方法:
(2)利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小時(shí)要注意的問(wèn)題:
比較大小的兩個(gè)實(shí)數(shù)必須在同一函數(shù)的同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi),否則無(wú)法比較大小.
題型 8：利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小
2 1 1
8-1．（2024 高一上·安徽合肥·期末）已知 a = 23 ，b = 33 ， c = 256 ，則（ ）
A．b < a < c B．a(chǎn) < b < c
C．b < c < a D． c < a < b
【答案】A
【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式的互換，進(jìn)而即可判斷 a，b ， c的大小．
2 1 1
【詳解】由 a = 23 = 3 4 ，b = 33 = 3 3 ， c = 256 = 3 5 ，
所以b < a < c．
故選：A．
8-2．（2024 高一下·浙江·期中）記a = 0.20.1,b = 0.10.2 ,c = ( 2)-0.5，則（ ）
A． a > b > c B．b > c > a
C． a > c > b D． c > a > b
【答案】C
【分析】把三個(gè)數(shù)的指數(shù)都化為 0.1，利用冪函數(shù)的單調(diào)性比大小.
0.1 0.2 2 0.1【詳解】 a = 0.2 ，b = 0.1 = 0.1 = 0.010.1，
0.1
c = ( 2)-0.5 5
0.1
- 2 = é ( 2) ù = 8 ÷÷
，
è
0.2 2> > 0.01，由冪函數(shù) y = x0.1在 0, + 上單調(diào)遞增，所以 a > c > b .
8
故選：C
1 1
8-3．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè) a 1
3
，b 2
3 c 1= ÷ = ÷ ， = ，則（2 ）è 3 è 5
A．a(chǎn) < b < c B． c < a < b C．b < c < a D．b < a < c
【答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性比較大小．
1
1 3
【詳解】構(gòu)造冪函數(shù) 1 1y = x3 , x 0,+ ，由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且 c = = ÷ ，故b > a > c2 è 8
故選：B
0.3 0.3 -0.3
8-4．（2024 · · 2 1 1 高三 河北 學(xué)業(yè)考試）已知 a = ÷ ，b = ÷ ， c = ÷ ，則 a，b，c 的大小關(guān)系為（ ）
è 5 è 3 è 3
A．a(chǎn) < c < b B．a(chǎn) < b < c C．b【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)值大小，即可得 a，b，c 的大小關(guān)系.
0.3 0.3 -0.3
【詳解】由于冪函數(shù) y = x0.3 在 0, + 2 1 1 上單調(diào)遞增，又 a = ，b = ， c = = 30.3 5 ÷ ÷ ÷ ，è è 3 è 3
1 2 1 0.3 2 0.3< < 3 < ，所以 0.3
3 5 3 ÷ ÷
< 3 ，則b < a < c .
è è 5
故選：D.
題型 9：利用函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
2
9-1．（2024 高一· 2 m +2m-3上海·隨堂練習(xí)）函數(shù) y = m - m +1 x 是冪函數(shù)，且在 x 0, + 上時(shí)是嚴(yán)格減函數(shù)，
則實(shí)數(shù)m = ．
【答案】0
【分析】由冪函數(shù)的定義結(jié)合其性質(zhì)列出方程得出實(shí)數(shù)m .
【詳解】由m2 - m +1 =1，得m = 0或m =1，
再把m = 0和m =1分別代入m2 + 2m - 3 < 0，檢驗(yàn)得m = 0．
故答案為：0
9-2．（2024 高二下· 4遼寧本溪·期末）已知冪函數(shù) f x = m -15 xm 1 在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，則 f - ÷ =
è 2
（ ）
1 1
A． B． C．2 D4 ．42
【答案】D
【分析】利用冪函數(shù)的定義和冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由冪函數(shù)的定義可知m4 -15 =1，解得m = ±2，
由冪函數(shù) f x 在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減，可得m = -2，
則 f x = x-2 ，
f 1 1
-2

所以 - 2 ÷
= - ÷ = 4 .
è è 2
故選：D .
9-3．（24-25 高一上·上海·隨堂練習(xí)）若冪函數(shù) y = xm 在區(qū)間 0, + 上是嚴(yán)格減函數(shù)，則實(shí)數(shù)m 的值可能為
（ ）．
1
A．1 B．
2
C．-1 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可得答案.
【詳解】若冪函數(shù) y = xm 在區(qū)間 0, + 上是嚴(yán)格減函數(shù)，只要m < 0即可．
故選：C.
9-4．（2024· 2四川成都·模擬預(yù)測(cè)）冪函數(shù) f x = m - 3m - 3 xm 在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞減，則下列說(shuō)法正確
的是（ ）
A．m = 4 B． f x 是減函數(shù)
C． f x 是奇函數(shù) D． f x 是偶函數(shù)
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義及單調(diào)性可判斷 AB，再由奇函數(shù)的定義判斷 CD.
【詳解】函數(shù) f x = m2 - 3m - 3 xm 為冪函數(shù)，則m2 - 3m - 3 =1，解得m = 4 或m = -1.
當(dāng)m = 4 時(shí)， f x = x4 在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞增，不滿足條件，排除 A；
當(dāng)m = -1時(shí)， f x = x-1在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞減，滿足題意.
f x = x-1函數(shù) 在 - ,0 和 0, + 上單調(diào)遞減，但不是減函數(shù)，排除 B；
因?yàn)楹瘮?shù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且 f (-x)
1
= = - f (x) ，
-x
所以函數(shù) f (x) 是奇函數(shù)，不是偶函數(shù)，故 C 正確，D 錯(cuò)誤.
故選：C.
（五）
冪函數(shù)的性質(zhì)綜合應(yīng)用
利用冪函數(shù)解不等式的步驟
利用冪函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個(gè)函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，常與冪函數(shù)的單調(diào)
性、奇偶性等綜合命題．求解步驟如下：
(1)確定可以利用的冪函數(shù)；
(2)借助相應(yīng)的冪函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系；
(3)解不等式(組)求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用．
題型 10：利用冪函數(shù)解不等式
1
10-1．（2024 高三上·四川遂寧·階段練習(xí)）若 f (x) = x 2 ，則不等式 f (x) > f (8x -16)的解集是（ ）
é2,16 16A． ê 7 ÷
B． 0,2 C． (- , ) D．[2, + ∞)
7
【答案】A
1
【分析】由冪函數(shù) f (x) = x 2 在定義域[0, + ) 內(nèi)為增函數(shù)解不等式
1
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f (x) = x 2 在定義域[0, + ) 內(nèi)為增函數(shù)，且 f (x) > f (8x -16)，
ìx 0

所以 í8x -16 0
16
，即 2 x < ，
7
x > 8x -16
é 16
所以不等式的解集為 ê2, ÷， 7
故選：A
1
10-2．（2024 ·

高一上 安徽·期中）已知冪函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,9÷，且 f a +1 < f3 2 ，則 a的取值范圍è
為（ ）
A． - ,1 B． 1, + C． -3,1 D． - ,-3 U 1,+
【答案】D
1 1
【分析】根據(jù)冪函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) ,93 ÷，得 f x =è x2 ，再結(jié)合單調(diào)性與偶函數(shù)的性質(zhì)解不等式即
可.
1 1 aa
【詳解】設(shè) f x = x a R ，由題意得， f ÷ =3 3 ÷ = 9，解得
a = -2，
è è
f x x-2 1∴ = = 2 ，∴ f x 為偶函數(shù)且在 0, + 上單調(diào)遞減.x
∵ f a +1 < f 2 ，∴ a +1 > 2，解得 a < -3或 a >1 .
故選:D.
1 1
10-3．（2024 高三上·四川綿陽(yáng)·階段練習(xí)）“ (a +1)2 < (3 - 2a)2 ”是“ -2 < a <
2
3 ”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A
1 1
【分析】結(jié)合函數(shù)定義域和單調(diào)性得到不等式組，求出 (a +1)2 < (3 - 2a)2 所滿足的 a的取值范圍，進(jìn)而判斷
出結(jié)果.
ìa +1< 3- 2a
1 1 1【詳解】因?yàn)?y = x 2 定義域?yàn)?0, +

，且為增函數(shù)，又 (a +1)2 < (3 - 2a)2 ，所以 ía +1 0 ，解得：

3- 2a 0
1 a 2 1 a 2 2 a 2 2 a 2 1 a 2
1 1
- < ，因?yàn)? < - < < ，而 - < < - < 2，故“ (a +1)2 < (3 - 2a)2 ”是“ -2 < a < 3 ”3 3 3 3 3
的充分不必要條件.
故選：A
3 3
10-4．（2024 高一上·上海浦東新·期中）不等式 x + 2 -5 < 5 - 2x -5 的解集為 ．
【答案】 1, +
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
3
-
【詳解】函數(shù) f x = x 5 = 5 x3 的定義域?yàn)镽 且在R 上單調(diào)遞減，
3 3
則由 x + 2 -5 < 5 - 2x -5 ，
得 x + 2 > 5 - 2x ，解得 x >1，
3 3
所以不等式 x + 2 -5 < 5 - 2x -5 的解集為 1, + .
故答案為： 1, + .
1
10-5．（2024 高一上·江蘇鹽城·階段練習(xí)）函數(shù) -f (x) = x 2 ，則不等式 f (2x -1) > f (x +1) 的解集為 ．
1 ,2 【答案】 2 ÷è
【分析】根據(jù)不等式，結(jié)合冪函數(shù)的單調(diào)性建立不等式組，解之即可求解.
1
【詳解】由題意知，冪函數(shù) -f (x) = x 2 在 (0, + )上單調(diào)遞減，
ì2x -1< x +1
由 f (2x -1) > f (x +1)

，得 í2x -1 > 0 ，

x +1 > 0
1
解得 < x < 2
1
，即不等式的解集為 ( , 2) .
2 2
(1故答案為： , 2)
2
題型 11：利用冪函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性及其應(yīng)用
2
11-1．（2024 高一下·黑龍江齊齊哈爾·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù) f x = x-2m -m+3 -2 < m < 2,m Ζ 在區(qū)間 0, +
上單調(diào)遞增.請(qǐng)從如下 2 個(gè)條件：①對(duì)任意的 x R ，都有 f -x = f x ；②對(duì)任意的 x R ，都有
f -x + f x = 0中任選 1 個(gè)作為已知條件，求解下列問(wèn)題.
(1)求 f x 的解析式；
(2)在（1）問(wèn)的條件下，當(dāng) x -3,3 時(shí)，求 f x 的值域.
（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)答案見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意，由冪函數(shù)的性質(zhì)列出方程即可求得m ，從而得到函數(shù) f x 的解析式；
（2）根據(jù)題意，由冪函數(shù)的值域即可求得結(jié)果.
2
【詳解】（1）∵ f x = x-2m -m+3，其中-2 < m < 2，m Z
當(dāng)m = -1 f x = x2 3時(shí) ，當(dāng)m = 0時(shí) f x = x ，當(dāng)m =1時(shí) f x = x0 =1，（ x 0），
∵ f x 在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞增，∴ m = -1，或m = 0
選①時(shí)，可知函數(shù) f x 2為偶函數(shù)，則 f x 的解析式為 f x = x ，
選② 3時(shí)，可知函數(shù) f x 為奇函數(shù)，則 f x 的解析式為 f x = x .
（2）若函數(shù) f x = x2 ,x -3,3
2
易知 f x = x 在 -3,0 上單調(diào)遞減，在 0,3 上單調(diào)遞增
當(dāng) x = 0時(shí)， f x = 0min ，當(dāng) x = ±3時(shí)， f x = 9max ，
∴ f x 的值域?yàn)?0,9 .
若 f x = x3 ,x -3,3 ，易知 f x = x3 在 -3,3 上是增函數(shù)
當(dāng) x = -3時(shí)， f x = -27，當(dāng) x = 3時(shí)， f x = 27min max ，
∴ f x 的值域?yàn)?-27,27 .
4 3 4
11-2．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知函數(shù)：① y = x-2 ，② y = x 3 ，③ ，④
-
y = x5 y = x 5 ，既是偶函數(shù)，
又在 (- ,0)上為增函數(shù)的是 ．
【答案】①④
【分析】結(jié)合冪函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷選項(xiàng)中四個(gè)函數(shù)的奇偶性以及在 (- ,0)上的單調(diào)性，看是否符合題
意，即得答案.
【詳解】對(duì)于① y = x-2 ，設(shè) f (x) = x-2 ，定義域?yàn)閧x R | x 0}，滿足 f (-x) = (-x)-2 = f (x)，
故 y = x-2
1
為偶函數(shù)，又 y = ，在 (- ,0)2 上為增函數(shù)，符合題意；x
4 1
對(duì)于②， y = x 3 = (x4 )3 定義域?yàn)?R，且為偶函數(shù)，在 (0, + )上為增函數(shù)，
故在 (- ,0)上為減函數(shù)，不符題意；
3 3 3
對(duì)于③ y = x5 ，定義域?yàn)?R，設(shè) g(x) = x5 ，則 g(-x) = (-x)5 = -g(x)，
3
故 y = x5 為奇函數(shù)，不符題意；
4 4 4
對(duì)于④ -y = x 5 ，定義域?yàn)閧x R | x 0}，設(shè)
-
F (x) = x 5 ，滿足
-
F (-x) = (-x) 5 = F (x) ，
4
故 -y = x 5 為偶函數(shù)，在 (0, + )上為減函數(shù)，故在 (- ,0)上為增函數(shù)，符合題意，
故答案為：①④
11-3．（2024 高一上·上海楊浦·期末）已知a
1 1
ì-2, -1, - , ,1, 2,3ü aí ，若冪函數(shù) f x = x 奇函數(shù)，且在 0, +
2 2
上為嚴(yán)格減函數(shù)，則a = .
【答案】-1
【分析】根據(jù)冪函數(shù) f x = xa 在 0, + a上為嚴(yán)格減函數(shù)，可得a < 0，再由冪函數(shù) f x = x 奇函數(shù)即可得
答案.
a
【詳解】解：因?yàn)閮绾瘮?shù) f x = x 在 0, + 上為嚴(yán)格減函數(shù)，
所以a < 0，
ì
所以a í-2, -1,
1
- ü
2
，

又因?yàn)閮绾瘮?shù) f x 1= xa ì奇函數(shù)，且a í-2, -1, - ü ，
2
所以a = -1，
故答案為：-1
11-4．（2024 2 -m-1高一上·安徽馬鞍山·期中）已知冪函數(shù) f x = m - 5m + 7 x m R 為奇函數(shù).
1
(1)求 f 2 ÷的值；è
(2)若 f 2a +1 > f a ，求實(shí)數(shù) a的取值范圍.
【答案】(1)8；
1
(2) a < -1或- < a < 0 .
2
1
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義得到m = 2 或m = 3，根據(jù)奇偶性即可得到m 的值，再計(jì)算 f ( ) 即可；
2
（2）根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合條件可得 2a +1 < a < 0 或0 < 2a +1 < a 或 2a +1 > 0 > a ，進(jìn)而即得.
【詳解】（1）由m2 - 5m + 7 =1，得m = 2 或m = 3，
當(dāng)m = 2 時(shí)， f x = x-3 是奇函數(shù)，滿足題意，
當(dāng)m = 3時(shí)， f x = x-4 是偶函數(shù)，不滿足題意，
-3
f x = x-3 1 1 所以 ， f 2 ÷ = ÷ = 8；è è 2
-3
（2）因?yàn)?f x = x 的定義域?yàn)? - ,0 U 0, + ，單調(diào)減區(qū)間為 - ,0 ， 0, + ，
由 f 2a +1 > f a ，可得 2a +1 < a < 0 或0 < 2a +1 < a 或 2a +1 > 0 > a ，
1
解得 a < -1或- < a < 0 ，
2
所以實(shí)數(shù) a
1
的取值范圍為 a < -1或- < a < 0 .
2
一、單選題
1．（2024 高一上·四川成都·期末）函數(shù) f x = x 的圖象大致為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行排除可得答案.
【詳解】因?yàn)?f -x = -x = f (x)，所以 f (x) 為偶函數(shù)，排除 A,B 選項(xiàng)；
易知當(dāng) x > 0時(shí)， f x = x 為增函數(shù)，且增加幅度較為緩和，所以 D 不正確.
故選：C.
2．（2024 3高一上·青海西寧·期末）已知點(diǎn) a , 2 在冪函數(shù) f x = a -1 xb的圖象上，則（ ）
1
A． f x = x-1 B． f x = 2x 2
1
C． f x = x3 D． f x = x3
【答案】D
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義求出 a，將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式即可求解.
【詳解】Q函數(shù) f x = a -1 xb是冪函數(shù)，
\a -1 =1 b，即 a = 2,\點(diǎn) 8,2 在冪函數(shù) f x = x 的圖象上，
b b 1
1
\8 = 2，即 = ，故 f x = x3 .3
故選：D.
1
3．（2024 高一上·內(nèi)蒙古包頭·期末）已知冪函數(shù) f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, 2 ，則 f 2 ÷等于（ ）è
1
A． 2 B C
2
． 4 ． D．2 4
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，設(shè)出解析式，代入點(diǎn)可得答案.
1
【詳解】設(shè) f (x) = xa ，因?yàn)閮绾瘮?shù) f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, 2 ，所以 a = ，2
1 2
即 f (x) = x f ，所以 ÷ = .
è 2 2
故選：C.
4 2024· · f x = m2 m．（ 海南 模擬預(yù)測(cè)）已知 + m - 5 x 為冪函數(shù)，則（ ）．
A． f x 在 - ,0 上單調(diào)遞增 B． f x 在 - ,0 上單調(diào)遞減
C． f x 在 0, + 上單調(diào)遞增 D． f x 在 0, + 上單調(diào)遞減
【答案】B
【分析】首先根據(jù)冪函數(shù)的定義求出參數(shù)m 的值，即可得到函數(shù)解析式，再分析其性質(zhì).
2 m
【詳解】因?yàn)?f x = m + m - 5 x 是冪函數(shù)，所以m2 + m - 5 =1，解得m = 2 或m = -3，
所以 f x = x2 或 f x = x-3 ，
對(duì)于 f x = x2 ，函數(shù)在 0, + 上單調(diào)遞增，在 - ,0 上單調(diào)遞減；
對(duì)于 f x = x-3 ，函數(shù)在 0, + 上單調(diào)遞減，且為奇函數(shù)，故在 - ,0 上單調(diào)遞減；
故只有 B 選項(xiàng)“ f x 在 - ,0 上單調(diào)遞減”符合這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)．
故選：B
2
5．（2024 高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）設(shè)m R ，若冪函數(shù) y = xm -2m+1定義域?yàn)?R，且其圖像關(guān)于 y 軸成軸
對(duì)稱，則 m 的值可以為（ ）
A．1 B．4 C．7 D．10
【答案】C
【分析】
根據(jù)冪函數(shù)的定義域和冪函數(shù)的奇偶性可以確定 m 的值.
【詳解】
解：由題意知m2 - 2m +1 > 0 m 1，
因?yàn)槠鋱D像關(guān)于 y 軸成軸對(duì)稱，則m = 7 .
故選：C．
x
6．（2024 高二下·陜西咸陽(yáng)· 1 期末）現(xiàn)有下列函數(shù)：① y = x3；② y = 2 5 ÷ ；③ y = 4x ；④ y = x +1；⑤
è 2
y = x -1 2 ；⑥ y = x ；⑦ y = a x (a > 1)，其中冪函數(shù)的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義逐個(gè)辨析即可
【詳解】?jī)绾瘮?shù)滿足 y = xa形式，故 y = x3， y = x 滿足條件，共 2 個(gè)
故選：B
7．（2024 高一·全國(guó)· 2課后作業(yè)）已知冪函數(shù) y = m - 3m + 3 xm+1 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，則m 等于（ ）
A．1 B．2 C．1 或 2 D．3
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)以及冪函數(shù)的對(duì)稱性確定正確答案.
【詳解】由于函數(shù)是冪函數(shù)，所以m2 - 3m + 3 =1，解得m =1或m = 2 .
當(dāng)m =1時(shí)， y = x2，是偶函數(shù)，圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，符合題意.
當(dāng)m = 2 時(shí)， y = x3，是奇函數(shù)，圖像不關(guān)于 y 軸對(duì)稱，不符合題意.
所以m 的值為1.
故選：A
m
8．（2024 高三上·上海浦東新·階段練習(xí)）如圖所示是函數(shù) y = x n （m, n均為正整數(shù)且m, n互質(zhì)）的圖象，則
（ ）
A．m, n
m
是奇數(shù)且 <1
n
m
B．m 是偶數(shù)， n 是奇數(shù)，且 <1
n
m
C．m 是偶數(shù)， n 是奇數(shù)，且 >1
n
m
D．m, n是奇數(shù)，且 >1
n
【答案】B
m m
【分析】由冪函數(shù)性質(zhì)及0 < x <1時(shí)兩圖象的位置關(guān)系可知 <1；由圖象可知 n 為偶函數(shù)，進(jìn)而確定
n y = x
m, n的特征.
m
【詳解】由冪函數(shù)性質(zhì)可知： y = x n 與 y = x 恒過(guò)點(diǎn) 1,1 ，即在第一象限的交點(diǎn)為 1,1 ，
m
當(dāng)0
m
< x <1時(shí)， x n > x ，則 <1；n
m m m m
又 y = x n 圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱，\ y = x n 為偶函數(shù)，\ -x n = n -x m = x n = n xm ，
又m, n互質(zhì)，\m為偶數(shù)， n 為奇數(shù).
故選：B.
9．（24-25 高二下·福建莆田·期中）如圖所示，圖中的曲線是冪函數(shù) y = xn 在第一象限的圖象，已知 n 取±2，
1
± 四個(gè)值，則相應(yīng)于C1，C2 ，C3，C4 的 n 依次為（ ）2
1 1 1 1
A．-2，- ， ， 2 B． 2， ，- ，-2
2 2 2 2
1 1 1 1
C．- ，-2， 2， D． 2， ，-2，-
2 2 2 2
【答案】B
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的特征即可得答案.
【詳解】解：根據(jù)冪函數(shù) y = xn 的性質(zhì)，在第一象限內(nèi)的圖象:
1
當(dāng) n > 0時(shí)， n 越大， y = xn 遞增速度越快，故C1的 n = 2，C2 的 n = ；2
1
當(dāng) n < 0時(shí)， n 越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的 n = - ，曲線C4 的 n = -2 .2
故選:B
10．（2024 高一上·安徽·期末）若冪函數(shù) f x 2= m2 -2m-2 xm -4m+1在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞減，則m =
（ ）
A．3 B．1 C．-1或 3 D．1 或-3
【答案】A
【分析】由題目條件可得 2 2 2 = 1且m 2 - 4m + 1 < 0 .
2 m2 -4m+1
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f x = m -2m-2 x 為冪函數(shù)，且在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞減，所以 2 2 2 = 1
且m 2 - 4m + 1 < 0 ，又m2 - 2m - 3 = 0，可得m = -1或m = 3 .
當(dāng)m = -1時(shí)，滿足m2 - 4m +1 > 0，舍去；
當(dāng)m = 3時(shí)，滿足m 2 - 4m + 1 < 0 .
綜上m = 3 .
故選：A.
1 1 1
-
11 3 3 3．（2024 高一上·重慶九龍坡·期末）已知 a 3= ÷ ,b
3
=
2
÷ ,c = ÷ ，則 a,b,c的大小關(guān)系為（ ）
è 5 è 5 è 5
A．a(chǎn) < b < c B．b < c < a C． c < a < b D．a(chǎn) < c < b
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可.
1 1
-
3 3 1
【詳解】b 3 5= ÷ =

÷ ，因?yàn)楹瘮?shù)5 3 y = x
3 是實(shí)數(shù)集上的增函數(shù)，
è è
1 1 1
5 3 1
所以由 > > 可得： 5 3 > 3
3
>
2 3
÷ ÷ ÷ ，即 c < a < b ，3 5 2 è 3 è 5 è 5
故選：C
1
12．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知 f x = 2 ，若 0 < a < b <1，則下列各式中正確的是（x ）
f a < f b < f 1 1 1 1 A． ÷ < f ÷ B． f ÷ < f ÷ < f b < f a
è a è b è a è b
f a < f b 1< f 1 1 1C． ÷ < f

÷ D． f ÷ < f a < f ÷ < f b
è b è a è a è b
【答案】B
【分析】確定函數(shù)在(0, + ∞)上單調(diào)遞減，得到函數(shù)值的大小關(guān)系.
【詳解】 f x 1 1 1= = x-22 在(0, + ∞)上單調(diào)遞減， 0 < a < b <1，故0 < a < b <1 < < ，x b a
1 1
故 f ÷ < fa b ÷
< f b < f a .
è è
故選：B.
2
13．（2024 2 m -4m+1高一下·遼寧本溪·階段練習(xí)）若冪函數(shù) f x = m -2m-2 x 在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞增，則
m =（ ）
A．-1 B．3 C．-1或 3 D．1 或-3
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的概念和單調(diào)性可求出結(jié)果.
2
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f x = m2 -2m-2 xm -4m+1為冪函數(shù)，且在區(qū)間 0, + 上單調(diào)遞增，
所以 2 2 2 = 1且m2 - 4m +1 > 0，
由m2 - 2m - 3 = 0，得m = -1或m = 3，
當(dāng)m = -1時(shí)，m2 - 4m +1 > 0，滿足題意；
當(dāng)m = 3時(shí)，足m 2 - 4m + 1 < 0 ，不符合題意.
綜上m = -1.
故選：A.
2
14 2024 · · f x = n2 + 2n - 2 × xn -2n．（ 高一上 浙江杭州 期末）已知冪函數(shù) 在 0, + 上是減函數(shù)，則 n 的值為
（ ）
A．-3 B．1 C．3 D．1 或-3
【答案】B
【分析】先由函數(shù)是冪函數(shù)，得到 n = -3或 n =1，再分別討論，是否符合在 0, + 上是減函數(shù)的條件.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f x 是冪函數(shù)，則 n2 + 2n - 2 =1，
所以 n = -3或 n =1 .
當(dāng) n = -3時(shí)， f x = x15 在 0, + 上是增函數(shù)，不合題意.
n =1 f x = x-1當(dāng) 時(shí) 在 0, + 上是減函數(shù)，成立.
故選：B.
15．（2024 高一上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知冪函數(shù) f x 的圖像過(guò)點(diǎn) 64,4 ，則 f 8 的值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，得到冪函數(shù)的解析式，然后代入計(jì)算即可得到結(jié)果.
a a 1 1
【詳解】根據(jù)題意，設(shè)冪函數(shù)為 f x = x ，則可得 4 = 64 a = ，所以
3 f x = x
3 ，
1
即 f 8 = 83 = 2
故選:A
16．（2024 高一上·云南德宏·期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)又是奇函數(shù)的是（ ）
A． y = 3 x B． y
1 1
= 2 C． y = 2x
2 D． y = x +
x x
【答案】A
【分析】利用冪函數(shù)及函數(shù)的奇偶性的定義，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.
1
【詳解】對(duì)于 A，由冪函數(shù)的定義知 y = 3 x = x3 是冪函數(shù)，由題意可知 f (x) 的定義域?yàn)镽 ,
f (-x) = 3 -x = - 3 x = - f (x)，所以 f (x) 是奇函數(shù)，符合題意；故 A 正確；
1 -2
對(duì)于 B，由冪函數(shù)的定義知 y = 2 = x 是冪函數(shù)，由題意可知 f (x) 的定義域?yàn)? - ,0 U 0, + ,x
f ( x) 1 1- = 2 = 2 = f (x) x ，所以 f (x)-x 是偶函數(shù)，不符合題意；故 B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，由冪函數(shù)的定義知 y = 2x2 不是冪函數(shù)，不符合題意；故 C 錯(cuò)誤；
對(duì)于 D，由冪函數(shù)的定義知 y = x
1
+ 不是冪函數(shù)，不符合題意；故 D 錯(cuò)誤；
x
故選：A.
17．（2024 高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，下列 3 個(gè)冪函數(shù)的圖象，則其圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)可能是（ ）
-1 1 1 1 1A．① y = x ，② -1y = x 2 ，③ y = x3 B．① y = x ，② y = x3 ，③ y = x 2
1 1 1 1
C．① -1 -1y = x3 ，② y = x 2 ，③ y = x D．① y = x3 ，② y = x ，③ y = x 2
【答案】A
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，逐個(gè)判定，即可求解.
-1 1
【詳解】由函數(shù) y = x = 是反比例函數(shù)，其對(duì)應(yīng)圖象為①；
x
1
函數(shù) y = x 2 = x 的定義域?yàn)?(0, + )，應(yīng)為圖②；
1
因?yàn)?y = x3 的定義域?yàn)镽 且為奇函數(shù)，故應(yīng)為圖③.
故選：A.
18．（2024 高一下·內(nèi)蒙古呼和浩特·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù) y = f x 的圖象過(guò) 4,32 點(diǎn)，則 f 2 =（ ）．
A． 2 2 B．4 C．4 2 D．8
【答案】C
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義設(shè)函數(shù) y = f x 的解析式，再代入已知點(diǎn)求出函數(shù)解析式，再求 f 2 值即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y = f x 為冪函數(shù)，所以可設(shè) f（x）＝xa，
因?yàn)?y = f x 圖象過(guò) 4,32 ，
所以32 = 4a ，
5 5
所以 a = ，即
2 f (x) = x
2 ，
5
所以 f 2 = 22 = 4 2
故選：C
二、多選題
1
19．（2024 高一下· 2 m山西忻州·開(kāi)學(xué)考試）已知冪函數(shù) f x = m - 3 x 的圖象過(guò)點(diǎn) 2, ÷ ，則（ ）
è 4
A． f x 是偶函數(shù) B． f x 是奇函數(shù)
C． f x 在 - ,0 上為減函數(shù) D． f x 在 0, + 上為減函數(shù)
【答案】AD
2, 1 【分析】利用冪函數(shù)定義即過(guò)點(diǎn) ÷ 可得m = -2，再根據(jù)函數(shù)奇偶性定義即可判斷 f x 是偶函數(shù)，由冪
è 4
函數(shù)單調(diào)性即可判斷 D 正確.
【詳解】根據(jù)冪函數(shù)定義可得m2 - 3 =1，解得m = ±2；
2, 1 1又因?yàn)閳D象過(guò)點(diǎn) ÷ ，所以可得m = -2，即 f x = x-2 = 2 ；è 4 x
1 1
易知函數(shù) f x 的定義域?yàn)? 0, + - ,0 ，且滿足 f -x = 2 = = f x -x x2 ，
所以 f x 是偶函數(shù)，故 A 正確，B 錯(cuò)誤；
由冪函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng) x 0, + -2時(shí)， f x = x 為單調(diào)遞減，再根據(jù)偶函數(shù)性質(zhì)可得 f x 在 - ,0 上為增
函數(shù)；故 C 錯(cuò)誤，D 正確.
故選：AD
20．（2024 高一上·寧夏銀川·期末）冪函數(shù) f x = m2 + m -1 x-m-1， ∈ N ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．m =1 B．函數(shù) f x 是偶函數(shù)
C． f -2 < f 3 D．函數(shù) f x 的值域?yàn)? 0, +
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)，求得 m 的值，判斷 A；根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可判斷 B；根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可
判斷 C；根據(jù)函數(shù)解析式可求函數(shù)值域，判斷 D.
2 -m-1
【詳解】因?yàn)?f x = m + m -1 x 是冪函數(shù)，所以m2 + m -1 =1，
解得m = -2或m =1，又因?yàn)? ∈ N ，故m =1，A 正確；
f x = x-2則 ，定義域?yàn)閧x | x 0}，滿足 f -x = (-x)-2 = f (x)，故 f x 是偶函數(shù)，B 正確；
f x = x-2 為偶函數(shù)，在 (0, + )上單調(diào)遞減，故 f -2 = f (2) > f 3 ，C 錯(cuò)誤；
函數(shù) f x = x-2 1= 2 的值域?yàn)? 0, + ，D 正確，x
故選：ABD
21．（2024 高一上·重慶長(zhǎng)壽·期末）下列函數(shù)既是冪函數(shù)，又在 - ,0 上單調(diào)遞減的是（ ）
A． y = -x B． y = x-2
C． y = x-1 D． y = x2
【答案】CD
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，逐一判斷每個(gè)函數(shù)是否滿足題目中的條件即可.
【詳解】對(duì)于 A，函數(shù) y = -x 在 - ,0 上單調(diào)遞減但不是冪函數(shù)，故選項(xiàng) A 錯(cuò)誤；
對(duì)于 B，函數(shù) y = x-2 是冪函數(shù)，在 (- ,0)上單調(diào)遞增，故選項(xiàng) B 錯(cuò)誤；
對(duì)于 C，函數(shù) y = x-1是冪函數(shù)且在 - ,0 上單調(diào)遞減，故選項(xiàng) C 正確；
對(duì)于 D，函數(shù) y = x2是冪函數(shù)且在 - ,0 上單調(diào)遞減，故選項(xiàng) D 正確，
故選：CD.
22．（2024 高一上·云南紅河·期末）已知冪函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 8,2 2 ，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．函數(shù) f x 為增函數(shù)
B．函數(shù) f x 為偶函數(shù)
C．當(dāng) x 4時(shí)， f x 2
f x
D 0 < x < x 1
+ f x2 f x + x ．當(dāng) 1 2 時(shí)， < 1 22 ÷è 2
【答案】ACD
【分析】根據(jù)給定條件，求出冪函數(shù) f x 的解析式，再逐項(xiàng)分析判斷作答.
a a 1 1
【詳解】設(shè)冪函數(shù) f x = x ，則 f 8 = 8 = 2 2 ，解得a = ，所以
2 f (x) = x
2 ，
對(duì)于 A， f x 的定義域?yàn)閇0,+ )， f x 在[0,+ )上單調(diào)遞增，A 正確；
對(duì)于 B，因?yàn)?f x 的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù) f x 不是偶函數(shù)，B 錯(cuò)誤；
1
對(duì)于 C，當(dāng) x 4時(shí)， f x f 4 = 42 = 2，C 正確；
對(duì)于 D，當(dāng)0 < x < x f (x時(shí)，[ 1) + f (x2 )]2 [ f ( x1 + x- 2
x
)]2 = 1
+ x2 + 2 x1x2 x1 + x2 2 x x - x - x
1 2 - = 1 2 1 2 =
2 2 4 2 4
( x - x )2
- 1 2 < 0，
4
f x + f x
又 f (x) 0
1 2 < f x1 + x2 ，所以 ÷ ，D 正確．2 è 2
故選：ACD
三、填空題
7+3t-2t2
23．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）冪函數(shù) f x = t3 - t +1 x 5 是偶函數(shù)，且在 (0, + )上為增函數(shù)，則函數(shù)
解析式為 ．
2 8
【答案】 f (x) = x 5 或 f (x) = x5
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)得到關(guān)于 t的不等式組，解得即可求出 t的值.
7+3t-2t2
【詳解】Q f x = t3 - t +1 x 5 是冪函數(shù)，也是偶函數(shù)，
且在 (0, + )上為增函數(shù)，
ìt3 - t +1 =1
\í 2 27 + 3t 2 - 2t 2
且
0 7 + 3t - 2t
為偶數(shù)，
>
解得 t =1或 t = -1，
8
當(dāng) t =1時(shí)， f x = x5 ，
2
當(dāng) t = -1時(shí)， f x = x 5 .
2 8
故答案為： f (x) = x 5 或 f (x) = x5
24．（2024 高一上·寧夏吳忠·期中）若 f x f 2 1= f 1 是冪函數(shù)，且 ，則
4 3 ÷
=
è
【答案】9
【分析】設(shè)出冪函數(shù)解析式，根據(jù) f 2 1 1= 解出參數(shù)，將 x = 代入計(jì)算即可.
4 3
a 1
【詳解】解：因?yàn)?f x 是冪函數(shù)，記 f x = x ，因?yàn)?f 2 = ，
4
2a 1= -2所以 ，解得 a = -2 ，故 f x = x ，
4
-2
f 1 = 1 所以 ÷ ÷ = 9 .
è 3 è 3
故答案為：9
25．（2024 高一下·江蘇南京·階段練習(xí)）請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)滿足條件①和②的冪函數(shù) f (x) ，條件：① f (x) 是偶函
數(shù)；② f (x) 為 0, + 上的減函數(shù)．則 f (x) = ．
【答案】 x-2 (答案不唯一)
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
a
【詳解】設(shè) f x = x ，根據(jù)冪函數(shù)為偶函數(shù)，則a 為偶數(shù)，又 f (x) 為 0, + 上單調(diào)遞減，故a < 0 ，故可
取 f (x) = x-2 ，
故答案為： x-2 （答案不唯一）
26．（2024 高一上·廣東肇慶·期中）已知冪函數(shù) f x 的圖象過(guò)點(diǎn) 3,3 和 m,2 ，則實(shí)數(shù) m＝ .
【答案】2
a
【分析】由冪函數(shù)的定義可設(shè) f x = x ，代入運(yùn)算即可得解.
a
【詳解】由題意，設(shè) f x = x ，
因?yàn)閮绾瘮?shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) 3,3 ，
所以 f 3 = 3a = 3，解得a =1，
所以 f x = x .
又冪函數(shù) f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) m,2 ，
所以 f (m) = m = 2 .
故答案為： 2 .
2
27．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）冪函數(shù) y = xn +n+1 n N 的圖像一定經(jīng)過(guò)第 象限
【答案】一、三
【分析】由函數(shù)的奇偶性及冪函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)可得.
【詳解】因?yàn)?n 為自然數(shù)，所以 n(n +1)為偶數(shù)，所以 n2 +n+1為奇數(shù)，
2
所以 y = xn +n+1 n N 是奇函數(shù)，
且函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)O(0,0) 和點(diǎn) (1,1) 并且在(0, + ∞)單調(diào)遞增，
2
所以冪函數(shù) y = xn +n+1 n N 的圖像一定經(jīng)過(guò)第一、三象限．
故答案為：一、三
28．（2024 高一上·江蘇徐州·階段練習(xí)）若冪函數(shù) f x 過(guò)點(diǎn) 4，2 ，則滿足不等式 f 2 - a > f a -1 的實(shí)數(shù) a
的取值范圍是 ．
é 3
【答案】 ê1，2 ÷
【分析】利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù) f x 的解析式，再利用函數(shù)定義域和單調(diào)性求不等式的解集．
【詳解】設(shè)冪函數(shù) y = f x = xa ，其圖像過(guò)點(diǎn) 4，2 ，則 4a 1= 2，解得a = ；2
1
∴ f x = x 2 = x ，函數(shù)定義域?yàn)?0, + ，在 0, + 上單調(diào)遞增，
不等式 f 2 - a > f a -1 3等價(jià)于 2 - a > a -1 0，解得1 a < ；
2
則實(shí)數(shù) a
é
的取值范圍是 ê1,
3
÷ .
2
é 3
故答案為： ê1, ÷ 2
29．（2024 2 m高一上·陜西咸陽(yáng)·期末）已知冪函數(shù) f x = m - 2m - 2 x 滿足 f 2 < f 3 ，則m = .
【答案】3
【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義和單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
2
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f x = m - 2m - 2 xm 為冪函數(shù)，
則 2 2 2 = 1，解得m = 3或m = -1，
又因?yàn)?f 2 < f 3 ，所以m = 3，
故答案為：3 .
2
30．（2024·寧夏銀川·二模）已知函數(shù) f x = m2 - m -1 xm -2m-2 是冪函數(shù)，且為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)m = ．
【答案】2
【分析】由函數(shù) f x 是冪函數(shù)，則m2 - m -1 =1，解出m 的值，再驗(yàn)證函數(shù)是否為偶函數(shù)，得出答案.
【詳解】由函數(shù) f x 2= m2 - m -1 xm -2m-2 是冪函數(shù)，則m2 - m -1 =1，得m = 2 或m = -1，
-2 1 f x 1 1當(dāng) m = 2 時(shí)，函數(shù) f x = x = ，其定義域?yàn)?x | x 0 ， - = 2 = 2 = f2 x f x ( x) x ，則 是偶函數(shù)，x -
滿足條件；
當(dāng)m = -1時(shí)，函數(shù) f x = x是奇函數(shù)，不合題意.
故答案為：2.
31．（2024 2 m高一上·遼寧·期末）已知冪函數(shù) f x = m + 3m +1 x 在第一象限單調(diào)遞減，則 f m = .
1
【答案】-
27
ìm2 + 3m +1 =1
【分析】根據(jù)題意得 í ，即可解決.
m < 0
2 m
【詳解】由題知，冪函數(shù) f x = m + 3m +1 x 在第一象限單調(diào)遞減，
ìm2 + 3m +1 =1
所以 í ，解得m = 0（舍去），或m = -3，
m < 0
f x = x-3所以 ，
1
所以 f -3 = - ，
27
1
故答案為：-
27
32 2024 · · f x = m2 + m -1 xm．（ 高三上 河南許昌 期末）已知函數(shù) 是冪函數(shù)，且在 0, + 上是增函數(shù)，則實(shí)
數(shù)m 的值為 ．
【答案】1
【分析】先由冪函數(shù)的定義可得m2 + m -1 =1，求出m 的值，再由 f x 在 0, + 上是增函數(shù)，可得答案.
2 m
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f x = m + m -1 x 是冪函數(shù)，則m2 + m -1 =1，解得m = -2或m =1，
又因?yàn)?f x 在 0, + 上是增函數(shù)，所以m > 0，所以m =1.
故答案為：1
33．（2024 高三下·上海楊浦·階段練習(xí)）已知冪函數(shù) y = f (x) 的圖像過(guò)點(diǎn) (9,3)，則 f (2) 的值為 ．
【答案】 2
1
【分析】設(shè)冪函數(shù)為 f (x) = xa ，代入點(diǎn) (9,3)計(jì)算，從而得函數(shù)解析式 f (x) = x 2 ，再代入 x = 2計(jì)算即可.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)為 f (x) = xa ，由題意，9a = 3，
1
解得 a
1
= ，所以冪函數(shù)解析式為
2 f (x) = x
2 ，
1
所以 f (2) = 22 = 2 .
故答案為： 2
34．（2024 高一上·江西贛州·期中）冪函數(shù) ( ) = ( 2 2 2) 2 1在 0, + 上為減函數(shù)，則m 的值為 .
【答案】-1
【分析】由函數(shù) f x 是冪函數(shù)，列方程求出m 的值，再驗(yàn)證是否滿足題意.
【詳解】由函數(shù) ( ) = ( 2 2 2) 2 1是冪函數(shù)，則 2 2 2 = 1，
解得m = -1或m = 3；
-3
當(dāng)m = -1時(shí)， f x = x ，在 0, + 上為減函數(shù)，滿足題意；
當(dāng)m = 3時(shí)， f x = x5 ，在 0, + 上為增函數(shù)，不合題意.
故答案為：-1.
1
35．（2024 2高三下·上海·階段練習(xí)）已知函數(shù) f x = x3 ，則關(guān)于 t的表達(dá)式 f t - 2t + f 2t 2 -1 < 0的解集
為 .
1- ,1 【答案】 3 ÷è
【分析】利用冪函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求解.
【詳解】由題意可知， f x 的定義域?yàn)? - , + ，
1 1
所以 f -x = -x 3 = -x 3 = - f x ，
所以函數(shù) f x 是奇函數(shù)，
1
由冪函數(shù)的性質(zhì)知，函數(shù) f x = x3 在函數(shù) - , + 上單調(diào)遞增，
由 f t 2 - 2t + f 2t 2 -1 < 0 2，得 f t - 2t < - f 2t 2 -1 ，即 f t 2 - 2t < f 1- 2t 2 ，
所以 t 2
1
- 2t <1- 2t 2 ，即3t 2 - 2t -1< 0，解得- < t <1，3
2
所以關(guān)于 t的表達(dá)式 f t - 2t 1+ f 2t 2 -1 < 0 的解集為 - ,1 ÷ .
è 3
1
故答案為： - ,13 ÷
.
è
1
36．（2024 10高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) f (x) 1= ÷ ，若 ( 1) < (8 2 )，則a的取值范圍是 .
è x
【答案】 (3, 4)
【分析】根據(jù)題意得到冪函數(shù) f x 的定義域和單調(diào)性，得到不等式 ( 1) < (8 2 )的等價(jià)不等式組，即
可求解.
1
【詳解】由冪函數(shù) f (x) 1=
10 1 1-
x ÷
= = x 10 ，
è 10 x
可得函數(shù) f x 的定義域?yàn)?(0, + )，且是遞減函數(shù)，
ìa -1 > 8 - 2a

因?yàn)?( 1) < (8 2 )，可得 ía -1 > 0 ，解得3 < a < 4，

8 - 2a > 0
即實(shí)數(shù) a的取值范圍為 (3, 4) .
故答案為： (3, 4)
37．（2024 高一上·浙江寧波·期中）已知冪函數(shù) f (x) 過(guò)點(diǎn) (2, 2)，則滿足 f (2 - a) > f (a -1)的實(shí)數(shù) a的取值
范圍是 ．
【答案】[1,
3)
2
1
【詳解】可得冪函數(shù) f (x) = x 2 ，且函數(shù)在其定義域[0,+ )上單調(diào)遞增．
ì 2 - a 0
因?yàn)?f (2 - a) > f (a -1)

，所以 í a -1 0 ，解得1 a
3
< ，
2
2 - a > a -1
3
所以實(shí)數(shù) a 的取值范圍是[1, )．
2
3
故答案為：[1, )
2
2
38 2 m -6m+6．（2024高二下·陜西寶雞·期末）冪函數(shù) f x = m - 3m + 3 x 在 0, + 上單調(diào)遞減，則m 的值為 ．
【答案】2
【分析】利用冪函數(shù)定義求出 m 值，再借助冪函數(shù)單調(diào)性即可判斷作答.
f x = m2 2- 3m + 3 xm -6m+6【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù) 是冪函數(shù)，
則有m2-3m+3 =1，解得m =1或m = 2 ，
當(dāng)m =1時(shí)，函數(shù) f (x) = x在 0,+ 上單調(diào)遞增，不符合題意，
當(dāng)m = 2 時(shí)，函數(shù) f (x) = x-2 在 0,+ 上單調(diào)遞減，符合題意.
所以m 的值為m = 2
故答案為： 2
四、解答題
1
39．（2024 高一上·四川眉山·期末）已知冪函數(shù) y = f x 的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) , 2÷．
è 2
(1)求 f x 的解析式，并指明函數(shù) f x 的定義域；
(2)設(shè)函數(shù) g x = x + f x ，用單調(diào)性的定義證明 g x 在 1, + 單調(diào)遞增．
1
【答案】(1) f x = ， - ,0 U 0, +
x
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）由待定系數(shù)法可得解析式，根據(jù)解析式有意義可得定義域；
（2）按照步驟：取值，作差，定號(hào)，下結(jié)論證明即可.
a
【詳解】（1）設(shè) f x = xa 1 ，則 ÷ = 2 ，\a = -1，
è 2
則 f x 1= ，
x
f x 的定義域是 - ,0 U 0, + ；
1
（2）由（1）知 g x = x + ，任取 x1 > x2 >1，則x
g x1 - g x x
1 1 x1 - x2 x1x2 -1
2 = 1 - x2 + - = x - x - = x - x x 1 21 x2 x x 1 2
，
1 2 x1x2
Q x1 > x2 >1，\ x1 - x2 > 0 ， x1x2 >1， x1x2 -1 > 0，
\g x1 - g x2 > 0，即 g x1 > g x2 ，
\ g x 在 1, + 上單調(diào)遞增．
40．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）比較下列各組數(shù)的大小：
(1) -2 -3， -2.5 -3 ；
7
7
(2) - 1 8-8 8 ，- ÷ ；
è 9
3 3 1
(3) 1 4 ， 1 4 1 4 2 ÷ ÷
， ÷ ．
è è 5 è 2
【答案】(1) -2 -3 < -2.5 -3
7
7
(2) - 8-8 8 1< - 9 ֏
3 3 1
(3) 1 4 1 4 1 4 < <
è 5 ÷ 2 ÷ è è 2 ÷
【分析】（1）利用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較大小.
（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)進(jìn)行比較大小.
（3）利用冪函數(shù)的單調(diào)性、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行大小比較.
【詳解】（1
-3 -3
）因?yàn)閮绾瘮?shù) y = x-3在 - ,0 上單調(diào)遞減，且-2 > -2.5，所以 -2 < -2.5 ．
7 7 7
7 7 0, + - 1 8 1 12 > 1 8 1 8（ ）因?yàn)閮绾瘮?shù) y = x8 在 上為增函數(shù)，且-8 8 = - ÷ ， ，所以8 9 ÷ > ÷ ，所以è 8 è 8 è 9
7 7 7
1 8 1 8 7- 8- ÷ < - ÷ ，所以-8 8
1
< -
8 9 9 ÷
．
è è è
3 1 3 1
（3） 1 4 1 4 1 4 1 4
1 1 1 1
÷ = ÷ ， ÷ = ÷ ， < < ，因?yàn)閮绾瘮?shù) y = x 4 在 0, + 上單調(diào)遞增，所以
è 2 è 8 è 5 è125 125 8 2
3 3 1
1 4 1 4< < 1
4
5 ÷ ÷ ÷
．
è è 2 è 2
2 2
41．（2024 高一·全國(guó)·課后作業(yè)）求不等式 x -1 3 > 3x +1 3 的解.
【答案】 -1,0
【分析】將不等式化為二次不等式求解，得出答案.
2 2
【詳解】解： 2 2(x -1)3 > (3x +1)3 等價(jià)于 3 (x -1) > 3 (3x +1) ，
則 (x -1)2 > (3x +1)2 ，即 x2 + x < 0，
解得-1 < x < 0，
故答案為： -1,0 ．
42．（2024 高三·全國(guó)·課后作業(yè)）已知冪函數(shù) f x = xm2 -2m-3（m 為正整數(shù)）的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，且在 0, +
m m
上是嚴(yán)格減函數(shù)，求滿足 a +1 - > 3- 2a -3 3 的實(shí)數(shù) a 的取值范圍．
2 3
【答案】 -1, ÷ U , + 3 ÷è è 2
1
【分析】根據(jù)函數(shù)為冪函數(shù)以及函數(shù)的性質(zhì)，可確定參數(shù) m 的取值，結(jié)合冪函數(shù) -y = x 3 的單調(diào)性，分類討
論求解不等式，可得答案.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) f x 在 0, + 上是嚴(yán)格減函數(shù)，所以m2 - 2m - 3 < 0 ，解得 -1 < m < 3．
由 m 為正整數(shù)，則m =1或m = 2 ,
又函數(shù) f x 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，得 f x 是偶函數(shù)，
而當(dāng)m = 2 時(shí)， 22 - 2 2 - 3 = -3， f x = x-3 為奇函數(shù)，不符題意，
當(dāng)m =1時(shí)，12 - 2 1- 3 = -4， f x = x-4 為偶函數(shù)，于是m =1．
1
因?yàn)?-y = x 3 為奇函數(shù)，在 - ,0 與 0, + 上均為嚴(yán)格減函數(shù)，
1 1
所以 a +1 - > 3- 2a -3 3 等價(jià)于 a +1< 3- 2a < 0或3- 2a > a +1 > 0 或 a +1 > 0 > 3- 2a ，
2 3 2 3
解得-1 < a < 或 a > ，即 a -1, ,+ .
3 2 3 ÷ ÷è è 2
43 2．（2024 高一上·福建龍巖·期末）已知冪函數(shù) f (x) = 2m - 9m +10 xm-1為偶函數(shù)，
g(x) = f (x) k+ (k R)．
x
(1)若 g(2) = 5，求 k ；
1
(2)已知 k 2，若關(guān)于 x 的不等式 g(x) - k 2 > 0 在[1,+ )上恒成立，求 k 的取值范圍．
2
【答案】(1) k = 2
(2)1- 3 < k 2
【分析】（1）先利用冪函數(shù)的定義及性質(zhì)求出 f (x) ，再利用 g(2) = 5列方程求出 k ；
é
（2）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 êx
2 k 1+ ù > k 2ú ，構(gòu)造函數(shù) h x = x2
k
+
x 2 ，利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷
h x 的單調(diào)性，
min x
根據(jù)單調(diào)性可求得 h x min ，進(jìn)而可得 k 的取值范圍
2 m-1
【詳解】（1）對(duì)于冪函數(shù) f (x) = 2m - 9m +10 x ，得 2m2 - 9m +10 =1，
m 3解得 = 或m = 3，
2
3 1
又當(dāng)m = 時(shí)， f (x) = x 2 不為偶函數(shù)，2
\m = 3，
\ f (x) = x2 ，
k
\ g(x) = x2 + ，
x
\ g(2) 4 k= + = 5，
2
解得 k = 2；
（2）關(guān)于 x 的不等式 g(x)
1
- k 2 > 0 在[1,+ )上恒成立，
2
x2 k 1即 + - k 2 > 0在[1,+ )上恒成立，
x 2
éx2 k+ ù 1 2即
ê x ú
> k ，
min 2
k
先證明 h x = x2 + 在[1,+ )上單調(diào)遞增：
x
任取 x1 > x2 >1，
x + x x x - k 則 h x1 - h x2 x2
k x2 k = 1 + - 2 + ÷ = x1 - x2 1 2 1 2 ÷，x1 è x2 è x1x2
Q x1 > x2 >1，
\ x1 - x2 > 0 ， x1 + x2 x1x2 > 2，又 k 2，
\ x1 + x2 x1x2 - k > 0，
\h x1 - h x2 > 0，即 h x1 > h x2 ，
故 h x k= x2 + 在[1,+ )上單調(diào)遞增，
x
\h x = h 1 =1+ kmin ，
1
\1+ k > k 2 ，又 k 2，
2
解得1- 3 < k 2 .
44 2024 · · f x = m2 + m - 5 xm+1．（ 高一下 四川廣安 階段練習(xí)）已知冪函數(shù) m R 在 0, + 上單調(diào)遞增．
(1)求 m 的值及函數(shù) f x 的解析式；
(2) 2若函數(shù) g x = - 3 é f x ù + 2ax +1- a 在 0,2 上的最大值為 3，求實(shí)數(shù) a 的值．
3
【答案】(1) m = 2 ， f x = x ；
(2) a = ±2 .
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)及其區(qū)間單調(diào)性列方程、不等式求參數(shù)，進(jìn)而寫(xiě)出解析式；
2
（2）由（1）及已知得 g x = -x + 2ax +1- a，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)及其區(qū)間最值，討論對(duì)稱軸與區(qū)間位置關(guān)
系求參數(shù)值.
1 f x = m2 + m - 5 xm+1【詳解】（ ）冪函數(shù) m R 在 0, + 上單調(diào)遞增，
ìm2 + m - 5 =1 3
故 í ，解得m = 2 ，故 f x = x ；
m +1 > 0
3
（2）由（1）知： f x = x ，
2
所以 g x = - 3 é f x ù + 2ax +1- a = -x2 + 2ax +1- a，
所以函數(shù) g x 的圖象為開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為直線 x = a；
由于 g x 在 0,2 上的最大值為 3，
①當(dāng) a 2時(shí)， g x 在 0,2 上單調(diào)遞增，故 g x = g 2 = 3a - 3 = 3max ，解得 a = 2；
②當(dāng) a 0時(shí)， g x 在 0,2 上單調(diào)遞減，故 g x = gmax 0 = 1- a = 3，解得 a = -2 ；
③當(dāng)0 < a < 2 2時(shí)， g x 在 0,a 上單調(diào)遞增，在 a, 2 上單調(diào)遞減，故 g x = g a = a +1- a = 3max ，解得
a = -1（舍去）或 a = 2（舍去）．
綜上所述， a = ±2 ．
45．（2024 高一上·遼寧遼陽(yáng)·期末）已知冪函數(shù) f x = a2 + a - 5 xa 為奇函數(shù)．
(1)求 f x 的解析式；
(2)若正數(shù)m, n
9 1
滿足3m +12n + 5a = 0，若不等式 + b恒成立．求b 的最大值．
m n
【答案】(1) f x = x-3
(2) 5
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)定義可構(gòu)造方程求得 a的值，結(jié)合奇偶性可得結(jié)果；
9 1 1 m 4n 9 1+ = + + 9 1（2）由 ÷ ，利用基本不等式可求得 + 的最小值，由此可得結(jié)果.m n 5 è m n m n
【詳解】（1）Q f x 為冪函數(shù)，\a2 + a - 5 =1，解得： a = 2或 a = -3；
當(dāng) a = 2時(shí)， f x = x2 ，則 f -x = x2 = f x ，即 f x 為偶函數(shù)，不合題意，舍去；
當(dāng) a = -3 f x = x-3時(shí)， ，則 f -x = -x-3 = - f x ，即 f x 為奇函數(shù)，符合題意；
f x = x-3綜上所述： .
（2）由（1）得：3m +12n = -5a =15，即m + 4n = 5，又m > 0， n > 0，
9 1 1 9 1 1 m 36n 1 m 36n \ + = m + 4n + ÷ = 13+ +
13 + 2 × 1 13 12 5 m 36n÷ ÷÷ = + = （當(dāng)且僅當(dāng) = ，m n 5 è m n 5 è n m 5 è n m 5 n m
1
即m = 3， n = 時(shí)取等號(hào)），
2
\bmax = 5 .
46．（2024 2 m-1高一上·山東棗莊·期末）已知冪函數(shù) f x = m - m - 5 x 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱.
(1)求 m 的值;
(2)若函數(shù) g(x) = f (x) - 4 f (x) ，求 g x 的單調(diào)遞增區(qū)間.
【答案】(1) m = 3
(2) (-2,0), (2, + )
【分析】（1）由題知m2 - m - 5 =1，進(jìn)而解方程并根據(jù)圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱求解即可；
2 1 g x = x2（ ）由（ ）知 - 4 | x |，進(jìn)而分 x 0 ， x < 0 兩種情況討論求解即可；
【詳解】（1）解:由題意知m2 - m - 5 =1，解得m = -2，或m = 3．
又因?yàn)?f (x) 的圖像關(guān)于 y 軸對(duì)稱，所以 f (x) 為偶函數(shù)，從而m = 3．
2
所以， f x = x .
（2）解：由（1）知， g(x) = f (x) - 4 f (x) = x2 - 4 x2 = x2 - 4 | x |，
當(dāng) x 0 時(shí)， g(x) = x2 - 4 | x |= x2 - 4x，對(duì)稱軸為 x = 2，
所以 g(x)在 0,2 上單調(diào)遞減，在 2, + 上單調(diào)遞增．
當(dāng) x < 0 時(shí)， g(x) = x2 - 4 | x |= x2 + 4x，對(duì)稱軸為 x = -2，
所以 g(x)在 (- , -2)上單調(diào)遞減，在 (-2,0) 上單調(diào)遞增．
所以， g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為 (-2,0), (2, + )．

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