資源簡介

4.1 指數 5 題型分類
一、根式的定義
(1)a 的 n 次方根的定義：一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N*.
(2)a 的 n 次方根的表示
①當 n 是奇數時，a 的 n 次方根表示為n a，a∈R；
②當 n 是偶數時，a 的 n 次方根表示為±n a，其中n a表示 a 的正的 n 次方根，－n a表示 a 的負的 n 次
方根，a>0；
③負數沒有偶次方根；
④0 的任何次方根都是 0，記作 n 0＝0.
(3)根式：式子n a叫做根式，這里 n 叫做根指數，a 叫做被開方數.
二、根式的性質
(1)(n a)n＝a.
(2)n an {a n 為奇數 ，＝ |a| n 為偶數 .
注：n an與(n a)n的區別
(1)n an是實數 an 的 n 次方根，是一個恒有意義的式子，不受 n 的奇偶限制，但這個式子的值受 n 的奇
偶限制．其算法是對 a 先乘方，再開方(都是 n 次)，結果不一定等于 a，當 n 為奇數時，n an＝a；當 n 為偶
數時，n an＝|a| {a，a ≥ 0，＝ －a，a < 0.
(2)(n a)n 是實數 a 的 n 次方根的 n 次冪，其中實數 a 的取值范圍由 n 的奇偶決定．若 n 為偶數，則 a≥0；
若 n 為奇數，則 a∈R.其算法是對 a 先開方，后乘方(都是 n 次)，結果恒等于 a.
三、分數指數冪的意義
m m
- 1
(1) a n ＝n 1am(a>0，m，n∈N*，n>1)， a n ＝ m ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).n m
a n
a
(2)0 的正分數指數冪等于 0,0 的負分數指數冪沒有意義.
注：分數指數冪的理解
m m
(1)分數指數冪是指數概念的又一推廣，分數指數冪 a n 不可理解為 個 a 相乘，它是根式的一種新的寫
n
法．在這樣的規定下，根式與分數指數冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．
m
(2)把根式 n am化成分數指數冪的形式時，不要輕易對 進行約分．
n
2
(3)在保證相應的根式有意義的前提下，負數也存在分數指數冪，如 -5 3 = 5 -5 2 有意義，但
3
-5 4 = 4 -5 3 就沒有意義．
四、有理數指數冪的運算性質
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
（一）
n 次方根的概念問題
1、n 次方根的個數及符號的確定
(1)正數的偶次方根有兩個且互為相反數，任意實數的奇次方根只有一個．
(2)根式n a的符號由根指數 n 的奇偶及被開方數 a 的符號共同確定：
①當 n 為偶數時，n a為非負實數；
②當 n 為奇數時，n a的符號與 a 的符號一致．
2、判斷關于 n 次方根的結論應關注兩點
(1)n 的奇偶性決定了 n 次方根的個數；
(2)n 為奇數時，a 的正負決定著 n 次方根的符號．　
題型 1：n 次方根的概念
1-1．（2024 高一·江蘇·假期作業）16的平方根為 ，-27的5次方根為 ；已知 x7 = 6，則 x = ；
【答案】 ±4 5 -27 7 6
【分析】利用根式的定義求解即可.
【詳解】Q ±4 2 =16，\16 的平方根為±4 .
-27的5次方根為 5 -27 .
Q x7 = 6，\ x = 7 6 .
故答案為：±4； 5 -27 ； 7 6 .
1-2．（2024 高一上·上海虹口·期中）625 的四次方根為 .
【答案】±5
【解析】利用一個數的 n 次方根的定義求解即可.
【詳解】因為 ±5 4 = 625，所以 625 的四次方根為±5 .
故答案為：±5 .
1-3．（2024 高一·全國·課后作業）81 的 4 次方根是 ．
【答案】 ±3
【分析】利用方根的意義，列式計算作答.
【詳解】81 的 4 次方根是± 4 81 = ± 4 34 = ±3 .
故答案為： ±3
1-4．（2024 高一上·甘肅臨夏·階段練習）二次根式 x2 = -x成立的條件是（ ）
A． x > 0 B． x 0 C． x 0 D． x 是任意實數
【答案】C
【分析】根據根式的性質和絕對值的意義可得結果.
【詳解】因為 x2 =| x |= -x，
所以 x 0 .
故選：C.
1-5．（2024 高一·江蘇·假期作業） a是實數，則下列式子中可能沒有意義的是（　　）
A． 4 a2 B． 5 a
C． 7 -a D． 8 a
【答案】D
【分析】利用根式有意義的條件即可判斷.
【詳解】當 a < 0時， a的偶次方根無意義.
故選：D
1-6．（2024 高三· 2全國·專題練習）已知 x 3 y -1 x z - 4 = 0 ，求 x yz =
【答案】 4
【分析】根據絕對值、平方及二次根式的意義可求 x，y，z 的值，從而可得答案．
2
【詳解】因為 x 3 y -1 x z - 4 = 0 ，
ì x 3 = 0 ìx = -3
所以 í y -1 2 = 0 ，解得 íy =1 ，所以-3 1 7 = 4，

x z - 4 = 0

z = 7
故答案為： 4．
（二）
利用根式的性質化簡求值
根式化簡的思想和注意點
(1)根式的化簡思想是將根式有理化，利用根式的性質和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)
公式)，將所求代數式恰當地變形，達到化繁為簡的目的．
(2)化簡根式時需注意：
在根式計算中，含有 n a (n 為正偶數)的形式中要求 a≥0，而 n an 中 a 可以是任何實數．　　
(3)解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的
性質進行化簡或求值，必要時還要進行分類討論．
題型 2：根式化簡或求值
2-1．（2024 高一上·全國·專題練習）化簡 11 6 2 11- 6 2 = .
【答案】6
【分析】根據根式的運算性質可求出結果.
【詳解】 11 6 2 11- 6 2 = (3 2)2 (3 - 2)2
= 3 2 3- 2
= 6 .
故答案為：6 .
2 3
2-2．（2024 高一上·四川宜賓·階段練習）化簡 1- 3 3 3 1 的結果是 ．
【答案】 2 3
【分析】利用根式的運算性質計算即可.
【詳解】 1- 3 2 3 3 3 1 = 1- 3 3 1 = 3 -1 3 1 = 2 3 .
故答案為： 2 3 .
2-3．（2024 高一·江蘇·假期作業）有下列說法：
① 3 -125 = 5；②16 的 4 次方根是±2；
③ 4 81 = ±3；④ (x y)2 =| x y |．
其中，正確的有 (填序號)．
【答案】②④
【分析】根據 n 次方根的定義求解.
【詳解】n 為奇數時，負數的 n 次方根是一個負數， 3 -125 = -5，故①錯誤；
16 的 4 次方根有兩個，為±2 ，故②正確；
因為 4 81 = 3，故③錯誤；
因為 (x y)2 是正數，故 (x y)2 =| x y |，故④正確．
故答案為：②④
2-4．（2024 高一·全國·課后作業）當 2 - x 有意義時，化簡 x2 - 4x 4 - x2 - 6x 9 的結果是（ ）
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
【答案】C
【分析】由 2 - x 有意義，得到 x 2，由 x2 - 4x 4 - x2 - 6x 9= (x - 2)2 - (x - 3)2 ，根據根式的運算
性質，即可求解.
【詳解】因為 2 - x 有意義，可得 2 - x 0，即 x 2，
又由 x2 - 4x 4 - x2 - 6x 9= (x - 2)2 - (x - 3)2
= x - 2 - x - 3 = 2 - x - (3- x) = -1
故選：C.
【點睛】本題主要考查根式的化簡、求值，其中解答中熟記指數冪和根式的運算法則是解答的關鍵，著重
考查運算能力.
2-5．（2024 高一上·江西南昌·階段練習）若 a = 3 3-p 3 ，b = 4 2 -p 4 ，則 a b 的值為（ ）
A．1 B．5 C．-1 D． 2p - 5
【答案】A
【分析】根據給定條件利用根式的性質直接計算即可得解.
3
【詳解】依題意， a = 3 3-p = 3 -p ，b = 4 2 -p 4 =| 2 -p |= p - 2，
則 a b = (3 - p ) (p - 2) =1，
所以 a b 的值為 1.
故選：A
（三）
根式與分數指數冪的互化
根式與分數指數冪互化的依據
(1)在解決根式與分數指數冪互化的問題時，關鍵是熟記根式與分數指數冪的轉化式子：
m
m - n 1 1
a n = n am 和 a = m = n m ，其中字母 a 要使式子有意義．
a n a
(2)將含有多重根號的根式化為分數指數冪的途徑有兩條：一是由里向外化為分數指數冪；二
是由外向里化為分數指數冪．
(3)根式與分數指數冪互化的規律
①根指數 分數指數的分母，被開方數(式)的指數 分數指數的分子．
②在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理數指數冪的運算性
質解題．
題型 3：根式與分數指數冪互化
3-1．（2024 高一·全國·課堂例題）化簡（式中各字母均為正數）：
(1) 6x 2 y 3 ；
1 1
- 3
(2) -4x 2 ×3x 2 -y 3 × y 3 ；
(3) a × 3 a × a ．
【答案】(1) x2 3 y3 2
2 3
(2) -12y 3
3
(3) a 4
【分析】利用指數冪運算法則進行運算即可.
【詳解】（1）原式= x 2 6 y 3 6 = x2 3 y3 2 .
1 1 3 2 3
（2）原式 - 3-= -12x 2 2 y 3 = -12y 3 .
（3）方法一（從里向外化）
1
1 3 3 1 3 33
a × 3 a × a = a × a ×a 2 = a × a 2 ÷ = a × a 2 = a 2 = a 4 ．
è
方法二（從外向里化）
1
1
1 é 1 ù 2 11 2 1 3 1 2
3
a × 3 a × a = a × 3 2 é ù a × a = êa × a × a 3 ú = êêa × a × a 2 ÷ úú = a × a 2 ÷ = a 4 ． ê è è ú
3-2．（2024 高一·全國·課堂例題）[多選題]下列關系式中，根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
1 3 3
A． 6 y2 = y 3 （ y < 0
-
） B． x 4 = 4 1 ÷ （ x > 0）
è x
3
1
C． - 2 2x 3 é ù= - 3 x （ x 0） D． 3ê -x = x（ x > 0） ú
【答案】BD
【分析】利用根式與指數冪的關系求解.
1
【詳解】當 y < 0時， 6 y2 > 0 ， y 3 < 0，故 A 錯誤．
3 3
-
x 4 1 1= = 4 ÷ （ x > 0），故 B 正確．4 x3 è x
1
-
x 3 1= （ x 0），故 C 錯誤．
3 x
3 33
é
2 2
3 2-x 2 ù = 3 x2 2 = x 3 ÷ = x（ x > 0），故 D 正確． ê ú è
故選： BD
1 1
3-3．（2024 高一上·廣東佛山·階段練習）根式 的分數指數冪的形式為（ ）
a a
4 4 3 3
A． -a 3 B． a 3 C． D．
-
a 4 a 8
【答案】D
【分析】根據分數指數冪與根式的關系進行化簡，得到答案.
1
【詳解】 1 1
1
- 1- 2 1 1- -
= a 2 ×
a a
a 2 ÷ = a 2 × a 4
è
3 3
- -
= a 4 = a 8 .
故選 D.
【點睛】本題考查根式轉化為分數指數冪，屬于簡單題.
3-4．（2024 高一上·甘肅武威·階段練習）（多選題）下列各式中一定成立的有（ ）
n 7A
1
． = n7 ÷ m7 B． 12 -3
4 = 3 3
è m
3
C． 4 x3 y3 = x y 4 D． 3 9 = 3 3
【答案】BD
【分析】根據指數冪的運算以及根式與分數指數冪的互化逐一判斷即可.
7
n 1
【詳解】 ÷ = n
7m-7 ，A 錯誤； 12
m -3
4 = 33 = 3 3， B 正確；
è
1 1
1 1 2 1 3
4 x3 y3 = x3 y3 4 ，C 錯誤； 3 9 = 93 ÷ = 92 ÷ = 3 3，D正確
è è
故選：BD
3-5．（2024 高一·全國·課后作業）用分數指數冪表示下列各式（式中字母均為正數）：
3
b3 a2 m m
4 m
（1） ；（2 1 1） a 2 a 2 a ；（3） 1 .a b6 ( 6 m)5 m4
1
【答案】（1）1；（2） a 2 ；（3）1.
【解析】（1）將根式化為分數指數冪形式再進行計算；
（2）將根式化為分數指數冪形式再進行計算；
（3）分別將分子分母的根式化簡為分數指數冪的形式，進行計算求解.
1 1 1 3 1
b3 a2 2 b3 2 a2 4 b2 a 2
【詳解】（1）原式= × 6 ÷÷ = ÷ × 6 ÷ = 1 × 3 =1
；
è a b è a è b a 2 b2
1 1 1
1 1 2 1 1 4 1 1 1 4 1
（2）原式= a 2 × a 2 a ÷ = a 4 × a 2 a = a 4 × a8 × a 2 = a 2 ； ÷ ÷ ÷
è è è
1 1 1
2
3 m × m
3 × m4 1 1 1 5 1 - -
（ ）原式= = m2 3 4 6 45 1 = m
0 =1 .
m6 × m4
【點睛】此題考查根式與分數指數冪的化簡計算，熟練掌握運算法則，準確化簡求值.
（四）
指數冪的運算
指數冪運算的解題通法
(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數運算．
(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．
(3)底數是負數，先確定符號，底數是小數，先化成分數，底數是帶分數，先化成假分數．
(4)若是根式，應化為分數指數冪，并盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．
運算結果不能同時含有根式和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數冪，形式力求統一．
題型 4：指數冪的運算
4-1．（2024 高一·全國·專題練習）計算下列各式的值.
1 3 0-
(1) 0.064 3 -164 1 ÷ -
4 81
è 9
1 1
(2) 25 8 3 (π e)0 1
-
2
- -

9 è 27 ÷ è 4 ÷
1
π
2(3)3π 22 2 1 5 3 ÷è
7 0.5
2
-
(4) 2
3
0.1
-2 2 10 3π0 37- ；
è 9 ÷ è 27 ÷ 48
-6 32
(5)83 - 0.5-3 1 16
4
.
è 3 ÷
÷
è 81
1 7 0 4- - 1(6) 計算：0.064 3 - - ÷ é -2
3 ù 3 -0.75 2
è 8
16 -0.01 ；
1
- 34ab-11 2
(7) ×
è 4 ÷ 1
（ a > 0，b > 0）.
0.1 -2 a3b-3 2
15
【答案】(1) -
2
(2)2
(3)18
(4)100
(5)4
143
(6)
80
4
(7)
25
【分析】根據指數冪的運算法則和根式運算法則計算出答案.
1 3 0-
【詳解】（1）0.064 3 -164 1 ÷ -
4 81
è 9
1
- 3
= é 0.4 3 ù 3 - 24 4 1- 3
= 0.4 -1 - 23 1- 3
2 -1 5 15
= ÷ -8 1- 3 = -8 1- 3 = -
è 5 2 2
1 1
-
3 2
（2） 25 - 8 ÷ - (π e)
0 1
9 è 27 è 4 ÷
1
5 é 3
= -
2 ù 3 1-
ê ÷ ú -1 2
-2 2
3 êè 3 ú
5 2
= - -1 2 = 2
3 3
3 3π 1
π
2
（ ） ÷ 22 23 1
5
è
1
π
= 3 ÷ 2
4 1 =1 16 1 =18 .
è 3
0.5 2
（4） 2 7 0.1-2 2 10
-
3 3π0 37 ÷ ÷ -
è 9 è 27 48
1 2
25 1
-2 -
2 64 3 37= ÷ ÷

÷ - 3π
0
è 9 è10 è 27 48
2
-
5 é 3 ù 3100 4 3 37= ê ÷ ú - 3 êè 3 ú 48
5 -2100 4 3 37= ÷ - 3 è 3 48
5 100 9 3 37= - =100 .
3 16 48
-6 3
2
（5） 1 16 483 - 0.5-3 3 ÷
÷
è è 81
3
2 -3 1 -6 4 4
= - é ù23 3 1 2- ÷ 2 3
2 ÷ ê ÷ ú
è è ê è 3 ú
3
= 22 - 23 33 2 3 ֏
2 3
= 4 -8 3

÷ = 4 -8 8 = 4
è 3
1 7 0 4- 3 - 1
（6）0.064 3 - - ÷ é -2 ù 3 16
-0.75 -0.01 2
è 8
1 1
= 0.43 -3 -1 -2 -4 24 -0.75 0.12 2
5 1 1
= -1 0.1
2 16 8
= 143 .
80
1
-
1 2
3
4ab-1
（7） ×
è 4 ÷ 1 0.1 -2 a3b-3 2
1 3 3 3
-
42 42 a 2b 2 16 4
= 3 3 = = .
102
-
a 2 b 2 100 25
4-2．（2024 高一·全國·課后作業）化簡求值:
1 2
9 - 2(1) 2 9.60 27- -
3 2
÷ ÷

4 ÷
；
è è 8 è 3
1
-3
(2) 3 2
-4 -2
a 2· b ÷ b · a （ a > 0，b > 0）.
è
1
【答案】(1)
2
(2) 1a
【分析】（1）根據分數指數冪的運算法則計算可得；
（2）將根式化為分數指數冪，再根據冪的運算法則計算可得.
1 2
- 2
【詳解】（1） 9 2 - 9.60 - 27
3 2


è 4 ÷ è 8 ÷ ÷ è 3
1 2
é 2 3 ù 2 é
3
2 ù 31 2
2
3 4 4 1= ê ÷ ú - - ê ÷ ú ÷ = -1- = .
êè 2 ú êè 3 ú è 3 2 9 9 2
1 -3
（2） a 2·3 b2 ÷ b-4· a-2
è
-3
1 2 1
= a 2·b3 b-4÷ ×a-1 2
è
3 1- -
= a 2·b-2 ÷ b-2 a 2 a-1
1
× ÷ = ×b0 =
è è a
2 4
4-3．（2024 高一上·山西·期中）（1）化簡： b a
3 6 (a > 0,b > 0) .（結果用分數指數冪表示）a b
2 1
- 1- 2
（2）化簡：8a 3b 2 2a 6b ÷ (a > 0,b > 0) .（結果用分數指數冪表示）
è
2 1
（3）求值： -83 27 3 ( 2 1)0 .
1 1 5 5
- - 16【答案】（1） a 2b 2 ；（2）
-
4a 6b 2 ；（3） .3
【分析】根據根式與分數指數冪互化及指數冪的運算法則運算即得.
2 4 1 1 1 1
【詳解】（1） b a = a-3b2 a4b-6 2 = a-3b2a2b-3 - -3 6 = a-1b-1 2 = a 2b 2 ；a b
2 1 1 2 1- 1 5 5- 2 - -2 -
（2）8a 3b 2 2a 6b ÷ = 4a 3 6b 2 = 4a 6b 2 ；
è
2 1 1 2
- 1-
（3）83 27 3 ( 2 16 1)0 = 83 33 ÷ 3 1 = 22 3-1 1 = .
è 3
4-4．（2024 高一上·全國·課后作業）計算下列各式：
0 1
(1) 1 2-2 2 1
-

2
- 0.01 0.5 2 ÷ 4 ÷
；
è è
0.5 2-
(2) 3 2
7 -2 10 37
÷ 0.1 2 ÷ - 3π
0 ；
è 9 è 27 48
(3) a-2b-3 -4a-1b 12a-4b-2c a,b,c > 0 .
16
【答案】(1) 15
(2)100
a
(3) -
3c
【分析】根據指數的運算法則計算即可；
1 4 1 1 1
【詳解】（1）原式=1+ （ ）2 -（ ）2
4 9 100
1 1
- 16=1+ =
6 10 15
2 = 25
1
2 1 -2 64
2
- 37
（ ）原式（ ） （ ） （ ）3 - 3
9 10 27 48
5 9 37
= 100 - 3
3 16 48
=100
（3）
a-2b-3 -4a-1b 12a-4b-2c
= -4 a-2-1b-3 1 12a-4b-2c
1
= - a-3 4b-2 2c-1
3
a
= -
3c
（五）
指數條件求值問題
解決條件求值問題的一般方法
對于條件求值問題，一般先化簡代數式，再將字母的取值代入求值．但有時字母的取值不
知道或不易求出，這時可將所求代數式適當地變形，構造出與已知條件相同或相似的結構，從
而通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值．在利用整體代入的方法求值時，要注意平方差
公式、立方差公式及完全平方公式的應用．
利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(a>0，b>0)：
1 1 1 1
(1)a±2a 2 b 2 ＋b＝(a 2 ±b 2 )2；
1 1 1 1
(2)a－b＝(a 2 ＋b 2 )(a 2 －b 2 )；
3 3 1 1 1 1
(3)a 2 ＋b 2 ＝(a 2 ＋b 2 )(a－a 2 b 2 ＋b)；
3 3 1 1 1 1
(4)a 2 －b 2 ＝(a 2 －b 2 )(a＋a 2 b 2 ＋b)．
題型 5：利用指數運算性質進行條件求值
1 1
75．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 -a 2 a 2 = 5 ，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3 3
(3) -a 2 a 2
【答案】(1)3
(2) 7
(3) 2 5
【分析】利用完全平方公式以及立方和公式，可得答案.
1 1
【詳解】（1）將 - 兩邊平方，可得 a a-1a 2 a 2 = 5 2 = 5，解得 a a
-1 = 3 .
（2）將 a a-1 = 3兩邊平方，可得 a2 a-2 2 = 9，解得 a2 a-2 = 7 .
3 3 1 3 1 3
- - 1 1-
（3） a 2 a 2 = a 2 ÷ a 2 ÷ = a 2 a 2 ÷ a -1 a-1 = 5 3 -1 = 2 5 .
è è è
1 1
76．（2024 高一·全國·課后作業）已知 -a 2 a 2 = 3，求下列各式的值：
(1) a a-1；
a2 a-2 - 2
(2) 3 3 ．
-
a2 a 2 -3
【答案】(1)7
(2)3
1 1
【分析】（1）將 -a 2 a 2 = 3兩邊平方，即可求得答案；
（2）將 a a-1 = 7 兩邊平方，求得 a2 a-2
3 3
= 47，再根據立方和公式求得 -a 2 a 2 的值，即可求得答案.
1 1
【詳解】（1）將 -a 2 a 2 = 3兩邊平方，得 a a
-1 2 = 9，即 a a-1 = 7 ；
（2）將 a a-1 = 7 兩邊平方，得 a2 a-2 2 = 49，即 a2 a-2 = 47；
3 3 1 3 1 3 1 1 1 1- - - -
a 2 a 2 = a 2 ÷ a 2 ÷ = a 2 a 2 ÷ a - a 2 ×a 2 a-1 ÷
è è è è
= 3 a a-1 -1 = 3 7 -1 =18 ,
a2 a-2 - 2 47 - 2
所以 3 3 = = 3．
-
a 2 a 2 - 3 18 - 3
1 1
77．（2024 高一上·廣西玉林·期中）已知 -x 2 x 2 = 3，則 x
2 - x-2 = ．
【答案】±21 5
【分析】利用分數指數冪的運算，根據平方關系即可求得結果.
2
1 1 1 1-
【詳解】由 - 2 2 -1x 2 x 2 = 3可得 x x ÷ = x 2 x = 9，
è
即 x x-1 = 7，
又因為 x x-1 2 = 2x - x-1 4，
2 -1 2 2即7 = x - x 4，可得 x - x-1 = 45
即 x - x-1 = ±3 5 ，
2 -2 -1 -1
所以 x - x = x x x - x = 7 ±3 5 = ±21 5 ．
故答案為：±21 5
78．（2024 高一上·江西萍鄉·期中）計算下列各式
1 0
- 3 6
(1) 0.001 3 7- ÷ 164 2 × 3 38 ；è
(2)已知 x x-1 = 3，求下列各式的值：
1 1
① -x 2 x 2 ；
3 3
② -x 2 x 2 ．
【答案】(1)89；
(2)① 5 ；② 2 5 .
【分析】(1)根據指數冪的運算性質和指數冪與根式的互化，化簡計算即可求解；
1 1
2
- 1 1
(2)①根據完全平方和公式化簡計算可得 x 2 x 2 ÷ = 5，結合 -x 2 x 2 > 0開平方即可；
è
3 3 1 1 é 1 2 1 1 1 2- - - - ù
②根據公式 x 2 x 2 = x 2 x 2 ÷ ê x 2 ÷ - x 2 x 2 x 2 ÷ ú ，結合①計算即可求解.
è êè è ú
1 3 1 1
- ×6 ×6
【詳解】（1）原式= 10-3 3 -1 24 4 22 ×33 =10 -1 8 72 = 89；
1 1
2 2
1 1 1 1
2
- - -
（2）①∵ x 2 x 2 ÷ = x 2 ÷ 2x 2 x 2 x 2 = x1 x-1 ÷ 2 = 3 2 = 5，
è è è
1 1
∴ -x 2 x 2 = ± 5 ，
又由 x x-1 = 3得 x > 0，
1 1
∴ -x 2 x 2 > 0，
1 1
所以 -x 2 x 2 = 5 ；
②（法一）
3 3 3 1 1
3 1 1 1 2 1 1 1 2
- - - é - - ù
x 2 x 2 = x 2 ÷ x 2 ÷ = x 2 x 2 ÷ ê x 2 ÷ - x 2 x 2 x 2 ÷ ú
è è è ê è è ú
1 1-
= x 2 x 2 ÷ é x x-1 -1ù = 5 3-1 = 2 5 ，è
（法二）
3 3 3 3 3 3
-
(x 2 x 2 )2 = (x 2 )2
- - -
(x 2 )2 2x 2 x 2 = x3 x-3 2，
3 -3
而 x x = x x-1 x2 x-2 -1
= x x-1 é x x-1 2ê - 3ùú = 3 32 - 3 =18 ，
3 3
2
-
∴ x 2 x 2 ÷ = 20，
è
又由 x x-1 = 3 > 0得 x > 0，
3 3
∴ -x 2 x 2 > 0，
3 3
所以 -x 2 x 2 = 20 = 2 5 .
79．（2024 高一上·湖南長沙·階段練習）已知 a a-1 = 3，下列各式中正確的個數是（ ）
1
① a2 a-2 = 7；② a3 a-3
1 1
=18；③ -a 2 a 2 = ± 5 ；④ a a = 2 5 ；a a
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根據完全平方和公式，立方和公式分別計算即可求解.
【詳解】① a2 a-2 = (a a-1)2 - 2 = 9 - 2 = 7 ,正確；
② a3 a-3 = (a a-1)(a2 -1 a-2 ) = 3 (7 -1) =18，正確；
1 1
③因為 a a-1
1 1
= 3可知 a > 0， - -a 2 a 2 > 0， (a 2 a 2 )2 = a 2 a-1 = 5，
1 1
所以 -a 2 a 2 = 5 ，故錯誤；
a a 1
3 3 1 1
- -
④ = a 2 a 2 = (a 2 a 2 )(a -1 a-1) = 5(a -1 a-1) = 2 5 ，正確.
a a
故選：C
【點睛】本題主要考查了平方和公式，立方和公式，屬于容易題.
1
1
80 0 3．（2024 高一上·江蘇南通·期中）（1）求814 - 5 - 3 8 ÷ 的值；
è 27
1 1
-
（2）已知 x x-1 14 x 2 x 2= ，求 4 的值.
x2 x-2 - 200
8 4
【答案】（1） ；（2）-
3 3
【分析】（1）利用指數冪的運算性質化簡計算即可；
1 1 1 1
（2）把 -x 2 x 2 平方，結合 x x
-1 =14即可求得 - 2 -2x 2 x 2 ，利用 x x = x x-1
2
- 2可得 x2 x-2的值，代
入所求的式子即可得答案．
1 1
1 8 3 1 0 3
1 3
【詳解】（ ）814 - 5 - 3 4 2 ÷ = 3 4 -1 ÷ = 3-1 2 8 = ；
è 27 è 3 3 3
2
1 1- 1 1 1 1
（2）Q -1 x 2 x 2 ÷ = x x 2 =16， - -x 2 x 2 > 0，\ x 2 x 2 = 4，
è
1 1
2 -2 -1 2
-
x x = x x - 2 =194 2， x x 2 4 4 4 4\ 2 -2 = = -
．
x x - 200 194 - 200 3
一、單選題
1．（2024 高一上·全國·課后作業）有下列四個命題：
①正數的偶次方根是一個正數；
②正數的奇次方根是一個正數；
③負數的偶次方根是一個負數；
④負數的奇次方根是一個負數．
其中正確的個數是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【分析】根據實數 n 次方根的性質判斷各項正誤即可.
【詳解】正數的偶次方根有兩個且一正一負，負數的偶次方根不存在；
正數的奇次方根為一個正數，負數的奇次方根為一個負數；
①③錯誤，②④正確．
故選：C
3 ab2 × a2b2
2．（2024 高一上·內蒙古阿拉善盟·期末）化簡 1 1 4 （a，b 為正數）的結果是（ ）3 b × a 6b 4
b2 2A． B a． C． a22 2 b
2 D． ab
a b
【答案】C
【分析】由分數指數冪的概念和指數冪的運算律計算.
1
3 2 2 2 ab2 3 a2b2 7 8ab a b a 3b 3
【詳解】 = 1 = 1 2 = a
2b2
4 1 2 2 3 3 .
3 1 1b a 6b 4 éb 3 a 3b ù a b
故選：C.
1
- (-4)0 1
3．（2024 高一·全國·課后作業）計算 2 2 - (1- 5)0 ，結果是（ ）
2 2 -1
1
A．1 B． 2 2 C． 2 D． -2 2
【答案】B
【分析】根據給定條件，利用指數冪的運算及根式的意義計算作答.
1
- (-4)0 1 0 1 1
【詳解】 2 2 - (1- 5) = ( 2 1) -1 = 2 2 .
2 2 -1 2 2
故選：B
4．（2024 高一上·江西景德鎮·期中）化簡 4 m6 (m < 0) 的結果為（ ）
A．m m B．m -m
C．-m m D．-m -m
【答案】D
【分析】利用根式的運算性質即可得出答案.
【詳解】Qm < 0，\ 4 m6 = -m 3 = -m -m .
故選：D
2 1 1 2
- 2 -
5．（2024 高三·全國·專題練習）化簡 4a 3b 3 - a 3b3 ÷的結果為（　　）
è 3
2a 8a 6a
A．- B．- C．- D．6ab
3b b b
【答案】C
【分析】
利用同底數冪的運算法則進行計算.
【詳解】
2 1 2 1 2 é 2 ù
2
-
1
- 1 2- - ÷ - -
4a 3b 3 - a 3b3 ÷ = 4 - a 3 è 3 b 3 3 6ab-1
6a
ê ÷ú = - = -
è 3 è 3 b
故選：C.
6．（2024 高一上·全國·單元測試）化簡 a × 3 a2 × a =（ ）
3 11 27
A． a 4 B
7
． a 8 C． a12 D． a 28
【答案】C
【分析】由根式與有理數指數冪的關系及指數冪運算，化簡為指數冪形式即可.
1 1 1 1 1 1 1 1 11
【詳解】由 a × 3 a2 × a = [a × (a2 × a )3 ]2 = a 2 × (a2 ×a 2 )6 = a 2 ×a3 ×a12 = a12 .
故選：C
1- 1 1- - 1- 1-
7．（2024 高一·全國·課后作業）化簡 1 2 32 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷的結果為（ ）
è è è è è
1 -11 -
A 1- 2 32 B 1
1-
．
2 ÷
．
2
1- 2 32 ÷
è è
1
-1
- 1
C． 1 2 32 ÷ D．
è 2
【答案】B
【分析】利用平方差公式化簡即可.
1 1 1- - - 1- 1-
【詳解】 1 2 32 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷
è è è è è
1- 1- 1 1- - 1 1- - 1-
= 1- 2 32 ÷ 1 2 32 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è è è è è
1- 1- 1 1 1 1- - - -
= 1- 2 16 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è è è è
1- 1- 1 1- - 1-
= 1- 2 8 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è è è
1 1- - 1 1- -
= 1- 2 4 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è è
1- 1 1- -
= 1- 2 2 ÷ 1 2 2 ÷ 1- 2 32 ÷
è è è
1
= 1- 2-1 - 1- 2 32 ÷
è
-1
1 1- = 1- 2 322 ֏
故選：B
-0.5 1 32
8 4 4．（2024 高一上·山西晉城·期中） 9 (2 - π)2 2 23 3 2 16 ÷ 3 ÷ =（ ）è è è 3 ÷
A． π B． 2 π C． 4 - π D．6 - π
【答案】B
【分析】直接利用指數冪的運算性質計算即可.
1 3
-0.5 2 4 4
【詳解】 9 2 3 2 2 4 2 (2 - π) 16 ÷ 2
3 ÷ ÷ = π - 2 4 = 2 π .
è è 3 è 3 3 3
故選：B
3 3
-
1 1 2 2
9 m - m．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習）已知 -m2 m 2 = 4 ，則 1 1 的值是（ ）-
m2 - m 2
A．15 B．12 C．16 D．25
【答案】A
【分析】利用分數指數冪的運算即可求出結果.
1 1
【詳解】因為 -m2 m 2 = 4 ，
1 1
所以m m-1 = (m2 m2 )2 - 2 =16 - 2 =14，
3 3 1 1 1 1
- - -
m2 - m 2 (m2 - m 2 )(m m2 × m 2 m-1)
又由立方差公式， 1 1 = 1 1 = m 1 m
-1 =15，
- -
m2 - m 2 m2 - m 2
故選：A．
10．（2024·河北張家口·二模）2021 年 5 月 15 日，中國首次火星探測任務天問一號探測器在火星成功著陸.
截至目前，祝融號火星車在火星上留下 1900 多米的“中國腳印”，期待在 2050 年實現載人登陸火星.已知所
有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉周期的二次方的比值都
相等.若火星與地球的公轉周期之比約為9 : 5，則地球運行軌道的半長軸與火星運行軌道的半長軸的比值約
為（ ）
A 25． 3 B 81 C 5． 3 ． 3 D 9． 3
81 25 9 5
【答案】A
【分析】根據已知先設周期再應用分數指數冪與根式的互化得出比值.
【詳解】設地球的公轉周期為5T ，則火星的公轉周期為9T .
設地球 火星運行軌道的半長軸分別為m ， n ，
m3 n3
則 = ，
25T 2 81T 2
m 25
于是 = 3 .
n 81
故選: A.
11．（2024 高一上·浙江寧波·期末）下列式子的互化正確的是（ ）
1 1
A -．6 y2 = y 3 y < 0 B． x 3 = - 3 x x 0
5 5
- 1
C． x 4 1= 4 ÷ x > 0 D．- x = -x 2 x > 0
è x
【答案】C
【解析】根據根式與分數指數冪的互化可逐項分析.
【詳解】根據分數指數冪的運算可知，
1 1 1- 1 5 5- 1 1
6 y2 =| y |3 = -y 3 (y < 0)， x 3 = x 0 ，3 x 4 = 4 ÷ x > 0 ，- x = -x x x
2 x > 0 ，
è
故選：C
1 2
12．（2024 高一上·內蒙古阿拉善盟·期末）已知正數 m，n 滿足 2m 4n = 2，則 的最小值為（m n ）
A．3 B．5 C．8 D．9
【答案】D
【分析】由指數冪的運算律得m 2n =1，再由基本不等式求最值.
【詳解】由正數 m，n 滿足 2m 4n = 2，即 2m 22n = 2m 2n = 2，所以m 2n =1，
1 2 m 2n 1 2 2n 2m 2n 2m所以 =
m n
÷ = 5 5 2 = 9，
è m n m n m n
n m 1
當且僅當 = ，即m = n = 時，取得等號.
m n 3
故選：D.
13．（2024 高一·全國·課后作業）若2 < a < 3，化簡 (2 - a)2 4 (3- a)4 的結果是（ ）
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
【答案】C
【分析】由2 < a < 3，得到 2 - a < 0,3 - a > 0，結合根式的運算法則，即可求解.
【詳解】因為2 < a < 3，所以 2 - a < 0,3 - a > 0，
所以 (2 - a)2 4 (3- a)4 = 2 - a 3 - a = a - 2 3 - a =1.
故選：C.
【點睛】本題主要考查根式的運算性質的化簡、求值，其中解答中熟記根式的運算性質，準確運算是解答
的關鍵，著重考查運算與求解能力.
14．（2024 高一·全國·專題練習）方程5x-1 ×103x = 8x 的解集是（　　）
1,4 ì1A B ü ì 1 ü ì． ． í C． í1, D． í4, 1 ü
4 4 4


【答案】B
【分析】根據題意，先把103x 轉化為53x × 23x ，且8x = 23x ，然后再化簡求值即可．
1
【詳解】原方程可化為：5x-1 ×53x × 23x = 23x ，即54x-1 =1，解得： x = ．4
故選：B．
15．（2024 高一·全國·專題練習）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
1 1
A．- x = -x 2 B． 6 y2 = y 3 (y < 0)
1
- 3 1
C． x 3
1
= (x > 0) D． é 3 (-x)2 ù 4 23 x = x
【答案】C
【分析】根據分數指數冪與根式的互化，逐項判定，即可求解.
1 1
【詳解】對于 A 選項：由- x = -x 2 (x 0), (-x)2 = -x (x 0) ，故該項等號兩側不相等，所以 A 錯誤；
1
對于 B 選項：由 6 y2 = -y 3 (y < 0)，所以 B 錯誤；
1
- 1
對于 C 選項：由指數冪的運算性質，可得 x 3 = (x > 0)，所以 C 正確；
3 x
3 3 2 3 1
對于 D 選項：當 x > 0時， é 3 (-x)2 ù 4 = é 3 x2 ù 4 = (x 3 )4 = x 2 ，

3 3 2 3 1
當 x < 0 時， é 3 (-x)2 ù 4 = é 3 x2 ù 4 = (x 3 )4 = (-x)2 ，

顯然當 x < 0 時，該項的等量關系不成立，所以 D 錯誤.
故選：C.
16．（2024 高一·全國·課堂例題）若 x3 x2 x = -1，則 x-28 x-27 ××× x-2 x-1 1 x1 x2 ××× x27 x28 的值
是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．1
【答案】D
2
【分析】由 x3 x2 x = -1，即 x 1 x 1 = 0，求得 x=-1代入求解.
2
【詳解】解：由 x3 x2 x = -1，得 x x 1 x 1 = 0，
x 1 x2即 1 = 0，解得 x=-1．
∴ x-28 x-27 ××× x-2 x-1 1 x1 x2 ××× x27 x28 =1．
故選：D
17．（2024 高一·全國·課后作業） n (3 - π)n (n N,n 2) = （ ）
A．3- π B． π - 3
C． 3 - π D．當 n 為奇數時，3- π；當 n 為偶數時， π - 3
【答案】D
【分析】當 n 為奇數時， n (3 - π)n = 3 - π ；當 n 為偶數時， n (3 - π)n = 3- π ，即可求解.
【詳解】當 n 為奇數時， n (3 - π)n = 3 - π ；
當 n 為偶數時， n (3 - π)n = 3- π = π - 3 .
故選：D
18．（2024·湖北武漢·二模）閱讀下段文字：“已知 2 為無理數，若 ( 2) 2 為有理數，則存在無理數 a = b = 2 ，
使得ab為有理數；若 ( 2) 2 為無理數，則取無理數 a = ( 2) 2 ，b = 2 ，此時
2
ab = ( 2) 2 = ( 2) 2 × 2 = ( 2)2 = 2為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是（ ）
A． ( 2) 2 是有理數 B． ( 2) 2 是無理數
C．存在無理數 a，b，使得ab為有理數 D．對任意無理數 a，b，都有ab為無理數
【答案】C
【分析】根據給定的條件，提取文字信息即可判斷作答.
【詳解】這段文字中，沒有證明 ( 2) 2 是有理數條件，也沒有證明 ( 2) 2 是無理數的條件，AB 錯誤；
這段文字的兩句話中，都說明了結論“存在無理數 a，b，使得ab為有理數”，因此這段文字可以證明此結論，
C 正確；
這段文字中只提及存在無理數 a，b，不涉及對任意無理數 a，b，都成立的問題，D 錯誤.
故選：C
19．（2024·河南開封·三模）已知 a > 0，b > 0，且a b = 1， a b，則下列不等式成立的是（ ）
A． a b < 2
1 1
< a b B． a b
1 1
< a b < 22 2 2 2
1 1
C． < 2
1 1
< a b D． < a b < 2
2a 2b 2a 2b
【答案】A
【分析】使用基本不等式求解，注意等號成立條件.
【詳解】 2a b = a b 2 ab =1 2 ab 1 a b = 2，
∵ a b，∴等號不成立，故 a b < 2 ；
1 1 1 1 1
a b 2 a × b = 2 a b = 2
1
= 2 ，
2 2 2 2 2 2
1 1
∵ a b，∴等號不成立，故 a b > 2 ，2 2
1 1
綜上， a b < 2 < a b .2 2
故選：A.
二、多選題
20．（2024 高一上·全國·單元測試）下列各式正確的是（ ）
A． a2 = a B． 3 (-3)3 = -3 C． (-2)4 = -4 D． - 5 (-a)5 = a
【答案】BD
【分析】利用根式的運算直接求解.
n n ì a, a 0,
【詳解】當 n 為偶數時， a = a = í
-a, a 0,
故 A，C 選項中的式子不正確；
<
當 n 為奇數時， n an = a,
則 3 (-3)3 = -3,- 5 (-a)5 = -(-a) = a，
故 B，D 選項中的式子正確.
故選：BD.
21．（2024 高一上·云南曲靖·階段練習）若 n N,a R ，則下列四個式子中有意義的是（ ）
A． 2 (-7)4n B． 2 (-7)3n C． 3 a2 D． 2 a3
【答案】AC
【分析】根據根式的意義逐一判斷可得.
【詳解】因為 n N，所以 4n為偶數， (-7)4n 0 ，所以 2 (-7)4n 有意義，A 正確；
取 n =1，則 (-7)3 < 0，所以 2 (-7)3n 無意義，B 錯誤；
因為 3 a2 的根指數為奇數，所以 3 a2 有意義，C 正確；
若 a < 0，則 a3 < 0，所以 2 a3 無意義，D 錯誤.
故選：AC
22．（2024 高一上·陜西西安·階段練習）已知 a2 a-2 = 3，則 a a-1等于（ ）
A． 5 B．- 5 C．1 D．-1
【答案】AB
【分析】將 a a-1平方可以得到 a2 a-2 ，可得 a a-1的值.
1 2a a-1 t, t 2 a 2 1【詳解】令 = \ = a ÷
= a 2 2,è a
\t 2 = 3 2 = 5,\t = ± 5.
故選：AB
23．（2024 高一·江蘇·假期作業）下列說法正確的是（　　）
A．16 的 4 次方根是 2
B． 4 16 的運算結果是±2
C．當 n 為大于 1 的奇數時， n a 對任意 a R 都有意義
D．當 n 為大于 1 的偶數時， n a 只有當 a 0時才有意義
【答案】CD
【分析】根據根式的概念和性質求解.
【詳解】對于 A，由于 (±2)4 =16，所以 16 的 4 次方根是±2，故 A 不正確．
對于 B， 4 16 = 2，故 B 不正確．
對于 C，由根式的意義知，當 n 為大于 1 的奇數時， n a 對任意 a R 都有意義，故 C 正確．
對于 D，由根式的意義知，當 n 為大于 1 的偶數時， n a 只有當 a 0時才有意義，故 D 正確．
故選：CD．
24．（2024 高一上·吉林白山·階段練習）已知 xy≠0，且 4x2 y2 = -2xy ，則以下結論錯誤的是（ ）
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y<0
【答案】BCD
【分析】根據 4x2 y2 = 2xy = -2xy, xy 0 知 xy < 0，進而判斷即可．
【詳解】解：由 4x2 y2 = 2xy = -2xy, xy 0 知 xy < 0，
所以 x、y異號，
所以 A 對，BCD 錯；
故選：BCD．
4
25．（2024 高一上·甘肅慶陽·期末）若 <1，化簡
2 x 25 - 30x 9x
2 - x - 2 2 - 3的結果可能（ ）-
A． 2x - 6 B． 4x - 6 . C．-2x D． 2x 4
【答案】AC
【分析】解不等式求 x 的范圍，結合根式的性質化簡代數式即可
4 x 2
【詳解】由 <1化簡可得 > 0，
2 - x x - 2
所以 x 2 x - 2 > 0，
所以 x > 2或 x < -2，
又 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3 = 5 - 3x 2 - x - 2 2 - 3，
所以 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3 = 5 - 3x - x - 2 - 3，
當 x > 2時， 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3 = 3x - 5 - x 2 - 3 = 2x - 6 ，
當 x < -2時， 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3 = 5 - 3x x - 2 - 3 = -2x ，
故選：AC.
三、填空題
y
26．（2024 高一上·全國·課后作業）若 x2 2x 1 y2 6y 9 = 0，則 x2020 ＝ .
【答案】1
【分析】根據算術平方根可解得 x = -1，y = -3，代入即可求解.
【詳解】因為 x2 2x 1 y2 6y 9 = 0 ,
所以 x 1 2 y 3 2 = 0 x 1 y 3 = 0，
所以 x = -1，y = -3 .
所以 x2020 y = [(-1)2020 ]-3 =1 .
故答案為：1
27．（2024 高三下·上海寶山·階段練習）若實數 x、y滿足 x 2y =1，則 2x 4y 的最小值為 ．
【答案】 2 2
【分析】直接由基本不等式求解即可.
【詳解】 2x 4y 2 2x 4y = 2 2x 22 y = 2 2x 2 y = 2 2 ,當且僅當 x = 2y ，
x 1 1即 = , y = 時取到等號.
2 4
故答案： 2 2 .
28．（2024 高一·全國·專題練習） 2 5 1 1 1 1 1 ××× = .
è1 2 2 3 3 4 80 81 ÷
【答案】16 5 8
【分析】利用分母有理化化簡即得解.
2 5 1 2 -1 3 - 2 4 - 3 81 - 80 【詳解】解：原式= ××× 2 -1 3 - 2 4 - 3 81-80 ÷÷è
= 2 5 1 2 -1 3 - 2 4 - 3 ××× 81 - 80
= 2 5 1 81 -1 =8 2 5 1 =16 5 8 .
故答案為：16 5 8 .
a3 a-3 a3 - a-3 a2 1 a-4 - 2
29．（2024 高三·全國·專題練習） -1 = 4 -4 -1 a a 1 a - a a - a
【答案】 2a
【分析】
利用平方差、立方差以及完全平方公式化簡可得結果.
a6 - a-6 a2 - 2a ×a-1 a-2
【詳解】原式= a4 a-4 1 a - a-1 a - a-1
a2 - a-2 a4 1 a-4 2a - a-1
=
a - a-1 a4 1 a-4 a - a-1
a a-1 a - a-1
= -1 -1 -1 .
a - a-1
a - a = a a a - a = 2a
故答案為： 2a .
1 2
1
30．（2024 2 3 -高一·全國·課后作業）求值： 4 ÷ (-5.6)
0 64- ÷ 0.125 3 = ．
è 9 è 27
17 8
【答案】 /1
9 9
【分析】根據分數指數冪的運算性質即可求解.
1 2
2 3 1-
【詳解】 4 ÷ (-5.6)
0 64- ÷ 0.125 3
è 9 è 27
1 2
22 2 43 3 1
= 3 ÷ 1- ÷ 2 3 2 16 1732 3 = 1- 2 =è è 3 3 9 9
17
故答案為: .
9
1
3
31．（2024 · · x -1 x 1 x - x高三 全國 專題練習） 2 1 1 - 1 =
x 3 x3 1 x3 1 x3 -1
1
【答案】 - x 3
【分析】利用指數冪的運算法則和立方差立方和公式化簡求值.
1
x -1 x 1 x - x3
【詳解】 2 1 1 - 1
x 3 x3 1 x3 1 x3 -1
1 2 1 1 2 1 1 1 1
x3 -1÷ x 3 x3 1÷ x3 1÷ x 3 - x3 1÷ x3 x3 -1÷ x3 1÷
= è è è è - è è 2 1 1 1
x 3 x3 1 x3 1 x3 -1
1 2 1 2 1 1
= x3 -1 x 3 - x3 1- x 3 - x3 = -x3 .
1
故答案為： - x 3
-2 ab -83 a2b5
32．（2024 高三·全國·專題練習）若 a = 27,b =16

， =
6 a2b7 4 4 a2b5
【答案】6
【分析】根據指數冪的運算將原式化簡，然后代入計算，即可得到結果.
1 1
-2 ab -83 a2b5 16 × ab 2 × a2b5 3
【詳解】 = 1 1
6 a2b7 4 4 a2b5 4 × a2b7 6 × a2b5 4
1 1 2 5
4 a 2b2 ÷ × a 3b3 ÷
è è 1 2 1 1 1 5 7 5 1= - - - -
1
-
1 7 1 5 = 4a 2 3 3 2b2 3 6 4 = 4a3 b 4
，
a3b6 ÷ a 2b4 ÷
è è
因為 a = 27,b =16
1 1
，所以原式 -= 4 273 16 4 = 6 .
故答案為: 6 .
33．（2024 高一·安徽蕪湖· a-2強基計劃）已知 3a -1 =1，則 a的取值可能是 ．
2
【答案】2 或 或 0
3
【分析】討論指數式的底數，結合指數運算性質求 a的取值.
a-2
【詳解】因為 3a -1 =1，
2 4
當3a -1 =1 -，即 a = 時，
3 3a -1
a-2 =1 3 =1，滿足要求，
當3a -1 = -1，即 a = 0時， 3a -1 a-2 = -1 -2 =1，滿足要求，
當3a -1 1且3a -1 -1 3a -1 a-2時，由 =1可得a - 2 = 0，
所以 a = 2，
2
所以 a的取值可能是 2 或 或 0，
3
2
故答案為：2 或 或 0.
3
34．（2024 高一上·全國·課后作業）方程 24x 1 -17 4x 8 = 0 ， x = ．
1 3
【答案】- 或 ．
2 2
2
【分析】原方程可變成 2 × 4x -17 4x 8 = 0，然后可解出4x ，進而得出 x 的值．
【詳解】因為 2 × 4x 2 -17 4x 8 = 0，
4x 1 1 3所以 = 或 8，解得 x = - 或 ．
2 2 2
1 3
故答案為：- 或 ．
2 2
-2 2
35 0 3 27 1．（2024 高三·全國·專題練習） -1.8 3 32 ÷ ÷ - 9 =
.
è è 8 0.01
【答案】19
【分析】根據指數冪的運算性質即可求解.
2
0 3
-2 27 2 1 2 2 27 3 3【詳解】 -1.8 1 ÷ 3

÷ - 9
3 =1 ÷
- 92
è 2 è 8 0.01 ÷è 3 è 8 0.1
2
4 3 3 3 3 2 4 9=1 ÷ -10 32 =1 -10 27 =19 .9 è 2 9 4
故答案為：19
3 3
36．（2024 高一·安徽蕪湖·強基計劃） 5 2 6 - 5 - 2 6 = ．
【答案】 22 2
【分析】根據立方差公式與根式的性質可求出結果.
3 3【詳解】 5 2 6 - 5 - 2 6 = 5 2 6 3 - 35 - 2 6
= é 2 25 2 6 ù- 5 - 2 6 ê 5 2 6 5 2 6 5 - 2 6 5 - 2 6 ú

= 5 2 6 - 5 - 2 6 5 2 6 1 5 - 2 6
=11 5 2 6 - 5 - 2 6 2
=11 5 2 6 5 - 2 6 - 2 5 2 6 5 - 2 6
=11 10 - 2 =11 8 = 22 2 .
故答案為： 22 2
37．（2024 高一·江蘇常州·階段練習）化簡： (a2 × 5 a3 ) ( a ×10 a9 ) = ．（用分數指數冪表示）.
6
【答案】 a 5
【分析】先把根式轉化成指數冪的形式，再利用分數指數冪的運算法則，即可求出結果.
【詳解】因為
3 1 9 13 7 13 7 6
(a2 × 5 a3 ) ( a ×10 a9 ) = (a2
-
× a5 ) (a 2 × a10 ) = a 5 a 5 = a 5 5 = a 5 .
6
故答案為： a 5 .
38．（2024 高一上·吉林松原·階段練習）若代數式 3x -1 3 - x 有意義，則
9x2 - 6x 1 3 2016 x - 3 2016 = .
【答案】8
【分析】由已知代數式有意義確定 x 的范圍，結合根式的運算性質化簡目標式求其值.
1
【詳解】因為代數式 3x -1 3 - x 有意義，所以3x -1 0且3- x 0，故 x 3，3
所以 9x2 - 6x 1 3 2016 x - 3 2016 = 3x -1 3 x - 3 = 3x -1 3 3- x = 8，
故答案為：8.
2 2
39．（2024 高三·全國·專題練習）已知 a > b > 0 a - b， a2 b2 = 4ab，則 的值為 ．
ab
【答案】 2 3
a b a a2 - b2 1
【分析】將 a2 b2 = 4ab變形為 = 4，設 t = ，求出 t 的值， 可化為 t - ，即可求得答案.b a b ab t
2 2
【詳解】由 a > b > 0 a b a b， a2 b2 = 4ab，可得 = 4,\ = 4，
ab b a
設 t
a 1
= 2，則 t >1，則 t = 4,\t - 4t 1 = 0，
b t
解得 t = 2 3，（ t = 2 - 3舍去），
a2 - b2 a b t 1 2 3 1故 = - = - = - = 2 3 - 2 3 = 2 3 ，
ab b a t 2 3
故答案為： 2 3
2 -2
1 1 x x - 2
40．（2024 高一上·江西吉安·期中）已知 - =x 2 x 2 = 3，則 3 3 ．-
x 2 x 2 - 3
【答案】3
1 1
【解析】由 - 可得， x x-1 = 7， x2 -2x 2 x 2 = 3 x = 47，代入數據計算即可得出．
1 1
【詳解】解：因為 -x 2 x 2 = 3，
1 1 2 -
所以 x 2 x 2 = x x-1÷ 2 = 9，
è
即 x x-1 = 7，
所以 2x x-1 = x2 x-2 2 = 49，
即 x2 x-2 = 47，
x2 x-2 - 2 x2 x-2 - 2 47 - 2 45
3 3 = = = = 3
- 1 1所以 2 -x x 2 3 3 6 - 3 15 - x 2 x 2 ÷ x -1 x-1 - 3 ，
è
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查了指數與指數冪的運算，屬于中檔題．
41．（2024 高一上·全國·課后作業）計算下列各式．
（1） 5 -a 5 ＝ ；
（2） 6 3- π 6 ＝ ；
1 3
（3） 6 - 3 3 - 3 0.125 ＝ .
4 8
1
【答案】 -a π - 3
2
【分析】（1）根據根式的運算性質直接求解即可；
（2）根據根式的運算性質直接求解即可；
（3）先化帶分數為假分數、小數化分數，再根據根式的運算性質直接求解即可；
5
【詳解】（1） 5 -a = -a .
（2） 6 3- π 6 = 3- π = π - 3 .
1 3 5 2 3 33 6 3 3 0.125 1
3
5 3 1 1
（ ） - 3 - =
4 8 2 ÷
- 3 ÷ - 32 2 ÷
= - - = .
è è è 2 2 2 2
1
故答案為：（1）-a ；（2） π - 3；（3）
2
四、解答題
42．（2024 高一·江蘇·假期作業）求值：
2
- 0.5
(1) 27 3 - 49 -2 2 ÷ ÷ (0.2) - (0.081)
0；
è 8 è 9 25
-2
2 2
-1
- -
(2)π0－ 8 3 ÷ ＋ 5 2 × 4 5 ÷ .
è è
8
【答案】(1) -
9
(2) -13
【分析】（1）根據指數運算法則計算可得結果.
（2）根據指數運算法則計算可得結果.
2
1 8 49 25 2 4 7 8【詳解】（ ）原式= 3 ÷ - -1 = - 1 = - ；
è 27 9 25 9 3 9
2
（2 1 4）原式 3 - ÷ -2 =1- 2 è 3 25 25 =1- 24 - 2 = -13 .
43．（2024 高三·全國·專題練習）解下列方程：3 4x 2 9x = 5 6x ；
【答案】 x = 0或 x =1；
【分析】利用指數冪的運算法則和因式分解，求解方程.
2 2
【詳解】由3 4x 2 9x = 5 6x ，可得3 2x - 5 2x 3x 2 3x = 0，
x x
所以 2 - 3 3 2x - 2 3x = 0 ，
所以 2x - 3x = 0或3 2x - 2 3x = 0，
x
由 2x x
2
- 3 = 0 ，可得 ÷ =1，故 x = 0，
è 3
2 x-1
由3 2x - 2 3x = 0，可得 2x-1 = 3x-1 ，即 ÷ =1，所以 x -1 = 0，即 x =1，
è 3
所以 x = 0或 x =1；
44．（2024 高一·江蘇·假期作業）計算：
1
1 - 3 1(1) - -1 - ÷ 0.002 2 -10 5 - 2 π0；
è 27
2 3
-
(2)83 1 16- ( )-2 ( ) 4 - ( 2 -1)0
2 81
【答案】(1) -22
19
(2)
8
【分析】（1）（2）利用有理數指數冪的運算性質和運算法則求解即可.
1
1 1
-
3 1- -1【詳解】（ ） - ÷ 0.002 2 -10 5 - 2 π0
è 27
= -3 10 5 -10 5 - 20 1
= -22 ；
2 3
-
（2）83 - (1)-2 16 ( ) 4 - ( 2 -1)0
2 81
3 2 4 ( 3- )
= 2 3 4 2 27 19- ( ) 4 -1 = 4 - 4 -1 = .
3 8 8
45．（2024 高一·全國·課堂例題）化簡下列各式：
2
-
(1) 3
1 -1 0
-3
3
÷ 0.002
-
2 -10 5 - 28 3 - 2 ；è
2 3
(2) a b a （ a > 0，b > 0）；
b a b3
1
-1 -1- a 1 a 2(3) 1 1 - 1 （ a > 0且 a 1）．
-
a 2 - a 2 1 a 2
167
【答案】(1) -
9
7 1
(2) -a 8b 8
(3)0
【分析】利用指數的運算性質及根式與分數指數冪的互化即可求解.
2 1 2
2 - -
【詳解】（1）原式 1 - 3
3 1 23 10 1 27
-
3 1
= - 3 × - = 5002 -10 5 2 1
è 8 ÷ è 500 ÷ 5 - 2 è 8 ÷


4
= 10 5 -10 5 - 20 1 167 = - ．
9 9
（2）方法一（由內向外化）
1
1 1 2
a2 b3 a a2

b3 a 2 a2 b3 a 2= × = × × ÷
b a b3 b a è b3 ÷ b a 3 ÷÷
è b2
1 1
1 1 2 3 1 3 1 2
a2

b3 2 a 2 a2 ÷ b2 a 4 a2 b2 a 4= × ÷
b a ÷
× 3è ÷
= × × = × ×
÷ b
1 3 b 1 3 ÷÷
è b2 a 2 b4 è a 2 b4
1 1
2 1 1 3 3 - -1- 2 7 1- 2 7 1-
= a 4 2b2 4 ÷ = a 4b 4 ÷ = a 8b 8 ．
è è
方法二（由外向內化）
1
1 1 2
a2 b3 a a2 b3 2
é
a 2 3
ù
÷ êa
b a 2
b a b3
= = ×
b a b3 ÷ ê b a b3 ÷÷
ú
ú
è ê
è ú
1
ì 1 2
é 1
ü 1 1 1 3 1
a2 b3 ù
2
ê a 2 ú a
2 2 b3 4 a 8 a b4 a8 7 1-= í b ê a b3 ÷
= × × = × × = a 8b 8 .
è ú
b ÷ a ÷ 3 ÷ 1 1 3
è è
è b b2 a 4 b8

1 1-
1 1 1
- - -1 a 2 a 2 1a-1a - a-13 a 2a 2
÷
（ ）方法一 原式 a 2 a a -1
1 1
= - = - è
- -
2 2 ．
1 1 1 1 1 = a - a = 0
- -
a 2 - a 2 1 a 2 a 2 a -1 1 a 2
1
1- a-1
-
1 a 2 1 1
= - = - = 0
方法二 原式 1 1 1 1 1 ．
a 2 -1- a-1 a 2 a 2 1÷ a 2 a 2
è
46．（2024 高一上·全國·單元測試）計算下列各式的值：
4 1-
(1) 3 2 3 6 16 2 2 2 3 - 4 4 0.25 0 49 ÷ - 2 8 - -2020 ；è
4 1
(2) a
3 -8a3b b
1- 2 3 ÷ 32 2 ÷ a
4b3
a
2 3 ab a 3 è
【答案】(1)100
(2) a
【分析】（1）（2）根據冪的運算法則及分數指數冪的性質計算可得.
4 1-
【詳解】（1） 3 2 3 6 2 2 3 16 2- 4 - 4 ÷ 2 80.25 - -2020 0è 49
4
1 1
6
3 3 1 1- 0.25
= 23 32 ÷ 22 ÷ - 4 24 7-2 2 - 24 23 -1
è ÷è
4
1 3
1
6 1
é 3 ù
6 2 4 1 1 - 1 3 ÷ -2 - ÷
= 23 32 êê 2
2 ú è 2 è 2÷ 4 4
è ú
- 4 2 7 - 2 2 -1
ê ú
1 3
= 22 33 2 - 4 2-2 7 - 24 24 -1
= 4 27 2 - 7 - 2 -1 =100
4 1
a 3 -8a3b b
（2） 1- 2 3 32 2 a ÷÷
a
4b3 2 3 ab a 3 è
1 1 1
a3 a -8b a3 - 2b3 1
= 2 2
3
1 1
a
4b3 2 ab 3 a 3 a3
1 1
a3 a -8b a3 1
= 32 a1 2 1 1
4b3 2 ab 3 a 3 a3 - 2b3
a a -8b
= = a
a -8b
2 1 1 2 1
8 17 a 3 3a3b3 33 b 3
47．（2024 高一上·江蘇·課后作業）已知 a = - ,b = ，求 a 的值．27 71 4 1 3
a 3 - 27a3b a - 3
3 b
9
【答案】
4
【分析】利用指數的定義、性質、運算法則直接求解．
【詳解】因為 a 0, a - 27b 0，
2 1 1 1

a 3 3a3b3 (33 b)2 a3\
4 1 3 3
a 3 - 27a3b a - 3 b
2 1 1 2 1 1
a 3 3a3b3 9b3 a3 - 3b3
= 4 1 1
a 3 - 27a3b a3
2 1 1 2 2 1 1 2
a 3a 3b3 9a3b3 - 3a 3b3 - 9a3b3 - 27b
= 5 2
a3 - 27a 3b
a - 27b 1 1 1 9
= 2 = 2 = 2 = 2 =
a 3 (a 27b) a 3 ( 8 )3 (- )2 4 ．- -
27 3
2
-2 4
48．（2024 3高一上·內蒙古阿拉善盟·期中）（1）計算 3-0.12 0 × 3 2 ÷ 38 ÷ - 3 3è è
3 1- 2 2
1
-
2 2 1 1-
a 3 ×b-12 ÷ × a
2 ×b3
（ ）化簡： è .
6 a ×b5
1 1 2
3 - a a
-2 1
（ ）已知 a 2 a 2 = 2，求 -1 的值.a a 2
3
【答案】(1) 2 - 2；(2) a-1；(3) 4
【分析】(1)根據指數冪的運算性質即可求解；
(2)根據分數指數冪的運算性質即可求解；
(3)根據題意，先計算 a a-1 = 2 ，然后將其平方得到 a2 a-2 = 2，代入即可求解.
2
-2 4
【詳解】(1) 3 -0.12 0 3 ÷ × 3
3
÷ - 3 23 3 1- 22 8 è è
1 4 9
3 1 4
= - ((32 )2 )3 2 -1
9 4
=1 1- 3 2 -1
= 2 - 2
1
-
2 2 1 1-
3
(2) a ×b
-1
÷ × a 2 ×b3
è
6 a ×b5
1 1 1 1
- -
a 3 2= ×b
2 3
1 5
a 6 ×b6
5 5
-
a 6 ×b6
= 1 5
a 6 ×b6
= a-1
1 1
(3)因為 - -1a 2 a 2 = 2，兩邊同時平方可得： a a = 2 ，
再將 a a-1 = 2 兩邊同時平方可得： a2 a-2 = 2，
a2 a-2 1 2 1 3
所以 = = .
a a-1 2 2 2 4
1 1 1 1
- -
49．（2024 高一·全國·課后作業）計算 (0.0081) 4 -[3 (7 )0 ]-1 [81-0.25 (3 3) 3 ]2 -10 0.0273 .
8 8
【答案】0
【分析】根據給定條件，利用指數運算求解作答.
3 1 3 1 1 3 1- -
【詳解】原式= [( )4 ] 4 - 3-1 {(34 )-0.25 [( )3] 3}2 -10 [( )3]3
10 2 10
( 3 )-1 1 1
1
= - [ (3)-1]2 10 3-
10 3 3 2 10
10 1 (1 2
1
= - )2 - 3 = 0
3 3 3 3
1 1
- 2
50 2024· · 1 1 2 64 3．（ 江西 模擬預測）（ ）計算： 4 4 2 2 25 ÷ 125 ÷
( 2 6)
è è 4 ；
（2）已知 a,b(a > b)是方程 x2
a - b a b
- 5x 5 = 0的兩根，求 的值.
a b a - b
【答案】（1）16；（2） 2 5 ．
【分析】（1）把根式化為分數指數冪，然后由冪的運算法則計算．
（2）由韋達定理筣出 a b, ab，求出 a - b，求值式變形后代入已知值即可得．
2
1 1 1 2 2 4 1
【詳解】（1）原式＝ 252 4 (22 64 )4 4 2 ÷ = 5 4 6 42 = 4 12 =16；
5 ֏ 5
（2）由題意 a b = 5， ab = 5，又 (a - b)2 = (a b)2 - 4ab = 52 - 4 5 = 5，而 a > b，所以 a - b = 5 ，
a - b a b ( a - b)2 ( a b)2 a - 2 ab b a 2 ab b
所以 = =
a b a - b ( a b)( a - b) a - b
2(a b) 10
= =
5 a - b = 2 5
，
51．（2024 高一上·浙江·課后作業）（1）已知 x = a-3 b-2 ，化簡 4 x2 - 2a-3x a-6 .
2 2 1 2 2 1 2 2
（2）設 a 3 b3 = 4， x = a 3a3b3 ， y = b 3a 3b3 ，求 (x y)3 (x - y)3 的值.
1
【答案】（1） b ；（2）8
【分析】（1）由已知得 x - a-3 = b-2 ，結合指數運算法則化簡；
1 1
（2）令 a3 = A，b3 = B，結合因式分解可得 x y = (A B)
3， x - y = (A - B)3 ，則
2 2
(x y)3 (x - y)3 = 2(A2 B2 )，結合已知即可求值.
【詳解】（1）由 x = a-3 b-2 ，得 x - a-3 = b-2 ，
∴ 4 x2 - 2a-3x a-6 = 4 (x - a-3)2
1
= 4 (b-2 )2 =
| b | .
1 1
（2）令 a3 = A，b3 = B，則
x = A3 3AB2 ， y = B3 3A2B ，
x y = A3 3AB2 3A2B B3 = (A B)3 ，
x - y = A3 3AB2 - 3A2B - B3 = (A - B)3 .
2 2 2 2
∴ (x y)3 (x - y)3 = (A B)2 (A - B)2 = 2(A2 B2 ) = 2(a 3 b3 ) = 8 .
52．（2024 高一·上海·專題練習）求使等式 a - 3 a2 - 9 = 3 - a a 3 成立的實數 a 的取值范圍.
【答案】[-3，3]
ìa - 3 0
【分析】由 a - 3 a2 - 9 = a - 3 2 a 3 = a - 3 a 3 成立，即可得出 ía 3 0，解得即可．
【詳解】 a - 3 a2 - 9 = a - 3 2 a 3 = a - 3 a 3 ，
要使 a - 3 a 3= 3 - a a 3 |成立，
ìa - 3 0
需 í
a 3 0
解得 a∈[-3，3]．
，
【點睛】本題考查了根式的運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．
53．（2024 高一上·全國·課后作業）求下列各式的值.
(1)若3a = 2,3b = 5，求32a-b ；
3a 9a ×3b
(2)已知 b =1，求 的值；
2 3a
1
- 1 1- 2
(3)若 a = 2 3 ,b = ，求 a 2 ×b ab2 × a3 ；2
1
12 1 1- 3 4
a 4 ×
a 2.5,b 20
a 2 ×b3 ÷ 3- 3
(4)若 = = ，求 è × a
8 ÷ .
1 3 1 2 - ÷b12 ×a 2 ×b4 è b 3 ÷
4
【答案】(1)
5
(2)3
(3) 14
(4)4
3a 2【分析】（1）將32a-b 4可化成 的形式，代入數據即可求得結果為 ；
3b 5
9a ×3b 3 3a
（2）原式 可表示為 a b32 ，代入 b =1即可求出答案為 3；3a 2
1
- 2
3 1（ ）將 a 2 ×b ab2 × a3 化簡為 a3b2 ，代入 a,b的值可計算出結果為 4 ；
2
（4 3）化簡后可得原式 b= ÷ ，將 a,b的值可得結果是 4.
è a
a 2
【詳解】（1 3）利用指數運算法則可知 32a-b = 32a ×3-b = ，
3b
2
將3a = 2,3b = 5 2 4代入可得32a-b = = .
5 5
9a ×3b 32a ×3b 32a ×3b 3 a 3 a b
= = 22 1 1 = 3 ×3
b = 32 3a
（ ）易知 3a a ，又 b =1， 3a 2 32 2
9a ×3b 3a b
所以 = 32 = 3
3a
1
- 2 1- 1 1
2 1 1
（3）化簡得 a 2 ×b ab2 × a3 = a 2 ×b ab2 2 × 3 a - 32 1 1 3 2÷ = a 2 2 ×b = a b ，
è
1
- 1 2 1
3 2
- -
將 a
1
= 2 3 ,b = 代入可得 a 2 ×b ab2 × a3 = a3b2 = 2 3 1 1 1 12 ÷ ÷ = =è è 2 2 2 4
1
12 1 1- 3 4
a 4 × a 2 ×b3 ÷ 3- 3 3 1 1- 1- 2
（4）易知 è a 8 a 2 × a 6 ×b9 a 2
2 2
- 3
× ÷ = × = a 3 ×b3 b=
1 3 1 2- ÷ 1 3 1 8 a ÷-
b12 ×a 2 ×b4 b 3 ÷è b12 × a 2 ×b4 b 9
è
1
12 1 1- 3 4
a 4 × a 2 ×b3 ÷ 3- 3 2 2
又 a = 2.5,b = 20，所以 è a 8
2
× ÷
b 3 20 3
2 ÷ = ÷ =

÷ = 83 = 41 3 1 -
b12 ×a 2 ×b4 è b 3 ÷
è a è 2.5

1
-
54 1 1．（2024 高三·全國·專題練習）（1）計算0.027 3 - (- )-2 810.75 ( )0 - 3-1；
6 9
1 1
（2）若 -x2 x 2 = 6 ，求 x
2 x-2的值．
【答案】（1）-5；（2）14.
【分析】（1）由題意利用分數指數冪的運算法則，計算求得結果．
（2）由題意兩次利用完全平方公式，計算求得結果．
1
- 1 10 1
【詳解】（1）0.027 3 - ( 1- )-2 810.75 (1)0 - 3-1 = 0.3﹣1﹣36+33+1 - = - 36+27+1 - = - 5．
6 9 3 3 3
1 1 1
（2）若 -
1
x2 x 2 = 6 ，∴x 2＝6，x = 4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．x x4.1 指數 5 題型分類
一、根式的定義
(1)a 的 n 次方根的定義：一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n＞1，且 n∈N*.
(2)a 的 n 次方根的表示
①當 n 是奇數時，a 的 n 次方根表示為n a，a∈R；
②當 n 是偶數時，a 的 n 次方根表示為±n a，其中n a表示 a 的正的 n 次方根，－n a表示 a 的負的 n 次
方根，a>0；
③負數沒有偶次方根；
④0 的任何次方根都是 0，記作 n 0＝0.
(3)根式：式子n a叫做根式，這里 n 叫做根指數，a 叫做被開方數.
二、根式的性質
(1)(n a)n＝a.
(2)n an {a n 為奇數 ，＝ |a| n 為偶數 .
注：n an與(n a)n的區別
(1)n an是實數 an 的 n 次方根，是一個恒有意義的式子，不受 n 的奇偶限制，但這個式子的值受 n 的奇
偶限制．其算法是對 a 先乘方，再開方(都是 n 次)，結果不一定等于 a，當 n 為奇數時，n an＝a；當 n 為偶
數時，n an＝|a| {a，a ≥ 0，＝ －a，a < 0.
(2)(n a)n 是實數 a 的 n 次方根的 n 次冪，其中實數 a 的取值范圍由 n 的奇偶決定．若 n 為偶數，則 a≥0；
若 n 為奇數，則 a∈R.其算法是對 a 先開方，后乘方(都是 n 次)，結果恒等于 a.
三、分數指數冪的意義
m m
- 1
(1) a n ＝n 1am(a>0，m，n∈N*，n>1)， a n ＝ m ＝ (a>0，m，n∈N*，n>1).n m
a n
a
(2)0 的正分數指數冪等于 0,0 的負分數指數冪沒有意義.
注：分數指數冪的理解
m m
(1)分數指數冪是指數概念的又一推廣，分數指數冪 a n 不可理解為 個 a 相乘，它是根式的一種新的寫
n
法．在這樣的規定下，根式與分數指數冪是表示相同意義的量，只是形式不同而已．
m
(2)把根式 n am化成分數指數冪的形式時，不要輕易對 進行約分．
n
2
(3)在保證相應的根式有意義的前提下，負數也存在分數指數冪，如 -5 3 = 5 -5 2 有意義，但
3
-5 4 = 4 -5 3 就沒有意義．
四、有理數指數冪的運算性質
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
（一）
n 次方根的概念問題
1、n 次方根的個數及符號的確定
(1)正數的偶次方根有兩個且互為相反數，任意實數的奇次方根只有一個．
(2)根式n a的符號由根指數 n 的奇偶及被開方數 a 的符號共同確定：
①當 n 為偶數時，n a為非負實數；
②當 n 為奇數時，n a的符號與 a 的符號一致．
2、判斷關于 n 次方根的結論應關注兩點
(1)n 的奇偶性決定了 n 次方根的個數；
(2)n 為奇數時，a 的正負決定著 n 次方根的符號．　
題型 1：n 次方根的概念
1-1（．2024 高一·江蘇·假期作業）16的平方根為 ，-27的5次方根為 ；已知 x7 = 6，則 x = ；
1-2．（2024 高一上·上海虹口·期中）625 的四次方根為 .
1-3．（2024 高一·全國·課后作業）81 的 4 次方根是 ．
1-4．（2024 高一上·甘肅臨夏·階段練習）二次根式 x2 = -x成立的條件是（ ）
A． x > 0 B． x 0 C． x 0 D． x 是任意實數
1-5．（2024 高一·江蘇·假期作業） a是實數，則下列式子中可能沒有意義的是（　　）
A． 4 a2 B． 5 a
C． 7 -a D． 8 a
1-6．（2024 高三·全國· 2專題練習）已知 x 3 y -1 x z - 4 = 0 ，求 x yz =
（二）
利用根式的性質化簡求值
根式化簡的思想和注意點
(1)根式的化簡思想是將根式有理化，利用根式的性質和乘法公式(完全平方公式、立方和(差)
公式)，將所求代數式恰當地變形，達到化繁為簡的目的．
(2)化簡根式時需注意：
在根式計算中，含有 n a (n 為正偶數)的形式中要求 a≥0，而 n an 中 a 可以是任何實數．　　
(3)解決根式的化簡或求值問題，首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運用根式的
性質進行化簡或求值，必要時還要進行分類討論．
題型 2：根式化簡或求值
2-1．（2024 高一上·全國·專題練習）化簡 11 6 2 11- 6 2 = .
2 3
2-2．（2024 高一上·四川宜賓·階段練習）化簡 1- 3 3 3 1 的結果是 ．
2-3．（2024 高一·江蘇·假期作業）有下列說法：
① 3 -125 = 5；②16 的 4 次方根是±2；
③ 4 81 = ±3；④ (x y)2 =| x y |．
其中，正確的有 (填序號)．
2-4．（2024 高一·全國·課后作業）當 2 - x 有意義時，化簡 x2 - 4x 4 - x2 - 6x 9 的結果是（ ）
A．2x－5 B．－2x－1
C．－1 D．5－2x
2-5．（2024 3高一上·江西南昌·階段練習）若 a = 3 3-p ，b = 4 2 -p 4 ，則 a b 的值為（ ）
A．1 B．5 C．-1 D． 2p - 5
（三）
根式與分數指數冪的互化
根式與分數指數冪互化的依據
(1)在解決根式與分數指數冪互化的問題時，關鍵是熟記根式與分數指數冪的轉化式子：
m
m -a n 1 1a n = n am 和 = m = n m ，其中字母 a 要使式子有意義．
a n a
(2)將含有多重根號的根式化為分數指數冪的途徑有兩條：一是由里向外化為分數指數冪；二
是由外向里化為分數指數冪．
(3)根式與分數指數冪互化的規律
①根指數 分數指數的分母，被開方數(式)的指數 分數指數的分子．
②在具體計算時，通常會把根式轉化成分數指數冪的形式，然后利用有理數指數冪的運算性
質解題．
題型 3：根式與分數指數冪互化
3-1．（2024 高一·全國·課堂例題）化簡（式中各字母均為正數）：
(1) 6x 2 y 3 ；
1 1
- 3
(2) -4x 2 ×3x 2 -y 3 × y 3 ；
(3) a × 3 a × a ．
3-2．（2024 高一·全國·課堂例題）[多選題]下列關系式中，根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
1 3-
A 1
3

． 6 y2 = y 3 （ y < 0） B． x 4 = 4 ÷ （ x > 0）
è x
3
1
C． -x 3 = - 3 x （ x 0） D． é 3 -x
2 ù 2 = x（ x > 0）
ê ú
3-3．（2024
1 1
高一上·廣東佛山·階段練習）根式 的分數指數冪的形式為（ ）
a a
4 4 3 3
A． - -a 3 B． a 3 C． a 4 D． a 8
3-4．（2024 高一上·甘肅武威·階段練習）（多選題）下列各式中一定成立的有（ ）
n 7 1A 4． ÷ = n
7m7 B． 12 -3 = 3 3
è m
3
C． 4 x3 y3 = x y 4 D． 3 9 = 3 3
3-5．（2024 高一·全國·課后作業）用分數指數冪表示下列各式（式中字母均為正數）：
3 4
3 2 m m m
1 1 1（ ） b a ；（2）
6 a 2 a 2 a ；（3） 1 .a b ( 6 m)5 m4
（四）
指數冪的運算
指數冪運算的解題通法
(1)有括號的先算括號里的，無括號的先做指數運算．
(2)先乘除后加減，負指數冪化成正指數冪的倒數．
(3)底數是負數，先確定符號，底數是小數，先化成分數，底數是帶分數，先化成假分數．
(4)若是根式，應化為分數指數冪，并盡可能用冪的形式表示，運用指數冪的運算性質來解答．
運算結果不能同時含有根式和分數指數冪，也不能既有分母又含有負指數冪，形式力求統一．
題型 4：指數冪的運算
4-1．（2024 高一·全國·專題練習）計算下列各式的值.
1
- 3
0
(1) 0.064 3 -164 1 ÷ -
4 81
è 9
1 1
-
(2) 25 8 3 2- ÷ - (π e)
0 1
9 ÷è 27 è 4
1 π 2(3)3π 22 2 1 5 ÷
è 3
7 0.5
2
-
(4) 3 2 ÷ 0.1
-2
10
2 ÷ - 3π
0 37 ；
è 9 è 27 48
-6 32
(5) 483 0.5-3 1 16- 3 ÷
.
è è 81
÷

1 7 0 4-(6) 0.064 3 - -
- 1
計算： ÷ é -2
3 ù 3 16-0.75 -0.01
2 ；
è 8
3
1 -1
1
-
2 4ab (7) × （ a > 0，b > 0）.
è 4 ÷ 1 0.1 -2 a3b-3 2
4-2．（2024 高一·全國·課后作業）化簡求值:
1 2
(1) 9 2 9.60 27
- 2
3 2
÷ - -
÷ ÷ ；
è 4 è 8 è 3
1 -3
(2) a 2·3 b2 ÷ b-4· a-2 （ a > 0，b > 0）.
è
2 4
4-3．（2024 高一上·山西·期中）（1）化簡： b a (a > 0,b > 0) .（結果用分數指數冪表示）
a3 b6
2 1
- 1-
（2）化簡：8a 3b 2 2a 6b2 ÷ (a > 0,b > 0) .（結果用分數指數冪表示）
è
2 1
（3）求值： -83 27 3 ( 2 1)0 .
4-4．（2024 高一上·全國·課后作業）計算下列各式：
1 0
1
(1) 2-2 2 1
-
2
- 0.01 0.5 2 ÷ ÷
；
è è 4
0.5 2-
(2) 2 7 0.1-2 10
3 0 37
9 ÷
2
27 ÷
- 3π ；
è è 48
(3) a-2b-3 -4a-1b 12a-4b-2c a,b,c > 0 .
（五）
指數條件求值問題
解決條件求值問題的一般方法
對于條件求值問題，一般先化簡代數式，再將字母的取值代入求值．但有時字母的取值不
知道或不易求出，這時可將所求代數式適當地變形，構造出與已知條件相同或相似的結構，從
而通過“整體代入法”巧妙地求出代數式的值．在利用整體代入的方法求值時，要注意平方差
公式、立方差公式及完全平方公式的應用．
利用“整體代入法”求值常用的變形公式如下(a>0，b>0)：
1 1 1 1
(1)a±2a 2 b 2 ＋b＝(a 2 ±b 2 )2；
1 1 1 1
(2)a－b＝(a 2 ＋b 2 )(a 2 －b 2 )；
3 3 1 1 1 1
(3)a 2 ＋b 2 ＝(a 2 ＋b 2 )(a－a 2 b 2 ＋b)；
3 3 1 1 1 1
(4)a 2 －b 2 ＝(a 2 －b 2 )(a＋a 2 b 2 ＋b)．
題型 5：利用指數運算性質進行條件求值
1 1
75．（2024 高一上·全國·課后作業）已知 -a 2 a 2 = 5 ，求下列各式的值．
(1)a＋a－1；
(2)a2＋a－2；
3 3
(3) -a 2 a 2
1 1
76．（2024 高一·全國·課后作業）已知 -a 2 a 2 = 3，求下列各式的值：
(1) a a-1；
a2 a-2 - 2
(2) 3 3 ．
-
a2 a 2 -3
1 1
77．（2024 高一上·廣西玉林·期中）已知 - 2 -2x 2 x 2 = 3，則 x - x = ．
78．（2024 高一上·江西萍鄉·期中）計算下列各式
1 0
- 3 6
(1) 0.001 3 - 7 164 2 ×
3 3 ；
è 8 ÷


(2)已知 x x-1 = 3，求下列各式的值：
1 1
① -x 2 x 2 ；
3 3
② -x 2 x 2 ．
79．（2024 高一上·湖南長沙·階段練習）已知 a a-1 = 3，下列各式中正確的個數是（ ）
2 2 1 1
1
① a a- = 7；② a3 a-3 =18；③ -a 2 a 2 = ± 5 ；④ a a = 2 5 ；a a
A．1 B．2 C．3 D．4
1
1
80．（2024 高一上·江蘇南通·期中）（1）求814 - 5 - 3 0 8 3 27 ÷ 的值；è
1 1
-
（2）已知 x 2 2 x-1 =14，求 x x 4 的值.
x2 x-2 - 200
一、單選題
1．（2024 高一上·全國·課后作業）有下列四個命題：
①正數的偶次方根是一個正數；
②正數的奇次方根是一個正數；
③負數的偶次方根是一個負數；
④負數的奇次方根是一個負數．
其中正確的個數是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
3 ab2 × a2b2
2．（2024 高一上·內蒙古阿拉善盟·期末）化簡 1 1 4 （a，b 為正數）的結果是（ ）3 b × a 6b 4
b2 a2A． 2 B． 2 C． a
2b2 D． ab
a b
1
- (-4)0 1
3．（2024 0高一·全國·課后作業）計算 2 2 - (1- 5) ，結果是（ ）
2 2 -1
1
A．1 B． 2 2 C． 2 D． -2 2
4．（2024 高一上·江西景德鎮·期中）化簡 4 m6 (m < 0) 的結果為（ ）
A．m m B．m -m
C．-m m D．-m -m
2 1 2 1 2- -
5．（2024 高三·全國·專題練習）化簡 4a 3b 3 - a 3b3 ÷的結果為（　　）
è 3
2a 8a 6a
A．- B．- C．- D．6ab
3b b b
6．（2024 高一上·全國·單元測試）化簡 a × 3 a2 × a =（ ）
3 11 27
A． a 4 B
7
． a 8 C． a12 D． a 28
1- 1- 1- 1- 1-
7．（2024 高一·全國·課后作業）化簡 1 2 32 ÷ 1 2 16 ÷ 1 2 8 ÷ 1 2 4 ÷ 1 2 2 ÷的結果為（ ）
è è è è è
1 1
-1
- 1-
A 1． 1- 2 32 ÷ B． 1- 2 322 è 2
÷
è
1 -1 - 1
C． 1 2 32 ÷ D．
è 2
0.5 1 3- 2
8．（2024 高一上·山西晉城·期中） 9 (2 - π)2 23 2 4 2 4 ÷ 3 ÷ 16 3 3 ÷ =（ ）è è è
A． π B． 2 π C． 4 - π D．6 - π
3 3
-
1 1 m29 - m
2
．（2024 高一上·江蘇南京·階段練習）已知 -m2 m 2 = 4 ，則 1 1 的值是（ ）-
m2 - m 2
A．15 B．12 C．16 D．25
10．（2024·河北張家口·二模）2021 年 5 月 15 日，中國首次火星探測任務天問一號探測器在火星成功著陸.
截至目前，祝融號火星車在火星上留下 1900 多米的“中國腳印”，期待在 2050 年實現載人登陸火星.已知所
有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，且所有行星軌道的半長軸的三次方與它的公轉周期的二次方的比值都
相等.若火星與地球的公轉周期之比約為9 : 5，則地球運行軌道的半長軸與火星運行軌道的半長軸的比值約
為（ ）
A 25． 3 B 81 C 5 D 9． 3 ． 3 ． 3
81 25 9 5
11．（2024 高一上·浙江寧波·期末）下列式子的互化正確的是（ ）
1 1
A -．6 y2 = y 3 y < 0 B． x 3 = - 3 x x 0
5 5
- 1
C． x 4 = 1 4 ÷ x > 0 D．- x = -x 2 x > 0
è x


1 2
12．（2024 高一上·內蒙古阿拉善盟·期末）已知正數 m，n 滿足 2m 4n = 2，則 的最小值為（m n ）
A．3 B．5 C．8 D．9
13．（2024 高一·全國·課后作業）若2 < a < 3，化簡 (2 - a)2 4 (3- a)4 的結果是（ ）
A．5－2a B．2a－5
C．1 D．－1
14．（2024 高一·全國·專題練習）方程5x-1 ×103x = 8x 的解集是（　　）
A． 1,4 ì1 ü ì1, 1 ü ìB． í C． í D． 4, 1 ü
4 4
í
4
15．（2024 高一·全國·專題練習）下列根式與分數指數冪的互化正確的是（ ）
1 1
A．- x = -x 2 B． 6 y2 = y 3 (y < 0)
1
-
x 3 1
3 1
C． = (x > 0) D． é 3 2 ù 4 2
3 x (-x) = x
16．（2024 高一·全國·課堂例題）若 x3 x2 x = -1，則 x-28 x-27 ××× x-2 x-1 1 x1 x2 ××× x27 x28 的值
是（ ）
A．2 B．0 C．-1 D．1
17．（2024 高一·全國·課后作業） n (3 - π)n (n N,n 2) = （ ）
A．3- π B． π - 3
C． 3 - π D．當 n 為奇數時，3- π；當 n 為偶數時， π - 3
18．（2024·湖北武漢·二模）閱讀下段文字：“已知 2 為無理數，若 ( 2) 2 為有理數，則存在無理數 a = b = 2 ，
使得ab為有理數；若 ( 2) 2 為無理數，則取無理數 a = ( 2) 2 ，b = 2 ，此時
2
ab = ( 2) 2 = ( 2) 2 × 2 = ( 2)2 = 2為有理數．”依據這段文字可以證明的結論是（ ）
A． ( 2) 2 是有理數 B． ( 2) 2 是無理數
C．存在無理數 a，b，使得ab為有理數 D．對任意無理數 a，b，都有ab為無理數
19．（2024·河南開封·三模）已知 a > 0，b > 0，且a b = 1， a b，則下列不等式成立的是（ ）
A． a b < 2
1 1
< a b B． a
1 1
b <
2 2 2a

2b
< 2
1 1 1 1
C． a b < 2 < a b D． a b < a b < 22 2 2 2
二、多選題
20．（2024 高一上·全國·單元測試）下列各式正確的是（ ）
A． a2 = a B． 3 (-3)3 = -3 C． (-2)4 = -4 D． - 5 (-a)5 = a
21．（2024 高一上·云南曲靖·階段練習）若 n N,a R ，則下列四個式子中有意義的是（ ）
A． 2 (-7)4n B． 2 (-7)3n C． 3 a2 D． 2 a3
22．（2024 高一上·陜西西安·階段練習）已知 a2 a-2 = 3，則 a a-1等于（ ）
A． 5 B．- 5 C．1 D．-1
23．（2024 高一·江蘇·假期作業）下列說法正確的是（　　）
A．16 的 4 次方根是 2
B． 4 16 的運算結果是±2
C．當 n 為大于 1 的奇數時， n a 對任意 a R 都有意義
D．當 n 為大于 1 的偶數時， n a 只有當 a 0時才有意義
24．（2024 高一上·吉林白山·階段練習）已知 xy≠0，且 4x2 y2 = -2xy ，則以下結論錯誤的是（ ）
A．xy<0 B．xy>0
C．x>0，y>0 D．x<0，y<0
4
25．（2024 高一上·甘肅慶陽·期末）若 <1，化簡 25 - 30x 9x2 - x - 2 2 - 3的結果可能（2 x ）-
A． 2x - 6 B． 4x - 6 . C．-2x D． 2x 4
三、填空題
y
26．（2024 高一上·全國·課后作業）若 x2 2x 1 y2 6y 9 = 0，則 x2020 ＝ .
27．（2024 高三下·上海寶山·階段練習）若實數 x、y滿足 x 2y =1，則 2x 4y 的最小值為 ．
1 1 1 1
28．（2024 高一·全國·專題練習） 2 5 1 ××× ÷ = .
è1 2 2 3 3 4 80 81
a3 a-3 a3 - a-3 a2 1 a-4 - 2
29．（2024 高三·全國·專題練習） -1 = 4 -4 -1 a a 1 a - a a - a
1 2
30．（2024 高一·全國·課后作業）求值： 4 2 3
1
-
÷ (
64
-5.6)0 -
9 ÷
0.125 3 = ．
è è 27
1
3
31 x -1 x 1 x - x．（2024 高三·全國·專題練習） 2 1 1 - 1 =
x 3 x3 1 x3 1 x3 -1
-2 ab -83 a2b5
32．（2024 高三·全國·專題練習）若 a = 27,b =16

， =
6 a2b7 4 4 a2b5
33 2024 · · 3a -1 a-2．（ 高一 安徽蕪湖 強基計劃）已知 =1，則 a的取值可能是 ．
34．（2024 高一上·全國·課后作業）方程 24x 1 -17 4x 8 = 0 ， x = ．
-2 2
35．（2024 高三·全國·專題練習） -1.8 0 3 27 1 ÷ 3
3
2 ÷
- 9 = .
è è 8 0.01
36．（2024 高一·安徽蕪湖·強基計劃） 3 35 2 6 - 5 - 2 6 = ．
37．（2024 高一·江蘇常州·階段練習）化簡： (a2 × 5 a3 ) ( a ×10 a9 ) = ．（用分數指數冪表示）.
38．（2024 高一上·吉林松原·階段練習）若代數式 3x -1 3 - x 有意義，則
9x2 - 6x 1 3 2016 x - 3 2016 = .
2 2
39．（2024 高三·全國· a - b專題練習）已知 a > b > 0， a2 b2 = 4ab，則 的值為 ．
ab
x2 x-21 1 - 2
40．（2024 高一上·江西吉安·期中）已知 -x 2 x 2 = 3，則 3 3
= ．
-
x 2 x 2 - 3
41．（2024 高一上·全國·課后作業）計算下列各式．
（1） 5 -a 5 ＝ ；
（2） 6 3- π 6 ＝ ；
3 6 1（ ） - 3 3 3 - 3 0.125 ＝ .
4 8
四、解答題
42．（2024 高一·江蘇·假期作業）求值：
2
- 0.5
(1) 27 3 49 2 ÷ -
-2 0
8 9 ÷
(0.2) - (0.081) ；
è è 25
2 -2 2 -1 - -
(2)π0－ 8 3 ÷ ＋ 5 2 × 4 5 ÷ .
è è
43．（2024 高三·全國·專題練習）解下列方程：3 4x 2 9x = 5 6x ；
44．（2024 高一·江蘇·假期作業）計算：
1
1
-
3 1(1) - -1 - ÷ 0.002 2 -10 5 - 2 π0；
è 27
2
(2)83 (1)-2 (16
3
-
- ) 4 - ( 2 -1)0
2 81
45．（2024 高一·全國·課堂例題）化簡下列各式：
2
-
(1) 3 3
1 -1 0
-3 0.002
-
2 -10 5 - 2 3 - 2 ；
è 8 ÷


2 3
(2) a b a （ a > 0，b > 0）；
b a b3
1
1- a-1
-
2
(3) 1 a1 1 - 1 （ a > 0且 a 1）．
-
a 2 - a 2 1 a 2
46．（2024 高一上·全國·單元測試）計算下列各式的值：
4 1-
(1) 3 6 3 16 22 3 2 2 - 4 ÷ - 4 2 80.25 - -2020 0 ；è 49
4 1
3 3
(2) a -8a b2 2 1 2
b
- 3
a ÷
3
÷ a
4b3 2 3 ab a 3 è
2 1 1 2 1
8 17 a 3 3a3b3 33 b 3
47．（2024 高一上·江蘇· 課后作業）已知 a = - ,b = ，求 a 的值．
27 71 4 1 3 3
a 3 - 27a3b a - 3 b
-2 2 4
48．（2024 3 2高一上·內蒙古阿拉善盟·期中）（1）計算 -0.12 0 3 × ÷ 3
3
÷ - 3 3
3
2 1- 2 è è 8
1
2
-
2 1 1-
2 a
3 ×b-1 ÷ × a 2 ×b3（ ）化簡： è .
6 a ×b5
1 1 a2 a-2 1
（3）已知 -a 2 a 2 = 2，求 的值.a a-1 2
1 1 1
- -
1
49．（2024 高一·全國·課后作業）計算 (0.0081) 4 -[3 7 ( )0 ]-1 [81-0.25 3 (3 ) 3 ]2 -10 0.0273 .
8 8
1 1
- 2
50．（2024·江西·模擬預測）（1）計算： 1 2 64 3 4 4 2 2 25 ÷ 125 ÷
( 2 6) 4 ；è è
2 a,b(a > b) 2 a - b a b（ ）已知 是方程 x - 5x 5 = 0的兩根，求 的值.
a b a - b
51．（2024 高一上·浙江·課后作業）（1）已知 x = a-3 b-2 ，化簡 4 x2 - 2a-3x a-6 .
2 2 1 2 2 1 2 2
（2）設 a 3 b3 = 4， x = a 3a3b3 ， y = b 3a 3b3 ，求 (x y)3 (x - y)3 的值.
52．（2024 高一·上海·專題練習）求使等式 a - 3 a2 - 9 = 3 - a a 3 成立的實數 a 的取值范圍.
53．（2024 高一上·全國·課后作業）求下列各式的值.
(1)若3a = 2,3b = 5，求32a-b ；
3a 9a ×3b
(2)已知 b =1，求 的值；
2 3a
1
- 1
a 2 3 ,b 1 -
2
(3)若 = = ，求 a 2 ×b ab2 ×
2 a3 ；
1
12 1 1- 3 4
a 4 × a 2 ×b3 3 3
(4)若 a = 2.5,b
-
= 20 ÷，求 è × a
8 ÷ .
1 3 1 2- ÷
b12 ×a 2 ×b4 b 3 ÷è
1
-
54．（2024 1高三·全國·專題練習）（1）計算0.027 3 - (- )-2 810.75 (1 )0 - 3-1；
6 9
1 1
（2）若 - 2 -2x2 x 2 = 6 ，求 x x 的值．

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