資源簡介

4.4 對數函數 14 題型分類
一、對數函數
一般地，函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做對數函數，其中 x 是自變量，定義域是(0，＋∞).
對數函數的特征
(1)logax 的系數是 1；
(2)logax 的底數是不等于 1 的正數；
(3)logax 的真數僅含自變量 x.
二、對數函數的圖象和性質
定義 y＝logax(a>0，且 a≠1)
底數 a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
單調性 增函數 減函數
共點性 圖象過定點(1,0)，即 x＝1 時，y＝0
x∈(0,1)時， x∈(0,1)時，
y∈(－∞，0)； y∈(0，＋∞)；
函數值
x∈[1，＋∞)時， x∈[1，＋∞)時，
y∈[0，＋∞) y∈(－∞，0]
1
對稱性 函數 y＝logax 與 y＝log x 的圖象關于 x 軸對稱
a
在直線 x＝1 右側，a 值越大， 在直線 x＝1 右側，a 值越小，
趨勢
圖象越靠近 x 軸 圖象越靠近 x 軸
三、反函數的概念
對數函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)與指數函數 y＝ax互為反函數，它們的圖象關于直線 y＝x
對稱．對數函數 y＝log x xax 的定義域是指數函數 y＝a 的值域，而 y＝logax 的值域是 y＝a 的定
義域.
四、底數對對數函數圖象的影響以及圖象的特點
(1)對圖象的影響：比較圖象與直線 y＝1 的交點，此時直線 y＝1 與對數函數圖象交點的坐
標為(a,1)．交點的橫坐標越大，對應的對數函數的底數越大，即沿著直線 y＝1 由左向右看，
底數 a 增大(如圖)：
(2)圖象的特點：函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)的圖象無限靠近 y 軸，但永遠不會與 y 軸相交；
1
在同一坐標系內，y＝logax(a>0，且 a≠1)的圖象與 y＝log x(a>0，且 a≠1)的圖象關于 x 軸(即直
a
線 y＝0)對稱．
（一）
對數函數的概念
判斷一個函數是對數函數的方法
題型 1：對數函數的概念
1-1．（2024 高一上·江蘇·課前預習）在b = log 2 3a-1 4 - a 中，實數 a 的取值范圍是（ ）
1
A． - , ÷ U 2, +
1 2 2
B．
3
, ÷ U , 2
è è 3 3 ÷ è 3
1 1
C． , 2 D． , 2
è 3 ÷ 2 ÷ è
【答案】B
【分析】根據對數的概念以及不等式計算求解.
【詳解】要使式子b = log 3a-1 4 - a2 有意義，
ì3a -1 > 0
1 2 2
則 í3a -1 1 ，解得 a 或 a 2 .故 A，C，D 錯誤.
2 3 3 3
4 - a > 0
故選：B.
1
1-2．（2024 高一上·遼寧·期末）若對數函數的圖象過點P 8,3 ，則 f ÷ = ．
è 4
【答案】-2
【分析】首先求解對數函數，再代入求值.
【詳解】設對數函數 f x = loga x（ > 0，且a 1），因為函數圖象過點P 8,3 ，
所以 loga 8 = 3，得 a = 2，
f 1 所以 ÷ = log
1
2 = -2 .
è 4 4
故答案為：-2
1-3．（2024 高一上·吉林長春·階段練習）若函數 y = loga x + a
2 - 3a + 2為對數函數，則 a =（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
【答案】B
【分析】根據對數函數的定義，令 a2 -3a + 2 = 0直接計算即可.
y = log x + a2【詳解】由題可知：函數 a - 3a + 2為對數函數
所以 a2 - 3a + 2 = 0 a =1或 a = 2，又 a > 0且 a 1
所以 a = 2
故選：B
1-4．（2024 高一上·全國·課后作業）若函數 f (x) = a2 - 3a + 3 loga x 是對數函數，則 a 的值是（ ）
A．1 或 2 B．1
C．2 D． a > 0且 a 1
【答案】C
【分析】根據對數函數的定義即可得到方程，解出即可.
【詳解】∵函數 f (x) = a2 - 3a + 3 loga x 是對數函數，
∴ a2 - 3a + 3 =1， a > 0且 a 1，
解得 a =1或 a = 2，∴ a = 2，
故選：C．
（二）
對數型函數的定義域
（1）求對數型函數定義域的原則
①分母不能為 0.
②根指數為偶數時，被開方數非負．
③對數的真數大于 0，底數大于 0 且不為 1.
④若需對函數進行變形，則需先求出定義域，再對函數進行恒等變形．
(2)從始至今，給定解析式求定義域的限制條件如下:
①分母不為 0;
②偶次方根下非負;
③ x0 中 x≠0;
④對數的真數大于 0;
⑤對數、指數的底 a 滿足 a>0 且 a≠1.
(3)求定義域時，首先列全限制條件組成不等式組，然后正確解出不等式組，最后結果一定寫
成集合(包含區間)的形式.　
題型 2：對數型函數的定義域
ln(2x -1)
2-1．（2024 高二下·北京順義·階段練習）函數 y = 的定義域為 .
x -1
1
【答案】 ,1

÷ U 1,+
è 2
【分析】根據對數函數定義域解不等式即可求得結果.
ì2x -1 > 0 ìx 1 >
【詳解】由函數解析式可得 í 2
x -1 0
，解得 í ；
x 1
1
所以函數定義域為 ,1÷ U 1,+ .
è 2
1
故答案為： ,1

÷ U 1,+
è 2
2-2．（2024 高一上· 2 - x廣東東莞·期中）函數 f x = - log2 x的定義域為（　　）x
A． 0,2 B． - , 2
C． - ,0 0,2 D．[2, + ∞)
【答案】A
【分析】根據題意列出不等式組，解出即可.
ì2 - x 0

【詳解】由題意得： í x 0 ，解得0 x 2，

x > 0
\ f x 定義域為 0,2 .
故選：A.
f x
2-3 2．（2024 高三上·遼寧·開學考試）已知函數 f x +1 的定義域為 1,2 ，則函數 g x = lg x - 2 的定義域
為 .
【答案】 2,3 3,5
【分析】根據抽象函數、對數函數的定義域求法以及分母不等于零求得結果.
2
【詳解】已知函數 f x +1 的定義域為 1,2 ，
所以 x 1,2 x2， +1 2,5 ，
所以函數 f x 的定義域為 2,5 ，
又 x - 2 > 0，且 x - 2 1，解得 x > 2，且 x 3，
所以 g x 定義域為 2,3 3,5 .
故答案為： 2,3 3,5 .
f x = 2 - x2 + log x 1+ 2-4．（2024 高二下·重慶·期末）已知函數 2 ÷，則 f x 的定義域為 ．
è 2
1 ù
【答案】 - , 2
è 2 ú
【分析】根據根式和對數式的限制條件可得答案.
ì2 - x2 0
【詳解】因為 f x = 2 1- x2 + log 2 x + ÷，所以2 íx 1 ，è + > 0 2
1 1
解得- x 2
ù
，所以 f x 的定義域為
2
- , 2 .
è 2 ú
1 ù
故答案為： - , 2
è 2 ú
2-5．（2024 高二下·山東濰坊·期末）函數 f (x) = lg(x2 + 3x + 2) 的定義域是（ ）．
A． (-2,-1) B．[-2,-1]
C． (- ,-2) U (-1,+ ) D． (- ,-2]U[-1,+ )
【答案】C
【分析】根據真數大于 0 列不等式，求解可得.
【詳解】由題知， x2 + 3x + 2 > 0，解得 x -2或 x > -1，
所以函數 f (x) 的定義域為 (- ,-2) U (-1,+ ) .
故選：C
2-6．（2024 高一下·上海寶山·階段練習）若函數 f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域為 R，則實數 m 的取值范圍
是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】根據 f x 定義域為 R 得到 x2 - mx +1 > 0在 R 上恒成立，然后列不等式求解即可.
【詳解】由題意得 x2 - mx +1 > 0在 R 上恒成立，所以D = m2 - 4 0 ，解得-2 m 2 .
故答案為： -2,2 .
（三）
與對數有關的函數的值域與最值問題
(1)求與對數函數相關的復合函數的值域(最值)，關鍵是根據單調性求解，若需換元，需考慮新
元的取值范圍．
(2)對于形如 y＝logaf(x)(a>0，且 a≠1)的復合函數，其值域的求解步驟如下：
①分解成 y＝logau，u＝f(x)兩個函數；
②求 f(x)的定義域；
③求 u 的取值范圍；
④利用 y＝logau 的單調性求解．
題型 3：與對數有關的函數的值域與最值問題
2

3-1．（2024 高一上·山東濰坊·階段練習）已知 f (x) = log 1 x ÷ - 2log 1 x + 4， x 2,4 ．
è 2 2
（1）設 t = log 1 x ， x 2,4 ，求 t的最大值與最小值；
2
（2）求 f (x) 的值域．
【答案】（1）最大值-1，最小值-2；（2）[7，12]
【解析】（1） t = log 1 x ， x [2， 4]，可得 t在 x [2， 4]上是減函數，即可得出．
2
（2） f (x) = t2 - 2t + 4 = (t -1)2 + 3 = g(t)，可得 g(t)在 t [-2， -1]單調遞減，即可得出值域．
【詳解】（1） t = log 1 x ， x [2， 4]，
2
\t 在 x [2， 4]上是減函數，
\ x = 2時 t有最大值 log 1 2 = -1；
2
x = 4時 t有最小值 log 1 4 = -2．
2
（2） f (x) = t2 - 2t + 4 = (t -1)2 + 3 = g(t)，
\ g(t)在 t [-2， -1]單調遞減，
\t = -2 （即 x = 4) ，取得最大值， g(-2) = 12 ．
t = -1（即 x = 2) ，取得最小值， g(-1) = 7 ．
所以函數 f (x) 的值域[7，12]．
【點睛】利用換元法求函數值域是常用的方法也是重要方法.
3-2．（2024 高二下·山西運城·期末）已知函數 f x = lg x2 +1 , x -1,3 ，則 f x 的值域為（ ）
A． 0, + B． 0,1 C． lg2,1 D．[0,1]
【答案】D
【分析】首先求出 x2 +1的范圍，然后可得答案.
【詳解】因為 x -1,3 2，所以 x +1 1,10 ，所以 f x = lg x2 +1 0,1 ，
故選：D
2
3-3．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y = log 1 x - 6x +17 的值域是 ．
2
【答案】 (- , -3]
【分析】利用換元法，令 t = x2 - 6x +17，則 y = log 1t ，然后先求出內層函數的值域，再求外層函數的值域
2
即可
【詳解】令 t = x2 - 6x +17，則 y = log 1t ，
2
因為 t = x2 - 6x +17 = (x - 3)2 + 8≥8，
所以 t = x2 - 6x +17的值域為[8, + ），
因為 y = log 1t 在[8, + ）是減函數，
2
所以 y = log 1t log 1 8 = -3，
2 2
所以 y = log 1 (x
2 - 6x +17)的值域為 (- , -3]，
2
故答案為： (- , -3]
ì-x2 + 2x + 3, x 2
3-4．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) = í (a > 0且 a 1)，若函數 f x 的值域是
6 + loga x, x > 2
- , 4 ，則實數 a的取值范圍是（　　）
2 2
A． ,1÷÷ B． ,1÷÷
è 2 2
C． 1, 2ù D． 1, 2
【答案】B
【分析】首先求出 f x 在 - , 2 上的取值范圍，依題意需當 x > 2時，6 + loga x 4，分 a >1、0 a 1兩
種情況討論，結合對數函數的性質計算可得.
【詳解】當 x 2 f x = -x2時， + 2x + 3 = -(x -1)2 + 4，函數在 - ,1 上單調遞增，
在 1,2 上單調遞減，所以 f x f 1 = 4，即 f x - , 4 ；
若函數 f (x) 的值域是 - , 4 ，則需當 x > 2時，6 + loga x 4．
當 a >1時， f (x) = 6 + loga x在 (2,+ ) 上單調遞增，
此時 f x > f 2 = 6 + loga 2 > 6 ，不合題意；
當0 a 1時， f (x) = 6 + loga x在 (2,+ ) 上單調遞減，
f x f 2 = 6 + log 2 4 log 2 -2 log 2 log a-2此時 a ，即 a ，則 a a ，
所以 a-2 2，顯然 a > 0，解得 a 2 ，又0 a 1 2，所以 a 1．
2 2
2
綜上所述，實數 a的取值范圍是 ,12 ÷÷．
故選：B
3-5．（2024 高二下·重慶北碚·期末）已知函數 f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 既沒有最大值，也沒有最小值，則
a 的取值范圍是（ ）
A． - ,2 18, + B． 2,18
C． 0,2 U 18,+ D． 0,2 U 18,+
【答案】D
【分析】根據二次函數的性質求出真數部分的范圍，再結合對數函數的性質可得結果.
【詳解】由 y = ax2 + (a - 6)x + 2 2，a 不等于 0 時，D = a - 6 - 4a 2 = a2 - 20a + 36 ,
當 a > 0, D = a2 - 20a + 36 0得 2 a 18，
二次函數 y = ax2 + (a - 6)x + 2沒有最大值，有最小值，
f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 沒有最大值，有最小值，不合題意.
當 a > 0, D = a2 - 20a + 36 0得 a 18，0 a 2 ，二次函數 y = ax2 + (a - 6)x + 2沒有最大值，有最小值，
Q y = ax2 + (a - 6)x + 2 > 0 , f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 沒有最大值，沒有最小值，\a 0,2 U 18,+
當 a 0, D = a2 - 20a + 36 0得 a 0，二次函數 y = ax2 + (a - 6)x + 2有最大值，沒有最小值，
Q y = ax2 + (a - 6)x + 2 > 0 , f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 有最大值，沒有最小值，不合題意.
當 a 0, D = a2 - 20a + 36 0無解.
當 a = 0 , y = ax2 + (a - 6)x + 2 = -6x + 2 2既沒有最大值，也沒有最小值， f (x) = ln ax + (a - 6)x + 2ù 沒有最大
值，沒有最小值，\a = 0 .
\a 0,2 U 18,+
故選：D.
（四）
對數函數的圖象及應用
1．對數型函數的圖象過定點問題
求函數 y＝m＋logaf(x)(a＞0，且 a≠1)的圖象過的定點時，只需令 f(x)＝1 求出 x，即得定點為
(x，m)．
2．根據對數函數的圖象判斷底數大小的方法
作直線 y＝1 與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各個底數，依據在第一象限內，自左向右，
圖象對應的對數函數的底數逐漸變大，可比較底數的大小．
　　　
題型 4：對數型函數的圖象過定點問題
4-1．（2024 高一上·福建莆田·期中）函數 f x = loga 2x + 3 +1 a > 0, a 1 的圖象恒過定點 .
【答案】( 1,1)
【分析】根據對數的性質即可令 2x + 3 =1求解.
【詳解】令 2x + 3 =1，解得 x = -1，所以 f -1 = loga1+1 =1，
故函數 ( )的圖象恒過定點( 1,1)，
故答案為：( 1,1)
4-2．（2024 高一上·新疆塔城·期末）函數 y = loga 3x - 2 + 2（ a > 0，且 a 1）的圖象恒過點 ．
【答案】 1,2
【分析】根據對數函數的性質求出定點坐標.
【詳解】令3x - 2 =1，解得 x =1，此時 y = loga 1+ 2 = 2，
故 y = loga 3x - 2 + 2（ a > 0，且 a 1）的圖象恒過點 1,2 .
故答案為： 1,2
4-3．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）指數函數 y = a x +1（ a > 0且 a 1）過點 (m, n)，則 y = loga x -1 經過
點 .
【答案】 (2,0)
【分析】先求出 y = a x +1經過的定點 (0,2)，再證明 y = loga x -1 與 y = a x +1是一對反函數，即可得到
y = loga x -1 經過的定點.
【詳解】由 y = a x +1（ a > 0且 a 1）可知， x = 0時， y = 2 ，則點 (m, n)為 (0,2)，
由 y = a x +1可得 a x = y -1，兩邊取對數得， x = log (y -1)，交換 x, ya 可得， y = loga (x -1)，
即 y = loga x -1 與 y = a x +1是一對反函數，圖象關于 y = x 軸對稱，
故 y = loga x -1 經過點 (2,0) .
故答案為： 2,0 .
4-4．（2024 高三·北京·專題練習）函數 f x = loga 2x - 3 + 8 a的圖象恒過定點A ，且點A 在冪函數 g x = x
的圖象上，則 f 3 = .
【答案】9
【分析】根據對數函數的圖象求出定點A 的坐標，代入 g x 求出 a的值，然后計算函數值即可.
【詳解】因為函數 f x = loga 2x - 3 + 8的圖象恒過定點A ，
令 2x - 3 =1，解得 x = 2，則 f 2 = loga 1+ 8 = 8，
所以A 點坐標為 2,8 ，
又點A 在冪函數 g x = xa的圖象上，所以 2a = 8，解得 a = 3，
所以 f x = log3 2x - 3 + 8，
所以 f 3 = log3 2 3- 3 + 8 = 9，
故答案為：9
4-5．（2024 高一上·全國·課后作業）若函數 y = loga x + b + c(a > 0,且 a 1)的圖象恒過定點 3,2 ，則實數
b = ， c = ．
【答案】 －2 2
【分析】根據對數函數的性質，結合公式 loga 1 = 0，即可求解.
【詳解】∵函數的圖象恒過定點 3,2 ，
∴將 3,2 代入 y = loga x + b + c ，
得 2 = loga 3+ b + c．
又當 a > 0，且 a 1時， loga 1 = 0恒成立，
\c = 2,3+ b =1，\b = -2,c = 2．
故答案為：-2； 2
題型 5：對數型函數的圖象的判斷
5-1．（2024·新疆烏魯木齊·三模）當0 a 1時，在同一坐標系中，函數 y = a- x 與 y =loga x的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】通過底數范圍判斷指對函數是增函數還是減函數，即可判斷圖像，得出答案.
1 x
【詳解】當0 a 1時， >1，函數 y = a- x 1= ÷ 為底數大于 1 的指數函數，是增函數，函數 y =loga x為a è a
底數大于 0、小于 1 的對數函數，是減函數，
故選：C.
5-2．（2024 高三·全國·專題練習）若函數 y = a |x|(a > 0且a 1)的值域為[1,+ )，則函數 y = loga | x |的大致圖
象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先由題意得 a >1，再結合 y = loga | x |的奇偶性和單調性分析即可.
【詳解】∵ | x | 0，且 y = a|x|的值域為[1,+ )，∴ a >1，
當 x > 0時， y = loga | x |= loga x在 (0, + )上是增函數．
又函數 y = loga | x |= loga | -x |，所以 y = loga | x |為偶函數，圖象關于 y 軸對稱，
所以 y = loga | x |的大致圖象應為選項 A．
故選：A．
5-3．（2024 高一上·四川瀘州·期末）如圖（1）（2）（3）（4）中，不屬于函數 y = log1 x ，y = log 1 x ，y = log5 x
5 7
的一個是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【答案】B
【分析】根據對數函數的性質判斷即可.
1
【詳解】因為 log1 log
1
= log 1
7 5
1 7 1 ，7 5 5
\（3）是 y = log 1 x ，（4）是 y = log1 x ，又 y = log1 x = - log5 x 與 y = log5 x 關于 x 軸對稱，
7 5 5
\（1）是 y = log5 x ．
故選：B．
5-4．（2024 高一下·云南保山·期末）函數 y = 1- a x與 y =loga x（其中 a >1）的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判斷函數的單調性，結合各選項中圖象，即可判斷出答案.
【詳解】對于 A，因為 a >1，故 y = 1- a x為 R 上的減函數，其圖象應下降，A 錯誤；
對于 B， a >1時， y = 1- a x為 R 上的減函數， y =loga x為 (0, + )上增函數，圖象符合題意；
對于 C， a >1時， y =loga x為 (0, + )上增函數，圖象錯誤；
對于 D， a >1時， y =loga x為 (0, + )上增函數，圖象錯誤；
故選：B
題型 6：對數型函數的圖象及應用
6-1．（2024 高一上·江西南昌·期末）若0 b 1 a ，則函數 y = logb x + a 的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】根據對數函數的圖像特征即可求解結論．
【詳解】Q0 b 1 a ，
\ y = logb x在 (0, + )上單調遞減，且過第一，第四象限，
圖像向左平移 a個單位，得到 y = logb (x + a) ，
故函數 y = logb (x + a) 的圖象不經過第一象限，
故選：A ．
6-2．（2024 高三上·全國·專題練習）已知函數 y=loga (x + c)(a,c 為常數，其中 a > 0, a 1) 的圖象如圖，則下
列結論成立的是（ ）
A． a >1,c >1 B． a >1,0 c 1
C．0 a 1,c >1 D．0 a 1,0 c 1
【答案】D
【分析】根據函數圖象可根據函數的單調性以及經過的點求解.
【詳解】由該函數的圖象通過第一、二、四象限知該函數為減函數，所以0 a 1；
因為圖象與 y 軸的交點在 y 軸上方，所以 y=loga 0 + c > 0 = loga 1，所以0 c 1.
故選：D
6-3．（2024·浙江紹興·模擬預測）若函數 f x = log2 a + x 的圖象不過第四象限，則實數 a 的取值范圍
為 ．
【答案】 1, +
ì f 0 0
【分析】作出函數 f x = log2 a + x 的大致圖象，結合圖象可得 í ，即可得解.
-a 0
【詳解】函數 f x = log2 a + x 的圖象關于 x = -a對稱，其定義域為 x x -a ，
作出函數 f x = log2 a + x 的大致圖象如圖所示，
由圖可得，要使函數 f x = log2 a + x 的圖象不過第四象限，
ì f 0 0 ìlog2 a 0
則 í ，即 í ，解得a 1，
-a 0 -a 0
所以實數 a 的取值范圍為 1, + .
故答案為： 1, + .
1
6-4 2．（2024 高一上·江蘇鎮江·期末）若不等式 x - loga (x +1) 2x -1在 x ，1÷上恒成立，則實數 a 的取值è 2
范圍為（ ）
16
A． ，1
16
÷ B． ，181 ÷ è 81
81ù 3 81ù
C． 1，
è 16 ú
D． ，
è 2 16 ú
【答案】C
2
【分析】把不等式變形為 x -1 loga (x +1)，分0 a 1和 a >1情況討論，數形結合求出答案.
2 1
【詳解】x - loga (x +1) 2x -1變形為：x
2 - 2x +1 loga (x +1)
2
，即 x -1 log (x 1) x ,1 a + 在 ÷上恒成立，è 2
1 1
若0 a 1，此時 f x = loga (x +1) 在 x

,1

÷上單調遞減， f x = loga (x +1) loga ( +1) 0 ，而當è 2 2
x 1 ,1÷時， g x2 = x -1
2 > 0 ，顯然不合題意；
è
當 a >1時，畫出兩個函數的圖像，
2 1 1x 1 log (x 1) x ,1 f 1 1
2
1
要想滿足 - a + 在 ÷上恒成立，只需 ÷ g2 2 ÷ ，即2 loga ( +1) -1
，
è è è 2 2 ÷è
4
3
4
3 ù
解得： a 2 ÷
，綜上：實數 a 的取值范圍是 1, ÷ ú .
è è è 2 ú
故選：C
6-5．（2024 高三上·山東濰坊·期中）已知指數函數 y = a x ，對數函數 y = logb x 的圖象如圖所示，則下列關系
成立的是（ ）
A． 0 a b 1 B．0 a 1 b
C．0 b 1 a D． a 0 1 b
【答案】B
【分析】根據題意，由指數函數以及對數函數的單調性即可得到 a,b的范圍，從而得到結果.
【詳解】由圖象可得，指數函數 y = a x 為減函數，
對數函數 y = logb x 為增函數，
所以0 a 1,b >1，
即0 a 1 b .
故選：B
（五）
對數型函數的單調性
形如 f(x)＝logag(x)(a>0，且 a≠1)的函數的單調區間的求法
(1)先求 g(x)>0 的解集(也就是函數 f(x)的定義域)．
(2)當底數 a>1 時，在 g(x)>0 這一前提下，g(x)的單調增區間是 f(x)的單調增區間；g(x)的單調減區間是 f(x)的
單調減區間．
(3)當底數 00 這一前提下，g(x)的單調增區間是 f(x)的單調減區間，g(x)的單調減區間是 f(x)
的單調增區間．
題型 7：對數型函數的單調性問題
7-1．（2024 高二下·江蘇蘇州·階段練習）函數 f x = ln 2x2 - 3x +1 的單調增區間為 .
【答案】 1, +
【分析】先求出函數的定義域，然后換元，求出內層函數的單調區間，再利用復合函數“同增異減”的性質，
可求得答案
【詳解】函數 f x = ln 2x2 - 3x +1 ，
1
所以定義域為 2x2 - 3x +1 > 0 ，解得 x >1或 x ，2
1
令 t = 2x2 - 3x +1（ x >1或 x ），則 y = lnt ，
2
2 3 因為 t = 2x - 3x +1在 ,+ ÷上單調遞增，而 y = lnt4 在定義域內為增函數，è
所以由復合函數“同增異減”的性質，可知函數 f x = ln 2x2 - 3x +1 的單調遞增區間為 1, +
故答案為： 1, + .
7-2．（2024 2高一下·河南·階段練習）已知函數 f (x) = ln -3x + 4x + 4 ，則 f (x) 的單調增區間為 .
2 2
【答案】 (- , )
3 3
【分析】根據對數復合函數的單調性，注意函數的定義域，進而確定單調增區間即可.
2
【詳解】令-3x2 + 4x + 4 = -(3x + 2)(x - 2) > 0，即- x 2 ，
3
由 y = -3x2 + 4x + 4 = -3(x
2)2 16 2- + 2，則 y 在 (- , ) 上遞增，在 ( ,+ )
3 3 3 3
上遞減，
2
綜上， y 在 (- ,
2) 上遞增，在 (
2 , 2)上遞減，而 y = ln x 在定義域上遞增，
3 3 3
所以 f (x)
2 2
的單調增區間為 (- , ) .
3 3
2
故答案為： (- ,
2)
3 3
7-3．（2024 高二下· 2浙江衢州·期末）函數 y = log0.5 x - x - 2 的單調遞增區間為（ ）
A． - ,-1 B． 2, +
1 1
C． - ,-1 和 , 22 ÷ D． -1, ÷和 2, + è è 2
【答案】C
【分析】首先求出函數的定義域，在分析內、外層函數的單調性，結合復合函數的單調性判斷即可.
2 2
【詳解】對于函數 y = log0.5 x - x - 2 ，令 x - x - 2 > 0，解得 x -1且 x 2，
所以函數的定義域為 - , -1 U -1,2 U 2,+ ，
y x2
ì
x 2
x2 - x - 2, x - ,-1 2,+
又函數 = - - = í 2 ，
-x + x + 2, x -1,2
所以 y = x2 - x - 2 在 2, + -1, 1 1 ， ÷上單調遞增，在 - ,-1 ， , 2÷上單調遞減，
è 2 è 2
又函數 y = log0.5x 在定義域 0, + 上單調遞減，
根據復合函數的單調性，可知 y
1
= log 20.5 x - x - 2

的單調遞增區間為 - ,-1 和 , 2÷ .
è 2
故選：C
（六）
比較對數值的大小
比較對數值大小的常用方法
(1)同底數的利用對數函數的單調性．
(2)同真數的利用對數函數的圖象或用換底公式轉化．
(3)底數和真數都不相同時，找中間量．
提示：比較數的大小時可先利用性質比較出與 0 或 1 的大小．
題型 8：比較對數值的大小
8-1．（2024 高一上·全國·課后作業）比較下列各組中兩個值的大小．
① log3 1.99，log3 2 .
② log3 0.2，log4 0.2 .
③ log2 3，log0.3 2 .
④ loga π，loga 3.14 (a > 0且 a 1) .
【答案】答案見解析
【分析】①利用對數函數的單調性即可；②根據對數函數的圖像判斷；③利用中間量 0 即可；④根據對
數函數的單調性分類討論即可.
【詳解】①因為 f x = log3 x 在 (0, + )上是增函數，且1.99 2，則 f (1.99) f (2)，所以 log3 1.99 log3 2
②作出 y = log3 x和 y = log4 x 的圖象如下圖．
由圖象知 log3 0.2 log4 0.2 .
③因為 log2 3 > log2 1 = 0，
log0.3 2 log0.3 1 = 0 ,所以 log2 3 > log0.3 2 .
④當 a >1時，函數 y =loga x在定義域上是增函數，則有 loga π > loga 3.14；
當0 a 1時，函數 y =loga x在定義域上是減函數，則有 loga π< loga 3.14 .
綜上所述，當 a >1時， loga π > loga 3.14；
當0 a 1時， loga π< loga 3.14 .
8-2．（2024 高三上·寧夏銀川·階段練習）函數 f (x) 是定義在R 上的偶函數，且在[0,+ )上單調遞增，
1
a 1= f log1 ÷ ,b = f
log 1 ÷ ,c = f 522 ÷，則（2 3 ）è 3 è è
A． a > b > c B． c > a > b C．b > a > c D． c > b > a
【答案】D
【分析】根據對數的運算性質和題設條件，化簡得到 a = f (log3 2)，b = f (log2 3) ，結合對數函數的娥單調性，
得出 log3 2 log2 3 5 ，再由 f (x) 在[0,+ )上單調遞增，即可求解.
【詳解】因為函數 f (x) 是定義在R 上的偶函數，
可得 a = f (log
1
1 ) = f (- log
1) = f (log 2) 1
3 2
3 2 3 ，b = f (log2 ) = f (- log2 3) = f (log3 2
3) ，
2
由對數的運算性質，可得 log3 2 log3 3 = 1，1 = log 2 log2 3 log2 4 = 2，
又由 2 5 ，所以 log3 2 log2 3 5 ，
又因為 f (x) 在[0,+ )上單調遞增，所以 f (log3 2) f (log2 3) f ( 5)，即 c > b > a .
故選：D.
1
8-3．（2024 高一上·河南南陽·期末）三個實數 -a = log3 4,b = log2 5,c = 3 2 的大小關系為（ ）
A．a c b B． c a b
C． c b a D．b c a
【答案】B
1
【分析】根據對數函數的性質判斷 a = log -3 4,b = log2 5的范圍，根據分數指數冪運算化簡 c = 3 2 ，判斷 c的
范圍，即可得答案.
【詳解】由于1 = log3 3 log3 4 log3 9 = 2, log2 5 > log2 4 = 2，
1
-
c 3= 3 2 = (0,1)，
3
1
故 -c = 3 2 a = log3 4 b = log ，2 5
故選：B
8-4．（2024 高二上·湖南長沙·開學考試）設 a = log8 27 ，b = log0.5 0.2， c = log4 24，則（ ）
A．a b c B．b a c C．a c b D．b c a
【答案】C
【分析】先利用對數的運算法則把 a,b,c化成同底的對數，然后利用對數函數的單調性即可求解.
【詳解】 a = log8 27
1
= log2 27 = log2 3，b = log0.5 0.2 = - log2 0.2 = log2 5， c = log4 24
1
= log2 24 = log2 24 ，3 2
因為 y = log2 x 在定義域上是增函數，且3 24 5，故a c b .
故選：C.
8-5．（2024 高二上·湖北武漢·開學考試）已知 a = log0.3 0.7，b = 0.7-0.3， c = log7 3則（ ）
A．a c b B． c a b C． c b a D．a b c
【答案】A
【分析】根據題意，由指數函數和對數函數的單調性分別限定 a,b,c的范圍即可求出結果.
【詳解】由 y = log0.3 x 在 0, + 上單調遞減可知， log0.3 1< log0.3 0.7< log0.3 0.3 ，
即0
1
a ；
2
由對數函數 y = log7 x 在 0, +
1
上單調遞增可知， log7 7 < log7 3< log7 7，即 c 1；2
又可知b = 0.7-0.3 >0.70 =1，即b >1；
所以可得a c b .
故選：A
（七）
求解對數不等式
常見對數不等式的 2 種解法
(1)形如 logax＞logab 的不等式，借助 y＝logax 的單調性求解，如果 a 的取值不確定，需分 a＞1
與 0＜a＜1 兩種情況討論．
(2)形如 logax＞b 的不等式，應將 b 化為以 a 為底數的對數式的形式，再借助 y＝logax 的單調
性求解．
題型 9：求解對數不等式
9-1．（2024 高一上·全國·課后作業）解下列關于 x 的不等式．
(1) log 1 x > log 1 (4 - x) ；
7 7
(2) loga 2x - 5 > loga x -1 ；
(3) log
1
x >1．2
【答案】(1) x 0 x 2
(2)答案見解析
ì 1 ü
(3) íx x 12
【分析】（1）根據對數函數 y = log 1 x 的單調性，列式求解；（2）討論 a >1和0 a 1兩種情況，解不等式；
7
（3）討論 x >1和0 x 1兩種情況解不等式.
ìx > 0

【詳解】（1）由題意可得 í4 - x > 0

x 4 - x
解得0 x 2，
所以原不等式的解集為 x 0 x 2 ．
ì2x - 5 > 0
（2）當 a >1

時，原不等式等價于 íx -1 > 0 ，

2x - 5 > x -1
解得 x > 4，
ì2x - 5 > 0

當0 a 1時，原不等式等價于 íx -1 > 0

2x - 5 x -1
5
解得 x 4
2
綜上所述，
當 a >1時，原不等式的解集為 x x > 4 ；
ì 5 ü
當0 a 1時，原不等式的解集為 íx x 42
.

log 1 1（3）當 x >1時，由 x > log2 x
x ，可得 x ，此時無解；
2
0 1 1當 x 1時，由 log x > log x x ，可得 x 1．2 2
ì 1 ü
綜上，原不等式的解集為 íx x 12
.

9-2．（2024 高一上·全國·課后作業）不等式 loga (2x + 3) > loga (5x - 6), (a >1)的解集為 ．
【答案】 (
6 ,3)
5
ì2x + 3 > 0

【分析】根據對數函數的性質，把原不等式轉化為不等式組 í5x - 6 > 0 ，即可求解.

2x + 3 > 5x - 6
【詳解】因為 a >1，可得對數函數 y =loga x為單調遞增函數，
ì2x + 3 > 0

則原不等式等價于 í5x - 6 > 0
6 6
，解得 x 3，即原不等式的解集為 ( ,3) .
5 5
2x + 3 > 5x - 6
故答案為： (
6 ,3) .
5
9-3．（2024 高一上·全國·課后作業）已知函數 f x = log2 3x -1 ，則使得 2 f (x) > f (x + 2) 成立的 x 的取值范
圍是（ ）
5
A． - ,
4
+ ÷ B． , + ÷
è 3 è 3
1 1
C． - , -

÷ D． - , +

è 3 ÷ è 3
【答案】B
【分析】應用對數運算性質及對應對數函數的單調性求解集即可.
【詳解】由題設 2log2 (3x -1) > log (3x + 5) log (3x -1)22 ，即 2 > log2 (3x + 5)，
ì 3x -1 2 > 3x + 5

因為函數 y = log2 x 在 (0, + )上單調遞增，所以 í3x -1 > 0
4
，解得 x > .

3x 5
3
+ > 0
故選：B
（八）
根據對數型函數的單調性求參數
已知對數型函數的單調性求參數的取值范圍，要結合復合函數的單調性規律，注意函數的定義域求解；
若是分段函數，則需注意兩段函數最值的大小關系．
題型 10：根據對數型函數的單調性求參數
10-1．（2024 高三上·云南昆明· 2開學考試）設函數 f x = ln -x + 4x 在 a, a +1 上單調遞增，則 a的取值范
圍為（ ）
A． 0,1 B．[0,2]
C． (0,2) D．[0,1]
【答案】D
【分析】先求出函數的定義域，然后根據復合函數的單調性列出不等式組解出即可.
【詳解】由函數-x2 + 4x > 0，得0 x 4，
即函數 f x 的定義域為 0,4 ，
令 g x = -x2 + 4x, x 0,4 ，
由函數 g x 的對稱軸為： x = 2，開口向下，
所以 g x 在 0,2 上單調遞增，在 2,4 上單調遞減，
又 y = ln x 在 0, + 上單調遞增，
所以當函數 f x 在 a, a +1 上單調遞增時，
ìa 0
所以根據復合函數的單調性可知： í ，
a +1 2
解得0 a 1，
故選：D.
10-2．（2024 高一·全國·專題練習）設函數 f x = ln 2ax - x2 在區間 3,4 上單調遞減，則 a的取值范圍
是 .
【答案】 2,3
【分析】根據復合函數單調性可得 t = 2ax - x2 在 3,4 單調遞減，結合二次函數單調性與對數函數定義域求
解即可.
【詳解】 y = ln t在 0, + 單調遞增，故 t = 2ax - x2 在 3,4 單調遞減，則 a 3，
又∵ t = 2ax - x2 > 0在 3,4 恒成立，
則8a -16 0，故 a 2，∴ 2 a 3，
故答案為： 2,3
2
10-3．（2024 高一上·廣西玉林·階段練習）已知函數 y = log 1 x - ax + a 在區間 - , 2 上是增函數，求實數
2
a的取值范圍 ．
【答案】 2 2,2 2 + 2ù
【分析】根據復合函數的單調性可得出關于實數 a的不等式組，由此可解得實數 a的取值范圍.
【詳解】令u = x2 - ax + a，因為外層函數 y = log 1 u 為減函數，則內層函數u = x2 - ax + a在區間 - , 2 上
2
是減函數，
ìa
2
所以， í 2 ，解得 2 2 a 2 2 + 2 .
2 - 2a + a 0
故答案為： 2 2,2 2 + 2ù .
（九）
與對數函數有關的函數的奇偶性
要判斷函數的奇偶性，首先應求出定義域，看函數的定義域是否關于原點對稱．對于形如 f(x)＝logag(x)的函
數，利用 f(－x)±f(x)＝0 來判斷奇偶性較簡便．
題型 11：與對數函數有關的函數的奇偶性問題
f (x) (x a) ln x +111-1．（2024 高二下·陜西渭南·期末）若 = + 為偶函數，則 a等于 .
x -1
【答案】0
【分析】先求出定義域，然后由 f (-2) = f (2)可求出 a，再驗證上即可.
x +1
【詳解】由 > 0，得 x -1或 x >1，則函數的定義域為 (- , -1) U (1, + ) ，
x -1
f (x) (x a) ln x +1因為 = + 為偶函數，
x -1
所以 f (-2) = f (2)，
所以 (-2 + a) ln
-2 +1
= (2 + a) ln 2 +1，
-2 -1 2 -1
(a - 2)ln 1 = (a + 2)ln3，得-(a - 2)ln3 = (a + 2)ln3，
3
解得 a = 0，
當 a = 0時， f (x) x ln
x +1
= ，則
x -1
f ( x) x ln -x +1 x ln x -1 x +1
-1 x +1
- = - = - = -x ln
-x -1 x +1 x -1÷
= x ln = f (x)，
è x -1
所以 f (x) x ln
x +1
= 為偶函數，
x -1
所以 a = 0符合題意.
故答案為：0
11-2．（2024 高一上·江蘇南京·期中）已知函數 ( ) = log3(3
+1) + 2 是偶函數，則實數 k 的值為（ ）
1 1 1 1
A．- B．- C．- D．-
2 3 4 5
【答案】C
【分析】由于 f (x) 為偶函數，所以 f (-x) = f (x) ，化簡可求出實數 k 的值.
【詳解】解：定義域為R ，
∵ ( ) = log (3 3 +1) + 2 是偶函數，
∴ f (-x) = f (x) ，
即log3(3
+1) 2 = log3(3
+1) + 2 ，

∴log 3 +1 log (3 3 3 +1) 4 = 0，即 4 = 0，3
即( 1 4 ) = 0，
1
∵ x R ，∴ 1 4 = 0，得 k = - ．
4
故選：C
11-3．（25-26 高一上·全國·課后作業）函數 f x 是定義在R 上的偶函數， ( 1)是奇函數，且當0 x 1時，
f x = log2024x，則 f 2023 + f
1
-
= ．
è 2024 ÷
【答案】-1
【分析】根據函數的奇偶性得出函數的周期，再結合對數運算得出函數值.
【詳解】因為 f x 是定義在R 上的偶函數，所以 f -x = f x ，可得 f -x -1 = f x +1 ．
因為 f x -1 是奇函數，所以 f -x -1 = - f x -1 ，
所以 f x +1 = - f x -1 , f x + 2 = - f x , f x + 4 = f x ，所以 f x 是周期為 4 的周期函數，
所以 f 2023 f 1 1 1 1+ - ÷ = f -1 + f
= f 1 + f ÷ ÷ = 0 + log2024 2024 2024 2024 = -1．è è è 2024
故答案為：-1.
11-4．（2024 高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數 f x 是定義在R 上的偶函數，當 x 0 時， f x 單調遞

減，則不等式 f log1 2x - 5 ÷ > f log3 8 的解集為 .
è 3
ì 5 41 13ü
【答案】 íx x 或 x >2 16 2
.

【分析】由已知可得 f x 在 (0, + )上遞增，再由偶函數的性質將不等式轉化為

f log1 2x - 5 ÷÷ > f log3 8 ，則可得 log3 2x - 5 > log3 8，再對數的性質要求得結果
è 3
【詳解】因為函數 f x 是定義在R 上的偶函數，當 x 0 時， f x 單調遞減，
所以 f x 在 (0, + )上遞增，
因為 f x 是定義在R 上的偶函數，

所以由 f log1 2x - 5 ÷ > f log3 8 ，得 f log1 2x - 5 ÷÷ > f log3 8 ，è 3 è 3
所以 log3 2x - 5 > log3 8，
所以 log3 2x - 5 - log3 8或 log3 2x - 5 > log3 8，
0 2x 5 1所以 - 或 2x - 5 > 8，
8
5 x 41 13解得 或 x > ，
2 16 2
ìx 5 x 41 x 13 > ü所以不等式的解集為 í 或 .
2 16 2


ì 5 41 13ü
故答案為： íx x 或 x > .
2 16 2
11-5．（2024· 2山東泰安·模擬預測）已知 f x = x g x 為定義在 R 上的偶函數，則函數 g x 的解析式可以為
（ ）
2
A． g x ln 1+ x 2= 2 B． g x =1-1- x 2x +1
ìx2 - x, x 0C． g x = í 2 D． g(x) =| x - 2 | - | x + 2 |
x + x, x 0
【答案】C
【分析】先確定出 g x 的奇偶性，然后再逐項檢驗定義域和奇偶性即可.
f x = x2【詳解】因為 g x 是定義在 R 上的偶函數，所以 ( ) = ( )，即 g -x = g x ，
所以 g x 是定義在 R 上的偶函數.
對于選項 A，因為1- x2 > 0，所以函數 g x 定義域為( 1,1)，所以不滿足題意；
2 2x -1
對于選項 B，函數 g x =1- x = x 定義域為 R，2 +1 2 +1
- x x
g -x 2 -1 1- 2= g x
2- x
= x = -g x ， 是奇函數，不符合題意；+1 1+ 2
ìx
2 - x, x 0
對于選項 C，函數 g x = í 2 定義域為 R，
x + x, x 0
當 x > 0時，-x 0， g -x = -x 2 + -x = x2 - x = g x ，
x 0 x 0 g -x = -x 2當 時， - > ， - -x = x2 + x = g x ，
且 g 0 = g -0 = 0，所以 g x 為偶函數，符合題意；
對于選項 D，函數 g(x) =| x - 2 | - | x + 2 |定義域為 R，
g -x = -x - 2 - -x + 2 = x + 2 - x - 2 = -g x ， g x 為奇函數，不符合題意；
故選：C.
題型 12：對數函數性質的綜合
12-1．（2024 高三上·山西長治·階段練習）已知函數 f (x) = loga (1+ x) ， g(x) = loga (1- x)(a > 0,且a 1)．
(1)求函數 f x + g x 的定義域；
(2)判斷函數 f x + g x 的奇偶性，并說明理由；
(3)討論函數 f x + g x 的值域．
【答案】(1) -1,1
(2)偶函數，理由見解析
(3)答案見解析
【分析】（1）由對數的真數大于零可求得函數的定義域.
（2）根據函數奇偶性的定義判斷.
（3）換元后分 a >1和0 a 1兩種情況分析判斷.
【詳解】（1）1+ x > 0且1- x > 0，得-1 x 1，即定義域為 -1,1 .
（2）因為定義域關于原點對稱，且 f (-x) = loga (1- x) + loga (1+ x) = f (x) ，
所以函數為偶函數.
（3） f x + g x = loga (1+ x) + loga (1- x) = loga (1- x2 ) ，
令 t =1- x2 ，由-1 x 1，得0 t 1，
則 y = loga t ， t (0,1]，
當 a >1時， y = loga t 0，所以原函數的值域為 (- ,0]；
當0 a 1時， y = loga t 0，所以原函數的值域為[0,+ ) .
12-2．（2024 高一上·湖北十堰·期末）已知函數 f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且 a≠1）．
(1)求 f（x）的定義域．
(2)是否存在實數 a，使函數 f（x）在區間[1，2]上單調遞減，并且最大值為 2？若存在，求出 a 的值；若不
存在，請說明理由．
3
【答案】(1) -

，
a ֏
(2) 13 -1存在， a =
2
【分析】（1）令 3﹣ax＞0，解不等式即可求解；
（2）假設存在 a 滿足題意，利用復合函數的單調性以及對數函數的性質和函數的最值即可求解．
【詳解】（1）由題意可得 3﹣ax＞0，即 ax＜3，
3
因為 a＞0，所以解得 x＜ ．
a
3
故 f（x）的定義域為 - ， ÷；
è a
（2）假設存在實數 a，使函數 f（x）在區間[1，2]上單調遞減，并且最大值為 2．
設函數 g（x）＝3﹣ax，由 a＞0，得﹣a＜0，
所以 g（x）在區間[1，2]上為減函數且 g（x）＞0 恒成立，
3
則 g（2）＞0，解得 0＜a＜ ，
2
又因為 f（x）在區間[1，2]上單調遞減，
1 a 3所以 a＞1，即 ＜ ＜ ，
2
又因為 f（x）在區間[1，2]上的最大值為 2，
所以 f（x）max＝f（1）＝loga（3﹣a）＝2，
整理得 a2+a 3 0 a 13 -1﹣ ＝ ，解得 = a＞0 ．
2
13 -1 3
因為3＜ 13＜4，所以 a = 1

， ÷，2 è 2
a 13 -1所以存在實數 = ，使函數 f（x）在區間[1，2]上單調遞減，并且最大值為 2．
2
12-3．（2024 高一上·江蘇淮安·期中）已知 f (x) = lg(ax + x2 +1)是定義在 R 上的奇函數，其中 a > 0．
（1）求 a的值；
（2）判斷 f (x) 在[0, + ) 上的單調性，并證明；
（3）若對于任意的 x R都有 f (x + x2 +1) > - lg( (mx)2 +1 - mx)成立，求實數m 的取值范圍．
【答案】（1） a =1；（2）函數單調遞增，證明見解析；（3）0 m 2 .
【分析】（1）根據 f -x + f x = 0，求 a的取值；（2）首先設函數 t x = x + x2 +1，同時函數單調性的定
義，設0 x1 x2 ， t x1 - t x2 0 ，判斷函數的單調性；（3）根據不等式恒成立，轉化為
f x + x2 +1 > f mx ，利用函數的單調性，轉化為 x + x2 +1 > mx ，參變分離后求實數m 的取值范圍.
【詳解】（1） f -x + f x = lg -ax + x2 +1 + lg ax + x2 +1
= lg x2 +1- a2x2 = 0，
得 a2 =1，Qa > 0，\a = 1；
（2） f x = lg x + x2 +1 ，
設 t x = x + x2 +1，設0 x1 x2 ，
t x - t x = x + x2 21 2 1 1 +1 - x2 - x2 +1
x2x x x2 1 x2 - x
2
= 1 - 2 + 1 + - 2 +1 = x1 - x2 + 1 2
x21 +1 + x
2
2 +1

= x x1 + x21 - x2 1+ ÷ x2è 1 +1 + x22 +1 ÷
Q0 x1 x2 ，\t x1 t x2
\t x 2單調遞增，根據復合函數的單調性可知 f x = lg x + x +1 單調遞增；
（3）Q - lg mx 2 1+1 - mx = lg = lg mx 2 +1 + mx = f mx 2 ，mx +1 - mx
\ f x + x2 +1 > f mx ，由（1）（2）可知函數是奇函數，并且在 0, + 單調遞增，所以函數在 R 上單調
遞增，
\ x + x2 +1 > mx，
x > 0 m x + x
2 +1 1 1
當 時， =1+ 1+ 恒成立，即m 1+ 1+2 2 ÷÷ ，x x è x min
因為1 1+ 1+ 2 > 2，則m 2，x
x + x2 +1 1 1
當 x 0 時，m > =1- 1+ 恒成立，即m > 1- 1+ ，因為
x x2
x2 ÷÷è max
1 1- 1+ 2 0，則m 0，x
當 x = 0時，m R，
綜上可知，對"x R 恒成立，即0 m 2 .
【點睛】關鍵點點睛：本題考查對數型復合函數的性質的綜合應用，本題第三問的關鍵是
- lg mx 2 +1 - mx 轉化為 f mx ，再根據函數的單調性解抽象不等式.
題型 13：對數函數的實際應用
13-1．（24-25 高一上·全國·課堂例題）天文學中天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與
亮度滿足m1 - m2 = 2.5 lgE2 - lgE1 ．其中星等為mi 的星的亮度為Ei i =1,2 ．已知“心宿二”的星等是 1.00，
“天津四”的星等是 1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，則與 r 最接近的是（　　）
（注：當 x 較小時，10x 1+ 2.3x + 2.7x2）
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
【答案】C
E1
【分析】根據題意可得1-1.25 = 2.5 lgE2 - lgE1 ，求出 E 即可得解.2
E1 1 E
1
【詳解】根據題意可得1-1.25 = 2.5 lgE - lgE 1 102 1 ，所以 lg = ，解得 r = =10E ，2 10 E2
1 1
根據參考公式可得 r 1+ 2.3 + 2.7 =1.257，
10 100
故與 r 最接近的是 1.26．
故選：C.
13-2．（2024 高二下·云南昭通·期中）大西洋鮭魚每年都要逆游而上，游回產地產卵.研究鮭魚的科學家發現
O
鮭魚的游速 v（單位：m / s）可以表示為 v = klog3 ，其中O表示鮭魚的耗氧量的單位數.若一條鮭魚游速100
為0.5m / s時耗氧量的單位數為 300，則一條鮭魚游速為1.5m / s時耗氧量的單位數為（ ）
A．900 B．1200 C．2700 D．8100
【答案】C
【分析】首先根據條件求 k ，再代入 v =1.5求O的值.
1 klog 300 1 1 O【詳解】由題意可得 = 3 ，解得k = ，所以 v = log .2 100 2 2 3 100
令1.5
1 log O= 3 ，解得O = 2700，所以游速為1.5m / s時耗氧量的單位數為 2700，2 100
故選 C.
13-3．（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級 f (x) (單位：dB)與聲音強度 x(單位：ω / m2 )滿足
f (x) 10 lg x= -12 . 噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為 140dB．若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說10
話時聲音強度的108 倍，則一般說話時聲音的等級約為（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
【答案】D
【分析】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為 x1, x2 ，根據題意得出 f x1 =140和
x1 =108
x ，算出
x2，可計算出 f x2 = 60 .
2
【詳解】設噴氣式飛機起飛時聲音強度和一般說話時聲音強度分別為 x1, x2 ，
由題意可得 f x =10 lg x11 -12 =140，解得 x1 =102 ，10
x1 10
2 -6
因為 = =108 -6，所以 x =10 ，所以
x x 2 f 10
-6 =10 lg 10-12 = 60，
2 2 10
所以一般說話時聲音的等級約為 60dB.
故選：D
13-4．（24-25 高一上·全國·課后作業）據統計，某濕地公園越冬的白鶴數量 y （單位：只）與時間 x （單位：
年）近似滿足關系 y = a log3 x + 2 ，觀測發現 2018年冬（作為第 1 年）有越冬白鶴 3000 只，估計到 2024
年冬有越冬白鶴（ ）
A．4000 只 B．5000 只
C．6000 只 D．7000 只
【答案】C
【分析】根據 f (1) = 3000解得 a = 3000，再令 x = 7，計算 f (7) 即可.
【詳解】由題意，當 x =1時， a log3(1+ 2) = a = 3000 ，
所以 f (x) = 3000 × log3(x + 2) ，
到 2024年，當 x = 7時， f (7) = 3000 × log3(7 + 2) = 3000 ×2 = 6000 .
故選：C.
13-5．（2024 高一下·湖北·階段練習）中國的 5G 技術領先世界，5G 技術中的數學原理之一是香農公式：
C = Wlog 1 S+ 2 ÷，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率C 取決于信道帶寬W 、信道
è N
S
內所傳信號的平均功率 S、信道內部的高斯噪音功率 N 的大小，其中 叫做信噪比.已知當 x 比較大時，
N
y = loga 1+ x (a >1) loga x ，按照香農公式，由于技術提升，寬帶W 在原來的基礎上增加20%，信噪比從
1000 提升至 8000，則C 大約增加了（ ）（附： lg2 0.3010）
A．37% B． 45% C．48% D． 56%
【答案】D
【分析】利用對數的運算性質，由香農公式分別計算信噪比為 1000 和 8000 時C 的比值即可求解.
S
【詳解】由題意可得，當 =1000時，C1 = W log2 1000 ，N
S
當 = 8000時，C2 =1.2W logN 2
8000，
C2 1.2W log2 8000 6log2 8000 6lg8000 6 lg1000 + 3lg 2 所以 = = = =
C1 W log2 1000 5log2 1000 5lg1000 15
2 3+ 3 0.3010
1.56，
5
所以C 的增長率約為 56% .
故選：D
（十）
反函數的應用
1、求反函數的步驟
(1)求出函數 y＝f(x)的值域；
(2)僅解 x，即由 y＝f(x)解出 x＝f－1(y)；
(3)把 x＝f－1(y)改寫成 y＝f－1(x)，并寫出函數的定義域(即原函數的值域)．
2、(1)互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 y＝x 對稱．
(2)若互為反函數的兩個函數是同一個函數，則該函數的圖象自身關于直線 y＝x 對稱．
題型 14：反函數的應用
14-1．（2024 高二下·浙江寧波·期末）已知函數 y = f x 與 y = 3x 是互為反函數，則（ ）
f 1 1 A． ÷ = -1 B． f ÷ = -2 C． f 1 = 3 D． f 3 =1
è 9 è 3
【答案】D
【分析】首先得到 f x 的解析式，再代入計算可得.
【詳解】因為函數 y = f x 與 y = 3x 是互為反函數，
所以 f x = log x f 1 3 ，則 ÷ = log
1 1 1
3 = -2

， f
9 9 ÷
= log3 = -1，
è è 3 3
f 1 = log3 1 = 0， f 3 = log3 3 =1，即正確的只有 D.
故選：D
14-2．（2024 高二下·天津·期末）下列各對函數中，互為反函數的是（ ）
A． y = lnx, y = ex B． y = log2x, y = log0.5x
x
C y = 2log x, y = 2x D y 1= ． ． , y = 2x2 ÷
è 2
【答案】A
【分析】根據互為反函數的定義逐個分析判斷即可.
【詳解】對于 A， y = ln x 的反函數為 y = ex ，所以 A 正確，
對于 B， y = log2x 的反函數為 y = 2x ，所以 B 錯誤，
對于 C， y = 2x 的反函數為 y = log2x ，所以 C 錯誤，
對于 D， y = 2x 的反函數為 y = log2x ，所以 D 錯誤，
故選：A
14-3 x．（2024 高二下·浙江寧波·期末）已知函數 f x = a (a > 0，且 a 1)的圖象過點 2,4 , g x 是 f x 的
2 + x
反函數，則函數 g （ ）
è 2 - x ÷
A．既是奇函數又是減函數 B．既是奇函數又是增函數
C．既是偶函數又是減函數 D．既是偶函數又是增函數
【答案】B
2 + x
【分析】首先代入點的坐標求出 a，即可求出 g x 的解析式，從而求出 g ÷的解析式，再根據奇偶性
è 2 - x
的定義及對數型復合函數的單調性判斷即可.
f x = a x【詳解】因為函數 (a > 0，且 a 1)的圖象過點 2,4 ，所以 a2 = 4，解得 a = 2（負值已舍去），
f x = 2x所以 ，又 g x 是 f x 的反函數，所以 g x = log2 x，
g 2 + x 2 + x 2 + x則 = log2 - x ÷ 2 ，令
> 0，解得-2 x 2，
è è 2 - x ÷ 2 - x
g 2 + x 2 + x 2 + x所以 ÷的定義域為 -2,2 ，令 h x = g
= log
2 - x 2 - x ÷ 2 ÷
，
è è è 2 - x
則 h -x log 2 - x log 2 + x= 2 ÷ = - 2 ÷ = -h x h x g
2 + x
，所以 =
2 + x 2 - x ÷
為奇函數，
è è è 2 - x
y 2 + x -4又 = = -1在 -2,2 上單調遞增， y = log2 x 在定義域 0, + 上單調遞增，2 - x x - 2
所以 g
2 + x log 2 + x ÷ = 2 ÷在 -2,2 上單調遞增.
è 2 - x è 2 - x
故選：B
14-4．（2024 高一上·上海·階段練習）下列命題組真命題的個數為（ ）
①存在反函數的函數一定是單調函數
②偶函數存在反函數
③奇函數必存在反函數
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】取特例結合反函數定義和性質判斷即可.
【詳解】對①，取函數 y = x, x 1 ，顯然存在反函數，但不單調，①錯誤；
對②，取偶函數函數 y = x2，則 x = ± y ，顯然函數 y = x2不存在反函數，②錯誤；
對③，取奇函數函數 y = x3 - x，當 y = 0 時有 x = 0和 x =1與之對應，
即從 y 到 x 的映射不滿足函數定義，故奇函數 y = x3 - x沒有反函數，③錯誤.
故選：A
一、單選題
1．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = log 1 x 在區間[1, 2]上的值域是（　　）
2
A．[-1,0] B．[0,1]
C．[1,+ ) D． (- ,-1]
【答案】A
【分析】利用函數單調性求值域即可.
【詳解】Q y = log 1 x在[1, 2]上是減函數，
2
\-1 log 1 x 0 ，即值域為[-1,0] .
2
故選：A.
log x
2．（2024 高三上·寧夏銀川·階段練習）函數 f x = 2 的定義域為（
2x 1 ）-
0, + 1, + 0,1 0, 1 U 1 , + A． B． C． D． 2 ÷ è è 2 ÷
【答案】D
【分析】根據真數大于 0，分母不等式 0 得到不等式組，求出定義域.
ìx > 0
【詳解】由題意得 í ，解得 x

0,
1
÷ U
1 , + .
2x -1 0
÷
è 2 è 2
故選：D
3．（2024 高一上·云南曲靖·階段練習）下列函數是對數函數的是（ ）
A． y = ln x
x
B 2． y = log2 x C． y = loga D． y = log2 x - 20229
【答案】A
【分析】根據對數函數定義直接判斷即可.
【詳解】形如 y = loga x a＞0,a 1 的函數叫作對數函數，它的定義域是 0, + ，
對于 A， y = ln x = loge x 滿足，故 A 正確；
對于 B，C，D，形式均不正確，均錯誤.
故選：A
4．（2024 高一·全國·課后作業）下列函數是對數函數的是（ ）
A． y = loga 2x B． y = lg10x C． y = log x2a + x D． y = ln x
【答案】D
【分析】根據對數函數的概念即得.
【詳解】因為函數 y =loga x( a > 0且 a 1)為對數函數，
所以 ABC 均為對數型復合函數，而 D 是底數為自然常數的對數函數.
故選：D.
5．（2024 高一上·內蒙古包頭·期中）函數 f (x) = loga (x -1) + 2的圖象恒過定點（ ）
A． (2, 2) B． (2,1) C． (3, 2) D． (2,0)
【答案】A
【分析】根據對數函數的性質確定定點即可.
【詳解】當 x = 2時 f (2) = loga 1+ 2 = 2，即函數圖象恒過 (2, 2) .
故選：A
6．（2024 高一上·云南大理·階段練習）函數 y = 2 + log5 x x 1 的值域為（ ）
A． 2, + B． - , 2
C． 2, + D． 3, +
【答案】C
【分析】根據對數函數的性質，先求函數 y = log5 x 的范圍，再求函數的值域.
【詳解】由 x 1知 log5 x 0， y 2，值域是 2, + ．
故選：C
7．（2024 高三上·重慶·階段練習）若a = log3 6，b = 2 ， c = log0.25 0.125，則（ ）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > c > a D．b > a > c
【答案】D
【分析】利用對數的規則和對數函數的單調性比較大小.
1 3 3
【詳解】因為 c = log 1 = log4 8 = log 2 2 =
3
2 ， = log3 3 3 a = log3 6 log3 9 = 28 2 ，4 2
所以b > a > c．
故選：D
x + 2
8．（2024 高二下·浙江溫州·學業考試）函數 f (x) = x + 的定義域為（
ln x ）
A． 0,1 B． 1, + C． 0, + D． 0,1 U 1, +
【答案】D
【分析】利用具體函數定義域的求法，結合對數函數的定義域求解即可.
f (x) x x + 2【詳解】因為 = + ，
ln x
ìx 0
所以 íln x 0，解得
x > 0且 x 1，

所以 f (x) 的定義域為 0,1 U 1, + .
故選：D.
2 - x
9．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = 的定義域是（ ）
log2 x
A．{x∣0 x 2}
B．{x∣0 x 1或1 x 2}
C．{x∣0 x 2}
D．{x∣0 x 1或1 x 2}
【答案】D
【分析】由題意列出不等式組解出即可.
ì2 - x 0

【詳解】由題意得 íx > 0 ，∴ 0 x 1或1 x 2，

log2 x 0
故定義域為{x∣0 x 1或1 x 2}，
故選：D.
10．（2024 高二下·山東青島·期末）已知函數 f x lg x - 2= ，則 f x （
x 2 ）+
A．是奇函數，且在 2, + 是增函數 B．是偶函數，且在 2, + 是增函數
C．是奇函數，且在 2, + 是減函數 D．是偶函數，且在 2, + 是減函數
【答案】A
【分析】由奇偶性定義可知 f x 為奇函數；利用復合函數單調性的判斷方法可確定 f x 在 2, + 是增函
數.
x - 2
【詳解】由 > 0得： x -2或 x > 2，\ f x 的定義域為 - ,-2 2, + ；x + 2
Q f x lg -x - 2 lg x + 2 x - 2- = = = - lg = - f x ，\ f x 是奇函數；
-x + 2 x - 2 x + 2
f x lg x - 2 x + 2 - 4 4= = lg = lg 1- ，
x + 2 x + 2 è x + 2 ÷
Qu 4=1- 在 2, + 上單調遞增， y = lgu 在 0, + 上單調遞增，
x + 2
\由復合函數單調性可知： f x 在 2, + 上是增函數.
故選：A.
x
11．（2024 高一上·廣東汕尾·期末）當 a >1 1時，在同一平面直角坐標系中， y = ÷ 與 y = loga -x 的圖象是
è a
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由定義域和 a >1，使用排除法可得.
【詳解】 y = loga -x
1
的定義域為 (- ,0)，故 AD 錯誤；BC 中，又因為 a >1，所以0 1，故 C 錯誤，B
a
正確.
故選：B
x
12 2024 · · f (x) = 1 ．（ 高一上 浙江臺州 階段練習）函數 ÷ 與 g(x) = - log4 x的大致圖像是（ ）
è 4
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據指數函數、對數函數的性質判斷即可；
x
1
【詳解】解：因為 f (x) = ÷ 在定義域R 上單調遞減，
è 4
又 g(x) = - log4 x = log -1 x = log 1 x4 ，所以 g(x)在定義域 0, + 上單調遞減，
4
故符合條件的只有 A；
故選：A
13．（2024 高三·全國·專題練習）函數 y = lg x +1 的圖像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由函數 y = lg x 的圖象與 x 軸的交點是 (1,0)結合函數的平移變換得函數 y = lg(x +1) 的圖象與 x 軸的
公共點是 (0,0)，即可求解.
【詳解】由于函數 y = lg(x +1) 的圖象可由函數 y = lg x 的圖象左移一個單位而得到，函數 y = lg x 的圖象與 x
軸的交點是 (1,0)，
故函數 y = lg(x +1) 的圖象與 x 軸的交點是 (0,0)，即函數 y = lg(x +1) 的圖象與 x 軸的公共點是 (0,0)，顯然四
個選項只有 A 選項滿足.
故選：A.
2
14．（2024 高二上·江蘇南通·開學考試）已知函數 y = l og2 x - 3 l og x + 6 ，在 x 2，42 上的值域為
（ ）
15 ,4ùA． ú B． 4，6
15 6ù 1 ùC． ， D． ,3 4 4 ú 2 ú
【答案】A
【分析】通過換元令 t = log2x， t 1，2 ，則問題轉換為求二次函數的值域問題．
2【詳解】因為函數 y = l og x - 3 l og x + 6 ， x 2，4 ，令 t = log2x，則 t 1，22 2 .
2
3 15 3
所以原函數轉化為 y = t 2 - 3t + 6 = t - ÷ + ,又對稱軸為 t = ，
è 2 4 2
3 15
所以當 t = 時，函數取得最小值 ，當 t =1或 t = 2時，函數取得最大值為 4，
2 4
15 ù
所以所求函數的值域為 , 4 ，4 ú
故選：A．
15．（2024 高一·全國·單元測試）已知函數 f x = loga x + 2（ a > 0，且 a 1）在 1,3 上的值域為 2,4 ，則
實數 a 的值是（ ）
1
A． 3 B． C．3 2 3
D 3．
2
【答案】A
【分析】分類討論最值，當 a >1時，當0 a 1時，分別求出最值解方程，即可得解.
【詳解】若0 a 1，則 f x = loga x + 2在 1,3 上單調遞減，則 loga 3 + 2 f x 2，不符合題意；
若 a >1，則 f x = loga x + 2在 1,3 上單調遞增，則 2 f x loga 3 + 2，
又因為 f x 的值域為 2,4 ，所以 loga 3 + 2 = 4，解得 a = 3．
故選：A．
二、多選題
16．（2024 高一·全國·課堂例題）下列函數中為對數函數的是（ ）
A． y = log1 -x B． y = log x24
2
C． y = lnx D． y = log 2 xa +a+2 （ a是常數）
【答案】CD
【分析】由對數函數的定義判斷，
【詳解】對于 A，真數是-x，故 A 不是對數函數；
對于 B 2， y = log4x = log2 x ，真數是 x ，不是 x ，故 B 不是對數函數；
對于 C， lnx的系數為 1，真數是 x ，故 C 是對數函數；
1 2 7
對于 D，底數 a2 + a + 2 = a +

÷ + >1，真數是 x ，故 D 是對數函數．
è 2 4
故選：CD
17．（2024 高一上·全國·課后作業）下列函數為對數函數的是（ ）
A． f x = log m-1 x （m >1，且m 2） B． f x = lg x3
C． f x = ln x D． f x = ln x + e
【答案】AC
【分析】根據對數函數的定義判斷各選項即可.
【詳解】形如 y =loga x（ a > 0，且 a 1）的函數為對數函數，
對于 A，由m >1，且m 2，可知m -1 > 0 ，且m -1 1，故 A 符合題意；
對于 B，不符合題意；
對于 C，符合題意；
對于 D，不符合題意；
故選：AC.
18．（2024 高一·全國·課后作業）已知 a > 0，且 a 1，則函數 y = a x 與 y =loga x的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】分 a >1和0 a 1兩種情況，結合函數的單調性和圖象特征，判斷選項.
【詳解】若0 a 1，則函數 y = a x 的圖象單調遞減且過點 0,1 ，
函數 y =loga x的圖象單調遞減且過點 1,0 ；
若 a >1，則函數 y = a x 的圖象單調遞增且過點 0,1 ，
而函數 y =loga x的圖象單調遞增且過點 1,0 ，
只有 A,C 的圖象符合．
故選：AC
19．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = log 2 a-2 5 - a x +1 ù 中，實數 a的取值可能是（　　）
5
A． B．3
2
C．4 D．5
【答案】AC
【分析】利用對數函數的定義列出不等式解出即可.
【詳解】因為 x2 +1> 0，
ìa - 2 > 0

所以根據對數函數的定義得： ía - 2 1 ，

5 - a > 0
ìa > 2

即： ía 3，所以2 a 3或3 a 5，

a 5
故選：AC.
20．（2024 高一上·貴州遵義·期末）（多選題）下列函數表達式中，是對數函數的有 （ ）
A． y = logπ x B． y = log 2 x C． y = log4 x
2 D． y = log2 (x +1)
【答案】AB
【分析】根據對數函數的定義知，形如 y = loga x(a > 0 且 a 1)函數符合要求可得解.
【詳解】根據對數函數的定義知， y = logπ x， y = log 2 x是對數函數，故 AB 正確；
而 y = log4 x
2
， y = log2 (x +1)不符合對數函數的定義，故 CD 錯誤.
故選：AB
三、填空題
2
21．（2024 高一下·甘肅武威·開學考試）函數 y = log 1 x - 4x - 5 的遞減區間為 .
2
【答案】 5,+
【分析】由復合函數的單調性只需求出u = x2 - 4x - 5的單調遞增區間，且要滿足u = x2 - 4x - 5 > 0，從而求
出答案.
【詳解】因為 y = log 1 u 在 0, + 上單調遞減，
2
2
由復合函數的單調性可知， y = log 1 x - 4x - 5 的遞減區間為u = x2 - 4x - 5的單調遞增區間，
2
且要滿足u = x2 - 4x - 5 > 0，解得 x > 5或 x -1，
2
其中u = x2 - 4x - 5 = x - 2 - 9在 5,+ 上單調遞增，
2
故 y = log 1 x - 4x - 5 的遞減區間為 5,+ .
2
故答案為： 5,+
22．（2024 高一·全國·課后作業）判斷正誤
（1）對數函數的定義域為 R．( )
2
（2） y = log2 x 與 y = log x 3都不是對數函數．( )
（3）對數函數的圖象一定在 y 軸右側．( )
【答案】 錯誤 正確 正確
【詳解】（1）對數函數 y =loga x（ a > 0且 a 1）中，自變量 x > 0，故該結論錯誤．
2
（2） y = log2 x 定義域為 x x 0 ，與對數函數 y =loga x（ a > 0且 a 1）的定義域不同，不符合對數函數
的定義； y = log x 3中底數不是常數，真數不是自變量，不符合對數函數的定義，故該結論正確．
（3）對數函數 y =loga x（ a > 0且 a 1）中，自變量 x > 0，所以對數函數的圖象一定在 y 軸右側，故該結
論正確．
1 ù
23．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f x = log2 x × log 2 2x , x ，4ú 的最小值為 ． 2
1
【答案】- / -0.25
4
【分析】利用換元法，結合對數函數的運算法則和二次函數的性質即可得出結論.
【詳解】顯然 x > 0，∴ f x = log2 x × log 2 2x
1
= log2 x × log 4x22 2
1
= log 2
2 2
x log2 4 + 2log2 x = log2 x + log2 x ，
log x = t 1∵x∈ 4ù
2
令 2 ， ，ú ，∴t∈[－1，2]，則2 g t
1 1 1
= t +

÷ - - ， è 2 4 4
1 2 1
當且僅當 t＝－ 即 x＝ 時，有 f x = - .
2 2 min 4
1
故答案為：-
4
2
24．（2024 高一·全國·專題練習）求函數 y = log 1 -x + 2x +1 單調減區間 .
2
【答案】 1- 2,1
【分析】根據復合函數同增異減性質，結合二次不等式求解即可.
2
【詳解】函數 y = log 1 -x + 2x +1 的定義域為-x2 + 2x +1 > 0，
2
由二次函數的圖象知1- 2 x 1+ 2 .
∴ t = -x2 + 2x +1在 1- 2,1 上是增加的，而在 1,1+ 2 上是減少的，而 y = log 1 t 為減函數.
2
∴函數 y = log
2
1 -x + 2x +1 的減區間為 1- 2,1
2
故答案為： 1- 2,1
1 ù
25．（2024 高一下·云南昆明·期末）已知函數 f (x) = log3 x 的定義域為 ,mú ，值域為 0,1 ，則滿足要求的 3
一個m 的值為 .
【答案】2（寫出 1,3 中的任意一個實數即可）
【分析】根據題意，列出不等式求解，即可得到結果.
1 1 1
【詳解】當 x = 時， f ÷ = log3 =1，因為函數 f (x) = log
1 ù
3 x 的定義域為 ,mú ，值域為 0,1 ，所以3 è 3 3 3
0 log3 m 1，解得1 m 3 .取m = 2 .
故答案為： 2 .
5 1
26．（2024 高一上·河南·期中）函數 f(x)＝ log1 (-3x
2 + x + ) 0 x 4 ÷的最大值為 .3 è 2
【答案】0
【解析】根據二次函數的性質求出真數的范圍，即可求出結論.
5 1 4
【詳解】解：令 y = -3x2 + x + = -3(x - )2 + ，
4 6 3
1
對稱軸為 x = [0
1
， ]
6 2
，
x 1 4當 = 時， y
6 max
= ，
3
x 1當 = 時， y
2 min
=1，
\函數 f (x) = log (
5
-3x2 + x + ) 的最大值為： log1 1 = 01
3 4
.
3
故答案為：0.
27．（2024 高一上·全國·課后作業）若對數函數的圖象過點 4, -2 ，則此函數的表達式為 .
【答案】 y = log 1 x x > 0
2
【分析】將點 4, -2 代入對數解析式求出底數，即可求解.
【詳解】設對數函數為 y =loga x， a 0,1 ，因為對數函數的圖象過點 4, -2 ，所以-2 = loga 4，即
2 1a- = 4 = 22，解得 a = ，所以 y = log 1 x x > 0 .
2 2
故答案為： y = log 1 x x > 0
2
ì-x + 7, x 2
28．（2024 高一·全國·專題練習）設 a > 0且 a 1，若函數 f x = í 5,+ a
3+ log x, x 2
的值域是 ，則 的取
a >
值范圍是 .
【答案】 1, 2ù
【分析】分 a >1與0 a 1兩種情況，結合對數函數的值域求解即可.
ì-x + 7, x 2
【詳解】由于函數 f (x) = í (a > 0 a 1)3 log x, x 2 且 的值域是[5, + ∞)， + a >
故當 x 2時，滿足 f (x) = 7 - x 5 .
若 a >1, f (x) = 3 + loga x 在它的定義域上單調遞增，
當 x > 2時，由 f (x) = 3+ loga x 5，\loga x 2,\loga 2 2,\1 a 2 .
若0 a 1, f (x) = 3 + loga x在它的定義域上單調遞減， f (x) = 3 + loga x 3 + loga 2 3，不滿足 f (x) 的值域是
[5, + ∞).
綜上可得，1 a 2 .
故答案為： 1, 2ù
29．（2024·上海黃浦·三模）已知 f x =1+ log x 1 x 9 g x = f 2 x + f x23 ，設 ，則函數 y = g x 的值
域為 ．
【答案】[2, 7]
【分析】確定函數 y = g x 的定義域，化簡可得 y = g x 的表達式，換元令 log3 x = t, (t [0,1])，可得
y = t 2 + 4t + 2，結合二次函數的性質即得答案.
ì1 x 9 2 2
【詳解】由題意得 í1 x2 9，則
1 x 3，即 g x = f x + f x 的定義域為[1,3]，

故 g x = f 2 x + f x2 = (1+ log x)2 +1+ log x23 3 = (log x)23 + 4log3 x + 2，
令 log3 x = t, (t [0,1])，則 y = t 2 + 4t + 2 = (t + 2)2 - 2，
函數 y = (t + 2)2 - 2在[0,1]上單調遞增，故 y [2,7]，
故函數 y = g x 的值域為[2, 7]，
故答案為：[2, 7]
30．（2024 高一上·全國·課后作業）不等式 log 1 2x + 3 log1 5x - 6
3
的解集是 .
2 8
6
【答案】 ,3÷
è 5
6
【分析】利用對數換底公式以及函數單調性即可解得不等式解集為 ,3÷ .
è 5
log1 5x - 6
3 = log 3 5x - 6 3 = log 1 5x - 6【詳解】易知 1 ，
8 ֏ 2 2
由 log
3
1 2x + 3 log1 5x - 6 可得 log 1 2x + 3 log 1 5x - 6 ；
2 8 2 2
又函數 log 1 x 在 0, + 為單調遞減，
2
ì2x + 3 > 0
6
所以可得 í5x - 6 > 0 ，解得 x 3 .
5
2x + 3 > 5x - 6
6
故答案為： ,3

è 5 ÷
31．（2024 2高三·全國·對口高考）若函數 y = lg x - ax + 9 的定義域為R ，則 a 的取值范圍為 ；若
函數 y = lg x2 - ax + 9 的值域為R ，則 a 的取值范圍為 .
【答案】 (-6,6) - ,-6 6, +
【分析】第一空，由題意可得 x2 - ax + 9 > 0對于 x R 恒成立，結合判別式小于 0 即可求得答案；第二空，
由題意可得 x2 - ax + 9能取到所有正數，結合判別式大于等于 0 即可求得答案；
【詳解】函數 y = lg x2 - ax + 9 的定義域為R ，則 x2 - ax + 9 > 0對于 x R 恒成立，
故D = (-a)2 - 4 9 0，解得-6 a 6，即 a (-6,6)；
若函數 y = lg x2 - ax + 9 的值域為R ，即 x2 - ax + 9能取到所有正數，
故Δ = -a 2 - 4 9 0，解得 a 6或 a -6，即 a - ,-6 6,+ ，
故答案為： (-6,6)； - ,-6 6, +
32．（2024 2高二下·安徽安慶·階段練習）若函數 y = loga ax + 3ax + 2 的值域為R ，則 a的取值范圍是 ．
8
【答案】 ,1÷ (1,+ ) 9
ìa > 0

【分析】由題意可得 ía 1 ，從而解不等式得答案．
2
Δ = 3a - 4 a 2 0
2
【詳解】解： Q y = loga ax + 3ax + 2 的值域為R ，
ìa > 0

∴ ía 1
8
， 解得 a 1或 a >1，
2 9
Δ = 3a - 4 a 2 0
8
故答案為： ,1÷ (1,+ ) ． 9
四、解答題
33．（2024 高三·全國· 2專題練習）已知 x 滿足式子 log x+2 x - x - 2 ，求 x.
【答案】-2 2
【分析】根據對數函數真數大于 0，底數大于 0 且不等式 1，列出方程組，求出答案.
【詳解】因為 x 滿足式子 log x+2 x2 - x - 2 .
ìx2 - x - 2 > 0

故 íx + 2 > 0 ，解得-2 x -1或x > 2 .

x + 2 1
34．（2024 高一上·福建福州·階段練習）已知函數 f (x) = loga x（ a > 0且 a 1），且函數的圖象過點 (2,1)．
（1）求函數 f (x) 的解析式；
（2）若 f m2 - m 1成立，求實數 m 的取值范圍．
【答案】（1） f x = log2 x；（2） (-1,0) U (1, 2) .
【分析】(1)將點 3,1 代入函數解析式，求出 a，可得 f x 的解析式；
(2)解對數不等式，結合函數的定義域，可求出實數 x 的取值范圍．
【詳解】(1)Q f 2 =1,\loga 2 =1，解得 a = 2，故函數 f x 的解析式 f x = log2 x
(2) f m2 - m 1 log m2即 2 - m 1 = log 22 2 0 m - m 2，解得-1 m 0 或1 m 2
故實數 m 的取值范圍是 (-1,0) U (1, 2)
35．（2024 高三·山東·階段練習）已知函數 f x = loga x（ a > 0且 a 1）的圖象過點 9,2 .
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)解不等式 f 3x -1 > f -x + 5 .
【答案】(1) f (x) = log3 x
3
(2) ( ,5)
2
【分析】（1）把已知點的坐標代入求解即可；
（2）直接利用函數單調性即可求出結論，注意真數大于 0 的這一隱含條件．
【詳解】（1）因為函數 f x = loga x（ a > 0且 a 1）的圖象過點 9,2 .
\loga 9 = 2，所以 a = 3，即 f (x) = log3 x ；
（2）因為 f (x) 單調遞增，所以3x -1 > -x + 5 > 0 ，
3
即不等式的解集是 ( ,5)．
2
36．（2024 高一上·全國·課后作業）設函數 f x = log3 9x × log3 3x
1
，且 x 9 ．
9
（1）求 f 3 的值；
（2）若令 t = log3x，求實數 t 的取值范圍；
（3）將 y = f x 表示成以 t t = log3x 為自變量的函數，并由此求函數 y = f x 的最大值與最小值及與之對
應的 x 的值．
【答案】（1）6；（2） -2，2 ；（3） g t = t 2 + 3t + 2，f (x) 1min = - x 3，此時 = ； f (x)max =12，此時 x = 9 ．4 9
【分析】（1）根據題目函數的解析式，代入 x = 3計算函數值；
（2）因為 t = log3x，根據對數函數的單調性求出實數 t 的取值范圍；
（3）根據換元法將函數轉化為二次函數，借助二次函數的單調性求出函數取最大值，最小值，接著再求取
最值時對應的 x 的值.
【詳解】（1） f 3 = log3 27 × log39 = 3 2 = 6 ；
1
（2） t = log3x，又Q x 9，\-2 log3x 2，\-2 t 2，9
所以 t 的取值范圍為 -2，2 ；
（3）由 f x = log3x + 2 log3x +1 = (log 23x) + 2log3x + 2 = t 2 + 3t + 2，
g t t 2 3t 2 3 1令 = + + = (t + )2 - ， t -2，2 ，
2 4
3
①當 t = - 時， g(t)
1
min = - ，即 log3x
3
= - 3，解得 ，
2 4 2
x =
9
所以 f (x)
1
min = - x
3
，此時 = ；4 9
②當 t = 2時， g(t)max = g 2 =12 ，即 log3x = 2 x = 9，
\ f (x)max =12，此時 x = 9 ．
【點睛】求函數最值和值域的常用方法：
(1)單調性法：先確定函數的單調性，再由單調性求最值；
(2)圖象法：先作出函數的圖象，再觀察其最高點、最低點，求出最值；
(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用基本不等式求出最值；
(4)導數法：先求導，然后求出在給定區間上的極值，最后結合端點值，求出最值；
(5)換元法：對比較復雜的函數可通過換元轉化為熟悉的函數，再用相應的方法求最值．
2
37．（2024 高一上·全國·課后作業）求函數 y = log 1 x - 6x +17 的值域.
2
【答案】 - ,-3
2
【分析】求出函數 y = log 1 x - 6x +17 的定義域為R ，先求出 t = x2 - 6x +17 8，再結合對數函數的單調
2
性即可得出答案.
2
【詳解】因為函數 y = log 1 x - 6x +17 的定義域為： x2 - 6x +17 > 0，
2
而方程 x2
2
- 6x +17 = 0的Δ = -6 - 4 17 = -32 0，
所以 x2 - 6x +17 > 0對"x R 恒成立，
令： t = x2 - 6x +17 = x - 3 2 + 8 8
y = log 1t 在 8,+ 上是減函數，
2
所以 y log 1 8 = -3，即原函數的值域為 - ,-3
2
故答案為： - ,-3
38．（2024 高三·全國·專題練習）設 f x = loga 1+ x + loga 3 - x a > 0,a 1 ，且 f 1 = 2 .
(1)求 的值及 f x 的定義域；
3ù
(2)求 f x 在區間 0, ú 上的最大值. 2
【答案】(1)2， (-1,3)；
(2)2.
ì 1+x>0
【分析】（1）由 f 1 = 2 代入可得 的值，列出不等式組 í
3- x>0
可得定義域；
（2）根據復合函數的單調性判斷 f x 在區間 0,
3ù
ú 的單調性即可得結果. 2
【詳解】（1）∵ f (1)=2，∴ loga 2 + loga 2 = 2(a > 0,a 1)，∴ a=2 .
ì 1+x>0
由 í ，解得 -1< x < 3
3- x>0
，
∴函數 f (x)的定義域為 (-1,3) .
（2） f (x) = log2 (1+ x) + log2 (3 - x) = log2 (1+ x)(3- x) = log2 -(x -1)
2 + 4ù ，
∴當 x (-1,1]時， f (x)是增函數；當 x (1,3)時， f (x)是減函數，
f (x) 3ù函數 在 0, ú 上的最大值是 f (1) = log2 4 = 2 . 2
39．（2024 高一上·遼寧·階段練習）已知函數 f x = loga x 過 (2,-1)點．
(1)求 f x 解析式；
(2)若 g(x) = f (-x2 + 4x + 5)，求 g x 的值域．
【答案】(1) f x = log 1 x， x 0, +
2

(2) log 1 9, + ÷
2
【分析】（1）將 (2,-1)代入 f x = loga x ，解得 a，即可得 f x 解析式；
（2）求得 g(x) = log 1 (-x
2 + 4x + 5)，令u = -x2 + 4x + 5，-1 x 5，利用二次函數與對數函數的性質求解即
2
可．
1
【詳解】（1）將 (2,-1)代入 f x = loga x ，得-1 = loga 2，解得 a = ，2
所以 f x = log 1 x，其中 x 0, +
2
（2） g(x) = f (-x
2 + 4x + 5) = log 1 (-x
2 + 4x + 5) ，
2
由-x2 + 4x + 5 > 0，解得-1 x 5，
令u = -x2 + 4x + 5，-1 x 5，
∵ u = -x2 + 4x + 5 = -(x - 2)2 + 9 ，
∴由二次函數的性質可知，在 x (-1,5)時，u (0,9]，
又 y = log 1u 在 (0, + )上單調遞減，
2

所以 g x 的值域為 log 1 9, + ÷．(注： - log2 9, + 也正確)
2 4.4 對數函數 14 題型分類
一、對數函數
一般地，函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)叫做對數函數，其中 x 是自變量，定義域是(0，＋∞).
對數函數的特征
(1)logax 的系數是 1；
(2)logax 的底數是不等于 1 的正數；
(3)logax 的真數僅含自變量 x.
二、對數函數的圖象和性質
定義 y＝logax(a>0，且 a≠1)
底數 a>1 0圖象
定義域 (0，＋∞)
值域 R
單調性 增函數 減函數
共點性 圖象過定點(1,0)，即 x＝1 時，y＝0
x∈(0,1)時， x∈(0,1)時，
y∈(－∞，0)； y∈(0，＋∞)；
函數值
x∈[1，＋∞)時， x∈[1，＋∞)時，
y∈[0，＋∞) y∈(－∞，0]
1
對稱性 函數 y＝logax 與 y＝log x 的圖象關于 x 軸對稱
a
在直線 x＝1 右側，a 值越大， 在直線 x＝1 右側，a 值越小，
趨勢
圖象越靠近 x 軸 圖象越靠近 x 軸
三、反函數的概念
對數函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)與指數函數 y＝ax互為反函數，它們的圖象關于直線 y＝x
對稱．對數函數 y＝log x xax 的定義域是指數函數 y＝a 的值域，而 y＝logax 的值域是 y＝a 的定
義域.
四、底數對對數函數圖象的影響以及圖象的特點
(1)對圖象的影響：比較圖象與直線 y＝1 的交點，此時直線 y＝1 與對數函數圖象交點的坐
標為(a,1)．交點的橫坐標越大，對應的對數函數的底數越大，即沿著直線 y＝1 由左向右看，
底數 a 增大(如圖)：
(2)圖象的特點：函數 y＝logax(a>0，且 a≠1)的圖象無限靠近 y 軸，但永遠不會與 y 軸相交；
1
在同一坐標系內，y＝logax(a>0，且 a≠1)的圖象與 y＝log x(a>0，且 a≠1)的圖象關于 x 軸(即直
a
線 y＝0)對稱．
（一）
對數函數的概念
判斷一個函數是對數函數的方法
題型 1：對數函數的概念
1-1 2．（2024 高一上·江蘇·課前預習）在b = log 3a-1 4 - a 中，實數 a 的取值范圍是（ ）
1
A． - , ÷ U 2, +
1 , 2 U 2 ,2 B．
3 ÷ ÷è è 3 3 è 3
1 1
C． , 2÷ D． , 2
è 3 è 2 ÷
1
1-2．（2024 高一上·遼寧·期末）若對數函數的圖象過點P 8,3 ，則 f ÷ = ．
è 4
1-3．（2024 2高一上·吉林長春·階段練習）若函數 y = loga x + a - 3a + 2為對數函數，則 a =（ ）
A．1 B． 2 C．3 D． 4
1-4．（2024 高一上·全國·課后作業）若函數 f (x) = a2 - 3a + 3 loga x 是對數函數，則 a 的值是（ ）
A．1 或 2 B．1
C．2 D． a > 0且 a 1
（二）
對數型函數的定義域
（1）求對數型函數定義域的原則
①分母不能為 0.
②根指數為偶數時，被開方數非負．
③對數的真數大于 0，底數大于 0 且不為 1.
④若需對函數進行變形，則需先求出定義域，再對函數進行恒等變形．
(2)從始至今，給定解析式求定義域的限制條件如下:
①分母不為 0;
②偶次方根下非負;
③ x0 中 x≠0;
④對數的真數大于 0;
⑤對數、指數的底 a 滿足 a>0 且 a≠1.
(3)求定義域時，首先列全限制條件組成不等式組，然后正確解出不等式組，最后結果一定寫
成集合(包含區間)的形式.　
題型 2：對數型函數的定義域
ln(2x -1)
2-1．（2024 高二下·北京順義·階段練習）函數 y = 的定義域為 .
x -1
2-2．（2024 高一上· 2 - x廣東東莞·期中）函數 f x = - log2 x的定義域為（　　）x
A． 0,2 B． - , 2
C． - ,0 0,2 D．[2, + ∞)
f x
2-3．（2024 高三上· 2遼寧·開學考試）已知函數 f x +1 的定義域為 1,2 ，則函數 g x = lg x - 2 的定義域
為 .
2-4．（2024 高二下·重慶·期末）已知函數 f x = 2 - x2 + log 12 x +

÷，則 f x 的定義域為 ．
è 2
2-5．（2024 高二下·山東濰坊·期末）函數 f (x) = lg(x2 + 3x + 2) 的定義域是（ ）．
A． (-2,-1) B．[-2,-1]
C． (- ,-2) U (-1,+ ) D． (- ,-2]U[-1,+ )
2-6．（2024 高一下·上海寶山·階段練習）若函數 f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定義域為 R，則實數 m 的取值范圍
是 ．
（三）
與對數有關的函數的值域與最值問題
(1)求與對數函數相關的復合函數的值域(最值)，關鍵是根據單調性求解，若需換元，需考慮新
元的取值范圍．
(2)對于形如 y＝logaf(x)(a>0，且 a≠1)的復合函數，其值域的求解步驟如下：
①分解成 y＝logau，u＝f(x)兩個函數；
②求 f(x)的定義域；
③求 u 的取值范圍；
④利用 y＝logau 的單調性求解．
題型 3：與對數有關的函數的值域與最值問題
2

3-1．（2024 高一上·山東濰坊·階段練習）已知 f (x) = log 1 x ÷ - 2log 1 x + 4， x 2,4 ．
è 2 2
（1）設 t = log 1 x ， x 2,4 ，求 t的最大值與最小值；
2
（2）求 f (x) 的值域．
3-2．（2024 高二下· 2山西運城·期末）已知函數 f x = lg x +1 , x -1,3 ，則 f x 的值域為（ ）
A． 0, + B． 0,1 C． lg2,1 D．[0,1]
2
3-3．（2024 高一·全國·課后作業）函數 y = log 1 x - 6x +17 的值域是 ．
2
ì-x2 + 2x + 3, x 2
3-4．（2024 高三·全國·專題練習）已知函數 f (x) = í (a > 0且 a 1)，若函數 f x 的值域是
6 + loga x, x > 2
- , 4 ，則實數 a的取值范圍是（　　）
2 2
A． ,1÷÷ B． ,12 2 ÷÷è
C． 1, 2ù D． 1, 2
3-5．（2024 高二下·重慶北碚·期末）已知函數 f (x) = ln ax
2 + (a - 6)x + 2ù 既沒有最大值，也沒有最小值，則
a 的取值范圍是（ ）
A． - ,2 18, + B． 2,18
C． 0,2 U 18,+ D． 0,2 U 18,+
（四）
對數函數的圖象及應用
1．對數型函數的圖象過定點問題
求函數 y＝m＋logaf(x)(a＞0，且 a≠1)的圖象過的定點時，只需令 f(x)＝1 求出 x，即得定點為
(x，m)．
2．根據對數函數的圖象判斷底數大小的方法
作直線 y＝1 與所給圖象相交，交點的橫坐標即為各個底數，依據在第一象限內，自左向右，
圖象對應的對數函數的底數逐漸變大，可比較底數的大小．
　　　
題型 4：對數型函數的圖象過定點問題
4-1．（2024 高一上·福建莆田·期中）函數 f x = loga 2x + 3 +1 a > 0, a 1 的圖象恒過定點 .
4-2．（2024 高一上·新疆塔城·期末）函數 y = loga 3x - 2 + 2（ a > 0，且 a 1）的圖象恒過點 ．
4-3．（24-25 高一上·上海·隨堂練習）指數函數 y = a x +1（ a > 0且 a 1）過點 (m, n)，則 y = loga x -1 經過
點 .
4-4．（2024 高三·北京·專題練習）函數 f x = loga 2x - 3 + 8 a的圖象恒過定點A ，且點A 在冪函數 g x = x
的圖象上，則 f 3 = .
4-5．（2024 高一上·全國·課后作業）若函數 y = loga x + b + c(a > 0,且 a 1)的圖象恒過定點 3,2 ，則實數
b = ， c = ．
題型 5：對數型函數的圖象的判斷
5-1．（2024·新疆烏魯木齊·三模）當0 < a <1時，在同一坐標系中，函數 y = a- x 與 y =loga x的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
5-2．（2024 高三·全國·專題練習）若函數 y = a |x|(a > 0且a 1)的值域為[1,+ )，則函數 y = loga | x |的大致圖
象是（ ）
A． B．
C． D．
5-3．（2024 高一上·四川瀘州·期末）如圖（1）（2）（3）（4）中，不屬于函數 y = log1 x ，y = log 1 x ，y = log5 x
5 7
的一個是（ ）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
5-4．（2024 高一下·云南保山·期末）函數 y = 1- a x與 y =loga x（其中 a >1）的圖象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
題型 6：對數型函數的圖象及應用
6-1．（2024 高一上·江西南昌·期末）若0 < b < 1 < a ，則函數 y = logb x + a 的圖象不經過（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6-2．（2024 高三上·全國·專題練習）已知函數 y=loga (x + c)(a,c 為常數，其中 a > 0, a 1) 的圖象如圖，則下
列結論成立的是（ ）
A． a >1,c >1 B． a >1,0 < c <1
C．0 < a <1,c >1 D．0 < a <1,0 < c <1
6-3．（2024·浙江紹興·模擬預測）若函數 f x = log2 a + x 的圖象不過第四象限，則實數 a 的取值范圍
為 ．
1
6-4．（2024 高一上·江蘇鎮江· 2期末）若不等式 x - loga (x +1) < 2x -1 x
1 在 ，÷上恒成立，則實數 a 的取值
è 2
范圍為（ ）
16 16
A． ，1÷ B．81
，1
81 ÷ è
81ù 3 81ù
C． 1， D． ，
è 16 ú è 2 16 ú
6-5．（2024 高三上·山東濰坊·期中）已知指數函數 y = a x ，對數函數 y = logb x 的圖象如圖所示，則下列關系
成立的是（ ）
A． 0 < a < b <1 B．0 < a < 1 < b
C．0 < b < 1 < a D． a < 0 <1 < b
（五）
對數型函數的單調性
形如 f(x)＝logag(x)(a>0，且 a≠1)的函數的單調區間的求法
(1)先求 g(x)>0 的解集(也就是函數 f(x)的定義域)．
(2)當底數 a>1 時，在 g(x)>0 這一前提下，g(x)的單調增區間是 f(x)的單調增區間；g(x)的單調減區間是 f(x)的
單調減區間．
(3)當底數 00 這一前提下，g(x)的單調增區間是 f(x)的單調減區間，g(x)的單調減區間是 f(x)
的單調增區間．
題型 7：對數型函數的單調性問題
7-1 2．（2024 高二下·江蘇蘇州·階段練習）函數 f x = ln 2x - 3x +1 的單調增區間為 .
7-2．（2024 高一下·河南·階段練習）已知函數 f (x) = ln -3x2 + 4x + 4 ，則 f (x) 的單調增區間為 .
7-3 2．（2024 高二下·浙江衢州·期末）函數 y = log0.5 x - x - 2 的單調遞增區間為（ ）
A． - ,-1 B． 2, +
C． - ,-1 1 ,2 和 ÷ D． -1,
1
2 ÷和
2, +
è è 2
（六）
比較對數值的大小
比較對數值大小的常用方法
(1)同底數的利用對數函數的單調性．
(2)同真數的利用對數函數的圖象或用換底公式轉化．
(3)底數和真數都不相同時，找中間量．
提示：比較數的大小時可先利用性質比較出與 0 或 1 的大小．
題型 8：比較對數值的大小
8-1．（2024 高一上·全國·課后作業）比較下列各組中兩個值的大小．
① log3 1.99，log3 2 .
② log3 0.2，log4 0.2 .
③ log2 3，log0.3 2 .
④ loga π，loga 3.14 (a > 0且 a 1) .
8-2．（2024 高三上·寧夏銀川·階段練習）函數 f (x) 是定義在R 上的偶函數，且在[0,+ )上單調遞增，

a f log 1
1 1 = 1 ÷ ,b = f log2 ÷ ,c = f 52 ÷，則（2 ）è 3 è 3 è
A． a > b > c B． c > a > b C．b > a > c D． c > b > a
1
8-3．（2024 高一上·河南南陽·期末）三個實數 -a = log 4,b = log 5,c = 3 2 的大小關系為（ ）3 2
A．a < c < b B． c < a < b
C． c < b < a D．b < c < a
8-4．（2024 高二上·湖南長沙·開學考試）設 a = log8 27 ，b = log0.5 0.2， c = log4 24，則（ ）
A．a < b < c B．b < a < c C．a < c < b D．b < c < a
8-5．（2024 高二上·湖北武漢·開學考試）已知 a = log -0.30.3 0.7，b = 0.7 ， c = log7 3則（ ）
A．a < c < b B． c < a < b C． c < b < a D．a < b < c
（七）
求解對數不等式
常見對數不等式的 2 種解法
(1)形如 logax＞logab 的不等式，借助 y＝logax 的單調性求解，如果 a 的取值不確定，需分 a＞1
與 0＜a＜1 兩種情況討論．
(2)形如 logax＞b 的不等式，應將 b 化為以 a 為底數的對數式的形式，再借助 y＝logax 的單調
性求解．
題型 9：求解對數不等式
9-1．（2024 高一上·全國·課后作業）解下列關于 x 的不等式．
(1) log 1 x > log 1 (4 - x) ；
7 7
(2) loga 2x - 5 > loga x -1 ；
log 1(3) x >1．2
9-2．（2024 高一上·全國·課后作業）不等式 loga (2x + 3) > loga (5x - 6), (a >1)的解集為 ．
9-3．（2024 高一上·全國·課后作業）已知函數 f x = log2 3x -1 ，則使得 2 f (x) > f (x + 2) 成立的 x 的取值范
圍是（ ）
5 4
A． - , +

3 ÷
B． , + ÷
è è 3
- , 1- 1C． ÷ D． - , +

è 3 ÷ è 3
（八）
根據對數型函數的單調性求參數
已知對數型函數的單調性求參數的取值范圍，要結合復合函數的單調性規律，注意函數的定義域求解；
若是分段函數，則需注意兩段函數最值的大小關系．
題型 10：根據對數型函數的單調性求參數
10-1．（2024 高三上·云南昆明·開學考試）設函數 f x = ln -x2 + 4x 在 a, a +1 上單調遞增，則 a的取值范
圍為（ ）
A． 0,1 B．[0,2]
C． (0,2) D．[0,1]
10-2．（2024 高一·全國·專題練習）設函數 f x = ln 2ax - x2 在區間 3,4 上單調遞減，則 a的取值范圍
是 .
y = log x210-3．（2024 高一上·廣西玉林·階段練習）已知函數 1 - ax + a 在區間 - , 2 上是增函數，求實數
2
a的取值范圍 ．
（九）
與對數函數有關的函數的奇偶性
要判斷函數的奇偶性，首先應求出定義域，看函數的定義域是否關于原點對稱．對于形如 f(x)＝logag(x)的函
數，利用 f(－x)±f(x)＝0 來判斷奇偶性較簡便．
題型 11：與對數函數有關的函數的奇偶性問題
11-1．（2024 高二下·陜西渭南·期末）若 f (x) = (x + a) ln
x +1
為偶函數，則 a等于 .
x -1
11-2．（2024 高一上·江蘇南京·期中）已知函數 ( ) = log3(3
+1) + 2 是偶函數，則實數 k 的值為（ ）
1 1 1 1
A．- B．- C．- D．-
2 3 4 5
11-3．（25-26 高一上·全國·課后作業）函數 f x 是定義在R 上的偶函數， ( 1)是奇函數，且當0 < x 1時，
f x 1= log x f 2023 + f - 2024 ，則 ÷ = ．
è 2024
11-4．（2024 高三上·陜西渭南·階段練習）已知函數 f x 是定義在R 上的偶函數，當 x 0 時， f x 單調遞

減，則不等式 f log1 2x - 5 ÷ > f log3 8 的解集為 .
è 3
11-5．（2024· 2山東泰安·模擬預測）已知 f x = x g x 為定義在 R 上的偶函數，則函數 g x 的解析式可以為
（ ）
1+ x2 2A． g x = ln B． g x =1-
1- x2 2x +1
ìx
2 - x, x 0
C． g x = í 2 D． g(x) =| x - 2 | - | x + 2 |
x + x, x < 0
題型 12：對數函數性質的綜合
12-1．（2024 高三上·山西長治·階段練習）已知函數 f (x) = loga (1+ x) ， g(x) = loga (1- x)(a > 0,且a 1)．
(1)求函數 f x + g x 的定義域；
(2)判斷函數 f x + g x 的奇偶性，并說明理由；
(3)討論函數 f x + g x 的值域．
12-2．（2024 高一上·湖北十堰·期末）已知函數 f（x）＝loga（3﹣ax）（a＞0，且 a≠1）．
(1)求 f（x）的定義域．
(2)是否存在實數 a，使函數 f（x）在區間[1，2]上單調遞減，并且最大值為 2？若存在，求出 a 的值；若不
存在，請說明理由．
12-3．（2024 高一上·江蘇淮安·期中）已知 f (x) = lg(ax + x2 +1)是定義在 R 上的奇函數，其中 a > 0．
（1）求 a的值；
（2）判斷 f (x) 在[0, + ) 上的單調性，并證明；
（3）若對于任意的 x R都有 f (x + x2 +1) > - lg( (mx)2 +1 - mx)成立，求實數m 的取值范圍．
題型 13：對數函數的實際應用
13-1．（24-25 高一上·全國·課堂例題）天文學中天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與
亮度滿足m1 - m2 = 2.5 lgE2 - lgE1 ．其中星等為mi 的星的亮度為Ei i =1,2 ．已知“心宿二”的星等是 1.00，
“天津四”的星等是 1.25，“宿二”的亮度是“天津四”的 r 倍，則與 r 最接近的是（　　）
（注：當 x 較小時，10x 1+ 2.3x + 2.7x2）
A．1.24 B．1.25 C．1.26 D．1.27
13-2．（2024 高二下·云南昭通·期中）大西洋鮭魚每年都要逆游而上，游回產地產卵.研究鮭魚的科學家發現
O
鮭魚的游速 v（單位：m / s）可以表示為 v = klog3 ，其中O表示鮭魚的耗氧量的單位數.若一條鮭魚游速100
為0.5m / s時耗氧量的單位數為 300，則一條鮭魚游速為1.5m / s時耗氧量的單位數為（ ）
A．900 B．1200 C．2700 D．8100
13-3．（2024·福建龍巖·三模）聲音的等級 f (x) (單位：dB)與聲音強度 x(單位：ω / m2 )滿足
f (x) =10 x lg -12 . 噴氣式飛機起飛時，聲音的等級約為 140dB．若噴氣式飛機起飛時聲音強度約為一般說10
話時聲音強度的108 倍，則一般說話時聲音的等級約為（ ）
A．120dB B．100dB C．80dB D．60dB
13-4．（24-25 高一上·全國·課后作業）據統計，某濕地公園越冬的白鶴數量 y （單位：只）與時間 x （單位：
年）近似滿足關系 y = a log3 x + 2 ，觀測發現 2018年冬（作為第 1 年）有越冬白鶴 3000 只，估計到 2024
年冬有越冬白鶴（ ）
A．4000 只 B．5000 只
C．6000 只 D．7000 只
13-5．（2024 高一下·湖北·階段練習）中國的 5G 技術領先世界，5G 技術中的數學原理之一是香農公式：
C S= Wlog 2 1+ ÷，它表示在被高斯白噪音干擾的信道中，最大信息傳送速率C 取決于信道帶寬W 、信道
è N
S
內所傳信號的平均功率 S、信道內部的高斯噪音功率 N 的大小，其中 叫做信噪比.已知當 x 比較大時，
N
y = loga 1+ x (a >1) loga x ，按照香農公式，由于技術提升，寬帶W 在原來的基礎上增加20%，信噪比從
1000 提升至 8000，則C 大約增加了（ ）（附： lg2 0.3010）
A．37% B． 45% C．48% D． 56%
（十）
反函數的應用
1、求反函數的步驟
(1)求出函數 y＝f(x)的值域；
(2)僅解 x，即由 y＝f(x)解出 x＝f－1(y)；
(3)把 x＝f－1(y)改寫成 y＝f－1(x)，并寫出函數的定義域(即原函數的值域)．
2、(1)互為反函數的兩個函數的圖象關于直線 y＝x 對稱．
(2)若互為反函數的兩個函數是同一個函數，則該函數的圖象自身關于直線 y＝x 對稱．
題型 14：反函數的應用
14-1．（2024 高二下·浙江寧波·期末）已知函數 y = f x 與 y = 3x 是互為反函數，則（ ）
f 1 1 f 1 A． ÷ = - B． ÷ = -2 C． f 1 = 3 D． f 3 =1
è 9 è 3
14-2．（2024 高二下·天津·期末）下列各對函數中，互為反函數的是（ ）
A． y = lnx, y = ex B． y = log2x, y = log0.5x
x
C． y = 2log x, y = 2x D 1 ． y = , y = 2x2 ÷
è 2
14-3．（2024 高二下·浙江寧波·期末）已知函數 f x = a x (a > 0，且 a 1)的圖象過點 2,4 , g x 是 f x 的
g 2 + x 反函數，則函數 2 - x ÷
（ ）
è
A．既是奇函數又是減函數 B．既是奇函數又是增函數
C．既是偶函數又是減函數 D．既是偶函數又是增函數
14-4．（2024 高一上·上海·階段練習）下列命題組真命題的個數為（ ）
①存在反函數的函數一定是單調函數
②偶函數存在反函數
③奇函數必存在反函數
A．0 B．1 C．2 D．3
一、單選題
1．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = log 1 x 在區間[1, 2]上的值域是（　　）
2
A．[-1,0] B．[0,1]
C．[1,+ ) D． (- ,-1]
log x
2．（2024 高三上·寧夏銀川·階段練習）函數 f x = 2 的定義域為（ ）
2x -1
A． 0, + B． 1, + C． 0,1 0, 1 D． ÷ U
1
, +

è 2 è 2 ÷
3．（2024 高一上·云南曲靖·階段練習）下列函數是對數函數的是（ ）
x
A 2． y = ln x B． y = log2 x C． y = loga D． y = log x - 20229 2
4．（2024 高一·全國·課后作業）下列函數是對數函數的是（ ）
A． y = log 2x B y = lg10x C y = log x2a ． ． a + x D． y = ln x
5．（2024 高一上·內蒙古包頭·期中）函數 f (x) = loga (x -1) + 2的圖象恒過定點（ ）
A． (2, 2) B． (2,1) C． (3, 2) D． (2,0)
6．（2024 高一上·云南大理·階段練習）函數 y = 2 + log5 x x 1 的值域為（ ）
A． 2, + B． - , 2
C． 2, + D． 3, +
7．（2024 高三上·重慶·階段練習）若a = log3 6，b = 2 ， c = log0.25 0.125，則（ ）
A． a > c > b B． a > b > c C．b > c > a D．b > a > c
f (x) x x + 28．（2024 高二下·浙江溫州·學業考試）函數 = + 的定義域為（
ln x ）
A． 0,1 B． 1, + C． 0, + D． 0,1 U 1, +
2 - x
9．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = 的定義域是（ ）
log2 x
A．{x∣0 < x < 2}
B．{x∣0 < x <1或1 < x < 2}
C．{x∣0 < x 2}
D．{x∣0 < x <1或1 < x 2}
10．（2024 高二下·山東青島·期末）已知函數 f x = lg x - 2 ，則 f x （
x 2 ）+
A．是奇函數，且在 2, + 是增函數 B．是偶函數，且在 2, + 是增函數
C．是奇函數，且在 2, + 是減函數 D．是偶函數，且在 2, + 是減函數
x
11．（2024 高一上·廣東汕尾·期末）當 a >1 1 時，在同一平面直角坐標系中， y = ÷ 與 y = loga -x 的圖象是
è a
（ ）
A． B．
C． D．
1 x12 ．（2024 高一上·浙江臺州·階段練習）函數 f (x) = 4 ÷
與 g(x) = - log4 x的大致圖像是（ ）
è
A． B．
C． D．
13．（2024 高三·全國·專題練習）函數 y = lg x +1 的圖像是（ ）
A． B．
C． D．
2
14．（2024 高二上·江蘇南通·開學考試）已知函數 y = l og2 x - 3 l og x + 6 ，在 x 2 2，4 上的值域為
（ ）
15 ,4ù 15 ù 1 ùA． ú B． 4，6 C． ，6ú D． ,3 4 4 2 ú
15．（2024 高一·全國·單元測試）已知函數 f x = loga x + 2（ a > 0，且 a 1）在 1,3 上的值域為 2,4 ，則
實數 a 的值是（ ）
1
A 3． 3 B． C．3 2 3
D．
2
二、多選題
16．（2024 高一·全國·課堂例題）下列函數中為對數函數的是（ ）
A． y = log1 -x B． y = log x24
2
C． y = lnx D． y = log xa2 +a+2 （ a是常數）
17．（2024 高一上·全國·課后作業）下列函數為對數函數的是（ ）
A． f x = log 3 m-1 x （m >1，且m 2） B． f x = lg x
C． f x = ln x D． f x = ln x + e
18．（2024 高一·全國·課后作業）已知 a > 0，且 a 1，則函數 y = a x 與 y =loga x的圖象可能是（ ）
A． B．
C． D．
19．（2024 高一上·全國·課后作業）函數 y = log a-2 5 - a x2 +1 ù 中，實數 a的取值可能是（　　）
5
A． B．3
2
C．4 D．5
20．（2024 高一上·貴州遵義·期末）（多選題）下列函數表達式中，是對數函數的有 （ ）
A． y = log 2π x B． y = log 2 x C． y = log4 x D． y = log2 (x +1)
三、填空題
2
21．（2024 高一下·甘肅武威·開學考試）函數 y = log 1 x - 4x - 5 的遞減區間為 .
2
22．（2024 高一·全國·課后作業）判斷正誤
（1）對數函數的定義域為 R．( )
（2 2） y = log2 x 與 y = log x 3都不是對數函數．( )
（3）對數函數的圖象一定在 y 軸右側．( )
23．（2024 高三·全國·專題練習）函數 f x log x log 2x , x 1= × ù2 2 ，4 的最小值為 ． 2 ú
2
24．（2024 高一·全國·專題練習）求函數 y = log 1 -x + 2x +1 單調減區間 .
2
25．（2024 高一下·云南昆明·期末）已知函數 f (x) = log3 x
1 ù
的定義域為 ,mú ，值域為 0,1 ，則滿足要求的 3
一個m 的值為 .
5 1
26．（2024
2
高一上·河南·期中）函數 f(x)＝ log1 (-3x + x + ) 0 x 4 ÷的最大值為 .3 è 2
27．（2024 高一上·全國·課后作業）若對數函數的圖象過點 4, -2 ，則此函數的表達式為 .
ì-x + 7, x 2
28．（2024 高一·全國·專題練習）設 a > 0且 a 1，若函數 f x = í3 的值域是 5,+ ，則 a的取 + loga x, x > 2
值范圍是 .
29．（2024· 2 2上海黃浦·三模）已知 f x =1+ log3 x 1 x 9 ，設 g x = f x + f x ，則函數 y = g x 的值
域為 ．
3
30．（2024 高一上·全國·課后作業）不等式 log 1 2x + 3 < log1 5x - 6 的解集是 .
2 8
31．（2024 高三·全國· 2對口高考）若函數 y = lg x - ax + 9 的定義域為R ，則 a 的取值范圍為 ；若
2
函數 y = lg x - ax + 9 的值域為R ，則 a 的取值范圍為 .
32 2．（2024 高二下·安徽安慶·階段練習）若函數 y = loga ax + 3ax + 2 的值域為R ，則 a的取值范圍是 ．
四、解答題
33．（2024 2高三·全國·專題練習）已知 x 滿足式子 log x+2 x - x - 2 ，求 x.
34．（2024 高一上·福建福州·階段練習）已知函數 f (x) = loga x（ a > 0且 a 1），且函數的圖象過點 (2,1)．
（1）求函數 f (x) 的解析式；
（2）若 f m2 - m < 1成立，求實數 m 的取值范圍．
35．（2024 高三·山東·階段練習）已知函數 f x = loga x（ a > 0且 a 1）的圖象過點 9,2 .
(1)求函數 f x 的解析式；
(2)解不等式 f 3x -1 > f -x + 5 .
36．（2024 高一上·全國·課后作業）設函數 f x = log3 9x × log3 3x
1
，且 x 9 ．
9
（1）求 f 3 的值；
（2）若令 t = log3x，求實數 t 的取值范圍；
（3）將 y = f x 表示成以 t t = log3x 為自變量的函數，并由此求函數 y = f x 的最大值與最小值及與之對
應的 x 的值．
37．（2024 高一上·全國·課后作業）求函數 y = log 1 x2 - 6x +17 的值域.
2
38．（2024 高三·全國·專題練習）設 f x = loga 1+ x + loga 3 - x a > 0,a 1 ，且 f 1 = 2 .
(1)求 的值及 f x 的定義域；
3ù
(2)求 f x 在區間 0, ú 上的最大值. 2
39．（2024 高一上·遼寧·階段練習）已知函數 f x = loga x 過 (2,-1)點．
(1)求 f x 解析式；
(2)若 g(x) = f (-x2 + 4x + 5)，求 g x 的值域．

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